Upload
dangkhanh
View
235
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
12/7/2015
1
Sesi XIII
INTEGRAL
e-Mail : [email protected]
www.zacoeb.lecture.ub.ac.id
Hp. 081233978339
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Integral Garis
Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan
tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan
berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan
adalah seperti Pers. (6.1).
Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus
12/7/2015
2
Integral Garis (lanjutan)
๐พ = ๐ญ๐. ๐ซ๐๐๐ (6.1)
Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke
titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah
menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2).
๐พ = ๐ญ. ๐ ๐๐
๐ (6.2)
Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi
vektor F.
Integral Garis (lanjutan)
Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva
C yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti
Pers. (6.3).
๐จ. ๐ ๐๐ช
= ๐จ. ๐ ๐๐
๐
= ๐ด1๐ข + ๐ด2๐ฃ + ๐ด3๐ค . ๐ข๐๐ฅ + ๐ฃ๐๐ฆ + ๐ค๐๐ง๐
๐
= ๐ด1dx + ๐ด2๐๐ฆ + ๐ด3๐๐ง๐
๐ (6.3)
12/7/2015
3
Integral Garis (lanjutan)
Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana
A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan
Pers. (6.4).
Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup
๐จ. ๐ ๐๐ช
= ๐ด1๐ข + ๐ด2๐ฃ + ๐ด3๐ค . ๐ข๐๐ฅ + ๐ฃ๐๐ฆ + ๐ค๐๐ง๐ช
= ๐ด1dx + ๐ด2๐๐ฆ + ๐ด3๐๐ง๐ถ
(6.4)
Integral Garis (lanjutan)
Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang
bergerak dalam vektor F = yi + x2j, sepanjang kurva x = 2t,
y = t2 โ 1 dari t = 0 hingga t = 2.
Penyelesaian :
๐ญ. ๐ ๐๐ช
= ๐๐ข + ๐๐๐ฃ . ๐ ๐๐ข + ๐ ๐๐ฃ๐ช
= ๐๐ ๐ + ๐๐๐ ๐๐
๐
= ๐๐ โ ๐ ๐๐ ๐ + ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐
= ๐๐๐ โ ๐ + ๐๐๐ ๐ ๐๐
๐
=๐
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐๐ ๐
๐=
๐๐๐
๐ satuan panjang
12/7/2015
4
Integral Permukaan
Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian
mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks
(massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z)
melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut
dengan integral permukaan.
Fluks ๐ญ yang melintasi ๐บ = ๐จ. ๐. ๐ ๐บ๐บ
(6.5)
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana
dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang
koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari
proyeksinya.
Integral Permukaan (lanjutan)
Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka
integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6).
๐จ. ๐. ๐ ๐บ๐บ
= ๐จ. ๐.๐ ๐.๐ ๐
๐.๐ค๐บ (6.6)
Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral
permukaan diberikan oleh Pers. (6.7).
๐จ. ๐. ๐ ๐บ๐บ
= ๐จ. ๐.๐ ๐.๐ ๐
๐.๐ฃ๐บ (6.7)
Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan
diberikan oleh Pers. (6.8).
๐จ. ๐. ๐ ๐บ๐บ
= ๐จ. ๐.๐ ๐.๐ ๐
๐.๐ข๐บ (6.8)
12/7/2015
5
Integral Permukaan (lanjutan)
Contoh :
Hitunglah ๐จ. ๐. ๐ ๐บ๐บ
dimana A = 18zi โ 12j + 3yk, S
adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak
pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.
Penyelesaian :
Suatu normal untuk S adalah ๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ =๐๐ข + ๐๐ฃ + ๐๐ค, sehingga :
๐ =๐๐ข+๐๐ฃ+๐๐ค
๐๐+๐๐+๐๐=
๐๐ข+๐๐ฃ+๐๐ค
๐
Integral Permukaan (lanjutan)
maka :
๐จ. ๐ = ๐๐๐๐ข โ ๐๐๐ฃ + ๐๐๐ค .๐๐ข+๐๐ฃ+๐๐ค
๐
=๐๐๐โ๐๐+๐๐๐
๐
=๐๐
๐๐โ๐๐โ๐๐
๐โ๐๐+๐๐๐
๐
=๐๐โ๐๐๐
๐
12/7/2015
6
Integral Permukaan (lanjutan)
Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga
integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar
berikut :
Integral Permukaan (lanjutan)
๐จ. ๐. ๐ ๐บ =๐บ
๐จ. ๐.๐ ๐.๐ ๐
๐.๐ค๐น
= ๐๐โ๐๐๐
๐.
๐ ๐.๐ ๐๐๐ข+๐๐ฃ+๐๐ค
๐.๐ค๐น
= ๐๐โ๐๐๐
๐.๐ ๐.๐ ๐
๐
๐๐น
= ๐ โ ๐๐๐๐โ๐๐
๐๐=๐
๐
๐=๐๐ ๐. ๐ ๐
= ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐โ๐๐
๐๐
๐
๐=๐๐ ๐
= ๐๐๐โ๐๐
๐โ ๐๐
๐๐โ๐๐
๐
๐
๐=๐๐ ๐
= ๐๐ โ ๐๐๐ +๐๐๐
๐
๐
๐=๐๐ ๐
= ๐๐๐ โ ๐๐๐ +๐๐๐
๐ ๐
๐= ๐๐ satuan luas
12/7/2015
7
Integral Volume (lanjutan)
Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang
menutup volume V, maka :
๐จ ๐ ๐ฝ๐ฝ
= ๐จ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ
(6.9)
dan
๐ ๐ ๐ฝ๐ฝ
= ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ
(6.10)
Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.
Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi
ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume
๐ซ๐ฝ๐ = ๐ซ๐๐๐ซ๐๐๐ซ๐๐, ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐ด.
Integral Volume (lanjutan)
Gambar 6.3. Integral volume
Jika ๐๐, ๐๐, ๐๐ sebuah titik
dalam kubus, dapat didefnisikan
๐ ๐๐, ๐๐, ๐๐ = ๐๐ . Pandang
jumlah :
๐๐โ๐ฝ๐
๐
๐=๐
yang diambil untuk semua
kubus yang ada dalam ruang
yang ditinjau.
12/7/2015
8
Integral Volume (lanjutan)
Limit dari jumlah tersebut, jika ๐ด โ โ, sehingga kuantitas-
kuantitas terbesar โ๐ฝ๐ akan mendekati nol, dan jika limit ini
ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral
volume.
Integral Volume (lanjutan)
Contoh :
Hitung ๐(๐)๐ ๐ฝ๐ฝ
dengan V
adalah ruang yang dibatasi oleh
permukaan-permukaan x + y +
z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0,
jika ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐.
Penyelesaian :
12/7/2015
9
Integral Volume (lanjutan)
๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐ฝ
= ๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐โ๐โ๐
๐=๐
๐โ๐
๐=๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐=๐
= ๐๐๐ + ๐๐๐ +๐
๐๐๐ ๐โ๐โ๐
๐
๐โ๐
๐=๐
๐
๐=๐๐ ๐๐ ๐
= ๐๐ + ๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐ +๐โ๐โ๐ ๐
๐
๐โ๐
๐=๐
๐
๐=๐๐ ๐๐ ๐
= ๐๐ ๐ โ ๐ โ๐๐๐๐
๐+
๐โ๐
๐๐๐ โ
๐๐
๐
๐
๐=๐
โ๐โ๐โ๐ ๐
๐๐ ๐โ๐
๐๐ ๐
= ๐๐ ๐โ๐ ๐
๐+
๐โ๐ ๐
๐๐ ๐
๐
๐
=๐๐๐๐
๐โ
๐๐๐
๐+
๐๐
๐๐โ
(๐โ๐)๐
๐๐ ๐
๐=
๐๐๐
๐ satuan volume
Teorema Gauss
Definisi :
Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan
tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan
yang kontinu, maka :
๐.๐๐๐๐
= ๐. ๐ง๐๐๐
= ๐. ๐๐๐
(7.1)
Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A
yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan
integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh
permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan
dapat juga digunakan Teorema Gauss.
12/7/2015
10
Teorema Gauss (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Hitunglah ๐.๐ง. ๐๐๐
dengan ๐ = 2๐ฅ โ ๐ง ๐ข + ๐ฅ2๐ฆ๐ฃ โ ๐ฅ๐ง2๐ค
dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1,
y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.
Penyelesaian :
Teorema Gauss (lanjutan)
Menurut teorema divergensi Gauss :
๐. ๐ง๐๐๐
= ๐. ๐๐๐๐
Maka,
๐. ๐๐๐๐
= ๐
๐๐ฅ๐ข +
๐
๐๐ฆ๐ฃ +
๐
๐๐ง๐ค
1
0
1
0. 2๐ฅ โ ๐ง ๐ข + ๐ฅ2๐ฆ๐ฃ โ ๐ฅ๐ง2๐ค
1
0๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง
= 2 + ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ง1
0
1
0๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง
1
0
= 2๐ฅ +๐ฅ3
3โ ๐ฅ2๐ง 1
0
1
0๐๐ฆ๐๐ง
1
0=
7
3โ ๐ง
1
0๐๐ฆ๐๐ง
1
0
= 7
3๐ฆ โ ๐ง๐ฆ 1
0๐๐ง
1
0=
7
3โ ๐ง ๐๐ง
1
0
=7
3๐ง โ
1
2๐ง2 1
0=
๐๐
๐
Jadi,
๐. ๐ง๐๐๐
= ๐. ๐๐๐๐
=๐๐
๐ satuan
12/7/2015
11
Teorema Stokes
Definisi :
Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-
batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z)
adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial
pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka :
๐ . ๐๐ซ๐
= ๐ ร ๐ ๐
. ๐ง. ๐๐ (7.2)
Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah
vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C
sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang
permukaan S dengan C sebagai batasnya.
Teorema Stokes (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Hitunglah ๐ ร ๐ .๐๐๐
dengan ๐ = 2๐ฅ โ ๐ฆ ๐ข + ๐ฆ๐ง2๐ฃ โ
๐ฆ2๐ง๐ค dimana S adalah separuh dari permukaan bola ๐ฅ2 + ๐ฆ2 +
๐ง2 = 1 bagian atas dan C batasnya.
Penyelesaian :
12/7/2015
12
Teorema Stokes (lanjutan)
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 1, ๐ง = 0
dan persamaan parameternya adalah ๐ฅ = cos ๐ก , ๐ฆ = sin ๐ก , ๐ง = 0, dimana 0 t
2. Berdasarkan teorema Stokes ๐ ร ๐๐
. ๐ง. ๐๐ = ๐. ๐๐ซ๐
.
๐. ๐๐ซ๐
= 2๐ฅ โ ๐ฆ ๐ข โ ๐ฆ๐ง2๐ฃ โ ๐ฆ2๐ง๐คC
. ๐ ๐ฅ๐ข + ๐ฆ๐ฃ + ๐ง๐
= 2๐ฅ โ ๐ฆ ๐๐ฅ โ ๐ฆ๐ง2๐๐ฆ โ ๐ฆ2๐ง๐๐ง2๐
0
= 2 cos ๐ก โ sin ๐ก โ sin ๐ก ๐๐ก2๐
0
= โ2 sin ๐ก cos ๐ก + ๐ ๐๐2 ๐ก ๐๐ก2๐
0
= โ sin 2๐ก +1
2โ
cos 2๐ก
2๐๐ก
2๐
0
=1
2cos 2๐ก +
1
2๐ก +
1
4sin 2๐ก 2๐
0= ๐
Jadi, ๐ ร ๐๐
. ๐ง. ๐๐ = ๐. ๐๐ซ๐
= ๐ satuan
Teorema Green
Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam
ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan
teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy
yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green
dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada
satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu
dengan menggunakan teorema Green.
12/7/2015
13
Teorema Green (lanjutan)
Definisi :
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang
dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N
adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki
turunan-turunan kontinu dalam R, maka :
๐๐๐ฑ๐
+ ๐๐๐ฒ = ๐๐
๐๐ฑโ
๐๐
๐๐ฒ๐๐ฑ๐๐ฒ
๐ (7.3)
Teorema Green (lanjutan)
Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah
partikel dimana A = Mi + Nj, maka ๐.๐๐ซ๐
adalah usaha yang
dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi
suatu lintasan tertutup C โ integral garis, yaitu :
๐.๐๐ซ๐
= M๐ข + N๐ฃ๐
. ๐๐ฅ๐ข + ๐๐ฆ๐ฃ + ๐๐ง๐ค
= M๐๐ฅ + N๐๐ฆ๐
Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang
dilakukan adalah :
= ๐๐
๐๐โ
๐๐
๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
12/7/2015
14
Teorema Green (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Periksa teorema Green pada bidang untuk 2๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ +๐
๐ฅ + ๐ฆ2 ๐๐ฆ, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh
๐ฆ = ๐ฅ2 dan ๐ฆ2 = ๐ฅ.
Penyelesaian :
Kurva-kurva bidang tersebut
berpotongan di (0, 0) dan
(1,1), arah positif dalam
menjalani C ditunjukkan
pada gambar di samping.
Teorema Green (lanjutan)
Sepanjang ๐ฆ = ๐ฅ2, integral garisnya adalah :
2๐ฅ ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ1
๐ฅ=0+ ๐ฅ + ๐ฅ2 2 ๐ ๐ฅ2
= 2๐ฅ3 + ๐ฅ2 + 2๐ฅ5 ๐๐ฅ1
๐ฅ=0=
7
6
Sepanjang ๐ฆ2 = ๐ฅ, integral garisnya adalah :
2๐ฆ2 ๐ฆ โ ๐ฆ2 2 ๐ ๐ฆ20
๐ฆ=1+ ๐ฆ2 + ๐ฆ2 ๐y
= 4๐ฆ4 โ 2๐ฆ5 + 2๐ฆ2 ๐๐ฅ0
๐ฆ=1= โ
17
15
Maka integral garis yang diinginkan adalah :
=7
6โ
17
15=
๐
๐๐ satuan
12/7/2015
15
Teorema Green (lanjutan)
Dengan teorema Green :
๐๐
๐๐โ
๐๐
๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐=
๐ ๐+๐๐
๐๐โ
๐ ๐๐๐โ๐๐
๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
= ๐ โ ๐๐ ๐๐ฅ๐๐ฆ๐
= ๐ โ ๐๐ ๐๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ
๐ฆ=๐ฅ2
1
๐ฅ=0
= ๐ฆ โ 2๐ฅ๐ฆ ๐ฅ๐ฅ2 ๐๐ฅ
1
๐ฅ=0
= ๐ฅ1
2 โ 2๐ฅ3
2 โ ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 ๐๐ฅ1
๐ฅ=0
=๐
๐๐ satuan
(Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)
Latihan
1. Teorema Gauss :
Hitunglah ๐. ๐ง. ๐๐๐
dengan๐ = 2๐ฅ๐ฆ โ ๐ง ๐ข + ๐ฆ2๐ฃ โ ๐ฅ + 3๐ฆ ๐ค pada
daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.
2. Teorema Stokes :
Hitunglah ๐ ร ๐ . ๐ง. ๐๐๐
dengan ๐ = 3๐ฆ๐ข โ ๐ฅ๐ง๐ฃ + ๐ฆ๐ง2๐ค, dimana S
adalah permukaan paraboloida 2๐ง = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 yang dibatasi oleh z = 2 dan
C sebagai batasnya.
3. Teorema Green :
Hitunglah ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฆ3 ๐๐ฅ + ๐ฆ3 โ 2๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ๐
dengan C adalah suatu
bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0).
12/7/2015
16
Thanks for your kind attention!