Embed Size (px)
Citation preview
Review 静电场
电荷；电场强度；静电场的通量与散度；静电场的环量与旋度；静电场的基本方程；电位；泊松方程和拉普拉斯方程；电偶极子及其产生的场；介质中的场方程；静电场的边界条件；静电场中的多导体系统、多导体系统的部分电容；静电场的能量、能量密度；电场力。
基本要求
熟练掌握静电场的基本概念、静电场的基本方程、边界条件。
掌握静电场的计算方法、电场能量和电场力的计算，电容的求解。
XIDIAN UNIVERSITY
Review
重点、难点
重点：静电场的基本概念，静电场的基本方程、边界条件的
物理意义和应用。
难点：由场源分布求静电场，电场能量、电场力和电容的求
解。
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
在电磁理论中主要研究两类电流：
导体中自由电荷在电场作用下的定向运动形成的电流—传导
电流
带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流—运流电流
密度为ρ的带电粒子以速度v运动时运流电流密度为：
J vρ=
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
导体内自由电子在外加电场的作用下会沿着与电场相反的方向运
动，电流就是电荷运动形成的电荷流。
不随时间变化的电流称为恒定电流。
要在导体中维持恒定电流，其内部必须有恒定的电场，同时恒定
电流又要在其周围空间激发磁场。
恒定电流的电场和磁场都不随时间变化，它们彼此独立，互不影
响，因为可以分别加以研究。
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
在导体中取一截面S，若在时间△t内流过该截面的总电荷为△q，则通过该截面的电流强度定义为：
电流强度通常简称为电流，单位：安培（A） 当导线横向尺寸可忽略时，电流称为线电流，对于线电流用
电流强度来描述就足够了。
当导体的横向尺寸不能忽略时，应该认为电流分布在整个导体的截面上，这种电流称为体电流；
如果电流在一个厚度可忽略的导体曲面上流动，则称之为面电流。
dtqd
tqI
t=
∆∆
=→∆ 0
lim
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
为确切描述体电流和面电流在导体中的分布情况，引入电流密度
[定义]如图示
其中，△I为通过△S的电流
导体内每一点处都有相应的电
流密度，构成一个矢量场，称之为电流场
电流场的矢量线叫做电流线
S
ˆ( )n r
r
o
S∆( ) ( )0
ˆlimS
IS∆ →
∆=
∆
J r n r
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
流过截面的电流就是J对S的通量
对于面电流，则定义
通过任意曲线l的面电流为：
∫ ⋅=S
SdJI
( ) ( )rnlIrJ
lS
∆∆
=→∆ 0
lim
| |s slI J dl= ×∫
XIDIAN UNIVERSITY
电流密度
例 导体表面有Js=yax+xay(A/m)的面电流分布，试计算通过点M(3,2)和点N(5,3)之间的面电流Is.
[解] 通过MN的直线方程为：
y=(x+1)/2
设该线上线元矢量为： MN
x
y
2 2
ˆ
1ˆ ˆˆ(2 )5
5( ) ( )2
x y
dl ldl
l a a
dl dx dy dx
=
= +
= + =
| |s slI J dl= ×∫
152sI =
XIDIAN UNIVERSITY
电荷守恒定律
电荷守恒定律表明，任一封闭系统的电荷总量不变
体电流密度为J的空间内，任取一个封闭曲面S，通过S面流出的电流应该为以S为边界的体积V内单位时间电荷减少量：
VQ Q
VS
dq dJ ds dvdt dt
ρ⋅ = − = −∫ ∫
XIDIAN UNIVERSITY
电荷守恒定律
电荷守恒定律数学表达式
上式也称为积分形式的电流连续性方程
微分形式的电流连续性方程
VS
dJ ds dvdtρ
⋅ = −∫ ∫
0dJdtρ
∇⋅ + =
XIDIAN UNIVERSITY
电荷守恒定律
稳恒电流的电流连续性方程
导电介质中任意点的电荷分布不随时间变化
微分形式的电流连续性方程：
该方程是保证稳恒电流场的条件，也叫做稳恒电流场的方程。
积分形式的电流连续性方程：
该方程表明稳恒电流J的矢量线总是无起点也无终点地
闭合曲线
0tρ∂=
∂
0J∇⋅ =
0S
J ds⋅ =∫
XIDIAN UNIVERSITY
欧姆定律
欧姆定律的微分形式描述导体中的电流密度与电场强度之间的关
系。
实验表明，多数导电媒质都是各向同性的，导体中某点处的电流
密度与该点的电场强度成正比，即：
欧姆定律的微分形式，与欧姆定律等价，但描述逐点处的规
律，而不是整体规律
σ称为导体的电导率，是与导体材料有关的常数，其单位是
西门子/米（S/m）。
( ) ( )rErJ
σ=
XIDIAN UNIVERSITY
欧姆定律
欧姆定律
欧姆定律的积分形式，描述了一段导线上的导电规律
运流电流不遵从欧姆定律
电动势
描述电源内部的情形
库伦场E，由恒定分布电荷产生的场，同时分布于源内和源外
非保守场E’，仅分布在源内，是非静电力对电荷影响的等效场
两种场方向相反
U RI=
+
-E
+
E′
A
B
XIDIAN UNIVERSITY
欧姆定律
[定义]电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静电力所作的功，用E表示：
对于恒定电流，库伦场E不随时间变化，它是由不随时间变化的电荷产生的，其性质与静电场相似：
电动势可以表示成为总电场的回路积分
Note：积分沿整个电流回路进行
'A
BE dlε = ⋅∫
0l
E dl⋅ =∫
' ( ')A
B lE dl E E dlε = ⋅ = + ⋅∫ ∫
XIDIAN UNIVERSITY
焦耳定律
焦耳热
金属导体内部的电流是自由电子在电场力的作用下定向运动
而形成的。
电子在运动过程中通过与金属晶格点阵上的质子碰撞把自身
的能量传递给质子，加剧其热运动，从而导致导体温度上
升—导体的热效应
由电能转换得到的热能称为焦耳热。
XIDIAN UNIVERSITY
焦耳定律
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为
导体内任一点的热功率密度，表示为
焦耳定律的微分形式：
对于运流电流电场力对电荷作的功转变成了电荷的动能而不是热能，因此焦耳定律不再适用。
UIP =
VEJSlEJIlEIUP ∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆
2
0lim EEJ
VPp
Vσ==
∆∆
=→∆
p J E= ⋅
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电流场的基本方程
电源外部导体中的恒定电流场
积分形式
微分形式
欧姆定律
0
0S
l
J dS
E dl
⋅ =
⋅ =
∫∫
00
JE
∇ ⋅ =∇× =
J Eσ=
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电流场的基本方程
Note：以上的电场虽然形式上是总场，但实际上在源以
外的导体中只有库伦场，所以以上的基本方程是
用来描述库伦场的特性。
由于恒定电流场的旋度为零，引入电位φ：
均匀导体内部(电导率σ为常数)电位满足：
E ϕ= −∇
2( ) 0E ϕ ϕ∇⋅ = ∇ ⋅ −∇ = −∇ =
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电流场的基本方程
对于导体之外的恒定电场
分布于导体上的恒定电荷在导体之外的介质中也会产生恒定电场；
激发该恒定电场的是不随时间变化的恒定电荷，所以它遵从与静电荷在介质中产生的静电场规律：
0S
l
D dS Q
E dl
⋅ =
⋅ =
∫∫
0DE
ρ∇ ⋅ =∇× =
D Eε=
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
将恒定电流场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的界面上即可得到恒定电流场的边界条件：
0S
J dS⋅ =∫
1σ
2σ
1J
2J
0l
E dl⋅ =∫
1σ
2σ
1E
2E
1 2t tE E=
1 2n nJ J=
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
Note：恒定电场中电流密度通过界面时法向连续
Note：恒定电场中电流密度通过界面时法向连续
显然，若界面两侧的电导率不一样，则电场强度和电流密度不连续，即：
电位边界条件
2 1ˆ ( ) 0n E E× − =
2 1ˆ ( ) 0n J J⋅ − =
2 1E E≠
2 1J J≠
nn ∂∂
=∂∂ 2
21
1ϕσϕσ21 ϕϕ =
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件 折射
电流线和电力线通过边界面后要发生折射现象。
利用边界条件：
1σ
2σ
1 1,J E
2 2,J E
1θ
2θ
1 2n nJ J= 1 1 1 2 2 2cos cosE Eσ θ σ θ=
1 2t tE E= 1 1 2 2sin sinE Eθ θ=2
1
2
1
tantan
σσ
θθ
=
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不
良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与
界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。
导体的电导率为常数时，在稳恒电流情形下，导体内体电荷密度
为零，对分区均匀导体，电荷只分布在分界面上：
−=−=−=
1
1
2
21
1
12
2
212 σ
εσε
σε
σερ nnnnnS JJJDD
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
面电荷是电流由起始零值只至恒定电流建立过程中逐渐聚集在界面，恒定电流建立后，堆积电荷量不再发生变化
Note1： ，此时界面面电荷密度为零
Note2：若媒质2为介质，则J2=0，由法向连续边界条
件知，导体上面电流只有切向分量，因此导体
面的电场也只有切向分量。
1
1
2
2
σε
σε
=
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
例2 同轴电缆内导体半径为a，外半径为b，填充非理想 介质，介电常数ε ，电导率 σ，求单位长漏电导。
[解]设单位长漏电流为I，则半径为r 的圆柱面上任一点处：
电流密度：
电场强度：
导体间电位差：
rar
IJ
π2=
I
rar
IJE
πσσ 2==
abIdr
rIrdEU
b
a
b
aln
22 πσπσ==⋅= ∫∫
abU
IGln
2πσ==
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
漏电阻也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出：
2 2
2 2
2
2 ln( )(4 ) 2
ln( )
2
b
V a
I I bP J EdV rdrr a
bP aRI
ππ πσ
πσ
= ⋅ = =
= =
∫ ∫
abU
IGln
2πσ==
XIDIAN UNIVERSITY
恒定电场的边界条件
例3 半球形接地器的接地电阻
[解] 为便于计算，假设电流是均匀的，在大地中距球心r 处的电流密度为：
rar
IJ
22π=
22 rJ IE a
rσ πσ= =
22 2a a
I IU E dr drr aπσ πσ
∞ ∞= ⋅ = =∫ ∫
aIUR
πσ21
==
r
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法
可以看出，导电媒质（电源之外）中的恒定电场与电介质中（无源即ρ=0区域）的静电场的基本方程及遵从的边界条件在数学形式上完全一致。
在形式上存在以下的对偶关系：
E
J
E
ϕ ϕ
D
I q
εσ
恒定电场
静电场
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法
若系统为介质中的静电场问题
两导体间的电容
若系统为媒质中的恒定电场问题
两导体间的电导
显然，两者有相同的场方程形式，只要将σ换成ε就可以从静电场中的电容问题转换成恒定电场中的电导问题
1 1
2 2
1 1
sS SdS E dSqC
U E dl E dl
ρ ε ⋅= = =
⋅ ⋅
∫ ∫∫ ∫
1 1
2 2
1 1
S SJ dS E dSIG
U E dl E dl
σ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
∫ ∫∫ ∫
？
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法 静电场与恒定电场的区别
导体中的恒定电场不一定为零，而导体中的静电场一定为零；
恒定电场的J线不一定垂直于导体表面，而静电场的D线必定
垂直于导体表面；
简而言之，即使两类问题边界面的几何形状完全相同也不能
保证边界条件完全一样，因为此时J线和D线在边界面上的分
布并不一定相同。
两个系统中，只有满足相同边界条件的场方程才能得到对偶的结
果。
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法
静场比拟法的应用条件：
两种系统中导体的几何形状完全相同，此外下述条件满足其
一即可应用静电比拟法
导体的电导率远远大于周围媒质的电导率：
此时，J线近似垂直于导体表面
对于理想导体，J和D在边界面上有完全相同的分布
导体的电导率与媒质的电导率满足：
J线和D线在界面上有着完全相同的分布
0σ σ>>
1 1
2 2
σ εσ ε
=
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法 例4 计算深埋地下半径为a的良导体球的接地电阻。设土壤 的电
导率为σ0。
[解]导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将 导体
球看作等位体。
电介质中半径为a的导体球电容为
由静电比拟法可得导体球接地电导为：
因而，接地电阻为：
σ0
σ
ε0
aC πε4=aG πσ4=
aGR
πσ411
==
XIDIAN UNIVERSITY
静场比拟法
[解法2]直接应用欧姆定律
，故电流线J垂直于导体球表面，即J沿径向；
导体球深埋地下，故导体球处于无限大单一媒质中；
由此可知，J为球对称分布，故：
0σ σ
2 2ˆˆ
4 4r rI J IJ a E ar rπ σ πσ
= ⇒ = =
24 4a a
I dr IU E drr aπσ πσ
∞ ∞
= ⋅ = =∫ ∫
14
URI aπσ
= =
XIDIAN UNIVERSITY
