Wykład 3: Kinematykalayer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/3-Kinem-17.pdf · 2017-03-09 WydziałInformatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka 21 Przykład Piłkęwyrzucono

Wykład 3: Kinematyka

dr inż. Zbigniew Szklarski

[email protected]://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

2017-03-09 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

2

Wstęp

Opis ruchu

KINEMATYKA

Przyczyny ruchu

DYNAMIKA

MECHANIKA

Dlaczegotaki ruch?


3

Podstawowe pojęcia dla ruchu prostoliniowego i krzywoliniowego.

)( 2trr

y

x

)( 1trr

)( 2trr

rr

∆tor ruchu

przemieszczenie )()( 12 trtrrrrr

−=∆

12

12 )()(

tt

trtr

t

rVśr −

−=

∆

∆=

rrrr

y

x

)( 1trr

)( 2trr

rr

∆śrVr

prędkość średnia

gdy t2 → t1 ∆t → dt to ∆r → dr

dt

rdV

rr=

Vr

prędkość chwilowa


4

Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

skoro to

Wektor prędkości

chwilowej jest zawsze

styczny do toru.

Vdt

rd

t

r

t

rrr

==∆∆

→∆lim

0

yjxir ˆˆ +=r

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

z

y

x

=

=

=yx VjVidt

dyj

dt

dxi

dt

rdV ˆˆˆˆ +=+==

rr


5

a=0

Przyspieszenie

Przyspieszenie związane jest

ze zmianą wektora prędkości

Jeżeli to

ponieważ:

dt

Vd

t

Va

t

rrr

=∆∆

=→∆ 0

lim

yx

yx ajaidt

dVj

dt

dVi

dt

Vda ˆˆˆˆ +=+==

rr

dt

dVa

dt

dVa

dt

dVa

zz

y

y

xx

=

=

= V

t

∆t

∆V a>0 a<0consta =r

taVVrrr

+= 0

⇒= adt

dV∫ ∫

=

=V

V

t

t

adtdV

0 0

więc V = V0 + at


6

Ruch krzywoliniowy

W ruchu krzywoliniowym

występuje zmiana wektora

prędkości.

v2

v1

Konsekwencją tego jest

występowanie przyspieszenia

pomimo stałej wartości prędkości

v1v2 a

a


7

Przyspieszenie styczne i normalne

dt

SdV

rr=

r

S=ϕ

r

dSd =ϕ

dt

dϕω =

ωϕ

===r

V

dt

dS

rdt

d 1

czyli rVrrr

×=ω

ϕrr

Vr

x

y

S

t

SV =Ruch jednostajny


8

Związek pomiędzy prędkościąliniową i kątową

w ruchu jednostajnympo okręgu, wektor prędkości kątowej jest stały

reguła śruby!!

x

y

z

rr

Vr

V̂

ωr rV

rrr×=ω


9

Ruch niejednostajny po okręgu

)(sin trx ϕ⋅=

)(cos tdt

dr

dt

dxV x ϕ

ϕ==

ϕωϕϕ

sincos 2

2

2

rdt

dr

dt

dVa x

x −==

dla współrzędnej x:

ϕrr

)(tVr

x

y


10

czyli xVa xx

2ωω

ε−=

skoro:dt

dϕω =

2

2

dt

d

dt

d ϕωε ==i

to ϕω cosrVx = xr

a x

2cos ωϕω

εω−=oraz

ϕωϕϕ

sincos 2

2

2

rdt

drax −=)(sin trx ϕ⋅=


11

analogicznie )(cos try ϕ⋅= ϕω sinrVy −= yVa yy

2ωωε

−=

Skoroyx ajaia ˆˆ +=

rto yjVjxiVia yx

22 ˆˆˆˆ ωωε

ωωε

−+−=r

)ˆˆ()ˆˆ( 2 yjxiVjVia yx +−+= ωωεr

ostatecznie:

rVarrr 2ω

ωε

−=

przyspieszenie styczne przyspieszenie dośrodkowe

xVa xx

2ωω

ε−=mamy:


12

Wnioski:

- kiedy maleje składowa Vy prędkości, to rośnie składowa Vx

- przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest wzdłuż promienia,

do środka okręgu

- wartość przyspieszenia dośrodkowego jest równa: r

Van

2

=


13

Przykłady

1. Pająk porusza się po torze krzywoliniowym, którego

długość opisana jest równaniem:

gdzie S0 i c to stałe. Wektor przyspieszenia pająka tworzy w

każdym punkcie toru stały kąt φ ze styczną do jego toru.

Obliczyć wartość:

a) przyspieszenia stycznego,

b) przyspieszenia normalnego,

c) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

ROZWIĄZANIE:

a) przyspieszenie styczne

stąd

cteStS 0)( =

2

2

dt

Sd

dt

dVas == cteSc

dt

dSV ⋅⋅== 0

cts eSca 0

2=


14

z rysunku wynika że nar

ar

ϕsar

s

n

a

atg =ϕ

stąd

ϕtgaa sn ⋅= ϕtgeSc ct ⋅= 02

z innej definicji przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):

r

Van

2

= stąd podstawiając wyliczone wcześniej V:

( )ϕtgeSc

eSc

a

Vr

ct

ct

n ⋅⋅

⋅==

02

220

22

ϕϕ ctgSctgeS ct ⋅=⋅⋅= 0

cteScV ⋅⋅= 0

cteStS 0)( =

b) przyspieszenie normalne:

c) promień krzywizny toru jako funkcja długości łuku krzywej:


15

Punkt materialny porusza się po ćwiartce elipsy o równaniu: x2/c2

+ y2/b2 = 1 przy czym x > 0, y > 0, x(0)= 0, y(0) = b,

v(0) = (v0,0).

Wiedząc, że wektor przyspieszenia punktu a = -a(t)j znaleźć:

a)równania ruchu punktu,

b)oblicz po jakim czasie punkt materialny znajdzie się w położeniu

(c, 0),

c)podaj wektor prędkości punktu oraz jego wartość,

d)oblicz prędkość punktu materialnego w punkcie (c, 0).


16

Inne ruchy krzywoliniowe

� Rzut ukośny

jest to złożenie dwóch

niezależnych ruchów-

- ruchu jednostajnego

(poziomo)

- ruchu jednostajnie

zmiennego (pionowo)

x

y


17

HRW,1Oś x:

Fx=0; ax=0,

ruch jednostajny

Oś y:

Fy=mg; ay=g,

ruch jednostajnie zmienny


18

HRW,1jgg ˆ−=rOś x:

tvx

constvv

x

xx

=

== 0

Oś y:

2

2

0

0

gttvy

gtvv

y

yy

−=

−=

200

2

0)θcosv(2

gxx)θtg(y −=

równanie toru - parabola


19

..a tak jest naprawdę:

Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego !

Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45° zprędkością v = 50 m/sosiąga:

• bez oporu powietrza -- wysokość 63 m, - zasięg 254 m,

• z oporem powietrza -- wysokość 31 m, - zasięg 122 m

tor w

próżni

tor w

powietrzu

45o

optymalny kąt rzutu wynosi:

20o- 30o


20

Dla osi OX Dla osi OY

ruch jednostajny ruch jednostajnie

przyspieszony

X(t) = Vx⋅t

Rzut poziomy

x

y

xVr

xVr

xVr

xVr

yVr

yVr

yVr V

r

Vr

Vr2

)(2gt

tY =

Równanie toru – parabola – typu:

V0 = Vx = const

0V

xt =

⇓

2

0

2

2

0

22)(

V

gxV

xg

ty =

=

⇒

⇓

y(t) = bx2

tgVtVVtV yx

rrrrr+=+= 0)()(


21

Przykład

Piłkę wyrzucono ukośnie w górę pod kątem 450 z prędkościąpoczątkową V0= 12 m/s. W odległości 12 m od miejsca wyrzutu stoi pionowa ściana. Oblicz:

1. czas tt po którym piłka trafi w ścianę,

2. składowe prędkości piłki Vx i Vy w momencie trafienia i szybkość

wypadkową V,

3. kąt pod jakim piłka trafi w ścianę,

4. maksymalną wysokość H na jaką wzniesie się piłka,

5. wysokość od podstawy ściany h na jakiej piłka w nią uderzy,

6. w jakiej odległości X od ściany piłka po sprężystym od niej

odbiciu uderzy w ziemię.

Documents

Wykład 3: Kinematykalayer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/3-Kinem-17.pdf · 2017-03-09 WydziałInformatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka 21 Przykład Piłkęwyrzucono