Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie

5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie

1/63

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFACULTATEA DE ECONOMIE AGROALIMENTAR I A

MEDIULUI

Prof. univ. dr. MIRCEA GHEORGHI

Conf. univ.dr. SIMONA ROXANA PTRLGEANU

ECONOMETRIE

UCURETI!"##$!


2/63

CUPRINS

In%rodu&'r' 3C()i%o*u* I+ Mod'*' '&ono,'%ri&' 4

1.1. Generaliti 41.2. Model aleator 41.3. Natura variabilelor care apar n model 4

1.4. Inducia statistic 51.5. Identificarea modelului 51.. !revi"iunea variabilei endo#ene 51.$. %ocabular u"ual

C()i%o*u* II+ R'-r'i( i,)*/ 1&2.1. Modelul liniar al re#resiei simple 1&

2.2. 'eterminarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici ptrate 11 2.3. !roprietile estimatorilor 12 2.3.1. (ovariana estimatorilor 15 2.3.2. 'eterminarea unui estimator nedeplasat pentru variana erorilor 1 2.3.3. Interpretarea #eometric a metodei celor mai mici ptrate 1) 2.3.4. (oeficientul de corelaie liniar 21 2.3.5. 'istribuia de probabilitate a estimatorilor 22

2.4. *este +i intervale de ncredere 24 2.5. !revi"iunea cu modelul liniar 25 2.. ,-perien de calcul 2C()i%o*u* III+ R'-r'i( ,u*%i)*/ 34

3.1. Modelul liniar al re#resiei multiple 343.2. 'eterminarea estimatorilor parametrilor 353.3. !roprietile estimatorilor 3

3.4. 'eterminarea unui estimator nedeplasat pentru variana re"iduurilor 3)3.5. *este +i re#iuni de ncredere 3

3.. !revi"iunea variabilei endo#ene 41 3.$. (oeficientul de corelaie multipl. /nali"a varianei 42 3.). ,-perien de calcul 45C()i%o*u* I0+ S%udiu* ,od'*u*ui *ini(r &1nd i)o%'2'*' &*(i&' (u)r( 'rori*or nu ,(i

un% r'(*i2(%'

4

4.1. Ipote"a de independen a erorilor 44.1.1. *estarea ipote"ei de independen a erorilor 52

4.1.2. ,-perien de calcul 55 4.2. Ipote"a de normalitate a erorilor 5 4.3. Ipote"a de 0eteroscedasticitate &

4.3.1. ,-perien de calcul 1 4.4. Ipote"a de independen a erorilor n raport cu variabilele e-o#ene 3 4.5. Ipote"a referitoare la faptul c variabilele sunt observate fr eroare 3 4.5.1. ,-perien de calcul 5iblio#rafie )


3/63

INTRODUCERE

'e"voltarea aparatului statistic furni"ea" economi+tilor tot mai multe date cifrice despre procesele +ifenomenele care au loc n timp +i spaiu. ,conometria este un miloc de a e-ploata aceste date. Noiunea de econometrieprovine din termenii oikonomieeconomie +i metron (msurare +i desemnea" totalitatea metodelor +i te0nicilor demsurare a fenomenelor +i proceselor care au loc n domeniul economic. !rimele lucrri econometrice au avut ca obiectfunciile consumului care lea# nivelul consumului de venitul disponibil aceste funcii stau la ba"a teoriei 6e7nesiene.

8n decursul timpului numero+i autori au ncercat definirea econometriei. 9ucrarea :,(;N;M,*tefan !ecican aprut la ,ditura ,conmic n 2&&3 conine multereferiri n acest sens din care am selectat c@teva.

/utori


4/63

CAPITOLUL I

MODELE ECONOMETRICE

3.3. G'n'r(*i%/4i

Modelarea economic repre"int un proces de cunoa+tere milocit a realitii cu autorul unui instrument cu

caracteristici specialeH modelul. Bistemul real supus studiului este nlocuit prin modelul su care este o repre"entaresimplificat a obiectului cercetat.Modelul econometric este de re#ul o mulime de relaii numerice care permite repre"entarea simplificat a

procesului economic supus studiului uneori c0iar a ntre#ii economii. Modelele actuale comport adesea mai mult de"ece relaii ecuaii. %aliditatea unui model este testat prin confruntarea re"ultatelor obinute cu observaiile statistice.!entru a studia un fenomen economic se ncearc repre"entarea lui prin comportamentul unei variabile. /ceastvariabil economic depinde la rndul su de alte variabile de care este le#at prin relaii matematice.

'e e-emplu dac se studia" cererea C +i oferta O dintrun anumit bun pe o pia se +tie c cererea +ioferta depind de preul p bunului respectiv. !utem scrie c variabilele C +i O sunt funcii de variabila p+i c laec0ilibrul pieei trebuie ca cererea s fie e#al cu oferta. Be construie+te astfel un model elementar de formaH

J1K

==

=

OCpgO

pfC

;ferta +i cererea dintrun anumit bun depind +i de alte variabile dec@t preul. /stfel cererea dintrun bunalimentar depinde +i de venitul disponibil de preul unor produse analoa#e etc. 9a fel dac este vorba despre un buna#ricol #r@u... oferta depinde de preul anului precedent.


5/63

'istincia ntre natura variabilelor este foarte important +i va trebui preci"at ntotdeauna nainte de a studiamodelul. (@nd modelul econometric a cptat formularea matematic definitiv se spune c modelul a fost :specificat?.Modelul J4K de mai sus este specificat. Be cunoa+te forma funciei fdin e-presia Ci= f(Vi) + i adic f(Vi) = aVi+b./du#area variabilei e-o#ene id modelului formularea definitiv J4K.

Mulimea parametrilor care definesc complet modelul econometric constituie :structura? acestuia. 'ee-emplu dac a = 0,7+i b = 23iar urmea" o le#e de probabilitate normal de medie speran matematic e#al cu"ero +i dispersie varian e#al cu 5 atunci mulimea

a = 0,7;b= 23; = 5 constituie structura modelului J4K. Bcopul va fi acela ca plec@nd de la cuplurile Ci,Vi asociate diferitelor familii i sse determine structura adevrat a modelului. (u alte cuvinte plec@nd de la un spaiu e+antion definit de mulimeacuplurilor Ci,Vi s se determine structura adevrat a modelului n spaiul cu trei dimensiuni al structurilor

a , b, . /ici intervine :inducia?statistic.

3.9. Indu&4i( %(%i%i&/

;biectul induciei statistice este de a determina o procedur care pornind doar de la observaiile statistice decare dispunem s permit trecerea de la spaiul e+antion la spaiul structurilor. ;dat ce modelul a fost ales se admitec e-ist un triplet a, b, care permite repre"entarea e-act a procesului prin care valorile variabilelor observate aufost determinate. 8n cursul induciei statistice modelul nu se mai modific. !rocedura aleas L a+a cum se va vedea ncontinuare L va consta n obinerea de estimatori pentru parametrii a +i bcare s permit determinarea celor mai bunevalori reale ale acestor parametri. /ceste valori se vor aprecia n #eneral cu autorul unor :intervale de ncredere?construite la un pra# de semnificaie dat. 'e e-emplu n modelul J4K se va #si c aJ&4&$)K +i bJ2&2$K cu oprobabilitate de 5O sa considerat P5O. Be poate estima +i abaterea medie ptratic a variabilei aleatoare i. Beva vedea rolul important ucat de aceast variabil aleatoare n modelul econometric.

3.:. Id'n%ifi&(r'( ,od'*u*ui

(onsiderm din nou modelul Ci=aVi+b+i. B presupunem c procedura utili"at pornind de la informaiadeinut adic de la cuplurile Ci,Vi iP12... nu conduce la o soluie unic ci la dou structuri distincteHs0=a0,b0,0 s =a,b,. 'eorece le#ea de probabilitate pentru preci"ea" +i le#ea de probabilitate pentru Cfiecare structur in@nd cont de valorile e-o#enelor +i de le#ea lui conduce la o le#e de probabilitate pentru C.

!resupunem c structuriles0+isconduc la aceea+i le#e de probabilitate pentru consumul C. Bunt posibile dou ca"uriH s&+i s1 sunt distincte +i nu putem ale#e ntre ele. Be spune c structurile considerate nu sunt:identificabile? +i ca urmare modelul nu este identificabil. 'in aceast cau" nu vomputea determina valorile parametrilor care fi#urea" n model

s&+i s1 nu sunt distincte intersecia lor nu este vid. /cestea vor permite identificarea uneipri a parametrilor modelului cei care aparin interseciei. Be spune c cele doustructuri sunt ec0ivalente dar nu permit o identificare complet a modelului.

!roblema identificrii este important mai ales n ca"ul modelelor cu ecuaii multiple.

3.;. Pr'vi2iun'( v(ri(6i*'i 'ndo-'n'

Interesul unui model a crui structur a fost determinat const n al utili"a pentru previ"ionarea variabilelor

endo#ene L ntro etap viitoare sau ntro circumstan dat dac este vorba despre observaii luate la acela+i momentatunci c@nd cele e-o#ene au fost fi-ate. 'e e-emplu dac dorim s studiem evoluia importurilor Q n funcie deprodusul intern brut R1 +i de nivelul stocurilor R2 modelul econometric esteH

7tPa1-1tSa2-2tSbSt tP12...*unde t este timpul. 'atele istorice pe perioada 1&2&&5 despre Q R 1 +i R2 observaiile fiind anuale

permit determinarea parametrilor modelului. B presupunem c am #sit estimaiile punctualeH

=

=

=

T

&T

14&T

2

1

b

a

a

Modelul :estimat? esteH &14&T 21 ++= ttt xx! . 'ac dorim s facem o previ"iune a importurilor pentru anul2&&$ trebuie s +tim !Iul +i nivelul stocurilor n anul 2&&$. !resupunnd c aceste variabile e-o#ene sunt -1P1&3& +i

-2P12$ vom avea ca previ"iune pentru 7H72&&$P&14.1&3&S&.12$S

sau n #eneral bxaxa!p TTT ++= unde U este perioada de previ"iune


6/63

sau n #eneral bxaxa! p ++= unde U este perioada de previ"iune

;bservaie. /supra valorii previ"ionate trebuie s remarcmH valorile e-o#enelor -1U -2Uau fost alese arbitrar eventual innd cont de evoluia lor trecut specificarea modelului nu poate fi perfect forma funciei alese pentru a e-plica evoluia lui 7 neputnd fi

suficient de precis este posibil ca variabilele e-plicative e-o#ene ale variabilei endo#ene e-plicate s nu mai intervin n

acela+i mod ca n perioada 1&2&&5 cnd sa studiat le#atura dintre ele. ,ste posibil s aib loc un +oc oruptur care s perturbe ec0ilibrul dintre variabilele care e-plic fenomenul la momentul previ"iunii.

,ste evident c toate aceste cau"e pot constitui surse de eroare a previ"iunii. %om vedea care sunt metodele de aminimi"a eroarea de previ"iune.

Aiind dat o mulime finit numim probabilitate pe orice aplicaie p a lui () Lmulimea prilor lui n intervalul J&1]care verific trei condiiiH

p()0 pentru ()* p()=p()= p()+ p() dac,(), = se nume+te ni%ers sau univers de probabiliti. n"estrat cu probabilitatea p se nume+te spaiu

probabili"at. ;rice parte a lui este un eveniment. =n sin#leton mulime ce conine un sin#ur element al lui senume+te eveniment elementar sau eventualitate. este evenimentul cert. este evenimentul imposibil. ) esteevenimentul complementar lui n se nume+te eveniment contrar lui. 'ac= evenimentele +isunt


7/63

p

0(ri(6i*/ (*'(%o(r' >'ac este un univers finit numim :variabil aleatoare? orice aplicaie $- . alui n mulimea numerelor reale. Mulimea valorilor lui $,adic$() se nume+te universul ima#ine. /tenieV o%ariabi/ a/eatoare n este o %ariabi/, ci o ap/ica1ie Be observ c nu este necesar s cunoa+tem o probabilitate pe pentru a defini o variabil aleatoare pe .

L'-'( d' )ro6(6i*i%(%' ( un'i v(ri(6i*' (*'(%o(r'L 'ac universul finit este n"estrat cu o probabilitatepiar$ este o variabil aleatoare definit pe numim le#e de probabilitate a variabilei aleatoare $ aplicaia px-$()0,] care asocia" oricrui x$() probabilitatea evenimentului :mulimea antecedentelor lui x prin $?./ceast mulime$*(x)este notat ($=x)'9e#ea de probabilitate a lui$,notatpxeste definit prinpx- $()0,], xp($=x)'/ studia o variabil aleatoare nseamn ai descoperi le#ea sa de probabilitate.

Fun&4i' d' r')(r%i4i' > 'ac universul finit este n"estrat cu o probabilitate p iar$ este o variabilaleatoare definit pe se asocia" acestei variabile aleatoare funcia 4-.0,] definit prin4(x)=p($


8/63

e-pxf = .x .m YZ&

!entru m=0+i 9 =se obine repartiia normal :normat?8(0,),cu densitatea de probabilitateH

2

e-p2

1

2xxf =

.x

Be arat c parametri m +i 92sunt media sperana matematic respectiv dispersia variana variabilei aleatoare m8$ .

R')(r%i4i( @

"

Bi!)/%r(% &u n-r(d' d' *i6'r%(%'L %ariabila aleatoare R urmea" le#ea de repartiie 0iptratcu n#rade de libertate se mai scrie +i n:$ dac densitatea ei de repartiie esteH

2

e-p

22

1

12

2

xx

nxf

n

n

=

x0 [8n

'ac variabilele aleatoare 1&8$i i=,2,''',n sunt independente atunci variabila aleatoare =

=n

i

i$#1

2

urmea" le#ea de repartiie:(n)'R')(r%i4i( S%ud'n% &u n-r(d' d' *i6'r%(%'SnL %ariabila aleatoare$urmea" le#ea de repartiie Btudent

cu n#rade de libertate dac densitatea ei de repartiie esteH

1

2

1

2

1

2

12

+

+

=

n

n

x

nn

xf .x [8n

'ac variabilele aleatoare 1&8$ n:# sunt independente atunci variabila aleatoare

n


9/63

CAPITOLUL II

REGRESIA SIMPL

Btudiem pentru nceput cel mai simplu model econometricH o variabil endo#en repre"int evoluia

fenomenului considerat +i aceast evoluie este e-plicat printro sin#ur variabil e-o#en.

8n cadrul capitolului este pre"entat metoda de estimare a parametrilor care intervin ntrun modeleconometric se vor e-amina proprietile estimatorilor obinui +i se vor #enerali"a re"ultatele anali"ei pentru modele

mai comple-e. 8ntro prima parte se va trata obinerea estimatorilor parametrilor modelului +i proprietilor lor iar ntr

o a doua parte se d o interpretarea #eometric a metodei utili"ate determinarea intervalelor de ncredere referitoare la

parametri +i previ"iunea care poate fi fcut cu un astfel de model.

".3. Mod'*u* *ini(r (* r'-r'i'i i,)*'

(onsiderm modelulH

1 ttt bax! ++= t=, 2, ''',>

n careH #repre"int o variabil endo#en

$o variabil e-o#en

o variabil aleatoare ale crei caracteristici vor fi preci"ate prin ipote"e.

Be dispune de >observaii asupra lui # +i$ adic >cupluri (xt, !t)care sunt reali"ri ale lui$ +i #. a+i bsunt

parametri reali necunoscui pe care dorim si estimm cu autorul observaiilor (xt, !t)cunoscute.

I)o%'2' fund(,'n%(*'

!entru a putea obine re"ultatele enunate la nceput vom simplifica lucrurile impunnd o serie de ipote"e

restrictive asupra modelului. =lterior n alte capitole se vor rela-a aceste restricii discutnd implicaiile abandonrii

unora din aceste ipote"e asupra calitii estimatorilor.

I3+

xt+i!tsunt mrimi numerice observate fr eroare

$Lvariabila e-plicativ se consider dat autonom n model

#Lvariabila endo#en este o variabil aleatoare prin intermediul lui .

I"+

a)* urmea" o le#e de distribuie independent de timp adic media +i dispersia lui nu depind de tH

( ) >t5 t ...21& ==

( ) 2 =tVar cantitate finit t .

O6'rv(4i'H

Bau folosit aici pentru medie +i dispersie notaiile ( )5 respectiv ( )Var provenind de la :speranamatematic? +i :variana? unei variabile aleatoare. Be presupune c studenii au cuno+tine elementare despre teoria

probabilitilor +i statistic matematic. /ltfel ele trebuie rev"uteV

b)


10/63

c) Independena erorilor se va vedea pe parcurs c variabila aleatoare repre"int :erori? sau :re"iduuri?.

'ou erori relative la dou observaii diferite t +i t?sunt independente ntre ele nsemnnd c au covariana nulH

( ) &cov =tt ceea ce implic ( ) &. =tt5 .

!rin definiie co% = tt [ ] tttt 555 +i innd cont de a)re"ult implicaia.

) Normalitatea erorilor. !resupunem c urmea" o le#e de repartiie normal cu media & +i dispersia 2

ceea ce poate fi scris astfelH ( )2& 8 .I5+

!rimele momente empirice ale variabilei$ pentru >foarte mare sunt finiteH

=

>

t>t

xx> 1

&

1media empiric.

( )=

>

t>t sxx> 1

221

variana empiric.

/ceast ipote" va fi folosit pentru a preci"a proprietile asimptotice ale estimatorilor parametrilor a+i b.

Ipote"ele I1 I2 I3pot prea foarte restrictive. %om vedea ulterior ce consecine are abandonarea unora dintre

ele asupra proprietilor estimatorilor lui a+i b.

".". D'%'r,in(r'( '%i,(%ori*or )(r(,'%ri*or )rin ,'%od( &'*or ,(i ,i&i )/%r(%'

'eterminarea estimatorilor parametrilor a +i b notai cu aT +i bT prin metoda celor mai mici ptrate

M(MM! se face pun@nd condiia ca suma ptratelor erorilor s fie minim adicH

[ ] ( )==

==>

t

tt

>

t

t babax!1

2

1

2 .

!entru ca ( )ba s fie minimal trebuie caH

1. condiii necesareH &=

a

&=

b

.

2. condiii suficienteH &2

2

>

a

&

2

22

2

2

2

>

bab

baa

.

(alculm derivatele pariale ale funciei ( )ba .

( )( ) &21

==

=t

>

t

tt xbax!a

( )( ) &121

==

=

>

t

tt bax!b

&21

2

2

2

=>=

>

t

tx

a


11/63

>b

22

2

=

=

=

=

>

t

txabba 1

22

2

.

/tunci condiiile de ordinul I necesare conduc la sistemul de ecuaiiH

( )

=

=

==

===

&

&

1

11

11

2

1

>bxa!

xbxa!x

>

t

t

>

t

t

>

t

t

>

t

t

>

t

tt

iar condiiile suficiente de ordinul II sunt verificate.

,cuaiile condiii de ordinul I numite ecuaii normale ve"i ustificarea #eometric din partea a IIa le

mprim la > re"ult@ndH

=

= ==

&

&11

1

2

1

bxa!

xbx>

a!x>

>

t

t

>

t

tt.

'in a doua ecuaie avem xa!b =T +i nlocuind n prima ecuaieH

( )( )( )

=

=

=

222221

1

Txx

xx!!

x>x

x!>!x

xx>

x!!x>a

t

tt

t

tt

t

tt

.

/m obinut estimatorii aT +i bT ai parametrilor a+i bdai de relaiileH

( )

( ) ( )( )

=

=

xa!b

xx

xx!!a

t

tt

TT

5T2

2

O6'rv(4i'H

aT este o variabil aleatoare pentru c e funcie de!t iar bT este aleator pentru c e funcie de aT .

".5. Pro)ri'%/4i*' '%i,(%ori*or

%om arta c estimatorii aT +i bT obinui prin metoda celor mai mici ptrate sunt neep/asa1i+i con%ergen1i'

8n demonstraie vom ine cont de ipote"ele I1 I2 I3. !entru a u+ura demonstrarea proprietilor enunate transformm

mai nt@i e-presiile 2 pentru a le e-prima n funcie de parametrii a +i b. %om considera modelul 1

ttt bax! ++= t=, 2, ''',> nsumm dup toi t+i mprim la >.


12/63

++= ttt>

bx>

a!>

111

adic

( ) ++= bxa!2 .

Bcdem membru cu membru pe 2 din 1H

+= ttt xxa!!

+i nlocuim ( )!!t n e-presia lui aT H

( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

+=

+=

=

+=

+=

22

2

2

2T

xx

xxa

xx

xxxxa

xx

xxxxa

xx

xxxxaa

t

tt

t

ttt

t

ttt

t

ttt

deoarece & == xxxx tt .

'in e-presia lui bT

avem cxa!b TT =

adicbxa! TT +=

iar din 2++= bxa!

astfel c prinscdere re"ultH ( ) += bbxaa TT& sau ( )xaabb += TT . /m obinut cH

( )

+=

2T

xx

xxaa

t

tt

( )xaabb += TT .

aT +i bT sunt estimatori nedeplasai pentru a+i b.

=n estimator este nedeplasat dac media estimatorului este c0iar parametrul estimat. %om aplica

operatorul de medie 5 n relaiile #site mai sus. !entru comoditate notm cu @t cantitateaH

( )

=2

xx

xx@

t

tt astfel c += tt@aa T


13/63

(onform ipote"elor fundamentale ( ) 22 =t5 +i ( ) &\ =tt5 pentru \tt re"ult@ndH( ) == 2222T tt @@aVar

dar( ) ( )

=

=

2

2

2

2 1

xxxx

xx@

tt

tt .

8n final dispersia estimatorului aT esteH

( ) ( ) =

2

2

Txx

aVar

t

.

(onform ipote"ei I3 ( ) 221

sxx> >

t +i avem c ( ) &T 2

2

= >>s

aVar

.

/m obinut c aa(

>

T aT este conver#ent n probabilitate ctre a.

'eterminm acum dispersia estimatorului bT H

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )222

22222

TT2

TT2TTT

aa5xaa5x5

xaaaax5xaa5bb5bVar

+=

=+===

,valum pe rnd fiecare termenH

( )

( ) ( ) ( )>>

>Var

>5

>5

>

>5

>55

t

tt

ttt

tt

tttt

2

2

2

2\

\2

2

2

\

\

2

2

22

121

211

===+=

=

+=

=

@@5>

@>

5aa5

2

\

\

2

\

\

2

111

11T

dar ( ) ( ) ( ) &1

21

21

=

=

=

==

xxxxxx

xx@ t

t

>

tt

t>

t

t

adic ( ) &T =aa5 .Aolosind aceste re"ultate pariale se obineH

( ) ( ) ( )( )

+=+=+=2

2222

222

2

TTT

xx

x

>aVarx

>aa5x

>bVar

t

'ispersia estimatorului bT esteH

+=

2

2

2

1T

xx

x

>bVar

t


14/63

(um ns &1

>>+i ( )

&11

22 =

>

t>sxx

re"ult c &T >bVar adic bb(

>

T bT

conver#e n probabilitate ctre b .

".5.3. Cov(ri(n4( '%i,(%ori*or aT i bT

(alculm acum covariana estimatorilor pornind de la definiieH

( ) ( )

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )

( ) ===

===

===

2

22

2

TTT

TTTT

TTTTTTTTcov

xx

xaVarxaa5xaa5

aaxaa5aaxaa5

bbaa5b5ba5a5ba

t

.

Matricea de varian +i covarian a lui aT +i bT notat ( )ba TT este deciH

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

+

=

=

+

=

=

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

TT

1

1

1TTTcov

TTcovT

xx

x

>xx

x

xx

x

xx

xx

x

>xx

x

xx

x

xx

bVarab

baaVar

tt

tt

tt

tt

ba

Be remarc faptul c ( )ba TT conine pe2

adic variana lui t care este necunoscut. Be pune deci

problema de a obine o estimaie pentru ( )ba TT adic o estimaie pentru2

=tVar . Notm aceast estimaie cu

2T .

".5.". D'%'r,in(r'( unui '%i,(%or n'd')*((% )'n%ru v(ri(n4( 'rori*or

=tili"@nd estimatorii aT +i bT putem calcula estimaia variabilei endo#ene!t notat t!T se mai numesc +i

valori austate ale variabilei endo#eneH bxa! tt TTT += ./tunci diferena dintre !t +i t!T este un estimator pentru eroarea t . Notm ttt !! TT = . /vem c

( ) bbxaabxabaxbxa!!!tttttttttt

=++=== TTTTTTTT . R',(r&/H deoarece aT +i bT

conver# n probabilitate ctre a +i b,distribuia lui tT conver#e n probabilitate ctre distribuia lui t distribuie

normal conform I2.

>tim c ( )xaabb = TT +i nlocuind obinemH

( ) ( ) ( ( )( xxaaxaaxaa ttttt =+= TTTT .iar prin ridicare la ptratH

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2222 TT2T xxaaxxaa ttttt += .


15/63

( ) ( )( )( ) ( ) ( )ttttt

8nsumm dup t=,2,''',>+i mprim la >H

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) += 2222 1T1T21T1 xx>

aaxx>

aa>>

ttttt .

'arH ( )

=

2T

xx

xxaa

t

tt +i

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) === 2

T xxaaxxxxxxxxxx ttttttttt

pentru c ( ) = &xxt .8nlocuind re"ultH

( ) ( ) ( ) = 2222 1T1T1 xx>

aa>>

ttt .

Notm cu ( ) = 22 1 t>

dispersia erorilor fa de media lor +i cum ea este o variabil aleatoare i

calculm media ( )25 H

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

===

=

+=

==

=

=

+=

=

5

>5

>

>5

>555

>

>5

>5

>55

tt

ttt

tt

ttttt

tttt

11

21

2111

12

11

2

2

2

\

\2

2

2

2

\

\

2

2

2

2

222

222222

/plic@nd acum operatorul de medie n relaiaH

( ) ( ) ( ) = 2222 1T

1T

1xx

>aa

>> ttt

+i innd cont de e-presia varianei estimatorului aT re"ultH

( ) ( ) ( )

=

==

>>>xx

>aVar5

>5

tt

21

11

1TT

1 22

2222

.

5 a+a c not@nd =

22 T2

1T

t>

am

obinutH ( ) 22T =5 adic 2T este un estimator nedeplasat pentru 2 variana erorilor.,ste de remarcat c modelul ttt bax! ++= presupune estimarea a doi parametri a+i b iar numitorul lui

2T este >*2. (>*2)constituie :nu,/ru* -r(d'*or d' *i6'r%(%'?. %om reveni ulterior asupra acestei probleme.

8n conclu"ie pentru modelul liniar al re#resiei simple avem estimatoriiH

( )( )( )

=

2T

xx

xx!!a

t

tt

xa!b TT =

= 22 T

21T t

>


16/63

,stimatorul 2T permite s dm o estimaie a varianelor +i covarianei parametrilor din model deci o

estimaie a matricei ( )ba TT notat ( )ba TTT H

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

bVarba

baaVarba

TTTcov

TTcovTTTT

undeH

( ) ( ) =

2

2TT

xxaVar

t

( )( )

+=

2

2

2 1TT

xx

x

>bVar

t

( ) ( )aVarxba TTTcov

= .

".5.5. In%'r)r'%(r'( -'o,'%ri&/ ( ,'%od'i &'*or ,(i ,i&i )/%r(%'

/m determinat estimatorii aT +i bT ai parametrilor modelului utili"@nd condiia necesar de e-isten a

minimului sumei ptratelor erorilor 2t . !utem s dm o condiie necesar +i suficient pentru ca 2t s fieminimal cu autorul unei repre"entri #rafice. /ceast condiie va consta n e#alitatea cu "ero a dou produse scalare

care redau ecuaiile normale.

Modelul ttt bax! ++= se scrie sub form matriceal astfelH ++= bAa$#

undeH

=

>!

!!

#

.

.

.2

1

=

>x

x

x

$

.

.

.2

1

=

1

.

.

.11

A

=

>

.

.

.2

1

.

8n spaiul ortonormat > considerm vectorii #$, A+i .

#T

9

/

(=

Q R

;


17/63

%ectorul 0:=a$+bAaparine planului 9 determinat de vectorii $ +i A. Aie 0=# 0=$ 0C=A :=.

(antitatea222 :)t == este minimal dac:este orto#onal pe 9 adic pe $+i A. /ceast condiie se

traduce prin e#alitatea cu "ero a produsului scalar al vectorilor respectiviH

==

&&&&

C:)+:) sau

> = =xa!

xbxa!x

tt

tttt.

/m re#sit deci sistemul de ecuaii normale.

Notm #T proiecia pe planul 9 a vectorului #+i cu T vectorul / orto#onal la planul 9.

/ efectua o re#resie a variabilei #asupra variabilei$n modelul ttt bax! ++= revine deci la a proiecta

vectorul #pe planul 9 din > determinat de$ +iA.

O6'rv(4i'H

(onsiderm modelul tt b! += . ; repre"entare analo# celei dinainte esteH

8n scriere matricial modelul este += bA# iar conform cu repre"entarea #rafic avem relaia;/P;S/.

22 :)t = este minimal dac :: & :este perpendicular pe 0: adic &=A: sau

& >=< AbA# sau = &b>!t == !!>

b t1T +i #A!Ab: === T& . Msura al#ebric a

proieciei vectorului # pe suportul vectorului A este ! . %om utili"a aceast observaie pentru a e-prima ecuaia

varianei.

Ecuaia varianei

&

Q

/

=


18/63


19/63

( )( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

=

=

2

2

22

2

2

T

!!

xxa

xx!!

xx

xx

xx!!

t

t

tt

t

t

tt . /m obinut o e-presie a coeficientului

de corelaie n funcie de estimator iar prin ridicare la ptratH( )

( )

=

2

22

2 T

!!

xxa

t

t .

=n calcul imediat arat cH

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ==++== 222222

TTTTTTTTT xxaxxabxabxa!!!! ttttt .

8n acela+i timp ecuaia varianei conduce laH ( ) ( ) = 222

TTttt !!!! de undeH

( )( )

( )( ) ( )

=

=

=

2

2

2

22

2

2

2 T

1TT

!!!!

!!

!!

!!

t

t

t

tt

t

t .

!e de alt parte utili"@nd fi#ura #eometric +i not@nd cu ^ un#0iul :B) T avemB

B:=cos

( )( )

==

2

2

2

2

2 T

cos!!

!!

B

B:

t

t adic ( )

==2

2

22 T

1cos!!t

t

.

8n mod necesar 1& 2 +i 11 .

(@nd &= nu e-ist o relaie de tip liniar bax! tt += ntre!t+ixt adic a=0. (@nd 12 = !teste le#at dextprintro relaie de forma bax! tt += . 1= implic a0 iar

1= implic a0.

(@nd relaia dintre!t+ixtnu este strict adic bax! tt + atuncieste apropiat de 1 semnul lui

fiind cel al lui a.

".5.:. Di%ri6u4i( d' )ro6(6i*i%(%' ( '%i,(%ori*or

'eoarece erorile t t=,2,''',> au o distribuie normal de medie "ero +i dispersie2

densitatea de

probabilitate a lui testeH

( ) >tf tt ...212

1e-p

2

12

2

=

=

.

(um t+i t?sunt independente pentru \tt densitatea de probabilitate a vectorului aleator , 2, ''', > va

fi e#al cu produsul densitilor de probabilitate relative la fiecare t.


20/63

( ) ( )

=

2

2

212

1e-p

2

1...1

t

>

tf

'ar bax! ttt = +i

( ) ( ) ( )TTT

TTTTTTTT

bbxaa

bbxaabxa!bbxaxabax!bax!

tt

ttttttttt

++=

=++=++=

deoarece

ttttt !!bxa! TTTT == .

,valum suma ptratelor erorilorH

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]2222

2222

222

TTTTTT

TT2TTT2TT2TTT

TTT

++=

++=

=

+++++=

=++==

bbxaabbxaa

xbbaabbxaabbxaa

bbxaabax!

tttt

tttttt

ttttt

( ) &TT2 = tt xaa &TT2 =bbt pentru c a+a cum arat repre"entarea #rafic vectorul T este orto#onal la

planul 9 prin urmare este perpendicular pe orice vector din acel plan deci +i pe$+i A. !rodusele scalare cu ace+ti

vectori vor fi nule adicH &T >=< $ +i &T >=< A .

8ntro scriere matricialH

( ) ( )[ ]

=+

bb

aa

>x>

x>x

bb

aabbxaa tt T

T

T

TTT

2\2

lasm studenilor plcerea de a verifica V.

8nlocuind n 1 fiecare tprin e-presiile calculate mai sus deducem densitatea de probabilitate a vectorului aleator

!,!2,''',!>H

( ) ( )

=

=

=

bb

aa

>x>

x>x

bb

aa

bax!!!!

tt

>

tt

>

t

T

T1

T

T

2

1e-p

T

2

1e-p

2

1

2

1e-p

2

1...

2

2

\

2

2

2

2

21

_in@nd cont de matricea de varian +i covarian a estimatorilor ( )ba TT se arat u+or cH

( )1

TT

2

2

1 =

bat

>x>

x>x

+i ( ) ( ) ( )baDg!!! t

>

t TTT2

1... 21

= unde ( )

tgT este densitatea de

probabilitate a lui tT iar baD TT cea a lui ba TT .

(u aceste re"ultate +i fcnd apel la unele teoreme importante ale statisticii matematice putem deduce

urmtoarele distribuii de probabilitateH

1. 'eoarece = 22 T

2

1T

t>

adic ( ) 22 T2T = >t variabila aleatoare definit de raportul

( ) = 2

22

2

T1T2 t>

urmea" o repartiie 20iptrat cu (>*2)#rade de libertate. %ectorul


21/63

T admite >*2 componente independente nenule distribuite dup >*2le#i normale independente

cu media "ero +i abatere standard

2. Aolosind relaile de calcul stabilite anterior re"ult c2

T

2

T

2

2 TT

a

a

=

am utili"at aici notaiile T2T aVara = +i TTT2T araVa = pentru variana estimatorului aT respectiv pentru

estimaia acesteia. /tunci variabila aleatoare definit de raportul ( )2T

2T

T2

a

a>

urmea" tot o repartiie 2cu (>*

2)#rade de libertate.

3. (uplul ba TT urmea" o repartiie normal bidimensional astfel c variabilele aleatoare

definite mai os au repartiiile urmtoareH ( )1&T

T

8aa

a

( )2T

T

T

>

a

*2 #rade de libertate

( )1&T

T

8bb

b

( )2T

T

T

>

b

*2)#rade de libertate. =n calcul simplu conduce la intervalul

de ncredere pentru parametrul a de formaH

aa taata TT TTTT +

ceea ce permite afirmaia c adevrata valoare a parametrului real a se #se+te n intervalul de valori

[ ]aa

tata TT TTNTT + cu probabilitatea 1^.

(@nd se dore+te testarea unei valori a0a parametrului a este suficient pentru a accepta aceast valoare cu

riscul s ne asi#urm cH


22/63

taa

a

T

&

T

T.

/ltfel spus este suficient ca a0s aparin intervalului de ncredere stabilitH [ ]aa tataa TT& TTTT + .

'e asemenea ( ){ } = 122 >44obr .

( )22 = >44 este ecuaia unei elipse cu centrul n ba@ TT care define+te astfel o :re#iune? de ncrederepentru cuplul ( )ba la nivelul de semnificaie H

!roieciile acestei elipse pe a-e determin de asemenea dou intervale de ncredere pentru a+i b centrate n

aT +i bT . 'ar este important de remarcat c nivelul de semnificaie referitor la aceste intervale nu mai este nivelul

asociat elipsei.

'ac se dore+te testarea simultan a dou valori a0 b0alese apriori este suficient s nlocuim a+i bn e-presia

4prin a0+i b0.

'ac ( ) ( )22 && >4ba4 se accept valorile altfel ele vor fi respinse. /ltfel spus pentru a accepta

cuplul (a0 b0)la nivelul de semnificaie este suficient ca punctul 60(a0,b0)s aparin elipsei de ncredere asociat

cuplului (a b).

O6'rv(4iiH

1. ,-presia ( )>!!! ... 21 se descompune n doi factori g+i D. gse e-prim doar n funcie de tT

adic n funcie de!t aT bT Dnu conine dec@t pe aT bT a +i b. /ceasta arat c odat cunoscut o

reali"are a cuplului ba TT le#ea de probabilitate condiionat a lui !tdat de factorulg nu depinde dec@t de

valorile adevrate dar necunoscute ale parametrilor a +i b. Be "ice c ( )ba TT sunt estimatori :exhaustivi?pentru a+i b adic ei re"um toat informaia pe care e+antionul o poate aduce despre a+i b.

2. (@nd ipote"a de normalitate asupra erorilor t este reali"at funcia de verosimilitate relativ la e+antionul

( )>!!! ... 21 este c0iar funcia ( )>!!! ... 21 . !entru obinerea de estimatori ai lui a +i bprin

?

?

@


23/63

metoda verosimilitii ma-ime este suficient s ma-imi"m e-presia ( )>!!! ... 21 adic s

minimi"m ( ) 2bax! tt . ,stimatorii ( )ba TT obinui cu metoda celor mai mici ptrate coincid decicu cei obinui prin metoda verosimilitii ma-ime.

3. /tunci c@nd ipote"a de normalitate a erorilor nu se reali"ea" se va arta c estimatorii aT +i bT obinui prin

metoda celor mai mici ptrate au variana minim printre toi estimatorii liniari centrai n a+i bse va da o

demonstraie pe ca"ul #eneral.

".:. Pr'vi2iun'( &u ,od'*u* *ini(r

Aie x reali"area variabilei e-o#ene la momentul . %aloarea previ"ionat pentru endo#ena #va fiH

bxa!( TT +=

iar reali"area efectiv a lui #esteH

++= bax! .

,roarea de previ"iune se poate e-prima prin variabila aleatoare !!e

= .

( ) += bbxaa!! TT .

Be remarc imediat c ( ) &=e5 iar variana erorii de previ"iune esteH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]bb5aa5xbbaa5x

5bb5aa5x!!5eVar

+

+++==T2T2TT2

TT 22222

=ltimii doi termeni sunt nuli sa demonstrat anteriorV +i aT ca +i +i bT sunt necorelai.

'eciH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )baxVarbVaraVarxeVar ( TTcov2TT2 +++= .Notm variana erorii de previ"iune cu ( )eVar=

2

+i folosind relaiile de calcul anterioare re"ultH

( ) ( ) ( )( )( )

++=

=

+

++

=

2

2

2

2

22

2

22

2

222

11

21

xx

xx

>

xx

xx

xx

x>

>xxx

t

ttt

2

este necunoscut dar estimat prin2T +i variana estimat a erorii de previ"iune esteH

( )( )

++=

2

2

22 11TT

xx

xx

>t

/ceast varian poate fi redus pe de o parte prin cre+terea numrului de observaii > iar pe de alt parte

prin ale#erea lui x astfel nc@t ( )2

xx s nu fie prea mare adic fc@nd o previ"iune pe termen scurt.

'eoarece erorile sunt normal distribuite ( )2& 8t atunci +i ( ) 8aa T +i 8bb T urmea"le#i normale.


24/63

( )1&8!!

.

T

!!

urmea" o le#e Btudent cu >*2#rade de libertate pentru c ( ) ( )2

2

2

2 T2

T2

= >> .

8n planul (x,!)trasm dreapta de austare bxa! TT += . Aie ( )!x punctul situat pe dreapta de austare.

!utem construi av@ndca centru +i paralel cu a-a 0!un interval de ncredere662la nivelul de semnificaie .

=

dat T ca funcie de ( )2

xx este minim pentru

xx = . !unctele6+i 62sunt deci situate c@nd varia" pe dou arce de curb ve"i fi#ura care determin astfel

re#iunea creia i aparine ! pentru x dat cu o probabilitate e#al cu (*).

O6'rv(4ii

1. :; variabil aleatoare teste distribuit dup o le#e Btudent cu >*2#rade de libertate dac e-presia2

2

>t

este raportul dintre o variabil aleatoare distribuit 2 cu 1 #rad de libertate +i o alta distribuit 2 cu (>*2)#rade de

libertate?. Aiea

aat

TT

T

= . /tunciH

( )

( )

( )

( ) /ibertate7egra7e2)*(>c,/ibertate7egra7,nc,

>

aa

>

aa

>

t2

a

a

a

a

2

2

T

2

T

2

T

2

2

T

22

T2

T

T2

T

2=

==

.

6

62

x

!bxa! TTT +=


25/63

2. :; variabil aleatoare 4este distribuit dup o le#e Ais0erBnedecor cu n +i n2#rade de libertate dac

e-presia2

1

n

4neste raportul dintre o variabil aleatoare distribuit 2 cu n#rade de libertate +i o alta distribuit

2 cu n2#rade de libertate?.

Aie ( )

= bb

aa

bb

aa4

ba T

TT\

T

T

2

1 1TT

.

/tunciH

( )

( ) /ibertate7egra7e2)*(>c,/ibertate7egra7e7o,ac,

>

bb

aa

>x>

x>x

bb

aa

>

bb

aa

>x>

x>x

bb

aa

>

4

2

t

t

2

2

2

2

2

2

2

T2

T

T

T

T

T2

T

T

T

T

2

2

=

=

=

=

pentru c ba TT urmea" o le#e normal bidimensional.

3. Dacobianul transformrii permite e-primarea densitii de probailitate a vectorului aleator

( )>!!! ... 21 pornind de la cea a lui ( )> ... 21 . (@nd ( )>f ... 21 este cunoscut pentru a

obine ( )>!!! ... 21 procedm astfelH 8nlocuim t prin e-presia ei n funcie de t!

8nmulim e-presia obinut cu valoarea absolut a determinantuluiH

( )( )

1

1...&&

............

&...1&

&...&1

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

==

==

>

>>>

>

>

!!!

!!!

!!!

!E

EF

( ) ( ) ( ) ( )( )F!!!f!!! >>> ....... 221121 =

4. /m v"ut c ( ) = tt@aa T t +i ( )aa T fiind distribuite normal. ( )aa T este o combinaie

liniar de t . 'eciH

( )( )1&

T

T

8aa

a

( )2

T

2

T

a

aa este distribuit 2cu 1 #rad de libertate pentru c este ptratul unei variabile aleatoare8(0,)'


26/63

(( )1&

T

T

8bb

b

( )( )1

2

2T

2T

b

bb

'eoarece ( ) ( ) ( ) = 2222 TT xxaa ttt prin mprirea la 2 obinemH

( ) ( ) ( )

= 2

2

2

2

2

2

2TT

xxaa

t

tt

( )2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2TT

===

>>

tt >

( )

( ) ( )

( ) ( )2

1

22

2

2

T

TT

=

aVaraa

xx

aat


27/63

t -t 7t -t7t

1 15 4) $2& I1333 )341$$ I14533 21121) 225 23&4 5&)544 I11$) 133 I2)544 )

2 ) 43 344 I1133 2&2)4 I1533 3)1551 4 1)4 41&34 I2&2) 4255 1&5 1

3 3 $$ 2$$2 11) 14&)1) 144 2&2)4 12 52 $$$&$3 151$4 23&251 I&$&$3 &

4 41 ) 34 1) 2)44)4 24 $&&4)4 1)1 $21 )41&&) 215$5 451 4)1 24

5 1 5& )&& I)1333 1511 I12533 15$&)4 25 25&& 521331 I1&4&&2 1&)14 I21331 4

) 4& 32& I1133 2&2)4 I22533 5&$$51 4 1&& 41&34 I2&2) 4255 I1&34 3

$ 21 5 11$ I31333 )1$$ I5333 42)44 441 313 5)52$ I4&& 1&53 I252$

) 21 2 13&2 I31333 )1$$ I&5333 &2)44 441 3)44 5)52$ I4&& 1&53 34$32 12

53 1&& 53&& 2)) )332)4 3$4 14&3$5 2)& 1&&&& 4454 312 1325 &5545 &

1& 1& 4$ 4$& I14133 1$51 I15533 2412)4 1&& 22& 444& I1)&$24 3213 253

11 32 $1 22$2 $) 1))44 )4 $1)44 1&24 5&41 $2525 1&&51 1&11)$ I1525

12 1$ 5) ) I$1333 5&))44 I45333 2&5511 2) 334 53411) I1214 )32&1 45))1 21

13 5 1&2 51 33) 1145 34 155$2 334 1&4&4 1&5)3) 433&5 1)$53) I3)3) 14

14 35 21& I1)133 32))1) I2$533 $5)&)4 3 1225 334 I231)$3 53$4 I434 1)

15 2& & 12&& I41333 1$&)44 I25333 41$$ 4&& 3&& 5$24) I52)53 2$34$ 2$51 $

5;" F5$ "


28/63

!e ba"a elementelor din tabelul de calcul se determinH

=

===>

t

tx>

x1

133243215

11 =

===>

t

t!>

!1

53323)15

11

( )( )

( ) 2)11332415124&533213324152$43$.

T 2222 =

=

=

=

x>x

!x>!x

xx

xx!!

a t

tt

t

tt

$31133242)15332TT === xa!b

coeficientul de corelaie liniarH

( )( )( ) ( )

)4&$333$53$33.2

533213324152$43$

22=

=

=

xx!!

xx!!

tt

tt

%aloarea apropiat de 1 a coeficientului de corelaie arat c ntre cele dou variabile studiate e-ist o

corelaie liniar.

;bservaieH /m v"ut cH( )

( )

=

=

=

2

2

2

2

2

22

2

TT

TTT

!!

!!

!!

xaxa

!!

xxa

t

t

t

t

t

t

!tratul coeficientului de corelaie liniar este raportul dintre variabilitatea e-plicat prin model +i

variabilitatea total.

ecuaia de anali" a varianeiH

%ariabi/itatea tota/ = %ariabi/itatea exp/icat + %ariabi/itatea reGia/

( ) ( ) += 222 TT ttt !!!!

2$33 P 13$$1 S 132&148n spaiul observaiilor #este cu at@t mai bine e-plicat prin modelul liniar cu c@t este mai aproape se

planul 9 #enerat de vectorii$ +i Avectorul unitar deci cu c@t variabilitatea re"idual este mai mic fa

de variabilitatea empiric total. /ceasta face ca raportul dintre variabilitatea e-plicat prin model +i

variabilitatea total adic 2 s fie apropiat de 1.

estimaiile varianelor re"iduurilor +i ale estimatorilorH

151&215

&144132T

2

1T 22 =

=

= t

>

( ) ( ) N&&2$&$333$53151&T

T 2

2

===

xxaVar t

&52&&&2$&T T ==a

( )( )

252$333$53

13324

15

1151&

1TT

2

2

2

2 =

+=

+=

xx

x

>bVar

t

51252T T ==b

calculul intervalelor de ncredere pentru estimatoriH

2)


29/63

%ariabilele aleatoare( )

a

aa

TT

T

+i

b

bb

TT

T

urmea" fiecare o repartiie Btudent cu (>*2)#rade de libertate.

/le#@nd un nivel de semnificaie ^P&&5 putem e-tra#e din tabelele repartiiei astfel de tabele se #sesc n

maoritatea crilor de econometrie sau de statistic matematic valoarea t tab corespun"toare numrului de

#rade de libertate +i nivelului de semnificaie ales. 8n ca"ul nostru pentru *2P13 #rade de libertate +i^P5O #sim ttabP21. Intervalele de ncredere vor fiH

[ ]=+ aa tataa TT TTNTT J12)21&&52 12)S21&&52KP

P J11$ 13K

=+bb

tbtbb TT TTNTT J31$ L2115 31$S2115KP

PJ2)43 341K

!rin urmare putem afirma c valorile parametrilor reali a +i b se #sesc n aceste intervale cu o

probabilitate de 5O.

Btabilim acum un interval de ncredere pentru estimatorul varianei erorilor. /m v"ut c variabila

aleatoare ( )

= 222

2

T1T

2 t>

urmea" o le#e de repartiie 0iptrat cu *2 #rade de libertate. 8n

tabelele le#ii 0iptrat vom #si pentru un nivel de semnificaie ^ dat dou valoriH %av@nd probabilitatea

1^X2 de a fi dep+it respectiv %2av@nd probabilitatea ^X2 de a fi dep+it astfel c

=

1

T2!r 22

2

1 %>%ob

Be obine astfel intervalul de ncredereH

1

2

2

2

2T2

NT2

%

>

%

>

pentru ^P&&5 +i 13 #rade de libertate e-tra#em din tabel %P5&1 +i %2P24$ re"ult@nd intervalulH

=

&15

151&215N

$24

151&2152 J534 234K

testm dac parametrii a +i b ai modelului sunt semnificativ diferii de "ero la pra#ul de semnificaie

^P&&5.

%ariabilele aleatoarea

a

TTT

+i

b

b

TT

T

urmea" le#i de probabilitate Btudent cu *2 #rade de libertate. /ceste

rapoarte se numesc +i :raportul t? Btudent empiric tcalculat. Be accept ipote"a &H aP& dac tcalculat luat n

modul este mai mic dec@t ttabelat altfel se accept ipote"a contrar 1Ha &. /cest lucru se poate scrieH

tab

a

ta

tim cH

!!e (

p = este o variabil aleatoare distribuit normal cu media "ero +i variana estimat a erorii de

previ"iuneH

( )( )

312$333$53

133244)

15

11151&

11TT

2

2

2

22 =

++=

++=

xx

xx

>t

5143312TT 2 ===

'eoarece variabila aleatoare

T

!!

este distribuit Btudent cu *2 #rade de libertate putem

determina un interval de ncredere pentru valoarea previ"ionatH

[ ] [ 1&&N5)551)4&312113N514312113TNT22

=+=

+ t!t!!

pp

(u o probabilitate de 5O valoarea adevrat a c0eltuielilor de ntreinere +i reparaii pentru un utila de 4)

de luni se va afla n intervalul determinat.

3&


31/63

CAPITOLUL III

REGRESIA MULTIPL

'e multe ori studiul unui fenomen economic necesit introducerea mai multor variabile

e-plicative. ; variabil endo#en se e-prim deci n funcie de mai multe variabile e-o#ene. Metodele dere#resie utili"ate sunt n acest ca" #enerali"ri ale celor din capitolul anterior.

5.3. Mod'*u* *ini(r (* r'-r'i'i ,u*%i)*'

(onsiderm acum modelulH

1 tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>

n careH #repre"int o variabil endo#en

$, $2,''', $p sunt variabile e-o#ene

a, a2,''', apsunt parametri necunoscui care trebuie estimai.

Modelul nu conine o constant deoarece variabila $p poate fi considerat astfel ca xptP1

>t ...21= se nume+te variabil au-iliar.

Aolosind notaiileH

=

>!

!

!

#

.

.

.2

1

=

p>>>

p

p

xxx

xxx

xxx

$

...

............

...

...

21

22212

12111

=

pa

a

a

a...

2

1

=

>

.

.

.2

1

ecuaia 1 se scrie sub form matricealH

2 +=$a# .

I)o%'2' fund(,'n%(*'

Ipote"ele I1 I2din capitolul II rm@n valabileH ceea ce era adevrat pentru xteste acum valabil

pentruxit iP12...p.

Ipote"a I3referitoare la variabilele e-o#ene se modific astfelH

a. absena coliniaritii variabilelor e-o#eneH

Nu e-ist nici o mulime de p numere reale i iP12...p astfel nc@t

&1

==

p

i

itix t=, 2, ''',>.

31


32/63

Matricea$de format (>xp)are n acest ca" ran#ulp (>p) +i matricea ($?$) unde

$?este transpusa lui$ este nesin#ular deci e-ist inversa ei ($?$)*.

b. /tunci c@nd > matricea ( )$$>

\1

tinde ctre o matrice finit nesin#ular.

5.". D'%'r,in(r'( '%i,(%ori*or )(r(,'%ri*or

!entru a scrie ecuaiile normale utili"m interpretarea #eometric dat n capitolul II. Ne

propunem s minimi"m e-presia =

=>

t

tA1

2 .

Aie vectorii #$$2...$pn spaiul ortonormat > .

%ectorul ( )

=

p

p

a

a

a

$$$$a...

... 2

1

21 aparine subspaiului (H) #enerat de vectorii $

$2...$p. (antitatea22 == tA va fi minim atunci c@nd vectorul $a#= este orto#onal la

subspaiul (H). /ceast condiie se traduce prin e#alitatea cu "ero a produselor scalare dintre vectorul

$a# +i orice vector din subspaWul 9deci +i R1R2...RpH

#T

9

/

Rp

R1

TQ

R2

;

32


33/63

>===). ,stimatorul aJeste nedeplasat dacH

( ) ( ) ( ) a$a65#65a5 =+== [adic ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a6$65a56$a5 =+= [ pentru c ( ) &=5 .!entru ca aJs fie nedeplasat trebuie ca (6$)=Imatricea unitate de ordinulp.

(onstruim acum matricea de varian +i covarian a lui aJH

( ) ( )[ ]\[[[

aaaa5a

=

'ar ( ) ( ) 6a6a6$$a66#a +=+=+==[ deci 6aa =[

( ) \\\[ 6aa = +i ( ) ( ) \\\\\ 2[

66665665a

=== . !entru ca aJ s fie de varian minim

trebuie ca :urma? matricei (66?) s fie minim sub restricia (6$)=I. =rma unei matrici este prin

definiie suma elementelor de pe dia#onala principal. Notm Ar($)urma matricei$. Areste un operator

liniar demonstraiV.


35/63

%ariana re"iduurilor 2 fiind necunoscut avem nevoie de un estimator al ei. 'ac p este

numrul de coeficieni de estimat n model se va arta cH

= 22 T

1T

tp>

/vem cH +=$a# a$# TT =

a$$a## TTT +==

( )aa$ = TT .

'arH ( ) \\T 1$$$aa = +i ( ) \\T 1$$$$ =

( ) \\T 1$$$$I = .

NotmH ( ) \\ 1$$$$I = .

este o matrice de format (>->)cu proprietile Psimetric +i 2Pidempotent de #rad

2. /m obinut =T . ,valum acum 2Tt care sub form matriceal esteH

+====i "i

"ii"iiit 22 \\\T\TT unde i"este elementul matricii situat la

intersecia liniei icu coloana".

/tunci re"ult cH

( ) ( ) ( )

+=i "i

"ii"iiit 555 22T .

8ns &="i5 conform I2+i ( ( ( )=== Ar55 iii

iiiit

2222T .

/rtm c ( ) p>Ar = .

( ) ( )( ) ( ) ( )( )\\\\ 11 $$$$ArIAr$$$$IArAr ==( ) >IAr =

( )( ) ( )( ) p$$$$Ar$$$$Ar == 11 \\\\permutarea ntre ( ) 1\ $$$ +i \$ este posibil datorit formatului acestor matrici +i proprietiloroperatorului Ar.

8n final re"ultH

( ( ) 22T p>5 t = ( )

=

= 222 T1T1 ttp>

55p>

astfel c

= 22 T

1T

tp>

este estimator nedeplasat al lui2

.

35


36/63

* este numrul de observaii p este numrul de parametri de estimat +i relaia #sit o

#enerali"ea" pe cea din capitolul II.

5.:. T'%' i r'-iuni d' 7n&r'd'r'

Ipote"a de normalitate a erorilor t fiind ndeplinit se pot #enerali"a re"ultatele obinute la

re#resia simpl. 'eoarece ( ) \\T 1$$$aa += re"ult c aT este distribuit dup o le#e normal n

pdimensiuni cu media ( ) &T =a5 +i dispersia ( ) 12T \ = $$a . !entru un estimator iaT dat avemcH

[ia

ii aa

T

T

urmea" o le#e normal redus8(0,)

[[ ( ) 22

2

2 TT

= tp> este distribuit 20iptrat cu (>*p)#rade de libertate.

[[[ia

ii aa

TT

T

urmea" o le#e Btudent cu (>*p)#rade de libertate.

9e#ea Btudent este utili"at n mod curent pentru a aprecia validitatea estimatorului unui

coeficient ai. 'e e-emplu dac se testea" ipote"a (:0-ai=0)contra ipote"ei (:-ai 0) pentru a accepta

:trebuie ca2

TT

T

t

a

i

a

i unde2

t este valoarea tabelat a variabilei treparti"at Btudent cu >*p#rade

de libertate iar este pra#ul de semnificaie.

O6'rv(4i'H

!entru >30+i P&&5 22

t . 'eci dac 2T

T

T

ia

ia

se accept: adic ipote"a c variabila

$iare un coeficient aisemnificativ diferit de "ero.

Mai #eneral c@nd se pune problema de a +ti dac un coeficient ai este diferit de o valoare

particular &ia se calculea" raportulia

ii aatT

&

T

T

= +i se compar cu

2t .

'ac tcalculatZttabelatconcludem c&

ii aa .

(onsiderm acum toi estimatorii paa T...T1 H

3


37/63

[ variabila aleatoare ( ) ( )aaaa a T\T

1

T este distribuit 2cup#rade de libertate

[[ variabila aleatoare ( ) ( )aaaap

4 a = TTT

1 1T urmea" o le#e Ais0erBnedecor cup+i (>*

p)#rade de libertate.

9a fel ca la re#resia liniar simpl re"ultatele anterioare permit construirea de intervale dencredere relative la coeficienii ai ca +i a unui elipsoid de ncredere relativ la ansamblul coeficienilor n

spaiul p . !entru ai intervalul de ncredere la pra#ul de seminificaieesteH

2T

2 T

T

t

aat

ia

ii

2T

2T

TTT taat ii aiia

iar pentru ansamblul coeficienilor ecuaia elipsoidului de

ncredere esteH 4=4(,p,>*p)'

/celea+i principii conduc la determinarea de re#iuni de ncredere relative la un numr oarecare de

coeficieni din model. 'ac K este numrul coeficienilor reinui n spaiul K avem ecuaia

4=4(,K,>*p) undeH

( ) ( )KKaKK aaaaK4K

=

TT

\T

1 1T1 .

cu KaT e-tras din vectorul aT +i KaTT e-tras din aTT H

'ac dorim s testm la pra#ul de semnificaie ipote"a (:0-aK=&

Ka )contra ipote"ei (:-aK

&

Ka ) atunci dacH

( ) ( ) ( )p>K4aaaaK

KKaKK K TT\T

1 &1T

&

se accept ipote"a:0 ( )p>K4 se e-tra#e din tabelele distribuiei Ais0erBnedecor.

O6'rv(4i'H

2T

2T

TTTT

taataii aiiai

+

2TT

T

t

aa

ia

ii

3$


38/63

Be observ c valoarea tabelat4depinde de ( )p>K +i nu de ( )K>K . vectorul ( )aa> T urmea" odistribuie normal cu media e#al cu "ero.

5.


39/63

>i n acest ca" ecuaia varianei se scrieH

reGi7,a/0

ateaVariabi/it

a",state%a/ori/or

ateaVariabi/it

tota/L

ateaVariabi/it+=

( ) ( ) += 222

TTttt

!!!!

(oeficientul de corelaie multipl.are definiiaH

( )( ) ( )

=

=

2

2

2

2

2 T

1T

!!!!

!!.

t

t

t

t .

'in repre"entarea #eometric fcut re"ult c TT +=##

dar +tim c TT += a$# +i a$# T= re"ult@nd cH ( ) TT += a$$## ceea ce arat c vectorul

re"idual T este acela+i +i pentru valorile (#,$)+i pentru valorile centrate fa de medie ( )$$##

. (u alte cuvinte dac efectum re#resia pe ecuaia #eneral cu variabilele necentrate sau o efectum cu

variabilele centrate pe media lor estimatorul aT +i vectorul re"idual T sunt aceea+i.

O6'rv(4i'H

(@nd se centrea" valorile$+i #,vectorul aT nu conine ultimul estimator paT . (onstanta pa

dispare c@nd se centrea" variabilele. (onsiderarea modelului fr constante cu variabilele necentrate pe

media lor poate conduce la valori ale lui 2. care ies din intervalul (0,).

,-presia matricial a coeficientului de corelaie multipl esteH

( ) ( )( ) ( )####

####.

=

\

T\T2 dar ( ) ( )a$$## TT = .

( ) ( )[ ] ( ) ( )##$$$$$$a = \\T 1 +i coeficientul devineH

( (( ) ( )####

##$$a.

=\

\\T2.

(oeficientul 2. arat rolul ucat de toate variabilele e-o#ene asupra evoluiei variabilei

endo#ene. ,l este cu at@t mai bun cu c@t e mai apropiat de 1.

'ar udecarea calitii unui model doar prin valoarea lui 2. poate duce la erori #rosiere. ,l

masc0ea" uneori influena variabilelor e-o#ene luate separat asupra variabilei endo#ene +i nu poate s se

substituie studiului estimatorilor coeficienilor modelului. !tratul coeficientului de corelaie multipl nuine cont nici de numrul de observaii > +i nici de numrul variabilelor e-plicative p. ;ri se poate

foarte bine ca av@nd acelea+i observaii asupra variabilei endo#ene s considerm dou modele distincte n

al doilea fc@nd s apar un numr de variabile e-plicative noi. 8n aceast a doua re#resie coeficientul de

corelaie multipl nu poate dec@t s creasc pentru c variabilitatea e-plicat prin re#resie cre+te.

; definire mai precis a lui 2. care ine cont de > +ipesteH

3


40/63

( )22

11

1 .p>

>.

= .

2

. se nume+te &o'fi&i'n% d' &or'*(4i' ,u*%i)*/ &or'&%(%.

1. dacp= atunci 22 .. =

2. dacp atunci 22 .. <

3. 2. poate scdea prin introducerea n model a unei noi variabile e-o#ene

4. 2. poate lua +i valori ne#ative dac1

12

p. .

An(*i2( v(ri(n4'i

/tunci c@nd studiem rolul ucat de e-o#ene asupra evoluiei endo#enei ne putem ntreba care este

partea de variabilitate e-plicat de una sau mai multe variabile e-o#ene.


41/63

>tim c222

&& :):) += adic T\TT\T\ += #### .


42/63

=

=

=

=

>>>> x

x

x

$

x

x

x

$

!

!

!

#

...5

...5

...5

...

2

1

2

22

21

2

1

21

11

1

2

1

adicH +=$a# undeH

=

=

3

2

1

21

2111

1

.........

1

a

a

a

a

xx

xx

$

>>

t !t xt x2t1 1&& 1&& 1&&2 1& 1&4 3 1&$ 1& 11&

4 12& 111 125 111 111 113 11 115 1&3$ 123 12& 1&2) 133 124 1&3 13$ 12 )

B observm c numrul de observaii *P este mic din raiuni de simplificare a calculelor.

%om estima modelul presupunnd c sunt ndeplinite ipote"ele principale ale modelului liniar

#eneral de re#resieH

ipote"e stoc0asticeH .& 2

I55 == 0omoscedasticitate adicH &. =st5

dac st +i 22

=t5 t' ipote"e structuraleH dac numrul de variabile e-o#ene veritabile este k atunci p=k+ este

numrul parametrilor de estimat. *rebuie ca ran#ul matricii $s fie e#al cupp> iar matricea

( )$$ unde $ este transpusa lui$ este nesin#ular deci inversabil.8n e-emplul nostru avem kP2 +ipP3.

/tunci ( ) #$$$a = 1T este un estimator liniar nedeplasat +i cu variana minimal estimator 9=,.!entru a simplifica procedura de calcul vom centra variabilele modelului. (u notaiileH

==== 222111 $$A$$A##=

undeH ====t

t

t t

tt

t

t>

x>

$x>

$!>

# 1

1

1

1

2211

modelul se scrieH

++= 2211 AaAa= sau +=Ab= unde

42


43/63

=

=

=

=

>>>

>

a

ab

$x$x

$x$x

A

!!

!!

!!

= ............

1

2

1

2211

221111

2

1

'eoarece ======t

t

t

t x>

$!>

# 1131&1$

1111$1&53

1111

1&54

1122 ===

t

tx>

$ valorile centrate ale variabilelor suntH

t ##= = 111 $$A = 222 $$A =1 1$ 13 2 11 $3 1& $ S44 S3 2 S2&5 2 S$

1 S2 3$ S S$ 4) S1 S11 3 S2& S13 )

!entru a calcula estimatorul ( ) =AAAa

ab =

= 1

2

1

T

TT avem nevoie de matricileH

=

=

=

4)112

1125&......

...

...2

221

21

2

1

21

2111

221

111

ttt

ttt

>>

>

>

,,,

,,,

,,

,,

,,

,,AA

=

=

=

$2

)$2...

...

...

2

1

1

221

111

tt

tt

>

>

>

G,

G,

G

G

,,

,,=A

( )

=

=

4&)5

5&

4&)5

1124&)5

112

4&)5

4)

4)112

1125&1

1AA

( )

=

==

=

1244&

321

$2

)$2

4&)5

5&

4&)5

1124&)5112

4&)54)

T

TT 1

2

1=AAA

a

ab

!entru a determina estimatorul celui de al treilea parametru a3 utili"m relaiaH 32211 TTT a$a$a# ++=

de undeH

43


44/63

1415&1&.1244&113.32111$TTT 22113 === $a$a#a

Modelul estimat esteH 1415&1244&321TT 21 +== $$a$# iar re"iduurile suntH

1415&21244&1321TTT +=== $$#a$### .

(utm acum un estimator nedeplasat pentru variana re"iduurilor. /m v"ut c acest estimator este dat de

relaiaH = 22 T

1T

tp>

. 'ar

( ) bA===###### TTTTTT ==== iar

( ) ( ) =Ab==bA=bA=t =

== TTTTTT2

. /vem cH

=$2

)$2=A

== 124)2tG== +i ( ) 5$&411$$2

)$21244&321T =

= =Ab

== 42)5$&411$124)2

t

4&4113

42)T

1T 22 =

=

= t

p>

Matricea de varian +i covarian a vectorului bT esteH ( ) 12

T

= AAb

iar o estimaie a ei se obine

nlocuind pe 2 cu2T . /vem cH

( )

=

== &1)1&&&31&

&&31&&1)&&

4&)5

5&

4&)5

1124&)5

112

4&)5

4)

4&411TT12

T AAb

(oeficientul de corelaie multipl *=M 2

1

1tG

>

44


45/63

2.%ariabilele e-o#ene centrate = 5$&411$T 2tG k=2 2T1 tGk

3.


46/63

CAPITOLUL I0

STUDIUL MODELULUI LINIAR CND IPOTEELE CLASICE ASUPRA ERORILOR

NU MAI SUNT REALIATE

9.3. I)o%'2( d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*orBa studiat anterior modelul liniar de re#resie sub ipote"a c erorile sunt independente. 8n ca"ul n

care erorile tsunt corelate matricea de varian +i covarian a erorilor nu se mai reduce la I2

iar

estimatorii parametrilor modelului #eneral #=$a+ cu5(t)=0t=,2,''',>+i ( ) I5 2\ = nu mai

posed acelea+i proprieti ca n ca"ul erorilor independente.

Aie aT vectorul estimatorilor parametrilor a. ,stimatorul aT trebuie s fie liniar n raport cu

variabilele endo#ene # adic 6#a=T unde 6 este o matrice de coeficieni. ,stimatorul aT este

nedeplasat deoareceH

( ) ( ) [ ] ( ) 6$a656$a66$a56#5a5 =+=+== T

pentru c ( ) &=5 .!entru ca ( ) aa5 =T trebuie s impunem condiia6$=I re"ult@nd cH

6a66$a6#a +=+==T

Matricea de varian +i covarian a estimatorilor innd cont c 6aa =T esteH

[ ] [ ] [ ] 66665665665aaaa5a ===== TTT!unnd condiia ca aT s fie minimal sub restricia6$=I+i re"olvnd aceast problem de e-tremum

condiionat re"ult c matricea6 este de formaH [ ] 111 = $$$6

!rin nlocuire +i calcul se obineH

[ ] #$$$6#a 111T ==

[ ] 11T = $$a ,stimatorul aT astfel obinut este un estimator liniar nedeplasat +i de dispersie minim. ,l a fost obinut

prin M(MM! #enerali"at. Be observ imediat c dac erorile sunt independente adic I2 =

atunci [ ] #$$$a = 1T adic re#sim estimatorul obinut prin M(MM! obi+nuit.

8n ca"ul n care erorile sunt corelate determinarea estimatorului aT necesit cunoa+terea matricei

de varian +i covarian a erorilor . 8n aplicaii deoarece este necunoscut se lucrea" cu

estimaia ei T ceea ce nu antrenea" erori prea #rave.

4


47/63

(orelarea erorilor t poate mbrca diverse forme. (el mai frecvent se studia" ca"ul c@nd

ttt += 1 se spune c erorile urmea" un proces autore#resiv de ordinul nt@i.

Modelul liniar #eneral #=$a+ scris +i sub formaH

1 tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>

n care ttt += 1 iar asupra erorilor t facem ipote"ele cunoscuteH ( ) &=t5 ( ) &21 =tt5

pentru 21 tt +i ( ) tVar t = 2

poate fi pus sub urmtoarea formH

ecuaia 1 scris pentru t* esteH ( ) ( ) ( ) ( )111221111 ... ++++= ttppttt xaxaxa! pe

care o nmulim cu presupunem 1


48/63

3. 8nlocuim cu T n ecuaia 3 +i aplicm M(MM! obi+nuit acestei ecuaii. Be

obine estimatorul aT pentru parametrul a.

,vident pentru e+antioane mici estimatorul aT nu pre"int #aranii c are proprietile dorite.

M'%od( II+

,cuaia 3 de mai nainte se poate scrie +i sub formaH

5 ( ) ( ) ttppttptptt xaxa!xaxa! +++=++ 1111111 ......

Be aplic M(MM! obi+nuit ecuaiilor 3 +i 5 astfelH

1. 'm o valoare iniial lui de e-emplu 0=0 n ecuaia 3 +i obinem o prim

estimaie a parametrilor &Ta .

2. 8nlocuim ( )&&2&

1& T...TTT paaaa = n ecuaia 5 +i efectu@nd re#resia obinem o nou

valoare pentru notat.

3. 8nlocuim cu n ecuaia 3 +i efectum o nou re#resie obin@nd estimatorul

( )1121

11 T...TTT

paaaa = +.a.m.d.

4. Be opresc iteraiile dac valorile #site n dou iteraii succesive nu difer dec@t printr

un numr oric@t de mic dorit se spune c estimatorii iaT i=,2,'''conver#.

M'%od( III 6(*'i(=+

!resupunem c &> ia succesiv valorileH

{ }1N...N&2&N&1&N&= .

/plicm M(MM! obi+nuit ecuaiei 3 pentru fiecare valoare a lui+i calculm re"iduurilet

T .

Be reine valoarea lui care d cea mai mic sum a ptratelor erorilor t

t

2T creia i corespund

estimatorii paaa T...TT 21 ai parametrilor.

[[[

,-ist +i alte proceduri de estimare a parametrilor n ca"ul c@nd erorile sunt corelate.

9.3.3. T'%(r'( i)o%'2'i d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*or

/tunci c@nd ipote"ele fundamentale ale modelului liniar al re#resiei nu sunt ndeplinite

proprietile estimatorilor parametrilor sufer. /stfel sub ipote"a I 2referitoare la distribuia erorilor +i la

independena lor estimatorii obinui sunt nedeplasai +i au variana minimal. 'ac erorile sunt corelate

estimatorii rm@n n #eneral nedeplasai dar matricea de varian +i covarian a acestora nu mai este

4)


49/63

I2 . !entru a ne asi#ura de independena erorilor trebuie s efectum teste. ,ste vorba despre testul lui

'urbin +i Fatson.

Modelul liniar #eneral al re#resieiH

tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211

se poate scrie sub formaH

ttt ax! +=

undeH paaaa ... 21= +i

=

pt

t

t

t

x

x

x

x...

2

1

.

Be aplic M(MM! obi+nuit +i se obine un estimator paaaa T...TTT 21= calcul@nduse

valorile austate tt xa! TT = +i erorile estimate ttt !! TT = .


50/63

Bcopul este de a +ti dac erorile modelului sunt autocorelate. (el mai frecvent se caut testarea

le#turii erorilor printro relaie de forma ttt += 1 . Be spune c erorile urmea" un proces

autore#resiv de ordinul nt@i.

%rem s testm ipote"a I&H &= absena autocorelaiei erorilor contra ipote"ei I1H &>

erorile t sunt autocorelate.

9a un nivel de semnificaie dat 'urbin +i Fatson au determinat dou valori +i 2 n funcie

de numrul de observaii > +i de numrul de e-o#ene veritabile m corespun"toare fiecreia din curbele

limit.

Be calculea" statistica 7T cu relaia dat +i se observ cH

1. dac 1T 77< atunci se accept I1

2. dac21

T 777 atunci se accept I&.

8n tabelul urmtor sunt date c@teva valori u"uale pentru 1+i 2n funcie de >+i m pentru nivelul

de semnificaieP&&5H

*abela 'F

> m= m=2 m=3 m= m=P

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 ?

?

2

( )7f T

5&


51/63

15 1&) 13 & 154 &)2 1$5 & 1$ &5 2212& 12& 141 11& 154 1&& 1) && 1)3 &$ 13& 135 14 12) 15$ 121 15 114 1$4 1&$ 1)35& 15& 15 14 13 142 1$ 13) 1$2 134 1$$1&& 15 1 13 1$2 11 1$4 15 1$ 15$ 1$)

O6'rv(4iiH

1. 8n loc s testm &= contra &> se poate testa I&H &= contra I1H & . Be obin

dou valori \17 +i

\

27 simetrice n raport cu 2 +i se constat cH

a. dac1

T 77< sau \2

T 77> atunci se accept I1

b. dac22

T 777 sau \2

\

1T 777 atunci e-ist ndoieli c erorile sunt corelate

c. dac \12

T 777


52/63

t!T 42 $41 )2)& &) 1$ 1&$3 11555 123$3

t 1& 11 12 13 14 15

t!T 1312 14&1& 14)2 154 14 1$2)5 1)1&4

t 2 3 P N 7 M

tT 13 $$ S)4$ S2535 S354 S$144 S3)3& 1325

t 1& 11 12 13 14 15

tT 3$54 S2525 1&4 23$&1 22&& S2&542 S213&3

Ne propunem s cercetm o eventual autocorelare a erorilor.

R'2o*v(r'+

!entru a putea utili"a testul 'urbinFatson trebuie ca numrul de observaii >s fie suficient de

mare n practic >P iar modelul s conin un termen constant.

Btatistica 'urbinFatson definit de ecuaia( )

=

=

=>

t

t

>

t

tt

7

1

2

1

21

T

TTT

conduce conform datelor din

tabel laH 151$221

3525)$T ==7 .

'urbin +i Fatson au artat c pentru un proces staionar primele dou momente ale variabilei

aleatoare t independente de timp valoarea calculat a statisticii 7T este cuprins ntre & +i 4 cu

absena corelaiei n vecintatea lui 2. 8ntre aceste valori limit tabela 'F furni"ea" la pra#ul deseminificaie diferite intervale de valori 7T corespun"toare pre"enei autocorelaiei po"itive sau

ne#ative absenei autocorelaiei +i situaiilor de indeci"ie astfelH

1. dac1

T& 77


53/63

II.8n tabelul urmtor sunt date pentru perioada 1)52&&2H

volumul investiiilor n a#ricultur!t

produsul intern brut a#ricolxt

indicele volumului importurilor pentru a#riculturx2t.

/nult

Investiii n a#ricultur!t

!rodusul intern brut a#ricolxt

Indicele volumului importurilor pentru a#riculturx2t

1)5 )52 53) &1) &2 54$ 1$1)$ 35$ 21)) 112& ))1 451) 1245 $53& $21& 12&) $3 1&&&11 1315 ))5 1&4212 142 355 1&)13 14&) )24 11314 1&& 1&34 1213

15 1))3 11$11 12531 22&& 13& 13311$ 214 1412 14$$1) 1& 152)) 1121 243& 1$&22 1$&52&&& 3&33 1)5 1)152&&1 3515 212$ 1542&&2 3)2 23)5 21$4

Be cereH

1. 'eterminarea le#turii dintre investiii !I +i volumul importurilor

2. *estarea autocorelaiei erorilor

3. 'ac e-ist autocorelaie cum se pot nltura efectele acesteia

R'2o*v(r'+

Btudierea le#turii dintre variabilele economice amintite se poate efectua cu

modelul de re#resie multiplH

tttt cxbxa! +++= 21

/plicarea M(MM! conduce la urmtoarea estimare a modeluluiH

ttt xx! 21 323$&44125T +=

(oeficientul de corelaie multipl are valoarea calculatH


54/63

2 112111 +++= tttt cxbxa!

nmulim 2 cuQ+i efectum scderea 12H

( ) 111221111 +++= tttttttt xxcxxba!!

cutm o estimaie a coeficientului Q. ;bservm c Q este coeficientulvariabilei!t1 n relaia anterioar. ,fectum o re#resie cu M(MM! pe ultima

ecuaie fr s inem cont de relaiile dintre coeficieni adic pe ecuaiaH

ttttttt xaxaxaxa!a! ++++++= 12423112111&

unde a&Pa1 ` a1Pb a2Pb` a3Pc a4Pc` +i 1= ttt

,fectund calculele obinemH

1221111 112&)3&&)&$&&54$T +++= tttttt xxxx!! ,stimaia

#sit pentru coeficientul este $&&T =

cu autorul estimaiei #site transformm variabilele modelului iniial pentru o nou re#resieH/nul

1T = ttt !!G 1111 T = ttt xx, 1222 T = ttt xx,

1)5 1) 3&5 2&&&4 2)2)1)$ 334 2141 2)$11)) 443) 24311 24$1) 41& 2$133 31&51& 33) 2$& 3111 44 311& 342&12 5415 32$55 3)13 3)4 32$55 34414 144 3$5$2 3)

15 $3& 42$2 4&31 ))1 4))3 4531$ && 4)2) 54531) 4&) 53$$ 5$)11 1&3$ 32&4 5$2&&& 1332& $&$ 2152&&1 131 $$5 )352&&2 14&15 )$1) )&2

;bservaieH

!entru a evita eliminarea primei valori din +irul de observaii prin trecerea la diferene se pot

folosi transformrileH 211 T1 =!G 2

1111T1 =x, 2

1221T1 =x,

se aplic M(MM! ecuaieiH

tttt ,a,aaG +++= 2211& +i re"ultH

ttt ,,G 21 &24&1$T +=

54


55/63

(oeficientul de corelaie multipl este acum


56/63

4. Be efectuea" o nou re#resie pe e+antionul corectat. !roprietile estimatorilor

obinui vor depinde de re#ula adoptat n etapa anterioar. 'e e-emplu se poate

adopta re#ula de a respin#e sau corecta observaiile corespun"toare re"iduurilor a

cror valoare absolut tT este mai mare dec@t de trei ori media erorilor absolute.

9.5. I)o%'2( d' B'%'ro&'d(%i&i%(%'

B presupunem deci c de+i t sunt independente dispesia erorilor2

t varia" n funcie de t.

8n acest ca" estimatorii obinui sunt nc nedeplasai. 'ar momentele centrate de ordinul doi nemaifiind

constante se comite o eroare de calcul a ecartuluitip al estimatorilor. Be poate evalua deplasarea n

estimaia lui aTT . /ceast deplasare depinde de natura +i importana 0eteroscedasticitii adic de +irul de

valori ( txt 2 . 'eplasarea este nul dac sunt reali"ate relaiile urmtoareH

1 ( ) &1 2 = xx>

t

tt

2 ( ) ( )

=

2222 11

t

t

t

t

t

xx>

xx> tt

.

/ceste relaiile sunt reali"ate atunci c@nd nu e-ist nicio le#tur sistematic ntre2

t +i tx .

omoscedasticitatea erorilor se admite n seriile cronolo#ice atunci c@nd ordinul de mrime al

variabilelor este apropiat pentru diverse observaii. 'ar n studiul datelor microeconomice variabilele pot

avea ordine de mrime foarte diferite. /cest fapt conduce la erori de estimare importante pentru coeficienii

unui model econometric.

'ac putem evalua variana erorilor2

t atunci n loc s determinm parametrii din condiia ca

suma ptratelor erorilor s fie minim ace+tia pot fi determinai din condiia ca t

t

t

2

2

s fie minim.

!entru modelul elementar ttt bax! ++= estimatorii aT +i bT vor fi cei care minimi"ea"

e-presia ( )

t

tt bax!t

2

2

1

.

8n ca"ul n care2

t dispersiile re"iduurilor varia" proporional cu valorile variabilei e-o#ene

se poate pune condiia ca( ) 2

2

2

=

t tt

t

t t

tt

x

ba

x

!

x

bax!s fie minim.

5


57/63

9.5.3. E8)'ri'n4/ d' &(*&u*

Ne propunem s studiem le#atura dintre volumul investiiilor +i suprafaa cultivat. !e un e+antion

de 3& de ntreprinderi a#ricole sau obinut urmtoarele dateH

Buprafaa 0a (0eltuielile de investiii


58/63

'ac presupunem acum c variana erorilor2

t este proporional cu ptratul valorilor variabilei

e-o#ene adic22

txt = fiind o constant nenul atunci efectele 0eteroscedasticitii pot fi corectate

prin transformarea modelului. 8mprind fiecare termen al ecuaiei de re#resie prinxt re"ultH

t

t

tt

t

xxba

x! ++=

sau ttt b,aG ++= undeHt

t

tx

!G =

t

tx

, 1= +i

t

tt

x

= .

Be observ c ( ) ==

= 2

2

1t

tt

tt

xxVarVar .

!rin urmare modelul transformat are erorile t 0omoscedastice deoarece dispersia lor este

independent de timp. ,fectu@nd re#resia pe modelul transformat re"ultH

=

=

,bGa

,>,

,G>,Gb

t

tt

TT

T2

2

b

x

!

>a

x>x

xx

!

>xx

!

b

11T1T

111

111

T 22

,fectu@nd calculele re"ultH

44$&T=b &$2&T =a &2 =. adicH

tt

t

xx! 44$&&$2&T += sau 44$&&$2&T += tt x! .

B remarcm faptul c panta dreptei de re#resie dup corectarea 0eteroscedasticitii este mai

mic dec@t cea obinut naintea corectrii.

9.9. I)o%'2( d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*or 7n r()or% &u v(ri6i*'*' '8o-'n'

5)


59/63

Be +tie c sub aceast ipote" fundamental estimatorii obinui au proprieti optimale

nedeplasai cu varian minimal. (@nd ipote"a nu mai este satisfcut aceste proprieti nu mai sunt

valabile. (u c@t coeficientul de corelaie liniar dintre t +i tx este mai mare cu at@t deplasarea

estimatorilor va fi mai mare. 8n astfel de ca"uri este de preferat s se alea# un alt model econometric

pentru studierea le#turii dintre variabile.9a fel trebuie procedat +i atunci c@nd se constat c variana erorilor nu este finit.

9.:. I)o%'2( r'f'ri%o(r' *( f()%u* &/ v(ri(6i*'*' ,od'*u*ui un% o6'rv(%' f/r/ 'ro(r'

/tunci c@nd variabilele care apar n model nu sunt variabile observate fr eroare va e-ista o

corelaie ntre re"iduuri +i e-o#enele din model.

8n acest ca" pentru a obine estimatori conver#eni sa de"voltat o metod de estimare special

numit ,'%od( v(ri(6i*'*or in%ru,'n%(*'J pe care o pre"entm mai os.

Aie modelul liniar #eneralH

tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>,

care cu notaiile obi+nuite se scrie n forma matricial #=$a+. Notm cu #e +i $

e valorile reale

necunoscute acum pentru c observaiile #+i$conin eroriV ale variabilelor din model.

!utem scrie c +=##e

+=$$e

unde+i sunt variabile aleatoare. %om presupune c

+i satisface ipote"ele fundamentale medie "ero varian finit independente.

8nlocuind $ +i # prin e-presiile lor obinem modelul += a$# ee unde += a .

/ceasta arat c n modelul iniial #=$a+ re"iduurile sunt corelate cu$prin intermediul lui .

!resupunem acum c se cunosc altepvariabile e-o#enei, i=12...pnecorelate cu +i deci

necorelate cu .

/cest lucru nseamn c ( ) &=i=5 iP12...p. (onsiderm modelul iniial #=$a+ scris sub

formaH

1 ++++= pp$a$a$a# ...2211

unde

=

>x

x

$

1

11

1

.

.

.

=

>x

x

$

2

21

2

.

.

.

...

=

p>

p

p

x

x

$

.

.

.1

8nmulim succesiv ecuaia 1 cu2 ...p+i aplicm operatorul de medie5fiecrei ecuaii. Be

obine sistemulH

5


60/63

2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++=

++=

++=

ppppp

pp

pp

$=5a$=5a#=5

$=5a$=5a#=5

$=5a$=5a#=5

...

....

...

...

11

21212

11111

Metoda de estimare %I variabilelor instrumentale const n a lua ca estimatori paa T...T1

e-act soluiile sistemului de ecuaii 2 n care speranele matematice sunt nlocuite cu momentele empirice

corespun"toareH

( ) =t

titi !G>

#=5 1

iP12...p

( ) =t

"tit"i xG>

$=5 1

i,"P12...p

'ac notmH

=

p>>

p

GG

GG

=

...

.........

...

1

111

+i

=

p>>

p

xx

xx

$

...

.........

...

1

111

sistemul 2 transformat se scrie sub form

matricialH ( )a$=#= T\\ = iar pentru c ( )#=\ este inversabil obinem estimatorulH( ) #=$=a = \\T 1 .

B observm similitudinea cu estimatorii obinui prin M(MM!H

1. M(MM! obi+nuitH ( ) #$$$a =

\\T1

2. M(MM! #enerali"atH ( ) ( ) #$$$a = 111 \\T

3. metoda %IH ( ) #=$=a = \\T 1 .

Be trece de la 1. la 2. nlocuind \$ prin1

\

$ .

Be trece de la 1. la 3. nlocuind \$ prin \= .

(unoa+terea primei formule permite e-primarea celorlalte dou.

,stimatorul aT obinut prin metoda %I este un estimator deplasat pentru a dar conver#e n

probabilitate ctre apentru >suficient de mare.!entru a putea utili"a metoda %I trebuie #site at@tea variabile instrumentale c@te e-o#ene conine

modelul. /ceste variabile instrumentale trebuie s fie necorelate cu re"iduurile dar puternic corelate cu

e-o#enele modelului. /ceste restricii limitea" ale#erea variabilelor instrumentale +i prin urmare metoda

%I nu este o metod #eneral de estimare.

9.:.3.E8)'ri'n4/ d' &(*&u*

&


61/63

(onsiderm o anc0et pe bu#etele de familie pentru a studia consumul dintrun anumit produs.

/nc0eta cuprinde un e+antion de >familii. Aacem urmtoarele notaiiH

!tH c0eltuielile totale ale familiei t

!2tH c0eltuielile relative la produsul studiatVtH veniturile familiei t

+i scriem ecuaiileH

1 ttt V! 11 +=

2 ttt baV! 22 ++=

Ne propunem s e-primm c0eltuielile relative la produsul studiat n funcie de c0eltuielile totale.

'in ecuaia 1 avem c ttt !V 11 = +i nlocuind

Documents

Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie