Upload
dinhhuong
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena
w nauczaniu matematyki w zakresie
podstawowym dla uczniów technikum
część II
Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
1 Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej
• obliczać współrzędne wektora oraz jego długość,
• wyznaczać współrzędne wektorów równych i przeciwnych,
• obliczać współrzędne środka wektora,
• zaznaczać wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdy znane są jego składowe.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
2 Działania na wektorach • wyznaczać współrzędne wektora, który jest sumą, różnicą oraz iloczynem wektora przez liczbę,
• interpretować geometrycznie działania na wektorach,
• rozwiązywać zadania z parametrem, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
3 Współczynnik kierunkowy prostej
• obliczać współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty oraz pisać równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej,
• pisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, gdy znany jest jej współczynnik kierunkowy (w postaci ogólnej i kierunkowej).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
4 Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci kierunkowej,
• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci ogólnej lub kierunkowej,
• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań z parametrem, w których wykorzystuje własności prostych prostopadłych lub prostych równoległych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
5 Środek odcinka i symetralna odcinka
• obliczać długość odcinka,
• wyznaczać współrzędne środka odcinka,
• pisać równanie symetralnej odcinka (o zadanych własnościach),
• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych z parametrem, w których wykorzystuje własności symetralnej odcinka.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
6 Odległość punktu od prostej i odległość dwóch prostych równoległych
• pisać równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt,
• obliczać współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych
• obliczać odległość d punktu 00 , yxP od prostej 0 CByAx korzystając z wzoru 0 0
2 2
Ax By Cd
A B
• obliczać odległość dwóch prostych równoległych określonych równaniami 01 CByAx , 02 CByAx korzystając z
wzoru 1 22 2
C Cd
A B
,
• rozwiązywać zadania z parametrem, w których stosuje się wzór na odległość punktu od prostej, których rozwiązanie prowadzi do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
7 Równanie okręgu i nierówność koła
• pisać równanie okręgu, gdy znane są współrzędne jego środka i promień,
• sprawdzać, czy dany punkt leży na okręgu o znanym równaniu, • obliczać współrzędne środka okręgu i jego promień, gdy równanie okręgu ma postać ogólną,
• określać wzajemne położenie okręgów, gdy znane są ich równania,
• rysować figury (koła i ich części) na płaszczyźnie kartezjańskiej opisane układem nierówności,
• opisywać figury układami równań i nierówności, które są kołami ich częścią lub figurami do których nie należą części koła,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych, w których wykorzystuje własności wzajemnego położenia okręgów.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
8 Wzajemne położenie prostej i okręgu
• obliczać odległość środka okręgu od prostej, czyli określać położenie prostej względem okręgu,
obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu,
• obliczać największą i najmniejszą odległość punktu leżącego na zewnątrz okręgu,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych, w których wykorzystuje się własności wzajemnego położenia prostej i okręgu.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
9 Wyznaczanie równań stycznych do okręgu
• korzystać z własności stycznej do okręgu,
• określać położenie prostej względem okręgu,
• napisać równanie prostej l równoległej (prostopadłej) do prostej – odległej od prostej l o zadaną odległość,
• napisać równanie stycznej do okręgu w punkcie leżącym na okręgu o środku S i promieniu r,
• napisać równanie(a) stycznych do okręgu przechodzących przez punkt odległy od jego środka o więcej niż długość promienia,
• pisać równania stycznych do okręgu, które są równoległe lub prostopadłe do danej prostej,
• obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu rozwiązując układ równań, z których jedno jest równaniem prostej a drugie równaniem okręgu,
• rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz prowadzące do równań z bezwzględną wartością, równań kwadratowych lub liniowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
10 Trójkąt na płaszczyźnie kartezjańskiej
• obliczać obwody trójkątów,
• sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny, gdy znane są jego wierzchołki lub proste, w których zawierają się boki,
• obliczać współrzędne wierzchołków trójkąta,
• wyznaczać równania symetralnych boków trójkąta,
• wyznaczać równania prostych zawierających środkowe trójkąta (środek ciężkości trójkąta),
• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości trójkąta,
• obliczać pole i obwód trójkąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
11 Czworokąty na płaszczyźnie kartezjańskiej
• badać równoległość i prostopadłość prostych (sprawdzać, czy czworokąt jest trapezem, równoległobokiem, prostokątem),
• obliczać współrzędne wierzchołków czworokątów i punkt przecięcia przekątnych,
• wyznaczać równania prostych zawierających boki czworokąta, jego przekątne oraz równania symetralnych jego boków,
• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości czworokąta,
• obliczać pole i obwód czworokąta, gdy znane są jego wierzchołki.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
12 Symetria osiowa względem osi układu współrzędnych
• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych,
• napisać równanie osi symetrii figury (jeśli ona istnieje).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
13 Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych
• obliczyć współrzędne środka symetrii (o ile istnieje) figur na płaszczyźnie kartezjańskiej,
• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Przekształcanie wykresów funkcji
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
14 Obraz wykresów funkcji w symetrii względem osi układu współrzędnych
• mając dany wykres xfy szkicuje obrazy tych wykresów przekształcając je przez symetrię względem:
a) osi x i pisze wzór xfy ,
b) osi y i pisze wzór xfy
15 Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych
• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego równolegle do: a) osi x o p jednostek w prawo (lewo), b) osi y o q jednostek w dół (górę),
• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor 0,pu
, gdzie 0p ,
• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor qw ,0
, gdzie 0q ,
• napisać wzór funkcji przesuniętej o wektor 0,pu
albo o wektor qw ,0
,
• gdy ma wzór funkcji xfy napisać wzory funkcji pxfy oraz qxfy i odwrotnie i podać wektor przesunięcia.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
16 Wykresy funkcji xfy , xfky , y f k x ,
gdzie 0k
• obliczyć bezwzględną wartość liczby a, gdzie Ra
• określić znak wartości funkcji na podstawie wykresu, dla poszczególnych argumentów,
• mając wykres funkcji xfy napisać wzór funkcji
0gdy,
0gdy,xfxfxfxfxfxg
• narysować wykres funkcji xfxg
• dla każdego punktu o współrzędnych xfx, obliczyć współrzędne punktu xfkx , , gdzie 0\Rk
• mając wykres funkcji xfy narysować wykres xkfxg ,
• czyli wiedzieć że obraz punktu xfx, w powinowactwie prostokątnym o osi y i skali k jest punkt o współrzędnych
xfx
k,1
,
• mając wykres funkcji xfy rysuje i pisze wzory funkcji pxfy , qxfy , xfy , xfy , gdzie Rp i Rq oraz wykresy funkcji xfy , xfky i xkfy
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Funkcja kwadratowa
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
17 Wykres i własności funkcji • wśród wzorów funkcji rozpoznać wzory funkcji kwadratowych,
kwadratowej 2y ax • rysować wykresy funkcji 2axy , gdzie 0\Ra ,
• określić dziedzinę, zbiór wartości, podać równanie osi symetrii wykresu, nazwać krzywą oraz przyporządkować wzór postaci 2axy do wykresu funkcji,
• rysować wykresy funkcji kwadratowej 2axy , które są: a) symetryczne względem osi x, b) symetryczne względem osi y, c) przesunięte wzdłuż osi układu współrzędnych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
18 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
• rysować wykres i napisać wzór funkcji kwadratowej określonej wzorem 2axxf przesuniętej o wektor:
a) 0,pu
,
b) q,0
,
c) qpw ,
• podać wektor przesunięcia, wierzchołek paraboli i zwrot jej ramion, gdy wzór funkcji kwadratowej ma postać kanoniczną qpxay 2 , gdzie a, p i q są liczbami rzeczywistymi,
• funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej zapisać w postaci ogólnej i odwrotnie,
• interpretować współczynniki a, p i q we wzorze funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
19 Postać kanoniczna a postać ogólna funkcji kwadratowej
• wyrazić współrzędne wierzchołka W paraboli, gdzie qpW , w zależności od współczynników liczbowych funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej,
• szkicować wykresy funkcji podanej w postaci ogólnej zapisując jej wzór w postaci kanonicznej,
• interpretować współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: a) obliczać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji,
b) podać współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią y ( cf 0 ).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
20 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postać iloczynowa
• obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci ogólnej lub kanonicznej,
• odczytać z wykresu funkcji kwadratowej jej miejsca zerowe i zbiór wartości,
• odróżniać miejsca zerowe funkcji kwadratowej od punktów przecięcia się jej wykresu z osią x,
• obliczyć współrzędne wierzchołka wykresu (paraboli) funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współczynnik a,
• szkicować wykres funkcji kwadratowej korzystając z wzoru zapisanego w postaci iloczynowej.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
21 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
• obliczać wartość funkcji kwadratowej na końcach przedziału ba; , czyli af i bf oraz badać czy ;Wx a b ( MINWy y lub MAXWy y ),
• porównywać liczby af , bf , która z wartości jest najmniejsza, a która największa ( Wf x porównywać z af i bf ,
gdy baxW ; ).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
22 Wyznaczanie wzoru funkcji • odczytać z wykresu funkcji kwadratowej miejsca zerowe (o ile istnieją),
kwadratowej na podstawie informacji o niej
• odczytać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka qpW , ,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są współrzędne wierzchołka wykresu funkcji i jeden punkt różny od wierzchołka,
• napisać oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej, gdy dany jest jej wzór lub współrzędne wierzchołka wykresu,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy dane są trzy punkty leżące na jej wykresie, w tym jeden na osi x,.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
23 Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej
• mając wykres funkcji kwadratowej xfy naszkicować wykres funkcji g, gdzie:
a) pxfxg , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o p jednostek wzdłuż osi x, czyli o wektor 0,pu
,
b) qxfxg , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi y (w górę lub w dół), czyli o wektor q,0
,
c) xfxg , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię względem osi x,
d) xfxg , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f względem osi y,
e) xfkxg , gdzie 0\Rk , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,
f) xfkfxg , gdzie 0\Rk powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,
• opisać przekształcenie, gdy na rysunku dane są wykresy funkcji f i g, z których jeden jest obrazem drugiego.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
24 Nierówności kwadratowe • sprawdzać, czy dana liczba spełnia nierówność kwadratową,
• odczytać zbiory rozwiązań nierówności kwadratowych z wykresu funkcji kwadratowej,
• rozwiązać zadania prowadzące do nierówności kwadratowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
25 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach
• opisywać związek pomiędzy wielkościami liczbowymi za pomocą nierówności,
• wykorzystywać własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym),
• posługiwać się poznanymi metodami rozwiązywania równań kwadratowych do obliczania, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje określone wartości,
• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania nierówności lub równań kwadratowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
26 Układy równań, z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia pierwszego
• podać ilustrację graficzną równania okręgu, hiperboli ayx i równania paraboli,
• sporządzać ilustrację graficzną układów równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,
• odczytać (jeśli jest to możliwe) współrzędne przecięcia się figur, które są ilustracją graficzną równań w układzie równań,
• rozwiązać algebraicznie układy równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,
• rozwiązać prosty układ równań z parametrem, w których obliczenie parametru sprowadza się do rozwiązania równania (nierówności) liniowego albo kwadratowego,
• rozwiązać proste zadanie tekstowe prowadzące do rozwiązania układów równań, z których jedno jest stopnia drugiego.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
27 Równanie kwadratowe z parametrem
• określić stopień równania w zależności od wartości współczynników przy niewiadomej w równaniu kwadratowym i liniowym, tj. równanie cbxax 2 jest kwadratowe, gdy 0a oraz jest liniowe, gdy 0a
• określić liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od wyróżnika Δ,
• rozwiązywać układ nierówności (równań) typu
00a
lub
00a
lub 00
a
,
• stosować wzory Viete’a do wyznaczania parametru w równaniu kwadratowym,
• stosując wzory Viete’a obliczać wartości wyrażeń, np.: 21
11xx
, 32
31 xx itp.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
28 Nierówność kwadratowa z parametrem
• określać stopień trójmianu kwadratowego po sprowadzeniu go do postaci cbxax 2 ,
• wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,
• badać warunki rozwiązania nierówności kwadratowej w zależności od wyróżnika Δ i współczynnika a – zależnych od danego parametru,
• sporządzać wykres trójmianu kwadratowego, czyli funkcji kwadratowej cbxaxxf 2 przy uwzględnieniu przypadków:
(1) 0 , (2) 0 , (3) 0 , gdzie Δ zależy od parametru.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Wielomiany
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
29 Suma, różnica i iloczyn wielomianów jednej zmiennej
• uporządkować wielomian jednej zmiennej oraz określać jego stopień,
• dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany jednej zmiennej,
• określać warunki jakie spełniają wielomiany równe (zagadnienia z parametrem) prowadzące do rozwiązywania równań kwadratowych lub liniowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
30 Dzielenie wielomianów jednej zmiennej z resztą
• porządkować wielomian malejąco lub rosnąco,
• dzielić wielomian jednej zmiennej przez jednomian,
• dzielić wielomiany jednej zmiennej przez dwumian postaci mx i bax , gdzie Rm , 0\Ra i Rb ,
• rozkładać wielomian xW na czynniki, gdy przy dzieleniu wielomianu przez dwumian bax reszta R z dzielenia jest równa zeru ( 0xR ) i wyłączając wspólny czynnik przed nawias,
• rozkładać wielomian na czynniki stosując wzoru skróconego mnożenia,
• obliczać resztę z dzielenia wielomianu xW przez rx jako wartość wielomianu rW ( rWxR ), stosując twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a ,
• rozwiązywać zadania z parametrem, w których określa się dla jakiego parametru wielomian xW jest podzielny przez rx (zadania te sprowadzają się do rozwiązywania równań kwadratowych lub liniowych).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
31 Pierwiastki wielomianu i twierdzenia o nich
• sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
• korzystać z tw. Bèzouta (jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu xW , to rxxQxW i odwrotnie),
• stosować twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych,
• rozwiązywać zadania z parametrem i szukać pierwiastków całkowitych wśród wyrazu wolnego wielomianu,
• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych lub liniowych,
• wskazywać pierwiastek wielokrotny wielomianu,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do prostych równań wielomianowych, kwadratowych lub liniowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
32 Rozkładanie wielomianów na czynniki
Przypomnieć rozkładanie niektórych wielomianów przez stosowanie:
a) wzorów skróconego mnożenia,
b) wyłączania wspólnego czynnika przed nawias,
c) stosowanie wzorów na obliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego,
d) grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
e) stosować tw. o dzieleniu wielomianu przez rx .
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
33 Równania wielomianowe • określić czy dane równanie jest równaniem jednej zmiennej,
• sprawdzać czy dana liczba jest rozwiązaniem równania stopnia wyższego niż 2,
• korzystać z własności iloczynu 0 cba 0a lub 0b lub 0c przy rozwiązywaniu równania typu 0941 2 xxxx ,
• rozwiązywać równania typu 033 xx – rozkładając lewą jego stronę na czynniki 032 xx lub typu
2422 xxx
• każde równanie postaci 0xW zapisać tak, aby lewa strona była iloczynem trójmianów kwadratowych i wielomianu I stopnia albo iloczynem trójmianów kwadratowych,
• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych albo równań kwadratowych i liniowych,
• rozwiązywać równania wielomianowe przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej (np. równania dwukwadratowe),
• rozwiązywać równania wielomianowe z parametrem.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
34 Nierówności wielomianowe • sprawdzać czy dana liczba spełnia nierówność wielomianową,
• rozwiązywać proste nierówności wielomianowe postaci 0xW , 0xW , 0xW i 0xW metodą:
a) siatki znaków,
b) rysując „linię znaków”,
c) rysując wykresy funkcji f i g, gdy xfxgxW , gdzie funkcje f i g są co najwyżej drugiego stopnia,
d) określa znak ilorazu lub iloczynu funkcji f i g,
• rysować przy pomocy komputera lub kalkulatora graficznego wykres xWy i odczytywać z rysunku znaki tej funkcji.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Wyrażenia wymierne
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
35 Wyrażenie wymierne i jego dziedzina
• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego z jedną niewiadomą, w którego mianowniku występuje wielomian dający się
sprowadzić do iloczynu wielomianów stopnia pierwszego (np. dziedziną wyrażenia xPxW
jest zbiór tych liczb dla
których 0xP ),
• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego, gdy jego mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego lub drugiego stopnia z parametrem,
• wskazać wyrażenia wymierne równe.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
36 Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych • określić dziedzinę wyrażenia
W xP x ,
• skrócić wyrażenie wymierne xPxW
,
• skrócić wyrażenie wymierne xPxW
,
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
37 Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
• określać dziedzinę każdego z wyrażeń, które mnożymy lub dzielimy,
• nim pomnoży wyrażenia rozłoży liczniki i mianowniki na czynniki,
• skracać, jeżeli to możliwe mając iloczyny wyrażeń wymiernych, np.
422
22
42222
22
84
223
2
xxx
xx
xxxxx
xx
xx
• dzielić wyrażenia wymierne, gdzie
xQ
xMxWxP
xMxQ
xWxP
: , przy czym zakłada, że 0xW i 0xM i 0xQ .
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
38 Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
• przypomnieć działania na wyrażeniach algebraicznych,
• ustalić wspólny mianownik wyrażeń wymiernych, które dodajemy lub odejmujemy i podać ich dziedzinę,
• dodawać i odejmować proste wyrażenia wymierne (analogicznie jak wyrażenia algebraiczne).
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
39 Rozwiązywanie równań wymiernych
• rozwiązywać proste równania wymierne, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych lub
liniowych, np.: 02
532
x
xx, 2
31
xx
, xx
x 43
, 3
111
xx itp.
• określa dziedzinę każdego równania wymiernego,
• rozwiązywać układy równań wymiernych prowadzących do rozwiązywania układów równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,
• rozwiązywać równania i układy równań wymiernych przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej,
• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań lub układów równań wymiernych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
40 Nierówności wymierne • każdą nierówność wymierną zapisać w jednej z postaci:
0xWxP
lub 0xWxP
lub 0xWxP
lub 0xWxP
, gdzie
0xW
• określić dziedzinę nierówności wymiernej oraz korzystać z twierdzeń:
a) 0xWxP
0 xWxP , b) 0xWxP
0 xWxP ,
c) 0xWxP
, gdy 0 xWxP i 0xW ,
d) 0xWxP
, gdy 0 xWxP i 0xW ,
• rozwiązywać proste nierówności wymierne (po określeniu dziedziny nierówności) rozwiązywać ją jak nierówność wielomianową (lub jako układ nierówności)
Np.: xxx 1
213
lub xxx
xx
33
95
22
itp.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Funkcja wykładnicza
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
41 Potęga o wykładniku rzeczywistym
• szacować wartość potęgi, np.: 32 , 23 , 22 itp.
• przedstawiać w postaci potęgi o zadanej, jednej podstawie wyrażenia, np.: 1 122 2 2
xx , xx 339 2 ,
2121
2
,
• wykonując działania na potęgach o wykładnikach niewymiernych stosować twierdzenia dotyczące działań na potęgach o wykładnikach wymiernych,
• rozwiązywać układy prostych równań wykładniczych prowadzących do równań kwadratowych lub liniowych.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
42 Wzór i wykres funkcji wykładniczej • wśród wzorów np. xy 2 , 32 xy ,
122 3
xy , xy 3 itp. wskazać te, które są funkcjami wykładniczymi,
• szkicować wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach,
• odczytać z wykresu xay , gdzie Ra i 1a własności funkcji wykładniczej,
• obliczać, dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość,
• sprawdzać, czy punkt o danych współrzędnych leży na wykresie funkcji wykładniczej,
• obliczać ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu oraz posługując się poznanymi metodami obliczać dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
43 Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
• mając wykres funkcji wykładniczej xaxf , gdzie Rx i 1x rysuje wykresy funkcji g takich, że:
a) xaxg – w symetrii względem osi x,
b) xaxg – w symetrii względem osi y,
c) pxaxg – w przesunięciu o wektor 0,pu
,
d) qaxg x – w przesunięciu o wektor q,0
,
• mając wykres funkcji xaxf rysuje wykresy funkcji g takich, że: xfxg , xfcxg i xcfxg
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Funkcja logarytmiczna
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
44 Działania na logarytmach (powtórzenie)
• stosować twierdzenia na:
a) logarytm iloczynu: yxyx aaa logloglog
b) logarytm ilorazu: log log loga a ax x yy
c) logarytm potęgi: xnx an
a loglog , gdzie Nn
d) zmieniać podstawy logarytmu ax
xa log
1log i abb
c
ca log
loglog
• w prostych przykładach obliczać niewiadomą, która jest pod znakiem logarytmu, np.: 3log225log2loglog x
• szacuje wartość logarytmów, np.: 2log7 , 15log5 itp.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
45 Funkcja logarytmiczna i jej własności
• rysować wykresy funkcji logarytmicznych o różnych podstawach np.: xy 2log , xy 5,0log itp.
• określać dziedzinę, zbiór wartości funkcji logarytmicznej, miejsce zerowe oraz określa monotoniczność w zależności od podstawy logarytmu,
• korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji logarytmicznej
a) szacuje wartość wyrażenia, np.: 7log2 , 100log5 , 5log3 itp.
b) porządkuje rosnąco lub malejąco wartości wyrażeń, np.: 6log2 , 6log3 , 6log4 itp.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
46 Przekształcanie wykresu funkcji logarytmicznej
• mając wykresy funkcji logarytmicznej xfy i xgy , gdzie funkcja g jest obrazem funkcji f określa jakie przekształcenie wykonano, by z wykresu funkcji g otrzymać wykres funkcji f (lub odwrotnie),
• mając wykres funkcji xy alog szkicuje wykresy:
a) pxy a log , b) pxy a log ,
c) qpxy a log i podaje wektor przesunięcia,
• mając wykres funkcji xy alog rysuje wykres funkcji:
a) xy alog , b) xy a log , c) xy a log ,
d) xy alog , e) xky alog , f) xky alog , gdzie 0k i opisuje to przekształcenie,
• mając wykres funkcji xxf alog , gdzie 1\Ra szkicuje wykres funkcji g, gdzie
a) xxg alog i Rx – w symetrii względem osi x,
b) xxg a log i Rx i xxg a log1 ,
c) pxxg a log i xxg alog1 ,
d) qxxg a log i qxxg log1 ,
e) xfxg ,
f) xcxg alog ,
h) logag x c x , gdzie 0 xc ,
• określać dziedzinę funkcji logarytmicznej oraz tej, która jest obrazem funkcji xxf alog , gdzie Rx i 1\Ra w przekształceniach opisanych powyżej,
• odczytać z wykresu funkcji logarytmicznej pewne dane i pisać jej wzór.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Przykłady zastosowania potęg i logarytmów
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
47 Rozwiązywanie równań typu nx a
• korzystać z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu axn , gdzie Nn oraz:
a) gdy 0a i n jest liczbą naturalną dodatnią,
b) gdy 0a i n jest liczbą naturalną nieparzystą,
• szkicuje wykres funkcji nxxf dla liczb naturalnych: a) n parzystych , b) n nieparzystych,
• określa liczbę rozwiązań równania axn ,
• rozwiązuje równania wielomianowe np.: 011 36 xxxx 011 33 xxx itp.
• obliczać podstawę logarytmu, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji xy alog oraz argument x, gdy dane są y i a,
• zapisuje potęgi liczb naturalnych w notacji wykładniczej,
• korzystać przy obliczaniu wartości wyrażeń z twierdzeń o logarytmach ze szczególnym uwzględnieniem twierdzenia dotyczącego zmiany podstawy logarytmu.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
48 Wzrost, zanik wykładniczy i skala logarytmiczna
• zrozumieć omówienie własności funkcji wykładniczej – przy jednakowych przyrostach argumentu wartość funkcji wykładniczej rośnie (maleje) tyle samo razy,
• sporządzać wykresy np.:
a) 023
tf t f t
– zanik wykładniczy,
b) 0 1,06 tf t f t – wzrost wykładniczy,
gdzie 0t – chwila, w której rozpoczęto obserwację, 0f t – wartość początkowa obserwacji,
• funkcje tfy opisują zjawiska fizyczne, chemiczne oraz zagadnienia osadzone w kontekście praktycznym (spłacanie kredytu lub odsetki przy lokacie),
• opisać zjawiska zmieniające się wykładniczo, przedstawienie na wykresie przy zastosowaniu skali logarytmicznej,
• opisać zjawiska np.: a) przy obliczaniu głośności dźwięku, b) skali Richtera przy trzęsieniu ziemi, c) odczynu pH w roztworach, d) stężenia leku we krwi itp.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
Ciągi liczbowe
L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
49 Pojęcie ciągu liczbowego, jego rodzaje i sposoby określania
• wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,
• rozróżniać ciągi skończone i nieskończone,
• wyznaczać wyrazy ciągu, które ilustruje graf, czyli odkrywa reguły tworzenia kolejnych wyrazów ciągu,
• rozróżniać ciągi stałe, rosnące, malejące i naprzemienne,
• wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy suma jego n początkowych wyrazów jest określona wzorem nS ,
• obliczać wyrazy ciągu, gdy jest on określony wzorem rekurencyjnym,
• napisać wzór rekurencyjny ciągu określonego wzorem ogólnym,
• przedstawić ciąg określony wzorem w postaci grafu, tabelki i wykresu.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
50 Ciąg arytmetyczny i jego własności
• zbadać, czy ciąg określony wzorem ogólnym jest arytmetyczny,
a) napisać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy znane są 1a i r ciągu arytmetycznego,
b) obliczyć w ciągu arytmetycznym jedną wielkość, gdy dane są trzy spośród: na , n, 1a i r,
• określić związek między oszczędzaniem bez kapitalizacji odsetek a ciągiem arytmetycznym, gdy stopa oprocentowania jest stała.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
51 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
• stosować wzory na na i nS ciągu arytmetycznego, gdy:
a) oblicza się sumę wyrazów ciągu arytmetycznego równooddalonych od wyrazu początkowego i ostatniego,
b) oblicza się sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy:
1°) znana jest wartość 1a , na i n, 2°) znana jest wartość 1a , n i r,
c) wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, gdy suma nS określona jest wzorem,
d) rozwiązywać proste równania, gdy lewa jego strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
52 Ciąg geometryczny i jego własności
• badać czy ciąg jest geometryczny:
a) podać warunki, które powinny być spełnione, by trzy liczby w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny oraz:
b) odróżniać ciąg arytmetyczny od geometrycznego,
c) odróżniać różnicę ciągu arytmetycznego od ilorazu ciągu geometrycznego,
• obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym,
• podać związek ciągu geometrycznego z wartością kapitału 1K , 2K , ..., nK , gdy dochód z kapitału K jest rozliczany łącznie z kapitalizacją odsetek (w jednakowych okresach czasowych),
• rozwiązywać proste zadania umieszczone w kontekście praktycznym, wymagające znajomości wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego,
• wyznaczać wzór ogólny ciągu geometrycznego na , gdy znane są jego dwa wyrazy, które są podane lub zaznaczone na wykresie.
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
53 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
• stosować wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
• obliczać sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy znane są:
a) 1a i q,
b) wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego,
c) gdy znane są trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego,
• obliczać jedną spośród czterech wielkości 1a , q, n, nS , gdy znane są wartości trzech,
• rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym z wykorzystaniem wzoru na sumę nS .
w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)
w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)