Xs cao hochsn

LÝ thuyÕt x¸c suÊt

1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn

1. Kh«ng gian x¸c suÊt

Tr−íc hÕt chóng ta ®−a vµo kh¸i niÖm mét hä A çc tËp con nµo ®ã cña kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬b¶n Ω ®−îc gäi lµ σ-®¹i sè nÕu:

1. Ω ∈ A

2. A ∈ A suy ra Ω\A ∈ A

3. NÕu A1, A2, ... lµ d·y çc tËp hîp thuéc A, khi ®ã⋃

i Ai còng thuéc A.

Trong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp çc biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét σ-®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A vµo tËp çc sè thùc R

P : A→ R

tho¶ m·n çc tiªn ®Ò sau:

1. Víi mäi A ∈ A 0 6 P (A) 6 1

2. P (Ω) = 1

3. NÕu A1, A2, ..., Ai, ... lµ çc biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã

P

(∑

i

Ai

)=∑

i

P (Ai)

P (A) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt (Ω, A, P ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸csuÊt.

TÝnh chÊt cña x¸c suÊt

(A) P (∅) = 0.

(B) A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B).

(C) P (A) = 1− P (A).

(D) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).

(E) P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (BC)− P (AB) − P (AC) + P (ABC).

(F) P (A1 + A2 + ... + An) 6 P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An).

(G) Víi d·y çc biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã

limn→∞

P (An) = P ( limn→∞

An).

2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt çc biÕn cè ngÉu nhiªn

Kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng

Ω = ω1, ω2, ..., ωn, P (ω1) = P (ω2) = ... = P (ωn)

Khi ®ã do P (Ω) = 1, suy ra P (ωi) = 1n víi mäi i vµ nÕu

A = ωn1, ωn2 , ..., ωnm ⇒ P (A) =m

n.

1

Ta cßn nãi

P (A) =Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A

Sè tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng.

Tr−êng hîp kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω lµ mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó biÕn cèngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã

P (A) =®é ®o cña A

®é ®o cña Ω.

(§é ®o ë ®©y ®−îc hiÓu nh− lµ ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo Ω ®−îc nh¾c ®Õn lµ miÒn h×nh häc nµo).

Bµi tËp 1

1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak lµ biÕn cè: lÇn gieo thø k lµ lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.a. H·y tÝnh P (Ak).b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo nµo ®ã.c. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th−ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cã th−ëng.3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 mµu trong sè 6viªn bi ®−îc chän ra.4. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1 ®¬nvÞ víi x¸c suÊt b»ng 1

2 . T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b−íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè.

3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ sù ®éc lËp cña çc biÕn cè ngÉu nhiªn

X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu

P (A/B) =P (AB)P (B)

Tõ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, suy ra c«ng thøc nh©n x¸c suÊt

P (AB) = P (A/B)P (B)

P (A1A2 · · ·An) = P (An/A1A2 · · ·An−1)P (An−1/A1A2 · · ·An−2) · · ·P (A2/A1)P (A1)

NhËn xÐt r»ng víi kÝ hiÖu P ∗(A) = P (A/B) lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn B (B cè ®Þnh), khi ®ã(Ω, A, P ∗) còng lµ kh«ng gian x¸c suÊt.Hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp nhau nÕu

P (A/B) = P (A)⇔ P (AB) = P (A)P (B).

Çc biÕn cè A1, A2, ..., An ®éc lËp, nÕu víi bÊt k× k biÕn cè ®«i mét kh¸c nhau Ai1 , Ai2 , ..., Aik k = 2, 3, ...n trong d·yçc biÕn cè trªn

P (Ai1Ai2 · · ·Aik) = P (Ai1)P (Ai2) · · ·P (Aik)

Trong øng dông thùc tÕ hÖ çc biÕn cè mµ mçi biÕn cè liªn quan tíi mét phÐp thö ngÉu nhiªn trong d·y çc phÐp thö®−îc tiÕn hµnh ®éc lËp nhau t¹o thµnh hÖ çc biÕn cè ®éc lËp.

§Þnh lÝ 1 (®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ) NÕu A1, A2, ..., An, ... lµ hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè ngÉu nhiªn, A lµ biÕn cè ngÉu nhiªnbÊt k×, khi ®ã

P (A) =∞∑

i=1

P (A/Ai)P (Ai).

2

Bµi tËp 2

1. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ x = k, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1

2 . ChÊt ®iÓm dõng l¹i nÕu nã ®¹t tíi çc vÞ trÝ hót x = 0 hoÆc x = n. T×m x¸c suÊt ®Ó métlóc nµo ®ã nã dÞch chuyÓn tíi tr¹ng th¸i hót x = 0. (XÝch Markov).2. R¶i ngÉu nhiªn N viªn bi vµo n hép. Víi ®iÒu kiÖn mét hép x¸c ®Þnh tõ tr−íc (vÝ dô hép thø nhÊt) kh«ng rçng,t×m x¸c suÊt ®Ó hép ®ã cã ®óng K viªn bi (K ≥ 1).3. Mét x¹ thñ b¾n bia, x¸c suÊt tróng bia cña x¹ thñ b»ng p. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n lÇn b¾n liªn tôc, lÇn b¾n thø n lµlÇn ®Çu tiªn x¹ thñ b¾n tróng bia.4. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo xóc x¾c, kÕt qu¶ gi¶ sö mÆt k chÊm xuÊt hiÖn. A gieo tiÕp ®ång thêi 2®ång xu k lÇn. NÕu Ýt nhÊt cã mét lÇn x¶y ra biÕn cè c¶ hai ®ång xu cïng xuÊt hiÖn mÆt ngöa, khi ®ã A th¾ng cuéc,ng−îc l¹i A bÞ thua. Hái trß ch¬i ®ã cã lîi cho A hay B?5. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo ®ång thêi 2 xóc x¾c. NÕu tæng b»ng 7 hoÆc 11, A th¾ng cuéc, nÕu tængb»ng 2,3 hoÆc 12, A thua cuéc. Çc tr−êng hîp cßn l¹i, A lÆp l¹i trß ch¬i cho ®Õn khi cã ng−êi th¾ng ng−êi thua. T×mx¸c suÊt ®Ó A th¾ng. (§S: 2

3)

6. Çc hép ®−îc ®¸nh sè 0, 1, 2, ...,N vµ hép mang sè k chøa k bi ®á, N − k bi tr¾ng (k = 0, 1, 2, ..., N ). Chän ngÉunhiªn mét hép vµ tõ hép nµy chän lÇn l−ît cã hoµn l¹i tõng viªn bi. Gäi An lµ lµ biÕn cè lÇn chän thø n lÊy ®−îcviªn bi ®á.a. TÝnh P (A3/A1A2)b. Gi¶ sö tõ hép ®· chän ngÉu nhiªn chän lÇn l−ît hai viªn bi kh«ng hoµn l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai bi ®· chän lµbi ®á.

4. C«ng thøc Bernoulli

Gi¶ sö x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A lµ p. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó trong n lÇn tiÕn hµnh phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc lËp nhaucã ®óng k lÇn x¶y ra A b»ng

Pk;n = Cknpkqn−k (trong ®ã p + q = 1).

Bµi tËp 3

1. T×m x¸c suÊt ®Ó mét gia ®×nh 5 ng−êi con cã ®óng 3 trai, 2 g¸i.2. BiÕt x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ bãng bµn A th¾ng B ë mçi sÐc lµ p. Hai ®Êu thñ ®Êu víi nhau tèi ®a 5 sÐc, ng−êi nµoth¾ng tr−íc 3 sÐc lµ ng−êi th¾ng chung cuéc. T×m x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ A th¾ng chung cuéc.

§S:

p X¸c suÊt cÇn t×m: P (A) = p3(1 + 3q + 6q2)0,3 0,163080,4 0,317440,5 0,50,6 0,682560,7 0,83692

2 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ ph©n bè x¸c suÊt

1. Kh¸i niÖm c¬ b¶n

Mét ¸nh x¹ X : Ω→ R trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P ) tháa m·n

ω : X(ω) < x ∈ A víi mäi x ∈ R

®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . Hµm

F (x) = P (X < x) víi mäi x ∈ R

®−îc gäi lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . HiÓn nhiªn

P (a 6 X < b) = F (b)− F (a)

NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m f : R→ [0, +∞) sao cho hµm ph©n bè F (x) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X tho¶ m·n

F (b)− F (a) = P (a 6 X < b) =∫ b

a

f(x) dx víi mäi a < b ∈ R,

3

khi ®ã hµm f ®−îc gäi lµ mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . §¹i l−îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é ®−îcgäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. §Æc biÖt

F (x) =∫ x

−∞f(x) dx víi mäi x ∈ R.

T¹i çc ®iÓm hµm mËt ®é liªn tôc F ′(x) = f(x). Chó ý r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (®¹i l−îng ngÉu nhiªn mµmiÒn gi¸ trÞ lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc) kh«ng cã hµm mËt ®é, ph©n bè cña nã th−êng ®−îc cho d−íi d¹ng

pn = P (X = xn), n = 0, 1, 2, ... trong ®ã∑

n

pn = 1

hoÆc d−íi d¹ng b¶ng

X x1 x2 ... xn ...P p1 p2 ... pn ...

trong ®ã∑

n pn = 1.

TÝnh chÊt hµm ph©n bè, hµm mËt ®é

1. F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1.

2. Hµm ph©m bè ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc tr¸i trªn R.

3.∫ +∞−∞ f(x) dx = F (+∞)− F (−∞) = 1.

4. Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ trong mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm®−îc lu«n b»ng 0. Suy ra

P (a 6 X < b) = P (a < b) = P (a 6 X 6 b) = F (b)− F (a).

Bµi tËp 4

1. X lµ sè lçi in sai trong mét trang s¸ch gi¸o khoa NXB Gi¸o dôc. Ng−êi ta biÕt r»ng

P (X = 0) = 0.85, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.05

Nh− vËy X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2 vµ b¶ng ph©n bè cña X th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng

sauX 0 1 2P 0.85 0.1 0.05

Hµm ph©n bè cña X khi ®ã b»ng

F (x) =

0 nÕu x 6 00.85 nÕu 0 < x 6 10.95 nÕu 1 < x 6 21 nÕu 2 < x

2. Gäi X lµ sè lÇn b¾n liªn tôc vµo bia cho ®Õn khi tróng bia, p lµ x¸c suÊt tróng bia cña mçi lÇn b¾n. Gi¶ thiÕt çclÇn b¾n ®éc lËp nhau, khi ®ã b¶ng ph©n bè cña X

X 1 2 ... n ...P p qp ... pqn−1 ...

(p + q = 1)

3. X lµ ®iÓm chän ngÉu nhiªn trªn ®o¹n [a, b] (gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó X thuéc kho¶ng (u, v) ⊂ [a, b] tØ lÖ víi ®édµi ®o¹n [u, v]). Khi ®ã X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é

f(x) =

1

b−a nÕu a < x 6 b

0 nÕu x 6 a hoÆc x > b

(X ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [a, b].)4. NÕu f(x) lµ hµm mËt ®é cña X, khi ®ã hµm mËt ®é cña Y = aX + b b»ng

g(y) =1|a|f

(y − b

a

)

4

5. T×m hµm mËt ®é cña ξ2, biÕt ξ ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [−1, 1].

2. K× väng, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn

Víi çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã ph©n bè

X x1 x2 ... xn ...P p1 p2 ... pn ...

K× väng cña X , kÝ hiÖu E(X) b»ng

E(X) =∞∑

i=1

xipi nÕu chuçi héi tô tuyÖt ®èi.

Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã f(x) lµ hµm mËt ®é

E(X) =∫ +∞

−∞xf(x)dx nÕu tÝch ph©n héi tô tuyÖt ®èi.

Chó ý r»ng k× väng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ

E(ϕ(X)) =∫ +∞

−∞ϕ(x)f(x)dx trong ®ã f(x) lµ hµm mËt ®é cña X .

Ph−¬ng sai D(X) vµ ®é lÖch tiªu chuÈn σX cña X

D(X) = E(X −EX)2 = EX2 − (EX)2, σX =√

D(X).

HiÓn nhiªn ph−¬ng sai cña h»ng sè b»ng 0 vµ

D(αX) = α2D(X).

Bµi tËp 5

1. X lµ sè trÎ s¬ sinh trong mét ngµy ë mét bÖnh viÖn nhá. BiÕt ph©n bè cña X

X 0 1 2 3P 0.3 0.4 0.2 0.1

Khi ®ã trung b×nh sè trÎ em míi sinh trong mét ngµy b»ng

EX = 0× 0.3 + 1× 0.4 + 2× 0.2 + 3× 0.1 = 1.1

2. Gäi X lµ sè lÇn gieo xóc x¾c liªn tôc cho ®Õn khi mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. H·y tÝnh sè lÇn gieo trung b×nh.3. Mét c«ng viÖc trong x©y dùng dù tÝnh sÏ ®−îc hoµn thµnh trong kho¶ng thêi gian tõ 10 ®Õn 14 ngµy. Gi¶ sö X lµsè ngµy c«ng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã, ph©n bè cña X ®−îc dù tÝnh nh− sau

X 10 11 12 13 14P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1

⇒ E(X) = 11.9 ngµy, D(X) = 1.29

Nhµ thÇu −íc l−îng chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh gåm 85 triÖu tiÒn vËt liÖu x©y dùng vµ tiÒn nh©n c«ng lµ 1.6 triÖu®ång mét ngµy c«ng. Khi ®ã chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh b»ng

Y = 85 + 1.5X (triÖu ®ång)

VËy k× väng hay gi¸ trÞ trung b×nh cña toµn bé chi phÝ lµ

E(Y ) = 85 + 1.5E(X) = 85 + 1.5× 11.9 = 102.85 (triÖu ®ång)

D(Y ) = 1.52 ×D(X) = 1.52 × 1.29 = 2.9025 ⇒ σY =√

2.9025 = 1.7037

4. K× väng vµ ph−¬ng sai cña ph©n bè ®Òu trªn [a, b]

EX =a + b

2, DX =

(a− b)2

12

5

3. Çc ph©n bè th−êng gÆp

1. Ph©n bè nhÞ thøc

X 0 1 ... k ... n

P p0 p1 ... pk ... pn

trong ®ã pk = P (X = k) = Cknpkqn−k, p + q = 1, k = 0, 1, ..., n

NhËn xÐt r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng

X =n∑

i=1

Xi

trong ®ã Xi ghi l¹i kÕt qu¶ cña viÖc xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong d·y çc phÐp thö ngÉu nhiªn ®éclËp (P (A) = p)

Xi =

1 nÕu A x¶y ra trong phÐp thö thø i

0 nÕu A kh«ng x¶y ra trong phÐp thö thø i

2. Ph©n bè Poisson

X 0 1 2 ... k ...P p0 p1 p2 ... pk ...

trong ®ã

pk = P (X = k) = e−λ λk

k!, λ > 0, k = 0, 1, 2, ...

3. Ph©n bè h×nh häcX 1 2 ... n ...P p qp ... qn−1p ...

trong ®ã p + q = 1.

4. Ph©n bè mòX lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè mò, nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng

f(x) =

λe−λx nÕu x > 00 nÕu x 6 0

víi λ > 0

5. Ph©n bè chuÈnX lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn, kÝ hiÖu X ∈ N (m, σ2) nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng

f(x) =1√2πσ

e−(x−m)2

2σ2 trong ®ã σ > 0, m ∈ R.

Sö dông

I =∫ ∞

0

e−x2dx =

√π

2

ta dÔ dµng chøng minh hµm f(x) nãi trªn lµ hµm mËt ®é vµ

EX = m, DX = σ2.

NhËn xÐt r»ng X ∈ N (m, σ2) khi vµ chØ khi Z = X−mσ ∈ N (0, 1). Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu hµm ph©n bè cña

X ∈ N (0, 1)

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

u22 du.

Tra b¶ng ph©n bè chuÈn, ta cãQuy t¾c 3σ NÕu X ∈ N (m, σ2), khi ®ã

P (m − 3σ 6 X 6 m + 3σ) = P (∣∣∣∣X −m

σ

∣∣∣∣ ≤ 3) =1√2π

∫ 3

−3

e−x22 dx = 2Φ(3)− 1 = 0, 9973

6

3 §¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu

1. Hµm ph©n bè vµ hµm mËt ®é chung

XÐt mét cÆp hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ξ, η). NÕu chóng ta ®ång thêi kh¶o s¸t hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµη, chóng ta sÏ coi chóng nh− çc to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hay mét ®iÓm ngÉu nhiªn) (ξ, η). Çc gi¸ trÞcã thÓ cã cña nã lµ çc ®iÓm (x, y) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy. Gäi tËp E lµ mét miÒn ph¼ng bÊt k× E ⊂ R2 vµPξ,η(E) = P ((ξ, η) ∈ E) lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (ξ, η) ri vµo tËp E. Ng−êi ta gäi Pξ,η(E), víi mäi E ⊂ R2 lµ®é ®o x¸c suÊt cña çc tËp hîp trªn mÆt ph¼ng sinh bëi vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η).

§Þnh nghÜa 1 HµmH(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P (ξ ∈ (−∞, x) · η ∈ (−∞, y))

víi mäi x, y ∈ R lµ hµm ph©n bè chung cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η (hay cßn gäi lµ hµm ph©n bè ®ång thêi cñavÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η)).NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m h(x, y) ≥ 0 sao cho

P ((ξ, η) ∈ E) =∫∫

E

h(x, y) dxdy

víi mäi miÒn E cña mÆt ph¼ng. Khi ®ã ta nãi h(x, y) lµ hµm mËt ®é cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η) (hay cßn gäi lµ hµmmËt ®é chung cña ξ vµ η).

§èi víi çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c, thay cho hµm ph©n bè ®ång thêi H(x, y) lµ çc x¸c suÊt

P (xi, yj) = P (ξ = xi ∩ η = yj) (hoÆc viÕt gän h¬n P (ξ = xi, η = yj).)

Chóng th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng b¶ng. §Ó minh ho¹, ta xÐt vÝ dô sau.VÝ dô

§¹i l−îng ngÉu nhiªn X ®o møc ®é hµi lßng cña ng−êi d©n sèng trong mét khu chung c− míi x©y dùng vµ Y biÓuthÞ sè n¨m ng−êi d©n sèng trong khu chung c− ®ã. Gi¶ sö møc ®é hµi lßng cña ng−êi ë biÓu thÞ qua çc gi¸ trÞX = 1, X = 2, X = 3 hoÆc X = 4 (gi¸ trÞ X cµng lín t−¬ng øng víi møc hµi lßng cµng cao). §¹i l−îng ngÉu nhiªnY nhËn çc gi¸ trÞ 1 nÕu ng−êi d©n sèng kh«ng qu¸ 1 n¨m trong khu chung c− ®ã vµ nhËn gi¸ trÞ 2 trong tr−êng hîpng−îc l¹i.

X 1 2 3 4 TængY

1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.492 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51Tæng 0.1 0.32 0.38 0.2 1

B¶ng ph©n bè trªn cho biÕt, ch¼ng h¹n

P (3, 2) = P (X = 3, Y = 2) = 0.2

lµ x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn mét ng−êi sèng ë khu chung c−, ng−êi ®ã cã møc hµi lßng 3 vµ sèng trªn 1 n¨mtrong khu chung c− ®ã. Cét tæng cho ph©n bè cña Y

P (Y = 1) = 0.49, P (Y = 2) = 0.51

Hµng tæng x¸c ®Þnh ph©n bè cña X

P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.32, P (X = 3) = 0.38, P (X = 4) = 0.2

Tr−êng hîp tån t¹i hµm mËt ®é chung, hiÓn nhiªn

P ((X, Y ) ∈ E) =∫∫

E

h(x, y) dxdy víi mäi tËp E ⊂ R2.

H(x, y) = P (X < x, Y < y) =∫ x

−∞

∫ y

−∞h(u, v) dudv,

∂2H

∂x∂y= h(x, y)

7

F (x) = H(x, +∞) =∫ x

−∞

(∫ +∞

−∞h(u, v) dv

)du lµ hµm ph©n bè cña X.

G(y) = H(+∞, y) =∫ y

−∞

(∫ +∞

−∞h(u, v) du

)dv lµ hµm ph©n bè cña Y.

Hµm mËt ®é cña X, Y t−¬ng øng lµ

f(x) =∫ ∞

−∞h(x, y) dy, g(y) =

∫ ∞

−∞h(x, y) dx

§Þnh nghÜa 2 Çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η ®−îc gäi lµ ®éc lËp nhau nÕu víi mäi x, y ∈ R

H(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P (ξ < x)P (η < y) = F (x)G(y)⇔ h(x, y) = f(x)g(y)

§Þnh lÝ 2 Gi¶ sö X, Y cã hµm mËt ®é chung h(x, y), khi ®ã

E (ϕ(X, Y )) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ϕ(x, y)h(x, y) dxdy.

§Æc biÖt nÕu X, Y lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau, khi ®ã

E(XY ) = EX ·EY, D(X + Y ) = DX + DY.

VÝ dô

Gi¶ sö hµm mËt ®é chung cña X vµ Y

h(x, y) =

65(x + y2) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 1

0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i

Sö dông f(x) =∫∞−∞ h(x, y) dy, hµm mËt ®é cña X

f(x) =

65

∫ 1

0(x + y2) dy = 6

5(x + 13) nÕu 0 < x < 1

0 nÕu x /∈ (0, 1)

hµm mËt ®é cña Y

g(y) =

65

∫ 1

0(x + y2) dx = 6

5 (12 + y2) nÕu 0 < y < 1

0 nÕu y /∈ (0, 1)

VÝ dô

(X, Y ) ph©n bè ®Òu trªn h×nh trßn t©m (0, 1) b¸n kÝnh b»ng 1. Hµm mËt ®é chung cña X vµ Y

h(x, y) =

1π nÕu x2 + (y − 1)2 < 10 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i

Hµm mËt ®é Y b»ng

g(y) =∫ ∞

−∞h(x, y) dx =

2√

2y−y2

π nÕu 0 < y < 20 nÕu y /∈ (0, 2)

E(Y ) = 1, D(Y ) =14

Bµi tËp 6

1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè chuÈn N (0, 1). H·y t×m hµm mËt ®é cñaZ = |X|signY .

2. Chän ngÉu nhiªn 2 ®iÓm M vµ N trªn ®o¹n [0, 1], 2 ®iÓm M, N ®ã chia ®o¹n [0, 1] thµnh 3 phÇn, gäi çc ®é dµicña 3 ®o¹n th¼ng ®ã t−¬ng øng lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1, X2 vµ X3.a) H·y t×m çc hµm mËt ®é cña X1, X2 vµ X3.b) H·y tÝnh çc k× väng E(X1), E(X2) vµ E(X3).

2. Ph©n bè cã ®iÒu kiÖn

Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. Ta cã ®Þnh nghÜa sau

8

§Þnh nghÜa 3 Ng−êi ta gäi hµmF (x/A) = P (X < x/A) víi ∀x

lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. NÕu F (x/A) kh¶ vi, kÝ hiÖu f(x/A) = F ′(x/A) vµ

F (x/A) = P (X < x/A) =∫ x

−∞f(t/A) dt víi ∀x

khi ®ã f(x/A) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra (hoÆc nãi t¾t lµ hµm mËt ®écña X víi ®iÒu kiÖn A).

Ta cã nhËn xÐt r»ng nÕu Ai, i = 1, 2, ... lµ mét hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè. Khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ, hµmph©n bè cña X cã thÓ biÓu diÔn theo çc hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn:

F (x) = P (X < x) =∑

i

P (X < x/Ai)P (Ai) =∑

i

F (x/Ai)P (Ai)

®¹o hµm c¶ hai vÕ theo x, ta còng cã kÕt qu¶ t−¬ng tù cho hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn

f(x) =∑

i

f(x/Ai)P (Ai).

VÝ dô

Mçi ngµy sè ca cÊp cøu tíi mét bÖnh viÖn lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn N tu©n theo luËt Poisson víi tham sè λ. Ng−êita ph©n ra hai lo¹i cÊp cøu: cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng (lo¹i A) vµ cÊp cøu v× çc lÝ do kh¸c (lo¹i B). Gi¶ thiÕt r»ngp lµ x¸c suÊt ®Ó mét ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng. KÝ hiÖu XA lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn biÓuthÞ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, XB lµ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i B trong ngµy.

1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, h·y tÝnh P (XA = k/N = n).

2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA).

3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .

4. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè cña XB .

5. XA vµ XB cã ®éc lËp víi nhau kh«ng?

Lêi gi¶i: N cã ph©n bè Poisson víi tham sè λ.

P (N = n) = e−λ λn

n!

1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, P (XA = k/N = n) = Cknpkqn−k.

2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA)

P (N = n, XA = k) = P (XA = k/N = n)P (N = n) = Cknpkqn−k · e−λ λn

n!=

=1

k!(n− k)!e−λλnpkqn−k = e−λ(λp)k(λq)n−k 1

k!(n− k)!víi n ≥ k.

3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .

P (XA = k) =∞∑

n=k

P (XA = k, N = n) =∞∑

n=k

e−λ(λp)k(λq)n−k 1k!(n− k)!

=

= e−λ (λp)k

k!

∞∑

n=k

(λq)n−k

(n− k)!= e−λ (λp)k

k!

∞∑

i=0

(λq)i

i!= e−λ (λp)k

k!· eλq = e−λp (λp)k

k!

4. T−¬ng tù luËt ph©n bè cña XB

P (XB = i) = e−λq (λq)i

i!

9

5. XA vµ XB ®éc lËp víi nhau. ThËt vËy xÐt P (XA = k, XB = i), kÝ hiÖu n = k + i, khi ®ã

P (XA = k, XB = i) = P (XA = k, N = n) = e−λ(λp)k(λq)n−k 1k!(n− k)!

=

= e−λp (λp)k

k!· e−λq (λq)i

i!= P (XA = k)P (XB = i), víi mäi k, i ≥ 0.

Gi¶ thiÕt (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn cã h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung. Khi ®ã Y lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc,hµm mËt ®é cña Y lµ

g(y) =∫ ∞

−∞h(x, y) dx.

Ta ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè X < x víi ®iÒu kiÖn Y = y nh− lµ giíi h¹n cña P (X < x/y 6 Y <y + ∆y) khi ∆y dÇn tíi 0. Hµm

F (x/y) = lim∆y→0

P (X < x/y 6 Y < y + ∆y)

®−îc gäi lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, tÊt nhiªn víi gi¶ thiÕt tån t¹i giíi h¹n trªn.Do ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ tÝnh chÊt cña hµm ph©n bè chung

P (X < x/y 6 Y < y + ∆y) =P (X < x, y 6 Y < y + ∆y)

P (y 6 Y < y + ∆y)=

H(x, y + ∆y) −H(x, y)G(y + ∆y) −G(y)

(H(x, y) lµ hµm ph©n bè chung cña X vµ Y , G(y) lµ hµm ph©n bè cña Y ). Chia c¶ tö vµ mÉu cho ∆y, chuyÓn quagiíi h¹n khi ∆y → 0 ta ®−îc

F (x/y) =∂∂yH(x, y)

g(y)⇒ f(x/y) =

∂

∂xF (x/y) =

∂2

∂x∂yH(x, y)

g(y)=

h(x, y)g(y)

.

f(x/y) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y.Chó ý r»ng çc hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn còng nh− ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ë ®©y chØ ®−îc x¸c ®Þnh t¹i y sao cho

g(y) > 0. T¹i nh÷ng ®iÓm mµ g(y) = 0, hµm mËt ®é f(x/y) ®−îc x¸c ®Þnh tïy ý (®Ó ®¬n gi¶n, t¹i ®ã ng−êi ta th−êngg¸n cho f(x/y) gi¸ trÞ 0). ViÕt chÝnh x¸c h¬n, mËt ®é cã ®iÒu kiÖn

f(x/y) =

h(x,y)g(y)

nÕu g(y) > 0

0 nÕu g(y) = 0

T−¬ng tù hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Y víi ®iÒu kiÖn X = x

g(y/x) =

h(x,y)f(x) nÕu f(x) > 0

0 nÕu f(x) = 0

Suy ra h(x, y) = f(x/y)g(y) = g(y/x)f(x). Tõ ®ã ta nhËn ®−îc çc c«ng thøc t−¬ng tù nh− c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy®ñ

f(x) =∫ ∞

−∞h(x, y) dy =

∫ ∞

−∞f(x/y)g(y) dy

g(y) =∫ ∞

−∞h(x, y) dx =

∫ ∞

−∞g(y/x)f(x) dx

Chó ý r»ng nÕu X, Y lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau khi ®ã çc hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn f(x/y) = f(x)kh«ng phô thuéc vµo y còng nh− g(y/x) = g(y) kh«ng phô thuéc vµo x.

§Þnh lÝ 3 Gi¶ sö ϕ lµ mét song ¸nhϕ : D → T D ⊂ R2, T ⊂ R2

kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc D. (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn nhËn çc gi¸ trÞ trong D vµ h(x, y) lµ hµm mËt ®é ®ång thêicña vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®ã. Khi ®ã hµm mËt ®é cña (U, V ) = ϕ(X, Y ) b»ng

g(u, v) = h(ϕ−1(u, v)

)|J(u, v)|

trong ®ã J(u, v) lµ Jacobien cña ϕ−1.(KÝ hiÖu (x, y) = ϕ−1(u, v), khi ®ã Jacobien cña ϕ−1b»ng J(u, v) =

∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)

10

NhËn xÐt 1 Gi¶ sö h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung cña (X, Y ). Çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn U vµ V ®−îc x¸c ®Þnh

X = a11U + a12V

Y = a21U + a22V

Khi ®ã mËt ®é chung cña (U, V ) b»ng

g(u, v) = h (a11u + a12v, a21u + a22v) |det(A)|

trong ®ã A =(

a11 a12

a21 a22

)lµ ma trËn kh«ng suy biÕn.

VÝ dô X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp thuéc N (0, 1). Khi ®ã ξ = X + Y vµ η = X − Y còng ®éc lËp vµcã cïng ph©n bè chuÈn (∈ N (0, (

√2)2)). ThËt vËy

X = 12(ξ + η)

Y = 12 (ξ − η)

⇒ | det A| = 12⇒ g(u, v) = 1√

2πe−

(u+v)2

8 · 1√2π

e−(u−v)2

8 · 12

Suy ra

g(u, v) =1√

2π√

2e−

u22·2 · 1√

2π√

2e−

u22·2

NhËn xÐt 21. NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y

trïng víi hµm ph©n bè cña X , (kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn Y = y)

F (x/Y = y) = P (X < x/Y = y) = P (X < x) = F (x).

2. Tæng qu¸t h¬n, gi¶ sö ϕ(x, y) lµ mét hµm hai biÕn bÊt k×, X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp. Khi ®ãhµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña ϕ(X, Y ) víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)

P (ϕ(X, Y ) < x/Y = y) = P (ϕ(X, y) < x.

Ch¼ng h¹n ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X vµ Y , cã thÓ suy ra tõ nhËn xÐt trªn nh−sau:XÐt Z = ϕ(X, Y ) = X + Y , hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu H(z/y)), theo nhËn xÐt

trªn b»ng hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)(= X + y)

H(z/y) = P (X + y < z) = F (z − y)

®¹o hµm hai vÕ theo z ®Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é, ta ®−îc mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖuh(z/y))

h(z/y) = f(z − y).

¸p dông c«ng thøc ”x¸c suÊt ®Çy ®ñ më réng” ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña Z (kÝ hiÖu r(z)), ta ®−îc

r(z) =∫ ∞

−∞h(z/y)g(y) dy =

∫ ∞

−∞f(z − y)g(y) dy.

§©y chÝnh lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.

Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc çc hµm mËt ®é cña XY vµ X/Y , nÕu X, Y ®éc lËp nhau. B¹n ®äctù chøng minh çc kÕt qu¶ sau:

a. Hµm mËt ®é cña XY b»ng

s(z) =∫ ∞

−∞

1|y|f(

z

y)g(y) dy

b. Hµm mËt ®é cña XY b»ng

t(z) =∫ ∞

−∞|y|f(zy))g(y) dy

11

Ch¼ng h¹n ta ph¸c qua çch dÉn d¾t ®Õn kÕt qu¶ a. ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña XY . Tr−íc tiªn ta t×m hµm ph©n bècã ®iÒu kiÖn cña XY víi ®iÒu kiÖn Y = y (xÐt hai tr−êng hîp y > 0 vµ y < 0). Hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ®ã b»nghµm ph©n bè cña y ·X (kh«ng ®iÒu kiÖn), suy ra, hµm mËt ®é cña y ·X b»ng 1

|y|f( zy ), vËy hµm mËt ®é cña XY

s(z) =∫ ∞

−∞

1|y|f(

z

y)g(y) dy.

Bµi tËp

1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1). H·y tÝnh hµm mËt ®é cñaX + Y .2. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (a, b) (®Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt a, blµ çc sè d−¬ng 0 < a < b). H·y tÝnh hµm mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tÝch XY .3. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. H·y tÝnh hµm mËt ®é cña|X − Y |.4. Gäi X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. KÝ hiÖu g(y/x) lµ hµm mËt®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x vµ f(x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H·y x¸c ®Þnh çc hµmmËt cã ®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f(x/y).

3. K× väng cã ®iÒu kiÖn

Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. T−¬ng tù nh− ®Þnh nghÜa k× vängcña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ta cã ®Þnh nghÜa sau

§Þnh nghÜa 4 NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ nhËn çc gi¸ trÞ xi, i = 1, 2, ..., khi ®ã

E(X/A) =∑

i

xiP (X = xi/A)

®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x/A) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn, khi ®ã

E(X/A) =∫ ∞

−∞xf(x/A) dx

®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x) vµ g(x) lµ çc hµm mËt ®é cña chóng. Gäi f(x/y) lµ hµm

mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y K× väng cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, ®−îc kÝ hiÖu E(X/Y = y) lµ tÝchph©n

E(X/Y = y) =∫ ∞

−∞xf(x/y) dx,

nÕu tÝch ph©n tån t¹i vµ héi tô tuyÖt ®èi.

T−¬ng tù nh− ®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ, ta th−êng sö dông ®Þnh lÝ sau (cßn gäi lµ ®Þnh lÝ k× väng ®Çy ®ñ)

§Þnh lÝ 4 NÕu A1, A2, ..., An, ... lµ hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè ngÉu nhiªn, X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã k× väng, khi ®ã

E(X) =∞∑

i=1

E(X/Ai)P (Ai).

§Þnh lÝ 5 Gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, tån t¹i k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X ®èi víi Y , khi®ã

E(X) = E(E(X/Y )).

Chøng minh

KÝ hiÖu h(y) = E(X/Y = y) (ng−êi ta gäi h(y) lµ hµm håi quy cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y)

E(h(Y )) =∫ ∞

−∞h(y)g(y) dy =

∫ ∞

−∞E(X/Y = y)g(y) dy =

12

=∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞xf(x/y) dx

)g(y) dy =

∫ ∞

−∞x

(∫ ∞

−∞f(x/y)g(y)dy

)dx

MÆt kh¸c f(x) =∫∞−∞ f(x/y)g(y) dy nªn

E(h(Y )) = E(E(X/Y )) =∫ ∞

−∞xf(x) dx = E(X) ®.p.c.m.

4. T−¬ng quan vµ hÖ sè t−¬ng quan

§Þnh nghÜa 5 NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng E(X) vµ E(Y ), khi ®ã

cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y −E(Y ))]

®−îc gäi lµ covarian (hay cßn gäi lµ m« men t−¬ng quan) cña X vµ Y .

HiÓn nhiªn nÕu X vµ Y ®éc lËp , khi ®ã

cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y −E(Y ))] = E(X −E(X)) ·E(Y − E(Y )) = 0

Tr−êng hîp X = Y , khi ®ã covarian cov(X, X) = D(X).M« men t−¬ng quan cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã çc tÝnh chÊt saui) cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY )− E(X)E(Y )ii) cov(αX, Y ) = cov(X, αY ) = αcov(X, Y )iii) KÝ hiÖu σx =

√D(X) vµ σy =

√D(Y ) lµ çc ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y . Khi ®ã

|cov(X, Y )| 6 σxσy.

ThËt vËy xÐt

E[(Y − tX)2] = E(Y 2 − 2tXY + t2Y 2) = E(Y 2)− 2E(XY )t + E(Y 2)t2 ≥ 0 víi mäi t.

§©y lµ tam thøc bËc hai kh«ng ©m víi mäi t, suy ra

[E(XY )]2 6 E(X2)E(Y 2)hay |E(XY )| 6√

E(X2)√

E(Y 2)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn víi X −E(X) vµ Y −E(Y ) thay cho X vµ Y

|cov(X, Y )| = |E[(X −E(X))(Y − E(Y ))]| 6√

D(X)√

D(X) = σxσy.

NhËn xÐt r»ng tõ chøng minh trªn suy ra

|cov(X, Y )| = σxσy ⇔ Y lµ mét hµm bËc nhÊt cña X : Y = aX + b.

§Þnh nghÜa 6

%(X, Y ) =cov(X, Y )

σxσy=

E[(X −E(X))(Y −E(Y ))]√D(X)

√D(X)

®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y .

HiÓn nhiªn hÖ sè t−¬ng quan cã çc tÝnh chÊti) −1 6 %(X, Y ) 6 1. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi Y = aX + b (hoÆc X = aY + b)ii) NÕu X vµ Y ®éc lËp, khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan %(X, Y ) = 0HÖ sè t−¬ng quan ®o møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a Y vµ X . NÕu |%(X, Y )| xÊp xØ 1 khi ®ã çc ®iÓm ngÉu

nhiªn (X, Y ) gÇn nh− t¹o thµnh mét ®−êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi %(X, Y ) = 0 ta nãi X vµ Y kh«ngt−¬ng quan. Chó ý r»ng nÕu X vµ Y ®éc lËp khi ®ã chóng kh«ng t−¬ng quan, ng−îc l¹i tõ sù kh«ng t−¬ng quan cñaX vµ Y kh«ng suy ra chóng ®éc lËp víi nhau.

§Þnh nghÜa 7 KÝ hiÖu c = cov(X, Y ) lµ m« men t−¬ng quan cña X vµ Y . Khi ®ã ma trËn

C =(

D(X) cc D(Y )

)

®−îc gäi lµ ma trËn covarian (ma trËn t−¬ng quan) cña X vµ Y .

13

Duy tr× çc kÝ hiÖu σx, σy lµ çc ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y , % lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y . Tõ ®Þnh nghÜahÖ sè t−¬ng quan suy ra c = %σxσy. Khi ®ã ma trËn covarian cã thÓ viÕt d−íi d¹ng

C =(

σ2x %σxσy

%σxσy σ2y

)

Do |%| 6 1 nªn

det(C) =∣∣∣∣

σ2x %σxσy

%σxσy σ2y

∣∣∣∣ = (1− %2)σ2xσ2

x ≥ 0

Ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cho ta biÕt ®é lÖch ®¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹i l−îngngÉu nhiªn ®ã. Ma trËn çc hÖ sè t−¬ng quan còng ®ãng vai trß t−¬ng tù nh− ph−¬ng sai khi xÐt ®é dao ®éng cña vÐct¬ ngÉu nhiªn.Gi¶ sö d lµ ®−êng th¼ng ®i qua (EX, EY ) (gi¸ trÞ trung b×nh cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (X, Y )) vµ −→n (α, β) lµ vÐc t¬

®¬n vÞ chØ ph−¬ng cña d. GäiZ = α(X − EX) + β(Y −EY )

lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (X − EX, Y − EY ) lªn ®−êng th¼ng d. Ph−¬ng sai cña Z sÏ ®−îc tÝnh th«ng qua matrËn covarian C nh− sau

D(Z) = α2E(X − EX)2 + β2(Y − EY )2 + 2αβE(X −EX)E(Y −EY ) =

= α2σ2x + β2σ2

y + 2αβ%σxσy

NhËn xÐt r»ng ph−¬ng sai cña Z lµ d¹ng toµn ph−¬ng víi ma trËn covarian C lµ ma trËn cña d¹ng toµn ph−¬ng ®ã.Do det(C) ≥ 0, nãi chung C lµ ma trËn b¸n x¸c ®Þnh d−¬ng. NÕu X vµ Y ®éc lËp tuyÕn tÝnh (|%| < 1), khi ®ã C lµma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng thùc sù.

NhËn xÐt 3 Sö dông çc phÐp to¸n ®èi víi ma trËn, ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm ma trËn covarian cho nhiÒu ®¹i l−îngngÉu nhiªn

Xi, E(Xi) = mi, cov(Xi, Xj) = σij, i, j = 1, 2, ..., n

Khi ®ã ma trËn covarian cña (X1, X2, ..., Xn) lµ

C(X) =

σ11 σ12 · · · σ1n

σ21 σ22 · · · σ2n

· · · · · ·σn1 σn2 · · · σnn

Gi¶ sö ai, i = 1, 2, ...n lµ çc sè thùc bÊt k×. Khi ®ã

D(n∑

i=1

aiXi) = E

(n∑

i=1

ai(Xi −mi)

)2

=

=∑

i

∑

j

aiajσij

T−¬ng tù

cov(n∑

i=1

aiXi,

n∑

i=1

biXi) =∑

i

∑

j

aibjσij

KÝ hiÖu A,B,X,M lµ çc vÐc t¬ cét víi çc thµnh phÇn ai, bi, Xi, mi t−¬ng øng. C(X) lµ ma trËn covarian cña X. Tõçc ®¼ng thøc trªn suy ra

E(AT X) = AT E(X) = AT M

D(AT X) = AT C(X)A

cov(AT X, BT X) = AT C(X)B = BT C(X)A.

14

4 Hµm ®Æc tr−ng

1. §¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc

Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ng−êi ta sö dông hµm ®Æc tr−ng nh− lµ mét c«ng cô quan träng ®Ó chøng minh çc ®Þnh lÝgiíi h¹n, ®Ó nghiªn cøu çc ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nh−: k× väng, ph−¬ng sai... Tr−íc khi dÉn vµo kh¸iniÖm hµm ®Æc tr−ng, ta cÇn t×m hiÓu mét chót vÒ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc.Gäi ξ vµ η lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, khi ®ã ζ = ξ + iη ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc. Nã thùc chÊt lµ

mét hµm víi gi¸ trÞ phøc ®−îc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω. K× väng vµ ph−¬ng sai cñaζ ®−îc x¸c ®ônh nh− sau

E(ζ) = E(ξ) + iE(η)D(ζ) = E(|ζ −E(ζ)|2)

Hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc ζ1 = ξ1 + iη2 vµ ζ2 = ξ2 + iη2 ®éc lËp nhau nÕu çc vÐct¬ ngÉu nhiªn (ξ1, η1) vµ (ξ2, η2)®éc lËp nhau. Sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn 2chiÒu. DÔ dµng chøng minh ®−îc khi ®ã

E(ζ1ζ2) = E(ζ1) + E(ζ2)D(ζ1 + ζ2) = D(ζ1) + D(ζ2)

KÕt qu¶ nµy còng më réng cho tr−êng hîp nhiÒu h¬n hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.

2. Hµm ®Æc tr−ng vµ çc tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr−ng

Hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ ®−îc x¸c ®Þnh trªn R

ϕ(t) = E(eitξ) = E(cos tξ) + iE(sin tξ)

Tr−êng hîp ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹cξ x1 x2 ... xn ...P p1 p2 ... pn ...

khi ®ã

ϕ(t) =+∞∑

n=1

pn cos txn + i

+∞∑

n=1

pn sin txn =+∞∑

n=1

pneitxn .

NÕu ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x) lµ hµm mËt ®é, hµm ®Æc tr−ng cña ξ

ϕ(t) =∫ +∞

−∞f(x) cos tx dx + i

∫ +∞

−∞f(x) sin tx dx =

∫ +∞

−∞f(x)eitxdx.

Hµm ®Æc tr−ng lu«n lu«n tån t¹i vµ chóng cã çc tÝnh chÊt sau

1. Gi¸ trÞ hµm ®Æc tr−ng t¹i t = 0 lu«n b»ng 1, ϕ(0) = 1 vµ |ϕ(t)| 6 1 víi mäi t ∈ R.

ThËt vËy, ϕ(0) = 1 lµ hiÓn nhiªn. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc E2(X) 6 leqE(X2) víi bÊt k× X

|ϕ(t)|2 = E2(cos tξ) + E2(sin tξ) 6 E(cos2 tξ) + E(sin2 tξ) = 1.

2. Víi mäi t ∈ Rϕ(−t) = E(e−itξ) = E(cos(−t)ξ) + iE(sin(−t)ξ) = ϕ(t).

NÕu ξ cã ph©n bè x¸c suÊt ®èi xøng qua 0 (hay hµm ph©n bè cña ξ vµ −ξ trïng nhau), khi ®ã hµm ®Æc tr−ngcña ξ nhËn çc gi¸ trÞ thùc vµ ϕ(t) lµ hµm ch½n.

3. Víi çc sè thùc bÊt k× a vµ b, hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X = aξ + b b»ng

E(itX) = eibtϕ(at).

4. Hµm ®Æc tr−ng ϕ(t) liªn tôc ®Òu trªn toµn bé R.

Chän ε > 0 tïy ý. KÝ hiÖu Aλ lµ biÕn cè |ξ| > λ sao cho P (Aλ) = P (|ξ| > λ) < ε3 . Khi ®ã

ϕ(t) = E(eitξ/Aλ)P (Aλ) + E(eitξ/Aλ)P (Aλ). Suy ra

|ϕ(t)− E(eitξ/Aλ)P (Aλ)| = |E(eitξ/Aλ)P (Aλ)| ≤ 1 · |P (Aλ)| 6 ε

3

15

Tõ ®©y ta suy ra

|ϕ(t1)− ϕ(t2)| 6 E(|eit1ξ − eit2ξ|/Aλ)P (Aλ) +2ε

36 E(|(t1 − t2)ξ|/Aλ) +

2ε

3

Do E(|(t1 − t2)ξ|/Aλ) 6 |t1 − t2|λ nªn |ϕ(t1)− ϕ(t2)| ≤ ε nÕu |t1 − t2| < δ = ε3λ .

5. Hµm ®Æc tr−ng cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt quan träng sau ®©y: Gi¶ sö ξ1, ξ2, ..., ξn lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn hoµntoµn ®éc lËp, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña tæng X = ξ1 + ξ2 + · · · ξn b»ng

ϕX

(t) =n∏

i=1

ϕξi (t)

Do nhËn xÐt sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªnnhiÒu chiÒu, nªn kÕt qu¶ trªn ®−îc suy ra tõ ®Þnh lÝ k× väng cña tÝch çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp b»ng tÝchçc k× väng.

6. NÕu tån t¹i çc m«ment cÊp k, (k = 1, 2, ..., n) cña ξ, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng ϕξ(t) kh¶ vi cÇp n vµ

ϕ(k)ξ (0) = ikE(ξk) (k = 1, 2, ..., n).

Theo gi¶ thiÕt∫ +∞−∞ f(x)|x| dx tån t¹i vµ h÷u h¹n nªn

∫ +∞−∞ xeitxf(x) dx héi tô ®Òu theo t, suy ra

ϕ′

ξ(t) =∫ +∞

−∞ixeitxf(x) dx⇒ ϕ

′

ξ(0) = i

∫ +∞

−∞xf(x) dx = iE(ξ)

LËp luËn t−¬ng tù víi k = 2, ..., n.

7. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ rÊt m¹nh sau ®©y cña hµm ®Æc tr−ng: Çc hµm ph©n bè ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi hµm®Æc tr−ng cña nã. Ngoµi ra nÕu gi¶ thiÕt tÝch ph©n

∫ +∞−∞ |ϕ(t)| dt < +∞ khi ®ã hµm mËt ®é f(x) liªn tôc, vµ

f(x) =12π

∫ +∞

−∞ϕ(t)e−itx dt

8. Cho mét d·y çc hµm ph©n bè F (x), F1(x), F1(x), ... cïng víi çc hµm ®Æc tr−ng t−¬ng øng ϕ(t), ϕ1(t), ϕ2(t), ...§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó

limn→∞

Fn(x) = F (x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F (x)

lµ, víi mäi sè thùc t ∈ Rlim

n→∞ϕn(t) = ϕ(t).

Bµi tËp 7

1. Hµm ®Æc tr−ng cña ξk(k = 1, 2, ..., n) ph©n bè theo luËt 0, 1

E(eitξk) = eit(1− p) + eitp = 1 + p(eit − 1)

Suy ra hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè nhÞ thøc ξ =∑n

i=1 ξi (do ξ lµ tæng cña çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËpξi)

ϕ(t) = E(eitξ) = (1 + p(eit − 1))n

2. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè Poisson

ϕ(t) =∞∑

k=0

eitke−λ λk

k!= e−λ

∞∑

k=0

(λeit)k

k!= eλ(eit−1)

3. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè mò

ϕ(t) = λ

∫ +∞

0

e−x(λ−it)dx =1

1− itλ

4. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1)

ϕ(t) =12

∫ 1

−1

eitxdx =sin t

t

16

Chó ý r»ng t−¬ng tù nh− hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ víi f(x) lµ hµm mËt ®é, ng−êi ta cßn ®−a vµomét hµm kh¸c ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau

G(t) = E(etξ) =∫ +∞

−∞etxf(x) dx

Kh¸c víi hµm hµm ®Æc tr−ng, hµm G(t) kh«ng ph¶i lu«n lu«n tån t¹i. §èi víi ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)

G(t) =1√2π

∫ +∞

−∞etxe−

x22 dx =

1√2π

∫ +∞

−∞e−

(x−t)2

2 + t22 dx =

1√2π

∫ +∞

−∞e−

(x−t)2

2 et22 dx = e

t22

Sö dông nã ta cã thÓ tÝnh hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn

5. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)

ϕ(t) = G(it) = e(it)2

2 = e−t22

6. Sö dông tÝnh chÊt 3. hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (m, σ2)

ϕ(t) = eimt−σ2 t22

7. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n = ξ2

1 + ξ22 + · · ·+ ξ2

n. §©y lµ tæng cña n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïngph©n bè χ2 víi mét bËc tù do. Ta ®· biÕt r»ng hµm mËt ®é cña mçi sè h¹ng b»ng

h(x) =

1√2πx

e−x2 nÕu x > 0,

0 nÕu x < 0

Hµm ®Æc tr−ng cña χ21 b»ng

ϕξ2k(t) =

∫ ∞

0

eitx 1√2πx

e−x2 dx =

∫ ∞

0

1√2πx

e−x2 (1−2it)dx =

=∫ ∞

0

√2π

e−u22 (1−2it)du =

1√1− 2it

VËy hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n víi n bËc tù do

ϕ(t) = (1− 2it)−n2

5 LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m

1. Çc d¹ng héi tô vµ kh¸i niÖm vÒ luËt sè lín

Sù æn ®Þnh dÇn cña tÇn suÊt tíi x¸c suÊt cña biÕn cè A chÝnh lµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña luËt sè lín. Ng−êi ta gäichung çc quy luËt kh¼ng ®Þnh sù héi tô tíi h»ng sè C cña trung b×nh céng cña d·y n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn

Y1 + Y2 + · · ·+ Yn

n→ C khi n→∞

lµ luËt sè lín.

§Þnh nghÜa 8 Cho d·y Yn, n = 1, 2, ... çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Ta nãi Yn héi tô theo x¸c suÊt tíi ®¹i l−îng ngÉunhiªn Y , kÝ hiÖu Yn

P→ Y , nÕu víi bÊt k× ε > 0

limn→∞

P (|Yn − Y | > ε) = 0.

Ta nãi d·y çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xn, n = 1, 2, ... héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi X , kÝ hiÖu Xnh.c.c→ X , nÕu

P ( limn→∞

Xn = X) = 1.

17

Ta cã thÓ chøng minh héi tô hÇu ch¾c ch¾n kÐo theo héi tô theo x¸c suÊt. §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. ThËtvËy

ω : Xn → X =∞⋂

k=1

∞⋃

n=1

∞⋂

m=n

|Xm −X| < 1

k

Gi¶ sö Xnh.c.c→ X , suy ra víi mäi ε > 0

P

( ∞⋃

n=1

∞⋂

m=n

|Xm −X| < ε

)= lim

n→∞P

( ∞⋂

m=n

|Xm −X| < ε

)= 1.

Do vËylim

n→∞P (|Xm −X| < ε) = 1 hay Xn

P→ X.

NhËn xÐt r»ng Xnh.c.c→ X t−¬ng ®−¬ng víi

limn→∞

P

( ∞⋂

m=n

|Xm −X| < ε

)= 1 víi mäi ε > 0 ⇔ sup

m≥n|Xm −X| P→ 0.

§Þnh lÝ 6 (Trªb−sÐp) Gi¶ sö X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng m = E(X) vµ ph−¬ng sai σ2 = D(X). Khi®ã víi mäi ε > 0 ta cã:

P (|X −m| ≥ ε) 6σ2

ε2

Chøng minh Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng ©m Y , ta biÕt r»ng P (Y ≥ ε) 6 E(Y )ε. Do ®ã

P (|X −m| ≥ ε) = P (|X −m|2 ≥ ε2) 6 E(|X −m|2)ε2

=σ2

ε2.

2. LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m

B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau vÒ luËt sè lín

§Þnh lÝ 7 (LuËt yÕu sè lín) Gi¶ sö X1, X2, ... lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng k× väng vµ ph−¬ng sai

E(Xi) = m, D(Xi) = σ2, i = 1, 2, ...

Khi ®ã X1+X2+...+Xn

n héi tô theo x¸c suÊt tíi m

X1 + X2 + ... + Xn

n

P→ m

Chøng minh Ta cã

E

(X1 + X2 + ... + Xn

n

)= m, D

(X1 + X2 + ... + Xn

n

)=

σ2

n

¸p dông ®Þnh lÝ Trªb−sÐp ta ®−îc ®.p.c.m.

P

(∣∣∣∣X1 + X2 + ... + Xn

n−m

∣∣∣∣ > ε

)6 σ2

nε2.

NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng nÕu ta thay gi¶ thiÕt sù ®éc lËp b»ng sù kh«ng t−¬ng quan cña çc ®¹i l−îng ngÉunhiªn X1, X2, ...Cuèi cïng ta ph¸t biÓu, kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ sau cña Kolgomorov

§Þnh lÝ 8 (LuËt m¹nh sè lín) Gi¶ sö X1, X2, ... lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng hµm ph©n bè. Khi ®ã®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó X1+X2+...+Xn

n héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi µ

X1 + X2 + ... + Xn

n

h.c.c→ µ

lµ tån t¹i k× väng E(Xi) vµ E(Xi) = µ.

Sö dông çc kÕt qu¶ vÒ hµm ®Æc tr−ng ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ giíi h¹n sau

18

§Þnh lÝ 9 Cho mét d·y çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng ph©n bè X1, X2, X3, ..., Xn, ... víi E(Xk) = m, D(Xk) =σ2 víi mäi k = 1, 2, ... Khi ®ã

limn→∞

P

(X1 + X2 + · · ·+ Xn − nm

σ√

n< x

)=

1√2π

∫ x

−∞e−

u22 du

Chøng minh KÝ hiÖu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng cña Xk −m, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña Xk−mσ√

nb»ng ϕ

(t

σ√

n

). øng dông

tÝnh chÊt 6 cña hµm ®Æc tr−ng vµ khai triÓn Taylo ®Õn cÊp 2

ϕ

(t

σ√

n

)= 1− t2

2n+ o

(1n

)

Do tÝnh ®éc lËp cña X1, X2, ..., Xn hµm ®Æc tr−ng cña X1+X2+···+Xn−nmσ√

nb»ng

[ϕ(

tσ√

n

)]n. Suy ra

limn→∞

[ϕ

(t

σ√

n

)]n

= limn→∞

[1− t2

2n+ o

(1n

)]n

= e−t22 .

§©y chÝnh lµ hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn thuéc líp N (0, 1), tõ tÝnh chÊt cuèi cïng cña hµm ®Æc tr−ng, suy ra®iÒu ph¶i chøng minh.§Æc biÖt khi X cã ph©n bè nhÞ thøc

P (X = k) = Cknpkqn−k, 0 < p < 1, q = 1− p, 0 6 k 6 n,

ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng

P (A 6 X 6 B) ≈ Φ

(B − np + 1

2√npq

)− Φ

(A− np− 1

2√npq

).

(Φ(.) lµ hµm ph©n bè chuÈn thuéc líp N (0, 1))C«ng thøc nµy cßn ®−îc gäi lµ ®Þnh lÝ Moivre-Laplace.

VÝ dô TØ lÖ häc sinh giái trong mét tr−êng phæ th«ng b»ng 25%.

1. T×m x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn 100 em, sè häc sinh giái dao ®éng tõ 10 ®Õn 20.

2. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn 500 em, sè häc sinh giái kh«ng Ýt h¬n 120 em.

Gi¶i:

1. Gäi X lµ sè häc sinh giái trong sè 100 em chän ra, X cã ph©n bè nhÞ thøc víi p =0,25 n = 100.

P (X = k) = Cknpkqn−k = Ck

100(0, 25)k(0, 75)100−k

trong ®ã 0 6 k 6 100. Suy ra x¸c suÊt cÇn t×m

P (10 6 X 6 20) =20∑

k=10

Ck100(0, 25)k(0, 75)100−k.

§Ó tÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt trªn, ¸p dông c«ng thøc Moivre-Laplace

P (10 6 X 6 20) ≈ Φ(b)− Φ(a).

trong ®ã

a =10− 100 · 0, 25− 1

2√100 · 0, 25 · 0, 75

= −3, 58 vµ Φ(a) = Φ(−3, 58) = 0, 000172

b =20− 100 · 0, 25 + 1

2√100 · 0, 25 · 0, 75

= −1, 04 vµ Φ(b) = Φ(−1, 04) = 0, 14917

VËyP (10 6 X 6 20) ≈ 0, 14917− 0, 000172 = 0, 148998.

19

2. T−¬ng tù nh− phÇn 1, x¸c suÊt cÇn t×m xÊp xØ

1− Φ(120− 500 · 0, 25 + 1

2√500 · 0, 25 · 0, 75

) = 1− Φ(−0, 465) = 1− 0, 32 = 0, 68.

Chó ý r»ng nÕu X cã ph©n bè nhÞ thøc mµ n kh¸ lín vµ p ®ñ nhá, cïng víi gi¶ thiÕt limn→∞ np = λ > 0, khi ®ã çc sèh¹ng cña ph©n bè nhÞ thøc tiÕn dÇn tíi çc sè h¹ng t−¬ng øng cña ph©n bè Poisson

limn→∞

Cknpk(1− p)n−k = e−λ λk

k!.

Nãi çch kh¸c trong tr−êng hîp nµy

Cknpk(1− p)n−k ∼= e−np (np)k

k!.

VÝ dô TØ lÖ phÕ phÈm ë mét c«ng ty may mÆc b»ng 1,2%. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó trong mét l« hµng 500 chiÕc ¸o s¬ mi,sè ¸o bÞ lçi kh«ng v−ît qu¸ 11 chiÕc.p = 0.012 kh¸ nhá, ¸p dông c«ng thøc gÇn ®óng nªu trªn

P (X 6 11) ≈11∑

k=0

e−np (np)k

k!= 0, 98.

Ta cã thÓ minh häa sù xÊp xØ cña ph©n bè nhÞ thøc víi ph©n bè Poisson t−¬ng øng trong tr−êng hîp

p =132

, n = 64.

b»ng b¶ng so s¸nh d−íi ®©y

Ph©n bè nhÞ thøc Ph©n bè Poisson

k Cknpk(1− p)n−k e−np (np)k

k!

0 0,131 0,1351 0,271 0,2712 0,275 0,2713 0,183 0,1804 0,090 0,0905 0,035 0,0366 0,011 0,0127 0,003 0,0038 0,001 0,0019 0,000 0,000

(Çc kÕt qu¶ trªn ®−îc tÝnh b»ng Mathematica 4.0)

20

Thèng kª to¸n

1 MÉu ngÉu nhiªn vµ çc ®Æc tr−ng mÉu

XÐt mét mÉu ngÉu nhiªn(X1, X2, ..., Xn)

t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn XE(X) = m, D(X) = σ2.

Gäi ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn:

P (ξ = xi) =1n

víi mäi i = 1, 2, ..., n.

Khi ®ã E(ξ), D(ξ) ®−îc gäi lµ çc ®Æc tr−ng mÉu. Ng−êi ta kÝ hiÖu X = E(ξ) lµ k× väng mÉu vµ S2 = D(ξ) lµ ph−¬ngsai mÉu. HiÓn nhiªn

X =X1 + X2 + ... + Xn

n=

1n

n∑

i=1

Xi

vµ

S2 =1n

n∑

i=1

(Xi −X)2 =1n

n∑

i=1

X2i −X

2.

E(X) =1n

n∑

i=1

E(Xi) = m, D(X) =1n2

n∑

i=1

D(Xi) =σ2

n.

§Ó tÝnh k× väng cña ph−¬ng sai mÉu, ta sö dông

1n

n∑

i=1

(Xi −X)2 =1n

n∑

i=1

X2i −X

2.

Suy ra

E(S2) =1n

E

(n∑

i=1

(Xi −X)2)

=1n

n∑

i=1

E(X2i ) −E(X

2) =

=1n

n∑

i=1

(m2 + σ2) −(

m2 +σ2

n

)=

n− 1n

σ2.

KÝ hiÖu

S∗2 =n

n− 1S2 =

1n − 1

n∑

i=1

(Xi −X)2.

Khi ®ãE(S∗2) =

n

n − 1· n− 1

nσ2 = σ2.

S∗2 ®−îc gäi lµ lµ ph−¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh.

E(X) = m = E(X), E(S∗2) = σ2 = D(X),

NhËn xÐt 11. X kh«ng nh÷ng héi tô theo x¸c suÊt mµ héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi m = E(X).2. S2, S∗2 héi tô hÇu ch¾c ch¾n (suy ra còng héi tô theo x¸c suÊt) tíi σ2 khi n→∞.

21

2 Çc hµm ph©n bè th−êng gÆp trong thèng kª

Hµm Gamma, Beta vµ tÝnh chÊt hµm Gamma, Beta

A. TÝch ph©n sau héi tô víi mäi x > 0, y > 0

Γ(x) =∫ +∞

0

e−ttx−1dt, B(x, y) =∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt.

T¸ch Γ(x) thµnh hai tÝch ph©n

Γ(x) =∫ +∞

0

e−ttx−1dt =∫ 1

0

e−ttx−1dt +∫ +∞

1

e−ttx−1dt = I1 + I2.

TÝch ph©n I1 héi tô v× víi 0 < x < 1, 0 < t 6 1, ta cã e−ttx−1 < 1t1−x .

TÝch ph©n I2 héi tô v× limt→+∞ e−ttx+1 = 0, suy ra víi t ®ñ lín e−ttx−1 < 1t2 .

B. TÝch ph©n sau héi tô víi mäi x > 0, y > 0.

B(x, y) =∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt.

T¸ch Γ(x) thµnh hai tÝch ph©n

B(x, y) =∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt =∫ c

0

tx−1(1− t)y−1dt +∫ 1

c

tx−1(1− t)y−1dt.

1. Γ(1) = 1.

2. Γ(x + 1) = xΓ(x). ThËt vËy víi x > 0, xÐt

Γ(x + 1) =∫ +∞

0

e−ttxdt = −∫ +∞

0

txde−t = −txe−t|+∞0 +

∫ +∞

0

xtx−1e−tdt = xΓ(x)

3. limx→0+ Γ(x) = limx→0+Γ(x+1)

x = +∞.

4. Víi x− k > 0, k lµ sè tù nhiªn bÊt k×

Γ(x) = (x− 1)(x− 2) · · · (x− k)Γ(x− k)⇒ suy ra Γ(n) = (n− 1)!

5. Chó ý r»ng Γ(12 ) =

√π, suy ra

Γ(n +12) =

1 · 3 · · · (2n− 1)2n

√π =

(2n− 1)!!2n

√π

6. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ sau ®óng víi mäi sè thùc x > 0, y > 0

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)Γ(x + y)

.

Ph©n bè Gamma, Beta

1. NÕu Xi ∈ N (mi, σ2i ), i = 1, 2, ..., n ®éc lËp, khi ®ã trung b×nh mÉu

X =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n∈ N (m, σ2)

trong ®ã

m =m1 + m2 + · · ·+ mn

n, σ2

i =σ2

1 + σ22 + · · ·+ σ2

n

n.

22

2. Ph©n bè cña Y = X2 víi X ∈ N (m, σ2). Hµm mËt ®é cña Y

g(y) = (2σ√

2πy)−1e−(y+m2 )

2σ2

(em

√y

σ2 + e−m√

y

σ2

).

NÕu m = 0g(y) =

12σ√

2πe

−y

2σ2 y−12 .

Ph©n bè cña Y = X2 lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña ph©n bè Gamma: G(y, α, p) = const · e−αyyp−1.

3. Ph©n bè Gamma lµ ph©n bè cã hµm mËt ®é

G(x, α, p) =αp

Γ(p)· e−αxxp−1, α > 0, p > 0, x > 0.

M« men cÊp k cña ph©n bè Gamma

mk =∫ +∞

0

xk αp

Γ(p)· e−αxxp−1dx =

∫ +∞

0

αp

Γ(p)· e−αxxk+p−1dx =

Γ(p + k)αkΓ(p)

.

V× vËy k× väng vµ ph−¬ng sai cña ph©n bè Gamma lÇn l−ît b»ng

m =p

α, σ2 = m2 −m2

1 =Γ(p + 2)α2Γ(p)

− p2

α2=

p

α2. (1)

Bµi tËp Gi¶ sö X ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [0, 1]. Chøng minh r»ng Y = − ln X cã ph©n bè Gamma víi çc thamsè α = 1, p = 1.

4. Ph©n bè Beta lµ ph©n bè cã hµm mËt ®é

B(x, α, β) = [B(α, β)]−1 · xα−1(1− x)β−1 =Γ(α + β)Γ(α)Γ(β)

· xα−1(1− x)β−1, 0 < x < 1.

§Æc biÖt B(x, 1, 1) = x lµ hµm mËt ®é cña ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [0, 1].

Bµi tËp 1. H·y tÝnh çc m« men cÊp k cña ph©n bè Beta. (B(α+k,β)B(α,β)

).

Tõ ®ã suy ra k× väng vµ ph−¬ng sai cña nã. (m = αα+β , σ2 = αβ

(α+β)2(α+β+1) ).Bµi tËp 2. Gi¶ sö X vµ Y ®éc lËp cã ph©n bè Beta víi çc tham sè (α1, β1) vµ (α2, β2) t−¬ng øng. Chøng minh r»ngXY còng cã cã ph©n bè Beta víi çc tham sè (α2, β1 + β2), nÕu α1 = α2 + β2.H−íng dÉn: XÐt phÐp biÕn ®æi u = xy, v = x. Khi ®ã Jac«biªn b»ng 1

v . TÝch ph©n hµm mËt ®é chung cña (U, V )theo v tõ u ®Õn 1 ta ®−îc mËt ®é cña XY .Bµi tËp 3. Gi¶ sö X ∈ G(α1, 1) vµ Y ∈ G(α2, 1) ®éc lËp cã ph©n bè Gamma. Khi ®ã u = X

X+Y cã ph©n bè Beta víiçc tham sè (α1, α2).H−íng dÉn: XÐt phÐp biÕn ®æi u = x

x+y, v = y. TÝch ph©n hµm mËt ®é chung theo v tõ 0 ®Õn ∞.

§Þnh lÝ 1 NÕuX ∈ G(α, p1), Y ∈ G(α, p2) ®éc lËp, khi ®ã r = X+Y vµ f = XYcòng ®éc lËp. Ngoµi ra r ∈ G(α, p1+p2)

vµ hµm mËt ®é cña f b»ngΓ(p1 + p2)Γ(p1)Γ(p2)

· fp1−1

(1 + f)p1+p2.

Chøng minh. Hµm mËt ®é cña (X, Y ) b»ng

c · e−αx−αyxp1−1yp2−1.

§æi biÕn x = r sin2 ϕ, y = r cos2 ϕ, 0 < r < +∞, 0 < ϕ < π2, khi ®ã Jacobien cña (x, y) b»ng J(r, ϕ) = r sin 2ϕ. MËt

®é cña (r, ϕ) b»ngc′ · e−αrrp1+p2−1(sin ϕ)2p1−1(cos ϕ)2p2−1, (2)

®iÒu ®ã chøng tá r vµ ϕ ®éc lËp. Suy ra r = X + Y vµ f = XY = tg2ϕ còng ®éc lËp. Tõ biÓu thøc (2) hiÓn nhiªn

r ∈ G(α, p1 + p2).§Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña f , ta sö dông phÐp ®æi biÕn ϕ = arctg

√f , ta thu ®−îc kÕt qu¶

Γ(p1 + p2)Γ(p1)Γ(p2)

· fp1−1

(1 + f)p1+p2.

Chó ý r»ng víi phÐp biÕn ®æi u = 11+f , khi ®ã

∫ 1

0up2−1(1− u)p1−1du =

∫∞0

fp1−1

(1+f)p1+p2 df .

23

1. Ph©n bè χ2.

NÕu Xi ∈ N (0, 1), i = 1, 2, ..., n ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña X21 + X2

2 + · · ·+ X2n ®−îc gäi lµ ph©n bè χ2 víi

n bËc tù do. Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu χ2(n) lµ líp çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi n bËc tù do. §©ylµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña ph©n bè Gamma (α = 1

2 , p = n2 ) víi hµm mËt ®é

G(x,12,n

2) =

12n

2 Γ(n2)· e− x

2 xn2 −1, x > 0.

Do ®¼ng thøc (1), k× väng vµ ph−¬ng sai cña ph©n bè χ2(n) lÇn l−ît b»ng

m = n, σ2 = 2n.

2. Ph©n bè F .

NÕu X1 ∈ χ2(m), X2 ∈ χ2(n) ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña

F =1mX1

1nX2

®−îc gäi lµ ph©n bè F víi (m, n) bËc tù do.

MËt ®é cña X1X2

b»ngΓ(m+n

2 )Γ(m

2 )Γ(n2 )· f

m2 −1

(1 + f)m+n

2

.

MËt ®é cña ph©n bè F víi (m, n) bËc tù do b»ng

(m

n

)m2 ·

Γ(m+n2

)Γ(m

2)Γ(n

2)· x

m2 −1

(1 + mxn

)m+n

2

.

3. Ph©n bè Student (hay cßn gäi lµ ph©n bè t).

NÕu X ∈ χ2(n) vµ Y ∈ N (0, 1) ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña

T =Y√X

√n

®−îc gäi lµ ph©n bè T (hay ph©n bè Student) víi n bËc tù do. Ph©n bè ®ång thêi cña (Y, X) b»ng

c · e−y2

2 e−x2 x

n2 −1.

§æi biÕn y = r sin ϕ, x = r2 cos2 ϕ, 0 < r < +∞,−π2 < ϕ < π

2 , khi ®ã Jacobien cña (x, y) b»ng J(r, ϕ) =2r2 cos ϕ. MËt ®é cña (r, ϕ) b»ng

c′ · e− r22 rn(cos ϕ)n−1,

®iÒu ®ã chøng tá r vµ ϕ ®éc lËp. Chó ý r»ng hÖ sè c cña c(cos ϕ)n−1 b»ng c = [B(12 , n

2 )]−1 . §Ó x¸c ®Þnh hµmmËt ®é cña T , ta sö dông phÐp ®æi biÕn

t =√

ny√x

=√

ntgϕ hay ϕ = arctgt√n

,

ta ®−îc hµm mËt ®é cña ph©n bè T víi n bËc tù do

S(t, n) =[√

nB

(12,n

2

)]−1(1 +

t2

n

)−n+12

=Γ(n+1

2 )√

nΓ(n2 )Γ(1

2)

(1 +

t2

n

)−n+12

.

NÕu Xσ2 ∈ χ2(n) vµ Y ∈ N (m, σ2) ®éc lËp, khi ®ã

T =Y −m√

X

√n

cã ph©n bè Student víi n bËc tù do.

KÝ hiÖu S(n) lµ líp çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè Student víi n bËc tù do.

24

4. Ph©n bè cña trung b×nh mÉu vµ ph−¬ng sai mÉu.

NÕu Xi ∈ N (m, σ2), i = 1, 2, ..., n ®éc lËp, khi ®ã

X =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n∈ N

(m,

σ2

n

)vµ

n

σ2S2 =

n − 1σ2

S∗2 ∈ χ2(n− 1).

ThËt vËy, kÝ hiÖu X = (X1, ..., Xn)T vµ xÐt phÐp biÕn ®æi trùc giao Y = AX víi ( 1√n, 1√

n, · · · , 1√

n) lµ hµng thø

nhÊt cña A. Khi ®ã

(a) Y1 = X√

n

(b) Y 21 + · · ·+ Y 2

n = X21 + · · ·+ X2

n =∑

(Xi −X)2 + nX2 ⇔ Y 2

2 + · · ·+ Y 2n = (n− 1)S∗2

(c) Víi vÐc t¬ m = (m, m, ..., m), ta cã A(X −m) = Y − (m√

n, 0, ...,0) = (Y1 −m√

n, Y2, ..., Yn). Suy ra

(Y1 −m√

n)2 + Y2 + · · ·+ Y 2n = (X1 −m)2 + (X2 −m)2 + · · ·+ (Xn −m)2.

BiÕt hµm mËt ®é cña X b»ng

c · e−∑

(xi−m)2

2σ2 .

VËy mËt ®é cña Y b»ng

c · e−(y1−m

√n)2+y2+···+y2

n2σ2 .

§iÒu ®ã chøng tá Y1 = X√

n ∈ N (m√

n, σ2), Yi ∈ N (0, σ2), i = 2, ..., n ®éc lËp vµ

(n − 1)S∗2

σ2=

Y 22 + · · ·+ Y 2

n

σ2∈ χ2(n− 1).

B©y giê ta suy ra hÖ qu¶ quan träng: T cã ph©n bè Student víi n− 1 bËc tù do, víi

T =X −m

S∗√

n =X −m

S

√n− 1.

ThËt vËy T b»ng th−¬ng cña 2 ®¹i l−îng ngÉu nhiªn

T =√

n− 1X −m

σ

√n :

S√

n

σ

trong ®ã X−mσ

√n ∈ N (0, 1) vµ nS2

σ2 = (n−1)S∗2

σ2 ∈ χ2(n − 1).

25

3 Kho¶ng tin cËy cho gi¸ trÞ trung b×nh

(a) MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph−¬ng sai σ2 ®· cho. Kho¶ng tin cËy chogi¸ trÞ trung b×nh, víi ®é tin cËy 1− α

X − uασ√n

< m < X + uασ√n

,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (|u| ≥ uα) = α, u ∈ N (0, 1).

(b) MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph−¬ng sai ch−a biÕt. Kho¶ng tin cËy chogi¸ trÞ trung b×nh, víi ®é tin cËy 1− α

X − tαS∗√

n< m < X + tα

S∗√

n,

trong ®ã tα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (|t| ≥ tα) = α

(t cã ph©n bè Student víi n− 1 bËc tù do.)

NÕu kÝch th−íc mÉu ®ñ lín (n ≥ 30), mÆc dï ph©n bè mÉu cã thÓ kh«nglµ ph©n bè chuÈn, tuy nhiªn ¸p dông luËt giíi h¹n trung t©m ta cã thÓsö dông c«ng thøc sau ®Ó tÝnh kho¶ng tin cËy cho gi¸ trÞ trung b×nh,®é tin cËy 1− α

X − uαS∗√

n< m < X + uα

S∗√

n,


4 Kho¶ng tin cËy cho x¸c suÊt

Cho biÕn cè ngÉu nhiªn víi x¸c suÊt p cÊn ph¶i −íc l−îng. Gi¶ thiÕt p = kn

lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña biÕn cè ®ã. (KÝch th−íc mÉu ®ñ lín - th«ng th−êngn ≥ 40). Khi ®ã víi ®é tin cËy 1− α, kho¶ng tin cËy cho x¸c suÊt

p− uα√n

√p(1− p) < p < p +

uα√n

√p(1− p),


5 Kho¶ng tin cËy cho ph−¬ng sai cña ph©n bè chuÈn

MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph−¬ng sai σ2 cÊn ph¶i −íc l−îng. Víi ®é tincËy 1− α, kho¶ng tin cËy cho σ2

nS2

χ2α2

< σ2 <nS2

χ21−α

2

trong ®ã χ2α ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (χ2 > χ2

α) = α,

(χ2lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi (n− 1) bËc tù do).

26

6 Kho¶ng tin cËy cho hiÖu çc gi¸ trÞ trung b×nh cña ph©n bè chuÈn

6.1 Tr−êng hîp ph−¬ng sai ®· biÕt

Gäi (X1, X2, ..., Xm) lµ mÉu ngÉu nhiªn t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X ∈ N (m1, σ21), (Y1, Y2, ..., Yn) lµ mÉu

ngÉu nhiªn t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Y ∈ N (m2, σ22). Çc tham sè m1, m2 ch−a biÕt vµ σ2

1, σ22 lµ çc tham

sè ®· biÕt. Gi¶ thiÕt tiÕp çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn

X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn

®éc lËp nhau.DÔ dµng nhËn thÊy

E(X − Y ) = m1 −m2

D(X − Y ) = D(X) + D(Y ) =σ2

1

m+

σ22

n

Suy ra

u =(X − Y ) − (m1 −m2)√

σ21

m+ σ2

2n

cã ph©n bè chuÈn, thuéc líp N(0,1).Kho¶ng tin cËy cho hiÖu çc gi¸ trÞ trung b×nh m1 −m2 víi ®é tin cËy 1− α

(X − Y ) − uα

√σ2

1

m+

σ22

n< m1 −m2 < (X − Y ) + uα

√σ2

1

m+

σ22

n,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P ((|u| ≥ uα) = α, u ∈ N (0, 1).

NÕu n1, n2 ®ñ lín (≥ 30), ta xÊp xØ c«ng thøc trªn cho hiÖu çc gi¸ trÞtrung b×nh m1 − m2 c¶ trong tr−êng hîp çc mÉu ®· cho kh«ng tu©ntheo ph©n bè chuÈn, sö dông S∗

1 vµ S∗2 thay cho σ1, σ2 t−¬ng øng trong

c«ng thøc trªn.

6.2 Tr−êng hîp çc ph−¬ng sai ch−a biÕt vµ b»ng nhau

Gäi (X1, X2, ..., Xm) lµ mÉu ngÉu nhiªn t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X ∈ N (m1, σ2), (Y1, Y2, ..., Yn) lµ mÉu

ngÉu nhiªn t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Y ∈ N (m2, σ2). (Chóng cã ph−¬ng sai b»ng nhau). Çc tham sè

m1, m2, σ2 ch−a biÕt vµ gi¶ thiÕt r»ng çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn

X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn

®éc lËp nhau.DÔ dµng nhËn thÊy

E(X − Y ) = m1 −m2

D(X − Y ) = D(X) + D(Y ) =σ2

m+

σ2

n=

(σ

√m + n

mn

)2

Suy ra

u =(X − Y ) − (m1 −m2)

σ√

m+nmn

cã ph©n bè chuÈn, thuéc líp N(0,1). DÔ dµng chøng minh ®−îc

mS2X + nS2

Y

m + n − 2

27

lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña σ2. Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng (thay σ2 trong thèng kª trªn b»ng −íc l−îng cñanã)

t =(X − Y )− (m1 −m2)√

mS2X +nS2

Y

m+n−2

√m+nmn

(=

√mn(m + n− 2)

m + n· (X − Y ) − (m1 −m2)√

mS2X + nS2

Y

)

cã ph©n bè Student víi m + n− 2 bËc tù do.§Æc biÖt khi hai gi¸ trÞ trung b×nh b»ng nhau m1 = m2

t =

√mn(m + n− 2)

m + n· X − Y√

mS2X + nS2

Y

còng cã ph©n bè Student víi m + n− 2 bËc tù do.Kho¶ng tin cËy cho hiÖu çc gi¸ trÞ trung b×nh m1 −m2 víi ®é tin cËy 1− α b»ng

MÉu Ximi=1 ∈ N (m1, σ2) Yini=1 ∈ N (m2, σ

2), cã ph©n bè chuÈn víiph−¬ng sai σ2 ch−a biÕt. Gi¶ thiÕt çc phÇn tö mÉu ®ã ®éc lËp nhau.

(X − Y ) − S.tα

√m + n

mn< m1 −m2 < (X − Y ) + S.tα

√m + n

mn,

trong ®ã kÝ hiÖu S2 =mS2

X + nS2Y

m + n− 2vµ tα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc

P (|t| ≥ tα) = α (t cã ph©n bè Student víi m + n− 2 bËc tù do.)

7 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh (tr−êng hîp σ2 ®· biÕt)

Bµi to¸n 1 vµ quy t¾c kiÓm ®Þnh

MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph−¬ng sai σ2 ®· cho. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k×väng mÉu, møc ý nghÜa α

(H) : m = m0,

víi ®èi thiÕt(K) : m 6= m0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu∣∣∣∣X −m0

σ

√n

∣∣∣∣ = |uqs| > uα,


Bµi to¸n 2 vµ quy t¾c kiÓm ®Þnh

28


(H) : m = m0,

víi ®èi thiÕt(K) : m > m0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕuX −m0

σ

√n = uqs > uα,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P ((u ≥ uα) = α, u ∈ N (0, 1).


(H) : m 6 m0,



σ

√n = uqs > uα,



(H) : m = m0 hoÆc (H) : m 6 m0



σ

√n = uqs > uα,


Hoµn toµn t−¬ng tù, chóng ta sÏ xÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh 1 phÝa n÷a

Bµi to¸n 3

29


(H) : m = m0 hoÆc (H) : m ≥ m0

víi ®èi thiÕt(K) : m < m0.


σ

√n = uqs < −uα,


8 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh (tr−êng hîp σ2 ch−a biÕt)

MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph−¬ng sai σ2 ch−a biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒk× väng mÉu, møc ý nghÜa α

(a) Bµi to¸n 1(H) : m = m0

víi ®èi thiÕt(K) : m 6= m0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu∣∣∣∣X −m0

S∗√

n

∣∣∣∣ > tα,



(b) Bµi to¸n 2

(H) : m = m0 hoÆc (H) : m 6 m0


Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu tqs =X −m0

S∗√

n > tα,

trong ®ã tα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (t ≥ tα) = α


(c) Bµi to¸n 3

(H) : m = m0 hoÆc (H) : m ≥ m0

víi ®èi thiÕt(K) : m < m0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu tqs =X −m0

S∗√

n < −tα,



30

9 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña çc gi¸ trÞ trung b×nh

9.1 Tr−êng hîp ph−¬ng sai ®· biÕt


22), cã ph©n bè chuÈn víi

ph−¬ng sai σ21, σ

22 ®· biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k× väng mÉu, møc ý nghÜa

α

(a) Bµi to¸n 1(H) : m1 = m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 6= m2.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu

∣∣∣∣∣∣X − Y√σ21

m + σ22

n

∣∣∣∣∣∣> uα,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P ((|u| ≥ uα) = α, u ∈ N (0, 1).

(b) Bµi to¸n 2

(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 6 m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 > m2.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕuX − Y√σ21

m+ σ2

2n

> uα,


(c) Bµi to¸n 3

(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 ≥ m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 < m2.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕuX − Y√σ21

m + σ22

n

< −uα,


NÕu mÉu cã kÝch th−íc ®ñ lín (m, n > 30), mét çch xÊp xØ kh¸ tèt lµ¸p dông quy t¾c nªu trªn ®Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt kh«ng, kÓ c¶ tr−ênghîp ph©n bè mÉu kh«ng cã ph©n bè chuÈn, thay çc ph−¬ng sai σ2

1, σ22

trong thèng kª u b»ng çc ph−¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S∗2X vµ S∗2

Y .

31

9.2 Tr−êng hîp çc ph−¬ng sai ch−a biÕt vµ b»ng nhau


2), cã ph©n bè chuÈn víiph−¬ng sai σ2 ch−a biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k× väng mÉu, møc ý nghÜaα

(a) Bµi to¸n 1(H) : m1 = m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 6= m2.


∣∣∣∣∣

√mn(m + n− 2)

m + n· X − Y√

mS2X + nS2

Y

∣∣∣∣∣ > tα,


(t cã ph©n bè Student víi m + n− 2 bËc tù do.)

(b) Bµi to¸n 2

(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 6 m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 > m2.


√mn(m + n− 2)

m + n· X − Y√

mS2X + nS2

Y

> tα,



(c) Bµi to¸n 3

(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 ≥ m2

víi ®èi thiÕt(K) : m1 < m2.


√mn(m + n− 2)

m + n· X − Y√

mS2X + nS2

Y

< −tα,



32

10 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña çc ph−¬ng sai

Gi¶ sö Ximi=1 ∈ N (m1, σ2X) Yini=1 ∈ N (m2, σ

2Y ) lµ çc mÉu hoµn toµn

®éc lËp, cã ph©n bè chuÈn. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ çc ph−¬ng sai, víi møcý nghÜa α. Ta s¾p xÕp sao cho S∗

X2 > S∗

Y2

(a) Bµi to¸n 1(H) : σ2

X = σ2Y

víi ®èi thiÕt(K) : σ2

X 6= σ2Y .

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕuS∗

X2

S∗Y

2 > Fα/2,

trong ®ã Fα/2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (F ≥ Fα/2) =α

2(F lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n bè F víi m − 1, n− 1 bËc tù do.)

(b) Bµi to¸n 2

(H) : σ2X = σ2

Y hoÆc (H) : σ2X ≤ σ2

Y

víi ®èi thiÕt(K) : σ2

X > σ2Y .

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕuS∗

X2

S∗Y

2> Fα,

trong ®ã Fα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (F ≥ Fα) = α

(F lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n bè F víi m − 1, n− 1 bËc tù do.)

11 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn

Gi¶ söA lµ biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt P (A) = p ch−a biÕt. Ta sö dông −íc l−îng

p = X =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

trong ®ã Xi b»ng 1 hoÆc 0 tïy theo biÕn cè A x¶y ra hoÆc kh«ng x¶y ra ë phÐp thö ngÉu nhiªn thø i, i = 1, 2, ..., n.(p thùc chÊt lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña biÕn cè A). Khi ®ã np cã ph©n bè nhÞ thøc víi

E(np) = np, D(np) = npq, q = 1− p

víi møc ý nghÜa α cho tr−ícTa ®· biÕt, theo ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m

np− np√

npq=√

np− p√

pq

cã ph©n bè xÊp xØ chuÈn (≈ N (0, 1)) khi n ®ñ lín. V× vËy sö dông thèng kª

u = uqs =√

np− p0√

p0(1− p0),

u cã ph©n bè xÊp xØ chuÈn N(0,1), khi gi¶ thiÕt (H): p = p0 ®óng.

33

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn.

Gi¶ thiÕt kÝch th−íc mÉu n ®ñ lín (n ≥ 40). KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸csuÊt, møc ý nghÜa α

(a) Bµi to¸n 1(H) : p = p0

víi ®èi thiÕt(K) : p 6= p0.


∣∣∣∣∣√

np− p0√

p0(1− p0)

∣∣∣∣∣ > uα,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (|u| ≥ uα) = α

(u cã ph©n bè chuÈn u ∈ N (0, 1).)

(b) Bµi to¸n 2(H) : p = p0 hoÆc (H) : p 6 p0

víi ®èi thiÕt(K) : p > p0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu√

np− p0√

p0(1− p0)> uα,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (u ≥ uα) = α


(c) Bµi to¸n 3(H) : p = p0 hoÆc (H) : p ≥ p0

víi ®èi thiÕt(K) : p < p0.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu√

np − p0√

p0(1− p0)< −uα,

trong ®ã uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (u ≥ uα) = α


Trong bµi to¸n 2, bµi to¸n 3, uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc

P (u > uα) = α

trong khi ®ã ë bµi to¸n 1, uα ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc

P (|u| > uα) = α

34

12 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tÝnh phï hîp cña hµm ph©n bè

Gi¶ thiÕt mÉu ngÉu nhiªn gåm n phÇn tö mÉu. Çc phÇn tö mÉu ®−îc ph©nlo¹i thµnh r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçi phÇn tö mÉu chØthuéc mét nhãm duy nhÊt

n = n1 + n2 + ... + nr =r∑

i=1

ni.

XÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh møc ý nghÜa α, gi¶ thiÕt kh«ng sau ®©y:

(H) : X¸c suÊt ®Ó mçi phÇn tö mÉu thuéc nhãm thø i b»ng pi

víi mäi i = 1, 2, ..., r (r∑

i=1

pi = 1).

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu Q2 =r∑

i=1

(ni − npi)2

npi> χ2

α,


α) = α,

(χ2lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi r − 1 bËc tù do).

Ng−êi ta còng sö dông ph©n bè χ2 ®Ó kiÓm ®Þnh çc bµi to¸n vÒ tÝnh phï hîp cña hµm ph©n bè. XÐt bµi to¸nkiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt:(H): Mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X nµo ®ã cã ph©n bè d¹ng F (x, Θ) víi ®èi thiÕt ng−îc l¹i.Gi¶ sö tham sè Θ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ vÐc t¬, gåm k tham sè t¹o thµnh (ch¼ng h¹n nh− d¹ng ph©n bè chuÈn

F (x, Θ) = F (x, m, σ2) ∈ N (m, σ2) gåm 2 tham sè thµnh phÇn).§Ó gi¶i bµi to¸n ®ã, ng−êi ta chän mét mÉu ngÉu nhiªn

(X1, X2, ..., Xn)

t−¬ng øng víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X vµ chia çc phÇn tö mÉu vµo r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçiphÇn tö mÉu chØ thuéc mét nhãm duy nhÊt

n = n1 + n2 + ... + nr =r∑

i=1

ni.

Gi¶ sö pi lµ x¸c suÊt ®Ó ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X nhËn çc gi¸ trÞ thuéc nhãm thø i, i = 1, 2, ..., r víi ®iÒu kiÖn gi¶thiÕt (H) ®óng. Khi ®ã

1 = p1 + p2 + ... + pr

HiÓn nhiªn ni lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc víi k× väng E(ni) = npi. XÐt thèng kª

Q2 =r∑

i=1

(ni − npi)2

npi

trong ®ã pi, i = 1, 2, ..., r lµ x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ thuéc nhãm thø i, x¸c suÊt ®ã ®−îc tÝnh th«ng qua hµmph©n bè F (x, Θ) mµ Θ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ çc −íc l−îng hîp lÝ cùc ®¹i cña çc tham sè Θ1, Θ2, ..., Θk.Ng−êi ta ®· chøng minh ®−îc r»ng víi n ®ñ lín vµ gi¶ thiÕt (H) lµ ®óng khi ®ã Q2 sÏ cã ph©n bè xÊp xØ ph©n bè

χ2 víi r − k − 1 bËc tù do, k lµ sè tham sè cña ph©n bè F (x, Θ) trong gi¶ thiÕt (H).(Gi¶ sö ph©n bè F (x, Θ) lµ ph©n bè chuÈn N (m, σ2), Θ ®−îc coi nh− vÐc t¬ (m, σ2) vµ sè tham sè cña ph©n bè

b»ng k = 2, tr−êng hîp F (x, λ) lµ ph©n bè mò ch¼ng h¹n sè tham sè cña ph©n bè lµ k = 1,...)MiÒn b¸c bá cña kiÓm ®Þnh do vËy lµ

W = (X1, X2, ..., Xn) ∈ Rn/

r∑

i=1

(ni − npi)2

npi> χ2

α.

35


α) = α, (χ2 lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi r − k − 1 bËctù do). Ta tãm t¾t quy t¾c trªn trong b¶ng sau

KiÓm ®Þnh sù phï hîp víi hµm ph©n bè chøa tham sè ch−a biÕt.

Gi¶ thiÕt mÉu ngÉu nhiªn gåm n phÇn tö mÉu. Çc phÇn tö mÉu ®−îc ph©nlo¹i thµnh r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçi phÇn tö mÉu chØthuéc mét nhãm duy nhÊt

n = n1 + n2 + ... + nr =r∑

i=1

ni.

XÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh møc ý nghÜa α, gi¶ thiÕt kh«ng sau ®©y:

(H) : MÉu ngÉu nhiªn cã ph©n bè d¹ng F (x, Θ)

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu Q2 =r∑

i=1

(ni − npi)2

npi> χ2

α,

trong ®ã pi, i = 1, 2, ..., r lµ x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ thuécnhãm thø i, x¸c suÊt ®ã ®−îc tÝnh th«ng qua hµm ph©n bè F (x, Θ) mµΘ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ çc −íc l−îng hîp lÝ cùc ®¹i cña çc tham sèΘ1, Θ2, ..., Θk.

Ph©n vÞ χ2α ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P (χ2 > χ2

α) = α,

(χ2lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi r − k − 1 bËc tù do).

13 KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp

Ng−êi ta cã thÓ kiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp cña çc biÕn cè ngÉu nhiªn, çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Chóng ta tr×nh bµyvÊn ®Ò d−íi d¹ng sau ®©y:Cho hai hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè

A1, A2, ..., Ar; B1, B2, ..., Bs.

H·y kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt hai hÖ ®ã ®éc lËp:(H): P (AiBj) = P (Ai)P (Bj) víi mäi i = 1, 2, ..., r; j = 1, 2, ..., s.XÐt mét mÉu ngÉu nhiªn cì n (mÉu gåm n phÇn tö mÉu). Ta ®−a vµo çc kÝ hiÖu sau:nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè tÝch AiBj trong tËp hîp çc phÇn tö mÉu.ni. =

∑sj=1 nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè Ai.

n.j =∑r

i=1 nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè Bj .HiÓn nhiªn

r∑

i=1

ni. =s∑

j=1

n.j = n

vµr∑

i=1

s∑

j=1

nij = n.

36

Çc sè nij ®−îc xÕp vµo b¶ng sau ®©y:

j 1 2 . . . s Tængi1 n11 n12 · · · n1s n1.

2 n21 n22 · · · n2s n2.

. · · · .

. · · · .

. · · · .r nr1 nr2 · · · nrs nr.

Tæng n.1 n.2 · · · n.s n

Ta tãm t¾t quy t¾c kiÓm ®Þnh trong b¶ng sau

KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp.

Cho hai hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè

A1, A2, ..., Ar; B1, B2, ..., Bs.

H·y kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt hai hÖ ®ã ®éc lËp, víi møc ý nghÜa b»ng α:

(H) : P (AiBj) = P (Ai)P (Bj) víi mäi i = 1, 2, ..., r; j = 1, 2, ..., s.

Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕur∑

i=1

s∑

j=1

(nij − ni.n.j

n

)2ni.n.j

n

> χ2α,


α) = α,

(χ2lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2 víi (r − 1)(s − 1) bËc tù do).

Chó ý r»ng xÊp xØ t−¬ng ®èi tèt nÕu ni.n.j

n2 ≥ 5 víi mäi i, j.

37

14 Håi quy b×nh ph−¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh

14.1 Çc ®Æc tr−ng mÉu

Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt, chóng ta biÕt r»ng ®Ó ®o mèi quan hÖ gi÷a hai hoÆc nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ng−êi tath−êng tÝnh m« men t−¬ng quan, hÖ sè t−¬ng quan gi÷a chóng.

cov(X, Y ) = E[(X −E(X))(Y − E(Y ))], %(X, Y ) =cov(X, Y )

σxσy=

E[(X − E(X))(Y −E(Y ))]√D(X)

√D(X)

.

NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan %(X, Y ) = 0. Tr−êng hîp |%(X, Y )| = 1,gi÷a X vµ Y cã mèi quan hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh Y = aX + b. Trong thèng kª, thay v× hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªnX, Y ta xÐt mÉu ngÉu nhiªn

(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)

Cã thÓ coi chóng nh− çc ®iÓm ngÉu nhiªn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi ®ã m« men t−¬ng quan mÉu vµ hÖ sè t−¬ngquan mÉu ®−îc ®Þnh nghÜa

C(X, Y ) =1n

n∑

i=1

(Xi −X)(Yi − Y ) =1n

n∑

i=1

XiYi −X · Y

r =1n

∑ni=1(Xi −X)(Yi − Y )

SY SY=

1n

∑ni=1 XiYi −X · Y

SXSY,

trong ®ã S2X , S2

Y lµ ph−¬ng sai mÉu cña X, Y t−¬ng øng

S2X =

1n

n∑

i=1

(Xi −X)2 =1n

n∑

i=1

X2i −X

2, S2

Y =1n

n∑

i=1

(Yi − Y )2 =1n

n∑

i=1

Y 2i − Y

2.

DÔ dµng chøng minh ®−îc

r =1

n−1

∑ni=1(Xi −X)(Yi − Y )

S∗XS∗

Y

=∑n

i=1 XiYi − nX · Y√(∑ni=1 X2

i − nX2)(∑n

i=1 Y 2i − nY

2) .

Mét vµi lÖnh EXCEL ®Ó tÝnh çc ®Æc tr−ng mÉu

• Trung b×nh mÉu X = AV ERAGE(x1, x2, ..., xn)• Tæng b×nh ph−¬ng ®é lÖch nS2

X = DEV SQ(x1, x2, ..., xn) =∑n

i=1(xi − x)2.• Ph−¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S∗2 = V AR(x1, x2, ..., xn)• Covarian mÉu (t−¬ng quan mÉu) C(X, Y ) = COV AR(x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn)• Ph−¬ng sai mÉu S2

X = COV AR(X, X) = COV AR(x1, x2, ..., xn, x1, x2, ..., xn)• HÖ sè t−¬ng quan mÉu r(X, Y ) = CORREL(x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn).Ch¼ng h¹n ta xÐt bµi to¸n dù b¸o ®Ønh lò hµng n¨m trªn s«ng Hång t¹i Hµ néi, ng−êi ta thu thËp çc sè liÖu hµng

n¨m vÒ l−îng m−a trong th¸ng S¸u trªn th−îng nguån s«ng Hång (Xi) vµ ®Ønh lò t−¬ng øng víi n¨m ®ã t¹i Hµ néi(Yi). Çc sè liÖu gi¶ ®Þnh nh»m gióp ®éc gi¶ nghiªn cøu çch sö dông håi quy trong c«ng viÖc dù b¸o ®−îc cho trongb¶ng d−íi ®©y

STT N¨m L−îng m−a (X) §Ønh lò (Y ) STT N¨m L−îng m−a (X) §Ønh lò (Y )1 1969 720 1405 13 1981 690 13372 1970 720 1405 14 1982 500 9603 1971 730 1439 15 1983 460 8794 1972 590 1133 16 1984 610 11765 1973 660 1272 17 1985 710 13826 1974 780 1519 18 1986 620 11787 1975 770 1524 19 1987 660 12718 1976 710 1364 20 1988 620 11949 1977 640 1253 21 1989 590 116110 1978 670 1324 22 1990 740 144911 1979 520 1002 23 1991 640 122512 1980 660 1303 24 1992 805 1377

38

NÕu ta minh ho¹ çc cÆp sè liÖu (xi, yi), i = 1, 2, ..., 24 trong b¶ng trªn b»ng çc ®iÓm trªn mÆt ph¼ng, chóng tac¶m nhËn thÊy mét mèi liªn hÖ gi÷a l−îng m−a (X) hµng n¨m vµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi (Y ), l−îng m−a cµng lín th× lòdo m−a g©y nªn cµng cao. HÖ sè t−¬ng quan mÉu sÏ gi¶i thÝch mèi quan hÖ gi÷a hai ®¹i l−îng: l−îng m−a hµng n¨mvµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi. §Ó tÝnh hÖ sè t−¬ng quan mÉu gi÷a chóng, ta tÝnh çc ®Æc tr−ng k× väng mÉu vµ ph−¬ng saimÉu cña X vµ Y

x y S2x S2

y

1n

∑ni=1 xi

1n

∑ni=1 yi

1n

∑ni=1(xi − x)2 1

n

∑ni=1(yi − y)2

658,95833 1272,16667 85, 024252 163, 50712

HÖ sè t−¬ng quan mÉu do vËy b»ng

r =1n

∑ni=1(xi − x)(yi − y)

SxSy= 0, 97045.

Dùa vµo hÖ sè t−¬ng quan mÉu, sau nµy ng−êi ta gi¶i thÝch ®−îc møc ®é liªn hÖ gi÷a hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xvµ Y khi biÓu diÔn chóng th«ng qua mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh.

14.2 Håi quy d¬n gi¶n

Gi¶ sö(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)

lµ mÉu ngÉu nhiªn t−¬ng øng víi hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X vµ Y . Ch¼ng h¹n khi xÐt bµi to¸n dù b¸o ®Ønh lò hµngn¨m trªn s«ng Hång t¹i Hµ néi ®· nãi trong môc tr−íc. Chóng ta c¶m nhËn ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a l−îng m−a (X)hµng n¨m vµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi (Y ), tuy nhiªn kh«ng cã th«ng tin nµo h¬n vÒ mèi liªn hÖ thùc gi÷a X vµ Y , khi ®ã tagi¶ thiÕt gi÷a chóng cã mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh (bËc nhÊt). MÆt kh¸c do chóng ta xem l−îng m−a vµ ®Ønh lò lµ çc®¹i l−îng ngÉu nhiªn, v× vËy khi dù b¸o l−îng m−a Y víi ®iÒu kiÖn l−îng m−a X b»ng mét gi¸ trÞ x nµo ®ã, ta chØcã thÓ kh¶o s¸t hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Y . (X cßn gäi lµ biÕn ®éc lËp vµ Y ®−îc gäi lµ biÕn phô thuéc). §Æctr−ng quan träng cña ph©n bè cã ®iÒu kiÖn lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Y/X = x). V× vËy trong ch−¬ng nµy chóng tah¹n chÕ chØ xÐt tr−êng hîp k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Y/X = x) lµ hµm tuyÕn tÝnh ®èi víi X

E(Y/X = x) = αx + β.

Chó ý r»ng khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ, k× väng cã ®iÒu kiÖn cña Y sÏ t¨ng α

E(Y/X = x + 1) = α(x + 1) + β = αx + β + α = E(Y/X = x) + α.

§Ó chØ ra ®−îc sù phô thuéc hµm ®ã, víi th«ng tin duy nhÊt lµ çc cÆp sè liÖu (xi, yi), i = 1, 2, ..., n, trong bµi to¸nhåi quy ng−êi ta coi xi lµ çc biÓu hiÖn cô thÓ cña biÕn ngÉu nhiªn X , yi lµ çc biÓu hiÖn cô thÓ cña biÕn ngÉu nhiªnphô thuéc Yi t−¬ng øng. Do ®¼ng thøc trªn, k× väng cã ®iÒu kiÖn cña Yi tho¶ m·n

E(Yi/X = xi) = αxi + β i = 1, 2, ..., n.

Nh− vËy sai sè gi÷a Yi vµ k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Yi/X = xi), kÝ hiÖu

εi = Yi − E(Yi/X = xi) = Yi − (αxi + β)

lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã k× väng b»ng 0

E(εi) = E(Yi)− E(E(Yi/X = xi)) = E(Yi) −E(Yi) = 0.

VËy mÉu håi quy tuyÕn tÝnh cña Y ®èi víi X ®−îc tãm t¾t nh− sau:

§¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X nhËn çc gi¸ trÞ xi, khi ®ã

Yi = αxi + β + εi i = 1, 2, ..., n. (3)

39

trong ®ã α, β lµ çc hÖ sè cÇn −íc l−îng, y = αx + β ®−îc gäi lµ ®−êng th¼ng håi quy, εi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cãk× väng E(εi) = 0.

Ta gäi a, b lµ çc −íc l−îng bÊt k× cña çc hÖ sè α, β t−¬ng øng. Khi ®ã ®−êng th¼ng håi quy ®−îc −íc l−îng lµ®−êng th¼ng

y = ax + b.

§é lÖch (hay t¹m gäi lµ sai sè) gi÷a yi víi ®−êng th¼ng trªn t¹i ®iÓm xi, kÝ hiÖu ei b»ng

ei = yi − (axi + b).

§é lÖch nµy cã thÓ d−¬ng hoÆc ©m tuú theo gi¸ trÞ mÉu (xi, yi) lµ ®iÓm n»m trªn hoÆc n»m d−íi ®−êng th¼ng −ícl−îng y = ax + b. Mét trong çc ph−¬ng ph¸p −íc l−îng cã nhiÒu −u ®iÓm lµ t×m çc −íc l−îng a, b cña α, β sao chotæng b×nh ph−¬ng çc ®é lÖch ei ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ng−êi ta gäi ph−¬ng ph¸p −íc l−îng nh− vËy lµ ph−¬ng ph¸pb×nh ph−¬ng bÐ nhÊt. §−êng th¼ng håi quy nhËn ®−îc tõ ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐ nhÊt cßn ®−îc gäi lµ håiquy b×nh ph−¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh.Çc −íc l−îng a, b cña α vµ β dùa trªn ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐ nhÊt, tøc lµ lµm cùc tiÓu hµm

u(a, b) =n∑

i=1

(Yi − axi − b)2.

Bµi to¸n trªn cã thÓ gi¶i mét çch dÔ dµng b»ng çch t×m ®iÓm dõng cña hµm u(a, b) :

∂u∂a

= −2∑n

i=1(Yi − axi − b)xi = 0∂u∂b = −2

∑ni=1(Yi − axi − b) = 0

Tõ ph−¬ng tr×nh thø hai suy rab = Y − ax. (4)

Thay b vµo ph−¬ng tr×nh thø nhÊt, khi ®ã

n∑

i=1

[(Yi − Y )− a(xi − x)]xi =n∑

i=1

[(Yi − Y )− a(xi − x)](xi − x) = 0.

Suy ra

a =∑n

i=1(xi − x)(Yi − Y )∑ni=1(xi − x)2

=∑n

i=1 xiYi − nxY∑ni=1 x2

i − nx2 = rSY

Sx, (5)

trong ®ã r lµ hÖ sè t−¬ng quan mÉu

r =1n

∑ni=1(xi − x)(Yi − Y )

SxSY=

1n

∑ni=1 xiYi − x · Y

SxSY. (6)

S2X , S2

Y lµ ph−¬ng sai mÉu cña X, Y t−¬ng øng

S2X =

1n

n∑

i=1

(Xi −X)2 =1n

n∑

i=1

X2i −X

2,

S2Y =

1n

n∑

i=1

(Yi − Y )2 =1n

n∑

i=1

Y 2i − Y

2. (7)

VËy hµm håi quy b×nh ph−¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh cã d¹ng

y = ax + b = y + rSy

Sx(x− x).

Trë l¹i vÝ dô vÒ dù b¸o lò, ta ®· tÝnh

x = 658, 95833, y = 1272, 16667, Sx = 85, 02425, Sy = 163, 5071

40

HÖ sè t−¬ng quan mÉu r = 0, 97045. ¸p dông c«ng thøc ®Ó tÝnh çc hÖ sè a vµ b cña ®−êng th¼ng håi quy y = ax+b

a = rSy

Sx= 1, 86623

b = y − rxSy

Sx= 42, 39808.

VËy ®−êng th¼ng håi quy cña Y ®èi víi X

y = 1, 86623x + 42, 39808.

15 Håi quy nhiÒu chiÒu

15.1 Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng håi quy

Gi¶ sö ta cã k + 1 ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Y, X1, X2, ..., Xk m« t¶ k + 1 yÕu tè ngÉu nhiªn cña mét hiÖn t−îng nµo ®ã.Chóng ta sÏ dù ®o¸n ch¼ng h¹n Y theo çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cßn l¹i X1, X2, X3, ..., Xk. Nh− ®· biÕt dù b¸o tètnhÊt lµ hµm håi quy E(Y/X1, X2, ..., Xk) vµ trong môc nµy ta chØ dù ®o¸n Y b»ng hµm tuyÕn tÝnh cña çc ®¹i l−îngngÉu nhiªn cßn l¹i. (NÕu (Y, X1, X2, ..., Xk) cã ph©n bè chuÈn khi ®ã hµm håi quy lµ hµm tuyÕn tÝnh).

E(Y/X1, X2, ..., Xk) = α + β1X1 + β2X2 + · · ·+ βkXk.

Chóng ta còng gi¶ thiÕt m = E(Y ) = 0, mi = E(Xi) = 0 víi mäi i = 1, 2, ...k. (Tr−êng hîp ng−îc l¹i ta sÏ tÞnh tiÕnhÖ trôc to¹ ®é tíi ®iÓm (m, m1, m2, ..., mk) trong Rk+1). Bµi to¸n dù b¸o thùc chÊt lµ t×m çc hÖ sè bi sao cho

E(Y − b1X1 − b2X2 − ...− bkXk)2 → min.

(§ã lµ ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐ nhÊt ®Ó x¸c ®Þnh çc hÖ sè bi), y = b1x1 + b12x2 + ... + b1kxk ®−îc gäi lµ mÆtph¼ng håi quy tuyÕn tÝnh.Gi¶ sö r»ng çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Y, X1, X2, ..., Xk tån t¹i ph−¬ng sai, hay xÐt chóng trong kh«ng gian L2

gåm çc ®.l.n.n cã k× väng b»ng 0 víi tÝch v« h−íng⟨X, Y

⟩= E(XY ) = cov(X, Y ). Khi ®ã Y = b1X1 + · · ·+ bkXk

lµ chiÕu vu«ng gãc cña Y lªn kh«ng gian con sinh bëi X1, X2, ..., Xk:⟨Xi, Y − Y

⟩=⟨Xi, Y − b1X1 − b2X2 − ...− bkXk

⟩= 0, víi mäi i = 1, ..., k. (8)

KÝ hiÖu c = (cij) lµ ma trËn covarian (cÊp k+1) cña Y, X1, X2, ..., Xk vµA lµ ma trËn covarian (cÊp k) cñaX1, X2, ..., Xk

c =

c00 c01 · · · c0k

c10 c11 · · · c1k

... ... ... ...ck0 ck1 · · · ckk

A =

c11 c12 · · · c1k

c21 c22 · · · c2k

... ... ... ...ck1 ck2 · · · ckk

Gäi Cij lµ phÇn phô ®¹i sè t−¬ng øng víi cij cña ma trËn c. (TÊt nhiªn ta cã thÓ gi¶ thiÕt tiÕp C11 = det A 6= 0, ®iÒu®ã lu«n ®óng nÕu X1, X2, ..., Xk ®éc lËp tuyÕn tÝnh). Khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh (8) cã thÓ viÕt

c11b1 + c12b2 + · · ·+ c1kbk = c01

c21b1 + c22b2 + · · ·+ c2kbk = c01

· · · · · · · · ·ck1b1 + ck2b2 + · · ·+ ckkbk = c0k

hoÆc d−íi d¹ng ma trËn Ab = c0,

b = (b1, · · · , bk) lµ vÐc t¬ Èn sè, c0 = (c01, · · · , c0k) lµ covarian cña Y víi çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1, X2, ..., Xk.Ph−¬ng tr×nh Ab = c0 cã nghiÖm duy nhÊt

b = A−1c0 hay bi = −C0i

C00i = 1, ..., k. (9)

ThËt vËy, nhËn xÐt r»ng do det(c)c−1 = (Cij)T = (Cij) hay (Cij)c = det(c)E, hµng thø nhÊt cña (Cij) : (C00, C01, ..., C0k) =(C00,h) (trong ®ã h = (C01, ..., C0k)) vu«ng víi cét thø i, i > 1 cña c, suy ra Ah = −C00c0 hay

b = A−1c0 = − 1C00

h⇔ bi = −C0i

C00, i = 1, ..., k. (10)

41

VËy ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng håi quy tuyÕn tÝnh

y =k∑

i=1

bixi = −k∑

i=1

C0i

C00xi

Tr−êng hîp mi 6= 0

y = m +k∑

i=1

bi(xi −mi) = m −k∑

i=1

C0i

C00(xi −mi).

Theo çc c«ng thøc trªn, gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña phÇn d− E(Y −Y )2, trong ®ã Y = b′X hay Y = b1X1+b2X2+· · ·+bkXk

b»ngE(Y − Y )2 =

⟨Y − Y , Y − Y

⟩=⟨Y − Y , Y

⟩= D(Y )− cov(b′X, Y ) = c00 − c′0A

−1c0. (11)

HÖ sè t−¬ng quan gi÷a Y vµ Y ®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan béi, kÝ hiÖu R

R2 =

⟨Y , Y

⟩2

D(Y )D(Y )=

(c′0A−1c0)2

b′AbD(Y )=

(c′0A−1c0)2

c′0A−1c0D(Y )=

c′0A−1c0

c00.

D−íi ®©y chóng ta ®−a ra c«ng thøc tæng qu¸t tÝnh hÖ sè t−¬ng quan béi vµ hÖ sè t−¬ng quan riªng

R =

√1−

det cc00C00

, %ij.(...) =−Cij√CiiCjj

(12)

ThËt vËy c′0A−1c0 =

⟨(c01, ..., c0k),− 1

C00h⟩= c00 − (C00c00

C00+ C01c01

C00+ · · ·+ C0kc0k

C00) = c00 − det c

C00.

Khi kh¶o s¸t mèi t−¬ng quan ta tÝnh hÖ sè t−¬ng quan gi÷a çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ch¼ng h¹n %ij =%ij(ξi, ξj). §ã lµ ®é ®o toµn phÇn mèi t−¬ng quan gi÷a chóng (cã kÓ ®Õn mèi quan hÖ th«ng qua çc biÕn ngÉunhiªn kh¸c: ξ1, ..., ξk). Nh− trªn ta biÕt r»ng cã thÓ ph©n tÝch mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn thµnh tæng cña hai ®¹il−îng ngÉu nhiªn kh«ng t−¬ng quan (chiÕu vu«ng gãc xuèng L2(ξ2, ..., ξk)), ch¼ng h¹n xÐt η = η + (η − η) =η + η0.23...k, ξ1 = ξ1 + (ξ1 − ξ1) = ξ1 + η1.23...k

Cã thÓ coi η0.23...k = η − η lµ phÇn cßn l¹i cña η sau khi ®· lo¹i ®i çc t¸c ®éng tuyÕn tÝnh cña ξ2, ..., ξk vµoη. T−¬ng tù η1.23...k = ξ1 − ξ1 lµ phÇn cßn l¹i cña ξ1 sau khi ®· lo¹i ®i çc t¸c ®éng tuyÕn tÝnh cña ξ2, ..., ξk

vµo ξ1. Khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan gi÷a hai phÇn d− ξ1 − ξ1 vµ η − η ®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan riªng(mèi quan hÖ néi t¹i, kh«ng phô thuéc vµo çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh¸c: ξ2, ..., ξk) gi÷a ξ1 vµ η. KÝ hiÖu%01.(23...k) = %(ξ1 − ξ1, η− η). C«ng thøc trªn ®−a ra c«ng thøc tÝnh hÖ sè t−¬ng quan riªng gi÷a ξi vµ ξj .

Chó ý r»ng khi ta dù b¸o Y theo çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cßn l¹i X1, X2, X3, ..., Xk, chóng ta xÐt trongkh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: X1 = x1, X2 = x2, ..., Xk = xk vµ dùa trªn mÉu ngÉu nhiªn

(yi, x1i, x2i, ..., xki), i = 1, 2, ..., n.

Do ®ã cã thÓ nãi trong kh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn yi, i = 1, n tháa m·n m«h×nh Gauss-Markov

E(yi) = x1iβ1 + x2iβ2 + · · ·+ xkiβk (13)

D(yi) = σ2, yi ®éc lËp, σ2 ®−îc tÝnh theo c«ng thøc (11).

HoÆc viÕt d−íi d¹ng ma trËn E(Y ) = Xβ, D(Y ) = σ2I. Nh− vËy tÊt c¶ çc ®Æc tr−ng mÉu trong phÇn nµy®Òu ®−îc xÐt trong kh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn X1i = x1i, X2i = x2i, ..., Xki = xki.

15.2 Håi quy nhiÒu chiÒu trong thèng kª

15.2.1 Håi quy nhiÒu chiÒu

Trong thèng kª chóng ta cÇn t×m ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng håi quy dùa trªn çc mÉu ngÉu nhiªn quan s¸t ®−îc.MÉu ngÉu nhiªn lµ çc ®iÓm quan s¸t

(yi, x1i, x2i, ..., xki), i = 1, 2, ..., n.

42

Gi¶ sö gi÷a chóng cã mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh

E(Yi/X1 = x1i, X2 = x2i, ..., Xk = xki) = α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki, i = 1, 2, ..., n.

hayYi = α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki + εi,

trong ®ã βi lµ çc hÖ sè håi quy cÇn −íc l−îng vµ εi lµ biÕn ngÉu nhiªn cã k× väng b»ng 0.Gäi a, b1, b2, ..., bk lµ çc −íc l−îng cña çc hÖ sè håi quy α, β1, β2, ..., βk t−¬ng øng, khi ®ã mÉu dù b¸o cña biÕn

ngÉu nhiªn Y øng víi çc gi¸ trÞ (x1, x2, ..., xk) b»ng gi¸ trÞ håi quy

y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk.

§Ó sö dông çc kÕt qu¶ cña môc tr−íc, thay v× xÐt mÉu ngÉu nhiªn (y1, y2, ..., yn) cña Y ta xÐt mÉu

(y1 − y, y2 − y, ..., yn− y) (t−¬ng øng víi η mµ E(η) = 0).

T−¬ng tù nh− vËy, gäi ξi, i = 1, k lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (Eξi = 0) t−¬ng øng víi mÉu

(xi1 − xi, ..., xin− xi), i = 1, k.

Çc hÖ sè håi quy b1, b2, ..., bk cña η theo ξi ®−îc tÝnh bëi (10) theo c«ng thøc b = A−1c0, trong ®ã A lµ covarianmÉu cña ξi, i = 1, k. Chó ý r»ng A còng lµ covarian mÉu cña Xi, i = 1, k. HÖ sè tù do hµm håi quy y =a + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk b»ng

a = y − b1x1 − b2x2 − ...− bkxk

Çc −íc l−îng a, b1, b2, ..., bk cña çc hÖ sè håi quy ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐ nhÊt, tøc lµ tængb×nh ph−¬ng çc ®é lÖch (kÝ hiÖu ei = yi − y = yi − a− b1x1i − b2x2i − ...− bkxki)

SSE =n∑

i=1

e2i =

n∑

i=1

(yi − a− b1x1i − b2x2i − ...− bkxki)2 −→ min .

Mét çch kh¸c ®Ó dÉn tíi c«ng thøc (9), b = A−1c0 lµ xÐt bµi to¸n cùc trÞ, t×m β (viÕt d−íi d¹ng ma trËn) sao cho

M =n∑

i=1

(yi − (α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki)

)2 = (η − ξβ)T (η − ξβ) → min

trong ®ã η = [(y1 − y, y2− y, ..., yn− y)]T lµ ma trËn cét, ξ lµ ma trËn n× k gåm çc cét ξi = (xi1− xi, ..., xin− xi)T

vµ β lµ çc tham sè cÇn −íc l−îng.§¹o hµm M theo β ta ®−îc D[M ] = −2ξT (η − ξβ) (còng t−¬ng tù nh−

((x− a)2

)′ = 2(x− a), chÝnh x¸c h¬n tacã thÓ viÕt chi tiÕt çc ®¹o hµm riªng theo tõng biÕn). Suy ra çc ®iÓm dõng cña bµi to¸n cùc trÞ lµ nghiÖm cña ph−¬ngtr×nh

ξT (η − ξβ) = 0 hay β = (ξT ξ)−1(ξT η).

HiÓn nhiªn ξT ξ = nA vµ ξT η = nc0. Ta cã c«ng thøc (9), b = A−1c0

Chó ý r»ng thùc chÊt cña ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐ nhÊt lµ η⊥(η − η)⇔ C(η, η− η) = 0 hoÆc cã thÓ diÔn gi¶ib»ng viÖc b×nh ph−¬ng c¶ hai vÕ ®¼ng thøc yi − y = (yi − y) + ei, råi céng chóng l¹i theo i

n∑

i=1

(yi − y)2 =n∑

i=1

(yi − y)2 +n∑

i=1

e2i .

§¼ng thøc cã ý nghÜa nh− sau: vÕ tr¸i lµ tæng b×nh ph−¬ng çc ®é lÖch gi÷a çc phÇn tö mÉu cña Y víi gi¸ trÞ trungb×nh mÉu y, kÝ hiÖu SST (total sum of squares) ®−îc ph©n tÝch thµnh tæng cña hai phÇn: phÇn thø nhÊt lµ tæng b×nhph−¬ng çc ®é lÖch gi÷a håi quy yi víi trung b×nh mÉu y (= y) vµ phÇn thø hai lµ phÇn d−: tæng b×nh ph−¬ng çcsai sè. KÝ hiÖu

SST =n∑

i=1

(yi − y)2 = nS2y = nD(Y ) = nC(Y, Y ) = n||Y ||2 (Tæng b×nh ph−¬ng chung)

SSR =n∑

i=1

(yi − y)2 =n∑

i=1

(yi − y)2 = nD(Y ) = nC(Y , Y ) = n||Y ||2 (Tæng b×nh ph−¬ng håi quy)

SSE =n∑

i=1

e2i = nC(Y − Y , Y − Y ) = n||Y − Y ||2 (Tæng b×nh ph−¬ng sai sè)

43

Do SST = SSR + SSE (hay ||Y ||2 = ||Y ||2 + ||Y − Y ||2), khi ®ã tØ sè

R2 =SSR

SST= 1− SSE

SST

®−îc gäi lµ hÖ sè x¸c ®Þnh biÓu diÔn lùc cña håi quy. 0 6 R2 6 1 vµ khi R2 cµng gÇn víi 1, phÇn d− SSE (tængb×nh ph−¬ng çc sai sè) cµng nhá so víi tæng b×nh ph−¬ng çc ®é lÖch chung cña Y . L−u ý r»ng hÖ sè t−¬ng quangi÷a Y vµ Y lµ cosin cña gãc gi÷a hai vÐc t¬ ®ã, kÝ hiÖu C(Y, Y ) =

⟨Y, Y

⟩

cos α =

⟨Y , Y

⟩

||Y || · ||Y ||=

⟨Y , Y + Y − Y

⟩

||Y || · ||Y ||=

⟨Y , Y

⟩

||Y || · ||Y ||=

||Y ||2

||Y || · ||Y ||=

√SSR

SST= R.

R ®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan béi cña håi quy. Chó ý r»ng trong mét sè tµi liÖu ng−êi ta nãi ®Õn kh¸i niÖm hÖsè x¸c ®Þnh ®iÒu chØnh R

2= 1− SSE/(n−k−1)

SST/(n−1) . Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng

s2e =

∑ni=1 e2

i

n− k − 1=

SSE

n − k − 1

(=

n

n− k − 1||Y − Y ||2

)(14)

lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña σ2 (σ2 lµ ph−¬ng sai cña Yi víi ®iÒu kiÖn X1 = x1i, X2 = x2i, ..., Xk = xki). Ta cã thÓchøng minh ®iÒu ®ã b»ng çch sö dông çc phÐp biÕn ®æi trùc giao (xem trong RAO). Ta gäi se =

√s2e lµ sai sè chuÈn

cña håi quy.Çch tÝnh sai sè cña çc hÖ sè håi quy bk, bk−1, ..., b2, b1, a sÏ ®−îc tr×nh bµy ngay d−íi ®©y.Ta cã thÓ chøng minh b = A−1c0 lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña β1, ..., βk ®ång thêi còng tÝnh ®−îc çc sai sè cña

çc −íc l−îng tham sè ®ã (trong kh«ng gian x¸c suÊt ®iÒu kiÖn).ThËt vËy nh− trong tr−êng hîp mét chiÒu E(b) = A−1E(c0)

c0m =1n

n∑

i=1

(xim − xi)(Yi − Y ), m = 1, 2, ..., k.

E(c0m) =1n

E

(n∑

i=1

(xim − xi)(Yi − Y )

)=

1n

n∑

i=1

(xim − xi)[β1(xi1 − x1) + β2(xi2 − x2) + · · · )]

Hay Ec0 = Aβ , suy raE(b) = A−1Ec0 = A−1Aβ = β.

HoÆc viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬

E(b) = A−1E(c0) = A−1E(1n

ξT η) =1nA−1ξT E(η) =

1nA−1ξT ξβ = A−1Aβ = β ( theo 13).

§Ó tÝnh ph−¬ng sai cña çc bm, ta tÝnh ma trËn covarian cña b = A−1c0. Çch tÝnh t−¬ng tù nh− trªn

cov(b) = A−1cov(c0)A−1 = A−1cov(1n

ξT η)A−1 = A−1 σ2

n2ξT ξA−1 =

σ2

nA−1. (15)

Do

cov(c0) = cov(1n

ξT η) =1n2

ξT σ2Iξ =σ2

n2ξT ξ =

σ2

nA.

Chó ý r»ng do xÐt trong kh«ng gian x¸c suÊt ®iÒu kiÖn nªn σ trong c«ng thøc trªn lµ sai sè cña phÇn d−, nã ®−îctÝnh theo c«ng thøc trong m« h×nh (13). Thay σ b»ng −íc l−îng kh«ng chÖch cña nã se trong c«ng thøc nµy ta tÝnh®−îc çc sai sè cña çc hÖ sè håi quy bm.

44

Thùc hµnh trªn EXCEL

B¶ng sau cho ta sè liÖu quan s¸t ®−îc vÒ s¶n l−îng cña mét gièng c©y trång t¹i nhiÒu ®Þa ph−¬ng cã thæ nh−ìng,khÝ hËu kh¸c nhau.

STT Y x1 x2

1 590 58 4052 660 52 4503 780 133 3504 770 179 2855 710 98 3306 640 72 4007 670 72 5508 520 43 4809 660 62 45010 690 67 61011 500 64 38012 460 33 46013 610 57 425

STT Y x1 x2

14 710 62 56015 620 54 42016 660 48 62017 620 86 39018 590 74 35019 740 95 57020 730 44 71021 720 53 70022 720 77 58023 640 46 70024 805 123 56025 510 26 37026 673 62 430

SST chØ 26 ®Þa ph−¬ng kh¸c nhau trång gièng c©y ®ã. Çc kÝ hiÖu kh¸cY lµ s¶n l−îng cña lo¹i c©y trångx1 lµ l−îng m−a trong c¶ ®ît gieo trångx2 lµ toµn bé chi phÝ ®Çu t− khi gieo trång lo¹i c©y ®ã.Gi¶ thiÕt r»ng m« h×nh håi quy gi÷a Y ®èi víi X1, X2:

Y = α + β1x1 + β2x2 + εi,

Sö dông lÖnh COV AR(Y, X) ®Ó lËp ma trËn covarian

7507.100592 1852.139053 2870.8727811852.139053 1060.408284 −1448.165682870.872781 −1448.16568 14221.48669

Theo (9) çc hÖ sè b1, b2 cña mÆt ph¼ng håi quy (sö dông lÖnh tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o vµ nh©n ma trËnMINV ERSE, MMULT ) ta ®−îc

b1 = 2.348974379, b2 = 0.441063371

Suy ra mÆt ph¼ng håi quy y = 2.348974x1 + 0.441063x2 + 274.89068.SST = nD(Y ) = 26 ∗COV (Y, Y ) = 195184.6, SSR = nD(Y ) = 26 ∗COV (Y , Y ) = 146038.47Sai sè chuÈn cña −íc l−îng

SSE = SST − SSR = 49146.15115, se =

√SSE

n− k − 1=

√49146.15115

23= 46.22541704

HÖ sè t−¬ng quan béi b»ng

R =

√SSR

SST=√

0.74820684 = 0.865.

§Ó tÝnh sai sè cña çc −íc l−îng hÖ sè håi quy, ta sö dông c«ng thøc (15)

cov(b) =σ2

nA−1 =

σ2

26

(1060.408284 −1448.16568−1448.16568 14221.48669

)−1

=

=σ2

26

(0.001095359 0.000111540.00011154 8.16742E− 05

)

Thay σ b»ng sai sè chuÈn 46.2254, suy ra ph−¬ng sai cña çc hÖ sè

√D(b) =

46.2254√26

√0.001095359 = 0.300035

45

√D(a) =

46.2254√26

√8.16742E − 05 = 0.08193

§Ó tÝnh hÖ sè t−¬ng quan riªng gi÷a Y vµ X1 ta sö dông c«ng thøc (12)

%01.(2) =−Cij√CiiCjj

=−30497670.32√

12983398 ∗ 98520221= 0.852727

Chó ý r»ng ta còng cã thÓ tÝnh hÖ sè t−¬ng quan riªng b»ng ®Þnh nghÜa %01.(2) = %(Y − Y , X1 − X1)Mét çch kh¸c ®Ó tÝnh çc hÖ sè håi quy, hÖ sè t−¬ng quan béi còng nh− çc sai sè kh¸c lµ sö dông lÖnh =LINEST (Y, X, 1, 1) trong EXCEL (nhÊn ®ång thêi çc phÝm CTRL+SHIFT+ENTER)

0.441063 2.348974 274.890680.08193 0.300035 52.14154580.7482 46.225434.1724 23

146038.4642 49146.151

Hµng thø nhÊt lµ çc hÖ sè håi quy a = 274.89068, b1 = 2.348974, b2 = 0.441063

y = 274.89068 + 2.348974x1 + 0.441063x2

Sai sè trung b×nh cña çc hÖ sè håi quy a vµ b trong hµng thø hai.√

D(b1) = 0.300035√

D(b2) = 10.08193,√

D(a) = 52.1415458

Hµng thø ba lµ hÖ sè x¸c ®Þnh R2 = 0.7482 hay hÖ sè t−¬ng quan R = 0.86499 vµ sai sè chuÈn (standard error)se = 46.2254.Hµng thø t− cho gi¸ trÞ quan s¸t Fqs = 34.1724 cña ph©n bè F víi (k, 23) bËc tù do. (Trong vÝ dô nµy k = 2).Hµng thø n¨m lµ çc tæng b×nh ph−¬ng HQ theo Y , kÝ hiÖu lµ SSR = 146038.4642 vµ phÇn d− SSE = 49146.151.

Bµi tËp B¶ng sau cho ta sè liÖu quan s¸t ®−îc vÒ kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh. Gi¶ thiÕt m« h×nh håi quy gi÷a chóng

Y = α + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε,

trong ®ãY lµ ®iÓm trung b×nh chung cña häc sinh cuèi n¨m thø nhÊt.x1 lµ ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng trung häc cña häc sinh.x2 lµ ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc cña häc sinh.x3 lµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh.

STT x1 x2 x3 Y1 45 25 6 5.882 43 24.5 7 6.633 50 26 7 7.574 46 22 8 7.795 46 21 5 5.56 51 26 8 8.397 48 27 9 8.448 43 25 8 7.759 52 23 6 6.4810 50 23.5 8 7.8111 48 25 7 7.1212 51 22.5 9 8.8713 55 24 6 6.9

1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng håi quy Y theo x1, x2, x3 vµ dù b¸o ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊtcho mét häc sinh nÕu ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng trung häc x1 = 53, ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc x2 = 28,vµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh ®ã x3 = 8.

2. H·y tÝnh hÖ sè t−¬ng quan béi vµ hÖ sè t−¬ng quan riªng gi÷a ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt vµ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc.

3. H·y tÝnh kho¶ng tin cËy cho β1 víi ®é tin cËy 96%. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt β2 = 0 víi møc ý nghÜa 5%.

46

15.2.2 Kho¶ng tin cËy vµ kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt cho çc tham sè cña håi quy

Çc vÊn ®Ò vÒ kho¶ng tin cËy vµ kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt cho çc tham sè cña håi quy dùa trªn nhËn xÐt sauVíi çc gi¶ thiÕt thªm r»ng çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn. KÝ hiÖu sbk , sbk−1 , ..., sb2, sb1sa lµ çc sai sè

chuÈn cña çc hÖ sè håi quy bk, bk−1, ..., b2, b1, a, khi ®ã

ta =a− α

sa, tbi =

bi − βi

sbi

, i = 1, 2, ..., k

lµ çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè Student víi n− k − 1 bËc tù do.Ch¼ng h¹n trong bµi tËp trªn, hÖ sè håi quy cña x1 (®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng) ®−îc −íc l−îng b»ng

b1 = 0.770966 víi ®é lÖch tiªu chuÈn sb1 = 0.054249. §¹i l−îng ngÉu nhiªn t−¬ng øng tbi = bi−βi

sbicã ph©n bè Student

víi n− k − 1 = 9 bËc tù do. VËy kho¶ng tin cËy cho β1 víi ®é tin cËy 1− α cho tr−íc ®−îc tÝnh theo c«ng thøc

b1 − sb1tα 6 β1 6 b1 + sb1tα

Trong bµi tËp trªn, kho¶ng tin cËy cho β1 víi ®é tin cËy 96% b»ng (0.64, 0.901)

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt cho mçi tham sè cña håi quy

Còng dùa trªn c¬ së tbi cã ph©n bè Student víi n− k − 1 bËc tù do, ta cã thÓ kiÓm ®Þnh çc gi¶ thiÕt

H0 : βi = βi,0 hoÆc H0 : βi 6 βi,0

víi ®èi thiÕt, ch¼ng h¹n bµi to¸n 2H1 : βi > βi,0,

theo quy t¾c b¸c bá H0 nÕu tqs =bi − βi,0

sbi

> tα.

(Çc kiÓm ®Þnh mét phÝa kh¸c hoÆc kiÓm ®Þnh 2 phÝa còng theo quy t¾c t−¬ng tù ®· biÕt).

Bµi to¸n (3): kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt

H0 : βi = βi,0 hoÆc H0 : βi ≥ βi,0

víi ®èi thiÕtH1 : βi < βi,0,

theo quy t¾c b¸c bá H0 nÕu tqs =bi − βi,0

sbi

< −tα.

Bµi to¸n (1): KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt H0 : βi = βi,0 víi ®èi thiÕt

H1 : βi 6= βi,0,

theo quy t¾c b¸c bá H0 nÕu |tqs| =∣∣∣∣bi − βi,0

sbi

∣∣∣∣ > tα.

§Æc biÖt nÕu gi¸ trÞ thùc cña β1 = 0, Yi = α + β2x2i + ... + βkxki + εi kh«ng bÞ ¶nh h−ëng bëi biÕn ®éc lËp X1

khi çc biÕn X2, ..., Xk nhËn çc gi¸ trÞ cè ®Þnh cho tr−íc. Nãi çch kh¸c X1 kh«ng gãp phÇn vµo gi¶i thÝch mèi quanhÖ tuyÕn tÝnh gi÷a biÕn phô thuéc víi çc biÕn ®éc lËp.Trong bµi tËp trªn, xÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh H0 : β2 = 0 víi ®èi thiÕt H1 : β2 6= 0

tqs =b2 − 0

sb2

=0.0115990.038539

= 0.30098 < t0.05 = 2.262,

ta ch−a cã c¬ së b¸c bá H0 : β2 = 0 ë møc 0.5%.TÝnh hÖ sè t−¬ng quan riªng gi÷a ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt (Y ) vµ ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc (x2).

Ta ®−îc hÖ sè t−¬ng quan riªng ®ã kh¸ bÐ r = 0.0998. Trong tr−êng hîp nµy ta chÊp nhËn gi¶ thiÕt H0 : β2 = 0, vµt×m håi quy Y theo 2 biÕn cßn l¹i: ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng trung häc vµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh.

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt ®ång thêi cho çc tham sè cña håi quy

H0 : β1 = β2 = · · · = βk = 0

47

víi ®èi thiÕtH1 : Tån t¹i Ýt nhÊt mét i : βi 6= 0.

NÕu gi¶ thiÕt H0 ®óng, Yi = α + εi, nªn E(Yi/X) = α lµ h»ng sè. Çc biÕn ®éc lËp Xi kh«ng cã ¶nh h−ëng (tuyÕntÝnh) tíi Y . KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt H0 thùc chÊt nh»m b¸c bá tÝnh phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a çc biÕn. Ta biÕt r»ngSST = SSR + SSE, trong ®ã SSR nh»m gi¶i thÝch sù biÕn ®éng cña håi quy (sù phô thuéc tuyÕn tÝnh cña biÕn phôthuéc vµo çc biÕn ®éc lËp), cßn SSE lµ phÇn biÕn ®éng ngoµi håi quy. Do vËy nÕu gi÷a çc biÕn ngÉu nhiªn kh«ngtån t¹i quan hÖ tuyÕn tÝnh khi ®ã SSR t−¬ng ®èi nhá so víi SSE, nãi çch kh¸c tØ sè gi÷a SSR vµ SSE cµng lín,kh¶ n¨ng b¸c bá gi¶ thiÕt kh«ng (quan hÖ tuyÕn tÝnh) cµng cao. V× thÕ ®Ó t¹o ra mét thèng kª nh− vËy ng−êi ta södông kÕt qu¶ sau:NÕu gi¶ thiÕt H0 : β1 = β2 = · · · = βk = 0 ®óng vµ εi cã ph©n bè chuÈn, khi ®ã

F =SSR/k

SSE/(n − k − 1)

cã ph©n bè F víi (k, n− k − 1) bËc tù do. VËy ta cã quy t¾c ë møc α

B¸c bá H0 nÕu Fqs =SSR/k

SSE/(n − k − 1)> Fk,n−k−1,α,

trong ®ãP (Fk,n−k−1 > Fk,n−k−1,α) = α.

NhËn xÐt r»ng do R2 = SSRSST = 1− SSE

SST , suy ra

F =SSR/k

SSE/(n − k − 1)=

n− k − 1k

· R2

1−R2.

Dù b¸o

Víi mÉu håi quy nh− ®· nãi ë trªn, kÝ hiÖu a, b1, b2, ..., bk lµ çc −íc l−îng theo ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng bÐnhÊt çc hÖ sè håi quy, khi ®ã víi mÉu thø n + 1 cña çc biÕn ®éc lËp:

(x1,n+1, x2,n+1, ..., xk,n+1)

dù b¸o cña biÕn phô thuéc (Yn+1 = α + β1x1,n+1 + · · ·+ βkxk,n+1 + εn+1)

Yn+1 = a + b1x1,n+1 + b2x2,n+1 + · · ·+ bkxk,n+1

lµ −íc l−îng tuyÕn tÝnh kh«ng chÖch tèt nhÊt cña Yn+1.Trë l¹i víi bµi tËp vÒ ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt cña häc sinh, nÕu ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng

trung häc x1 = 53, ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc x2 = 28, vµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh ®ã x3 = 8, khi ®ã iÓmtrung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt cña häc sinh ®−îc dù b¸o lµ

Yn+1 = a + b1x1,n+1 + b2x2,n+1 + b3x3,n+1 = 8.32

Ngoµi ra nÕu gi¶ thiÕt εi cã ph©n bè chuÈn khi ®ã chóng ta cã thÓ tÝnh çc kho¶ng tin cËy cho çc dù b¸o Yn+1.

48

Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn −XÝch Markov

16 Tæng quan vÒ xÝch Markov

16.1 Ma trËn x¸c suÊt chuyÓn cña xÝch Markov

XÐt mét hÖ thèng çc tr¹ng th¸i vËt lÝ, çc tr¹ng th¸i ®ã chuyÓn ®æi ngÉu nhiªn theo thêi gian. Gi¶ sö tËp hîp çctr¹ng th¸i (kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t) lµ tËp hîp çc sè tù nhiªn (N = 0, 1, ..., n, ...). KÝ hiÖu ξn lµ tr¹ng th¸icña hÖ thèng t¹i thêi ®iÓm rêi r¹c t = n. (ξn = i lµ biÕn cè t¹i thêi ®iÓm t = n, hÖ thèng ®ang trong tr¹ng th¸i i).

§Þnh nghÜa 9 D·y çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ0, ξ1, ξ2, ..., ξn, ... (®ång thêi còng lµ d·y çc tr¹ng th¸i theo thêi giancña hÖ thèng) ®−îc gäi lµ xÝch Markov, nÕu víi çc sè tù nhiªn n, k0, k1, k2, ..., kn tïy ý

P (ξn+1 = k/ξ0 = k0, ξ1 = k1, ξ2 = k2, ..., ξn = kn) = P (ξn+1 = k/ξn = kn) (16)

§iÒu kiÖn (16) cã thÓ gi¶i thÝch nh− sau: çc tr¹ng th¸i tr−íc cña hÖ thèng chØ ¶nh h−ëng lªn tr¹ng th¸i sau cña hÖthèng th«ng qua tr¹ng th¸i hiÖn t¹i - tr¹ng th¸i t¹i thêi ®iÓm n.Nh©n c¶ hai vÕ cña (16) víi P (ξ0 = k0, ξ1 = k1, ..., ξn = kn) råi céng çc ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc theo k0, k1, ..., kr−1,

(1 6 r 6 n), ta ®−îc

P (ξn+1 = k, ξr = kr, ξr+1 = kr+1, ..., ξn = kn) = P (ξn+1 = k/ξn = kn)P (ξr = kr, ..., ξn = kn)

⇔ P (ξn+1 = k/ξr = kr, ξr+1 = kr+1, ..., ξn = kn) = P (ξn+1 = k/ξn = kn)

X¸c suÊt P (ξm+n = k/ξn = j) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt chuyÓn sau m b−íc, x¸c suÊt ®ã nãi chung phô thuéc vµo n. NÕutÊt c¶ çc x¸c suÊt chuyÓn sau m b−íc kh«ng phô thuéc vµo thêi ®iÓm n, kÝ hiÖu

P(m)jk = P (ξm+n = k/ξn = j),

khi ®ã xÝch Markov ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt. Trong môc nµy chóng ta chØ xÐt çc xÝch Markov thuÇn nhÊt. KÝ hiÖu Πm

lµ ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn sau m b−íc

Πm = (P (m)jk ) =

P(m)00 P

(m)01 P

(m)02 · · ·

P(m)10 P

(m)11 P

(m)12 · · ·

P(m)20 P

(m)21 P

(m)22 · · ·

· · · · · · · · · · · ·

DÔ dµng nhËn thÊy matrËn çc x¸c suÊt chuyÓn gåm çc phÇn tö lµ çc sè thùc kh«ng ©m, tæng çc phÇn tö n»m ëmçi hµng ®Òu b»ng 1

∞∑

k=0

P(m)jk =

∞∑

k=0

P (ξm+n = k/ξn = j) = 1.

§Ó thuËn tiÖn, ta bá çc chØ sè khi kÝ hiÖu çc x¸c suÊt chuyÓn sau m = 1 b−íc còng nh− ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓnsau m = 1 b−íc

P(1)jk = Pjk, Π1 = Π.

Π lµ ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn sau 1 b−íc. Trong hÇu hÕt çc vÝ dô sau nµy, khi nh¾c ®Õn mét xÝch Markov, tath−êng nãi ®Õn ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn Π cña nã.

Çc vÝ dô

1. Cho d·y çc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp η1, η2, ... nhËn çc gi¸ trÞ −1, 1 víi çc x¸c suÊt 12, 1

2t−¬ng øng. Khi

®ãξ0 = 0, ξ1 = η1, ξ2 = η1 + η2, ξn = η1 + η2 + · · ·+ ηn, ...

t¹o thµnh xÝch Markov. ξn, n > 0 thùc chÊt lµ lang thang ngÉu nhiªn xuÊt ph¸t tõ 0, t¹i çc thêi ®iÓm rêi r¹c,nã dÞch chuyÓn sang tr¸i hoÆc sang ph¶i 1 ®¬n vÞ.

49

Ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn Π lµ ma trËn v« h¹n

Π =0123

·· 0 1 2 3 4 5 6 7 ··

· · · 0 12 0 1

2 0 0 0 0 · · ·· · · 0 0 1

2 0 12 0 0 0 · · ·

· · · 0 0 0 12 0 1

2 0 0 · · ·· · · 0 0 0 0 1

2 0 12 0 · · ·

· · · · · · · · · ·

2. Trong vÝ dô trªn nÕu -K vµ K lµ çc t−êng ch¾n, nãi çch kh¸c lang thang quay ng−îc trë l¹i víi x¸c suÊt b»ng1 t¹i çc tr¹ng th¸i -K vµ K, khi ®ã ξn, n > 0 còng t¹o thµnh xÝch Markov.Ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn

Π =

-K · · · · · · · · · · · · · · · K

0 1 0 · · · 0 0 012

0 12· · · 0 0 0

0 12

0 · · · 0 0 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 0 1

20

0 0 0 · · · 12

0 12

0 0 0 · · · 0 1 0

-K

-K + 1

-K + 2

· · ·K - 2

K - 1

K

3. Mét ng−êi ®am mª ®¸nh b¹c trªn mét m¸y ®¸nh b¹c. Ta kÝ hiÖu çc tr¹ng th¸i thua hoÆc ®−îc sau mçi lÇn ch¬icña ng−êi ®ã t−¬ng øng víi çc sè 0 vµ 1. M¸y ®−îc thiÕt kÕ ®Ó ng−êi ®¸nh b¹c tõ tr¹ng th¸i 0 (thua) sau métlÇn ch¬i chuyÓn sang tr¹ng th¸i 1 (®−îc) víi x¸c suÊt λ vµ ng−îc l¹i tõ tr¹ng th¸i 1 chuyÓn sang tr¹ng th¸i 0

víi x¸c suÊt µ. Ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn 01

0 1(1− λ λ

µ 1− µ

)

Ta còng cã thÓ coi ®©y lµ ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn tr¹ng th¸i thêi tiÕt m−a vµ n¾ng M−aN¾ng

M−a N¾ng(1− λ λ

µ 1− µ

)

4. Gi¶ thiÕt r»ng hµng n¨m sinh viªn ë mét tr−êng ®¹i häc bÞ buéc th«i häc víi x¸c suÊt p, x¸c suÊt ®Ó mét sinhviªn häc l¹i víi kho¸ sau b»ng q vµ r lµ x¸c suÊt ®Ó sinh viªn ®ã häc tiÕp. KÝ hiÖu s1 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn theohäc n¨m thø nhÊt, s2 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn theo häc n¨m thø hai,..., s4 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn theo häc n¨mthø t− (n¨m cuèi cïng). KÝ hiÖu tiÕp s5 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn bÞ buéc th«i häc vµ s6 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn tètnghiÖp ra tr−êng. Chóng lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn:

Π =

s5s6s4s3s2s1

s5 s6 s4 s3 s2 s1

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0p r q 0 0 0p 0 r q 0 0p 0 0 r q 0p 0 0 0 r q

Tr−íc hÕt ta chøng minh ®Þnh

§Þnh lÝ 2 Víi xÝch Markov bÊt k×Πm = Πm (hay Πm+n = ΠmΠn)

Chøng minh. Theo ®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ P (ξ2 = k, ξ0 = j) =∞∑

l=0

P (ξ2 = k/ξ1 = l, ξ0 = j)P (ξ1 = l, ξ0 = j) suy ra

P (ξ2 = k/ξ0 = j) =∞∑

l=0

P (ξ1 = l/ξ0 = j)P (ξ2 = k/ξ1 = l, ξ0 = j) =∞∑

l=0

PjlPlk hay Π2 = Π ·Π = Π2. Tæng qu¸t h¬n

P (ξm+n = k, ξn = j) =∞∑

l=0

P (ξm+n = k/ξn+r = l, ξn = j)P (ξn+r = l, ξn = j), chia 2 vÕ cho P (ξn = j) ta ®−îc

P (ξm+n = k/ξn = j) =∑∞

l=0 P (ξm+n = k/ξn+r = l, ξn = j)P (ξn+r = l/ξn = j) =∑∞

l=0 P(m−r)lk P (ξn+r = l/ξn = j)

⇒ P(m)jk =

∞∑

l=0

P (ξn+r = l/ξn = j)P (ξm+n = k/ξn+r = l) =∞∑

l=0

P(r)jl P

(m−r)lk .

50

NhËn xÐt r»ng ®Ó x¸c ®Þnh ph©n bè cña ξn, ta cÇn biÕt tr¹ng th¸i ban ®Çu cña hÖ thèng t¹i thêi ®iÓm t = 0

P0(k) = P (ξ0 = k) víi mäi k = 0, 1, 2, ...

Khi ®ã theo ®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ

Pn(k) = P (ξn = k) =∞∑

i=0

P (ξn = k/ξ0 = i)P (ξ0 = i) =∞∑

i=0

P0(i)P(n)ik (17)

KÝ hiÖu Pn = (Pn(0) Pn(1) Pn(2) · · · ) lµ ma trËn hµng, c«ng thøc (17) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn Pn = P0 ·Πn .

§Ó minh häa vÒ xÝch Markov, ta xÐt mét vÝ dô sau

Bµi tËp 8

Trong vÝ dô thø 3, ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn

Π = 01

0 1(1− λ λ

µ 1− µ

)

• Víi λ = µ = 12 ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn: Π =

(12

12

12

12

)⇒ Π2 = Π3 = Π.

• Víi λ = 12, µ = 1 ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn: Π =

(12

12

1 0

)⇒ Π2 =

(34

14

12

12

), Π3 =

(58

38

34

14

)

• §Ó tÝnh Πn ta sÏ chøng minh

Pn(0) =µ

λ + µ+(λP0(0)− µP1(0)

) (1− λ− µ)n

λ + µ

Pn(1) =λ

λ + µ−(λP0(0) − µP1(0)

) (1− λ − µ)n

λ + µ, (18)

trong ®ã P0(0) = P (ξ0 = 0), P0(1) = P (ξ0 = 1) lµ x¸c suÊt ban ®Çu cña ng−êi ch¬i b¹c.ThËt vËy ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn cã ®a thøc ®Æc tr−ng

p(x) = 1− λ− µ + (λ + µ− 2)x + +x2 = (x− 1)(x + λ + µ− 1).DÔ dµng tÝnh ®−îc çc trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng

a) λ1 = 1, u1 = (1, 1)b) λ1 = 1− λ − µ, u2 = (−λ, µ)

KÝ hiÖu T =(

1 −λ1 µ

), Λ =

(1 00 1− λ − µ

)⇒ Π = TΛT−1 ⇒ Πn = TΛnT−1, trong ®ã T−1 =

1λ+µ

(µ λ−1 1

). Tõ ®©y suy ra

Πn =

(λ(1−λ−µ)n+µ

λ+µλ−λ(1−λ−µ)n

λ+µ−µ(1−λ−µ)n+µ

λ+µλ+µ(1−λ−µ)n

λ+µ

)

¸p dông (17) ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh (18).NhËn xÐt r»ng do 0 < λ < 1 vµ 0 < µ < 1 nªn |1− λ− µ| < 1, suy ra

limn→∞

Pn(0) =µ

λ + µ, lim

n→∞Pn(1) =

λ

λ + µ,

çc giíi h¹n trªn kh«ng phô thuéc vµo ph©n bè x¸c suÊt ban ®Çu P0(0), P0(1).

• §Æc biÖt víi λ = 14 , µ = 1

2 ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn: Π =(

34

14

12

12

)= TΛT−1 =

(1 11 −2

)(1 00 1

4

)(2 11 −1

)13 .

Tõ ®©y suy ra Πn =(

1 11 −2

)(1 00 1

4n

)(2 11 −1

)13 −→

(23

13

23

13

).

16.2 XÝch Markov ergodic vµ ®Þnh lÝ Markov

§Þnh nghÜa 10 XÝch Markov ξ0, ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ®−îc gäi lµ xÝch Markov ergodic, nÕu víi çc tr¹ng th¸i i, k tïy ý, giíih¹n sau tån t¹i kh«ng phô thuéc vµo i

limn→∞

P(n)ik = Pk (19)

®ång thêi∑∞

k=0 Pk = 1. VÐc t¬ α = (P1, P2, ..., Pn, ...) ®−îc gäi lµ vÐc t¬ ph©n bè giíi h¹n x¸c suÊt.

51

Tr−êng hîp xÝch Markov gåm h÷u h¹n tr¹ng th¸i, ®¼ng thøc∑∞

k=0 Pk = 1 ®−îc suy ra ngay tõ (19). Ta ph¸t biÓu vµchøng minh ®Þnh lÝ c¬ b¶n sau

§Þnh lÝ 3 (§Þnh lÝ Markov) Mét xÝch Markov thuÇn nhÊt h÷u h¹n tr¹ng th¸i lµ xÝch Markov ergodic khi vµ chØ khi matrËn Πm cã Ýt nhÊt mét cét gåm çc phÇn tö ®Òu d−¬ng, trong ®ã m > 0 lµ sè tù nhiªn

Πm =

P(m)00 P

(m)01 · · · P

(m)0N

P(m)10 P

(m)11 · · · P

(m)1N

· · · · · · · · · · · ·P

(m)N0 P

(m)N1 · · · P

(m)NN

NhËn xÐt

1. §èi víi xÝch Markov ergodic, cho dï ban ®Çu hÖ thèng ®−îc ph©n bè thÕ nµo (ch¼ng h¹n hÖ thèng xuÊt ph¸t tõtr¹ng th¸i i), hÖ thèng sÏ ë trong tr¹ng th¸i k víi x¸c suÊt xÊp xØ Pk khi n ®ñ lín (®éc lËp víi tr¹ng th¸i xuÊt ph¸t iban ®Çu, víi bÊt k× tr¹ng th¸i k nµo). ThËt vËy theo (17)

Pn(k) =∞∑

i=0

P0(i)P(n)ik →

∞∑

i=0

P0(i)Pk = Pk

2. Tõ ®Þnh lÝ 2, ta cã

Πn+1 = Πn ·Π hay P(n+1)ik =

N∑

j=0

P(n)ik Pjk cho n→ +∞, ⇒ Pk =

N∑

j=0

PjPjk

VËy Pk lµ nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh X = XΠ, X = (x0, x1, ..., xN) lµ Èn cÇn t×m. Ta sÏ chøngminh hÖ trªn cã duy nhÊt mét nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

∑Nk=0 Pk = 1. ThËt vËy nh©n c¶ 2 vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh

xk =∑N

j=0 xjPjk víi Pkm, råi céng l¹i theo k (nh− trªn ®· chØ ra hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm xk = Pk)

xm =N∑

k=0

xkPkm =N∑

k=0

N∑

j=0

xjPjkPkm =N∑

j=0

xjP(2)jk

TiÕp tôc ph−¬ng ph¸p ®ã, ta ®−îc

xk =N∑

j=0

xjP(n)jk →

N∑

j=0

xjPk = Pk, k = 0, 1, ...,N

NÕu kÝ hiÖu A =

P0 P1 · · · PN−1 PN

P0 P1 · · · PN−1 PN

· · · · · · · · · · · · · · ·P0 P1 · · · PN−1 PN

khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh X = XΠ cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn

AΠ = A = ΠA. (§¼ng thøc T = ΠT hiÓn nhiªn ®óng víi mäi T ).3. NÕu ma trËn chuyÓn çc x¸c suÊt Π hai lÇn stochastic ( tång çc phÇn tö n»m ë çc cét ®Òu b»ng 1). Khi ®ã dÔdµng kiÓm tra thÊy

Pk =1

N + 1, k = 0, 1, 2, ...,N

còng tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh, theo chøng minh trªn nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. VËy giíi h¹n x¸c suÊt ph©n bè ®Òutrªn tËp çc tr¹ng th¸i 0, 1, 2, ...,N .

Bµi tËp 9

Quay trë l¹i vÝ dô 8 víi ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn

Π =(

1− λ λµ 1− µ

)

Ta còng cã thÓ tÝnh Πn b»ng ph−¬ng ph¸p kh¸c sö dông ®a thøc ®Æc tr−ng p(x) (khi ®ã p(x) lµ ®a thøc kh«ng cña A:p(A) = O)

p(x) = 1− λ− µ + (λ + µ − 2)x + +x2 = (x − 1)(x + λ + µ− 1)

52

Chia xn cho p(x) ®Ó t×m ®a thøc d− (®a thøc d− còng lµ ®a thøc kh«ng): xn = p(x)q(x)+ax+b, vËy a, b lµ nghiÖm

cña hÖ ph−¬ng tr×nh

a + b = 1a(1− λ− µ) + b = (1− λ− µ)n

⇒

a = 1−(1−λ−µ)n

λ+µ

b = λ+µ−1+(1−λ−µ)n

λ+µ

VËy

Πn = aΠ + bI =





λ+µ

)

Do 0 < λ, µ < 1 suy ra |λ + µ| < 2 hay |1− λ − µ| < 1 nªn

Πn =





λ+µ

)→

(µ

λ+µλ

λ+µµ

λ+µλ

λ+µ

)khi n→ +∞

Chó ý r»ng nÕu ®Ó chØ tÝnh giíi h¹n x¸c xuÊt P0, P1 ta cã thÓ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh X = XΠ

x1 + x2 = 1(1− λ)x1 + µx2 = x1

λx1 + (1− µ)x2 = x2

⇒

x1 = µ

λ+µ

x2 = λλ+µ

§Æc biÖt víi λ = µ = 14 , ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn: Π =

(34

14

14

34

)cã tæng çc cét b»ng 1, suy ra Πn −→

(12

12

12

12

)

Bµi tËp 10

Thêi tiÕt trªn mét hßn ®¶o kh¸ ®Æc biÖt, kh«ng khi nµo cã 2 ngµy trêi n¾ng liªn tiÕp. NÕu h«m nay trêi n¾ng thêitiÕt ngµy mai sÏ l¹nh h¬n: hoÆc cã tuyÕt r¬i hoÆc trêi m−a víi x¸c suÊt nh− nhau. NÕu h«m nay trêi m−a (hoÆc cãtuyÕt r¬i), thêi tiÕt ngµy h«m sau hoÆc sÏ kh«ng thay ®æi víi x¸c suÊt 1

2 hoÆc thay ®æi thµnh mét trong 2 tr¹ng th¸icßn l¹i víi kh¶ n¨ng nh− nhau. Çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn

Π =

M−a

N¾ng

TuyÕt

M−a N¾ng TuyÕt

12

14

14

12

0 12

14

14

12

Ta gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau ®Ó t×m giíi h¹n çc x¸c suÊt limn→∞

P(n)ij

x1 + x2 + x3 = 112x1 + 1

2x2 + 14x3 = x1

14x1 + 1

4x3 = x2

14x1 + 1

2x2 + 1

2x3 = x3

⇒ x1 =25, x2 =

15, x3 =

25

Bµi tËp 11

T¹i mét ®Þa ph−¬ng nä ng−êi ta cã truyÒn thèng mçi b÷a ¨n hä chØ ¨n thÞt hoÆc chØ ¨n ç, hoÆc ¨n chay (rau) ®ångthêi 2 b÷a ¨n liªn tiÕp bao giê còng ®æi mãn. NÕu b÷a tr−íc ¨n thÞt, b÷a ¨n tiÕp theo sÏ ¨n ç víi x¸c suÊt p vµ ¨nchay víi x¸c suÊt q = 1− p. NÕu b÷a tr−íc ¨n ç, b÷a ¨n tiÕp theo sÏ ¨n chay víi x¸c suÊt p vµ ¨n thÞt víi x¸c suÊtq. Cßn nÕu b÷a nµy ¨n chay, b÷a tiÕp theo sÏ ¨n thÞt víi x¸c suÊt p vµ ¨n rau víi x¸c suÊt q. (§Ó dÔ nhí ta chó ý çcmãn ¨n thÞt, ç, rau ®−îc s¾p xÕp vßng trßn theo thø tù thÞt → ç → rau → thÞt. KÝ hiÖu E1, E2, E3 t−¬ng øng víiçc tr¹ng th¸i ¨n thÞt, ¨n ç, vµ ¨n rau. Tõ mét tr¹ng th¸i bÊt k×, x¸c suÊt chuyÓn sang tr¹ng th¸i tiÕp theo lµ p vµx¸c suÊt chuyÓn sang tr¹ng th¸i tr−íc nã b»ng q). Chóng lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn

Π =E1

E2

E3

0 p qq 0 pp q 0

DÔ dµng nhËn thÊy çc phÇn tö cña ma trËn Π2 lu«n lu«n d−¬ng (p(2)ii > p

(1)ik p

(1)ki > 0, p

(1)12 > p

(1)13 p

(1)32 > 0). Çc cét

cña ma trËn chuyÓn cã tæng b»ng 1. VËy çc giíi h¹n x¸c suÊt

P1 = limn→∞

P(n)i1 =

13, P2 = lim

n→∞P

(n)i2 =

13, P3 = lim

n→∞P

(n)i3 =

13

Bµi tËp

53

1. H·y t×m ma trËn chuyÓn x¸c suÊt Πn sau n b−íc. NÕu π0 = (25 , 1

5 , 25) lµ ph©n bè x¸c suÊt ban ®Çu cña çc tr¹ng

th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt. H·y t×m ph©n bè x¸c suÊt sau 2 ngµy cña çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt.

2. NÕu h«m nay trêi n¾ng, tr¹ng th¸i thêi tiÕt nµo (M−a, N¾ng, TuyÕt) cña ngµy kia cã nhiÒu kh¶ n¨ng x¶y ra nhÊt?

Lêi gi¶i

1. T×m Πn nh− trong vÝ dô 1, ®a thøc ®Æc tr−ng p(λ) = (1 − λ)(λ2 − 116). Çc vÐc t¬ riªng t−¬ng øng víi çc trÞ

riªng λ1 = 1, λ2 = −14, λ3 = 1

4lµ çc cét cña ma trËn T =

1 1 −11 −4 01 1 1

. Tõ ®©y suy ra

Πn =110

4 + (−1)n+54n 2− 2 (−1)n

4n 4 + (−1)n−54n

4− 4 (−1)n

4n 2 + 2 (−1)n

4n−1 4− 4 (−1)n

4n

4 + (−1)n−54n 2− 2 (−1)n

4n 4 + (−1)n+54n

, T−1 =110

4 2 41 −2 1−5 0 5

Ph©n bè x¸c suÊt sau 2 ngµy cña çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt biÕt ph©n bè x¸c suÊt ban ®Çu π0

(25

15

25

)Π2 =

116(

25

15

25

)

7 3 66 4 66 3 7

=

180(32 16 32

)

2. Tõ ma trËn Π2 nÕu h«m nay trêi n¾ng, kh¶ n¨ng ngµy kia trêi còng n¾ng Ýt x¶y ra nhÊt.

Bµi tËp XÐt mét lang thang ngÉu nhiªn xuÊt ph¸t tõ ξ0 = 0 trªn tËp çc sè nguyªn T = −5,−4, · · · , 4, 5. Sau mçib−íc nã dÞch chuyÓn sang ph¶i víi x¸c suÊt p vµ dÞch chuyÓn sang tr¸i víi x¸c suÊt q = 1− p. (Gi¶ thiÕt −5 vµ 5 lµçc t−êng ph¶n x¹). Gäi ξn lµ vÞ trÝ cña ®iÓm lang thang sau n b−íc. Chøng tá r»ng ηn = ξ2n

2còng lËp thµnh xÝch

Markov trªn tËp çc tr¹ng th¸i −2,−1, 0, 1, 2. H·y viÕt ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn cña ηn. T×m çc giíi h¹n x¸csuÊt Pj = limn→∞ P

(n)ij cña nã khi p = 0.5.

Bµi tËp XÐt bµi to¸n lang thang ngÉu nhiªn trªn tËp çc sè nguyªn T = −1, 0, 1, 2 víi −1 vµ 2 lµ çc t−êng ch¾n.Ma trËn chuyÓn cã d¹ng nh− sau

Π =

0 1 0 014

12

14

00 1

412

14

0 0 1 0

Chøng minh ®©y lµ xÝch Markov ergodic. T×m ph©n bè giíi h¹n x¸c suÊt.

17 XÝch Markov h÷u h¹n

17.1 Ph©n lo¹i çc tr¹ng th¸i cña xÝch Markov

§Þnh nghÜa 11 §èi víi mét xÝch Markov, tr¹ng th¸i i cã thÓ chuyÓn qua tr¹ng th¸i k (kÝ hiÖu i → k hoÆc k← i), nÕutån t¹i sè tù nhiªn m > 0 sao cho P

(m)ik > 0. XÐt trªn tËp çc tr¹ng th¸i i cã thÓ chuyÓn qua chÝnh nã, i ∼ k nÕu i → k

vµ k → i. Nh− vËy ta cã quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp çc tr¹ng th¸i võa nãi.Mét tr¹ng th¸i ®−îc gäi lµ tr¹ng th¸i thùc nÕu nã t−¬ng ®−¬ng víi tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i mµ nã cã thÓ chuyÓn qua.

Çc tr¹ng th¸i kh¸c ®−îc gäi lµ çc tr¹ng th¸i kh«ng thùc.NÕu mét líp t−¬ng ®−¬ng nµo ®ã gåm mét phÇn tö duy nhÊt k, khi ®ã k ®−îc gäi lµ tr¹ng th¸i hót.

Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy çc tr¹ng th¸i kh«ng thùc sÏ dÇn dÇn kh«ng xuÊt hiÖn theo thêi gian trong qu¸ tr×nhchuyÓn ®æi çc tr¹ng th¸i cña hÖ thèng. Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng nãi trªn x¸c ®Þnh çc líp t−¬ng ®−¬ng. Chóng cã çctÝnh chÊt sau

1. NÕu mét líp t−¬ng ®−¬ng nµo ®ã chøa mét tr¹ng th¸i thùc, khi ®ã tÊt c¶ çc phÇn tö cña líp t−¬ng ®−¬ng ®ã ®Òulµ çc tr¹ng th¸i thùc.

2. NÕu i vµ j lµ 2 tr¹ng th¸i thùc cña hai líp t−¬ng ®−¬ng kh¸c nhau, khi ®ã

P(n)ij = 0, n = 1, 2, ...

54

3. k lµ tr¹ng th¸i hót khi vµ chØ khi P(1)kk = Pkk = 1.

4. Víi j lµ tr¹ng th¸i kh«ng thùc, khi ®ã víi bÊt k× tr¹ng th¸i i

limn→∞

P(n)ij = 0. (20)

Do j lµ tr¹ng th¸i kh«ng thùc, nªn tån t¹i k sao cho víi n thÝch hîp P(n)jk > 0 vµ P

(m)kj = 0 víi mäi m = 1, 2, ....

XÐt tr−êng hîp d·y P(n)ij kh«ng ®ång nhÊt víi 0, tån t¹i n0 ®Ó P

(n0)ij > 0. Suy ra P

(n0+n)ik > P

(n0)ij P

(n)jk > 0 hay

tån t¹i n1(= n0 + n) ®Ó P(n1)ik > 0. XÐt

max(i)

P(n1+m)ij = max

(i)

∞∑

l=0

P(n1)il P

(m)lj 6 [max

(l)P

(m)lj ](1− P

(n1)ik ) = [max

(i)P

(m)ij ](1− P

(n1)ik )

LÆp l¹i lËp luËn trªn

max(i)

P(n1+n1+m)ij = max

(i)

∞∑

l=0

P(n1)il P

(n1+m)lj 6 [max

(l)P

(n1+m)lj ](1− P

(n1)ik ) 6 [max

(i)P

(m)ij ](1− P

(n1)ik )2

Cø tiÕp tôc ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

max(i)

P(rn1+m)ij 6 (1 − P

(n1)ik )r → 0 khi r →∞

§Þnh nghÜa 12 §−a vµo çc kÝ hiÖu

f(n)ij = P (ξn = j, ξν 6= j, 1 6 ν < n/ξ0 = i), f∗

ij =∞∑

n=1

f(n)ij

Tr¹ng th¸i k ®−îc gäi lµ tr¹ng th¸i quay trë l¹i nÕu f∗kk = 1.

NhËn xÐt r»ng f(n)ij lµ x¸c suÊt ®Ó hÖ thèng tõ tr¹ng th¸i i lÇn ®Çu tiªn chuyÓn sang tr¹ng th¸i j sau n b−íc. NÕu kÝ

hiÖu T lµ thêi gian quay trë l¹i. Ng−êi ta chøng minh ®−îc kÕt qu¶ sau

§Þnh lÝ 4 Tr¹ng th¸i i lµ tr¹ng th¸i quay trë l¹i, khi vµ chØ khi chuçi∑∞

k=0 P(k)ii ph©n k× vµ

P(n)ii →

1µ

khi n→∞ trong ®ã µ = E(T ).

Tõ vÝ dô 3 theo kÕt qu¶ nµy, ta kh¼ng ®Þnh nÕu h«m nay trêi n¾ng, trung b×nh ph¶i ®îi 5 ngµy n÷a ®Ó cã n¾ng trë l¹i.

17.2 XÝch Markov hót

B©y giê ta chØ xÐt çc xÝch Markov h÷u h¹n tr¹ng th¸i, cã çc tr¹ng th¸i hót ®ång thêi tõ mét tr¹ng th¸i bÊt k× kh«nglµ tr¹ng th¸i hót cã thÓ ®¹t ®Õn mét tr¹ng th¸i bÊt k× kh¸c. (Çc tr¹ng th¸i kh«ng lµ tr¹ng th¸i hót t¹o thµnh mét lípt−¬ng ®−¬ng). VÝ dô sau cã mét tr¹ng th¸i hót.

Bµi tËp 12

XÐt bµi to¸n lang thang ngÉu nhiªn trªn tËp çc sè nguyªn T = 1, 2, 3, 4,5 víi 1 lµ t−êng ph¶n x¹ (t−êng ch¾n), cßntr¹ng th¸i 5 lµ tr¹ng th¸i hót. Ma trËn chuyÓn cã d¹ng nh− sau

Π =

0 1 0 0 0

12 0 1

2 0 0

0 12 0 1

2 0

0 0 12

0 12

0 0 0 0 1

HiÓn nhiªn

55

1. NÕu i lµ tr¹ng th¸i hót, khi ®ã Pii = 1 vµ P(n)ii = 1 víi mäi n.

2. NÕu i kh«ng lµ tr¹ng th¸i hót, khi ®ã i kh«ng quay trë l¹i.

ThËt vËy tån t¹i tr¹ng th¸i hót v vµ sè tù nhiªn n ®Ó P(n)iv > 0 vµ P

(m)vi = 0 víi mäi m. Gäi A lµ biÕn cè hÖ sÏ

quay l¹i i mét lóc nµo ®ã, Bk lµ biÕn cè hÖ sÏ chuyÓn tõ i tíi tr¹ng th¸i k sau n b−íc. (k biÕn thiªn trªn toµnbé tËp çc tr¹ng th¸i gåm N tr¹ng th¸i cña xÝch Markov. Khi ®ã Bk, k = 1, ..., N lËp thµnh hÖ ®Çy ®ñ).

f∗ii = P (A) =

N∑

k=1

P (A/Bk)P (Bk) = P (A/Bν)P (Bν) +∑

k 6=ν

P (A/Bk)P (Bk) =∑

k 6=ν

P (A/Bk)P (Bk)

f∗ii =

∑

k 6=ν

P (A/Bk)P (Bk) 6∑

k 6=ν

P (Bk) < 1 do P (Bν) = P(n)iv > 0

3. NÕu i, j kh«ng lµ çc tr¹ng th¸i hót (kh«ng quay trë l¹i), khi ®ã chóng lµ tr¹ng th¸i kh«ng thùc vµ do vËy theo(20), lim

n→∞P

(n)ij = 0.

§Ó minh häa çc tÝnh chÊt trªn, xÐt mét vÝ dô kh¸c víi hai tr¹ng th¸i hót.

Bµi tËp 13

Lang thang ngÉu nhiªn trªn tËp çc sè nguyªn T = 1, 2, 3, 4, 5 víi 1 vµ 5 lµ tr¹ng th¸i hót. Ma trËn chuyÓn cãd¹ng nh− sau

Π =

12345

1 0 0 0 0q 0 p 0 00 q 0 p 00 0 q 0 p0 0 0 0 1

Tr−êng hîp p = q = 12 , ma trËn chuyÓn cã d¹ng

Π =

1 0 0 0 012

0 12

0 00 1

20 1

20

0 0 12

0 12

0 0 0 0 1

Theo tÝnh chÊt (20), limn→∞

P(n)ij = 0 víi j = 2, 3, 4 (2 cét ®Çu vµ cuèi cña ma trËn giíi h¹n d−íi ®©y sÏ ®−îc tÝnh

trong môc nµy. Tr−íc m¾t ta cã thÓ kiÓm tra b»ng çc phÇn mÒm tÝnh to¸n nh− Excel, Mathematica...)

Πn →

1 0 0 0 00.75 0 0 0 0.250.5 0 0 0 0.50.25 0 0 0 0.750 0 0 0 1

khi n→∞. (21)

§Ó dÉn vµo kh¸i niÖm ma trËn c¬ së cña xÝch Markov hót, ng−êi ta chia matrËn Π thµnh çc d¹ng khèi(

I OR Q

),

trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ, O lµ ma trËn kh«ng. Ch¼ng h¹n ë vÝ dô trªn sau khi ®æi hµng, cét

Π =

15

234

1 0 | 0 0 00 1 | 0 0 0−− −− −− −− −−q 0 | 0 p 00 0 | q 0 p0 p | 0 q 0

I =(

1 00 1

)Q =

0 p 0q 0 p0 q 0

Ma trËn Q ®ãng vai trß quan träng trong xÝch Markov hót. Nã cã tÝnh chÊt sau

Πn =(

I OR Q

)n

=(

I OR∗ Qn

)⇒ Qn = (P (n)

ij ) ∀i, j lµ çc tr¹ng th¸i kh«ng hót.

Dùa theo tÝnh chÊt (20), ma trËn Qn tiÕn tíi O khi n→∞. Ta cã bæ ®Ò sau

56

Bæ ®Ò 1 Víi Qn → O, ma trËn I − Q kh¶ nghÞch vµ

(I −Q)−1 = I + Q + Q2 + · · · =∞∑

i=0

Qi.

§Þnh nghÜa 13 Ma trËn N = (I −Q)−1 ®−îc gäi lµ ma trËn c¬ së cña xÝch Markov.

17.2.1 Thêi gian trung b×nh ®Ó hÖ thèng ®¹t tíi çc tr¹ng th¸i hót vµ kh«ng hót

§Þnh nghÜa 14 Gäi T lµ tËp çc tr¹ng th¸i kh«ng quay l¹i, víi j ∈ T , kÝ hiÖu

ukj =

1 nÕu sau k b−íc hÖ thèng ë tr¹ng th¸i j,0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i.

HiÓn nhiªn khi ®ã

νj =∞∑

k=0

ukj

lµ sè b−íc ®Ó hÖ thèng b−íc vµo tr¹ng th¸i j.

Ta cã ®Þnh lÝ

§Þnh lÝ 5 Víi mäi i, j ∈ T ma trËnEi(νj) = N.

Ei(νj) lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña νj víi ®iÒu kiÖn hÖ thèng ®ang ë tr¹ng th¸i i.

Chøng minh. Sö dông ®Þnh lÝ k× väng cã ®iÒu kiÖn (víi quy −íc P(0)ii = 1)

Ei(νj) = E(νj/ξ0 = i) =∑

k

PikE(νj/ξ0 = i, ξ1 = k) =∑

k

PikE(νj/ξ1 = k) = δij +∑

k∈T

PikEk(νj)

Suy ra ma trËn Ei(νj) = I + Q · Ei(νj) ⇒ Ei(νj) = (I −Q)−1 = N.

NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ kh¼ng ®Þnh çc phÇn tö cña ma trËn c¬ së N chÝnh lµ thêi gian trung b×nh ®Ó hÖ thèngchuyÓn tõ tr¹ng th¸i i sang tr¹ng th¸i j.Chó ý r»ng tõ ®Þnh nghÜa cña νj ta thÊy

t =∑

j∈T

νj, víi T lµ tËp çc tr¹ng th¸i kh«ng quay l¹i,

lµ thêi gian ®Ó hÖ ®i tíi çc tr¹ng th¸i kh«ng quay l¹i (kÓ c¶ vÞ trÝ ®Çu). Do vËy nã còng lµ sè b−íc ngay tr−íc khi hÖthèng b−íc vµo tr¹ng th¸i hót. VËy sè b−íc trung b×nh ®Ó hÖ thèng chuyÓn vµo tr¹ng th¸i hót

Ei(t) =∑

j∈T

Ei(νj)⇒ E(t) = N.e, e lµ vÐc t¬ gåm toµn çc sè 1.

KÝ hiÖu τ = N.e, τ lµ tæng çc hµng cña ma trËn N .Quay l¹i vÝ dô 13 ë trªn, lang thang ngÉu nhiªn trªn tËp çc sè nguyªn T = 1, 2, 3, 4, 5 víi 1 vµ 5 lµ tr¹ng th¸i

hót, tr−êng hîp p = q = 12

Π =

1 0 0 0 012 0 1

2 0 00 1

2 0 12 0

0 0 12 0 1

20 0 0 0 1

⇒ Q =

234

0 12 0

12 0 1

20 1

2 0

N = (I − Q)−1 =234

32

1 12

1 2 112 1 3

2

, τ =

343

Chóng ta thÊy nÕu hÖ thèng xuÊt ph¸t tõ tr¹ng th¸i 3, trung b×nh sau 2 b−íc hÖ thèng quay trë l¹i 3, trong khi tõtr¹ng th¸i 4, sè b−íc trung b×nh ®Ó hÖ thèng trë vÒ 2 lµ 1

2 . §iÒu ®ã cã thÓ lÝ gi¶i bëi tr¹ng th¸i 4 ”qu¸ gÇn” tr¹ng th¸ihót 5.

57

Tõ vÐc t¬ τ , ta còng ®äc ®−îc thêi gian trung b×nh ®Ó hÖ thèng xuÊt ph¸t tõ tr¹ng th¸i 3 ”lang thang” gi÷a çctr¹ng th¸i 2, 3, 4 lµ 4 b−íc. §ã còng lµ sè b−íc trung b×nh ®Ó hÖ thèng bÞ hót tõ tr¹ng th¸i 3.

VÝ dô 13, tr−êng hîp p = 23, q = 1

3, N =

234

75

65

45

35

95

65

15

35

75

, τ =

175185115

Nh− vËy trung b×nh sau 75 b−íc hÖ thèng tõ tr¹ng th¸i 2 l¹i quay l¹i ®óng tr¹ng th¸i 2 ®ã (Chó ý r»ng do quy −íc

P(0)ii = 1, sè b−íc trung b×nh tõ mét tr¹ng th¸i vÒ chÝnh nã bao giê còng kÓ tíi vÞ trÝ ban ®Çu). Còng tõ ma trËn N , ta®äc ®−îc hÖ thèng tõ tr¹ng th¸i 2 chuyÓn sang tr¹ng th¸i 3 trung b×nh mÊt 6

5 b−íc. HÖ thèng tõ tr¹ng th¸i 4 chuyÓnsang tr¹ng th¸i 2 trung b×nh mÊt 1

5 b−íc. §iÒu ®ã còng phï hîp víi thùc tÕ: víi x¸c suÊt cao h¬n tõ tr¹ng th¸i 4 hÖthèng chuyÓn sang tr¹ng th¸i hót 5.Bµi tËp Chøng minh r»ng trong tr−êng hîp tæng qu¸t ma trËn c¬ së cña vÝ dô 13

N = (I −Q)−1 =234

p+q2

p2+q2p

p2+q2p2

p2+q2q

p2+q21

p2+q2p

p2+q2

q2

p2+q2q

p2+q2q+p2

p2+q2

17.2.2 X¸c suÊt ®Ó hÖ thèng ®¹t tíi çc tr¹ng th¸i hót

§Þnh lÝ 6 Gäi T lµ tËp çc tr¹ng th¸i kh«ng quay l¹i vµ T lµ tËp çc tr¹ng th¸i hót. KÝ hiÖu bij, i ∈ T, j ∈ T lµ x¸csuÊt ®Ó hÖ thèng ®i tõ tr¹ng th¸i i (kh«ng quay l¹i) tíi tr¹ng th¸i j (tr¹ng th¸i hót). Khi ®ã

B = bij = NR, i ∈ T, j ∈ T

Chøng minh. Ta biÕt r»ng bkj = 0 nÕu k ∈ T , suy ra

bij = Pij +∑

k∈T

Pikbkj hay B = R + QB ⇔ B = (I −Q)−1R = NR.

Quay l¹i vÝ dô 13, tr−êng hîp p = q = 12

R =

12 00 00 1

2

, N =

32 1 1

21 2 112 1 3

2

⇒ B = NR =

34

14

12

12

14

34

§©y lµ kÕt qu¶ ®· nh¾c ®Õn ë cuèi vÝ dô 13 (21).Tr−êng hîp p = 2

3 , q = 13

R =

13 00 00 2

3

, N =

75

65

45

35

95

65

15

35

75

⇒ B = NR =

715

815

15

45

115

1415

Chó ý r»ng nÕu ta më réng ma trËn B∗ =(

I 0B 0

), çc phÇn tö b∗ij cña ma trËn lµ x¸c suÊt ®Ó hÖ thèng ®i tõ tr¹ng

th¸i i tíi tr¹ng th¸i j. Khi ®ã hiÓn nhiªn limn→∞ Πn = B∗

ΠB∗ =(

I 0R Q

)(I 0B 0

)=(

I 0R + QB 0

)=(

I 0B 0

)= B∗

Víi vÝ dô 13, tr−êng hîp p = q = 12

B∗ =

15234

1 5 2 3 4

1 0 0 0 00 1 0 0 0

3/4 1/4 0 0 01/2 1/2 0 0 01/4 3/4 0 0 0

Bµi tËp 14

58

XÐt mét vÝ dô kh¸c. Gi¶ thiÕt r»ng hµng n¨m sinh viªn ë mét tr−êng ®¹i häc bÞ buéc th«i häc víi x¸c suÊt p, x¸c suÊt®Ó mét sinh viªn häc l¹i víi kho¸ sau b»ng q vµ r lµ x¸c suÊt ®Ó sinh viªn ®ã häc tiÕp. KÝ hiÖu s1 lµ tr¹ng th¸i sinhviªn theo häc n¨m thø nhÊt, s2 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn theo häc n¨m thø hai,..., s4 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn theo häcn¨m thø t− (n¨m cuèi cïng). KÝ hiÖu tiÕp s5 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn bÞ buéc th«i häc vµ s6 lµ tr¹ng th¸i sinh viªn tètnghiÖp ra tr−êng. Chóng lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn:

Π =

s5s6s4s3s2s1

s5 s6 s4 s3 s2 s1

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0p r q 0 0 0p 0 r q 0 0p 0 0 r q 0p 0 0 0 r q

⇒ N = (I − Q)−1 =

1p+r 0 0 0

r(p+r)2

1p+r 0 0

r2

(p+r)3r

(p+r)21

p+r0

r3

(p+r)4r2

(p+r)3r

(p+r)21

p+r

Víi p = 0, 2, q = 0, 1, r = 0, 7

N =

s4s3s2s1

1, 111 0 0 00, 864 1, 111 0 00, 672 0, 864 1, 111 00, 523 0, 672 0, 864 1, 111

Çc sè 0 trong ma trËn N kh¼ng ®Þnh hÖ thèng kh«ng bao giê ®¹t tíi, ch¼ng h¹n sinh viªn n¨m thø ba sÏ kh«ng quayvÒ n¨m thø nhÊt hoÆc thø hai.

R =

0.2 0.70.2 00.2 00.2 0

⇒ B = NR =

0.2 0.70.2 00.2 00.2 0

1, 111 0 0 00, 864 1, 111 0 00, 672 0, 864 1, 111 00, 523 0, 672 0, 864 1, 111

Ma trËn B cho ta x¸c suÊt ®Ó mét häc sinh bÞ buéc th«i häc hoÆc tèt nghiÖp ra tr−êng

B =s4s3s2s1

s5 s6

0.22 0.780.395 0.6050.53 0.470.634 0.366

Nh×n vµo kÕt qu¶ trªn ta thÊy x¸c suÊt ®Ó mét häc sinh n¨m thø nhÊt bÞ buéc th«i häc kh¸ cao: 0.634, còng nh− x¸csuÊt ®Ó mét häc sinh n¨m cuèi tèt nghiÖp ra tr−êng b»ng 0.78

§Þnh nghÜa 15 Mét xÝch Markov h÷u h¹n tr¹ng th¸i víi Π lµ ma trËn çc x¸c suÊt chuyÓn ®−îc gäi lµ xÝch Markov®Òu nÕu nÕu tån t¹i sè tù nhiªn N sao cho mäi phÇn tö cña ma trËn ΠN ®Òu kh¸c 0.

NhËn xÐt r»ng víi mét xÝch Markov ®Òu, tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i cña nã ®Òu lµ çc tr¹ng th¸i quay trë l¹i. Tõ ®Þnh lÝ c¬b¶n 3 suy ra

§Þnh lÝ 7 §èi víi mçi xÝch Markov ®Òu, limn→∞

Πn = A (A lµ ma trËn x¸c suÊt cã çc hµng gièng nhau). NÕu kÝ hiÖu

α = (α1, α2, ..., αk) lµ mét hµng cña A, khi ®ã

αΠ = α, ΠA = AΠ = A.

Çc kÕt qu¶ liªn quan ®Õn xÝch Markov ®Òu ®−îc chøng minh t−¬ng tù nh− xÝch Markov hót. Trong môc nµy chóngta chØ ®−a ra çch tÝnh thêi gian trung b×nh mij = Ei(fj) ®Ó hÖ thèng chuyÓn tõ tr¹ng th¸i i vÒ tr¹ng th¸i j b»ngçch sö dông çc kÕt qu¶ tõ xÝch Markov hót.

XÐt çc bµi tËp sau

1. Çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn

Π =

M−a

N¾ng

TuyÕt

M−a N¾ng TuyÕt

12

12 0

12 0 1

2

0 12

12

59

Do ma trËn chuyÓn çc x¸c suÊt Π hai lÇn stochastic ( tång çc phÇn tö n»m ë çc cét ®Òu b»ng 1). Khi ®ã giíi h¹nx¸c suÊt ph©n bè ®Òu trªn tËp çc tr¹ng th¸i.

P1 = limn→∞

P(n)i1 =

13, P2 = lim

n→∞P

(n)i2 =

13, P3 = lim

n→∞P

(n)i3 =

13

2. Çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt lËp thµnh xÝch Markov víi ma trËn chuyÓn

Π =

M−a

N¾ng

TuyÕt

M−a N¾ng TuyÕt

15

45

0

15 0 4

5

0 15

45

Ph©n bè x¸c suÊt giíi h¹n trªn tËp çc tr¹ng th¸i M−a, N¾ng, TuyÕt: ( 121 , 4

21 , 1621).

Ta cã thÓ tÝnh thêi gian trung b×nh tõ tr¹ng th¸i nµy ®Õn tr¹ng th¸i kh¸c b»ng çch chuyÓn vÒ xich Markov hót.• Xem M−a lµ tr¹ng th¸i hót

Q = N¾ngTuyÕt

(0 4

515

45

)⇒ N =

(5 205 25

)⇒ τ = E(t) = N · e =

(2530

)

Nh− vËy tõ tr¹ng th¸i N¾ng, trung b×nh ph¶i ®îi 25 ngµy ®Ó cã ngµy M−a gÇn nhÊt vµ tõ tr¹ng th¸i TuyÕt, trung b×nhph¶i ®îi 30 ngµy ®Ó cã ngµy M−a.• Xem N¾ng lµ tr¹ng th¸i hót

Q =M−aTuyÕt

(15

00 4

5

)⇒ N =

(54

00 5

)⇒ τ = E(t) = N · e =

(545

)

• Xem TuyÕt lµ tr¹ng th¸i hót

Q =M−aN¾ng

(15

45

15

0

)⇒ N =

(2516

54

516

54

)⇒ τ = E(t) = N · e =

(45162516

)

NhËn xÐt r»ng víi xÝch Markov ®Òu, x¸c suÊt bij ®Ó hÖ thèng tõ tr¹ng th¸i i sang tr¹ng th¸i j lu«n b»ng 1. Ta còng cãthÓ kiÓm tra ®iÒu ®ã ë ®©y b»ng ®Þnh lÝ 6.

60

Documents

Xs cao hochsn