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XI Congreso Internacional de la Academia de Ciencias Administrativas A.C. (ACACIA)

MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA PARA EL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO

MESA DE TRABAJO: FINANZAS Y ECONOMIA

AUTORES:

PEDRO ALEJANDRO RAMIREZ RAMIREZ (INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS

CIUDAD DE MEXICO)

ELIAS RAMIREZ RAMIREZ (INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS

CIUDAD DE MEXICO)

DIRECCION:

Huizaches 350 – 19 Arboledas del Sur, CP. 14376 México D.F. Tels. 5603 50 29 Fax: 5483­2337

e­mail: elias@itesm.mx; eramirez@mit.edu

Mayo 22­25, ITESO, Guadalajara Jalisco

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MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA PARA EL CÁLCULO DEL VALOR

EN RIESGO

RESUMEN

Estimar y predecir la volatilidad es una actividad en constante evolución y es

preponderante para los administradores de riesgo a fin de evitar que una institución

o inversionista pueda sufrir pérdidas económicas inaceptables. Años atrás, los

analistas preferían cantidad a calidad (cuantos más datos históricos mejor) y

proyectaban rutinariamente las volatilidades a meses e incluso años. Sin embargo,

hoy se sabe que datos recientes tienen mucha más relevancia en la predicción de la

volatilidad futura.

En este trabajo se estimó el VaR de un portafolio compuesto por acciones que

integran el IPC a partir de las metodologías financieras clásicas y a partir de la

actualización de la matriz de varianza­covarianza con diferentes modelos de

volatilidad estocástica discretos y continuos.

La estimación se realizó para dos periodos diferentes, el primero de ellos con alta

volatilidad y el segundo con baja volatilidad. En general se encontró que el VaR

estimado es mayor en los periodos de alta volatilidad que en los periodos de baja

volatilidad y que de acuerdo a la clasificación del Banco Internacional de Pagos

todas las metodologías utilizadas se encuentran en la zona de aceptación para un

99% de confianza, por lo cual no necesitan corrección alguna los modelos.

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MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA PARA EL CÁLCULO DEL VALOR

EN RIESGO

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años se ha tenido un desarrollo importante en la administración de

riesgos, convirtiéndose en uno de los temas preponderantes para diferentes

instituciones financieras, ya sea del sector público o del sector privado; la

administración se lleva a cabo mediante la identificación, medición, monitoreo y

control de los riesgos derivados de fluctuaciones en los precios de mercado, índices,

tipos de cambio, tasas de cambio y otros factores de riesgo en los mercados de

dinero, mercados cambiarios y productos derivados a los que se encuentra

expuesto.

El desarrollo de métodos para cuantificar el riesgo no es un tema nuevo, sin

embargo, no fue sino hasta 1994, cuando se publicó el documento técnico de J.P.

Morgan donde se proponía un método para cuantificar el riesgo de mercado

asociado a instrumentos financieros o portafolios con varios tipos de instrumentos a

través del cálculo de un solo número, lo que se conoce como “valor en riesgo”. A

partir de entonces, el valor en riesgo es una de las medidas que se utilizan con

mayor frecuencia, por los intermediarios financieros, en la estimación de pérdidas

potenciales en el rendimiento de un portafolio, en un periodo de tiempo y con un

nivel de confianza dados.

Jorion [1997] y Crouhy, Galai y Mark [2001], definen al Valor en Riesgo ó VaR

(Value at Risk por sus siglas en ingles) como la pérdida máxima esperada (o peor

pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo en un intervalo de confianza

dado.

El Valor en Riesgo es una de las herramientas más empleadas para la medición de

riesgo. Algunas de las razones para su popularidad son la sencillez y su versatilidad

al aplicarse a todas las posiciones de riesgo o carteras de inversión y a todos los

niveles de una institución financiera.

4

El VaR es una medida del riesgo de mercado, es decir de la probabilidad de sufrir

pérdidas como consecuencia de cambios en los precios de los activos financieros

que conforman un portafolio de inversión, además de que una de sus principales

características es que es una medida homogénea del riesgo asumido, agregando

todos los factores de riesgo y ofreciendo un único dato que es comparable.

En este contexto, nos vamos a referir a riesgo como la medida de la volatilidad de un

activo y el objetivo de la administración de riesgos es evitar que una institución o

inversionista sufra pérdidas económicas inaceptables ocasionadas por esta

volatilidad, y como consecuencia mejorar el desempeño financiero de dicho agente

económico basado en límites conocidos de riesgo.

La volatilidad es una medida de la fluctuación de los rendimientos de un activo.

Cuanto más volátil es un activo, mayor es la posibilidad de realizar grandes

beneficios o pérdidas. Puesto que el VaR está relacionado con el riesgo, mide la

volatilidad para estimar la pérdida máxima que puede sufrir un portafolio, en un

período de tiempo particular.

Por esta razón es esencial estimar la volatilidad de un portafolio y a medida que sea

modelada de una mejor forma, también será más realista y mejor la estimación del

VaR. Actualmente existen diferentes modelos entre los que podemos diferenciar los

modelos discretos en el tiempo y los continuos; entre los discretos se encuentran los

modelos GARCH, IGARCH, PARCH, etc. y entre los continuos se encuentra el de

Heston, CIR, Jacquier, Polson and Rossi, etc.

Los modelos continuos de volatilidad estocástica, tienden a aproximar lo que ocurre

en la realidad ya que consideran un parámetro de incertidumbre, que es el

movimiento geométrico browniano. En estos modelos la volatilidad está cambiando a

través del tiempo de acuerdo a una ecuación diferencial estocástica, donde S

satisface el precio del activo.

( ) ( ) s dS S t dt S t dw α σ = + (0.1)

5

Desde el punto de vista econométrico son complicados este tipo de modelos porque:

• La varianza no es observada

• El modelo no es Gaussiano y es difícil la estimación de la función de máxima

verosimilitud debido a múltiples integrales.

Por ello requiere simulaciones y cálculos computacionales los cuales suelen ser muy

extensos.

Para calcular el valor en riesgo se tienen tres metodologías generales, las primeras

dos basadas en simulaciones, simulación Monte Carlo y simulación histórica, en

donde el objetivo en ambas es simular el valor del factor de riesgo t ∆ ; la tercera

incluye a las metodologías paramétricas que incluyen el cálculo de una matriz de

varianza­covarianza.

Para la obtención del VaR de forma paramétrica necesitamos una previsión de las

volatilidades de los rendimientos del activo, no obstante las series financieras son

heteroscedasticas, bajo algunos supuestos puede pronosticarse la volatilidad de

manera eficiente.

La estructura de este artículo es la siguiente, en la siguiente sección se describirán

las metodologías para el cálculo del VaR y los modelos de actualización de la matriz

de varianza­covarianza, en la tercer sección se explicarán los fundamentos de

estadística Bayesiana y los modelos de Cadenas de Markov con Simulación Monte

Carlo, en la cuarta sección se mostrarán las pruebas de backtesting para la

verificación del modelo; en la quinta sección se construirán los portafolios y

describiremos la metodología del trabajo; en la sexta sección se discutirán los

resultados preliminares y resultados esperados y en la séptima sección se

presentarán las conclusiones preliminares

2. MARCO TEÓRICO

El valor en Riesgo se define como la máxima pérdida esperada dado un nivel de

confianza c y un horizonte de tiempo N . De esta forma el VaR es la distancia que

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se tiene del percentil ( ) 1 % c − a la media de la distribución del cambio en el valor del

portafolio p ∆ . En su forma más general, el VaR puede derivarse de la distribución de

probabilidad del valor futuro del portafolio f(w). Dado un nivel de confianza c , se encuentra la peor realización posible de w tal que la probabilidad de exceder dicho

valor sea c :

( ) w

c f w dw ∞

= ∫ (0.2)

Visto de otra forma, se busca que la probabilidad de un valor inferior al cuantil W ,

( ) p P w W = ≤ sea 1 c − :

1 ( ) ( ) W

c f w dw P w W p −∞

− = = ≤ = ∫ (0.3)

Para el cálculo del VaR existen tres metodologías principalmente: simulación

histórica, simulación Monte Carlo y modelos paramétricos.

2.1 Simulación histórica

Consiste en generar escenarios de los factores de riesgo sobre la información

observada en un determinado número de días. Para aplicar esta metodología se

deben identificar primero los componentes de los activos de los portafolios y reunir

los datos de los precios diarios históricos considerando un periodo que oscila entre

250 y 500 datos. A partir del histograma de frecuencias de los rendimientos

simulados se calcula el cuantil correspondiente de dicho histograma.

Para esta aproximación no se emplea ningún supuesto sobre la distribución de los

rendimientos, ni se supone ningún tipo de comportamiento de los parámetros. Para

calcular el VaR se busca el percentil empírico de los rendimientos históricos, o

cambios porcentuales. Por el hecho de que no supone ninguna distribución en

específico, este método tiene en cuenta posibles distribuciones no­normales y colas

pesadas. Dado que no se basa en modelos de valuación, no está propenso al riesgo

del modelo. Además permite no linealidades y captura los riesgos gamma y vega.

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Por otro lado, al utilizar el supuesto de que el pasado representa acertadamente el

futuro inmediato, no toma en cuenta la predecible variación en el tiempo omitiendo

situaciones con volatilidad temporalmente elevada.

2.2. Simulación Monte Carlo

La simulación Monte Carlo 1 consiste en obtener de manera repetida los valores de

los precios o rendimientos de un activo o portafolio de activos a partir de la

distribución de probabilidad conocida que gobierna el comportamiento de un activo

subyacente. Cada valor generado aleatoriamente, conocido como intento, paso o

escenario, nos da un valor posible para nuestro activo o portafolio de activos en el

horizonte de tiempo establecido. El propósito es generar una cantidad

“suficientemente” grande de escenarios, de manera tal que la distribución simulada

de los valores del activo o portafolio converja hacia su distribución de probabilidad

real. Una vez inferida la distribución del activo o portafolio, el paso siguiente es

calcular el Valor en Riesgo.

La simulación Monte Carlo tiene la ventaja de que se puede utilizar cualquier

distribución de probabilidad para los factores de riesgo, incluyendo sus

dependencias entre ellos, pudiéndose modelar cualquier portafolio compuesto por

instrumentos no lineales. Sin embargo su desventaja principal radica en el uso

intensivo de los recursos de cómputo para realizarla.

2.3 Modelos paramétricos

Realizan la estimación del VaR con ecuaciones que especifican parámetros como la

volatilidad y la correlación, además implican suponer una determinada función de

distribución.

Para calcular el Valor en Riesgo de un portafolio se utilizan técnicas de estadística

para portafolios de activos:

[ ] [ ][ ][ ] C σ σ Σ = (0.4)

[ ] Σ : Matriz de Varianza­ Covarianza que incluye las correlaciones entre los factores

que afectan el valor del portafolio ( ) n n × .

1 Usada por Boyle, P.[1977] por primera vez para valuar opciones.

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[ ] σ : Matriz diagonal de desviaciones estándar de los cambios porcentuales de los

factores de riesgo

[ ] C : Matriz de correlaciones

Con lo cual la desviación estándar del cambio porcentual del valor del portafolio es:

[ ] [ ][ ] T p w w σ = Σ (0.5)

p σ =Volatilidad del cambio porcentual del valor del portafolio (1 x 1).

[ ] T w =Vector transpuesto de los pesos de las posiciones del portafolio (1 x n)

[ ] w =Vector de los pesos de las posiciones del portafolio (n x 1)

Una vez conocida la desviación estándar del cambio porcentual del valor del

portafolio, el Valor en Riesgo es simplemente una constante que depende del nivel

de confianza c , multiplicada por la desviación estándar del portafolio, P P σ .

1 ( ) c p VaR c z P σ − = − (0.6)

Donde 1 c z − corresponde al cuantil apropiado de la distribución normal estándar. A

pesar de que el supuesto de normalidad simplifica los cálculos del VaR, esto implica

un costo relativamente alto pues las rentabilidades diarias poseen colas pesadas,

(Alonso y Arcos [2005])

De esta manera al analizar precios y rendimientos a través del tiempo para la

estimación del VaR, comúnmente se encuentra que existen colas anchas, asimetría

en los rendimientos, formación de Clusters de volatilidad y correlación negativa entre

el rendimiento y la volatilidad. No obstante que las series de tiempo financieras son

heteroscedásticas a través del tiempo, bajo algunos supuestos puede pronosticarse

la volatilidad de manera eficiente.

Los modelos GARCH han tenido éxito al modelar la volatilidad en retornos

financieros (Bollerslev [1986]), además existen diversos estudios que muestran que

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hay mejoras en la estimación del VaR asociados con modelos GARCH. (Mittnik y

Paolella [2000]).

Estimar el valor de la volatilidad de los factores de riesgo es fundamental para la

administración de riesgo en los portafolios de instrumentos financieros, para ello se

utilizan comúnmente varias metodologías para calcular la volatilidad entre las que se

encuentra el promedio móvil ponderado exponencialmente o proceso EWMA por sus

siglas en inglés, utilizado entre otros por RiskMetrics, en donde dan más peso a las

observaciones recientes. También se usan modelos GARCH (Generalized

Autorregresive Conditional Heteroscedasticity) y sus derivaciones que suponen que

la volatilidad es un proceso estocástico. A continuación se hará una breve

descripción de estos modelos:

2.3.1 GARCH(1,1)

Un modelo GARCH (Engle [1982] y Bollerslev [1986]) tiene como propósito estimar

la varianza no condicional de los rendimientos de los activos financieros. Estos

modelos son procesos autorregresivos generalizados con heteroscedasticidad

condicional, es decir modelos que suponen que la varianza cambia a través del

tiempo.

2 2 2 0 1 1 2 1

t t t

t t t

t t t

r a a

a

µ σ ε

σ β β β σ − −

= +

=

= + +

(0.7)

Con : [ ] 0,1 t IID ε ≈ y 1 2 1 β β + <

La primera ecuación en (0.7) es para estimar los rendimientos, de la cual la media

de los rendimientos puede estimarse como un ARMA ( , p q ), la segunda muestra

como se comportan las perturbaciones y la tercera ecuación sirve para modelar la

varianza.

La varianza se explica solo por un valor rezagado de la varianza y un valor rezagado

de los residuales. La distribución de los rendimientos es normal y el pronóstico de

largo plazo incluye al valor de la varianza no condicional.

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2.3.2 MGARCH 2

Es similar a los procesos GARCH al estimar la varianza de los datos, sin embargo

introduce un premio al riesgo en la estimación de los rendimientos. Para estimar los

rendimientos puede tomarse la media como un ARMA ( , p q ) 2

2 2 2 0 1 1 2 1

t t t t

t t t

t t t

r c a a

a

µ σ σ ε

σ β β β σ − −

= + +

=

= + +

(0.8)

Con [ ] 0,1 t IID ε ≈

2.3.3 EGARCH 3

La volatilidad se estima mediante un modelo logarítmico de tal forma que no se

requiere que el valor de los coeficientes sea positivo. El modelo supone que la

distribución de los errores es normal. Este modelo es similar a los AGARCH en

donde se incorpora la asimetría en la volatilidad en condiciones a la baja o a la alza

en los mercados.

( ) ( ) 2 2 1 0 3 4 5 1

1

ln ln

t t t

t t t

t t k t t

t t k

r a a

a a

µ σ ε

σ β β β β σ σ σ

− − −

− −

= +

=

= + + +

(0.9)

Con [ ] 0,1 t IID ε ≈

2.3.4 PARCH 4

Ding, Granger y Engle (1993) propusieron un modelo más general en donde se hace

endógena la potencia de los parámetros. Por lo que 6 β introduce un término de

asimetría en respuesta a los shocks pasados y δ corresponde a la óptima potencia

estimada de los datos.

t 0 1 1 2 1 6 1

t t t

t t t

t t t

r a a

a a δ δ δ

µ σ ε

σ β β β σ β − − −

= +

=

= + + +

(0.10)

Con [ ] 0,1 t IID ε ≈

2 Mean GARCH 3 Exponential GARCH 4 Power ARCH

11

Se propone modelar un valor potencial de la desviación típica que aproxime al

máximo de la función de autocorrelación del valor absoluto del proceso.

Teóricamente al hacer endógena la potencia y al introducir un parámetro de

asimetría, la dinámica de la estimación del modelo PARCH mejora significativamente

la estimación de la volatilidad.

2.3.5 TARCH 5

Algo interesante en las series de tiempo financieras es que las malas noticias tienen

un mayor efecto en la volatilidad que las buenas noticias, para muchos activos hay

una correlación negativa entre los rendimientos y la futura volatilidad, es decir

cuando en una serie existen rendimientos negativos van a generar un aumento en la

volatilidad, así como al tener rendimientos positivos la volatilidad va a disminuir.

Glosten, Jaganathan and Runkle (1994) muestran que los efectos de las buenas y

malas noticias tienen diferentes efectos en la volatilidad y existirían dos regímenes.

2 2 2 2 0 1 1 2 1 7 1

1

1

1 0 0 0

t t t

t t t

t t t t

t

t

r a a

a a

a a

µ σ ε

σ β β β σ β ρ

ρ

− − −

−

−

= +

=

= + + +

< =

>

(0.11)

Con [ ] 0,1 t IID ε ≈

La tendencia de la volatilidad a disminuir cuando los rendimientos aumentan y a

aumentar cuando los rendimientos disminuyen es llamada efecto de

apalancamiento.

2.3.6 IGARCH 6

Es un caso particular del GARCH, en el cual el pronóstico no converge al nivel de

equilibrio de largo plazo. La distribución es normal. Bajo ciertas condiciones el

modelo es parecido al EWMA.

5 Treshold GARCH 6 Integrated GARCH

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2 2 2 0 1 1 1 1 (1 )

t t t

t t t

t t t

r a a

a

µ σ ε

σ β β β σ − −

= +

=

= + + −

(0.12)

Con [ ] 0,1 t IID ε ≈

La varianza condicional es una función decreciente en forma geométrica. Los

modelos IGARCH se calculan de forma similar que los GARCH.

2.3.7 EWMA

Si las ponderaciones decrecen exponencialmente conforme nos movemos hacia

observaciones más lejanas en el pasado; en específico 1 i i α λα − = , con λ una

constante entre cero y uno; se tiene el modelo conocido como EWMA (Exponentially

Weighted Moving Average), cuya fórmula es: 2 2 2

1 1 (1 ) t t t a σ λ λ σ − − = + − (0.13)

La cual puede interpretarse en el sentido de que el valor estimado para la varianza

en la fecha t se puede calcular usando la información de la varianza en la fecha 1 t −

y el rendimiento obtenido en la fecha t .

Una de las ventajas más importantes del modelo EWMA es que para estimar la

varianza del día t sólo es necesario conocer la varianza pasada y el rendimiento en

el día t . Es decir que conociendo la varianza del tiempo anterior y el nuevo dato del

valor del rendimiento del factor se puede actualizar el valor de la varianza al tiempo t .

El modelo EWMA permite darle seguimiento a los cambios en la volatilidad del factor

de mercado; el parámetro λ da la sensibilidad de respuesta del estimado de la

volatilidad diaria a la nueva información disponible, es decir, determina el grado de

reacción de la volatilidad a los eventos de mercado, mientras que ( ) 1 λ − , el

coeficiente de la varianza del tiempo anterior, determina la persistencia en

volatilidad. Una alta λ (cercana a uno) produce estimados que responden

rápidamente a la nueva información de los cambios relativos del factor, en cambio

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una baja λ (cercana a cero) produce estimados de volatilidad que responden

lentamente a la nueva información

2.3.8 MODELOS CONTINUOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA

La volatilidad de un portafolio no es constante, por lo tanto requiere de un

tratamiento adecuado modelándola como un proceso estocástico continuo, en un

modelo de Volatilidad estocástica, la volatilidad va cambiando de forma aleatoria de

acuerdo a una ecuación diferencial estocástica en forma continua, del siguiente tipo:

( ) ( ) s t dS S t dt S t dW α σ = + (0.14) Donde :

t 0 , 0 y W t t µ σ

≥ ∈ℜ > es un movimiento Browniano.

La dinámica de la ecuación diferencial estocástica del precio del subyacente, implica

que la media y la varianza condicional dependen exclusivamente del nivel actual de

los precios, los cuales siguen un proceso de Markov, es decir, su evolución futura

depende únicamente de su valor actual y no de su comportamiento pasado.

Un proceso estocástico es un modelo matemático del comportamiento en el tiempo

de un fenómeno aleatorio y es fundamental para el desarrollo de la teoría financiera

en tiempo continuo y en ambientes de riesgo e incertidumbre. Los procesos

estocásticos son útiles para describir el comportamiento aleatorio de las variables

financieras en el tiempo: los precios de los activos, las tasas de interés, los tipos de

cambio, los índices bursátiles, etc.

El modelo de Hull & White considera el siguiente modelo de volatilidad estocástica

en donde:

( ) ( ) s

L v v

dS r q Sdt S VdW dV a V V dt dW ξσ

= − +

= − + (0.15)

Donde a, L V ,ξ y α son constantes, s W y v W son movimientos Brownianos

independientes.

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En este contexto V es la volatilidad del activo con reversión a la media l V con tasa

a .

Los modelos de Volatilidad Log­Estocástico, suponen el comportamiento del

logaritmo de los precios a través de una ecuación diferencial estocástica, en donde:

( ) ( ) ( ) ( ) 1

log

log log

s t t t t

v t v v t v t

d S dt V dW

d V k V dt dW

µ

θ σ +

= +

= − + (0.16)

Donde v k , L V son constantes, s W y v W son movimientos Brownianos

independientes.

Este tipo de modelos tienen dificultad para su estimación debido a que son no

Gaussianos, tienen un espacio de estado no lineal, y en pocas ocasiones se puede

encontrar una solución única; por ello es que se usan modelos de simulación entre

los cuales se encuentran los modelos MCMC.

3. FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA BAYESIANA Y MODELOS MCMC

En estadística Bayesiana es prácticamente imposible obtener analíticamente la

distribución a posteriori así como obtener su media y varianza de una serie de datos;

debido a que los métodos analíticos son limitados se usa simulación Monte Carlo sin

embargo la simulación directa de distribuciones de altas dimensiones suele ser difícil

y en ocasiones imposible.

Por ello es que se va a construir una cadena de Markov la cual tiene una distribución

estacionaria para asistir a las iteraciones de Monte Carlo y así generar datos de la

distribución posteriori, a esto se le conoce como Modelos MCMC (Markov Chain

Monte Carlo simulation)

3.1 Estadística Bayesiana

La mayor parte de los métodos estadísticos están basados en la estadística clásica

(frecuentistas); en donde en los modelos paramétricos, los parámetros del modelo

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son fijos y desconocidos, entonces se usan los datos para hacer inferencia de los

parámetros.

En los modelos paramétricos con estadística Bayesiana, se van a asumir que los

parámetros son variables aleatorias por lo que vamos a suponer una distribución a

priori que va a reflejar cualquier información que se tenga de ellos. La distribución en

la que nos vamos a interesar es la a posteriori que va a depender del modelo

paramétrico usado, los datos y la distribución a priori.

Vamos a considerar un modelo paramétrico con parámetros θ , la función de

distribución a priori de probabilidad de θ va a denotarse con ( ) π θ , los datos

observados se denotarán con ( ) 1 2 , , ..., n x x x x = y la función de distribución de

probabilidad conjunta de los datos y los parámetros va a ser ( ) , x π θ . Entonces

usando el teorema de Bayes:

( ) ( ) ( ) , x x π θ π θ π θ = (0.17)

Y

( ) ( ) ( ) , x x x π θ π θ π = (0.18)

Pero los datos son observados y fijos, por lo que ( ) 1 x π = , entonces:

( ) ( ) ( ) x x π θ π θ π θ ∝ (0.19)

Y nuestro objetivo va a ser encontrar el comportamiento de los parámetros a partir

de los datos, tomando en cuenta la función de distribución de probabilidad de los

datos y la distribución a priori de los parámetros.

3.2 Cadena de Markov

Una cadena de Markov , 0 n X n ≥ es un proceso estocástico que satisface la

propiedad de pérdida de memoria:

( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 , ,..., n n n n n n n n P X A X x X x X x P X A X x − − − − − − ∈ = = = = ∈ = (0.20)

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El futuro es independiente del pasado, dado el estado presente del proceso.

Una cadena de Markov tiene las siguientes características:

• Irreducible, si para toda i y j , existe n tal que 0 nij P > .

• Aperiódica, si el mayor de los divisores comunes de ; 0 1 nij n P > = .

• Recurrente, si ( ) La cadena de Markov regresa a inicio en 1, para toda P i i i = y es

recurrente positiva, si es irreducible, aperiódica y recurrente y j π es la

colección de probabilidades, tal que:

lim nij j n P π

→∞ =

Y

i ij j i

P π π = ∑

Los algoritmos de las Cadenas de Markov con Simulación Monte Carlo (MCMC)

generan parámetros de distribuciones condicionados a algunos datos, la

condicionalidad viene de las cadenas de Markov y la generación de los parámetros

de la simulación Monte Carlo.

3.3 GENERACIÓN DE LOS PARÁMETROS

La generación de los parámetros en la simulación se realizará mediante el

generador de Gibbs, el cual generará sucesiva y repetidamente de la distribución

condicional de cada componente dado los otros componentes, el algoritmo de Gibbs

es:

1.­ Inicializar con ( ) (0) (0) 1 ,..., d θ θ θ = .

2.­ Simular (1) 1 θ de la condicional ( ) (0) ( )

1 2 ,..., od θ θ θ .

3.­ Simular (1) 2 θ de la condicional ( ) (1) (0) (0)

2 1 3 , ,..., d θ θ θ θ .

4.­ ...

5.­Simular (1) d θ de la condicional ( ) (1) (1)

1 1 ,..., d d θ θ θ −

6.­ Hacer iteraciones de este procedimiento.

17

Bajo condiciones poco rigurosas, la convergencia de la cadena de Markov a la

distribución estacionaria ( ) 1 2 , , ..., d P θ θ θ está garantizada, de tal forma que después

de algún número de iteraciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , ..., , ..., ,..., k k n n

d d θ θ θ θ

4. Verificación Del Modelo

El comité de Basilea recomienda realizar pruebas de backtesting con el fin de

verificar si el modelo de VaR es adecuado, y en su caso realizar ajustes y calibrarlo.

Es importante para la institución y las autoridades regulatorias verificar

periódicamente que el riesgo se esté midiendo adecuadamente. Para realizar un

backtesting es necesario comparar el valor en riesgo observado con las pérdidas y

ganancias reales y contar las observaciones de pérdidas y ganancias que fueron

mayores al VaR.

Uno de los métodos más utilizados es el desarrollado por Kupiec en 1995, el cual

consiste en contar las veces que las pérdidas y ganancias exceden el VaR durante

un periodo, se asume que N es el número de observaciones que exceden la

pérdida o ganancia. Para un nivel de confianza dado c se prueba si la N observada es estadísticamente diferente a la probabilidad de error p que se considera para el

cálculo del VaR. Kupiec desarrolló unas regiones de confianza con base en una

distribución Chi cuadrada con un grado de libertad. Las cuales presentó en una tabla

de región de no rechazo para el número de observaciones que excedan el VaR

(Anexo B Tabla B1).

5. METODOLOGIA

5.1 Conformación Del Portafolio

Siguiendo los resultados de Elton, E.J. y Gruber, M.J. [1977] y a Ramírez E.,

Ramírez P. [2006] en los cuales se analizan portafolios con ponderaciones iguales

con un valor de $10,000, cada portafolio se conformó con 8 acciones, cantidad con

la cual se diversifica aproximadamente el 83% de la desviación estándar respecto

del máximo.

18

Respecto a la información histórica, se analizaran los datos en dos épocas: la

primera del 20 de diciembre de 1994 al 31 de diciembre de 1996, de la cual se

obtuvieron 511 datos de precios diarios de 19 acciones que conforman el IPC y la

segunda del 10 de Noviembre del 2004 al 9 de Noviembre del 2006 con 511 datos

diarios de precios de 27 acciones que conforman el IPC, siendo la razón de escoger

estas dos fechas la disponibilidad de los datos; y la segunda y más importante la

crisis ocurrida en México en 1995 comparada contra un periodo de estabilidad

económica en México. Dichos datos fueron obtenidos a partir de la base de datos de

Economática omitiendo los fines de semana y días festivos. El comportamiento del

índice de precios y los rendimientos de ambas series a través del tiempo pueden

verse en las gráficas 1 y 2. En el Anexo A se presentan los histogramas y los datos

estadísticos.

Como terminología de este trabajo, adoptaremos el término de “crisis económica” al

periodo comprendido entre 1994 y 1996, así como “estabilidad económica” al

periodo de “2004­2006”

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

CRISIS

(a)

­.08

­.04

.00

.04

.08

.12

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

RENDCRISIS

(b)

Grafico1. (a) Comportamiento del IPC en el periodo de 1994­1996 , (b)Rendimientos

del IPC en el periodo de 1994­1996.

19

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

26000

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

ESTABILIDAD

(a)

­.06

­.04

­.02

.00

.02

.04

.06

.08

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

RENDESTAB

(b)

Grafico2. (a) Comportamiento del IPC en el periodo de 2004­2006, (b) Rendimientos

del IPC en el periodo de 2004­2006.

En los gráficos 1(a) y 2(a) se muestra el crecimiento del IPC en los periodos de

tiempo establecidos, mostrándose en ambos casos un crecimiento irregular. En los

gráficos 1(b) y 2(b) se grafican los rendimientos del IPC en donde claramente

podemos ver que para ambos periodos los rendimientos son heteroscedásticos y

estacionarios, sin embargo para el periodo de estabilidad (2004­2006) los rangos de

volatilidad son menores que para el periodo que hemos denominado crisis (1994­

1996).

La volatilidad mayor en los rendimientos en el periodo de crisis económica está dada

por una desviación estándar de 0.018702 (Anexo A, tabla A3) mientras que la

volatilidad menor en el periodo de estabilidad económica está dada por una

desviación estándar de 0.012509 (Anexo A, tabla A4).

Para llevar a cabo la simulación de los portafolios de acciones compuestos por ocho

acciones con ponderaciones iguales, se diseñó un programa en Mathematica

Versión 5, en el cual, en cada paso de simulación se seleccionaban aleatoriamente

8 acciones del conjunto de acciones disponibles en los datos históricos.

20

5.2 Modelos

A fin de calcular el Valor en Riesgo del portafolio compuesto por acciones

mexicanas, se utilizaran las siguientes metodologías: Método de Simulación

Histórica, los métodos de Varianza­Covarianza basado en ponderaciones iguales

para cada una de las observaciones pasadas, los métodos de actualización de la

matriz de varianza­covarianza con GARCH(1,1), MGARCH, EGARCH, PARCH,

TARCH, IGARCH y EWMA y la actualización de la matriz de varianza covarianza a

partir de los modelos de volatilidad estocástica de Hull & White y de Volatilidad log­

estocástico haciendo uso de Cadenas de Markov con Simulación Monte Carlo

(MCMC).

El parámetro que se utilizó para analizar el modelo de Varianza­Covarianza con

EWMA, es el valor que recomienda RiskMetrics para rendimientos diarios de

0.94 λ = . Con respecto a los parámetros de los modelos econométricos, estos se

obtuvieron mediante estimaciones de máxima verosimilitud en el paquete

Econometric Views 5.0 aplicándolo a los datos del IPC para los periodos históricos

mencionados, los parámetros del modelo MCMC serán calculados mediante el

paquete Mathlab.

Además se realizó el Backtesting contando el número de excepciones sobre los

resultados de Valor en Riesgo obtenidos de cada paso comparados contra los

cambios reales en el valor del portafolio seleccionado.

6. RESULTADOS PRELIMINARES

En las tablas 1 y 2, se muestran los parámetros para media y varianza de los

modelos econométricos para los dos periodos diferentes de tiempo, en la primera

cuando existe una crisis económica y la volatilidad de los rendimientos es muy alta y

la segunda cuando hay una estabilidad económica y la volatilidad de los

rendimientos es menor. También se presentan el índice de Schwarz, el criterio de

Akaike y máxima verosimilitud los cuales dan una idea para seleccionar que modelo

puede ajustarse mejor a las series de rendimientos.

21

Tabla 1. Parámetros de los modelos econométricos, para el periodo de 1994­1996

GARCH (1,1) MGARCH EGARCH TARCH IGARCH

Parámetros de la media

Constante : 0 a 0.172028 (4.0992)*

0.167179 (3.8055)*

0.149642 (3.9869)*

0.16266 (4.1847)*

0.001225 (1.8072)

Sensibilidad: 1 a 5.1451 (1.8609)

Parámetros de la Varianza

Constante: 0 β 4.43xE(­6) (3.4162)*

5.07xE(­6) (3.0881)*

­0.06248 (­4.4873)*

5.40xE(­7) (0.8905)

3.53xE(­5) (5.1578)*

Parámetro: 1 β 0.06380 (4.5219)*

0.08354 (4.08251)*

­0.00698 (­1.1823)

0.381367 (11.5595)*

Parámetro: 2 β 0.917992 (65.4566)*

0.8999 (52.5283)*

0.968355 (233.745)* 0.618633

Parámetro: 3 β 0.03993 (3.5970)*

Parámetro: 4 β ­0.07793 (­5.3941)*

Parámetro: 5 β 0.99610 (478.2783)*

Parámetro: 6 β

Parámetro: 7 β 0.08438 (5.3388)*

Exponente: γ

Criterio de Schwarz ­5.3302 ­5.3123 ­5.353185 ­5.3607 ­5.1749

Criterio de Akaike ­5.3634 ­5.3538 ­5.394699 ­5.4022 ­5.1999

Log likelihood 1371.684 1370.228 1380.648 1382.568 1326.372

Para ambas series comprendidas en los periodos de estudio, el modelo de TARCH

es el que mejor estima la serie de rendimientos, de acuerdo a los criterios de

Schwarz, de Akaike y de Máxima Verosimilitud.

Tabla 2. Parámetros de los modelos econométricos, para el periodo de 2004­2006

GARCH (1,1) MGARCH EGARCH TARCH IGARCH

22

Parámetros de la media

Constante : 0 a 0.122930 (2.3440)*

0.094819 (1.7705)

0.113503 (2.2237)*

0.098730 (1.9005)

0.002275 (4.6169)*

Sensibilidad: 1 a 14.5841 (3.7281)*

Parámetros de la Varianza

Constante: 0 β 7.00xE(­6) (2.0506)

8.65xE(­6) (2.3355)*

­0.588554 (­3.4400)*

7.81xE(­6) (2.7235)

2.92xE(­5) (6.5703)*

Parámetro: 1 β 0.109304 (3.1754)*

0.121580 (3.3809)*

0.002148 (0.0887)

0.566729 (15.4539)*

Parámetro: 2 β 0.845034 (16.5920)*

0.818386 (14.9827)*

0.0851625 (17.2121)* 0.433271

Parámetro: 3 β 0.166352 (2.9546)*

Parámetro: 4 β ­0.146257 (4.9246)*

Parámetro: 5 β 0.947137 (61.2402)*

Parámetro: 6 β

Parámetro: 7 β 0.219460 (3.8572)*

Exponente: γ

Criterio de Schwarz ­6.0473 ­6.0592 ­6.0703 ­6.0840 ­5.9155

Criterio de Akaike ­6.0805 ­6.1008 ­6.1178 ­6.1255 ­5.9405

Log likelihood 1554.553 1560.695 1565.042 1566.997 1514.864

En la tabla 3 se reportan los cálculos del Valor en Riesgo con las diferentes

metodologías, en donde encontramos que para el periodo de 1994­1996 se

encuentra en un rango de 357.61 con el método de Varianza­Covarianza con

actualización EWMA y 573.246 con el método de Varianza­Covarianza con pesos

iguales. Y para el periodo de 2004­2006 los rangos se encuentran entre 218.894 con

el método de Varianza Covarianza con pesos iguales y 330.756 para el método de

Varianza Covarianza con actualización IGARCH.

Tabla 3.­ Valor en Riesgo del portafolio en diferentes periodos de tiempo con

diferentes metodologías.

Periodo 1994­ Periodo 2004­

23

1996 2006 Media del VaR

(pesos) Media del VaR

(pesos) Simulación histórica 466.577 325.264 Varianza Covarianza pesos iguales 573.246 218.894 Varianza Covarianza con actualización GARCH

397.726 252.321

Varianza Covarianza con actualización MGARCH

367.939 267.46

Varianza Covarianza con actualización EGARCH

571.34 227.306

Varianza Covarianza con actualización EWMA

357.61 275.983

Varianza Covarianza con actualización IGARCH

452.915 330.756

El número de excesos para los valores de riesgo se realiza comparando el valor del

riesgo observado con las pérdidas y ganancias reales y contando las observaciones

de pérdidas y ganancias que fueron mayores al VaR, de tal forma que pueda

verificarse que el modelo es adecuado o no al periodo de estudio. Para el periodo de

crisis económica todos los modelos se encuentran dentro de la región de no rechazo

para 510 observaciones y un nivel de significancia del 99% para el criterio de

Kupiec y son clasificados en la zona verde de acuerdo a la clasificación del Banco

Internacional de Pagos (Ver tabla 4). Para el periodo de estabilidad económica los

modelos de Simulación histórica, de Varianza covarianza con pesos iguales y de

Varianza Covarianza con actualización EGARCH son rechazados para 510

observaciones y un nivel de significancia del 99% sin embargo son no rechazados

para un nivel de significancia del 97.5% de acuerdo al criterio de Kupiec y todos los

modelos son clasificados en la zona verde de acuerdo al Banco Internacional de

Pagos por lo que no requieren modificación alguna (Tabla 5).

24

Tabla 4. Excesos del VaR, para el periodo de 1994­1996

Periodo 1994­1996 Promedio de

Excesos del VaR Simulación histórica 3.764 Varianza Covarianza pesos iguales 0.806 Varianza Covarianza con actualización GARCH (1,1)

5.67

Varianza Covarianza con actualización MGARCH

5.436

Varianza Covarianza con actualización EGARCH

0.854

Varianza Covarianza con actualización EWMA

6.228

Varianza Covarianza con actualización IGARCH

5.252

Tabla 5. Excesos del VaR, para el periodo 2004­2006

Periodo 2004­2006 Promedio de

Excesos del VaR Simulación histórica 13.659 Varianza Covarianza pesos iguales 14.116 Varianza Covarianza con actualización GARCH (1,1)

7.126

Varianza Covarianza con actualización MGARCH

7.386

Varianza Covarianza con actualización EGARCH

14.14

Varianza Covarianza con actualización EWMA

5.994

Varianza Covarianza con actualización IGARCH

6.592

7. CONCLUSIONES

En este trabajo se calculó el VaR de portafolios formados por acciones que

conforman el IPC en dos periodos de tiempo, incorporando metodologías

econométricas para su cálculo y comparándolas con la simulación histórica, tal como

fue realizado por Ramírez y Ramírez (2006), los resultados fueron similares sin

embargo encontramos más excesos para el periodo de estabilidad en donde de

25

acuerdo al criterio de Kupiec no se rechazan las metodologías con un nivel de

significancia del 97.5%.

De acuerdo a las series de rendimientos de ambos periodos de tiempo, el modelo

que mejor aproxima de acuerdo a los criterios de Akaike, Schwarz y de Máxima

verosimilitud es el de I­GARCH, en donde la varianza condicional es una función

decreciente en forma geométrica.

Tal como se esperaba, todos los modelos discretos de Volatilidad estocástica fueron

aceptados en el periodo de Crisis económica, en donde sabíamos que era un

periodo heteroscedástico.

De acuerdo a los resultados obtenidos al actualizar la matriz de varianza covarianza

con los modelos discretos de volatilidad estocástica y al criterio de clasificación del

Banco Internacional de Pagos, no hace falta hacer algún tipo de corrección en la

estimación del VaR, sin embargo se pretende en trabajos posteriores realizar la

estimación usando modelos continuos de Volatilidad estocástica para actualizar la

matriz de varianza­covarianza, en donde se espera una considerable mejora en las

estimaciones.

Para realizar el cálculo de la volatilidad de un portafolio de acciones a partir de los

modelos continuos de volatilidad estocástica, se pretende en trabajos posteriores

hacer uso de simulaciones con estadística Bayesiana para poder inferir la varianza,

a través de los modelos de Cadenas de Markov con iteraciones Monte Carlo ó

MCMC (Markov Chain Monte Carlo por sus siglas en Ingles), y obtener el VaR con la

actualización de la matriz de varianza­covarianza.

8. BIBLIOGRAFÍA

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28

ANEXOS

ANEXO A . Gráficas del IPC en los periodos de estudio

Tabla A1. Histograma y estadísticos del IPC para 511 datos del periodo de 1994­

1996.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1600 2000 2400 2800 3200

Series: CRISIS Sample 1 511 Observations 511

Mean 2681.760 Median 2778.470 Maximum 3433.750 Minimum 1447.520 Std. Dev. 547.6458 Skewness ­0.370298 Kurtosis 1.846691

Jarque­Bera 39.99859 Probability 0.000000

Tabla A2. Histograma y estadísticos del IPC para 511 datos del periodo de 2004­

2006.

0

10

20

30

40

50

12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000

Series: ESTABILIDAD Sample 1 511 Observations 511

Mean 16591.72 Median 16051.02 Maximum 23941.80 Minimum 11739.99 Std. Dev. 3377.522 Skewness 0.246566 Kurtosis 1.759185

Jarque­Bera 37.95880 Probability 0.000000

Tabla A3. Histograma y estadísticos de los rendimientos del IPC para 510 datos del

periodo de 1994­1996.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

­0.05 0.00 0.05 0.10

Series: RENDCRISIS Sample 1 511 Observations 510

Mean 0.000942 Median ­0.000283 Maximum 0.102733 Minimum ­0.071449 Std. Dev. 0.018702 Skewness 0.440661 Kurtosis 6.561342

Jarque­Bera 286.0225 Probability 0.000000

29

Tabla A4. Histograma y estadísticos de los rendimientos del IPC para 510 datos del

periodo de 2004­2006

0

20

40

60

80

100

­0.025 0.000 0.025 0.050

Series: RENDESTAB Sample 1 511 Observations 510

Mean 0.001467 Median 0.002094 Maximum 0.067267 Minimum ­0.042959 Std. Dev. 0.012509 Skewness 0.160711 Kurtosis 5.631391

Jarque­Bera 149.3350 Probability 0.000000

30

ANEXO B. Tablas para Backtesting

Tabla B.1. Tabla de Kupiec. Región de no rechazo para el número de observaciones

fuera del VaR.

( ) 1 c − T=255 T=510 T=1000

0.010 N<7 1<N<11 4<N<17

0.025 2<N<12 6<N<21 15<N<36

0.050 6<N<21 16<N<21 37<N<65

0.075 11<N<28 27<N<51 59<N<92

0.100 16<N<36 38<N<65 81<N<120

El Banco Internacional de Pagos (BIS) clasifica el resultado en tres zonas de colores

(verde, amarilla y roja), la zona verde indica que el modelo no tiene problemas de

calidad y no se requiere modificación alguna. La zona amarilla indica que se puede

concluir algo acerca del modelo, por lo que podría o no calibrarse. La zona roja

precisa que es necesario modificar el modelo ya que presenta problemas de calidad

y precisión.

Tabla B2. Clasificación de el Banco Internacional de Pagos

ZONA NÚMERO DE EXCEPCIONES

0­19

20­39

40­59

60­79

Verde

80­99

100­119

120­139

140­159

160­179

Amarilla

180­199

Roja 200 ó más