II.1 Definiciones y teoría básicas

Si una matriz tiene m renglones y n columnas, su tamaño es de m por n (se escribe m x n).Una matriz de n x n se llama matriz cuadrada de orden n.

El término aij representa el elemento del i-ésimo renglón y la j-ésima columna de unamatriz A de m x n; con ello, una matriz A de m x n se escribe en la forma A = (UU), x n, osimplemente A = (a& Una matriz de 1 x 1 es sólo una constante o función.

Matriz columna

Una matriz columna X es cualquier matiz can n rcq$mtix3 y una columna:hx= bjzlililL =(b ).il nxi-

AP-4

Apéndice II Introducción a las matrices AP..5

Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector.

Al respecto es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak;por ejemplo,

En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementoscorrespondientes.

Suma de matrices

La suma de

Ap-6 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

Matriz expresada en forma de suma de matrices columna

La matriz única se puede expresar como la suma de tres vectores columna:

/

La diferencia de dos matrices de m x n se define en la forma acostumbrada: A - B = A +(-B), en donde -B = (-l)B.

Obsérvese con detenimiento la definici6n 11.6, en donde sc510 se define el producto AB =C cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. Eltamaño del producto se puede determinar con

A Bmxn nxp = Clllxp.t 4

El lector también reconocerá que los elementos de, por ejemplo, el i-ésimo renglón de la matrizproducto AB se forman aplicando la definición en componentes del producto interior, oproducto punto, del i-ésimo renglón de A por cada una de las columnas de B.

Apéndice II Introducción a las matrices AP-7

Multiplicación de matrices

a)Si*=(: z)yB=(S -i),

4.(-2)+7.83.9+5.6 3.(-2)+5.8

= 78)( 4857 34

5.(++8,2 5.(-3)+8.0

1 .(-3)+0.0

lí -4 -15

= -4 -3

1

. n2.(-3)+7.0 6 -6

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa; esto es, AB #BA. En la parte30 53a) del ejemplo 4 obsérvese que BA = 48

t 182 , mientras que en la parte b) el producto BA no

está definido porque en la definición II.6 se pide que la primera matriz, en este caso B, tengael mismo numero de columnas que renglones tenga la segunda.

Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.

Multiplicación de matrices

Identidad multiplicativa Para un entero positivo n, la matriz de n x n

1= I: 0 s 1 0 0 1 0 0 0 .” ... “. 0 0 i;1es la matriz identidad multiplicativa. Según la Definición 11.6, para toda matriz A de n x n,

AI=IA=A.

También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna de n x 1, entonces IX = X.

AP-8 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

Matriz cero Una matriz formada sólo por elementos cero se llama matriz cero y serepresenta con 0; por ejemplo,

y así sucesivamente. Si A y 0 son matrices de m x n, entonces

A+O=O+A=A.

Propiedad asociativa Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial esasociativa. Si A es una matriz de m xp, B una matriz dep x r y C una matriz de r x n, entonces

A(BC) = (AB)C

es una matriz de m x n.

Propiedad distributiva Si todos los productos están definidos, la multiplicación esdistributiva respecto a la suma:

A ( B + C ) = A B + A C y (B+C)A=BA+CA.

Determinante de una matriz Con toda matriz cuadrada A de constantes, hay unnúmero asociado llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A.

Determinante de una matriz cuadrada

, se desarrolla det A por cofactores del primer renglón:

det A =3 6 22 5 1

-1 2 4

=3(20-2)-6(8+ 1)+2(4+5)= 18

Es posible demostrar que un determinante, det A, se puede desarrollar por cofactores usan-do cualquier renglón o columna. Si det A tiene un renglón (o columna) con muchos elemen-tos cero, por nuestra comodidad debemos desarrollar ese determinante por ese renglón (ocolumna).

Apéndice II Introducción a las matrices AP-9

Transpuesta de una matriz

5b) Si X = 0 0 , entonces XT= ( 5 0 3) .

3 n

Sea A Una matriz de n x n. Si det A ñe 0, $e dice que A es IBO sUrgulw, Si det A = 0, entcmcesA es singdw.

El siguiente teorema especifica una condición necesaria y suficiente para que una matrizcuadrada tenga inversa multiplicativa.

Ap-10 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

El teorema que sigue describe un método para hallar la inversa multiplicativa de una matrizno singular.

Cada Cu en el teorema II.2 es tan sólo el cofactor (o menor con signo), del elemento aijcorrespondiente en A. Obsérvese que en la fórmula (2) se utiliza la transpuesta.

En lo que sigue, obsérvese que en el caso de una matriz no singular de 2 x 2

Para una matriz no singular de 3 x 3,

etcétera. Trasponemos y llegamos a

Cl1 C21 C 3 1

Cl2 C22 C32Cl3 C23 C 3 3

C13=a21 &2l la31 a32 ’

(4)

Inverso de una matriz de 2 x 2

Determine la inversa multiplicativa de A =

SOLUCIÓN Como det A = 10 - 8 = 2 # 0, A es no singular.; por el teorema II. 1, A-’ existe.De acuerdo con (3),

A-l=+ ;)=(-; -;).

Aphdice II Intraduccibn a las matrices AP-11

No toda matriz cuadrada tiene inversa multinlicativa. La matriz A = f2,

porque det A = 0; por consiguiente, A-’ no existe:

22 I es singular

m Inversa de una matriz de 3 x 3

.

SOLUCIÓN Puesto que det A = 12 # 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores co-rrespondientes a los elementos de cada renglón de det A son

De acuerdo con (4),

Pedimos al lector que compruebe que A-IA = AA-’ = 1. n

La fórmula (2) presenta dificultades obvias cuando las matrices no singulares son mayo-res de 3 x 3; por ejemplo, para aplicarla auna matriz de 4 x 4, necesitaríamos calcular dieciséisdeterminantes de 3 x 3.* Cuando una matriz es grande, hay métodos mas eficientes para hallarA-‘. El interesado puede consultar cualquier libro de álgebra lineal.

Como nuestra meta es aplicar el concepto de una .matriz a sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales de primer orden, necesitaremos estas definiciones:

*Hablan& con propiedad, un determinante es un número, pero a veces conviene manejarlo como si fuera un arreglo.

/ll’-12 APÉNDICE II INTRODUCCIbN A LAS MATRICES

: p ,(,2:s2;,:

Intqral de una matríz de hrnciones! , r&:l3 1 :‘i( (,‘, :‘SS,! i‘r S/I> i.“~.:>:r;,:‘,:,‘,’//

Si A(f) = (u&))~ x n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un intervale~~que contiene a t y a te, entonces

Para derivar o integrar una matriz de funciones, tan solo se deriva o integra cada uno de-sus elementos. La derivada de una matriz también se representa con A’(t).

Derivada o integral de una matriz

Si

sen2ti jx(t) = 2 , entonces X’(t) =

I J8t- 1

Y ItX(s) ds =

0

,ó sen 2s ds

I,’ e3’ ds

:,‘(%- 1)ds

d; sen 2t

d 3tdte

$8*-1)

II.2 Eliminaciones de Gauss y de Gauss-Jordan

Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de n ecuacioneslineales con n incógnitas

UllXl + ap$c2 + . . . + alfin = bl

u2lxl + a22x2 + + . . + az,,x,, = b2

(5)

u,,lxl + a,,2x2 + . . . + a,,,,x,, = b,.

Si A representa la matriz de los coeficientes en (5), sabemos que se puede usar la regla deCramer para resolver el sistema, siempre que det A # 0. Sin embargo, para seguir esta regla senecesita un trabajo hercúleo si A es mayor de 3 x 3. El procedimiento que describiremos tienela ventaja de no solo ser un método eficiente para manejar sistemas grandes, sino tambienun método para resolver sistemas consistentes como las ecuaciones (5) en que det A = 0 y unmétodo para resolver m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Apéndice II Introducción a las matrices LU’-13

Si B es la matriz columna de las bi, i = 1,2, . . ., n, La matriz aumentada de (5) se expresacomo (A 1 B).

Operaciones elementales de renglón Se sabe que podemos transformar un sistemaalgebraico de ecuaciones en un sistema equivalente (es decir, un sistema que tiene la mismasolución) multiplicando una ecuación por una constante distinta de cero, intercambiando elorden de dos ecuaciones cualesquiera del sistema y sumando un múltiplo constante de unaecuación a otra de las ecuaciones. A su vez, estas operaciones sobre un sistema de ecuacionesson equivalentes a las operaciones elementales de renglón en una matriz aumentada:

i ) Multiplicación de un renglón por una constante distinta de ceroii) Intercambio de dos renglones cualesquiera

i i i ) Suma de un múltiplo constante, distinto de cero, de un renglón a cualquier otro renglón

Métodos de eliminación Para resolver un sistema como el (5) con una matriz aumen-tada, se emplea la eliminación de Gauss o bien el método de eliminación de Gauss-Jordan.Con el primero se efectúa una sucesión de operaciones elementales de renglón hasta llegar auna matriz aumentada que tenga la forma de renglón-escalón:

i) El primer elemento distinto de cero en un renglón no cero es 1ii) En los renglones consecutivos distintos de cero, el primer elemento 1 en el renglon

inferior aparece a la derecha del primer 1 en el renglón superiori i i ) Los renglones formados únicamente por ceros están en la parte inferior de la matriz

En el método de Gauss-Jordan, se continúa con las operaciones de renglón hasta obtener unamatriz aumentada que esté en la forma reducida de renglón-escalón. Una matriz reducida derenglón-escalón tiene las mismas tres propiedades de arriba, además de la siguiente:

iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos sus demás lugares

Forma de renglón-escalón y reducida de renghescah

a) Las matrices aumentadas

2-1

01

Y( 001-620 0 0 0 1

11 24

M-14 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

están en su forma renglón-escalón. El lector debe comprobar que se satisfacen los trescriterios.

b) Las matrices aumentadas

están en su forma reducida de renglón-escalón. Obsérvese que los elementos restantes soncero en las columnas que tienen un 1 como primer elemento. n

En la eliminacion de Gauss nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en suforma rengón-escalón. En otras palabras, al emplear operaciones de renglón en distintosórdenes podemos llegar a formas distintas de renglón-escalón; por consiguiente, para estemetodo se requiere restituir. En la eliminación de Gauss-Jordan uno se detiene cuando hallegado ‘a la matriz aumentada en su forma reducida de renglón-escalón. Cualquier orden deoperaciones de renglón conduce a la misma matriz aumentada en su forma reducida de ren-glón-escalón. Para este método no se necesita restitución; la solución del sistema se conocerápor inspección de la matriz final. En términos de las ecuaciones del sistema original, nuestrameta en ambos metodos es igualar a 1 el coeficiente de XI en la primera ecuacion,* para luegoemplear múltiplos de esa ecuación y eliminar a xt de las demás. El proceso se repite con lasdemás variables.

Para mantener el registro de las operaciones de renglón que realizaron a cabo en una matrizaumentada, se utilizará la siguiente notación:

Simbolo Significado

R1,CRiCRi + Rj

Intercambio de los renglones i yj

Multiplicación del i-6simo renglón por la wnstante c, distinta de cero

Multiplicación del i-6simo renglón por c y suma del resultado al j-6simo renglón

Solución por eliminación

Resuelva 2~1+ 6x2 + ~3 = 7

x1 + 2x2 - x3 = -1

5x1+7x2-4x3=9

empleando a) eliminación de Gauss y b) eliminaci&r de Gauss-Jordan

SOUJCl6N a) Efectuamos operaciones de renglón en la matriz aumentada del sistemapara obtener

*Siempre se pueden intercambiar ecuaciones, de tal modo que la primera ecuación contenga a la variable xI.

Apéndice II Int roducción a las matr ices AP-15

La última matriz está en su forma renglón-escalón y representa al sistema

Xl + 2x2 - x3 = -1

3 9x2 + - x3 = -

2 2

x3 = 5.

Al sustituir xg = 5 en la segunda ecuación se obtiene x2 = -3. Al sustituir ambos valores enla primera ecuación se obtiene XI = 10.

b) Comenzamos con la última de las matrices anteriores. Puesto que los primeros elementosen el segundo y tercer renglón son 1, debemos hacer que los elementos restantes en lascolumnas dos y tres sean cero:

La última matriz ya se encuentra en su forma reducida de renglón-escalón. Por el significadode esta matriz en términos de las ecuaciones que representa, se ve que la solución del sistemaes XI = 10, x2 = - 3 y x3 = 5. I

’ 0m Eliminación de Gauss-Jordan 9

Resuelva x+3y-2z=-7

4x+ y+32=5

2x - 5y + 72 = 19.

S O L U C I Ó N Resolveremos este sistema con la eliminación de Gauss-Jordan:

AP-16 APÉNDICE II INTRODUCCIdN A LAS MATRICES

En este caso, la ultima matriz en su forma reducida de renglón-escalón implica que el sistemaoriginal de tres ecuaciones con tres incógnitas equivale a uno de dos ecuaciones con tresincógnitas. Dado que sólo z es común a ambas ecuaciones (los renglones no cero), podremosasignarle valores arbitrarios. Si hacemos que z = t, donde r representa cualquier mímero real,vemos que el sistema tiene una cantidad inñnita de soluciones: x = 2 - t, y = -3 + t, z = t.Geom&ricamente, éstas son las ecuaciones param&ricas de la línea de intersección de losplanosx+Oy+z=2yOx+y-z=-3. n

II.3 El problema de los valores propios

La eliminación de Gauss-Jordan sirve para hallar los vectores propios (eigenvectores) de unamatriz cuadrada.

vabres propios y veccilr8;r prapios

Sea A una matriz de n x n. Se dice que un número X es un vaior propio de A si existe un,vector solución K, no cero, del sistema lineal

El termino híbrido eigenvulor se usa como traduccion de la palabra alemana eigenwerfque significa ‘Lvalor propio.” A los valores propios y vectores propios se les llama tambiénvalores característicos y vectores característicos, respectivamente.

Vector propio de una matriz

Compruebe que K = es un vector propio de la matriz

S O L U C I Ó N Al multiplicar AK

valor propio

AK= [-; -; -;)[-i)= F]= (-2) [-i)= (-2jK.

De acuerdo con la definición II.3 y lo que acabamos de decir, X = -2 es un valor propiode A. n

Apéndice II In t roducción a las matr ices AP-17

Si aplicamos las propiedades del álgebra de matrices, podemos expresar la ecuación (6)en la forma alternativa

(A - XI)K = 0, (7)

en que 1 es la identidad multiplicativa. Si definimos

la ecuación (7) equivale a

(~1 - WI + q2kz + . . . + alnk,, = 0

azlk, + (~22 - X)k2 +. . . + u2,,k,, = 0

(8)

anlh + u,,2k2 + . . + (un,, - X)k, = 0.

Aunque una solución obvia de (8) es kl = 0, k2 = 0, . . ., k, = 0, solo nos interesan las solucionesno-triviales. Se sabe que un sistema homogeneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas [estoes,bi=O, i= 1,2,. . ., n en (5)] tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de lamatriz de coeficientes es igual a cero. Así, para hallar una solución K distinta de cero dela ecuación (7) se debe cumplir

det(A - XI) = 0. (9)

Al examinar (8) se ve que el desarrollo del det(A - XI) por cofactores da un polinomio de gradon en X. La ecuación (9) se llama ecuación característica de A. Así, los valores propios de Ason las raíces de la ecuación característica. Para hallar un vector propio que corresponda alvalor propio X, se resuelve el sistema de ecuaciones (A - XI) K = 0, aplicando la eliminaciónde Gauss-Jordan a la matriz aumentada (A - XI ] 0).

Valores propios y vectores propios

1 2 1Determine los valores y vectores propios de A = 1 16 -1 0 .

-1 -2 -1

SOLUCIÓN Para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usamoslos cofactores del segundo renglón:

l-X 2 1det(A - XI) = 6 -l-X 0 =-x3--x2+ 12x=o.

-1 -2 -1 -x

Puesto que -X3 - X2 + 12X = -X(X + 4)(X - 3) = 0, los valores propios son Xt = 0, XZ = -4y Xs = 3. Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces (A - XI ( 0), lo cualcorresponde a los tres valores propios distintos.

m-18 APÉNDICE I I INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

Para XI = 0,

<

4Entonces, kl = - $3 y k2 = - $3. Si k3 es -13, obtenemos el vector propio*

Si X2 = 4,

(A+,,,,=[-; -i -i !]zl ; -; i]

2::: 1 I; ; i] $: k ; ; J -4R::: 1 ; Bi

esto es, kl = -k3 y k2 = 2k3. Con la opción k3 = 1 se obtiene el segundo vector propio

-1K2= 2 .

(11

Por último, cuando XJ = 3, la eliminación de Gauss-Jordan da

(&3I,())f I; (j ~]“!?%!t!!.~ 1 i !]

y así k1 = -k3 y k2 = - ik3. La opción k3 = -2 conduce al tercer vector propio:

2K3= 3 .(1-2

000

*Naturalmente, k3 pudo ser cualquier número distinto de cero; en otras palabras, un múltiplo constante distinto de cerode un vector propio tambih es un vector propio.

Apéndice II Introducción a las matrices AP-19

Cuando una matriz A de n x n tiene n valores propios distintos, Xr , Xz, . . . , &,, se demuestraque se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes* Kl, K2, . . ., &;sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallarn vectores propios de A linealmente independientes.

Valores propios y vectores propios

“‘)lDetermine los valores y vectores propios de A = -1 7 .

SOLUCIÓN Partimos de la ecuación característica I

det(A-XI)= 131: 7!x 1 =(X-5)2=0

y vemos que Xr = Xz = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matrizde 2 x 2, no se necesita la eliminación de Gauss-Jordan. Para determinar el o los vectorespropios que corresponden a Xt = 5, recurriremos al sistema (A - 5110), en su formaequivalente

-2k, + 4k2 = 0

-k, + 2k2 = 0.

De aquí se deduce que kl = 2kz. Así, si escogemos k2 = 1, llegamos a un solo vector propio:

Valores propios y vectores propios

.

SOLUCIÓN La ecuación característica

9-x 1 1det(A - XI) = -1 9-x 1 =( x-ll)(X-8)2=0

1 1 9-x

indica que Xt = ll y que X2 = Xs = 8 es un valor propio de multiplicidad dos.Si XI = ll, la eliminación de Gauss-Jordan da

*La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones.

AP-20 APÉNDICE I l INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

Por consiguiente, KI = k3 y kz = k3. Si k3 = 1,

Cuando X, = 8,

En la ecuación kl + k2 + k3 = 0 podemos dar valores arbitrarios a dos de las variables. Si poruna parte optamos por kz = 1 y k3 = 0 y, por otra k2 = 0 y k3 = 1, obtenemos dos vectorespropios linealmente independientes:

Las respuestas a los problemas de ntintero impar comienzan en la págiina R-24.

- Il.1

a ) A + B b ) B - A c)2A+3B

Z.SiA=l :]y~=[-i :],determine

a ) A - B b ) B - A c) 2(A + B)

LSiA=(-z -i)yB=(-: 2),determine

a) AB b) BA c)A’=AA d) B2 = BB

a) AB b) BA

,.SiA=(-i -i),B=(z :)yC=l i),determine

a) BC b) NBC) cl WA) d) A(B + C)

Apéndice II Introducción a las matrices AP-2 1

6.SiA=(5 - 6 7),B=[-i)yC=b 5 -i],determine

a) AB b) BA c) (WC d) (WC

47. Si A =

í 1

8 y B = (2 4 5), determine-10

a) ATA b) BTB c)A+BT

8.SiA=(i i)yB=(-: :),determine

a)A+BT b) 2AT - BT c) AT(A - B)

!kSiA=(8 l)yB=(-i !:),determine

a) (AWT b) BTAT

,&SiA=(: i)yB=(I: ‘l),determine

a)AT+BT b) (A + B)T

En los problemas ll a 14 exprese la suma en forma de una sola matriz columna.

En los problemas 15 a 22 seflale si la matriz dada es singular o no singular. Si es no singular,determine A-’ .

AP-22 APÉNDICE II INTRODUCCbN A LAS MATRICES

En los problemas 23 y 24 demuestre que la matriz dada es no singular para todo valor real det. Encuentre A-‘(t).

24. A(t) = ‘;; cz ; “;: ;;;;

En los problemas 25 a 28 determine dWdt.

26. X =sen 2t + 5 cos 25

27.X=2(m:)e2t+4(f)e-3t (jzfij)28. x =

29. Sea A(t) = (2: 5-:). Determine

dAa)dt b) j2A(t) dt

0c ) I,’ A(s) ds

c) I,’ AO) dj d) j12 B (0 dj

e) AWW df) z NOW) g) ,: A(s)B(s) ds

- Il.2

En los problemas 3 1 a 38 resuelva el sistema correspondiente de ecuaciones por elhina&nde Gauss o por eliminación de Gauss-Jordan.

31. x+ y-2z=14 32.5x-2y+4z=lO2x - y + z = o x + y + z=96x + 3y + 42 = 1 4.x - 3y + 32 = 1

33. y + z = - 5 34.3x+ y + z=45x+4y-162=-10 4x+2y- z=7x - y - 5z=7 x+ y-3z=6

35. 2x+ y + z = 4 36. x+ 22 = 8lOx--2y+2z=-1 x+2y-2z=46x-2y+4z=8 2x+5y-6z=6

Apéndice I I Int roducción a las matr ices AP-23

3 7 . x1+x2- x3-x4=-1 38.2x1+ xq+ x3 = 0x1 + x2 + x3 + x4 = 3 ~1 + 3x2 + X3 = 0XI-x2+ xg-x4=3 7x1 + x2 + 3x3 = 0

4x1 + x2 - 2x3 + x4 = 0

En los problemas 39 y 40 aplique la eliminación de Gauss-Jordan para demostrar que el sistemadado de ecuaciones no tiene solucidn.

39. x + 2y + 42 = 2 40. Xl + x2 - x3 + 3x4 = 12x+4y+3z=l x2 - x3 - 4x4 = 0x+2y- z=7 XI + 2x2 - 2x3 - x4 = 6

4x1 + 7x2 - 7x3 = 9

En los problemas 41 a 48 determine los valores propios y los vectores propios de la matrizrespectiva.

En los problemas 49 y 50 demuestre que cada matriz tiene valores propios complejos.Determine los vectores propios respectivos.

51. Si A(t) es una matriz de 2 x 2 de funciones diferenciables y X(r) es una matriz columna de2 x 1 de funciones diferenciables, demuestre la regla de la derivada de un producto

2 [A(t)X(t)] = A(t)X’(t) + A’(t)X(t).

52. Demuestre la fórmula (3). [Sugerencia: determine una matriz B = hl h2

( 1h hpara la cual

AB = 1. Despeje bll, bl2, b21 y &. A continuación demuestre que BA = 1.1

53. Si A es no singular y AB = AC, demuestre que B = C.

54. Si A y B son no singulares, demuestre que (AB)-’ = Be1 A-l.

55. Sean A y B matrices de n x n. En general, Les (A + B)2 = A2 + 2AB + B2?

1-$, n es un entero positivo

7. sen kí

8.wskt

9 . sen2kt

10. cos2kf

l l . e”’

s4k2s

s2+k22k2

s(s’ + 4k 2,s2+2k2

s(s2 +4P)1

s - a

12. senh kt

13. cosh kt

14. senh2kl

15. cosh2k

16. tea?

k

S2-2s

s-k22k2

s(.? - 4k2)s2-2k2

~(2 - 4k2)1

(s - a)2

AP-24