Embed Size (px)
Citation preview
1
XV. Difuzija in prevajanje toplote
15.1 Difuzijski koeficient
V prejšnjih poglavjih smo obravnavali lastnosti teles v termodinamskem ravnovesju. V tem
poglavju bomo opisali dinamične procese, ki telo privedejo v ravnovesno stanje. Kakor smo
ţe povedali, so spremembe, pri katerih telo ali snov doseţe stanje toplotnega ravnovesja,
ireverzibilne spremembe.
Vzemimo raztopino, v kateri je koncentracija topljenca na različnih mestih različna.
Termično gibanje molekul povzroči mešanje raztopine in s tem spreminjanje koncentracije
topljenca: topljenec se prerazdeli z mest z visoko koncentracijo na mesta z nizko
koncentracijo. Proces teče toliko časa, dokler koncentracija ni enaka po celotni raztopini.
Temu pojavu pravimo difuzija.
Da bo matematična obravnava difuzije čim bolj enostavna, privzemimo, da se
koncentracija raztopine c spreminja le vzdolţ koordinatne osi x. Gostoto difuzijskega toka j
definiramo kot mnoţino topljenca, ki se v časovni enoti prenese skozi enoto površine, ki je
pravokotna na os x. Difuzijski tok v smeri pozitivne osi x bomo šteli pozitivno, v nasprotni
smeri pa negativno. Ker snov teče od mesta z višjo koncentracijo na mesto z niţjo
koncentracijo, je predznak difuzijskega toka nasproten predznaku koncentracijskega
gradienta dc/dx. Če koncentracija narašča od leve proti desni, je difuzijski tok v nasprotni
smeri—od desne proti levi. Če je dc/dx = 0, je koncentracija raztopine povsod enaka in ni
difuzije.
Kar smo povedali zgoraj, zapišemo v matematični obliki z naslednjo enačbo:
dx
dcDj . (15.1)
Konstanta D se imenuje difuzijski koeficient. Gostoto difuzijskega toka lahko definiramo na
več načinov: na primer kot maso topljenca, ki se v časovni enoti prenese skozi enoto površine,
ali kot število molekul topljenca in podobno. Pri tem moramo definirati koncentracijo na enak
način, tj. kot maso ali število molekul topljenca na enoto prostornine raztopine in podobno.
Na ta način difuzijski koeficient ni odvisen od tega, kako definiramo difuzijski tok in
koncentracijo raztopine.
Enoto za difuzijski koeficient določimo na naslednji način. Naj bo gostota difuzijskega
toka j definirana kot število molekul topljenca, ki se prenese v časovni enoti skozi enoto
površine, ki je pravokotna na smer toka. Torej je [j] = 1/m2s. Koncentracijo potem izrazimo
kot število molekul na enoto prostornine, tj. [c] = 1/m3. Tako imamo
12
4
2
smm/1
sm/1
/
dxdc
jD .
Upoštevali smo, da je edini mehanizem, ki povzroča spreminjanje koncentracije, termično
gibanje molekul, tako da v raztopini ni nobenih makroskopskih tokov ali kakšnega drugega
mešanja raztopine.
Do takšnega mešanja lahko pride zaradi sile teţe. Če alkohol, ki je laţji od vode,
previdno zlijemo v posodo, v kateri je voda, se bosta kapljevini mešali z difuzijo. Če pa vodo
zlijemo na alkohol, se bosta kapljevini veliko hitreje zmešali zaradi sile teţe kakor zaradi
2
difuzije. Zaradi teţe se namreč teţja voda spušča, laţji alkohol pa dviga in v posodi se
pojavijo konvekcijski tokovi.
15.2 Prevajanje toplote
Mehanizem prevajanja toplote je podoben difuziji. Če je temperatura različnih delov telesa
različna, se pojavijo toplotni tokovi in toplota teče s toplejših mest k hladnejšim toliko časa,
dokler se temperatura ne izenači. Mehanizem prevajanja toplote je zopet termično gibanje
molekul: molekule na toplih delih telesa, kjer je termično gibanje bolj ţivahno, trkajo z
molekulami sosednjih hladnejših delov in jim pri tem oddajajo del svoje kinetične energije.
Tako se kinetična energija termičnega gibanja prenaša s toplejših delov k hladnejšim delom
telesa.
Tako kot pri difuziji bomo privzeli, da snov kot celota miruje in da v njej ni
konvekcijskih tokov. Brez škode lahko tudi privzamemo, da se temperatura spreminja le v eni
smeri, ki jo izberemo kot smer osi x. Gostota toplotnega toka q je definirana kot mnoţina
toplote, ki se prenese v časovni enoti skozi enoto površine, ki je pravokotna na smer, v kateri
se spreminja temperatura, to je na smer osi x. Tako kot je difuzijski tok sorazmeren z
gradientom koncentracije, je tudi toplotni tok q sorazmeren z gradientom temperature dT/dx,
dx
dTq . (15.2)
Predznak minus v zgornji enačbi nas zopet opozarja, da je smer toplotnega toka nasprotna
smeri, v kateri narašča temperatura. To je v skladu s tem, kar smo ţe povedali, da namreč
toplota teče sama od sebe v smeri pojemajoče temperature. Koeficient je lastnosti snovi in
se imenuje toplotna prevodnost. Čim večji je , tem bolje snov prevaja toploto. Ker je enota
za gostoto toplotnega toka [q] = J/m2s = W/m
2, sledi
[] =
Km
W
mK
mW
/ 1
2
dxdT
q.
Toplotna prevodnost določa hitrost prevajanja toplote s toplih k hladnejšim delom
telesa. Če temperaturnih razlik v telesu ne vzdrţujemo z zunanjimi viri, se s časom manjšajo
in slej ko prej doseţejo vsi deli telesa enako temperaturo. V splošnem torej velja, da je
temperatura odvisna tako od koordinate x kakor tudi od časa t, to je T = T(x,t) in odvod v
enačbi (15.1) bi pravzaprav morali napisati kot parcialni odvod xT / . Vzemimo palico s
konstantnim presekom S, ki leţi vzdolţ osi x. Izberimo si odsek palice med x in x + dx.
Mnoţina toplote, ki jo ta del palice dobi v časovni enoti, je –S[q(x + dx, t) – q(x, t)]. Na račun
prejete toplote se temperatura tega dela palice spremeni v časovni enoti za t
TdxScp
, kjer
je gostota palice, cp pa specifična toplota pri stalnem tlaku. Tako imamo
x
txT
x
tdxxTS
t
TdxSc p
),(),( .
Izraz v oklepaju na desni strani prepišimo v naslednji obliki,
3
dxx
txT
txTdxx
txTtxT
xtxTtdxxT
xx
txT
x
tdxxT
2
2 ),(
),(),(
),(),(),(),(),(
Ko to vstavimo v prejšnjo enačbo in obe strani enačbe delimo z ρScp dx, sledi
2
2
x
T
ct
T
p
. (15.3)
Enačba (15.3) nam pove, kako se temperatura v palici spreminja zaradi pretakanja
toplote od toplejših mest k hladnejšim. Kako hitro se temperature izenačijo, določa kvocient
pc
,
ki ga imenujemo termična difuzivnost snovi. Enota za to količino je enaka kakor za difuzijski
koeficient, to je
[] = m2/s
in igra podobno vlogo pri izenačevanju temperaturnih razlik v snovi kakor difuzijski
koeficient pri izenačevanju koncentracije topljenca v raztopini.
Tako kakor pri difuziji, lahko tudi pri prevajanju toplote sila teţe povzroči konvekcijske
tokove v neenakomerno segretih tekočinah. Takšni tokovi se pojavijo, če tekočino segrevamo
na spodnji strani ali jo ohlajamo ob vrhnjih plasteh. Pri tem se toplejši in zaradi tega laţji deli
tekočine dvigajo, na njihovo mesto pa se spuščajo hladnejše zgornje plasti. Takšen prenos
toplote je seveda veliko hitrejši kakor toplotno prevajanje ali kondukcija.
Tabela 1: Toplotna prevodnost [W/mK] nekaterih snovi pri sobni temperaturi
Zrak 0,026
Voda 0,6
Led (0 ºC) 2,2
Steklo 0,40,8
Aluminij 202
Baker 380
Ţelezo 75
Svinec 35
Srebro 420
Opeka 0,53
Kakor lahko razberemo iz gornje tabele, imajo kovine veliko toplotno prevodnost. To je
zato, ker se pri kovinah toplota v glavnem prenaša s termičnim gibanjem prostih elektronov,
4
katerih termične hitrosti so reda velikosti 106 m/s, medtem ko so termične hitrosti atomov in
molekul od nekaj 100 m/s do 1000 m/s.
15.3 Toplotni tok v stacionarnem stanju
Vzemimo homogeno palico z dolţino l in stalnim prečnim presekom S (slika 15.1). Nadalje
bomo privzeli, da je temperatura na konceh palice stalna, na enem koncu naj bo T1 na drugem
pa T2 < T1. Toplotna prevodnost snovi je v splošnem odvisna od temperature, a če razlika
temperatur T1 T2 ni prevelika, lahko rečemo, da je konstanten po celotni dolţini palice.
Slika 15.1. Stacionarno stanje pri prevajanju toplote v toplote v palici, ki ima konca pri temperaturah
T1 in T2 < T1, na obodu pa je toplotno izolirana. Na grafu spodaj je prikazana temperatura v odvisnosti
od koordinate x.
Koordinatna os x naj bo vzdolţ palice, koordinatno izhodišče postavimo na konec, kjer
je temperatura T1. Ker sta temperaturi na enem in drugem koncu stalni, se v palici slej ko prej
vzpostavi stacionarno stanje, za katerega je značilno, da je temperatura v palici odvisna le od
koordinate x, nič pa od časa t, tako da je T = T(x), T(0) = T1 in T(l) = T2. Skozi palico tedaj
teče toplotni tok
dx
dTSqSP , (15.4)
ki je neodvisen od koordinate x. Ker je namreč temperatura v plasti neodvisna od časa, mora
biti toplotni tok skozi vsak prečni presek plasti enak. Toplota se nikjer niti ne absorbira niti ne
ustvarja. V nasprotnem primeru, bi se temperatura spreminjala s časom. Če enačbo (15.4)
integriramo, dobimo
xS
PxT
)( + const, (15.5a)
5
ki nam pove, da temperatura v plasti pojema enakomerno (linearno). (To sledi tudi iz enačbe
(15.3), ki se za stacionarno stanje poenostavi v d2T/dx
2 = 0. Od tod sledi rešitev baxT ,
kjer sta a in b konstanti.) Iz robnega pogoja T(0) = T1 sledi const = T1 in gornjo enačbo
prepišemo v obliki
xS
PTT
1 . (15.5b)
Če upoštevamo še drugi robni pogoj T(l) = T2 imamo,
lS
PTT
12 , (15.5c)
In
21 TTl
SP
. (15.6)
Toplotni tok skozi plast je torej sorazmeren s temperaturno razliko med eno in drugo površino
plasti.
Enačbo za prevajanje toplote v stacionarnem stanju(15.4) lahko prepišemo v naslednji
obliki:
dR
dT
S
dx
dTP
, (15.7)
kjer smo zapisali
S
dxdR
. (15.8)
To količino imenujemo toplotno upornost infinitezimalne plasti z debelino dx. Toplotni tok
skozi plast je torej enak kvocientu temperaturne razlike v plasti dT in njene toplotne upornosti
dR, podobno kot to velja za električni tok (Ohmov zakon). Enačbo (15.7) pomnoţimo z dR in
integrirajmo,
l T
T
dTS
dxPdRP
0
2
1
, (15.9)
in dobimo
S
l
TT
R
TTP
2121
. (15.10)
To seveda ni nič drugega kakor enačba (15.6), zapisana na drug način. Toplotni upor R
homogene palice z debelino l in prečnim presekom S je torej enak R = l/S. Enota za toplotni
6
upor pa je [R] = [l]/[S] = m/(Wm-1
K-1
)m2 = K/W. Toplotna upornost palice nam pove,
kolikšna mora biti temperaturna razlika med njenima koncema, da skoznjo teče toplotni tok 1
W.
Kolikšen je toplotni tok skozi planparalelno heterogeno plast, ki je sestavljena iz več zaporednih homogenih
plasti z debelinami li in toplotnimi prevodnostmi i, ki se stikajo in imajo vse enak prečni presek S (slika 15.2a).
Temperaturna razlika v celotni plasti je T1 T2.
Slika 15.2. (a) Planparalelna heterogena (večplastna) stena. (b) Temperatura v steni v odvisnosti od
koordinate x.
Ker je v stacionarnem stanju toplotni tok skozi vse plasti enak, nalogo hitro rešimo z uporabo enačbe (15.9).
Sledi,
2
1
1
11
1
0 1
T
T
ll
ll N
l
dTS
dx
S
dxPdRP
N
N
,
kar nam da,
S
l
S
l
TT
RR
TT
R
TTP
N
NN
1
1
21
1
2121 .
Iz gornjega rezultata sledi, da se toplotni upori zaporednih plasti seštevajo. Celoten toplotni upor heterogene
plasti je enak vsoti toplotnih uporov posameznih homogenih plasti,
N
i i
iN
i
iS
lRR
11 .
7
Potek temperature v plasti je še vedno linearen vendar je hitrost pojemanja različna v različnih plasteh (slika
15.2b). Ker je toplotni tok skozi vsako plast enak ga lahko zapišemo tudi na naslednji način
S
l
TTP
i
i
ii
)(
2
)(
1 ,
kjer smo z )(
2
)(
1
ii TT označili temperaturno razliko v i-ti plasti. Torej,
iii
ii q
S
P
l
TT
1)(
2
)(
1 ,
kar nam pove, da temperatura v plasti pojema tem hitreje čim manjša je toplotna prevodnost plasti.
Na enak način lahko obravnavamo tudi prehod toplote skozi krogelno lupino z notranjim polmerom r1,
zunanjim polmerom r2 in toplotno prevodnostjo (slika 15.3). Temperatura na notranji površini krogelne lupine
naj bo T1 na zunanji pa T2 < T1.
Slika 15.3. Krogelna lupina; na notranji steni s polmerom r1 je stalna temperatura T1, na zunanji steni s
polmerom r2 pa je stalna temperatura T2. Med notranjo in zunanjo steno teče v radialni smeri toplotni
tok P.
Zaradi krogelne simetrije velja T = T(r) in toplotni tok skozi površino poljubne krogle s polmerom r1 < r < r2
je enak
dR
dT
r
dr
dT
rS
dr
dTP
24)(
.
Enačbo preuredimo in integriramo pa dobimo,
2
1
2
1
24
T
T
r
r
dTr
drP
,
8
in
21
2121
11
4
1
rr
TT
R
TTP
.
Od tod razberemo, da je toplotni upor krogelne lupine enak,
21
11
4
1
rrR
.
Če je lupina zelo debela (r2 ), je P = 4r1(T1 T2).
Slika 15.4. Dvoplatna krogelna lupinam sestavljena iz notranje plasti s toplotno prevodnostjo λ1 in
zunanje s toplotno prevodnostjo λ2. Na notranji steni s polmerom r1 je stalna temperatura T1, na
zunanji steni s polmerom r3 pa je stalna temperatura T2.
Lahko si zamislimo tudi krogelno lupino, ki je sestavljena iz dveh koncentričnih krogelnih lupin z
različnima toplotnima prevodnostma 1 in 2 (slika 15.4). Na enak način kakor zgoraj dobimo
212
2
2
1
2
1
3
244
TTr
dr
r
drP
r
r
r
r
,
in
21
21
322211
21
11
4
111
4
1 RR
TT
rrrr
TTP
.
Zadnjega računa sploh ne bi bilo treba delati, saj ţe od prej vemo, da se toplotne upornosti zaporednih plasti
seštevajo.
9
Vzemimo kos ledu, ki smo ga potopili v vodo s temperaturo T1 > 0 ºC. Določi hitrost taljenja ledu ob
predpostavki, da ni konvekcije.
Ker sta led in voda pri atmosferskem tlaku v ravnovesju pri T0 = 0 ºC, sledi, da ima plast vode tik ob površini
ledu temperaturo 0 ºC. Na veliki oddaljenosti od ledu je temperatura vode enaka T1. Toplota torej teče od vode k
ledu. Toplota, ki jo led prejme od vode, se porabi za taljenje, tako da velja
Pdt = qt dm,
kjer je P toplotni tok in qt specifična talilna toplota ledu. Hitrost taljenja je torej enaka
tq
P
dt
dm .
Vzemimo, da ima led v nekem trenutku obliko krogle s polmerom r0. V tem primeru je toplotni tok podan z
izrazom, ki smo ga izračunali zgoraj, kjer smo dobili P = 4r0(T1 T0). Hitrost taljenja ledu torej določa
toplotna prevodnost vode v skladu z enačbo
tq
TTr
dt
dm 0104
.
Za r0 = 10 cm in T1 = 10 ºC ter če upoštevamo, da je toplotna prevodnost vode 0,6 W/mK, sledi dm/dt = 0,02 g/s.
Enaki rezultati veljajo tudi za difuzijo v raztopini med dvema planparalelnima stenama
ali med dvema koncentričnima krogelnima površinama, na katerih vzdrţujemo konstantni
koncentraciji c1 in c2. V zgornjih enačbah moramo samo zamenjati temperaturo s
koncentracijo, gostoto toplotnega toka q z gostoto difuzijskega toka j in toplotno prevodnost
z difuzijskim koeficientom D. Kot primer si oglejmo raztapljanje snovi v topilu. Hitrost
raztapljanja določa difuzija topljenca v raztopini. Ob površini telesa, ki se raztaplja v topilu,
se nabere tanka plast nasičene raztopine s koncentracijo c0. Zaradi razlike v koncentraciji
topljenec difundira v okoliško raztopino, kar omogoča nadaljnje raztapljanje snovi. Če spet
vzamemo telo v obliki krogle s polmerom r0, je hitrost raztapljanja (v kg/s) enaka celotnemu
difuzijskemu toku J = j4r02 s površine telesa v topilo. Tako imamo
J = 4πDr0c0.
Pri tem smo vzeli, da je koncentracija raztopine na veliki oddaljenosti od telesa c1 = 0.
Oba pojava, to je difuzija in prevajanje toplote, pa hkrati določata na primer hitrost
izhlapevanja vodne kapljice v zraku. Vodna kapljica je obkroţena s tanko plastjo nasičene
pare, ki počasi difundira v okoliški zrak. To povzroča nadaljnje izhlapevanje kapljice.
Toploto, potrebno za izhlapevanje, dobiva kapljica od zraka. Pri tem igra pomembno vlogo
mehanizem prestopa toplote iz zraka na kapljico.
15.4 Prestop toplote z površine telesa na okoliški zrak in obratno
V praksi velikokrat srečamo primere prestopa toplote s površine telesa na okoliško tekočino in
obratno. Da bo opis bolj enostaven, vzemimo ravno steno, obdano z zrakom. Temperatura
površine stene, ki meji na zrak naj bo konstantna in enaka T1, temperatura zraka na veliki
10
oddaljenosti od stene naj bo tudi stalna in enaka T0 < T1. V stacionarnem stanju je potek
temperature v bliţini stene prikazan na sliki 15.5.
Slika 15.5. Stena s stalno temperaturo T1, obdana z zrakom, ki ima daleč od stene stalno temperaturo
T0 < T1. Z δ smo zaznamovali debelino termalne mejne plasti.
Skoraj celotna temperaturna razlika T1 T0 je omejena na tanko plast zraka ob steni,
tako imenovano termalno mejno plast. Zrak tik ob steni miruje, tako da je gostota toplotnega
toka podana z enačbo (15.2)
0
xdx
dTq , (15.11)
kjer je toplotna prevodnost zraka in koordinatno izhodišče smo izbrali tik ob steni. V
splošnem se toplota prenaša od stene na okoliški zrak (razen v tanki plasti tik ob steni) tako s
prevajanjem kakor tudi s konvekcijo, to je s pretakanjem zračnih plasti. Hladnejši zrak se ob
steni segreje, postane laţji in se ob njej dviga ter tvori tako imenovano laminarno mejno plast.
Temu pojavu pravimo naravna konvekcija. Lahko pa gibanje zraka pospešujemo tudi na
primer z ventilatorji in tedaj govorimo o prisilni (vsiljeni) konvekciji.
Ker temperaturni gradient 0
/x
dxdT ni tako enostavno izračunati, zapišemo toplotni tok
(15.11) običajno v obliki
q = h(T1 T0), (15.12)
kjer koeficient h imenujemo prestopni koeficient toplote. Enota zanj je razvidna iz same
definicije in je enaka
[h] = W/m2K.
Prestopni koeficient nam torej pove, koliko toplote v časovni enoti odda vsak m2 stene
okoliškemu zraku, če je temperaturna razlika 1 K. Zelo pripravno je, če prestopni koeficient
zapišemo v obliki
H
Nuh
, (15.13)
11
kjer je toplotna prevodnost zraka, H karakteristična razseţnost stene in Nu tako imenovano
Nusseltovo število, ki opredeljuje prestop toplote s stene v zrak ali obratno. Za primer
navpične ravne stene z višino H in za naravno konvekcijo velja
4/1
4/1
1
01
2
3
480,0480,0 GT
TTgHNu
; (15.14)
pri tem je
1
01
2
3
T
TTgHG
Grashofovo število, ν = η/ρ je kinematična viskoznost zraka (η
je viskoznost, ρ pa gostota zraka) in g teţni pospešek. Če je temperatura stene T1 = 303 K
(30 ºC) in T0 = 293 K, višina stene H = 3 m in če vzamemo, da je kinematična viskoznost
zraka enaka ν = 0,15 · 10-4
m2s
-1, dobimo za Grashofovo število vrednost G 4 · 10
10 in
ustrezno Nusseltovo število je 215. Prestopni koeficient je v tem primeru enak
h = 2,15 ·102 · 0,026 Wm
-1K
-1/3m 2 W/m
2.
Če v enačbi (15.11) temperaturni gradient izrazimo kot
01
0/
TTdxdT
x
, smemo reči, da
predstavlja δ oceno za širino termalne plasti ob steni (glej sliko 15.5). Če izenačimo izraza
(15.11) in (15.12) ter upoštevamo (15.13), imamo
0101 TT
HNu
TT
,
in
4/148,0
1
G
H
Nu
H . (15.15)
Če vzamemo gornje vrednosti za H in Nu, dobimo 1,4 cm.
Pri praktičnih primerih, zlasti v gradbeništvu, največkrat naletimo na razmere, ki jih
prikazuje slika 15.6. Temperatura ene in druge stene praviloma ni znana in v splošnem tudi ni
enaka po vsej višini sten, za katere bomo v nadaljevanju privzeli, da so ravne in navpične. Kar
je navadno znano, je temperatura zraka daleč od sten, tj. na razdaljah, ki so velike v
primerjavi z debelino termalnih plasti; te so, tako kakor smo videli zgoraj, reda velikosti nekaj
cm.
12
Slika 15.6. Daleč od leve površine stene s temperaturo T1 je zrak s temperaturo T0L, daleč od desne
površine stene s temperaturo T2 je zrak s temperaturo T0D.
Naj bo temperatura zraka na levi strani stene T0L, na desni pa T0D < T0L. Izkaţe se, da ne
naredimo velike napake (manj kot 10 %), če zanemarimo, da se temperatura sten z višino
rahlo spreminja in pri računu upoštevamo le povprečno temperaturo ene in druge stene. Naj
bo povprečna temperatura leve površine stene T1, desne pa T2 < T1. Če predpostavimo
stacionarno stanje, lahko toplotni tok skozi steno, ki teče od leve proti desni, zapišemo na tri
načine:
10 TThq LL , (15.16a)
)( 21 TTUq , (15.16b)
DD TThq 02 , (15.16c)
kjer sta hL in hD ustrezna prestopna koeficienta, U = 1/RS pa je toplotna prepustnost stene s
prečnim presekom S. Vsako od gornjih enačb delimo s koeficientom na desni strani in
dobljene enačbe seštejemo. Iz dobljenega rezultata brez teţav določimo gostoto toplotnega
toka q, ki je
DL
DL
hUh
TTq
11100
. (15.17)
Če zadnji izraz vstavimo v enačbi (15.16a,c), dobimo temperaturne skoke ob površinah stene,
in sicer
D
LL
DLL
h
h
U
h
TTTT
1
0010 , (15.18a)
in
1
0002
U
h
h
h
TTTT
D
L
D
DLD . (15.18b)
13
Temperaturni skoki ob notranjih površinah sten so še posebej pomembni, ker lahko
povzročajo kondenzacijo vodne pare na stenah in posledično nastanek plesni.
Prestopna koeficienta hL in hD za primer naravne konvekcije in laminarne mejne plasti
zraka lahko izračunamo podobno, kakor smo to opisali zgoraj. Z upoštevanjem povprečnih
temperatur površin stene dobimo
T0L T1 T2 T0D ,
H
Nuh DL
DL
),(
, , (15.19a)
in
4/1
0
00
2
3)( 471,0
D
DLD
T
TTgHNu
, (15.19b)
5/1
0
0)()(
L
DDL
T
TNuNu . (15.19c)
Pomen simbolov je enak kakor zgoraj.
Vzemimo steno iz opeke debeline l = 30 cm, višine H = 3 m in s toplotno prevodnostjo
opeka = 0,53 W/mK. Temperatura zraka naj bo T0L = 303 K, T0D = 288 K. Iz enačb (15.19)
sledi Nu(D)
235 Nu(L)
in hL hD 2 W/m2K, podobno kakor v prejšnjem primeru. Toplotna
prepustnost stene je U = opeka/l = 1,8 W/m2K. Iz enačb (15.17) in (15.18) sledi q 10W/m
2,
T0L T1 = T2 T0D 4,8 K .
Temperaturni skoki ob steni so relativno veliki, ker so prestopni koeficienti pribliţno
enaki toplotni prepustnosti stene. Empirične vrednosti prestopnih koeficientov so navadno
precej večje od zgornjih izračunov. To je zato, ker imamo v praksi velikokrat opravka s
prisilno konvekcijo, ker površine sten niso povsem gladke in je gibanje zraka tik ob steni
največkrat turbulentno. Karakteristične vrednosti prestopnih koeficientov so nekje med 10 in
15 W/m2K. Običajno je prestopni koeficient za zunanjo površino večji kakor za notranjo
površino stene. Če vzamemo na primer hL = hD = 10 W/m2K, dobimo pri nespremenjenih
ostalih parametrih za zgornji primer T0L T1 = T2 T0D 2 K.
Po parni cevi z notranjim polmerom r1 in zunanjim polmerom r2 se pretaka para s temperaturo T1. Toplotna
prevodnost cevi je , prestopni koeficient toplote z površine cevi na okoliški zrak pa h. Kolikšne so toplotne
izgube, če je temperatura okoliškega zraka T0?
Vzemimo, da je temperatura na površini parne cevi T2. Potem je toplotni tok, ki ga oddaja odsek cevi z
dolţino L, enak
)(
21
LR
TTP
,
kjer je toplotni upor R(L) enak
2
1 1
2ln2
1
2)(
r
r r
r
LLr
drLR
.
14
Gostota toplotnega toka q na površini cevi je torej enaka
1
22
21
2ln
2
r
rr
TT
Lr
Pq
.
Po drugi strani pa je gostota toka enaka
02 TThq .
Iz gornjih dveh enačb izrazimo T2, pa imamo
h
r
r
r
TTrq
2
1
2
012
/ln
/
.
Naj bo temperatura pare 150 ºC, temperatura zraka 10 ºC , toplotna prevodnost parne cevi 0,1 W/mK in
prestopni koeficient h = 4 W/m2K. Notranji premer cevi je r1 = 15 cm in zunanji r2 = 25 cm. Toplotne izgube v
tem primeru so
211
1,051,0
K160)m25,0/KWm1,0(
q = 105 W/m2.
Toplotne izgube na vsak dolţinski meter cevi so
22 rqL
P = 165 W/m.
V gradbeni praksi je pomembno prevajanje toplote skozi različne konstrukcijske elemente. Kot primer si
oglejmo prenos toplote skozi dve ravni homogeni steni, ki se stikata pod pravim kotom. Da bo račun bolj
enostaven privzemimo, da sta steni v navpični smeri(z os) nekončni, tako da je v stacionarnem stanju
temperatura v steni odvisna odvisna le od lege točke v vodoravni ravnini, to je T = T(x,y). Temperatura na
notranji steni naj bo konstantna in enaka T1 na zunanji pa T2 < T1 tako, da toplotni tok teče od notranjosti
navzven. Določi toplotni tok skozi vogal na enoto njegove višine, če je debelina sten L toplotna prevodnost pa
(Sl.15.7).
Posplošitev enačbe 15.3 na tri dimenzije je očitna. Sledi,
Tt
T 2
,
kjer smo označili 2
2
2
2
2
22
zyx
. V stacionarnem stanju in pri neskončno visokem vogalu
temperatura v steni predstavlja rešitev Laplaceove enačbe v ravnini z predpisanimi robnimi pogoji,
02
2
2
2
y
T
x
T,
15
stenizunanjiyxčeT
steninotranjiyxčeTyxT
),(
),(),(
2
1.
Izkaţe se kot zelo pripravno, če Laplaceovo enačbo v ravnini rešujemo z uporabo analitičnih funkcij in
konformne preslikave. Naj bosta (x,y) in (x,y) dve realni funkciji tako, da velja
)()( zfiyxfi ,
kjer smo označili z = x + iy. Z gornjo enačbo smo v grobem definirali analitično funkcijo f(z). Če gornjo enačbo
odvajamo parcialno enkrat po x-u in drugič po y-u se hitro prepričamo, da veljajo takoimenovani Cauchy-
Riemannovi pogoji,
xyin
yx
.
Enačbi (x,y) = const. in (x,y) = const. predstavljata krivulje v ravnini x-y, ki so v vsaki točki pravokotne ena na
drugo( )0 . Nadalje sledi iz Cauchy-Riemannovih pogojev, da funkciji in zadoščata Laplaceovi
enačbi,
02
2
2
2
yx
,
in
02
2
2
2
yx
.
Vzemimo funkcijo v(,) za katero velja
02
2
2
2
vv.
Če izrazimo x
v
x
v
x
v
, itd. lahko pokaţemo, da velja tudi
02
2
2
2
y
v
x
v.
To pomeni da, če poznamo rešitev za v v ravnini -, ki zadošča danim robnim pogojem pri = 1, = 1 in =
2, = 2, potem smo hkrati dobili rešitev Laplaceove enačbe v x-y ravnini, ki zadošča enakim robnim pogojem
na robu območja, ki ga določa transformacija
)( iyxfi
krivulj = 1 itd.. Prednost takšnega pristopa k reševanju Laplaceove enačbe se pokaţe v primerih, ko je oblika
območja na katerem iščemo rešitev v x-y ravnini, v ravnini - bolj preprosta. Izkaţe se, da obstaja
takoimenovana Schwarz-Christoffelova transformacija, ki poljuben mnogokotnik v ravnini x-y transformira v
zgornjo polovico ravnine -, rob mnogokotnika pa se preslika v abscisno os = 0. Za konstrukcijski element
na sliki 15.7 je preslikava prikazana na sliki 15.8. Ustrezna Schwarz-Christoffelova transformacija za ta primer
je,
21 1ln1ln2tan2
LLLziyx ,
16
kjer smo označili
.,1
12/1
itt
t
.
Robni pogoj za temperaturo v - ravnini je,
.0,
,0,)0,(
2
1
T
Tv
Ker je gostota toplotnega toka sorazmerna z gradientom temperature lahko brez škode temperaturo redefiniramo
kot T T T1 pri čemer se robni pogoj poenostavi tako, da imamo
.0,
,0,0)0,(
12
TTv
Če privzamemo, da je v(,) imaginarni del neke funkcije w( + i) u + iv, ki je analitična v zgornji polovici
kompleksne ravnine -, sledi
22
)0,(),(
dvv .
Upoštevamo robni pogoj in imamo,
112
2212 tan2
),(TT
x
dxTTv .
Nadalje uporabimo znano zvezo
iz
iz
iz
1
1ln
2
1tan 1
,
in imamo rezultat
t
TTw ln12
,
ter
tm
TTv ln),( 12
.
Ustrezne rešitve v x-y ravnini v(x,y) in u(x,y)(zaradi enostavnosti bomo uporabili iste funkcijske oznake) ter
iyxzzwyxivyxu ),(),(),( ,
lahko načeloma dobimo iz gornjih izrazov tako, da za vsako točko v - ravnini s pomočjo Schwarz-
Christoffelove transformacije izračunamo ustrezno točko v x-y ravnini. Vendar, če nas zanima le toplotni tok
skoz del vogala lahko pridemo do rezultata na bolj preprost način. Krivulje v(x,y) = const. predstavljajo izoterme
v ravnini x-y. Krivulje u(x,y) = const., ki so v vsaki točki pravokotne na izoterme pa torej predstavljajo
tokovnice gostote toplotnega toka Tvj
.Velikost gostote toplotnega toka v dani točki torej
lahko zapišemo,
sincos
y
v
x
v
n
vvnj
,
17
kjer je sin,cosn
vektor normale na tokovnico v izbrani točki(Sl.15.9). Če uporabimo Cauchy-
Riemannove pogoje, ki veljajo za funkciji u in v, ker je w analitična funkcija, lahko velikost gostote toplotnega
toka zapišemo še na naslednji način,
s
uus
y
u
x
uj
cossin ,
kjer je cos,sins
enotski vektor v smeri tangente na izotermo v izbrani točki. Toplotni tok skozi del
izotermalne ploskve z višino h med točkama s1 in s2(glej Sl.15.9), ki leţita na izbrani izotermi je
1
2
1
2
21
s
s
s
s
uuhdss
uhjdshP ,
kjer sta u1 in u2 vrednosti funkcije u v točkah s1 in s2. Ker je v stacionarnem stanju toplotni tok skozi ustrezne
ploskve na različnih izotermah enak, ga smemo izračunati na poljubno izbrani izotermi. Najbolj pripravno je, če
izračunamo toplotni tok skozi izbrani del notranje stene z višino h in dolţino x v smeri osi x in dolţino y vzdolţ
osi y(Sl.15.7). V - ravnini ta izoterma predstavlja abscisno os na odseku 0<1<<2, kjer 1 ustreza izbrani
vrednosti vrednost y, 2 pa vrednosti x in ju določimo s pomočjo Schwarz-Christoffelove transformacije.
Ustrezne vrednosti funkcije u določimo iz enačbe
tTT
ivuw ln12
,
ki smo jo izpeljali zgoraj. Najprej izračunajmo toplotni tok skozi del stene, ki leţi vzdolţ osi x. Točka s1 naj bo
na vogalu(točka E na sliki 15.8) kjer je t + i = = 1. Ker je v(>0,0) = 0, sledi u1 = 0. Podobno velja
212
212
2 lnln
TTt
TTu
.
lnt2 določimo iz enačbe
2
222
1 1ln1ln2tan2
LLLx ,
ki sledi iz Schwarz-Christoffelove transformacije. Naj bo x/L >> 1 in posledično je t2 >> 1. V tem primeru
smemo zapisati,
222
22
2
2
1
2
1
111
ttt
t
,
in 2 1. Tako imamo,
2ln2ln2ln2
2t
LLLLx
,
in
2ln2
ln 2
L
xt .
Toplotni tok skozi del stene z širino x in višino h, ki leţi vzdoţ osi x je torej enak,
18
2121
221
2 2ln2
1ln TTh
L
TThxt
TThuhPx
.
Na enak način izračunamo tudi toplotni tok skozi odsek stene z dolţino y vzdolţ osi y. Sledi,
21 uuhPy ,
kjer tokrat točko s2 postavimo v vogal(točka E, t = 1 in u2 = 0) točka s1 pa naj pa naj ustreza točki 1 tako, da
velja
112
1 ln tTT
hhuPy
.
Iz Schwarz-Christoffelove trasformacije ob upoštevanju izbire x-y koordinatnega sistema (Sl.15.7) nadalje sledi,
2
1
2
11
1 1ln1lntan2
LLLiy .
Ker veliki vrednosti za y/L >> 1 sedaj ustreza t << 1 moramo zapisati v obliki,
~
1
1
1
12/12/1
it
ti
t
t
.
Sedaj imamo
2
1
2
1
1
1
1
11
1
~1
~1
ln2
1~
1
~1
ln2
1
1
1ln
2
1tan
iii
i
i.
Če je t << 1 je 1~
1 in 111
21 2)1/(2
~1 ttt kar nam da
2lnln2
1tan 11
1 ti
.
Upoštevajmo še,
2ln2
)1ln()~
1ln()1ln( 22
1
2
1
iii in 2ln)~
1ln()1ln(2
1
2
1 dobimo,
22lnln 1
Li
i
Lt
i
Liy
,
in
2ln2
ln 1
L
yt .
Zadnji izraz vstavimo v enačbo za Py pa imamo,
2121 2ln
2
1TTh
L
TThyPy
.
Celoten toplotni tok skozi izbrani vogalni del stene je torej enak,
19
2121 2ln
21 TTh
L
TTyxhPPP yx
,
ali,
2121 559,0 TT
L
TTyx
h
P
.
Iz gornjega rezultata sledi, da prisotnost vogala poveča toplotni tok na enoto višine za 0,559(T1 T2).
Pri gornjem računu nismo upoštevali termalne plasti na stenah. V praksi namreč temperatura ene in druge
stene v splošnem ni poznana niti ni konstantna. Tisto kar poznamo je temperatura zraka nekaj cm proč od sten.
Da toplota lahko prestopa iz zraka na notranjo steno, na primer, je temperatura stene niţja od zraka daleč proč
od stene. Med zrako in steno se vzpostavi temperaturni skok. Ker je toplotni tok v vogalu povečan, sklepamo,
da je tam temperaturni skok večji, kot na ravnih delih stene. Temperatura stene v vogalu je niţja kot na ravnih
delih stene. Tako razumemo, zakaj se pozimi plesen prične nabirati najprej v vogalu in še prej v kotih prostora.
15.5 Nestacionarni pojavi
Če je koncentracija raztopine na različnih mestih različna, se slej ko prej zaradi difuzije
povsod izenači in dobimo homogeno raztopino. Zanima nas, kaj določa časovno skalo tega
procesa.
Čas, ki je potreben za homogenizacijo raztopine, očitno ni odvisen od koncentracije.
Kajti če koncentracije na različnih mestih povečamo za enak faktor, se za enak faktor poveča
tudi difuzijski tok in smo na istem kakor prej. Edini fizikalni količini, ki vplivata na hitrost
homogenizacije, sta difuzijski koeficient D in gradient koncentracije ali z drugimi besedami,
karakteristična razdalja, na katerih se koncentracija zaznavno spremeni. Označimo red
velikosti te razdalje z L.
Ker je enota za difuzijski koeficient m2/s in za razdaljo m, iz dimenzijske analize sledi,
da je edina kombinacija teh dveh količin, ki ima enoto časa, L2/D. Zato sklepamo, da je
časovna skala, ki določa hitrost homogenizacije raztopine, reda velikosti
t ≈ L2/D. (15.20a)
Prejšnje vprašanje lahko zastavimo še drugače. Vzemimo, da je v nekem trenutku dana
mnoţina topljenca nakopičena v majhnem prostorskem elementu. Sčasoma se zaradi difuzije
topljenec porazdeli po vsej raztopini. Kolikšna je povprečna razdalja L, za katero se premakne
delček topljenca v času t? Tokrat je poudarek na odvisnosti razdalje L od časa t. Odgovor
sledi iz prejšnje enačbe, ki jo sedaj prepišemo v obliki
DtL . (15.20b)
V času t se topljenec razširi po območju, katerega linearna razseţnost je sorazmerna s t .
Ta rezultat lahko ponazorimo na naslednji način. Izberimo si molekulo topljenca v
raztopini in ―opazujmo‖ njeno termično gibanje. Zanima nas razdalja, za katero se molekula v
času t oddalji od svoje lege ob času t = 0. Vzemimo, da je ob času t = 0 zbranih skupaj veliko
število molekul topljenca, ki se nato zaradi termičnega gibanja razlezejo bolj ali manj
enakomerno v vseh smereh. Ene se oddaljijo za večjo razdaljo, druge za manjšo, a tako, da je
povprečna razdalja reda velikosti DtL . Ugotovitev ne velja le za molekule topljenca v
20
raztopini, ampak tudi za mikroskopske delce v kapljevini. V tem primeru govorimo o
Brownovem gibanju.
Vse, kar smo zgoraj povedali za difuzijo, velja v enaki meri tudi za prevajanje toplote v
snovi. Vzemimo palico z dolţino L, v kateri na začetku ni povsod enaka temperatura.
Difuzijski koeficient nadomestimo z termično difuzivnostjo in dobimo oceno za čas, ki je
potreben, da se v palici temperature izenačijo:
pcLLt 22 / . (15.21a)
Tudi to enačbo lahko obrnemo na način, kakor smo to naredili pri difuziji. Vzemimo, da
temperatura na površini telesa zaradi zunanjih vzrokov niha z kroţno frekvenco ω. To nihanje
se prenaša v notranjost telesa, pri čemer nastane termalno valovanje. Amplituda nihanja z
razdaljo od površine telesa pojema in zanima nas, kako globoko v telo seţejo ta nihanja.
Časovno skalo pojava določa nihajni čas oziroma 1/. Iz enačbe (15.21a) tako dobimo
tL . (15.21b)
En konec ravne palice z dolţino L in prečnim presekom S se stika z toplotnim rezervoarjem s temperaturo T1,
na drugem koncu pa vzdrţujemo stalno temperaturo T2 < T1. V času t = 0, naj bo temperatura palice enaka T2.
Oceni po kolikšnem času se v palici vzpostavi stacionarno stanje, če je toplotna prevodnost palice , gostota in
specifična toplota c. Palica je ob straneh toplotno izolirana, tako da teče toplotni tok le vzdolţ palice.
Koordinatno os x usmerimo vzdolţ palice in izhodišče postavimo v njen levi konec. Ko se vzpostavi
stacionarno stanje je potek temperature v palici linearen, tako da je temperatura levega konca T1, desnega pa T2.
Opišimo temperaturo na mestu x in v trenutku t z izrazom
),(),( 211 txx
L
TTTtxT
,
kjer (x,t) zadošča enačbi (15.3), to je
2
2
xt
.
Da bo rešitev gornje enačbe določena, moramo povedati še začetne in robne pogoje. Na začetku (t = 0) je
temperatura po vsej palici enaka T2. V matematični obliki to zapišemo kot
)0,()0,( 2112 xx
L
TTTTxT
,
kar nam da
L
xTTx 1)0,( 21 .
Robne pogoje pa zapišemo takole:
),0(),0( 11 tTTtT ,
21
),(),( 2112 tLL
L
TTTTtLT
,
od koder dobimo
0),(),0( tLt .
Rešitev za (x,t) iščemo s ―separacijo‖ krajevne spremenljivke (x) in časovne spremenljivke (t), tj. z nastavkom
)()(),( xgtftx .
Tako dobimo
2
2
dx
gdfg
dt
df .
Če obe strani enačbe delimo z fg, sledi
.const11
2
2
dx
gd
gdt
df
f
Da sta izraza na obeh straneh enačbe konstanti, sledi iz tega, da je leva stran odvisna samo od časa, desna pa
samo od kraja. Nadalje vemo, da je (x, t ) = 0, zato konstanto zapišemo v obliki const = –χk2. Funkciji f in
g tako zadoščata navadnim diferencialnim enačbam
fkdt
df 2 ,
in
.02
2
2
xkdx
gd
Prvo enačbo lahko preprosto integriramo, drugo pa prepoznamo kot enačbo za harmonično nihanje, tako da
imamo
kxBkxAetx kk
tk cossin),(2
.
Konstante Ak, Bk in k določimo s pomočjo začetnega in robnih pogojev. Sledi
,0),0(2
k
tk Bet
0cossin),(2
kLBkLAetL kk
tk.
Gornjim enačbam ustreţemo tako, da izberemo Bk = 0 in sin kL = 0, torej
...,3,2,1, nnL
k
.
Dobimo
L
xnAetx n
Ltn sin),(222 / .
Splošno rešitev zapišemo kot vsoto rešitev za posamezne dovoljene vrednosti k-jev. Torej
22
n
Ltn
nL
xneAtx
sin),(222 /
.
Konstante An določimo iz začetnega pogoja na naslednji način.
n
nL
xnA
L
xTT
sin121 .
Gornjo enačbo pomnoţimo s sin(nπx/L) in obe strani integriramo glede na x od 0 do L. Dobimo
L
m
L
m dxL
xn
L
xmAdx
L
xn
L
xTT
0 0
21 sinsinsin1
.
Integral na levi je enak L/nπ, integral na desni pa je
L
nm
Ldx
L
xn
L
xm
02
sinsin
,
kjer je nm Kroneckerjev delta, definiran na naslednji način:
mnječe
mnječenm
,0
,1 .
Tako imamo
21
2TT
nAn
in temperatura v palici kot funkcija kraja in časa je enaka
1
/
2121
1
/sin)(2),(
222
n
Ltn
n
LxneTTx
L
TTTtxT
.
Vsota v izrazu za temperaturo hitro konvergira na račun faktorja n2 v eksponentu, tako da je dominanten prvi
člen v vsoti. V skladu s tem, kar smo povedali na začetku tega razdelka, je stacionarno stanje doseţeno praktično
po času, za katerega velja t = L2. V tem primeru je exponentni faktor v prvem členu enak
2e 10-4,3
= 5,0 ·
10-5
. Če imamo 1 m dolgo bakreno palico s toplotno prevodnostjo = 380 W/mK, gostoto = 8,9·103kg/m
3 in
specifično toploto c = 385J/kgK, potem je termična difuzivnost = /c = 111·10-6
m2/s. Čas, v katerem se
vzpostavi stacionarno stanje, pa je enak
t = L2/ 10
4 s = 2,8 h.
Poglejmo še, koliko toplote dobi palica v času, preden se vzpostavi stacionarno stanje. Ker je temperatura
palice na začetku T2, na koncu pa T(x,) T(x) = T1 (T1 T2)(x/L), je toplota, ki jo prejme palica enaka
LL
TTmcTTSLcdxL
xTTScdxTxTScQ
0
212121
0
22
1
2
11)( ;
m = SL je masa palice.
23
Toploto, ki jo palica prejme, pa lahko izračunamo še na naslednji način:
dttLqtqSQ
0
),(),0( .
Ustrezna toplotna tokova sta
1
/2121
0
222
2),0(n
Ltn
x
eL
TT
L
TT
x
Ttq ,
in
neL
TT
L
TT
x
TtLq
n
Ltn
Lx
cos2),(1
/2121222
.
Tako dobimo
122
2
21
0
/
1
21 )1(12cos12
222
n
nLtn
n n
L
L
TTSdten
L
TTSQ
.
Upoštevamo, da je
412
12
)1(1 2
02
12
nn
n
nn,
in = /c, pa dobimo enak rezultat kakor na prejšnji način.
Določi porazdelitev temperature v odvisnosti od časa v dveh neskončno dolgih palicah z enakim prečnim
presekom, ki se stikata na enem koncu. Začetna temperatura ene palice naj bo T1, druge pa T2 < T1. Koordinatno
os usmerimo vzdolţ palic in koordinatno izhodišče postavimo v njuno stičišče.
Porazdelitev temperature v dveh neskončno dolgih palicah (L ) lahko določimo na več načinov.
Največkrat se v tem primeru uporabi Laplaceova transformacija. A če upoštevamo, da je v limiti L
t edina količina, ki ima poleg koordinate x enoto dolţine, sledi, da je edina brezdimenzijska količina, ki jo
lahko definiramo za ta primer, tx / . Ker je difuzijska enačba linearna in homogena glede na temperaturo,
lahko enoto za temperaturo izberemo poljubno. Še bolj preprosto je, če namesto temperature vpeljemo kvocient
T/T0, kjer je T0 neka konstantna temperatura, karakteristična za zastavljeno nalogo. Porazdelitev temperature
T(x,t)/T0 v eni in drugi palici smemo zato zapisati v obliki )2/( txf , kjer smo dodali faktor 2 zato, ker se
kasneje pokrajša. Z uporabo tega nastavka lahko razmeroma preprosto določimo temperaturi T1(x,t) za x < 0 in
T2(x, t) za x > 0. Izraz )2/( txf vstavimo v difuzijsko enačbo in dobimo
)(4
1)(
2
1 ff ,
kjer je tx 2/ in ddff /)( . Gornjo enačbo preuredimo,
df
fd2
,
in integriramo. To nam da
24
2
)( Bef ,
kjer smo z B označili integracijsko konstanto. Dobljeno enačbo še enkrat integriramo in za
x > 0 dobimo
t
xerfBAdeBAtxT
tx
2
22
2/
0
2222
2),(
22
;
A2 in B2 sta integracijski konstanti in
x
dexerf0
22)(
, erf() = 1.
Za x < 0 dobimo na enak način
tx
tx t
xerfBAdeBAdeBAtxT
1
2
1
2
2/
0 1
11
0
2/
111112
22),(
.
Integracijske konstante določimo s pomočjo začetnih in robnih pogojev,
2211 )0,(,)0,( TxTTxT ,
),0(),0( 21 tTtT
in
0
22
0
11
xx x
T
x
T .
Sledi
.
,
,
,
2
2
21
1
1
21
222
111
BB
AA
BAT
BAT
Iz zadnje enačbe izrazimo 12 BB in vstavimo v drugo enačbo, upoštevamo še tretjo, pa imamo
112
111 ,
BAT
BAT
in
1,
1
211
211
TTB
TTA .
25
Definirali smo
1
2
2
1
. 1 in 2 sta toplotni prevodnosti leve (x < 0) in desne (x > 0) palice. Sledi končni
rezultat:
t
xerf
TTTTtxT
1
21211
211),(
,
t
xerf
TTTTtxT
2
21212
211),(
.
Iz gornjih enačb razberemo naslednje. Prvič, temperatura na stiku (x = 0) je konstantna in je enaka
1),0(),0( 21
21
TTtTtT .
Enako vrednost ima tudi ravnovesna temperatura, to je temperatura, ki jo imata palici, ko se vzpostavi toplotno
ravnovesje
1),(),( 21
21
TTxTxT .
Sam po sebi ta rezultat ni nenavaden, je pa presenetljiv, če ga primerjamo z ravnovesno temperaturo dveh enako
dolgih palic z dolţino L. Preprost račun z uporabo zakona o ohranitvi energije nam da rezultat
eqTTT
cc
TcTcxTxT
12
2112
2211
22211121
/1
/),(),( ,
ki se očitno razlikuje od rezultata za neskončni palici, čeprav ravnovesna temperatura v enako dolgih končnih
palicah ni odvisna od njune dolţine (z in c smo označili gostoto in specifično toploto palic). Za primerjavo
izračunajmo ravnovesno temperaturo še za primer, ko sta dolţini palic različni (L1 L2). Popolnoma enak račun
kakor zgoraj nam v tem primeru da
eqT
LL
TTLL
cLcL
TcLTcLxTxT
1//
//),(),(
1221
211221
222111
2222111121
.
Kar je zanimivo pri zadnjem rezultatu, je naslednje. Izberimo razmerje dolţin palic tako, da je
2121 // LL . Če to vstavimo v prejšnjo enačbo, sledi, da je ravnovesna temperatura v takšnih palicah
enaka ravnovesni temperaturi v dveh neskončno dolgih palicah.
26
Slika 15.7. Temperatura v dveh neskončno dolgih palicah v nekaj različnih časih. Vzeli smo, da je leva
palica iz bakra in ima začetno temperaturo 100 ºC, desna pa iz aluminija z začetno temperaturo 10 ºC.
Prikazane so temperature v zaporednih časih 1 s, 100 s, 1000 s, 2,8 h, 5,6 h, 13,9 h in 28 h.
Temperatura na stiku je ves čas 44,9 ºC.
Slika 15.8. Temperatura v dveh palicah z razmerjem dolţin L1/L2 = (χ 1/χ2)1/2
za nekaj različnih časov.
(Na levi je aluminijasta palica dolţine 1,25 m in z začetno temperaturo 100 ºC, na desni je bakrena
palica z dolţino 0,5 m in začetno temperaturo 10 ºC; razmerje dolţin palic je LAl/LCu = (χAl/χCu)1/2
=
1,25.)
Porazdelitev temperature v dveh neskončno dolgih palicah v odvisnosti od časa prikazuje slika 15.7. Zelo
podobna je porazdelitev temperature v končnih palicah z razmerjem dolţin 2121 // LL , ki jo prikazuje
slika 15.8. (Račun za ta primer najlaţe naredimo z uporabo Laplaceove transformacije). Tudi v tem primeru je
temperatura na stiku stalna in je enaka ravnovesni temperaturi. V vseh drugih primerih pa se izkaţe, da je
temperatura na stiku v začetku enaka kakor pri dveh neskončnih palicah, vendar ni stalna in slej ko prej doseţe
vrednost, ki je enaka ravnovesni temperaturi eqT . To je razumljivo saj je toplotni tok v palicah na začetku, ko
velja t << L2, neodvisen od dolţine palic in temperaturne razmere ob stiku so torej v vseh primerih enake.
Temperaturo na stiku v tem časovnem intervalu dobimo iz izraza za eqT , če vanj vstavimo tL 11 in
27
tL 22 . Pri neskončno dolgih palicah je pogoj 2Lt ves čas izpolnjen zato je temperatura na stiku
ves čas enaka. Podobno velja za končni palici pri katerih je razmerje dolţin takšno, da je ravnovesna temperatura
enaka začetni stični temperaturi.
Slika 15.9. Stična temperatura za dve enako dolgi končni palici v odvisnosti od časa oz. parametra
χ1t/L2. (Graf kaţe primer za 1 m dolgo aluminijasto in enako dolgo bakreno palico z začetnima
temperaturama 100 ºC in 10 ºC. Začetna temperatura na stiku je 65,1 ºC, končna (zmesna) temperatura
je 44,9 ºC.)
Časovno odvisnost stične temperature za dve enako dolgi končni palici kaţe slika 15.9. Na začetku je
temperatura na stiku enaka
1)/,0( 212 TT
LtT ,
po dolgem času pa je
eqTLtT )/,0( 2 .
Slika 15.10 kaţe porazdelitev temperature v dveh enako dolgih končnih palicah za različne vrednosti časa. Tudi
to porazdelitev najhitreje dobimo z uporabo Laplaceove transformacije.
Ravnovesno temperaturo za neskončni palici moramo torej primerjati z ravnovesno temperaturo dveh
končnih palic, ki imata dolţini v razmerju 2121 // LL . Limitni proces, 21, LL , ki ga določa
difuzijska enačba sama, je takšen, da je razmerje dolţin ves čas enako 21 / .
28
Slika 15.10. Potek temperature v dveh enako dolgih končnih palicah za nekaj različnih časov. (Spet
smo vzeli palici iz aluminija in bakra dolţine 0,5 m, začetni temperaturi sta 100 ºC in 10 ºC.)
Ko torej staknemo dve poljubni palici ali dve telesi z različnima začetnima temperaturama, majhni
območji na obeh straneh stika, katerih linearni razseţnosti v smeri, pravokotno na stik, sta pribliţno t1 in
t2 , zelo hitro doseţeta karakteristično stično temperaturo
1
21 TTTstik .
Stično območje telesa s temperaturo T1 > T2 se pri tem ohladi za
2111
1TTTT stik
,
hladnejše telo se pa ogreje za
2121
TTTTstik
.
Ko na primer stopimo z bosimi nogami (s temperaturo T1) na hladna tla (temperatura T2), se naša stopala
ohladijo tem bolj, čim manjši je koeficient κ = 1221 // = 222111 / cc . Površine, za katere je
κ majhen, se nam zdijo hladnejše kakor površine z večjim κ, čeprav je temperatura ene in druge površine enaka.
Bakreno kroglo s polmerom R = 10 cm in temperaturo T1 vrţemo v sneg s temperaturo T0 = 0 ºC. Oceni, v
kolikšnem času se krogla ohladi na temperaturo okolice?
Kako hitro se ohladi krogla, je odvisno od tega, na kakšen način oddaja toploto okolici. Predpostavimo, da se
površina krogle ―v hipu‖ ohladi na temperaturo snega in se potem več ne spreminja. Tako imamo zaradi
krogelne simetrije
29
),( trTT , 0),(
0
rr
trT
in
1)0,( TrT , 0),( TtRT .
Difuzijsko enačbo v krogelnih koordinatah pri gornjih pogojih dobimo s pomočjo zakona o ohranitvi energije za
tanko krogelno lupino med r in r + dr. Velja
rdrr
pr
Tr
r
Tdrr
t
Tdrrc
222 444
ali
drrrdrr
pr
Trdr
r
T
r
Tr
t
Tdrrc
844 22
,
pri čemer smo zanemarili člen z 2dr . Obe strani enačbe delimo z drr24 , pa dobimo v limiti dr 0 rezultat
r
T
rr
T
t
T 22
2
.
Če upoštevamo, da je ∂2(rT)/∂r
2 = r∂
2T/∂r
2 + 2∂T/∂r in ∂(rT)/∂t = r∂T/∂t, lahko zgornjo enačbo prepišemo v bolj
prepoznavno obliko,
2
2
r
rT
t
rT
,
in jo lahko rešimo na enak način kakor v primeru palice na str. 20. Tako imamo
krBkrAetrrT kk
tk cossin),(2
.
Ker je temperatura v središču krogle končna, sledi 0),(lim0
trrTr
in izberemo Bk = 0. Ker r(T(r,t) T0) prav
tako zadošča gornji enačbi, smemo zapisati
krAeTtrTr k
tk sin),(2
0
.
Da zadostimo robnemu pogoju RT(R,t) = RT0, moramo zahtevati
sin kR = 0,
kar nam da pogoj za vrednosti k,
kR = nπ, n = 1, 2, 3, … .
Splošno rešitev zato zapišemo v obliki vrste,
1
/
0 sin),(222
n
n
Rtn
R
rnAeTtrTr
.
30
Konstante An določimo tako, da je izpolnjen začetni pogoj, tj. r(T(r,0) T0) = r(T1 T0). Torej je
1
01 sinn
nR
rnATTr
.
Zadnjo enačbo na obeh straneh pomnoţimo s sin(nπr/R), integriramo od 0 do R, ter upoštevamo
nm
RR
drR
rm
R
rn
2sinsin
0
,
R
n
n
RTTdr
R
rnTTr
0
2
01
1
01 )1(sin
.
Tako dobimo
n
RTTA
n
n
21 01
1
.
Porazdelitev temperature v krogli T(r,t) je torej enaka
1
/1
00
sin
12),(222
n
Rtnn
R
rnR
rn
eTTTtrT
.
Zgornja vrsta zaradi eksponentnih faktorjev hitro konvergira. Pri t = R2 imamo
0010
2
sin
)(2)/,(2
T
R
rR
r
eTTTRtrT
.
Krogla se pri opisanih pogojih ohladi na temperaturo okolice v času t = R2/χ, kar je v skladu s splošnimi
ugotovitvami, ki smo jih podali ţe zgoraj. Za bakreno kroglo s polmerom R = 10 cm in termično difuzivnostjo
10-4
m2/s je ta čas enak t 100 s.
Pri gornjem računu smo privzeli, da je temperatura na površini krogle stalna in enaka temperaturi snega.
Lahko pa robni pogoj na površini krogle opredelimo tudi s toplotnim tokom, ki ga oddaja krogla in ki je določen
s koeficientom h za prestop toplote s krogle na okoliško snov. Ob krogli se ustvari plast vode (privzemimo, da
začetna temperatura krogle ni prevelika, tako da ne nastane tudi para), v kateri se ustvari temperaturni skok.
Voda, ki se dotika krogle, ima temperaturo krogle T(R, t), voda, ki je v ravnovesju z snegom, pa temperaturo T0.
V tem primeru zapišemo robni pogoj na površini krogle kot
0),( TtRThr
T
Rr
.
S pomočjo te enačbe lahko ocenimo temperaturno razliko med sredino krogle in njeno površino. Sledi
0),(),(),0( TtRThR
r
TRtRTtT
Rr
.
Če privzamemo, da je h 10 W/m2K, sledi T(0,t) T(R,t) 10
-2 (T(R,t) T0), kjer smo upoštevali, da je toplotna
prevodnost bakra = 380 W/mK. Celotna temperaturna razlika je praktično v vodni plasti med kroglo in
31
snegom. Temperatura po celotni krogli je pribliţno konstantna in se s časom spreminja tako, kakor to zahteva
toplotni tok s površja krogle v okolico. Iz zakona o ohranitvi energije sledi
)(43
40
23
TThRdt
dTRc
,
ali
dtcR
h
TT
dT
3
0
in
T
TcR
ht
TT
dT
1
3
0 ,
kar nam da končni rezultat
cRhteTTTtT /3
010)( .
V tem primeru se krogla ohladi na temperaturo T0 + (T1 T0)2e T0 v času t = π
2 cR/3h 32 h.
Vzemimo navpično steno z debelino L in toplotno prevodnostjo . Temperatura zraka na zunanji in notranji
strani naj bo enaka T0. V toplotnem ravnovesju je takšna tudi temperatura stene. V nekem trenutku temperatura
zuanjega zraka prične harmonično nihati tako kot veleva enačba tTTtTZ cos)( 0 . Privzemimo, da je
temperatura zunanje stene ves čas enaka temperaturi zunanjega zraka, temperatura notranje stene pa je stalna in
enaka T0. Določi porazdelitev temperature v steni v odvisnosti od časa.
Koordinatni sistem izberemo tako, da je os x pravokotna na steno in koordinatno izhodišče postavimo na
notranjo steno. Za temperaturo v steni sedaj velja ),(0 txTTT . Za nadaljnje računanje je zelo prikladno, če
računamo s kompleksnimi količinami tako, da zapišemo,
ti
Z TeTtT 0)(~
,
pri tem pa ne smemo pozabiti, da dejansko temperaturo predstavlja samo realni del gornjega izraza. Na enak
način sedaj zapišemo temperaturo v steni,
tiexTtxT )(
~),(
~.
Ta izraz vstavimo v difuzijsko enačbo 22 // xTtT in dobimo,
0~
~
2
2
T
i
dx
Td
.
Označimo
ikill
it
ei
k i 112
12
12~ 2/1
2
0
4/
,
kjer je t0 nihajni čas s katerim niha temperatura in 0
2 tl . Splošna rešitev enačbe za )(~
xT je,
32
xkBxkAxT~
cos~~
sin~
)(~
,
in konstanti A~
in B~
določimo s pomočjo robnih pogojev 0)0(~
xT in TLxT )(~
in dobimo,
titi eikLkL
ikxkxTe
Lk
xkTtxT
sin
sin~
sin
~sin
),(~
.
Sedaj upoštevamo enačbo
)(22sinsin xiekxshkxikxkx ,
kjer je
thkxctgkxxtg )( ,
in imamo
)()(
22
22
sin
sin),(
~ xLtiekLshkL
kxshkxTtxT
,
ter
)()(cossin
sin),(
22
22
xLtkLshkL
kxshkxTtxT
.
Na zunanji steni temperatura niha tako kot ţe vemo, to je tTtLT cos),( , na notranji steni pa je
temperatura stalna ali 0),0( tT . Tisto kar je v tem primeru bolj zanimivo je toplotni tok, ki ga oddaja
notranja stena. Iz zakona za prevajanje sledi, da je gostota toplotnega toka skozi poljuben prečni presek stene
enaka
)()(sinsin
sin
sin
22sin
2
)()(cossinsin
22sin
2),(
22
22
22
2222
xLtkLshkL
kxshkx
kxchkx
kxshkxT
k
xLtkLshkLkxshkx
kxshkxT
k
x
Ttxq
.
Iz gornjega izraza hitro dobimo
4/)(cossin
2),0(
22
Lt
kLshkL
Tktq ,
pri čemer smo upoštevali, da je 4/)0( x .
Iz gornje enačbe razberemo:
i) kL << 1 ali L << l, tL
Ttq cos),0(
. Toplotni tok je velik ter niha v fazi z zunanjo temperaturo. Pri
nizkih frekvencah in veliki toplotni prevodnosti(velika termična difuzivnost stene) se v steni vzpostavi kvazi
stacionarno stanje, ki počasi niha v ritmu z nihanjem temperature zunanjega zraka.
ii) kL >> 1, L >> l. Pri visokih frekvencah in majhni toplotni prevodnosti je mehanizem prenosa toplote
prepočasen, da bi se v steni vzpostavilo kvazi stacionarno stanje. Preden toplota prodre globoko v steno se
predznak temperature na zunanji steni ţe spremeni in v steni se pojavijo nekakšni toplotni valovi. V tem
primeru, ko velja kL >> 1 dobimo
kLL 2
)(
,
33
in
4/cos8),0(
kLtel
Ttq kL
.
Če upoštevamo 2//2/1 lk in
22
LLkL , lahko gornji izraz zapišemo v bolj
povedni obliki,
42cos8),0(
Lte
l
Ttq kL
,
kjer prepoznamo fazno hitrost termičnih valov kot 2 . Fazna hitrost je odvisna od frekvence. Toplotno
valovanje je torej pri prehodu skozi snov močno dušeno in hkrati kaţe veliko stopnjo disperzije(za podrobnosti o
valovanju glej poglavje XVII).
Na koncu tega razdelka si oglejmo še prenos toplote skozi snov, ki ima tako nizko
temperaturo tališča, da lahko pride do taljenja ali strjevanja snovi. Kot primer vzemimo
kapljevino pri temperaturi T0 > Tt, kjer je Tt temperatura tališča snovi. Kapljevina naj
zapolnjuje polprostor x 0. V trenutku t = 0 se temperatura kapljevine na površini x = 0
nenadoma zniţa na temperaturo Tt T, ki je potem stalna. V kapljevini se vzpostavi
temperaturni gradient in toplotni tok teče v smeri negativne osi x(Sl.15.11). Zaradi tega
kapljevina prične zmrzovati na površini x = 0 in meja med trdno in tekočo fazo se pomika v
smeri pozitivne osi. Za vsako fazo posebej velja difuzijska enačba,
trdna faza: 2
2
x
T
t
T SS
S
, (15.22)
kapljevinska faza: 2
2
x
T
t
T LL
L
, (15.23)
na meji med fazama( x = xM) pa velja zakon o ohranitvi energije,
Mt
M
SS
M
LL dxqdt
x
T
x
T
,
kjer smo predpostavili, da sta gostoti kapljevine in trdne snovi pribliţno enaki tako, da ni
treba upoštevati še spremembe prostornine pri taljenju ali strjevanju. Če zadnjo enačbo na
obeh straneh delimo z dt in jo preuredimo dobimo,
dt
dxq
x
T
x
T Mt
M
LL
M
SS
. (15.24)
Obenem velja tMLMS TxxTxxT )()( in T(x = 0) = Tt T, ter T(x ) = T0.
Naloga, ki smo jo pravkar opisali je tako imenovani Stefanov problem in jo lahko rešimo na
podoben način kot smo reševali dve neskončni staknjeni palici, le da moramo sedaj upoštevati
še enačbo (15.24). Splošna rešitev, tako imenovana Neumannova rešitev, je dobro poznana in
34
dostopna v literaturi. Zato si bomo v nadaljevanju bolj podrobno ogledali nekaj preprostejših
primerov. Eden od takih je prikazan na sliki 15.12. Imamo trdno snov pri temperaturi tališča,
ki zapolnjuje polprostor x > 0. Ko temperaturo na površini x = 0 nenadoma povečamo na T0 >
Tt, se snov prične taliti. Če se snov tali počasi lahko privzamemo, da se v kapljevini vzpostavi
kvazistacionarno stanje z temperaturo, ki jo podaja enačba,
xx
TTTxT
M
tL
0
0)( ,
temperatura trdne faze pa je stalna in enaka temperaturi tališča(Sl.15.12). Toplota, ki priteka
iz kapljevinaste faze se v celoti porablja za taljenje. Iz zakona o ohranitvi energije ali pa iz
enačbe (15.24) v kateri upoštevamo TS = Tt = const. sledi,
M
tL
M
LL
Mt
x
TT
dx
dT
dt
dxq
0 . (15.25)
Enačbo prepišemo v obliki
dt
q
TTdxx
t
tLMM
0 .
Obe strani enačbe integriramo,
Mx t
t
t
LMM dtTT
qdxx
0 0
0
,
pa imamo,
2/1
02)(
t
q
TTtx
t
tLM
. (15.26a)
Enačbo lahko obrnemo in zapišemo,
)(2 0
2
tL
tM
TT
qxt
. (15.26b)
Da bomo lahko kvantitativno opredelili veljavnost začetne predpostavke o linearnem poteku
temperature v kapljevinski fazi izračunajmo naslednjo količino,
)(/2
2
0
22
0
2
LSte
x
qTTc
xx
TT
q
clt M
ttPL
MM
tL
t
PL
LL
,
kjer smo vpeljali Stefanovo število za kapljevinsko fazo Ste(L),
t
tPL
q
TTcLSte
0)( . (15.27)
35
Če je Stefanovo število Ste(L) << 1 sledi, da je l >> xM in mehanizem prenosa toplote v
kapljevinski fazi ima dovolj časa, da se vzpostavi kvazistacionarno stanje. Torej, naša začetna
predpostavka zahteva, da je Stefanovo število kapljevinske faze majhno. Na enak način lahko
izračunamo tudi debelino zmrznjene plasti, če imamo na začetku kapljevino pri temperaturi
tališča in nato hipoma zmanjšamo temperaturo na površini x = 0 pod temperaturo tališča.
Če se temperatura na površini x = 0 spreminja s časom na znan način in če to spreminjanje
ni prehitro tako, da je ML xt 0 , kjer je t0 karakterističen čas v katerem se temperatura na
površini znatno spremeni, lahko širino kapljevinske plasti izračunamo na enak način kakor
zgoraj. V integralu upoštevamo, da je T0 = T0(t) in imamo,
2/1
0
0 )(2
)(
t
t
t
LM dtTtT
qtx
. (15.26c)
Določi čas taljenja za primer na sliki 15.12, če površina x = 0 meji na zrak s temperaturo TZ > Tt in če je
prestopni koeficient toplote iz zraka na talino enak h(Sl.15.13).
Temperaturo T0(t) > Tt na površini x = 0 določimo iz enačbe
M
tLZ
x
TTTTh 0
0 ,
1)(
)(
)(0
L
M
tZ
L
M
thx
TTthx
tT
.
Ta rezultat vstavimo v enačbo (15.25) in dobimo
t
L
M
tZ
L
M
t
LMM T
hx
TThx
qdt
dxx
1
,
ki jo preuredimo v obliko
1
M
L
tZ
t
LMM
hx
TT
qdt
dxx
,
in
dt
q
TTdx
hx
t
tZLM
LM
.
Enačbo integriramo pa imamo,
h
xx
TT
qt ML
M
tZL
t
2
2
2.
Nalogo rešimo še hitreje, če izračunamo neposredno gostoto toplotnega toka, ki priteka na mejo med tekočo in
trdno fazo. Imamo dve zaporedni plasti z znanima upornostima tako, da velja
36
L
M
tZ
x
h
TTq
1.
To sedaj vstavimo namesto izraza na desni strani enačbe (15.25) preuredimo in imamo rezultat, ki smo ga dobili
zgoraj na dalši način.
V limiti h iz enačbe za T0(t) sledi da T0 TZ in dobimo rezultat (15.26b). V nasprotnem primeru, ko je h
zelo majhen je T0 le malenkostno večji od Tt tako, da je celotna temperaturna razlika TZ Tt skoncentrirana v
termalni plasti ob površini x = 0 in
tZ
Mt
TTh
xqt
.
Ta mejni rezultat sledi tudi neposredno iz zakona o ohranitvi energije, ki ga zapišemo MttZ xqtTTh .
Nad gladino jezera piha veter z temperaturo zraka TZ = 10oC. Temperatura vode ob gladini je 0
0C. Če je
prestopni koeficient za prenos toplote iz zraka v vodo 40W/m2K določi čas, ki je potreben, da se na gladini
ustvari 1m debela plast ledu. Določi tudi temperaturo T0 zgornje površine ledu(Sl.15.14).
Stefanovo število za ledeno plast je(cPS je specifična toplota ledu),
063,0
10.334
10.10.1,2)(
13
113
0
Jkg
KKJkg
q
TTc
q
TTcSSte
t
ZtPS
t
tPS.
Ker je Ste(S) << 1, se v ledeni plasti ustvari kvazistacionarno stanje(Sl.15.14) in smemo uporabiti rezultat iz
prejšnje naloge, ki ga priredimo za to nalogo. Tako imamo(S =2,1W/mK je toplotna prevodnost ledu, =
917kg/m3 pa gostota ledu)
h
xx
TT
qt MS
M
ZtS
t
2
2
2.
Vstavimo podatke in sledi,
dnisKWm
mKWmm
KKWm
Jkgkgmt 3,9310.06,8
40
11,221
10.1,2.2
10.334.917 6
12
112
11
133
.
Temperaturo na zgornji površini ledu lahko določimo z uporabo enačbe za T(t) iz prejšnje naloge ali pa
neposredno z uporabo zakona o ohranitvi energije, to je
M
tSZ
x
TTTTh 0
0
,
in dobimo
10
S
M
tZ
S
M
hx
TThx
T
.
hxM/S = 40Wm-1
K-1
.1m/2,1Wm-1
K-1
= 19 in T0 = 10oC.19/20 = 9,5
oC. Tempraturni skok v termalni plasti nad
ledom je torej le 0,5 oC in ga praktično lahko zanemarimo.
37
Plast snovi z debelino L ima temperaturo T2 < Tt. Na eni površini temperatura hipoma naraste na T1 > Tt in je
stalna tako kot temperaura T2 na drugi površini. Določi deleţ staljene snovi potem, ko se vzpostavi stacionarno
stanje in oceni čas, ki je za to potreben. Gostoti obeh faz sta pribliţno enaki.
Koordinatno os x usmerimo pravokotno na plast in koordinatno izhodišče postavimo na površino z višjo
temperaturo. V stacionarnem stanju naj bo meja med fazama pri Mxx ~ . Potek temperature v eni in drugi fazi
je linearen in ga podajata enačbi,
xx
TTTxT
M
tL ~)( 1
1
,
M
M
ttS xx
xL
TTTxT ~
~)( 2
.
Sedaj uporabimo enačbo (15.24) v kateri upoštevamo dxM/dt = 0 in dobimo,
M
LL
M
SS
dx
dT
dx
dT .
Ko vstavimo izraze za TL(x) in TS(x) sledi
M
LL
M
tL
M
SS
M
tS
x
T
x
TT
xL
T
xL
TT~~~~
12
,
in od tod izračunamo
1
1
~ L
T
T
Lx
LL
SSM .
Čas taljenja ocenimo s pomočjo enačbe (15.24) kjer predpostavimo, da se tako v tekoči kakor tudi v trdni fazi
vzpostavi kvazistacionarno stanje. V tem primeru velja(Sl.15.15),
dt
dxq
xL
T
x
T Mt
M
SS
M
LL
.
Enačbo preuredimo v obliko,
M
M
MM
LL
t dxxL
xLx
T
qdt
1,
in
Mx
M
M
MM
LL
t dxxL
xLx
T
qt
01
.
Integral hitro rešimo, če vpeljemo novo spremenljivko u = L – (1+)xM. Sledi,
M
M
M
M
M
M
LL
Mt
x
x
x
x
x
x
T
xqt ~1ln~2~1
1
2
~
2
22
.
38
Ko je = 0, dobimo ţe znani rezultat (15.26b). Pri 0, pa gre t , ko gre xM Mx~ . To je zato, ker gre
dxM/dt 0, ko gre MM xx ~ . Za velike čase, ko je MM xx ~ smemo v izrazu z t obdrţati le člen z
logaritmom kar nam da,
M
M
x
xt~1ln
2,
in
2/1~)( t
MM extx ,
kjer smo označili 12/~2
LLMt Txq . Torej, karakterističen čas s katerim se xM pribliţuje k
vrednosti Mx~ je 2.
15.6 Sevanje segretih teles
Vsa segreta telesa zaradi termičnega gibanja gradnikov oddajajo energijo v obliki
elektromagnetnega valovanja. Temu pojavu pravimo termično sevanje. Privzemimo, da lahko
telo izmenjuje energijo z okolico le z sevanjem. V toplotnem ravnovesju telo odda v časovni
enoti enako mnoţino energije v obliki elektromagnetnega valovanja, kakor jo prejme iz
okolice. Elektromagnetno valovanje, ki prihaja iz okolice, se na površini telesa deloma
absorbira, preostanek pa se odbije. To velja, če telo nič valovanja ne prepušča. Za telo v
toplotnem ravnovesju tedaj velja, da je mnoţina izsevane energije v časovni enoti enaka
mnoţini absorbirane energije v časovni enoti. Poskusi pokaţejo, da je mnoţina izsevane
energije, ki jo telo odda v časovni enoti, odvisna od absolutne temperature telesa T in v
splošnem tudi od fizikalnih lastnosti površine telesa.
Vzemimo veliko votlo kroglo, ki jo vzdrţujemo pri stalni temperaturi T. V središču naj
visi na tanki nitki majhna kroglica (slika 15.15). S poskusom se lahko prepričamo, da se slej
ko prej vzpostavi toplotno ravnovesje, tako da ima kroglica enako temperaturo T kakor stene
votle krogle.
Slika 15.15. V središču velike votle prazne krogle pri stalni temperaturi T je majhna kroglica, ki ima
na začetku poljubno temperaturo. Po dovolj dolgem času ima tudi kroglica temperaturo T.
Energijski tok, to je energijo, ki jo kroglica izseva v časovni enoti, označimo s P; j naj
predstavlja mnoţino energije, ki jo dobi enota površine kroglice v časovni enoti iz okolice.
39
Zaradi krogelne simetrije je j enak za vsak površinski element kroglice in v toplotnem
ravnovesju imamo
aSjP , (15.27)
kjer je S površina kroglice, a pa njena vpojnost ali absorptivnost in predstavlja deleţ vpadle
energije (Sj), ki jo kroglica absorbira. Prepišimo gornjo enačbo v obliki
ja
SP
/. (15.28)
Gostota vpadlega toka j je odvisna le od temperature votle krogle, nič pa od vrste kroglice.
Zato sklepamo, da velja gornja zveza v toplotnem ravnovesju za vsako kroglico ne glede na
to, iz kakšne snovi je in kakšna je njena površina. Ta ugotovitev predstavlja Kirchhoffov
zakon. Iz same definicije absorptivnosti sledi
0 ≤ a ≤ 1. (15.29)
Telo, pri katerem je a = 1, imenujemo črno telo. Če označimo P/S = j*, dobimo na osnovi
Kirchhoffovega zakona
a
jj tč
1
.. , (15.30)
ali ....
*
tčtč jajj Z besedami: mnoţina energije, ki jo izseva enota površine telesa, je pri
dani temperaturi največja za črno telo. Pri tem smo označili z j* površinsko gostoto
izsevanega energijskega toka za poljubno telo, z j*č.t. pa ustrezno gostoto črnega telesa.
Vzemimo spet votlo kroglo, ki jo vzdrţujemo pri stalni temperaturi T (slika 15.16).
Krogla je lahko narejena iz poljubne snovi, le majhen potemnjen del B naj seva kakor črno
telo. To pomeni, da notranja površina dela B absorbira vse valovanje, ki pade nanj. Ker
imamo toplotno ravnovesje, je mnoţina energije, ki pade v časovni enoti na B enaka mnoţini,
ki jo v istem časovnem intervalu izseva črno telo pri temperaturi T. Če sedaj odstranimo
delček B, se bo nastala odprtina, kar se tiče absorpcije, obnašala enako kakor črno telo. Edina
razlika je v tem, da notranjost krogle ne dobiva deleţa energije, ki ga je prej izseval delček B.
Če je delček B dovolj majhen, je ta razlika zanemarljiva. Tako je mnoţina energije, ki uide v
časovni enoti skozi luknjico, enaka mnoţini energije, ki bi jo izsevalo v enakem času črno telo
s površino, ki je enaka površini luknjice, in temperaturo, ki je enaka temperaturi notranje
površine votle krogle. Na ta način lahko v praksi naredimo črno telo, čeprav stene votle krogle
ne sevajo tako kakor črno telo.
40
Slika 15.16. Majhna odprtina v veliki prazni krogli pri temperaturi T seva kot črno telo pri isti
temperaturi.
Isto velja za elektromagnetno valovanje, ki pada na luknjico z zunanje strani. Tudi v tem
primeru se luknjica vede kot črno telo in absorbira vse valovanje, ki pade nanjo. Če je
luknjica dovolj majhna, je verjetnost, da bi kaj vpadlega valovanja po večkratnem odboju na
notranji steni prišlo nazaj ven, zelo majhna.
Za energijo, ki jo izseva črno telo v časovni enoti, sta Stefan in Boltzmann ugotovila, da
velja Stefan-Boltzmannov zakon,
P = SζT4, (15.31)
kjer je, ζ = 5,672 · 10-8
W/m2K
4, Stefan-Boltzmannova konstanta. Če telo ni črno in ima
temperaturo T, sledi iz (15.30), da je izsevani energijski tok enak
P = aSζT4; (15.32)
absorptivnost telesa a = (P/S)/ζT4 =
../ tčjj zapišemo kot kvocient gostote izsevanega
energijskega toka nečrnega telesa in ustrezne gostote izsevanega energijskega toka črnega
telesa z enako temperaturo. V tej zvezi je v navadi, da a označimo z e in ga imenujemo
emisivnost telesa. Tako imamo
e = a = 1 r, (15.33)
kjer predstavlja odbojnost r deleţ vpadlega energijskega toka, ki se odbije na površini telesa.
Enačbo (15.32) zato največkrat zapišemo v obliki
P = eSζT4. (15.34)
Telo, ki seva tako kakor veleva gornja enačba, in če je e = const, imenujemo sivo telo.
Sonce seva pribliţno kakor črno telo. 1 m2 površine Zemlje, ki je pravokotna na smer sončnih ţarkov, prejme
energijski tok okrog 1360W, če zanemarimo absorpcijo v atmosferi (jZ = 1360W/m2). Oceni temperaturo
površine Sonca. Povprečna oddaljenost Zemlje od Sonca r = 1,5 · 1011
m, polmer Sonca pa pribliţno R = 7 · 108
m.
Celoten energijski tok, ki ga oddaja Sonce, je enak
41
P = 4πR2 · ζT
4 = 4πr
2 · jZ.
Sledi ζT4 = (r/R)
2 · jZ in
K5760K107
105,1
1067,5
13604/1
2
8
11
8
4/12
R
rjT Z
.
V splošnem telo poleg energije, ki jo izgublja zaradi sevanja, to tudi dobiva od okoliških
teles, ki prav tako sevajo. Del te energije se na površini telesa absorbira in se spremeni v
notranjo energijo telesa. Ali se bo telo ohlajalo ali segrevalo, je torej odvisno od razlike med
izsevanim energijskim tokom in absorbiranim energijskim tokom, ki prihaja iz okolice. Izkaţe
se, da je sevanje pomemben dejavnik pri prenosu toplote, še zlasti pri višjih temperaturah.
Določi prenos energije s sevanjem med dvema koncentričnima kroglama s polmeroma r1 in r2, ki imata
temperaturi T1 in T2 (slika 15.17). Emisivnosti krogel sta e1 in e2.
Slika 15.17. Sevanje med koncentričnima kroglama.
Pri reševanju te naloge je zelo pomembno, kako se je lotimo. V prostoru med zunanjo površino notranje
krogle in notranjo površino večje krogle je namreč zapleten proces večkratnih odbojev in vsakokratne delne
absorpcije elektromagnetnega valovanja. Računanju s temi odboji se izognemo, če primerno definiramo ustrezne
energijske tokove. Označimo celoten energijski tok, ki ga oddaja površina posamezne krogle, s )(o
iP , in celoten
energijski tok, ki ga prejema, s )( p
iP , i = 1, 2. Tedaj imamo
)(
11
4
111
)(
1 1 po PeTSeP , (P1)
)(
22
4
222
)(
2 1 po PeTSeP , (P2)
kjer smo upoštevali, da je odbojnost površin enaka iii ear 11 , ter S1 = 4πr12 in S2 = 4πr2
2. Tok
)(
1
pP ,
ki ga prejema površina manjše krogle, je deleţ toka )(
2
oP , ki ga oddaja večja krogla. Sorazmernostni faktor F, ki
ga navadno imenujejo geometrijski faktor, je odvisen le od oblike in velikosti teles ter njune medsebojne lege.
Torej bomo zapisali
)(
2
)(
1
op FPP ,
42
in podobno,
)(
2
)(
1
)(
2 1 oop PFPP .
V tej zadnji enačbi smo upoštevali, da celoten tok )(
1
oP , ki ga oddaja notranja krogla, prestreţe zunanja, ki
hkrati prestreţe tudi deleţ (1 F) svojega lastnega oddanega toka )(
2
oP . Na ta način smo dobili štiri enačbe, ki
določajo neznane tokove )(o
iP in )( p
iP . Tisto, kar nas zanima, je dejanska mnoţina energije, ki jo posamezna
površina prejme v časovni enoti. Označimo jo s Pi in zapišimo
)(
1
)(
11
op PPP , (P3)
)(
2
)(
22
op PPP . (P4)
Če upoštevamo prejšnja izraza za prejete tokove, lahko zadnji dve enačbi prepišemo v obliki
)(
1
)(
21
oo PFPP ,
1
)(
2
)(
1
)(
2
)(
2
)(
12 1 PFPPPPFPP ooooo .
To pomeni, da če se ena od krogel ohlaja, se druga segreva in pri tem prejema energijski tok, ki je enak toku, ki
ga prva izgublja. S pomočjo enačb (P3) in (P4) izrazimo prejete tokove in vstavimo dobljene izraze v enačbi (P1)
in (P2). Dobimo
1
1
14
11
)(
1
1P
e
eTSP o
, (P5)
2
2
24
22
)(
2
1P
e
eTSP o
. (P6)
Skupaj z enačbama
)(
1
)(
21
oo PFPP , (P7)
12 PP (P8)
imamo končni sistem enačb, ki nam omogoča, da določimo, na primer, tok P1. Enačbi (P5) in (P6) vstavimo v
(P7), upoštevamo (P8), pa dobimo
111
21
4
11
4
221
eF
e
TSTFSP
. (P9)
Določimo še geometrijski faktor. Kakor smo ţe omenili, ga lahko v vsakem primeru določimo z računom
tako, da podrobno opredelimo gostote posameznih energijskih tokov, ki jih posamezni površinski elementi dSi
prejemajo ali oddajajo. V literaturi, ki se ukvarja s prenosom toplote s sevanjem, so ti faktorji za standardna
telesa v tipičnih medsebojnih legah ţe izračunani. Tako tudi za obravnavani primer. Vendar lahko za primer
dveh koncentričnih krogel geometrijski faktor določimo zelo preprosto z naslednjim razmislekom. Ker je F čista
geometrijska količina, ima enako vrednost tudi, ko sta krogli v toplotnem ravnovesju, pri katerem velja T1 = T2 in
P1 = P2 = 0. Iz enačbe (P9) tako dobimo
12 SFS in
2
2
1
2
1
r
r
S
SF .
43
Če to vstavimo v izraz za P1, sledi
111
22
1
1
4
1
4
211
eS
S
e
TTSP
.
Če je polmer notranje krogle veliko manjši od polmera zunanje, r1 << r2, sledi
4
1
4
2111 TTeSP
in toplotni tok, ki ga krogla izgublja ali dobiva, je neodvisen od emisivnosti e2 večje krogle, kar smo ugotovili ţe
prej. Zanimiv je tudi primer, ko sta krogli skoraj enako veliki, tako da je r1 r2. V tem primeru imamo
111
21
4
1
4
211
ee
TTSP
.
Gostota energijskega toka j1 = P1/S1 = j2 je
111
21
4
1
4
21
ee
TTj
.
Gostota energijskega toka v tej obliki predstavlja tudi mnoţino energije na enoto površine, ki se v časovni enoti
prenese z sevanjem med dvema vzporednima površinama.
Zadnji rezultat lahko pokaţemo tudi tako, da neposredno izračunamo gostote oddanega in prejetega
energijskega toka )(
1
oj in )(
1
pj , na primer za površino 1. Tako imamo
21
4
221
4
112
1211211
4
22
2
1212
4
11
)(
11
1rr
TerTerrrrrrrTerrrrTej o
.
Gostota prejetega energijskega toka pa je v primeru dveh vzporednih površin enaka ()(
2
)(
2
)(
1
oop jFjj , ker je
v tem primeru F = 1)
21
4
22
4
112)(
2
)(
11 rr
TeTerjj op
.
Zadnji izraz smo dobili tako, da smo v izrazu za )(
1
oj zamenjali indekse 1 2. V skladu z enačbo (P3) sledi
1111111
11
21
4
1
4
2
21
4
1
4
221
21
4
112
4
221)(
1
)(
11
ee
TT
ee
TTee
rr
TerTerjjj op
,
Kar se ujema s prejšnjim rezultatom.
44
Med dvema vzporednima stenama, katerih toplotni prepustnosti sta U1 in U2, vzdrţujemo stalno temperaturo
TN (slika 15.18). Temperatura na zunanji strani sten naj bo TZ > TN. Kolikšna je gostota celotnega toplotnega
toka, ki priteka v prostor med stenama, če sta emisivnosti notranjih površin sten enaki e1 in e2, in kolikšni so
temperaturni skoki na stenah?
Slika 15.18. Temperature ob stenah in toplotna tokova skozi steni.
Račun zastavimo podobno kakor v enem od prejšnjih primerov (glej enačbe 15.16), le s to razliko, da sedaj
upoštevamo tudi energijske tokove, ki jih površine sten prejemajo ali oddajajo. Tako lahko zapišemo
)1(
11 TThq Z ,
)1(
2
)1(
111 TTUq ,
jTThq N )1(
21 ,
in
)2(
12 TThq Z ,
)2(
2
)2(
122 TTUq ,
jTThq N )2(
22 ,
kjer smo zaradi enostavnosti računanja privzeli, da so vsi prestopni koeficienti enaki h. )(
1
iT je površina na
zunanji strani i-te stene )(
2
iT pa na notranji strani. Gostota sevalnega energijskega toka, ki teče od ene k drugi
steni, je
111
21
4)2(
2
4)1(
2
ee
TTj
.
Sevalni tokovi na zunanjih površinah sten nas pri tem računu ne zanimajo, vendar jih lahko upoštevamo s
primerno izbiro zunanje temperature TZ, ki bi bila v tem primeru v splošnem različna za različne stene.
Iz gornjih enačb dobimo
45
11
1
22U
h
j
U
h
TThq NZ
,
22
2
22U
h
j
U
h
TThq NZ
,
111
2
11
221
4)2(
2
4)1(
2
1
1
1
)1(
2
ee
TT
U
h
Uh
U
h
TTTT NZ
N
(a)
in
111
2
11
221
4)2(
2
4)1(
2
2
2
2
)2(
2
ee
TT
U
h
Uh
U
h
TTTT NZ
N
. (b)
Celotna gostota toplotnega toka, ki priteka v prostor med stenama je torej enaka,
j
U
h
U
h
UUh
U
h
U
hTThqqq NZ
21
12
21
21
22
11
2
1
2
1. (c)
Iz enačb (a) in (b) numerično določimo temperaturne skoke na notranjih površinah sten. Dobljene vrednosti nato
uporabimo za izračun izsevanega energijskega toka j. Rezultat vstavimo v enačbo (c), s katero določimo
mnoţino toplote, ki v časovni enoti priteče skozi enoto površine sten v vmesni prostor.
Iz enačbe (c) je razvidno, da sevanje ne prispeva k toplotnemu toku q, če sta toplotni prepustnosti sten enaki,
U1 = U2. V tem primeru slidi, da sta tudi temperaturi notrnajih površin obeh sten enaki, )2(
2
)1(
2 TT in j = 0.
Enak rezultat dobimo tudi, če sta zunanji temperaturi na eni in drugi strani različni.
Vzemimo črno telo s temperaturo T > T0, kjer je T0 temperatura okolice. Iz tega kar smo povedali zgoraj,
sledi, da črno telo v časovni enoti na enoto površine oddaja v obliki elektromagnetnega valovanja energijski tok
4Tj .
Določi eksergijo sevalnega toka j pri temperaturi okolice T0.
Ker sta izsevani energijski tok T4 in prostorska gostota elektromagnetne energije w, ki je v toplotnem
ravnovesju z črnim telesom, povezana z enačbo(glej primer na koncu poglavja) 4/4 wcT (c je hitrost
svetlobe), smemo pri izpeljavi eksergije oziroma maksimalnega dela računati namesto z energijami kar z
energijskimi ali toplotnimi tokovi. Pri tem moramo eksergijo nadomestiti z gostoto eksergijskega toka .~
rade in
maksimalno delo z močjo preračunano na enoto površine telesa(simbole X,Y,..., ki smo jih uporabljali pri
razpravi o eksergiji v poglavju 12 bomo zato označevali z ,....~
,~
YX ).
Prvi hip bi kdo morda pomislil, da smemo uporabiti formulo (12.39) iz katere sledi
46
T
TTerad
04
. 1~ .
Kot bomo pokazali v nadaljevanju rezultat ni čisto pravilen. Da bo račun bolj enostaven, vzemimo dve veliki
vzporedni črni plošči s temperaturama T1 in T2 < T1, ki sta blizu ena druge. Kot vemo, hladnejša plošča prejema
od toplejše energijski tok j ali ekvivalenten topolotni tok q ([ j ] = [ q ] = W/m2),
2121
2
2
2
1
4
2
4
1 TTTTTTTTqj .
Če izberemo T1 = T in T2 = TdT sledi,
dTTdq 34 ,
ki predstavlja toploto, ki jo v obliki sevanja dobi hladnejša plošča v časovni enoti na enoto površine. Del te
toplote pretvorimo v mehansko delo s pomočjo Carnotovega toplotnega stroja, ki dela med temperaturama TdT
in T0 kot kaţe slika 15.15. Delo, ki ga pri tem stroj odda je v skladu z Carnotovim izkoristkom enako,
dT
T
TT
dTT
TdqAd 030
max 141~
Vendar na ta način smo izkoristili samo majhen del sevalnega toka, ki ga oddaja črna plošča s temperaturo T v
smeri navzdol. Da bomo izkoristili celoten sevalni tok T4T0
4, ki ga plošča oddaja v okolico z temperaturo T0,
in da bodo vsi procesi reverzibilni moramo vstaviti še celo vrsto(neskončno) plošč z pojemajočimi
temperaturami na katere so priključeni toplotni stroji tako kakor kaţe slika 15.16. Sledi,
T
TT
T
T
T
T
T
TT
T
T
T
TTdT
T
TTA
T
T
04
3
3
0004
4
4
00403
max 113
11
3
1
3
4114
~
0
Pravilen rezultat je torej,
3
0
3
0
4
0
4
4
4
004
max3
4
3
4
3
1
3
41
~~ TTTTTT
T
T
TTAerad .
Če vzamemo Sonce kot črno telo s temperaturo T 5800 K z temperaturo okolice (površina Zemlje) T0 288 K
(15 oC) dobimo
934,0~
4
T
erad
,
ali 0,950, če upoštevamo samo Carnotov factor (1T0/T). V primeru Sonca je eksergijski tok glede na Zemljo
praktično enak energijskemu toku.
Vzemimo votlino z prostornino V in stenami s temperaturo T. Ko se vzpostavi toplotno ravnovesje je energija
sevanja v votlini enaka
Vc
TTWrad
4
4)(
.
Eksergija erad. te energije je v skladu s tem kar smo pokazali zgoraj enaka
V
c
TTTWV
c
TTTWV
c
ee radrad
radrad
3
000.
4
0..
.3
16)(
3
16)(
~4
.
47
Gornji izraz je skladen z rezultatom (12.44), če velja, da je entropija sevanja v votlini enaka
Vc
TTSrad
3
.3
16)(
.
Da je temu res tako, se prepričamo z naslednjim računom. Za Carnotov kroţni proces velja(glej Sl. 15.16 in
enačbo (12.33)),
0T
qd
T
dq ,
kar nam da za toplotni tok, ki ga stroj odda v okolico,
dTTTdqT
Tqd 2
00 4 .
Ker okolica prejema toploto ob stalni temperaturi se njena entropija S~
poveča za
dTTT
qdSd 2
0
4~
.
V celoti se entropija okolice poveča za
T
T
TTdTTS
0
3
0
32
3
44
~ .
Za ravno toliko pa se je zmanjšala tudi entropija sevanja. Če upoštevamo Vc
SS rad
rad.
.
~
4 imamo rezultat, ki
smo ga uganili zgoraj. Tako da izraz za eksergijo sevanja črnega telesa lahko zapišemo v končni obliki kot,
)()()()( 0.00..0.. TSTTWTSTTWe radradradradrad
15.7 Spekter sevanja črnega telesa
V tem razdelku nas zanima, kako je energija, ki jo izseva črno telo, porazdeljena po valovnih
dolţinah. Elektromagnetno valovanje, ki ga zaznava človeško oko, ima na primer valovne
dolţine od pribliţno 400 do 700 nm (1nm = 10-9
m). To elektromagnetno valovanje na kratko
imenujemo vidna svetloba. Elektromagnetno valovanje z valovnimi dolţinami, ki so večje od
700 nm, bomo grobo imenovali infrardeča svetloba in valovanje z valovnimi dolţinami, ki so
manjše od 400 nm, ultravijolična svetloba. Posebej nas zanima, kolikšen deleţ izsevane
energije odpade na vidno, infrardečo in ultravijolično svetlobo.
Označimo z *
..tčdj deleţ izsevanega energijskega toka na enoto površine črnega telesa, ki
odpade na interval valovnih dolţin med in + d. Torej,
48
dd
djdj tč
tč
*
..*
.. . (15.35)
Porazdelitev izsevanega energijskega toka po valovnih dolţinah najlepše prikaţemo na grafu,
kjer na abscisno os nanašamo valovno dolţino, na ordinatno os pa ddj tč /*
.. . S tem prikaţemo
spekter sevanja črnega telesa. Površina, ki jo graf oklepa z abscisno osjo, tako predstavlja, v
skladu z enačbo (15.35), površinsko gostoto izsevanega energijskega toka P/S = T4 .
Kakšna je ta porazdelitev, v okviru klasične fizike ne moremo natančno napovedati.
Prvi, ki mu je uspelo zapisati ddj tč /*
.. v matematični obliki, je bil Max Planck (leta 1900),
ki je s tem predstavil kvantno hipotezo in začel obdobje kvantne mehanike. Tako imenovani
Planckov zakon za sevanje črnega telesa se glasi
1
12/5
2*
..
kThc
tč
e
hc
d
dj
, (15.36)
kjer je c hitrost elektromagnetnega valovanja v praznem prostoru (―svetlobna hitrost‖,
3 · 108 m/s), k = 1,39 · 10
-23 J/K je Boltzmannova konstanta in
h = 6,626 · 10-34
Js
Planckova konstanta. Spekter sevanja črnega telesa za različne temperature prikazuje slika
15.19.
Slika 15.19. Levo: spekter EM valovanja pri sevanju črnega telesa za temperature 100 K, 120 K, 140
K, 160 K in 180 K. Desno: Spekter kozmičnega sevanja, ki ustreza temperaturi 2,725 K. ?
Da dobimo gostoto celotnega izsevanega energijskega toka *
..tčj , moramo sešteti po vseh
valovnih dolţinah. Če vpeljemo novo spremenljivko x = hc/kT, lahko zapišemo
49
0 0
34
23
4
/
52*
..1
2
12
xkThctče
dxxT
ch
k
e
dhcj
.
Določeni integral
0
3
1xe
dxxlahko hitro izračunamo: če razvijemo imenovalec v vrsto in dobimo,
dobimo
0 0 0 1
4
4
32333
15
6
11 n
xxx
x
x
x ndxeeexdx
e
ex
e
dxx .
Tedaj lahko zapišemo
*
..tčj = ζT4,
pri čemer smo uvedli Stefan-Boltzmannovo konstanto
ζ = 23
45
15
2
ch
k.
Deleţ izsevanega energijskega toka P(1,2,T) , ki leţi na intervalu = 2 1, je enak
kThc
kThc
xe
dxx
ch
TkSTP
2
1
/
/
3
23
44
211
2,,
, (15.37)
kjer integral izračunamo numerično. Na ta način ugotovimo, da je deleţ energijskega toka, ki
ga Sonce (s temperaturo na površju T = 5760 K) izseva kot infrardečo svetlobo, vidno
svetlobo ali ultravijolično svetlobo, enak
%44),(
)5760,(4
TS
TIRPKIR
,
%46),(
)5760,(4
TS
TVSPKVS
,
%10),(
)5760,(4
TS
TUVPKUV
.
Na enak način lahko izračunamo tudi na primer deleţe za navadno ţarnico, ki ima
temperaturo nitke okrog 2500 K in za katero vzamemo, da seva kakor črno telo. Tako
dobimo, (IR, 2500K) 94%, (VS,2500K) 6% in (UV,2500K) 0,02%.
S pomočjo Planckovega zakona določi valovno dolţino m pri kateri črno telo z dano temperaturo najmočneje
seva.
Iz slike 15.19 razberemo, da ima pri tej valovni dolţini graf ddj tč /*
.. vodoravno tangento. Torej velja
50
01
/2
1
152
2/
/2
5
2
/6
2*
..
kThc
kThc
kThc
tč
e
ekThchc
ehc
d
dj
d
d
.
Označimo hc/kT = x in prepišimo gornjo enačbo v obliki
xxx
xeeex
e
x 3211
5 .
Zadnja enačba nas napeljuje, da rešitev zapišemo kot x = 5 + ε, z domnevo, da je ε << 1. Nastavek nesemo v
prejšnjo enačbo in dobimo
)1(55 5 e ,
kar nam da
ε ≈ –5e–5
= –0,034,
in x = 5 + ε 4,965. Končni rezultat je torej
mK109,2JK1038,1965,4
ms103Js1063,6
965,4
3
123
1834
k
hcTm .
Enačba
λmT = 2,9 · 10-3
mK = const. (15.38)
se imenuje Wienov zakon. Če kot primer vzamemo Sonce s temperaturo površja T = 5760 K,
nam Wienov zakon pove, da Sonce najmočneje seva svetlobo z valovno dolţino m =
(2,9/5,8).10-6
m = 500 nm, ki jo človeško oko zazna kot modro-zeleno. Telo pri sobni
temperaturi (300 K) pa seva najmočneje pri valovni m 10-5
m = 104
nm, ki je ţe daleč v
infrardečem delu spektra.
Sedaj, ko vemo, da izsevana energija ni enakomerno porazdeljena po valovnih dolţinah,
moramo temu primerno posplošiti tudi Kirchhoffov zakon. Vzemimo votlino, katere stene
imajo stalno temperaturo. Ker stene sevajo, se v votlini ustvari elektromagnetno valovanje ali
na kratko svetloba, ki slej ko prej doseţe ravnovesno stanje. Tedaj je spektralni sestav
svetlobe takšen, da je gostota energijskega toka, ki pada na vsak površinski element stene,
enaka ζT4. Energijska gostota in spektralni sestav svetlobe v votlini sta v ravnovesju stalna.
To pomeni, da velja
dd
djd
d
dja tč
**
..)( , (15.39)
in
d
dj
a
ddj tč
*
..
*
)(
/ . (15.40)
51
To je posplošeni Kirchhoffov zakon. a() je absorptivnost telesa pri dani valovni dolţini.
Razmerje med gostoto izsevanega energijskega toka na intervalu med in + d in emisijsko
vpojnostjo ali absorptivnostjo telesa na istem intervalu je enako za vsa telesa.
Nekaj zgledov, ki prikazujejo vlogo termičnega sevanja pri prenosu toplote smo ţe
navedli. V nadaljevanju bomo na kratko opisali še nekaj primerov iz vsakdanjega ţivljenja.
Če smo pozimi v zakurjeni sobi, nam je hladno, dokler se stene ne segrejejo, čeprav je
temperatura zraka ţe zadostna. Za to je krivo sevanje, ker naše telo oddaja stenam več toplote
s sevanjem, kakor je od njih prejema. Podobno lahko razloţimo, zakaj je večja verjetnost za
nastanek slane, kadar so noči jasne, kakor tedaj, ko je nebo prekrito z oblaki. Ker zrak pri
normalnih temperaturah praktično nič ne seva, predstavlja nebo črno telo s temperaturo nekaj
stopinj kelvina( 3K). Ob jasnih nočeh zemlja torej oddaja v nebo precej toplote v obliki
sevanja, v zameno pa je dobiva le malo. Če ni vetra, se zato površina Zemlje hitro ohladi tudi
pod nič stopinj Celzija, čeprav je temperatura zraka lahko precej nad ničlo. Drugače je, če so
noči oblačne. Voda v oblakih namreč precej izsevane infrardeče svetlobe absorbira in jo
precejšen deleţ tudi izseva nazaj na Zemljo. Površina Zemlje zaradi tega izgublja v celoti
precej manj toplote in se zato manj ohladi.
V zvezi s Kirchhoffovim zakonom večkrat slišimo naslednjo trditev: dobri absorberji so
dobri sevalci (a = e). Vendar pri tem ne smemo pozabiti, da to drţi le za absorpcijo in emisijo
pri enaki valovni dolţini in enaki temperaturi. Vpojnost nekaterih snovi je močno odvisna od
valovne dolţine absorbirane svetlobe. Steklo, na primer, ki je prozorno za vidno svetlobo
močno absorbira infrardečo svetlobo. To je razlog, zakaj je lahko temperatura v topli gredi
precej višja od zunanje temperature. Sončno sevanje v vidnem delu spektra gre z lahkoto
skozi steklo in se absorbira v zemlji in na drugih površinah v notranjosti tople grede in jih
tako segreva. Te površine seveda tudi sevajo; a ker je njihova temperatura veliko niţja od
sončne, sevajo najmočneje v infrardečem delu spektra. Za to sevanje pa je steklo praktično
neprepustno in večino prejete sončne energije ostane v topli gredi, katere notranjost se zato
segreva. V tem primeru se absorpcija odvija pri kratkih valovnih dolţinah, emisija pa pri
dolgih, in posledica je skoraj enosmeren tok energije.
Kakor smo ţe omenili, je gostota energijskega toka Sonca na robu zemeljske atmosfere pribliţno 1360 W/m2.
Povprečna absorptivnost atmosfere je okrog 0,7. Tako lahko rečemo, da je v povprečju čez celotno površino roba
atmosfere gostota energijskega toka enaka
222
2
m
W238
m
W13607,0
4
R
Rj
,
kjer lahko rečemo, da je R kar pribliţno enak polmeru Zemlje. Če sedaj privzamemo, da je Zemlja kot planet v
toplotnem ravnovesju z okolico (v povprečju čez nekaj let), to pomeni, da mora vsak m2 zemeljske površine
oddajati energijski tok 238 W. Če nadalje privzamemo še, da površje Zemlje seva kakor črno telo, dobimo za
ravnovesno temperaturo Zemlje Te
K255KWm1067,5
Wm238m/W238
4/1
428
224
ee TT .
Ravnovesna temperatura Zemlje je torej 18 ºC. Pri tem računu seveda nismo upoštevali, da se precejšen deleţ
dolgovalovnega sevanja, ki ga površina Zemlje oddaja, absorbira predvsem v vodni pari in molekulah CO2 v
atmosferi. Atmosfera absorbirano energijo nato zopet izseva v obliki dolgovalovne infrardeče svetlobe. Deleţ, ki
ga atmosfera izseva proti Zemlji, se absorbira na površini in jo segreva. Zato je dejanska povprečna temperatura
zemeljske površine večja od gornje vrednosti in je enaka pribliţno Tp = 288 K ali 15ºC. To je tako imenovani
učinek tople grede, ki po zgornjem računu znaša T = Tp Te 33 K. Pri temperaturi površine 288 K pa Zemlja
52
kot črno telo izseva 390 W/m2, tako da v primeru ravnovesja atmosfera vrne pribliţno 390 W/m
2 238 W/m
2
=152 W/m2. Če dobi Zemlja manj od te vrednosti, se prične ohlajati, če dobi več, pa segrevati.
15.8 Prevajanje toplote in difuzija v plinih
Preden se lotimo teh pojavov v plinih, moramo bolj natančno opredeliti interakcije med
molekulami v plinu. Zaradi kratkega dosega medmolekularnih sil lahko rečemo, da molekule
učinkujejo ena na drugo praktično le v kratkem časovnem intervalu ob trkih, ko se druga
drugi dovolj pribliţajo. Ves preostali čas se molekule v plinu prosto gibljejo. V tem se
razlikujejo od molekul v kapljevinah, ki neprestano medsebojno učinkujejo in v tem primeru
ne moremo razločiti trke med posameznimi pari molekul.
Kot trk bomo definirali vsak dogodek, ko se dve molekuli toliko pribliţata ena drugi, da
se njuno gibanje v primerjavi z enakomernim premim gibanjem znatno spremeni. Rekli bomo,
da se ob trkih smer in velikost hitrosti molekul opazno spremenita.
Trki med molekulami so popolnoma naključni. Zato je razdalja, ki jo molekula
prepotuje med dvema zaporednima trkoma, lahko poljubno velika. Pomembna kinetična
karakteristika plina je tako imenovana povprečna prosta pot, ki jo bomo označili z l in je
definirana kot povprečna razdalja, ki jo neka poljubno izbrana molekula prepotuje med dvema
zaporednima trkoma. Iz same definicije je razvidno, da je ta količina za vse molekule dane
vrste enaka. Povprečno prosto pot lahko zapišemo kot
vl , (15.41)
kjer je v povprečna hitrost, ki jo imajo molekule zaradi termičnega gibanja. S tem smo
definirali povprečni čas med dvema zaporednima trkoma dane molekule.
Opazujmo trk dveh molekul, od katerih naj ena miruje. Izberimo ravnino, ki gre skozi
mirujočo molekulo in je pravokotna na smer gibanja druge molekule. V skladu s tem, kar smo
povedali zgoraj, bosta molekuli trčili le, če druga molekula prečka ravnino v dovolj majhni
okolici ζ mirujoče molekule (slika 15.20). To količino, ki ima enoto površine, imenujemo
presek za trk. Če označimo število molekul na enoto prostornine z n in upoštevamo definicijo
povprečne proste poti, sledi
nlζ = 1, (15.42a)
in
n
l1
. (15.42b)
To, da se v resnici vse molekule ves čas gibljejo, lahko upoštevamo v definiciji preseka ζ.
53
Slika 15.20. Presek za trk dveh enakih okroglih molekul. Presek ζ je navidezen krog, zvezan z eno od
molekul, s ploščino π(2r0)2.
Vzemimo, na primer, da se molekule obnašajo kot toge kroglice s polmerom r0. To pomeni, da je doseg
medmolekularnih sil enak velikosti molekul. Dve molekuli bosta trčili, če letita ena mimo druge na razdalji, ki je
manjša od 2r0. Presek je v tem primeru enak ζ = π(2r0)2 = 4πr0
2 in povprečna prosta pot je l = 1/n · 4πr0
2. Če
upoštevamo še gibanje drugih molekul, dobimo po daljšem računu 2
042/1 rnl , tako da je
2
042 r .
V resnici se molekule ne obnašajo kot toge kroglice. Ker pa sile med molekulami zelo
hitro pojemajo z razdaljo med njimi, lahko govorimo o trku šele, ko molekuli skoraj oplazita
druga drugo. Zato je presek za trk v enem ali drugem primeru reda velikosti prečnega preseka
molekul in je odvisen le od vrste molekul.
Ta zadnja trditev ni čisto res, ker med molekulami na večjih razdaljah delujejo šibke
privlačne sile. Ko je povprečna hitrost molekul velika, te sile nimajo dosti vpliva na trke.
Drugače pa je pri niţjih temperaturah, ko so povprečne hitrosti molekul majhne. Tedaj
molekuli, ki letita ena mimo druge, preţivita relativno daljši čas v neposredni bliţini, tako da
lahko medmolekularne sile znatno spremenijo njuno gibanje tudi na večjih razdaljah. Zato
pričakujemo, da se presek za trke veča z niţanjem temperature plina. V dušiku ali kisiku se
presek poveča za okrog 30 %, če se temperatura zniţa od 100 ºC na 100 ºC, v vodiku pa za
20 %.
V zraku pri 0 ºC in normalnem tlaku (1 bar) je
319
123
25
cm/103K273JK1038,1
Nm10
kT
Pn
in presek ζ 5 · 10-15
cm2. Povprečna prosta pot molekul v zraku pri teh pogojih je torej
nm100cm10cm105cm103
11 5
215319
nl .
Povprečna hitrost molekul je
12
1
0
ms105k29
K273JK8300.888
gM
RT
m
kT
v ,
54
kar nam da za povprečen čas med dvema zaporednima trkoma
s102ms105
m10 10
12
7
v
l .
Z manjšanjem tlaka povprečna prosta pot hitro narašča ( Pl /1 ), tako da je pri tlaku P = 10-3
bar ţe enaka l
10-2
cm.
Sedaj, ko smo definirali povprečno prosto pot molekul, lahko pribliţno ocenimo velikost
difuzijskega koeficienta D in toplotno prevodnost v plinih.
Oglejmo si najprej difuzijo. V ta namen vzemimo mešanico dveh plinov, v kateri je tlak
povsod enak, sestava mešanice pa naj se spreminja le v eni smeri, ki jo izberemo kot smer
koordinatne osi x. Naj bo število molekul na enoto prostornine ene od komponent v mešanici
n1 = n1(x). Difuzijski tok v smeri pozitivne osi je po definiciji enak številu molekul
komponente 1, ki v časovni enoti prečkajo enoto površine pravokotne na os x. Pri tem štejemo
hitrost v smeri pozitivne osi pozitivno, v nasprotni smeri pa negativno. Število molekul, ki v
časovni enoti prečkajo površinsko enoto v pozitivni smeri osi x, je v161 n , pri čemer smo
upoštevali, da so vse smeri gibanja enakovredne. Ker je n1 odvisen od koordinate x, se
moramo odločiti, katero vrednost pripišemo tej količini. Vzemimo, da je površina, skozi
katero opazujemo difuzijski tok, na oddaljenosti x vzdolţ koordinatne osi. Potem vzamemo za
tok v smeri pozitivne osi vrednost n1(x – l), kjer je x l v povprečju mesto zadnjega trka
molekule, preden je prečkala izbrano ploskev. Podobno vzamemo za tok v nasprotni smeri
vrednost n1(x + l). Gostoto difuzijskega toka tako zapišemo
vv lxnlxnj 161
161 . (15.43)
Ker je povprečna prosta pot majhna, smemo zapisati, na primer, n1(x + l) = n1(x) + (dn1/dx)l +
… in gornjo enačbo prepišemo kot
dx
dnD
dx
dnlj 11
3
1
v . (15.44)
Difuzijski koeficient je potemtakem
lD v3
1 . (15.45)
Če upoštevamo, da je l = 1/nζ, kjer je n celotno število molekul na enoto prostornine, in
plinsko enačbo v obliki P = nkT, lahko difuzijski koeficient zapišemo kot
P
kTD
3
v . (15.46)
Pri dani temperaturi je torej difuzijski koeficient v plinih obratno sorazmeren s tlakom.
Nadalje, ker je povprečna hitrost sorazmerna s T1/2
, to pomeni, da difuzijski koeficient z
višanjem temperature narašča kor T3/2
(če privzamemo, da je presek ζ stalen).
55
Pri gornjih izpeljavah bi morali bolj natančno opredeliti, kako v plinski mešanici
določimo vrednosti za v in ζ. Ker nas zanima le red velikosti iskanih količin, ta razloček ni
pomemben, če imajo molekule podobne mase in velikosti. V primeru, ko se molekule znatno
razlikujejo tako po velikosti kakor tudi po masi, pa bolj natančen račun pokaţe, da predstavlja
v hitrost laţjih molekul, ζ pa tisti presek za trke, ki je večji.
Kot poseben primer vzemimo mešanico dveh izotopov istega elementa. Edina razlika
med molekulami je tedaj malenkostna razlika v masi, tako da imamo pravzaprav opravka z
difuzijo v plinu z enakimi molekulami. Razlika v masi je tu samo oznaka, s katero razločimo
obe vrsti molekul, tako da lahko zasledujemo njihovo gibanje. Pomen povprečne hitrosti in
preseka v izrazu za difuzijski koeficient je tukaj jasen in se nanaša na en ali drug izotop v
mešanici. Vzemimo dušik pri sobni temperaturi in normalnem tlaku. Povprečna hitrost je
podobno kakor pri zraku v 5 · 102 ms
-1 in ζ = 2
042 r 2 · 10-15
cm2, kjer smo vzeli r0
10-8
cm. Če upoštevamo, da je n 3 · 1019
cm-3
, sledi, da je l =1/n 2 · 10-5
cm in
s/cm3,0cm102cms1053
1
3
1 2514 lD v .
Vrednost, ki jo da eksperiment, je 0,18 cm2/s. Karakteristična razdalja, ki jo prepotuje
molekula v času t v dani smeri, sledi iz dimenzijske analize in je reda velikosti Dt . V eni
sekundi je to okrog s1scm2,0 12 ≈ 0,5 cm, kar je zelo malo v primerjavi z dejansko potjo,
v t ≈ 5 · 104 cm s
-1 · 1 s = 5 · 10
4 cm, ki jo v tem času naredi molekula plina.
Uporabi Maxwellovo porazdelitev molekul po hitrostih (11.32) in izpelji izraz za število molekul, ki v časovni
enoti prečkajo v pozitivni smeri osi x ploskvico s površino S, ki je pravokotna na os x.
Slika 15.21. Molekule, ki priletijo skozi ploskvico S, ki je pravokotna na os x.
Sledi (slika 15.21)
zyxzyxx dddf
V
dtSdNd vvvvvv
v),,( ,
kjer je V prostornina plina. Gornji izraz integriramo po hitrostih in delimo z dt, pa imamo
56
vvvvv vvvSn
m
kTndedede
kT
mnS
dt
dNx
kTm
xz
kTm
y
kTmxzy
4
12
2
1
2
2/1
00
2/2/2/
2/3
02
02
0
20
,
kjer je n = N/V število molekul na enoto prostornine in 0/8 mkT v povprečna hitrost molekul. Če bi
uporabili ta rezultat pri oceni difuzijskega koeficienta, bi zanj dobili vrednost lD v21 . Razlika seveda ni
pomembna in bi pravzaprav lahko brez škode napisali lD v kot primerno oceno za velikost difuzijskega
koeficienta.
Ocena za toplotno prevodnost plina sledi po enakem računu, kakor smo ga naredili
zgoraj za difuzijski koeficient. Vendar račun ni potreben, če se spomnimo, da igra termična
difuzivnost pri prevajanju toplote enako vlogo kakor difuzijski koeficient pri difuziji.
Prevajanje toplote si namreč lahko prestavljamo kot difuzijo energije z difuzijskim
koeficientom . Mehanizem za oba procesa so trki med molekulami. Tako lahko zapišemo
lv , (15.47)
ali
ANMccmlc //0 vvv , (15.48)
kjer je c specifična toplota plina. Ker sta cp in cv istega reda velikosti, je zopet vseeno, katero
količino uporabimo pri oceni (15.48). m0 je masa molekule, NA Avogadrovo število in M
kilomolska masa plina.
Toplotna prevodnost plina je torej neodvisna od gostote ali tlaka plina in je odvisna
samo od temperature. Ker sta tako specifična toplota plina kakor tudi presek ζ le malo
odvisna od temperature, je temperaturna odvisnost toplotne prevodnosti določena s
temperaturno odvisnostjo povprečne hitrosti. Tako imamo T . Ker pa specifična toplota
plinov v splošnem narašča s temperaturo, presek ζ pa s temperaturo pada, sledi, da toplotna
prevodnost s temperaturo narašča v splošnem hitreje kakor povprečna hitrost molekul.
Za zrak pri 0 ºC imamo v ≈ 5 · 102 ms
-1, ζ 5 · 10
-15 cm
2, in če vzamemo c = cv =
5R/2M, sledi
mK
W103
m105
ms105WsK1038,1
2
5
2
5 2
219
12123
vk ,
kar se pribliţno ujema z eksperimentalno vrednostjo = 2,41 · 10-2
W/mK pri navedeni
temperaturi.
