Wykład 22

15.12.2008Reinhard Kulessa 1

Wykład 22

10.1.2 Wahadło torsyjne10.1.3 Ciekłe wahadło

10.1.5 Średnia energia swobodnego oscylatora harmonicznego10.1.6 Wpływ tarcia na ruch

10.1.4 Elektryczny układ drgający

10.2 Oscylator harmoniczny tłumiony10.3 Współczynnik dobroci oscylatora harmonicznego

10 Ruch drgający10.1 Oscylator harmoniczny10.1.1 Człony nieliniowe w równaniu oscylatora harmonicznego

15.12.2008 Reinhard Kulessa 2

10 Ruch drgający10.1 Oscylator harmoniczny

Drgania harmoniczne spotykamy w wielu dziedzinach fizyki klasycznej i kwantowej. Na tym wykładzie rozważaliśmy już przykłady ruchów harmonicznych.

W oparciu o siłę sprężystości sprężyny może również drgać masa w kierunku poziomym. Innym przykładem ruchów harmonicznych są wszelkiego rodzaju wahadła.


Przypomnijmy sobie równanie oscylatora harmonicznego na przykładzie drgającej sprężyny stosując zasadę zachowania energii.

2 2

2 2 20

1 1

2 21 1

2 2

k pE E E mv Cx

Ev x

m

.

Do postaci matematycznej równania opisującego ruch harmoniczny możemy dojść w różny sposób. Ogólnie właściwości oscylatora harmonicznego możemy scharakteryzować następująco:Jeśli układ oscyluje, to przechodzi on przez stan w którym w spoczynku jest w równowadze.1.Częstość drgań oscylatora nie zależy od amplitudy wychyleń,2.Jeżeli na drgający oscylator działa wiele sił, to zmiany nimi wywołane sumują się liniowo.


Oznaczyliśmy .20

C

m

Różniczkując drugie równanie na poprzedniej stronie po czasie otrzymujemy;

200

dv dxv xdt dt

Pamiętając, że , oraz że , otrzymujemy,2

2

dv d x

dt dt

dxv

dt

2202

( ) 0d x

v xdt

, skąd otrzymujemy,

2202

0d x

xdt

. (10.1)


Rozwiążmy teraz problem ruchu wahadła matematycznego.

Ruch odbywa się w płaszczyźnie zy. Istnieje więc x-owa składowa momentu siły grawitacji, która ma następująca wartość;

( )x xM r F .

ˆ ˆ ˆ

0 sin cos

0 0

x y zi i i

l l

mg

Otrzymujemy, że

sinxM mgl .

Z kolei moment pędu względem punktu zawieszenia wynosi;

xy

z

l

mg p

lsin


2( )x x

dL r p ml

dt

,

gdzie wartość pędu jest równa; dp mv ml ml

dt

.

Ponieważ szybkość zmian pędu jest równa momentowi siły działającej, możemy napisać;

22

2

2

2

sin

sin 0

dml lmg

dt

d g

dt l

.

Dla bardzo małych kątów wychylenia sin . Możemy więc napisać;

2

20

d g

dt l

. (10.2)

Częstość drgań wahadła jest zgodnie z równaniem (10.2) równa

0

g

l .


Ogólnym rozwiązaniem równania (10.2) jest dowolna liniowa kombinacja funkcji sin 0t, oraz cos 0t. Możemy więc znaleźć rozwiązanie przy pomocy formuły Eulera;

cos sinie i .

Obierzmy ogólną postać rozwiązania równą;

0( )0( ) i tt e . (10.3)

Liczymy odpowiednie pochodne i wstawiamy do równania (10.2).

0(0 0 0

22 2

0 0 02

2202

( )

i tdi e i

dt

d di i

dt dt

d

dt

.


Ostatnie z ostatnich równań ma postać daną wzorem (10.2),jeśli

0

g

l .

Rozwiązanie (10.3) jest rozwiązaniem niefizycznym. Musimy więc wziąć albo część urojoną tego równania, albo część rzeczywistą.

10.1.1 Człony nieliniowe w równaniu oscylatora harmonicznego

W dotychczasowym rozwiązaniu równania oscylatora harmonicznego założyliśmy że wychylenia są tak małe, że możemy napisać sin . Jeśli tak nie jest , musimy uwzględnić dalsze człony w rozwinięciu funkcji sinus.

3 5 7

sin3! 5! 7!

.


Równanie (10.2) przyjmuje wtedy postać:

222 3002

( )( ) ( ) 0

6

d tt t

dt

. (10.4)

Jest to równanie ruchu oscylatora anharmonicznego.

Przewidujemy rozwiązanie postaci;

0 0( ) sin sin 3t t t .

Podstawiając to wyrażenie do równania (10.4), zaniedbując człony z 2 oraz 3, oraz korzystając z tożsamości

3sin 3/ 4sin 1/ 4sin 3x x x ,

Stwierdzamy, że podane jest rozwiązaniem naszego równania pod warunkiem, że


2 2 2 20 0 0

2 2 20 0

20 0

30

241

(1 )8

11

8

.

Ostatnie równanie można przybliżyć wyrażeniem;

20 0

1(1 )

16 . (10.5)

Nie rozważając pozostałych członów, z których można wyliczyć np. , widzimy, że 0 gdy 0 zależy od amplitudy dla dużych amplitud.Należy również zaznaczyć, że w ruchu wahadła występujątylko nieparzyste harmoniczne.


10.1.2 Wahadło torsyjne

A

A

Zawieszamy ciało na sprężystym drucie.Wykonuje ono wokół osi AA drgania.Do przypadku tego stosuje się prawo Newtona dla obrotu;

z AM J

.

Moment zewnętrzny powoduje obrót ciała o kąt . Sprężystość nici sprawia, że moment

jest przeciwny do kąta obrotu, .zM c

Otrzymujemy więc równanie;


0AA

cc J

J

.

Równanie to ma rozwiązanie:

0 0 0

0

00

( ) sin( ),

,

22

A

A

t t

c

J

JT

c

.

Z ostatniego równania widać, że w oparciu o ostatnie równanie można wyznaczyć moment bezwładności zawieszonego ciała.


10.1.3 „Ciekłe” wahadło

yy

l

Jeśli rurkę o kształcie U i stałym przekroju S napełnimy cieczą o gęstości , ustala się po pewnym czasie równowaga dla której poziom cieczy określa linia przerywana. Słup cieczy w kształcie litery U ma długość l. Jeśli w jednej rurce

przesuniemy o y poziom cieczy, powstaje różnica poziomów 2y między rurkami. Ciężar wystającego słupa cieczy o masie m2y powoduje pojawienie się siły zwrotnej. Zgodnie z prawem Newtona mamy;

2 y C

F ma

m g m y

.


Nadmiarowa masa wynosi;

2 2ym yS .

Równanie różniczkowe dla drgającej cieczy ma postać,

20

C

S gy y

m

.

Rozwiązanie tego równania jest następujące;

0 0 0

0

00

( ) sin( )

2

22

2

C

C

y t y t

S g

m

mT

S g

.


LC

I

U0

10.1.4 Elektryczny układ drgający

Układ ten składa się z połączonychrównolegle pojemności C i indukcyjności L. Jeśli zamkniemy obwód po naładowaniu kondensatora C, to spełniony musi być warunek; 0L CV V .

Możemy więc zapisać, że;

Po podstawieniu za I pochodnej ładunku po czasie otrzymujemy następujące równanie,

0 /dI Q d

Ldt C dt


Jest to równanie oscylatora harmonicznego o częstości

.1

LC

.01

2

2

QLCdt

Qd


10.1.5 Średnia energia swobodnego oscylatora harmonicznego

Z rozwiązania równania (10.1) otrzymujemy;

2 20 0

1 1[ cos( )]

2 2kE mx m A t

Średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden okres wynosi; 0

0

2 /2

02 20 00

0

2 /

02 2 00

0

2 20

cos ( )1

2 2 /

1[1 cos 2( )]

21

2 2 /

1

4

T

k

k

E dt t dt

E m AT

t dt

m A

m A

.


Policzmy z kolei średnią energię potencjalną;

2 2 20

2 2 20

1 1sin

2 21 1

4 4

p

p

E cx cA t

E cA m A

Przy czym .

.

2o

c

m

Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi;

2 20

1

2k pE E E m A (10.6).


10.1.6 Wpływ tarcia na ruch

Jeżeli tarcie jest jedyną siłą, która wpływa na ruch, to

2

2 t

d xm Fdt

.

Zwykle przyjmuje się, że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości ciała.

t

dxF

dt .

Równanie ruchu jest wtedy następujące:

2

20

d x dxmdt dt

Wielkość m/ nazywamy stałą relaksacji .


Równanie ruchu możemy przekształcić do postaci;

2

2

10

0

d x dx

dt dtdv

vdt

.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja;

0( ) tv t v e .

jest stałą zaniku równą odwrotności czasu relaksacji.Zależność energii kinetycznej od czasu ma postać;

2 2 2 20 0

1 1

2 2t t

kE mv mv e E e .


10.2 Oscylator harmoniczny tłumiony

Jeżeli uwzględnimy oprócz siły napędzającej oscylator harmoniczny również siły oporu np. proporcjonalne do prędkości, to równanie oscylatora przyjmuje postać;

2

20

d x dxm Cxdt dt

.

(10.7)

Po wprowadzeniu oznaczeńotrzymujemy równanie;

20

1 Cm m

2202

10

d x dxx

dt dt

.

oznacza stałą relaksacji.


Rozwiązania tego równania szukamy w postaci;

0( ) sintx t x e t .

Policzmy odpowiednie pochodne i znajdźmy warunki, dla których równanie to jest spełnione.

0 0

22

0 02

20 0

sin cos

sin cos

cos sin

t t

t t

t t

dxx e t x e t

dt

d xx e t x e t

dt

x e t x e t

.

Po podstawieniu tych wartości do równania (10.7) otrzymamy następujące równanie;

2 2 20 0 0( ) sin ( 2 ) cos 0t tx e t x e t

.


Równanie to ma rozwiązanie gdy współczynniki przy sint i cost się zerują, czyli dla

2 2 20

2 0

0

.

20

0

1

2

11 ( )

2

.

Widzimy, że częstość oscylatora tłumionego zależy od parametru tłumienia.Ogólne rozwiązanie na amplitudę drgań oscylatora tłumionego ma postać;

220 0

0

1( ) sin( 1 ( ) )

2

t

x t x e t

.

Czasowy przebieg amplitudy jest następujący;

(10.8)


t

x(t)

Czas relaksacji jest to czas po którym amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej.Czas relaksacji jest to czas po którym amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej.


10.3 Współczynnik dobroci oscylatora harmonicznego

Dla układów drgających, a w szczególności elektrycznych mówi się często o współczynniku dobroci Q.Współczynnik ten definiuje się jako odwrotność względnej straty energii przypadającej na jeden okres

.

Można pokazać, że dla oscylatora harmonicznego tłumionego drgającego zgodnie z równaniem (10.8) jest dla przypadku gdy 0 >> 1 dane przez;

0Q .

( )1( ) ( ) ( ) ( )

( )

E tQ E t E t T E t E t T

E t

Documents

Wykład 22