1

İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ

SÜREKLİ DAĞİLİMLAR-1

PROF. DR. NİHAL ERGİNEL

X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

f(x) =

şeklinde ise x’e düzgün dağılmış rassal değişken,

f(x) ‘ e sürekli düzgün dağılım denir.

SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

a <b ve b-a >0 olduğuna göre , f(x) >0 olur. (1)

= 1 (2)

(1) ve (2) özellik sağlanmaktadır.

f(x) =

2

F(x) =

=

F(x) =

Ortalama:

µ =

=

Varyans:

=

ÖRNEK:

X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

f(x) =

Dağılım fonksiyonu , ortalama ve varyansını

bulunuz.

3

F(x) =

µ =

= 20/2 = 10

=

=

= 33,3

ÇÖZÜM:

ÜSTEL DAĞILIM

X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu

>0 olmak üzere;

f(x) =

f(x) ‘ e üstel dağılım denir.

F(x) =

= 1-

F(x) =

4

µ = B[X] =

=

Değişim katsayısı (DK)=

=

, t < λ

ÖRNEK:

Parametresi λ = 2 olan üstel dağılmış x rassal

değişkenine ait aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.

a)P(X 2)

b)P(2 X 4)

c) P(X 4/ X>2)

5

ÇÖZÜM:

a)P(X 2) =

= F(2)- F(0)

= 1- = 0,9817

b)P(2 X 4) = F(4)- F(2)

= 1- - (1- )

= 0,01798

c)P(X 4/ X>2) =

=

= 0,9825

ÖRNEK:

Bir elektriksel parçanın kullanım ömrünün

yani, hata olana kadar geçen sürenin ortalama

105 saat olmak üzere üstel dağıldığı

bilinmektedir. Bu tür elektriksel parçanın

ömründen önce bozulanların oranını bulunuz.

µ = saat

λ =

=

X üstel ( )

X: hata olana kadar geçen süre

f(x) = , x 0

P(X < ) = F(x)=1- = 0,6312

Parçaların %63’ü saatten önce bozulabilir.

ÇÖZÜM:

6

ÖRNEK:

Bir süpermarkette kasada hizmet verme süresi

ortalaması 40 sn. olarak tespit edilmiştir.

a. Hizmet verme süresi 1 dk.’dan az olanların oranını

bulunuz.

b.Hizmet verme süresinin 1 dk.’dan fazla olduğu

bilindiğinde 2 dk’dan az olanların oranını bulunuz.

ÇÖZÜM: X: hizmet verme süresi (dk.)

µ = 40 sn. = 0,667 dk.

λ =

= 1,5 dk.

P(X) = f(x) =

F(x) =

ÇÖZÜM:

a) P(X 1) = F(1) –F(0)

= 1- – (1- ) = 0,7768

b) P(X<2 / X>1) =

=

=

= 0,7769

Burada iki olasılık aynı çıkmıştır. Buna belleksizlik özelliği denir.

7

Üstel Dağılımın Belleksizlik Özelliği

İki partikül arasındaki

süre ortalaması λ=1,4

dakikadır.

30 saniye (0,5 dakika)

içinde bir partikülün

geçmesi olasılığı 0,30

dur.

Partikülün 3 dakikada

geçmediği bilindiğinde

izleyen 0,5 dakika (3,5

dakika) içinde geçmesi

olasılığı, koşullu

olasılıktır.

Bir partikülün 0,5

dakika içinde geçmesi

olasılığı, partikülün 3

dakikada geçmediği

bilindiğinde izleyen

0,5 dakika içinde

geçmesi olasılığına

eşittir.

Buna belleksizlik

özelliği denir.

8

POİSSON VE ÜSTEL DAĞILIM

ARASINDAKİ İLİŞKİ

X: belirli bir zaman aralığında ilgili olayın ortaya çıkma sayısı

iken;

X Poisson(λ)

: Başlangıçtan t anına kadar geçen sürede ilgilenilen olayın

ortaya çıkma sayısı olarak tanımlanırsa;

Poisson (λt)

P(x) =

x=0,1,2,... şeklinde olur.

T: poisson dağılmış bir rassal değişkenin biri diğerini izleyen iki

olay arasındaki süre olarak tanımlanırsa T’nin dağılım fonksiyonu:

P(T t) = F(t) olup

P(T> t) = 1- F(t) ‘dir.

P(T>t) : Biri diğerini izleyen iki olay arasında geçen sürenin (t) ‘den

büyük olması demek, bu arada ilgili olayın hiç ortaya çıkmaması ,

yani P(X=0) olması demektir.

P(T>t) = P(X=0) =

= = 1- F(t)

F(t) = 1- ( üstel dağılımın dağılım fonksiyonu )

f(t) = λ. , t 0 üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

olur.

Görüldüğü gibi x, ortalaması λt olan bir poisson dağılmış rassal

değişken iken, “gelişlerarası süre” olarak tanımlanan T rassal

değişkenin dağılımı üstel dağılım olur.

9

ÖRNEK:

Bir petrol istasyonuna her 15 dakikada

ortalama 3 müşteri gelmektedir. Bu petrol

istasyonuna gelen müşteriler arası geçen

sürenin dağılımı nedir?

X: 15 dk. içinde gelen müşteri sayısı

λ =3 müşteri/15 dk. = 0,2 müşteri/ dk.

X

P(x) =

µ=

=

= 5 dk/müşteri

ÇÖZÜM:

T: müşteriler arası geçen süre iken T Üstel

Müşteriler arası geçen sürenin dağılımı;

f(t) = 0,2 , t 0 olur.

F(t) = 1-

Müşteriler arası geçen sürenin 8 dk. veya daha fazla

çıkması olasılığı nedir?

P(T 8) = 1 – P(T<8) = 1- F(8) = 1- (1- ) = 0,20

ÇÖZÜM:

10

Bir hamburgerciye öğle saatlerinde her 5 dakikada ortalama 4

müşterinin kuyruğa girdiği bilinmektedir.

a-) Kuyruğa girenler arasında geçen sürenin olasılık yoğunluk

fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.

b-) 5 dk. içerisinde hiç müşteri gelmeme olasılığını bulunuz.

c-) Birbirini izleyen 2 müşteri arasında en fazla 2 dk. geçme

olasılığını bulunuz.

d-) İki müşteri arasında geçen sürenin 3 dk. veya daha fazla olma

olasılığını bulunuz.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:X: 1 dk. da geçen müşteri sayısı

λ=

= 0,8 müşteri / dk.

P(X) =

; x: 0,1,2... iken

a) T: iki müşteri arasında geçen süre(dk.)

f(t) =

F(x) =

b) X: 5 dk. içerisinde gelen müşteri

sayısı

λ= 4 müşteri/ 5 dk.

p(x) =

iken

P(X=0)=

= 0,0183

ÇÖZÜM:

11

c) T: iki müşteri arasında geçen süre (dk)

P(T ) =

= F(2)= 1-

= 0,7981

d) P(T 3) = 1 –P(T<3)

= 1- F(3)= 1-(1- )

=0,0907

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Bir kafeteryada müşterilere hizmet verme

süresi ortalaması 4 dk. dır. Bu kişinin 6 gün

içinde en az 4 gününde 3 dk. dan az bir

sürede hizmet verme olasılığını bulunuz.

T: hizmet için geçen süre

µ=4 dk

λ=

f(t) =

P(T<3) = F(3 ) = 1- = 0,47

ÇÖZÜM:

12

X: 6 gün içinde 3 dk.dan az bir sürede hizmet görülen gün sayısı

X B(0,47;6)

p= 0,47 , n=6

P(X 4) = P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)

= +

+

= 0,40

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Belirli bir parça için hatalar arası geçen sürenin

ortalaması 5 yıldır. Eğer bu parçalardan 5 tanesi farklı

bir sisteme kurulmuş olsaydı, 8. Yılın sonunda en az 2

tanesinin hala çalışıyor olması olasılığını bulunuz.

T: hatalar arası süre

µ=4

λ=

f(t) =

Verilen bir parçanın 8 yıl sonunda hala çalışıyor olması

olasılığı

P(T>8) = 1- F(t)= 1-(1- ) = 0,2

ÇÖZÜM:

13

ÇÖZÜM:

X: 8 yıl sonra da çalışan parça sayısı

X B(0,2;5)

p= 0,2 , n=5

P(X 2) = 1- P(X=0)- P(X=1)

= 1- -

= 0,263

ERLANG DAĞILIMI

• Üstel rassal değişken Poisson sürecindeki ilk olay

meydana gelene kadarki uzunluğu tarif eder.

• X1,X2, … Xn Üstel dağılmış rassal değişkenler iken;

X=X1+X2+…+Xr parametresi λ ve r olan Erlang

dağılmıştır.

• X ~ Erl (λ, r)

• r olay meydana gelene kadar geçen süre veya uzunluk ile

ilgilenildiğinde Erlang Dağılımı olur.

Örnek:

• Büyük bir merkezi bilgisayar sisteminde saatte meydana gelen hata sayısı

0,0001’dir. Sistemde 4 hata olana kadar 40.000 saat geçmesi olasılığını

bulunuz.

• X: Sistemde 4 hata olana kadar geçen süre (saat)

14

Örnek:

• Dakikada 6 müşterinin aradığı bir çağrı merkezinde, 3 müşteri arayana kadar en az 1 dakika geçmesi olasılığı nedir?

• ÇÖZÜM:

• Bir Poisson sürecinde, r aramaları arası geçen süre parametreleri Erlangdağılır.

• λ = 6 müşteri /dk µ= 1/6 dakika/ müşteri (müşteriler arası geçen süre)

• µ= 1/18 dakika/ 3 müşteri ise λ= 1/µ ‘den λ=18

• X: 3 müşteri arayana kadar geçen süre

• X parametreleri λ=18 ve r=3 olan Erlang dağılır.

15

GAMMA DAĞILIMIX > 0 , >0 , > 0 olmak üzere x sürekli rassal değişken olsun.

f(x) fonksiyonuna gamma dağılımı denir.

Burada ;

=

gamma fonksiyonunu verir.

f(x) =

ve ’ ya göre farklılık gösterir.

ÖZELLİKLERİ

1) >1 iken = ( ).

2) 2 iken = ( ).

=( ). ( ).

=( ). ( )... ise;

= ( )! .

ÖZELLİKLERİ

3) =1 iken = = 0! =

1’dir.

= ( )! Olur.

16

GAMMA DAĞILIMININ ARİTMETİK

ORTALAMASIµ =

=

=

.

=

; t<

= 1 iken üstel dağılım olur.

=

. , x 0

= . , x 0 (üstel dağılım)

Üstel dağılım gamma fonksiyonunun özel bir

türüdür.

ÖRNEK:1) Bir ampülün ortalama çalışma süresi 1/2 yıl olarak tespit

edilmiştir. Bir sistemde bu ampullerden 2 adedi birbirlerine

paralel bağlanmışlardır. Bu ampüllerin çalışma süreleri

birbirinden bağımsızdır. Bu sistemin en az 2 yıl çalışması

olasılığını bulunuz.

17

Eğer sistemler birbirinden bağımsız çalışsalardı;

• = 1 için; µ = ½ yıl; =

= 2

• : j. ünitenin ortalama çalışma süresi

• exp(2)

• f(x) =

• = 2 için; Gamma Dağılımı;

• f(x) =

• f(x) =

• = ( )! =1

• f(x) =

+ = 5

18

ÖRNEK:Bir geçici sistem şekilde görüldüğü gibi birbirine bağlanmıştır.

Başlangıçta 1. ünite çalışır konumda, diğer üniteler standby

konumundadır. 1. bozulduğunda 2. ünite, o da bozulursa 3.

ünite devreye girmektedir. Sistem x = + + şeklinde

ifade edilmektedir. Sistemlerin birbirinden bağımsız çalışması

durumunda, her bir sistem ortalaması 100 saat olacak şekilde

çalışacaktır.

Buna göre;

a) Sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.

b) Sistemin en az x saat çalışması fonksiyonunu bulunuz.

c) Sistemin en az 300 saat çalışması olasılığını bulunuz.

ÖRNEK:

a) Eğer sistemler birbirinden bağımsız çalışsalardı;

= 1 için;

µ = 100 saat

=

= 0,01

: j. ünitenin ortalama çalışma süresi

exp(0,01)

f(x) =

ÇÖZÜM:

19

a) Burada 3 sistem olduğuna göre;

= 3 için;

=

= 0,01

f(x) =

f(x) =

= ( )! =2

ÇÖZÜM:

ÇÖZÜM:

b) Sistemin en az X saat çalışması durumu

P(X x) = 1- P(X< x) = 1- F(x) = R(x) (reliability function)

Belirli bir zaman aralığında k adet bağımsız sistemin çalışması;

Poisson Dağılımı:

R(x) =

= . [1+(0,01x)+

]

c) Sistemin en az 300 saat çalışma olasılığı

P(X 300) = . [1+(0,01.300)+

]

= 0,4232