WYKTAD 12EKSTREMUM ZWIA

,ZANE - WARUNEK POSTATECZNY

CAEKOWANIE FUNKCJI O WART.

WEKT.

ROWNANIA REHZNICZKOWE - WSTE,P

12.04.2016

Pmypominamy twierokenie : 79TWIERDZENIE ( Metode Lagrange le ) ( warunek Konieczny )

Niech F : A 00 - > 112" - m

bgobie gtadkd ,nk Ftx ) = m - m

dlo . XEO,

M= F-'

( o ) . Niece takze f : U R UCA man

Jotwowty

fes.li pem jest ekswemum f , ,yto istnieje liniowy fuukqionat

A : Rink -3112 taki ze

ftp. 1°F'

( p )

Waruuek dostateony awiqwmy jest jak Wykle 2 badaniem drmgiej( lubwyzhych ) pochodnej . Odpowieolnie twierdzenie znane jest

mom due pmestneui piaskiej , up Rn . Sytuaqiq me powiemchniNozwazai wigc mozna w powametrysagi .

Niech Mca bgdzie gtadkgpowiemchniq , f : A R funky.q a

Pem punktem Krytyonym f/µ . Roawazmy take para me -

tnysoqiq K : 11258 M

Zakioudamy ,Ze JET I KCO ) =p . Ocsywiscie takze Kilo )

mo mgdmaksymalny , csyu.

m. Wteay kilo )

:TgRm Tpmjest izomovfsmem liniowym .

pin

Obbisymy ( f , ,y)

"kto.ve w wielupmypaolkoar rozstmyyeo

nodsaju punktn krytycsnego . Posiuzymy Kg K. file

.

p jestpunktem krytyunym fh ,

to Jjest punkten , krytycsnym fokcsyu

. f-ok )'( o ) - 0

.

Obliayuy ffokf"

.

Niece JETOR"

(fold '(o)o= f'

( kg )) Kiko Th iconic Ker ftp )

NiedyeJCRM (fold'(y)o=f' ( kcy ) ) lily )o 80

e e" R "

zeoyobtiiuyifokj "

Hw ) voznicskujemypoy

(fold "(y)Hw)=f" (kly ))( Kicyh, lily )w ) + flkcy ) )k" (y )( yw )

Jwstawiamy y=5(fold "(5)(Aw) .

- f "(p) ( k 'co)o ,kilo)w) + flp )k" 6) ( ifwl

(* )

T To rl to no , nesie nie wiemyT csym iest .

Pierwszy skioudnik to oblique f"

(p) do TPM .KG) pmenosi

Weeklong 2 To Rm do Tpm ( jest to isomovfzm )

hiuozmy terrorize M=F' ( 0 ) dld F : A IRMTmany wigc

F(k(yD=o Wssystkiepodwohe tego siozenia, drugs tez

,

Sq aerowe

.D, "l5) ( o ,w)= F "lp)( How ,

kilo )w)t Ftp ) k"H( Tw )

0 ⇒ F 'Cp)k" cow,w)= - F "Cp ) ( kilo)J,

kilo ) w)ztw . Lagrange 'e f '(p)= no Ftp )

Ftp )k" C Jktwlttoetp ) )k" Co ) Hw )

¥

= - noffp) ( Kilojo ,KCJ )w )

xxWmijsce (X ) wstawiamy co tmebe mojgc

€ok)" Cisco ,w)= f "lp)( h,

K ) - 1°F 't p) ( h,

K) gdzie h=k' cowKiklo ) J

Iomiast bowlai znak (fold "10) badamy noisy

. 81,

f"

(p ) - 1°F "(p )

Row NANIA ROLZNICZKOWE

Riwnanierotnicskowe to jedno 2 wazhiejszych mamgdzi fizyki mate -

matycsng: Zanin sformuiujemy definicjg pmyjmyjmy njpnykiedomeliNH ) oznooue licsbg atomiw pierwiastkd promienioworcseyoktorawckwilit zuajduje tie wpvobce to funky .at -7 Ntt )

speiuie miwuanie

:[ = - AN Bosumiec '

ocsyuisiie moiety penne ideaiisajektire mung byi poayuione .

Niehwduo sgadnqi ze NH ) = Noexpftt ) No =N( 0 ) me interpretingpoosgtkowg

.

liuby atoms promieuiotwovosych .

(2) Wahowho - 2 drwgig.

zdsaolydyuamiki New tone wynike

vowwanie opisujgce funky 's

t - > y Ct )

Riwwanie zawiera drugg pound -

mg , mowing wigc ze jestdrugiegomgdu

(3) Riwuanie faeowe wjednym wymiame( tan me funky 's dwoch

smiennych f : 112=>112 ( tix ) - > f ( t ,× ) 823¥ =j2¥¥ it - stone mecsywihedodatuie ( prgdkosifoei )

tatwostwierdzii,

ze flt ,x)= q ( ×tJt ) +4 ( x - It ) jest ogolug pone -

cig noawipzauietafomwnanie . yiy to funkje jedngamienng.

vdzmicskowaluepmyhejmnig.

dwukrotnie.

(4) Riwnanie Schrodinger - In o4+vGyz)4 . - ikftz jestto miwnanie no funky .q

1124a Cxiyz ,t ) - YGYR ,t)eC

2 espolowg , omugieigo mgdu , csgstkowe .

Riunanie 2 pmykiowlow G) i (2) to vownanie me funky .g jcdngzmienng

.

mecsyvistg.

o wartosciacn meuywistycu . ( ^ ) jest pierwnegorqdu a (2) drug ago .

Riwhaniemszhicskowe me jednq tub wide

fuukyi jednejsnmiennej to viwnanienozhicskowe awycsojne .

Fuukcjonuje tez skit

fDEkEquationOrdinary [ Differential, ,

wide fuukji"

02ham,

ze wowtosu.

Mogg byi

Wektorowoaiwnanie wpostaciy : R 112

"

y" '=F(× , y ,y

'

, ... ,y'k " ) kauonicsnej

Glxiyiyi " it " ) 't

Tnownaniewpostaa .

+1

F : IRK - R uwikiauq.

G :

1121<+2- > 112 Na G if wakiade Sig pewne wowunki w

salezuosci od okolicsnosci.

Rowhanie z pmykiaolow (2) i (3) to vownanie me fuukje wielu

zmiennych .Takie nownanie nasywajg gig cspstkowe .

µPDE c- Equation

J KdifferentialParti :

y bgolziemy wjmowai Sig vownaniami onwycsajnymi .Riwne .

nie csqsakowe omawie Sig wnamach speqiouneyo wykiowlumouografcsnego speqialinyosnafo lub Huoliuje "

sztuka pohtuce

"

wmiowg potmeby .

Najwigcej aasu poswiga.my no www.ompicrwneyomgdu .

Rowuauie wyznycu mqdow zazwycsoy.

www.euiea.q me

ukiad rownan'

pierwneyo mgdu wpnowedzajqc mizne

pocleoduejako pomocuiue funky.e. Np wpnykiowlzie

druyim mozemy olodac.

funky .q we - prpdkosi.

Kgtowgimany

{ §[Y± any c- ukiaol rownan'

pierwnegomgdn .

bruin wjmiemy sig nozwigsywaniem vownan musing aaiatwic'

peung kwestig techniosnq .

CAEKI 2 FUNKCJI 0 WARTOSCIACH WEKTOROWYCH

Niels X bgdzie pnestmeniq Banana skoicsonego wymiaru .

Niece

tlkze e=(ez , ... .eu ) bqolzie bay X. Rozwazamy f : [ a ,b] ×

ciggtg . Komystojga z e piszemy

f ( t ) = fttlezt . . . tf"

( t ) en

I

FH ) = fttlezt . . . +f"

Ct ) en 84

GIKG 2 fpo odcinku [a , b) hasywamy wektor f¥H)dt= (€ '

Holt ) est

+ . . . + ({f "(Holden . Iomwazmy ze Wilke jest miesalezne ool

wyboru bazy : g= ( gsi . . . , ga ) ei Ni gj

filter = fitthiigj = FTH )gj

¥T.lt ) - filthiulniesalezyodt

(bffitsohtgj 't}filthiest)gj=lfbfiltsdt )Nyg÷=l}fiHo 't )ei

Gilkes funky.io wowtosciou wektorowycu jest dobme okreslone.

Na

pmypadek nieskoncsenie wymierowy mozme voznemyi to pojgcieme dwe

sposoby: G) uzywajgc defimigi wiki Riemann a jocko

growing uogoluiong.

sunny wypuuktowang. SCI

, f , } ) =

I⇐f(5i ) di gdzie

di-ti-ti.earelaq.eskierowemiemo.wi.zepoobiousTjestpiz.niejnyadIjes.limaksyhalueouugosipmedziaiuwpodzioIeJljestmuiqhdmizwpodzialeJDefinijedziouedlef.ciqgfch.WAHernatywnysposobwykomystujepqju.efuuky.onaioshin.owyun.Wskoncseniewymiarowejpmcstmenicaikujemyipowspo.tmgolnyui2auwazmyizejesiliEjcstbo.zpdualupoloeto5@bfiHdt-CE.fdfHoltj2defimigi.Wmieskoncseniewymierowq.p

mestmeui Band mie mouny do

dysposygi basyi basyduaenq.

, jeoluak nadal prawdziwe jestwierdzenie 85TWIERDZENIE ( X

,11.11 ) p . Bandura

, f :[ a ,b] X ciggfa

Istniejedokeadnie jeden element ye X take .

ze Ollie

kazdego fuukqihaeu liniowego aiggteyo y soawdzi

< qy >= §Cy ,fH ) at

Wekbny nazywamy wag zf po [ a ,b] I

oanauamy £f( Holt .

ROIWNANIA ROZNICZKOUE ZWYCZAJNE RZE,

DU 1.

Pisac '

bgdziemy oweogslng

.

pmestmeui Bauoche (X,Hill ) a owwookii

csasami pmy doowttowych saiozeuiach :

STOWNIK :

X-p . Banana x : RSI - X odwsorowanie (kmyne) vsznicskowot

me,

x'

= x. e B ( IR,

X ) e X tom utozsamiamy ×' ( t ) 1 2 ×

' Ct).

Many wigc x :I × i x'

:[.×uxzotwartyF : Ix 0 X Bownanie ndznicskowe zwycsojne pierwnego

Resolve :

( * ) x. It ) = Flt , xcti )yes .li x :I × jest take ,ze txeI ( * ) sachodzi to ×

nosy-

wamy Nozwiqsauiem

Pars ( to ,×o ) toe I , xoei nasywamy danymipocsqtkowymi alto

danymi Cauchy'

ego. Dome te wyznocsojp wowunek poagtkowy

ale miwnawie,

tour waruuek poagkowy to warunek abynozwipsauie spetniouo ×( to )=×o

.