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3.1 正弦交流电路的基本概念. 交流电. 正弦交流电. 正弦交流电路. i. I m. O. . 2. T. . 3.2 正弦交流电的基本参数. 正弦量. 正弦量的三要素 :. 频率 角频率 周期. 幅值 有效值 瞬时值. 初相 相位差. * 电网频率： 我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz. * 高频炉频率： 200 ~ 300 kHZ. * 中频炉频率： 500 ~ 8000 Hz. * 无线通信频率： 30 kHz ~ 3 0 GMHz. 3.2 正弦交流电的基本参数. I. +. - PowerPoint PPT Presentation
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3.1 正弦交流电路的基本概念
交流电
正弦交流电
正弦交流电路
3.2 正弦交流电的基本参数
正弦量正弦量
正弦量的三要素正弦量的三要素 ::
幅值 有效值幅值 有效值瞬时值瞬时值
频率 角频率 频率 角频率 周期周期
初相 初相 相位差
Im
2T
i
t O
tIi sinm
3.2 正弦交流电的基本参数
* * 无线通信频率：无线通信频率： 30 kHz ~ 330 kHz ~ 300GMHzGMHz
* * 电网频率：电网频率：我国我国 50 Hz50 Hz ，美国，美国 、日本、日本 60 Hz60 Hz
* * 高频炉频率：高频炉频率： 200 ~ 300 kHZ200 ~ 300 kHZ
* * 中频炉频率：中频炉频率： 500 ~ 8000 Hz500 ~ 8000 Hz
i
R
I
+
U_ R
I= 若 i=ImSinωt
则 I=
意义：有效值与幅值一样，是对正弦量大小的描述
+
u_ ∫ i2 R dt = RI 2 T
T0
1T
∫ i2dtT0
Im
2
具有相同的热效应
例： u= 2 Sin(ωt + φu) i= 2 I Sin (ωt+ φi)
则相位差 = (ωt+ φu)- (ωt+ φi) = φu - φi
引出：比较两个正弦量间的关系 大小关系相位关系
相位差：两个同频率正弦量的相位差 = 初相之差
设正弦信号 f1(t)= A1 sin(t+ 1) , f2(t)= A2 sin(t+ 2)
12 = 0 1 = 2 称 f1 与 f2 同相
相位关系：
12 = 称 f1 与 f2 反相
则两信号的相位差为 12= 1-2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
12 > 0 1 > 2 称 f1 超前 f2
12 < 0 1 < 2 称 f2 超前 f1
f1 f2
t12 > 0
f1
f2t
12 = 0
f1
f2
t12 =
例 已知 : 正弦电压的最大值 Um=10V, 频率 f=50Hz ， 初相 θu= - π/3
写出电压瞬时值表达式 , 画出波形图。
解
)sin(
)sin()(
331410
350210
ttu
1. f =50Hz U=220V ψu =90o 写出该正弦电压的三角形式
2. i1 =10 2 Sin(314t+60o)A i2=10Sin （ 314t-90o)A
（ 1 ） I=5Sin （ 314t+30o ）A
4 根据波形图写三角函数式
习题（课堂练习）
（ 2 ） u=USin （ 314t+60o ） A
3 判断正误
（ 2 ）比较二者的相位关系（ 1 ）若用电流表测量 i1 及 i2 ，读数为多少 ?
t
i1 i3
30o 30o
3.3 正弦量的相量表示法
存在问题：复杂 如何简化计算过程？
（一）引言 u1= 2 U1Sin (ωt+ φ1) u2= 2 U2Sin (ωt+ φ2)
求 u1+u2=?
( 二）基础知识——复数 1. 代数形式表示复数 A= a + j b 虚数单位 j= -1
A = a2+b2
φ =arctgba
a= A cosφb= A sin φ
复数 有向线段
[ 思考 ]: 极座标与正弦量的关系 ?
A= A ejφ
3. 指数式由欧拉公式 ejφ =cosφ+jsinφ
4. 极座标A= A φ 电工惯例
２ . 三角函数Ａ＝Ａ cosφ +j A sinφ
ψrrrjrbaA ψ jesincosj
5. 复数的运算
关键 : 各种复数形式的转换
乘除运算 再运算
先转化为极坐标 A1= A1 φ1 A2= A2 φ2
A1 A2= | A1 | | A2 | φ1+φ2
A1
A2
| A1 || A2 |
φ1-φ2=
加减运算； A1=a1+jb1 A2=a2+b2
则 A1+A2=(a1+a2) + j (b1+b2 )
例： A= - 12 - j 2 转换为极坐标形式
因为 A 在第三象限
|A|= (- 12 )2+(-2)2 = 4 tg φ=(-2)- 12(-2)- 12
3 3=
φ= - A=4 5 6 π
5 6
π
练习 :
A1+ A2 =5+j 6 A1=5 53.1o
A1 A2= 8.1o 2 25
A1- A2 =1+j 2 A2=2 2 45o
A1 A2 =10√2 98.1o
A1=3+j4 A2=2+j2 求： A1+A2 ， A1 A2 ， A1 A2
( 二 ) 相量与相量图正弦量 三要素 复数的极坐标
相量表示 强调 : 一一对应
相量 : 表示正弦量的复数
思考 : u = U?
相量图 : 几何表示一个相量
例 : u=Umsin(ωt+φu)Um=Um φu
U=Um/ 2 =U φu
+j
0
U
+1
相量的模相量的模 == 正弦量的有效值正弦量的有效值 相量辐角相量辐角 == 正弦量的初相角正弦量的初相角
V452
220U ？
正误判断正误判断1.1. 已知：已知：
)V45(sin220 tωu
Ve220 45m
U ？有效值有效值
)A30(sin24 tω ？Ae4 j30 I
3.3. 已知：已知：复数复数
瞬时值瞬时值j45
•
)A60(sin10 tωi ？最大值最大值
V100U ？Ve100 j15 U ？
负号负号2. 已知： A6010 I
4.4. 已知：已知：V15100 U
设角频率为 ω
i1 滞后 i2
i2=5 2 sin(ωt+ 53.1o)A
i1=5 2 sin(ωt -53.1o)A
解：
则I1=5 -53.1oA I2=5 53.1o
+j I2
+1
I1
求 : i1,i2 并画相量图 , 并比较二者的相位关系
例 : I1=(3-j 4)A I2=(3+j 4) A
( 四 ) j 的物理意义一个相量乘以 ejθ 相当于把这个相量逆时针旋转 θ 角
一个相量乘以 j 相当于把这个相量逆时针旋转 90o
θ= π/2 时， cos(π/2) + j sin(π/2) = j
( 三 ) 符号： u U Um U Um
i
~i2 i1
( 四 ) 相量的应用
求 : i1+ i2=?
i2=5sin (314t+45o)A
[ 思考 ]: 相量图如何进行 I1 – I2=?
例 4: i1=10 2 sin(314t-30o)A
则 : i =11.44 2 sin(314t-12.63o)A
I=I1+I2=10 [cos(-30o)+j sin(-30o)+ {cos45o+jsin45o]
2
5
=11.16-j2.5=11.44 -12.63oA
解 : I1=10 -30oA I2=5/ 2 45o A
I1
I2
I
讨论1 ．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量，
21 II ＝ 反之亦然。即，若 21 ii 则
相量只能用来比较相同频率的正弦量；2 ．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量；
相量加上频率才能求得正弦量。
例 1 ．已知 ｕ (t)= √ 2×220Sin(ωt+30o) ，画波形图
例２．已知正弦电流的幅值为５Ａ，ｆ＝ 50Hz φi ＝－ 60o
求：（ 1 ） T ， ω （ 2 ）表达式 （ 3 ）波形图
i(t)
0 π 3
ωt
u
i
030o
60o
例 用有效值相量表示下列正弦量
Vttu
Atti
Atti
sin)(
)cos()(
)sin()(
200
57314215
60210
2
1
解)( AI 60101 －＝
)(VI 147152 ＝
)(VU 02100 ＝
例 已知 :
)()sin(
)()sin(
Ati
Ati
604
306
2
1
求：11 ii
解：
))(.sin(. Atii 94167921
)(32.530sin30cos63061 AjjIm
)(. AjIm 5326042
)(.... AjII mm 941679562721
小结
相量法将复杂的三角运算 简单的代数运算
相量图形象{所以 相量法是一种实用方法
3.4 R 、 L 、 C 元件的正弦交流电路
一、电阻元件
1. 伏—安关系
2. 相量图
3. 功率
u=Umsinωt
ttRU
Ru
im sinIsin m
RI
UI
U
m
m
RI
U
I
UO
O
00
IRU
U
I
p=ui= Um Imsin2ωt=UI(1-cos2ωt)
T
UIpdtT
P0
1
二、电感元件
1. 伏—安关系
2. 相量图
3. 功率
u L
i
dtdi
LuL
L i=Imsinωt
LI
UI
U
m
m
LjLI
U
I
UO
O
O
90090
IjXILjU L
感抗： XL=ωL
U
Ip=ui= Um Imsinωtcosωt =UIsin2ωt
T
pdtT
P0
01
Q=UI ( 乏 ) Var
jXL
U
I
u=ωLImcosωt
=Umcosωt=Umsin(ωt + 90°)
三、电容元件
1. 伏—安关系
2. 相量图
3. 功率
u C
i
dtdu
Cic
c u =Umsinωt
CIU
IU
m
m
1
IjXU C
U
Ip=ui= Um Imsinωtcosωt =UIsin2ωt
T
pdtT
P0
01
Q= UI ( 乏 ) Var
-jXC
U
I
C1
XC 容抗：
i =ωCUmcosωt
=Imcosωt=Imsin(ωt + 90°)
C
O
O
O
jXC
jCI
U
I
U
1
901
900
3.5 R 、 L 、 C 串联交流电路
u
uR
uL
uC
u = uR + uL + uC
CLR UUUU
)]([ CL jXjXRI
)]([ CL XXjRI
ZI
ZjXjXRZ CL )(
RXX
XXR
CL
CL
arctan
)(Z 22
I
CLR UUUU
)( CLR UUUU
UL>UC (XL>XC); 感性 ; Φ>0 电流滞后电压
UL<UC (XL<XC); 容性 ; Φ<0 电流超前电压
UL=UC (XL=XC); 纯电阻性 ; Φ=0 电流、电压同相
U
I
RU
LU
CU
CL UU
U
I
RU
LU
CU
CL UU
FCmHLR 40,127,305 ：已知例
iVtu O 求,)20314sin(2220
4010127314 3LXL
801040314
116C
XC
O
CL jXXjRZ 1.53504030)(
AZU
I O
O
O
1.734.41.5350
20220
Ati O )1.73314sin(24.4
21 UUU
u = u1 + u2
U=U1+U2
例 6 ：已知 V1 表和 V2 表的读数都是 10V ，求 V 表的读数。
I
1U
2U
U
21 UUU
VUUU 14.142
2
2
1
Vj O452101010
10
30O
t
例 7 ：将波形如图示的正弦电压施加于电抗 XL=5Ω的电抗元件 ( 关联方向 ) ，则通过该元件的电流 =( )
u/V
A. 50sin(ωt-900) A B. 2sin(ωt+600) A C. 2sin(ωt-600) A
u=10sin(ωt+300) V
C
3.6 阻抗的串、并、混联
IZZIZIZUUU )( 212121
IZU
21 ZZZ
3.7 正弦交流电路的功率
i=Imsinωt
u=Umsin(ωt+φ)
p=ui= Um Im sin(ωt+φ) sinωt
2)cos()cos(
sinsin
2)2cos(cos
sin)sin(
t
tt
=UIcosφ- UIcos(2ωt+φ)
P=UICOSφT
pdtT
P0
1
P=UI1cosφZ
P=P1+P2+P3 =U1I1cosφZ1+U2I2cosφZ2
+U2I3cosφZ3
2
2
21
2
1RIRIP
RR
Q=UIsinφ S=UI Q=QL-QC=ULI-UCI =(UL-
UC) I= UsinφI
I .
I . I
.
U.
R R
j j
12
1 2
XX
12
-
+
£
例 8 ：已知 I=19.6A ， R1=3Ω ， R2=6Ω ， X1=4Ω,X2=8Ω 。求电流 i1 、 i2 ，总有功功率 P 及 Q 、 S 。
ojZ 1.535431 ojZ 1.5310862
o
ZZZZ
Z 241.521
21 VZIU 1001.56.19
VU O0100
设
AZU
I O
O
O
1.53201.5350100
1
1
Ati o )1.53sin(2201
AZU
I O
O
O
1.53101.5310
01002
2
Ati o )1.53sin(2102
o
zUIP 24cos6.19100cos WRIRIP 18002
2
21
2
1
例 9 ：已知 XC=10Ω,R=5Ω,XL=5Ω各电表有效值 A1:10A ； V1:100V 求 A0 、 V0 读数。
[ 解 ] 设： ( 参考相量 )
VU O01001
AI O90101
ojZ 4525552
AZU
I O
O
O
4521045250100
2
2
210
IIIKCL： Ajj O010101010
VjjXIU O
CC 90100)10(10)(0
cUUUKVL
10： VV OOO 452100901000100
例 10 ：已知 I2=30A ， I3=20A ， U1=141.4V ， U=220V R1= X1 ，求： R1 ， X1 ， X2 ， X3
1
U
2
U
U2
I
3
I
1
I
VUU O0][ 22
设：解
AI O90302
AI O90203
AIII O9010321
21010
21001
1
1
IU
Z
1
2
1
2
12RXR 1011 XR
2,121
2
2
2
1
2 cos2 UUUUU
028400200 2
2
2 UU
VU 962 2.32
2
2
IU
X 8.43
2
3
IU
X
1
U
2
U
U2
I
3
I
1
I
21
UUU
XXX UUU 21 YYY UUU 21
u
O UU sin45sin1
O
u
O
u
UU
03.27,11545sin
sin1
u
O UUU cos45cos 21
10019645coscos 12 O
u UUU
3.7.4 功率因数的提高一、必要性
1. 电源设备的容量得不到充分利用 P=UIcosφ<S
2. 增加了供电线路的功率损失和电压损失
cosUP
I
二、方法
U
1
I
CI
I
U
1
I
CI
I
YI 1
YI
三、公式推导
11 cosUIP
2cosUIP
211 sinsin IIIC
2
2
1
1
sincos
sincos
U
PU
P
)tan(tan 21 UP
CUXU
IC
C
CU
)tan(tan 212
UP
C
1cos 2cos
?C
、、已知： UP
1
1
1
cos
UP
I
2
2cos
UP
I
1:
IIIKCL C?
CI
i’ i
iA iB
u C A B
tVu 314sin222011 ：已知例
KWP
KWP
B
A
10
8
)(6.0cos
)(8.0cos
滞后滞后
B
A
i）求（1 O
B
O
A 1.53;9.36
AU
PI O
A
A
A
A 9.3645.45cos
AU
PI O
B
B
B
B 1.5375.75cos
AIII O
BA 47120
Ati O )47314sin(2120
CO 求）（ )47(,9.0cos2 12 FU
PPC
BA
694)48.007.1(2
')3( I求A
UPP
IBA
9.909.0220
1018cos
'3
2
3.8 电路中的谐振
一、概念
I
（感性）
U
（容性）
U
谐振：电压与电流同相；电路呈电阻性
jba
二、串联谐振)( CL XXjRZ CL XX
CL
1
LCf
LCoo
21
;1 谐振频率：
CL
o
o
1特性阻抗：
RQ
品质因数：
特点： 串联 并联MAXIZ ;)1( min
inMAXZ mI;
Z
f
LCf
O 21
Z
fOf
电压、电流同相)2(
UUU CL ,)3(
选频应用：与直流电路不同总电压思考：部分电压 TV,,
III CL ,
例 12. R 、 L 、 C 串 联 电 路 原 处 于 容 性 状 态，今 保 持 频 率 不 变 欲 调 节 可 变 电 容 使 其 进 入 谐 振 状 态，则 电 容 C 值 ( a ) 。(a) 必 须 增 大 (b) 必 须 减 小(c) 不 能 预 知 其 增 减
例 13. 图 示 电 路 处 于 谐 振 状 态 时，电 流 表 A 的 读 数 应 是 ( c ) 。 (a) I L+I C (b) I (c) 0
A
u
i
i i iiiR
L C
R LC
+
£
CL
1
例 14. 在 图 示 电 路 中， R =2.5 k ， C = 2 F ，该 电 路 在
f =1 000 Hz 时 发 生 谐 振，且 谐 振 时 的 电 流 I 0 = 0.1 A
(1) 求 L 及 i1 ， i2 ， i3 ； (2) 若 电 源 电 压 有 效 值 不 变，但 频 率 f = 500 Hz ， 求 电 路 的 功 率 P ，此 时 电 路 呈 何 性 质 ？
u R LC
i
i i i1 2 3+
£
mHC
LO
6.121
2
80
1C
XXO
CL
VUVRIU O
O 0250,250
设
VjXU
I O
O
O
L
9014.39080
02502
VjX
UI O
O
O
C
9014.390800250
3
WR
UP 25
2
CL
1 CL XX
32
II
U
I感性
一、时域→相量→时域 （微积分运算→代数运算）二、相量法适用于所有结论（ KVL 、 KCL…… ）
IRX
XVU
L
C
O
求
：已知例
;2000;1000
500;010016
)(CL
C
LC
L
baab
jXjXjX
jXjXjX
UVVU
U3
O
CL
CL
O jjXjXjXjX
Z 9020002000)(
2
ARZ
UI O
O
O
O
45106.04522000
03003
Ati O )45sin(2106.0
