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MURAKAMI,H. 1/35 時系列（２）

■目的　時系列データの特性を調べるための手法について理解する。■目標

■相互相関関数と自己相関関数

相互相関関数　－　２つの時系列の対応関係

自己相関関数　－　周期性　　

（１）

（２）

め結果のばらつき（雑音の分散）が大きくなる。そのため，演算を必要とする遅れ

とする場合もある。　時系列データが直流成分を含む場合には，あらかじめ平均値を引いた値にたいして上記の演算をおこなう。　また，自己相関関数ならびに相互相関関数には次のような性質がある。

専門コア情報処理[8]　時系列処理（２）－自己相関関数・相互相関関数－

　Excelを使用して具体的に自己相関関数・相互相関関数が計算できるようになる。教科書 p.59-69　２つの時系列 f(t) と g(t) がある。いま f(t) は 0≦t<T の範囲に限定されているのに対して，g(t) は十分にこの範囲をカバーするものとする。

◎２つの時系列データが有限長（0≦t<T）の場合

ただ，この方法では n が大きくなるにしたがって積和をとる区間幅が小さくなるた範囲 N の２倍のサンプル点2Nをとり

Φfg (τ )=1T ∫0

Tf ( t )g ( t+τ )dt

Φff (τ )=1T ∫0

Tf ( t ) f ( t+τ )dt

φ fg (n)=1N ∑m=0

N−1

f (m )g(m+n )

φ ff (n)=1N ∑m=0

N−1

f (m ) f (m+n)

φ fg (n)=1

N−n ∑m=0

N−n−1

f (m)g (m+n)

φ ff (n)=1

N−n ∑m=0

N−n−1

f (m) f (m+n )

n=0,1 ,… ,N−1

φ fg (n)=1N ∑m=0

N−1

f (m )g(m+n )

1

0

)()(1)(N

mff nmfmf

Nn

n=0,1 ,… ,N−1

φxx (n)=φxx (−n )φxx (0)≥φxx (n )

φxy (n)=φ yx(−n )

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MURAKAMI,H. 2/35 時系列（２）

自己相関係数

相互相関係数

■参考書

　次の２つの時系列データの個々の自己相関関数と，２つの時系列データの相互相関関数を

ｆ g2.05 22.232.10 22.343.40 22.305.01 21.907.35 21.319.43 20.4110.82 19.4311.09 18.4110.41 17.727.85 17.813.97 18.012.90 18.722.85 19.513.50 20.394.97 21.546.77 22.339.61 22.3511.91 21.6912.81 19.9710.92 19.029.30 18.736.13 18.914.54 19.344.72 19.94

■相関係数，自己相関係数，相互相関係数２つの時系列をｘ，ｙとする。

■自己相関係数と相互相関係数 - 正規化した自己相関関数と相互相関関数 -

森口繁一，Excel/Basic基礎指南，日本規格協会（Excelで使用できるVBAを使って数値計算をするのに必要な解説がされている。）

■課題8

計算し図示せよ。(n=0,…,12まで)

Cxx (n )=φxx (n)φxx ( 0)

( )( )

0 0xy

xyxx yy

nC n

1

2 2

1 1

1

1 1

n

i ii

n n

i ii i

x x y yn

x x y yn n

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MURAKAMI,H. 3/35 時系列（２）

相関係数は，共分散をそれぞれの標準偏差で割ったものと定義される。

自己相関係数を相関係数と比較してみるとその意味がよく分る。

つまり，自己相関係数は時間遅れがある時の相関係数と考えられる。時間遅れ(n)がゼロの場合には，相関係数と同じになる。

相互相関係数は，2つの時系列の時間遅れ(n)の時の相関関数と言える。

1

2 2

1 1

1

1 1

n

i ii

n n

i ii i

x x y yn

x x y yn n

1 1

0 021 1

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )( )( ) (0) 1 1( ) ( ) ( ) ( )

N N

ff m mff N Nff

m m

f m f m n f m f m nN Nn

C nf m f m f m f mN N

1

01 1

0 0

( )( )0 0

1

1 1( ) ( ) ( ) ( )

fgfg

ff ggN

mN N

m m

nC n

f m g m nN

f m f m gmgmN N

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MURAKAMI,H. 4/35 時系列（２）

自己共分散とも呼びます

このように具体的に式を展開してみましょう！見てるだけでは難しそうでも，やってみるとどうってことはないでしょう？

φ fg(n)=1N ∑m=0

N−1

f (m )g(m+n )

φ ff (n)=1N ∑m=0

N−1

f (m ) f (m+n)

n=0,1 ,… ,N−1

11 (0) (0 1) (1) (1 1) ( 2) ( 1)1ff ff ff f N f NN

…

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MURAKAMI,H. 5/35 時系列（２）

11 (0) (0 1) (1) (1 1) ( 2) ( 1)1ff ff ff f N f NN

…

■演習　－自己相関関数－与えられた時系列データに対する自己相関関数を式（２）で計算しグラフ化せよ。

nx x-ave(x) 0 1 2 3 4 5 6 7

1 48.1 8.1 65.745 2 54.7 14.7 216.335 119.260 3 58.0 18.0 324.300 264.873 146.018 4 64.2 24.2 586.043 435.952 356.064 196.289 5 56.1 16.1 259.478 389.956 290.084 236.927 130.612 6 44.9 4.9 24.092 79.065 118.823 88.391 72.193 39.798 7 36.1 -3.9 15.145 -19.102 -62.688 -94.211 -70.082 -57.240 -31.555 8 34.2 -5.8 33.543 22.539 -28.427 -93.294 -140.207 -104.298 -85.186 -46.961 9 50.1 10.1 102.178 -58.544 -39.338 49.615 162.828 244.706 182.034 148.677 10 54.9 14.9 222.258 150.698 -86.344 -58.018 73.175 240.148 360.906 268.474 11 55.1 15.1 228.262 225.240 152.720 -87.502 -58.797 74.157 243.370 365.748 12 48.4 8.4 70.700 127.036 125.354 84.994 -48.698 -32.722 41.271 135.444 13 26.1 -13.9 192.978 -116.806 -209.880 -207.102 -140.422 80.456 54.062 -68.185 14 22.3 -17.7 312.995 245.767 -148.757 -267.292 -263.753 -178.833 102.464 68.850 15 24.1 -15.9 252.545 281.150 220.762 -133.622 -240.097 -236.918 -160.638 92.039 16 33.1 -6.9 47.495 109.520 121.925 95.737 -57.947 -104.122 -102.743 -69.663 17 42.3 2.3 5.328 -15.908 -36.683 -40.838 -32.067 19.409 34.875 34.413 18 52.5 12.5 156.458 28.873 -86.203 -198.778 -221.293 -173.762 105.174 188.980 19 36.0 -4.0 15.933 -49.929 -9.214 27.509 63.434 70.619 55.451 -33.563 20 23.5 -16.5 271.975 65.829 -206.283 -38.068 113.655 262.080 291.765 229.097 21 14.9 -25.1 629.592 413.803 100.158 -313.855 -57.920 172.923 398.748 443.913 22 19.8 -20.2 407.703 506.643 332.994 80.598 -252.564 -46.609 139.154 320.879 23 25.0 -15.0 224.750 302.707 376.166 247.238 59.842 -187.521 -34.606 103.318 24 35.4 -4.6 21.083 68.837 92.713 115.213 75.724 18.328 -57.434 -10.599

sum= 959.8 sum= 4686.918 3577.459 1519.962 -310.070 -832.383 100.600 1537.113 2170.861 ave= 40.0 R= 195.288 155.542 69.089 -14.765 -41.619 5.295 85.395 127.698

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-150.000 -100.000

-50.000 0.000

50.000 100.000 150.000 200.000

Lag

自己相関

関数

0 5 10 15 20 2510.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

号ｘには周期７の信号が含まれている。

x x-ave(x)1 48.1 8.1 0 195.28832 54.7 14.7 1 155.54173 58.0 18.0 2 69.089164 64.2 24.2 3 -14.76525 56.1 16.1 4 -41.61916 44.9 4.9 5 5.2947627 36.1 -3.9 6 85.395168 34.2 -5.8 7 127.69779 50.1 10.1 8 97.1581410 54.9 14.9 9 2.27823611 55.1 15.1 10 -96.364912 48.4 8.4 11 -144.06213 26.1 -13.9 12 -119.66814 22.3 -17.7 15 24.1 -15.9 16 33.1 -6.9

自己相関関数がlag=7で正の極大値を持つので，信■ExcelのSUMPRODUCT（積和）を使った例

ラグn

自己相関関数R ＜－－ =SUMPRODUCT($C$57:C80,C57:$C$80)/(24-E57)＜－－ =SUMPRODUCT($C$57:C79,C58:$C$80)/(24-E58)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-150.000 -100.000

-50.000 0.000

50.000 100.000 150.000 200.000

Lag

自己相関

関数

0 5 10 15 20 2510.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

17 42.3 2.3 18 52.5 12.5 19 36.0 -4.0 20 23.5 -16.5 21 14.9 -25.1 22 19.8 -20.2 23 25.0 -15.0 24 35.4 -4.6

sum= 959.8 ave= 40.0

8 9 10 11 12

81.962 219.277 120.882 272.076 222.218 122.503 203.552 151.420 123.673 68.178 -223.772 -336.294 -250.166 -204.323 -112.638 -86.837 -284.983 -428.286 -318.597 -260.215 61.845 -78.002 -255.988 -384.711 -286.182 39.914 26.820 -33.827 -111.013 -166.836 23.333 -13.369 -8.983 11.330 37.183 186.478 126.438 -72.444 -48.678 61.395 -60.307 -59.509 -40.349 23.118 15.534 -138.667 -249.162 -245.863 -166.703 95.514 348.565 -210.979 -379.093 -374.075 -253.635 357.224 280.496 -169.778 -305.062 -301.024 238.243 265.228 208.259 -126.055 -226.499 31.644 72.969 81.234 63.786 -38.608

1554.530 34.174 -1349.108 -1872.807 -1436.011 97.158 2.278 -96.365 -144.062 -119.668

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-150.000 -100.000

-50.000 0.000

50.000 100.000 150.000 200.000

Lag

自己相関

関数

号ｘには周期７の信号が含まれている。で正の極大値を持つので，信

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-150.000 -100.000

-50.000 0.000

50.000 100.000 150.000 200.000

Lag

自己相関

関数

■周期関数の自己相関関数ｔ ｘ Lag ACF

0 0 0 0.487804878050.1 0.587785 1 0.404508497190.2 0.951057 2 0.167329010010.3 0.951057 3 -0.13321857630.4 0.587785 4 -0.3826431730.5 1.22E-16 5 -0.48611111110.6 -0.58779 6 -0.40450849720.7 -0.95106 7 -0.16921437950.8 -0.95106 8 0.129992830690.9 -0.58779 9 0.379226716111 -2.4E-16 10 0.48387096774

1.1 0.587785 11 0.404508497191.2 0.951057 12 0.17174987651.3 0.951057 13 -0.12561503311.4 0.587785 14 -0.37454490481.5 3.67E-16 15 -0.48076923081.6 -0.58779 16 -0.40450849721.7 -0.95106 17 -0.17534183051.8 -0.95106 18 0.119333845261.9 -0.58779 19 0.367734997442 -4.9E-16 20 0.47619047619

2.1 0.587785 21 0.404508497192.2 0.951057 22 0.180824286662.3 0.951057 23 -0.10956310862.4 0.587785 24 -0.35691926222.5 6.12E-16 25 -0.468752.6 -0.58779 26 -0.40450849722.7 -0.95106 27 -0.19022278292.8 -0.95106 28 0.09227642072.9 -0.58779 29 0.337090414323 -7.3E-16 30 0.45454545455

3.1 0.5877853.2 0.9510573.3 0.9510573.4 0.5877853.5 8.57E-163.6 -0.58779 周期関数の自己相関関数は，周期関数になる。3.7 -0.951063.8 -0.951063.9 -0.587794 -9.8E-16

■非周期関数の自己相関関数ｔ ｘ x-ave. Lag ACF

0 1 0.938012 0 0.034742327680.1 0.606531 0.544543 1 0.021503032350.2 0.367879 0.305892 2 0.013239373640.3 0.22313 0.161142 3 0.008060713090.4 0.135335 0.073348 4 0.004794770110.5 0.082085 0.020097 5 0.002714234250.6 0.049787 -0.0122 6 0.0013675328

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 402468

1012

Data

t

x

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

Auto-correlation Function

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Data(x-ave.)

t

x-av

e.

0.7 0.030197 -0.03179 7 0.000474027620.8 0.018316 -0.04367 8 -0.00014091830.9 0.011109 -0.05088 9 -0.00058619261 0.006738 -0.05525 10 -0.0009299

1.1 0.004087 -0.0579 11 -0.00121485931.2 0.002479 -0.05951 12 -0.00146823241.3 0.001503 -0.06048 13 -0.00170751531.4 0.000912 -0.06108 14 -0.00194427581.5 0.000553 -0.06143 15 -0.00218649471.6 0.000335 -0.06165 16 -0.00244004361.7 0.000203 -0.06178 17 -0.00270963311.8 0.000123 -0.06186 18 -0.00299943811.9 7.49E-05 -0.06191 19 -0.00331353082 4.54E-05 -0.06194 20 -0.0036562092

2.1 2.75E-05 -0.06196 21 -0.00403227472.2 1.67E-05 -0.06197 22 -0.00444730312.3 1.01E-05 -0.06198 23 -0.00490794112.4 6.14E-06 -0.06198 24 -0.00542226322.5 3.73E-06 -0.06198 25 -0.00600022462.6 2.26E-06 -0.06199 26 -0.00665425792.7 1.37E-06 -0.06199 27 -0.00740007712.8 8.32E-07 -0.06199 28 -0.00825777872.9 5.04E-07 -0.06199 29 -0.00925336733 3.06E-07 -0.06199 30 -0.0104208937

3.1 1.86E-07 -0.061993.2 1.13E-07 -0.061993.3 6.83E-08 -0.061993.4 4.14E-08 -0.061993.5 2.51E-08 -0.061993.6 1.52E-08 -0.061993.7 9.24E-09 -0.061993.8 5.6E-09 -0.061993.9 3.4E-09 -0.061994 2.06E-09 -0.06199

ave.= 0.061988

■ランダム時系列の自己相関関数ｔ ｘ x-ave. Lag ACF

0 -0.19292 -0.25491 0 0.087642651050.1 -0.11779 -0.17978 1 0.005067126870.2 0.29358 0.231592 2 -0.03204491460.3 0.479631 0.417643 3 0.00434680330.4 -0.0622 -0.12418 4 0.015362886490.5 -0.21363 -0.27561 5 -0.00996843580.6 -0.28641 -0.3484 6 -0.02292702660.7 -0.38802 -0.45001 7 0.009526639010.8 0.339537 0.277549 8 0.015787732760.9 -0.14196 -0.20395 9 -0.01557034811 0.468095 0.406108 10 -0.0294717943

1.1 0.129536 0.067549 11 0.009842995381.2 0.252276 0.190288 12 0.003684793571.3 -0.04167 -0.10366 13 -0.00534688211.4 -0.37867 -0.44066 14 0.016646518851.5 0.054847 -0.00714 15 -0.0003632365

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

非周期関数の自己相関関数

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Data(x-ave.)

t

x-av

e.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6x-ave.

t

x-av

e.

1.6 0.392154 0.330167 16 -0.01635431561.7 0.18857 0.126582 17 0.002683004811.8 -0.49547 -0.55746 18 0.030468547371.9 -0.23385 -0.29584 19 0.01777313352 0.393093 0.331105 20 -0.0202462663

2.1 0.244083 0.182096 21 0.0158333052.2 -0.47412 -0.53611 22 0.011060647552.3 -0.05678 -0.11876 23 -0.01523120262.4 0.430721 0.368733 24 -0.00708332312.5 -0.23606 -0.29805 25 -0.00159985152.6 -0.18861 -0.2506 26 0.002185196912.7 0.251622 0.189634 27 -0.01357168522.8 0.207076 0.145089 28 -0.01284794152.9 0.373043 0.311055 29 -0.0008157883 -0.0443 -0.10629 30 0.01784642061

3.1 0.355417 0.2934293.2 0.436329 0.3743413.3 -0.22606 -0.288053.4 0.138013 0.0760263.5 0.322177 0.2601893.6 -0.33782 -0.399813.7 -0.40385 -0.465843.8 0.101746 0.0397583.9 -0.24873 -0.310714 -0.15126 -0.21325

ave.= 0.022716

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

ランダム時系列の自己相関

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6x-ave.

t

x-av

e.

周期関数の自己相関関数は，周期関数になる。

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 402468

1012

Data

t

x

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

Auto-correlation Function

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Data(x-ave.)

t

x-av

e.

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

非周期関数の自己相関関数

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Data(x-ave.)

t

x-av

e.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6x-ave.

t

x-av

e.

0 5 10 15 20 25 3002468

1012

ランダム時系列の自己相関

Lag

ACF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6x-ave.

t

x-av

e.

N X X-AVE(X)24 48.100 8.108333 12 0 195.2883 自己相関関数の計算

54.700 14.70833 1 155.541758.000 18.00833 2 69.0891664.200 24.20833 3 -14.765256.100 16.10833 4 -41.619144.900 4.908333 5 5.294762 ４）［ツール］－［マクロ］－［マクロ］で36.100 -3.89167 6 85.3951634.200 -5.79167 7 127.6977 を選択し「実行」をクリックする。50.100 10.10833 8 97.1581454.900 14.90833 9 2.27823655.100 15.10833 10 -96.3649 自己相関関数を計算するＶＢマクロ48.400 8.408333 11 -144.062 Sub autocorrelation()26.100 -13.8917 12 -119.66822.300 -17.691724.100 -15.891733.100 -6.8916742.300 2.308333 '52.500 12.5083336.000 -3.99167 S = 023.500 -16.4917 For i = 1 To N14.900 -25.0917 S = S + Cells(2 + i - 1, 2)19.800 -20.1917 Next i25.000 -14.9917 For i = 1 To N35.400 -4.59167 Cells(2 + i - 1, 3) = Cells(2 + i - 1, 2) - S / N

Next i'

For j = 0 To MS = 0For i = 0 To N - j - 1S = S + Cells(2 + i, 3) * Cells(2 + j + i, 3)Next iCells(2 + j, 5) = jCells(2 + j, 6) = S / (N - j)Next jEnd Sub

M(ax Lag) Lag ACF

１）A2セルにデータの個数をセットする。２）B2から縦に時系列データを入れる。３）D2セルに自己相関関数を計算する最大ずらし量

' 自己相関関数' 時系列データ　　 N = Cells(2, 1) 'A2M = Cells(2, 4) 'D2

' 平均値の除去

' 自己相関関数

自己相関関数の計算

４）［ツール］－［マクロ］－［マクロ］でACFを選択し「実行」をクリックする。

自己相関関数を計算するＶＢマクロSub autocorrelation()

For i = 1 To NS = S + Cells(2 + i - 1, 2)

For i = 1 To NCells(2 + i - 1, 3) = Cells(2 + i - 1, 2) - S / N

For j = 0 To M

For i = 0 To N - j - 1S = S + Cells(2 + i, 3) * Cells(2 + j + i, 3)

Cells(2 + j, 5) = jCells(2 + j, 6) = S / (N - j)

１）A2セルにデータの個数をセットする。２）B2から縦に時系列データを入れる。３）D2セルに自己相関関数を計算する最大ずらし量Mをセットする。

' 自己相関関数' 時系列データ　　 B2...N = Cells(2, 1) 'A2　時系列データ数M = Cells(2, 4) 'D2　Lagの最大値' 平均値の除去 C2...

' 自己相関関数 E2.....

N X X-AVE(X) A-C30 0.487 -0.34229 20 0 0.081209

0.350 0.18274 1 -0.002960.400 -0.01079 2 0.0082840.370 0.326024 3 -0.017050.111 -0.03826 4 -0.01583-0.257 -0.29225 5 0.0004520.054 -0.27446 6 -0.02634-0.169 0.281194 7 0.004802-0.169 -0.01449 8 0.0273590.363 0.490368 9 0.003053-0.171 0.4146 10 0.0027920.001 0.418104 11 -0.014150.143 0.219671 12 0.010011-0.316 -0.36058 13 0.0229190.303 -0.40255 14 -0.00564-0.266 0.154619 15 -0.013280.048 -0.10534 16 -0.006910.380 0.294128 17 -0.00769-0.408 -0.36139 18 -0.01032-0.146 0.318237 19 -0.001530.395 0.44554 20 -0.012760.321 -0.3476-0.108 0.2835510.244 -0.11203-0.459 0.328760.130 -0.30476-0.065 -0.196670.423 -0.037260.142 -0.058460.352 0.014611

M(ax Lag) Lag

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1A-C

Lag

ACF

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1A-C

Lag

ACF

■演習　－相互相関関数－与えられた２つの時系列データに対する相互相関関数を式（１）で計算しグラフ化せよ。

Serial No. f g f-ave g-ave Lag 0 11 0 0 -1.58824 -1.35294 2.1487892 0 0 -1.58824 -1.35294 2.148789 2.1487893 1 0 -0.58824 -1.35294 0.795848 2.1487894 2 0 0.411765 -1.35294 -0.55709 0.7958485 3 0 1.411765 -1.35294 -1.91003 -0.557096 3 0 1.411765 -1.35294 -1.91003 -1.910037 3 1 1.411765 -0.35294 -0.49827 -0.498278 3 2 1.411765 0.647059 0.913495 0.9134959 3 3 1.411765 1.647059 2.32526 2.3252610 2 3 0.411765 1.647059 0.678201 2.3252611 1 3 -0.58824 1.647059 -0.96886 0.67820112 1 3 -0.58824 1.647059 -0.96886 -0.9688613 1 3 -0.58824 1.647059 -0.96886 -0.9688614 1 2 -0.58824 0.647059 -0.38062 -0.3806215 1 1 -0.58824 -0.35294 0.207612 0.20761216 1 1 -0.58824 -0.35294 0.207612 0.20761217 1 1 -0.58824 -0.35294 0.207612 0.207612

sum= 1.470588 6.67474CCF= 0.086505 0.417171

Serial No. f g f-ave g-ave Lag CCF

■ExcelのSUMPRODUCT（積和）を使った例

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

Lag

相互相関

関数

0 2 4 6 8 10 12 14 16-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

Data

f-ave g-ave

Serial No.

f-ave

&g-

ave

1 0 0 -1.58824 -1.35294 -8 -0.047292 0 0 -1.58824 -1.35294 -7 -0.410033 1 0 -0.58824 -1.35294 -6 -0.706834 2 0 0.411765 -1.35294 -5 -0.954155 3 0 1.411765 -1.35294 -4 -1.163436 3 0 1.411765 -1.35294 -3 -1.132727 3 1 1.411765 -0.35294 -2 -0.843378 3 2 1.411765 0.647059 -1 -0.380629 3 3 1.411765 1.647059 0 0.08650510 2 3 0.411765 1.647059 1 0.41717111 1 3 -0.58824 1.647059 2 0.79192612 1 3 -0.58824 1.647059 3 1.14878913 1 3 -0.58824 1.647059 4 1.32978414 1 2 -0.58824 0.647059 5 1.12427915 1 1 -0.58824 -0.35294 6 0.60868216 1 1 -0.58824 -0.35294 7 0.04878917 1 1 -0.58824 -0.35294 8 -0.41984

与えられた２つの時系列データに対する相互相関関数を式（１）で計算しグラフ化せよ。2 3 4 5 6 7 8

2.1487892.148789 2.1487890.795848 2.148789 2.148789-0.55709 0.795848 2.148789 2.148789-0.49827 -0.14533 0.207612 0.560554 0.5605540.913495 0.913495 0.266436 -0.38062 -1.02768 -1.027682.32526 2.32526 2.32526 0.678201 -0.96886 -2.61592 -2.615922.32526 2.32526 2.32526 2.32526 0.678201 -0.96886 -2.615922.32526 2.32526 2.32526 2.32526 2.32526 0.678201 -0.968860.678201 2.32526 2.32526 2.32526 2.32526 2.32526 0.678201-0.96886 0.678201 2.32526 2.32526 2.32526 2.32526 2.32526-0.38062 -0.38062 0.266436 0.913495 0.913495 0.913495 0.9134950.207612 0.207612 0.207612 -0.14533 -0.49827 -0.49827 -0.498270.207612 0.207612 0.207612 0.207612 -0.14533 -0.49827 -0.498270.207612 0.207612 0.207612 0.207612 0.207612 -0.14533 -0.4982711.87889 16.08304 17.2872 13.49135 6.695502 0.487889 -3.778550.791926 1.148789 1.329784 1.124279 0.608682 0.048789 -0.41984

相互相関関数はlag=4で最大値を持つので，信号ｆとgには時間遅れが4単位（1lagが1秒なら4秒という具合）存在する。

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

Lag

相互相関

関数

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

CCF

Lag

CCF

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

CCF

Lag

CCF

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

CCF

Lag

CCF

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

CCF

Lag

CCF

N F(t) G(t) F-ave(F) G-ave(G) M(ax Lag) Lag17 0 0 -1.58824 -1.35294 8 -8

0 0 -1.58824 -1.35294 -71 0 -0.58824 -1.35294 -62 0 0.411765 -1.35294 -53 0 1.411765 -1.35294 -43 0 1.411765 -1.35294 -33 1 1.411765 -0.35294 -23 2 1.411765 0.647059 -13 3 1.411765 1.647059 02 3 0.411765 1.647059 11 3 -0.58824 1.647059 21 3 -0.58824 1.647059 31 3 -0.58824 1.647059 41 2 -0.58824 0.647059 51 1 -0.58824 -0.35294 61 1 -0.58824 -0.35294 71 1 -0.58824 -0.35294 8

CCF 相互相関関数の演算手順-0.04729-0.41003-0.70683-0.95415-1.16343-1.13272-0.84337-0.380620.0865050.4171710.7919261.1487891.3297841.1242790.6086820.048789-0.41984

１．データ数 N を A2 に入れる。２．２つの時系列データを B2 および C2 から入れる。３．計算すべき時間遅れの最大 M を G2 に入れる。４．[ツール]-[マクロ]で[マクロ]を選択し CCF を実行する。

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

CCF

Lag

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

CCF

Lag

N F(t) G(t) F-ave(F) G-ave(G) M(ax Lag) Lag17 0.33841 0 -1.85931 -1.35294 8 -8

-0.57899 0 -0.44906 -1.35294 -70.645294 0 -1.37983 -1.35294 -61.899868 0 1.103005 -1.35294 -52.840837 0 1.870965 -1.35294 -43.377491 0 1.383092 -1.35294 -32.683523 1 1.191938 -0.35294 -23.158823 2 1.54965 0.647059 -13.262534 3 2.353083 1.647059 01.78852 3 -0.39683 1.647059 10.131604 3 -1.14181 1.647059 21.205947 3 -0.70571 1.647059 31.506655 3 0.085761 1.647059 40.677496 2 -1.19404 0.647059 50.828057 1 -0.40385 -0.35294 60.010202 1 0.432061 -0.35294 71.114698 1 -0.78773 -0.35294 8

CCF 相互相関関数の演算手順0.052999-0.27854-0.53729-0.79962-1.06834-1.20267-0.92003-0.6072-0.029830.2779880.6444171.123451.4184351.315650.7225270.249486-0.23106

１．データ数 N を A2 に入れる。２．２つの時系列データを B2 および C2 から入れる。３．計算すべき時間遅れの最大 M を G2 に入れる。４．[ツール]-[マクロ]で[マクロ]を選択し CCF を実行する。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17-1

-0.50

0.51

1.52

2.53

3.54

元データ F&GF(t)G(t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

Lag

相互相関

関数

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17-1

-0.50

0.51

1.52

2.53

3.54

元データ F&GF(t)G(t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

Lag

相互相関

関数

■自己相関関数 autocor(X,maxlag)

■相互相関関数 xcorr(X,Y,maxlag,scale)

scale 'biased' 1/N'unbiased' 1/(N-m)'coeff' 1/xy(0)'none' raw

Octave の関数

＜＝＝Excelの例題等の定義とは分母が異なる。Lagに関係なくデータ数Nで割り，Lag=0の値で規格化している。

＜＝＝Excelの例題等の定義

Lag=0の値で規格化している。