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7.自己相関とパワースペクトル
• 相関(correlation):たとえば2つの属性XとYが測定されたとき一般に
XとYの関係を相関と呼ぶ
• 相関の大小は
• X=Y=0のときには,相関度は
†
X - X ( )Â Y -Y ( )
†
XYÂ
自己相関関数と 気的推定法
延回路
乗算回路
自己相関係数・関数
• 相対的な相関度
• 自己共分散係数
• 自己相関係数・関数:自己共分散係数を正 化
†
rx = E yx
È
Î Í ˘
˚ ˙ =E xy[ ]E x 2[ ]
; ry = E yx
È
Î Í ˘
˚ ˙ =E xy[ ]E x 2[ ]
, r =E xy[ ]
E x 2[ ]E y 2[ ]†
E x[ ] =1N
xmm= 0
N-1
Â
†
r j =
xmm= 0
N-1
 xm + j
xm2
m= 0
N-1
Â=
c(t)c(0)
†
C t,t( ) = E x(t)x(t + t)[ ]
スペクトルとは?
• プリズムを通過する太 光から分 された7色• 太 光線は白色光(white):連続変化• 各メーカから出された野菜ジュースの成分• 複 な組織をもつものを単純な成分に分 し,その成分を,特 づけられるある量の大小の順に並べる
• 頻度分布もある種のスペクトル
パワースペクトル
• パワー:2乗
• 関数の標本値xmの2乗平均
• 先に示したとおり,これを有限複素フーリエ係数で表すと,パーセヴァルの定理から
• 通常は,これに波の継続時間T=Nδtを乗じて
• フーリエ振幅スペクトルと同様の意味を持つ→位相情報を含まないことに注意。すなわち,時間ↄを移動しても不変(invariant)
†
1N
xm2
m= 0
N-1
Â
†
1N
xm2
m= 0
N-1
 = Cn2
n= 0
N-1
 = C02
+ 2 Cn2
n=1
N / 2-1
 + CN / 22
†
xm2
m= 0
N-1
 Dt = T C02
+ 2 T Cn2
n=1
N / 2-1
 + T CN / 22
自己相関関数とパワースペクトルの関係
• (自己共分散係数の数列)のフーリエ変換を求めると
• 自己共分散のフーリエ変換は平均パワーの各成分に対応している。
†
1N
R jj= 0
N-1
 e-i(2pnj / N )
=1N
e- i(2p 2mn / N ) 1N
xmm= 0
N-1
 xm + j
È
Î Í
˘
˚ ˙
m= 0
N-1
Â
=1N
xmm= 0
N-1
 1N
xm + jj= 0
N-1
 e-i(2pnj / N )
=1N
xmm= 0
N-1
 1N
xm + jj= 0
N-1
 e-i(2pn(m + j ) / N ) e- i(2p (-n )m / N )
=1N
xmm= 0
N-1
 e-i(2p (-n )m / N ) 1N
xm + jm + j= m
N-1+m
 e-i(2pn(m + j ) / N )
= C-nCn = Cn2
• 自己共分散係数は平均パワーのフーリエ逆変換
• T=NDTを一定に保ったまま,N->∞にすると
• これの積分範囲を拡張すると
• これをフーリエ変換すると
†
R j = Cn2ei2pnj / N
n= 0
N-1
Â
†
R(t) =1T
x(t)x(t + t )dt-T / 2
T / 2Ú
†
R(t) =1T
x(t)x(t + t )dt-•
•
Ú
• パワースペクトル(G(ω)):パワースペクトル密度関数ともửう)と自己相関関数(R(τ))はお互いにフーリエ変換の対をなしている。
†
R(t)e-iwt dt-•
•
Ú =1T
x(t)x(t + t)dt-•
•
ÚÈ
Î Í ˘
˚ ˙ -•
•
Ú e- iwt dt
=1T
x(t)-•
•
Ú x(t + t )e- iwt dt-•
•
Ú[ ]dt
=1T
x(t)-•
•
Ú x(t + t )e- i( t +t )dt-•
•
Ú[ ]eiwtdt
=1T
x(t)-•
•
Ú F(w)[ ]eiwtdt =1T
F(w) x(t)-•
•
Ú eiwtdt =1T
F(w)F(-w) = F(w) 2
†
G(w) = R(t )e- iwt dt-•
•
Ú
R(t) =1
2pG(w)eiwt dw
-•
•
Ú
G(w) =1T
F(w) 2
:パワースペクトル
:自己相関関数
相互相関関数• 2つ以上の時系列データがある(例えば,入力と出力)
• 2つの不ᶉ則変動,x(t),y(t)の相関性を調べる.
• まずは,相互相関関数
• 次に,相互相関係数
†
Cxy t( ) = E x(t)y(t + t)[ ]
†
Rxy t( ) =E x(t)y(t + t)[ ]E x(t)2[ ]E y(t)2[ ]
クロススペクトル
• 自己相関⇔パワースペクトル• 相互相関⇔クロススペクトル
相互相関とクロススペクトル
• x(t)とy(t)の相関性を調べる。• 相互相関の性−• 相互相関はそれぞれの変動の2乗平均値をүえない。
• 相関を有する2つの時系列の例を挙げよ。• 入力地震動と建物の応答• 降ѿ量と流出量• 栄養の量(t)とCO2発生量(t)
クロススペクトル
• 自己相関関数とパワースペクトルの関係のように,クロスでも:
†
G(w) = R(t )e- iwt dt-•
•
Ú
R(t) =1
2pG(w)eiwt dw
-•
•
Ú
G(w) =1T
F(w) 2
†
Sxy (w) = Rxy (t)e-iwt dt-•
•
Ú
Rxy (t ) =1
2pSxy (w)eiwt dw
-•
•
Ú
Sxy (w) =1T
x(w) y(w)e-iq xy (w ), qxy (w) = qx (w) -qy (w)
クロススペクトルの性
†
Sxy -w( ) = Syx w( )Sxy -w( ) = Sxy
* w( )Sxy
* w( ) = Syx w( )
回転フーリエス成分スペクトル
• X(w),Y(w)をベクトル表示してみるまず
Yについても同様であるので
†
X(w) = X(w)eiq x (w )
†
x(t) = X(w)eiwtdw = R X(w)eiwtdw-•
•
Ú[ ]-•
•
Ú
= X(w)cos wt + qx w( )( ) dw-•
•
Ú
†
X * w( )Y w( ) = X w( )e- iq x w( ) Y w( )e-iq y w( ) = X w( ) Y w( )e-iq xy w( )
†
Sxy w( ) =2pT
E X * w( )Y w( )[ ] =2pT
E X w( ) Y w( )e-iq xy w( )[ ]
コスペクトルとクオドスペクトル
†
Sxy w( ) = Kxy w( ) - iQxy w( )
Sxy w( ) = Kxy w( )2+ Qxy w( )2
†
Kxy w( ) = Kxy -w( )Qxy w( ) = -Qxy -w( )
:偶関数:奇関数
宿題
コヒーレンスとフェイズ
• クロススペクトルは複素数であるので,不便• 実 (コヒーレンス)とḅ (フェイズ)とで表現
• コヒーレンス 2つの信号のフーリエ周波数成分の相互相関係数
• フェイズ 2つの変動の時間 れを表す。†
coh2 w( ) =Sxy w( )
2
Sxx w( )Syy w( )=
Kxy2 w( ) + Qxy
2 w( )Sxx w( )Syy w( )
†
qxy w( ) = tan-1 Qxy w( )Kxy w( )
Ê
Ë Á Á
ˆ
¯ ˜ ˜
†
tw =qxy w( )
w
確率密度スペクトル
• 時間波形• ゼロークロス法,ピーク法:波の周期性に着目
• 確率密度分布:波の振幅に着目– スクリーンを通過した光の濃淡