Yapı Statiği 2 Cross Yöntemi

Cross Yöntemi Bölüm 5

255

BÖLÜM 5 5.1. CROSS METODU (HARDY CROSS-1932) Hiperstatik sistemlerin çözümünde kullanılan cross yöntemi açı yönteminin özel bir hali olup moment dağıtma (iterasyon) metodu olarak da kullanılmaktadır. Açı metodunda düğümlerde moment ve yatay dengeler yazılarak düğümlerdeki dönüş açıları ve deplasmanlar bulunarak sistem çözüldüğü halde Cross metoduyla hiperstatik sistemlerin çözümünde önce rijit düğüm noktalarında dönüşleri sıfır yapacak şekilde kilitlenir. Kilitleme ankastrelik momentlerin farkının ters işaretlisi olan bir dış momentle yapılır. Yani açı metodunda olduğu gibi düğümdeki toplam moment sıfır olacak şekilde düzenlenir. Bu uygulanan dış moment düğümde sadece dengeyi sağlamak için kabul edilen bir moment olduğu için aranan moment olarak kabul edilmemelidir. Bu kilitleme momentinden dolayı düğümde bir dönüş ve bu dönüş sonucunda da düğümdeki çubukların uçlarında bir moment oluşacaktır. Bu yöntemde bir düğüme;

1. Düğüm noktalarında dış yüklerden dolayı oluşan ankastrelik momentleri,

2. Komşu düğümlerden gelen (2EI/L’den 1/2) momentler,

3. Birim yatay (δ=1) yüklemelerinden gelen (k=-3k/L ve k=-2k/L) momentler,

olmak üzere bu üç momentin farkı TERS işaretli olarak o düğüme birleşen çubuk uçlarına rijitlikleri oranında dağıtılır ve k çubuklarının ucuna düşen momentin yarısı da komşu düğüme gönderilir. 1.Diğer bütün düğümler kilitli, sadece i serbest 2. ϕϕϕϕi bulunduktan sonra i aynı kalsın ve j serbest

i

j

k

i

j

k

i

j

k Tüm düğümlerlerdeki

dönüş açıları≠ 0

Tüm düğümlerlerdeki dönüş açıları=0

Bölüm 4 Cross Yöntemi

256

I. Đterasyon

1. Bütün düğümlerdeki dönüş açıları sıfır

2. Sadece i noktası serbest yani ϕϕϕϕi ≠≠≠≠ 0 olsun ve buradan ϕϕϕϕi kolayca bulunur.

3. Sadece j noktası serbest yani ϕϕϕϕj ≠≠≠≠ 0 olsun ve ϕi yukarıda bulunan değerde olsun. Buradan

ϕϕϕϕi bilindiğine göre ϕϕϕϕj kolayca bulunur.

4. Sadece k noktası serbest yani ϕϕϕϕk ≠≠≠≠ 0 olsun ve ϕϕϕϕi -ϕϕϕϕj yukarda bulunan değerde olsun.

Buradan ϕϕϕϕi ve ϕϕϕϕj bilindiğine göre ϕϕϕϕk kolayca bulunur.

5. Yukarıdaki işlemler dönüş açısı olan bütün düğümler için yapılır ve ilk dönüş açıları

bulunmuş olur. Yani başlangıçta sıfır olan dönüş açıları yerine değerleri bulunmuş olur.

II. Đterasyon 1. Đşlemler tekrar baştan başlanarak yapılır n inci düğüme kadar yapılır ve ikinci iterasyon

tamamlanır. III. Đterasyon 1. Değişim sıfır olduğu zaman iterasyona son verilir. Ve böylece düğümlerdeki dönüş açıları

bulunur. Düğümlerdeki ankastrelik momentleri açı metodunda olduğu gibi bulunur.

kNm96.1212

2.7x3MMkNm86.4

12

6.3x5.4MM

2

3223

2

2112 ============−−−−============−−−−

kNm80.46.3x2

)4.26.3(4.2x2.1x2.7

L2

)bl(PabM

2234 ====++++

====++++

====−−−−

Bu ankastrelik momentleri düğümlere uygulanarak düğümlerdeki momentlerin dengede olması için kesikli çizgilerle gösterilen momentler düğümlere uygulanarak bütün düğümler kilitlenir. � nolu düğüm sabit mesnet olduğu için sadece dış yüklerden dolayı oluşan bir moment (3 x 0.9=2.7 kNm) bulunmaktadır.

Daha sonra düğümlerden istenilen bir tanesi açılır. Bu düğümleri açma işlemine kilitleme momenti olan ankastrelik momentleri farkının ters işaretlisinin mutlak değerce büyük olanından başlamak iterasyonun adım sayısını azaltacağından daha uygundur. Bu örnekte üç nolu düğüm açılarak ankastrelik momentler farkı olan kesikli çizgilerle gösterilen kilitleme momenti 8.16 kNm lik moment bulunur. Ancak, � nolu düğümde konsoldaki yükten dolayı oluşan bir 2.7 kNm lik bir moment bulunmaktadır. Konsol yüklerden dolayı oluşan momentlerin, kenar mesnetteki

86.4M12 ==== 4.86

�

86.4M21 ==== 96.12M23 ====

�

12.96-4.86=8.1

96.12M32 ==== 8.4M34 ====

�

12.96-4.8=8.16

7.29.0x3 ====

�

2.7

1.03I I I � � � �

4.5 kN/m 3 kN/m 7.2 kN

3.6m 2.4m 7.2m 1.2m

09m

3 kN


257

dış yük olan momentlerin yarısı ve bir düğümde bulunan dengeleyici momentin yarısı karşı mesnede aşağıdaki kabulden dolayı geçer. Yani, düğümde dengeleyici momentten dolayı bir dönme ve bunun sonucunda da bir moment oluşacaktır. Oluşan bu momentin yarısı aynı işarette çubuğun diğer ucuna geçer. Komşu düğüm mafsallı ise bu momentin yarısı geçmeyecektir. Açı metodunun esasını teşkil eden bu kabuller açı metodu denklemlerinin çıkarılmasında aşağıdaki şekilde elde edilmişti.

Buna göre � mesnedindeki momentin yarısı � mesnedine artı olarak geçer. Konsol momentleri sağdan sola artı soldan sağa eksi geçer. Çerçevelerde ise mütemadi kirişlerin tam tersi olmaktadır. Bu durum açı yönteminde tablo halinde açıklanmıştır.

9.51 kNm lik dengeleyici kilit momenti düğüme birleşen çubukların toplamı bir olan ve rijitlikleri

dikkate alınarak hesaplanan dağıtma sayıları oranında ters işaretli olarak paylaşılarak düğüm

dengesi sağlanır. Çubuklara gelen bu momentlerin yarısı aynı işarette çubuğun diğer ucuna

yani komşu düğümlere gönderilir. Sistemin çözümü için diğer bütün düğümlerin dengesi

sağlanması şartından dolayı aynı işlem diğer komşu düğümlerde yapılır. Komşu düğümde

dengeleyici moment o düğümde önceden bulunan kilit momenti (ankastrelik momentleri farkı

olan moment) ile komşu düğümdeki dengelemeden gelen momentin toplamı ters işaretli olarak

düğüme birleşen çubukların dağıtma sayıları oranında dağıtılarak düğüm dengesi sağlanmış

olur. Bu dengeden dolayı oluşan momentlerin yarısı çubuğun diğer ucuna yani düğüm

noktasına gönderilir. Bu işleme komşu düğümlerden gelen momentlerin küçülmesi durumunda

son verilerek her çubuğun ucundaki momentler toplanarak son verilir. Bu toplam sonucu her

düğümdeki momentlerin toplamı açı metodunda olduğu gibi sıfır olmalıdır. Bir çubuğun uç

momenti,

1. Ankastrelik momentleri

2. Düğümdeki dengelemeden dolayı dağıtma sayısı oranında gelen moment

3. Çubuğun diğer ucundaki düğüm dengelemesinden dolayı o uçta oluşan momentin yarısı

momentlerinin toplamıdır.

96.12M32 ====

8.4M34 ====

�

Kilit moment=12.96-4.8+1.35 =9.51

7.29.0x3 ====

�

2.7 2.7/2=1.35

_

+ Mik

Mki=Mik/2

Uç momentleri Mki ve Mik olsun

i k

ϕi

Hiç şekil değiştirmesi olmayan

eleman i k

Mki Mik

k i


258

5.2. DÜĞÜM NOKTALARI SABĐT (δδδδ=0) SĐSTEMLER Düğüm noktaları sabit sistemler 4. bölümde açıklanan sistemlerdir. Bu sistemlerin cross yöntemi ile çözümünde yatay deplasmanlar [δ=0] sıfır alınmaktadır. Herhangi bir çerçeveden alınan yukarıdaki i düğümünde moment dengesi yazılır ise,

2 (k1 + k2 + k3 + k’4 + k’5 ) ϕϕϕϕi + ∑∑∑∑ iM = 0 ii ' '

1 2 3 4 5

M φ

2[k k k k k ]

∑ =− + + + +

5ii'55i4ii

'44i

3ii33i2ii22i1ii11i

M)φ2(kMM)φ2(kM

M)φ2(kMM)φ2(kMM)φ2(kM

+⋅=+⋅=

+⋅=+⋅=+⋅=

Bu denklemlerde ϕϕϕϕi ‘nin yukarıdaki bulunan değerleri yerine yazılırsa, 1iii1i M)φ2(kM +=

ϕϕϕϕi ≠≠≠≠ 0 ϕϕϕϕ2=0 ϕϕϕϕ3=0 ϕϕϕϕ1=0

iM =toplam ankastrelik momentleri

i 2

4 3

Mi

k2

4k′

1

5

k1

k3

5k′

1i1 i1' '

1 2 3 4 5

ikM M

(k k k k k )

M= +

+ + + +

∑

2i2 i2' '

1 2 3 4 5

ikM M

(k k k k k )

M= +

+ + + +

∑

3i3 i3' '

1 2 3 4 5

ikM M

(k k k k k )

M= +

+ + + +

∑

'4

i4 i4' '1 2 3 4 5

ikM M

(k k k k k )

M= +

+ + + +

∑

'5

i5 i5' '1 2 3 4 5

ikM M

(k k k k k )

M= +

+ + + +

∑

i1 ' '1 2 3 4 5

1 d

(k k k k k

k

)=

+ + + +

i2 ' '1 2 3 4 5

2 d

(k k k k k

k

)=

+ + + +

i3 ' '1 2 3 4 5

3 d

(k k k k k

k

)=

+ + + +

i4 '

'5

'1 2 3 4 5

d

(k k k k k )

k=

+ + + +

i5 '

'5

'1 2 3 4 5

d

(k k k k k )

k=

+ + + +

ΣΣΣΣd=1 = -Mi


259

[di1 + di2 + di3 + di4 + di5] bunların her birine DAĞITMA SAYISI denir ve her düğüm için

toplamları her zaman =1 olması gerekir. Bu din sayıları düğüme birleşen çubukların L

I2k ====

ve/veya L

I5.1k ====′′′′ rijitlikleri oranına göre değişen dağıtma sayılarıdır.

Hiperstatik bir sistemim Cross metodu ile çözümünde izlenen yol sırasıyla; 1. Düğüme birleşen çubukların k ve/veya k’ değerleri ve bunlara bağlı olarak bulunan dağıtma

sayıları hesaplanır.

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

============n

33i

n

22i

n

11i k

kd

k

kd

k

kd

2. Çubuğun mesnet şartlarına yükleme durumuna göre ankastrelik momentleri hesaplanır.

3. Çözüm şeması hazırlanarak dağıtma sayıları ve ankastrelik momentleri belirlenir.

4. Düğümlerde bulunan ankastrelik momentleri işaretlerine göre toplanarak mutlak değerce

büyük olan momentin bulunduğu düğümden dağıtıma başlanır. 5. Dağıtma sayılarına göre dağıtılan ankastrelik momentleri işaretlerinin tersi olarak dağıtılır.

Yani ankastrelik momenti eksi ise artı, artı ise eksi olarak dağıtılır. 6. k çubuklarında dağıtım sonucu bulunan Mij momenti çubuğun diğer ucuna yarısı aynı

işarette geçer. Bu geçiş k’ çubuklarında yapılmaz.

7. Düğümlerde dağıtılacak moment sıfıra yaklaşınca dağıtıma son verilir.

i k

ϕi

Mki Mik

k i

ik i4EI

ML

= ϕ _

+ ki i

2EIM

L= ϕ

A

B

A

ϕB

ϕA

ϕA

ϕA

ϕA B ϕB

ϕA + ϕB+

ϕB

ϕB

ϕA

ϕA

ϕA

ϕA

A

B

ϕA - ϕB-


260

8. Düğümlerde dağıtım bittikten sonra ankastrelik momentler dahil bütün momentler işaretleri

ile toplanır. (bir düğümde bulunan momentlerin toplamı sıfır olacağına dikkat edilmelidir değilse hesaplar kontrol edilir)

9. Çözüm sonucu bulunan momentler işaretlerine göre [saat yönü +, tersi -] düğüm noktalarına

işaretlenerek momentler çekme meydana getiren yüze çizilir. 10. Çubuk uçlarında bulunan bu momentlere ve dış yüklere göre çubuk açıklık momentleri,

kesme ve eksenel kuvvetleri bulunarak sistemin istenilen M, V ve N alanları çizilir. ÖRNEK 5.1: Şekilde yüklemesi ile birlikte verilen mütemadi kirişin moment ve kesme kuvvet diyagramlarını Cross metodu ile çiziniz.

Ankastrelik kNm50.28

5x8.0MkNm93.2

6.6

)2.26.6(2.2x2

L

)aL(aPMM

2

232112 −==−=−

=−

==−

Ankastrelik momentleri ve dağıtma sayıları tablo yapılarak yazılır. Daha sonra dağıtım yapılacak düğümde dağıtılacak moment bulunur. Örneğin � düğümünde dağıtılacak M= 2.93-2.5=0.43 tm olarak bulunur. Bu fark moment artı işaretlidir. Düğümde dengenin olabilmesi için bu momentin eksi işaretli olarak dağıtılması gerekir. Yani düğümde dağıtılacak momentin ters işaretlisi olan M=-0.43 tm dağıtılır. M21= d21 M =0.603x(-0.43)= -0.259 Düğümde dağıtım sonucu bulunan momentlerin M23= d23 M =0.397x(-0.43)= -0.171 toplamı dağıtılan momente eşit olmalıdır (0.43).

Düğüm � � � Çubuk uçları �-� �-� �-3 3-2

Çubukların k değerleri 0.455 0.300

Dağıtma sayıları 0.455/[0.455+0.3]=0.603 0.3/[0.455+0.3]=0.397

Ankastrelik momentleri -2.93 2.93 -2.50

Düğüm Dağıtılacak moment

2 (-2.5+2.93) = 0.43 -0.130 -0.43x0.603=-0.259 -0.43x0.397=-0.171

Uç momentleri -3.06 2.671 -2.671 0.00

1.5I I � � �

0.8 kN/m 2 kN

2.2m 5m 2.2m

2 kN

2.2m

1.5I I � � �

0.8 kN/m 2 kN

2.2m 5m 2.2m

2 kN

2.2m

2.06 0.06

1.941

2.53406

1.47

3.06

1.46 1.60

2.67

1.343


261

1. açıklıkta maxMaç= ((2.059 x 2.2 – 3.06)) = 1.47 kNm

1. açıklıkta maxMaç= ((2.059 x 2.2 + 0.059 x 2.2 – 3.06)) = 1.60 kNm

2. açıklıkta maxMaç= ((1.4662 /0.8)) x 0.5 = 1.343 kNm veya

2. açıklıkta maxMaç= ((2.5342 /0.8)) x 0.5- 2.671 = 1.343 kNm

Verilen bu sistemde bilinmeyen ϕϕϕϕ2 dir. Burada ϕϕϕϕ2 nin bulunması için,

21

21222121 k2

Mk2M ====ϕϕϕϕϕϕϕϕ====

bağıntısından hesaplanır. Buradaki M21 momenti � düğümünde ankastrelik ve komşu

düğümlerden gelen momentlerin haricinde dağıtım sonucunda bulunan momentlerin toplamıdır.

2-1 elemanı 285.0455.0x2

259.0

k2

M

21

212 ====

−−−−========ϕϕϕϕ 2-3 elemanı 285.0

300.0x2

171.0

k2

M

23

232 −−−−====

−−−−========ϕϕϕϕ olur.

ÖRNEK 5.2: Verilen kirişin moment alanının Cross yöntemini kullanarak çizimi.[Bütün kirişler EI] Çözüm: Elemanların k değerleri ve ankastrelik momentleri hesaplanır. Ankastrelik

kNm81.78

5x5.2MkNm11.7

6

4x2x8MkNtm56.3

6

2x4x8MkNm05.6

8

5.5x6.1M

2

342

2

322

2

23

2

21 ==−====−==

Düğüm � 2 � �

Çubuk uçları 1-2 2-1 2-3 �-� �-4 4-�

k değerleri 0.273 0.333 0.333 0.30

Dağıtma sayıları 0.45 0.55 0.53 0.47

Ankastrelik momentleri -3.2 -1.6 6.05 -3.56 7.11 -7.81 1.41 -2.81


3 (7.11-7.81+1.41)=0.71 -0.188 -0.376 -0.334

2 (6.05-1.6-3.56-0.188)=0.702 -0.316 -0.386 -0.193

3 -0.193 0.053 0.106 0.092

2 -0.053 -0.024 -0.029 -0.015

0.008 0.007

Uç momentleri -3.2 4.110 -4.110 6.632 -6.635 -2.81

Dağıtım sonucu bulunan moment değerleri saat yönü artı tersi eksi olmak üzere çubuk uçlarına işaretlenerek moment alanı aşağıdaki şekilde çizilir.

-2.81 -3.2

k’=0.273 k=0.333 k’=0.300 � � � �

-2.81 -3.2

� � �

�

+ - + - 4.11 6.64

� � � �

1.6 kN/m 2.5 kN/m 8 kN

5.5m 5m 2m 4m 2m 1.5m


262

Kesme kuvvet diyagramı,

Moment diyagramı

1. açıklıkta maxMaç= ((4.2352 /1.6)) x 0.5 – 3.2 = 2.405 kNm

2. açıklıkta maxMaç= (2.245 x 2 –4.11) = 4.87 kNm

3. açıklıkta maxMaç= ((7.0162 /2.5)) x 0.5 - 6.64 = 3.205 kNm

ÖRNEK 5.2: Verilen kirişin moment alanının Cross yöntemini kullanarak çizimi.[Bütün kirişler EI]

ÇUBUK UÇ MOMENTLERĐ

Düğüm � � � �

Çubuk �-� �-� �- � �-� �-� �-� k değerleri 2xI/3.6=0.556 2x1.03I/7.2=0.287 2x1.03I/7.2=0.287 1.5xI/3.6=0.417

Dağıtma sayıları 0.555/(0.555+0.28

7)=

0.66

0.287/(0.555+0.287)=

0.34 0.287/(0.417+0.287)

=0.41 0.417/(0.417+0.287)

=0.59

Kilit momenti 1.35 [2.7/2] -2.7 Ankastrelik momentleri -4.86 4.86 -12.96 12.96 -4.8 Düğüm Dağıtılacak M

3 12.96+1.35-4.8=9.51 -1.95[-3.9/2] 9.51x0.41-3.90 9.51x0.59-5.61 2 -12.96-1.95+4.86=-10.05 3.32 10.05x0.666.63 10.05x0.343.42 1.71 3 1.71 -0.35 -0.70 -1.01 2 -0.35 0.12 0.23 0.12 0.06 2 0.06 -0.03 -0.04

Uç momentleri -1.42 11.72 -11.72 10.13 -10.11 -2.70

Örnek daha önce açı yöntemine göre çözülmüş ve aynı değerler bulunmuştur.

5.484 3.2

4.235 7.016

2.245 3.750

5.754 4.565

� � � �

1.6 kN/m 2.5 kN/m 8 kN

5.5m 5m 2m 4m 2m 1.5m

2.81

6.64

3.205 4.87

3.2 4.11

2.405

1.03I I I � � � �

4.5 kN/m 3 kN/m 7.2 kN

3.6m 2.4m 7.2m 1.2m

09m

3 kN

1.03I I I � � � �

4.5 kN/m 3 kN/m 7.2 kN

3.6m 2.4m 7.2m 1.2m

09m

3 kN

5.24

3.00

0.34

6.86

10.96

11.03

10.68

1.42

11.72 10.73

1.88 2.70

8.52


263

Uygulama: Verilen mütemadi kirişin verilen yükler ve mesnet hareketlerinden dolayı oluşan M alanının elde edilmesi Çözüm: Verilen dış yüklerden ve mesnet çökme ve dönmelerinden oluşan ankastrelik momentleri

2 2 2 2

12 21

2 2

23

2

2 2

342

2 2

3

2

qL 2x5M M 4.167kNm [Düzgünya

Pab 2x 2x3 Pba 2x3 x 2M 1.44kNm M 0.96kNm [Tekil yük]

L 5 L 5

7qL 7 x8 x 6M 16.80kNm

1yılıyük

20 120[Üçgenyayılıyük]]

12 12

= = = = =

− = = = −

=

− = = = =

ÇUBUK UÇ MOMENTLERĐ

Düğüm � � � �

Çubuk �-� �-� �- � �-� �-� �-� k değerleri 0.4 0.4 0.4 0.4 0.25 Dağıtma sayıları 0.5 0.5 0.615 0.385

Dış yüklerden -1.44 0.96 -4.167 4.167 -16.80+2 -4

Mesnet çökmesi -151.30 -151.30 26.27 Ankastrelik momentleri

Mesnet dönmesi 157.60 78.80 Düğüm Dağıtılacak M

2 0.96-151.3+78.8-4.167=-75.71 18.93 37.85 37.85 18.93 3 4.167+2-16.80+26.27+18.93=34.57 -10.63 -21.26 -13.31 2 -10.63 2.66 5.32 5.32 2.66 3 2.66 -0.82 -1.64 -1.02 2 -0.82 0.21 0.41 0.41 0.21 3 0.21 -0.13 -0.08

Uç momentleri 26.66 -27.96 27.96 2.94 -2.94 -4

� � � �

2 kN 2 kN/m 8 kN/m

6m 2m 3m 2m 5m

4 kNm

� � � �

3m 5m

k=0.4 k=0.4 k’=0.25 4 kNm

6m 2m

1 2

2 kNm 1.44 kNm 0.96kNm

1 2

4EIϕ/5=157.6 78.8=2EIϕ/5

2 3

4.17 kNm 4.17 kNm

1 2

1 2

8 mm Eşit çökme

3 4

16.8 kNm

1

2 6EIδ/52=151.3

8 mm

6EIδ/52=151.3 3 4

8 mm 4 mm

3EIδ/62=26.27

3EIδ/62=26.27

(-) alınır (+) alınır

i i i k 2

4EI 2EI 6EIM M

L L L= + ϕ + ϕ − δ

k k k i 2

4EI 2EI 6EIM M

L L L= + ϕ + ϕ − δ

4.00

26.67

29.57 27.93

4.00

14.92

2.94


264

ÖRNEK 5.2: Verilen mütemadi kirişin moment ve kesme kuvvet alanlarının Cross yöntemini kullanarak çizimi.[Bütün kirişler EI]

Düğüm � 2 �

Çubuk uçları konsol 1-2 2-1 �-� �-2 konsol

k değerleri 0.375 0.375 Dağıtma sayıları 0.5 0.5

Ankastrelik momentleri -12.00 -6.0(12/2)-0.50 2.00(4/2) 4.00


2 2-6-0.5=-4.5 2.25 2.25

Uç momentleri -12.00 -12.00 -4.25 4.25 -4.00 4.00

ÖRNEK: Şekilde kirişin açı metoduyla moment alanını çizimi. Ankastrelik momentleri 31 13M M [M/ 4] [40 / 4] 10.00 kNm= = = =

Düğüm ��

Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� Çubukların k değerleri 0.5 0.333 Dağıtma sayıları 0.60 0.40 Ankastrelik momentleri 10.00 10.00


3 10 6/2=3.00 -6.00 -4.00 -4/2=-2.0

Uç momentleri 7.00 4.00 -4.00 -2.00

ÖRNEK 5.4: Şekilde verilen kirişin moment alanını Cross metoduyla çiziniz. (2I=sabit)

4 3 2

1

40 kN

6m

2m

2m

1m 40 kN

k=0.50

k=0.333

18.5

Sonuç M

21.5

40

4

7

2

4 7 40 4

12.754

+ +=

7

40

7 40 412.75

4

+ +=

Mik i

a Mki

M

b ik ki

MM M

4+ = + =

3 2 1

6 kN 4 kNm

2m 2m 2m 4m 2m

4 kNm EI=sabit

ki

M 4M 0.50

8 8= − = − = −i

L/2 Mki

M

L/2

2I �

�

�

2 kN/m

4m

8m 2m 2m

2I

2 kN/m 2x2x1=4 kNm

k’=0.375 �

�

�

4m

8m

k=1.00

2x2x1=4 kNm 11.27

4

7.27

3.64

8.57

Sonuç M alanı

4

k’=0.375 2 3 ki

M 4M 0.50

8 8= + = + = + i

L/2

Mik M

L/2

12 kNm 4 kNm

2m 2m 4m

4 kNm

1 k’=0.375

6 kN 4 kNm

2m 2m 2m 4m 2m

4 kNm

12

5.88 1.88

4.25

4.00

SONUÇ M ALANI


265

Düğüm � � � Çubuk uçları 1-� konsol �-1 �-� �-� konsol Çubukların k değerleri 1.00 0.357 Dağıtma sayıları 0.727 0.273 Ankastrelik momentleri - [-4.00]4.00 - -16.00 2.00 [-4.00]4.00 -4.00 Düğüm Dağıtılacak moment

2 4+2-16=-10==10 3.64 7.27 2.73

Uç momentleri 3.64 4.00 7.27 -11.27 -4.00 -4.00

ΣΣΣΣ3.64 0.00 -4.00

ÖRNEK 5.5: Şekilde verilen kirişin moment alanını Cross metoduyla çiziniz.

Çözüm: Đlk önce sistemin taşınan ve taşıyan kısımları ayrılarak taşınan kısmın mesnet tepki kuvveti taşıyan hiperstatik kısma aktarılır ve hiperstatik kısmın çözümü yapılır.

Ankastrelik momenti 2 2

23 32

qL 2x 4M M kNm

122

12.67− = = = =

Düğüm � �

Çubuk uçları Konsol �-1 �-� �-� �-� Konsol �-� Çubukların k değerleri 0.53 1.00 1.00 1.00 Dağıtma sayıları 0.346 0.654 0.500 0.500 Ankastrelik momentleri 6.00 -2.67 2.67 -4.00 Düğüm Dağıtılacak moment

2 6-2.67=3.33 -1.152 -2.178 -1.089

3 2.67-4-1.089=2.419 0.605 1.210 1.210 0,605

2 0.605 -0.209 -0.396 -0.198 3 0.198 0.05 0.099 0.099 0,05

2 0.05 -0.02 -0.03

Uç momentleri 6.00 -1.381 -4.619 2.692 1.309 -4.00 0.655

6 kNm 4 kNm

�

�

�

�

2 kN/m

4m 4m

2.692

1.381

4.619

0.655

1.309

4.00

4.00

4.00

6.00

0.403 1.563

2.5m

2 kN/m

2.5 2.5

4 kNm

2.5m

�

2I m

2I �

�

�

2 kN/m

4m 4m

2.5

Taşıyan hiperstatik kısım

Taşınan izostatik kısım

2.5m 1.5m

1m

�

2I m

2I �

�

�

2 kN/m

4m 2m 4m

4m 4 kN

2I

mafsal


266

ÖRNEK 5.6: Şekildeki çerçevenin moment alanının Cross metoduyla belirlenmesi.

Ankastrelik momentleri

2

21 24 422 2

Pab (b L) 5 x3 x2(2 5) 1.5x 4M 4.20kNm M M 2.00kNm

122L 2x5

+ += = = = − = =

Düğüm � � �

Çubuk uçları �-� �-� �-1 �-� �-� �-5 Çubukların k değerleri 0.5 0.30 0.48 0.48 0.45 Dağıtma sayıları 0.391 0.234 0.375 0.516 0.484 Ankastrelik momentleri -2.00 2.00 4.20 Düğüm Dağıtılacak moment

2 4.2+2=6.2 -1.212 -2.424 -1.451 -2.325 -1.163

3 1.163 0.300 0.600 0.563

2 -0.300 -0.059 -0.117 -0.070 -0.113 -0.056

3 0.056 0.015 0.029 0.027

2 -0.015 -0.003 -0.006 -0.004 -0.006

Uç momentleri -3.274 -0.547 2.675 -2.129 -0.590 0.590

Moment alanı

2.675

� m

4.92m

�

�

�

� m

3.274 m

0.547

2.129

0.59

I m

1.5 kN/m I m

1.5I m

1.2I m

�

�

�

4 m

� m

� m

5 kN

3.0 m 2.0 m 3.0 m 5.0 m


267

ÖRNEK: Düğüm noktaları hareketli sistemin moment alanının CROSS metodu ile çizimi. Çözüm: Sistemin düğüm noktaları sabit sistem olarak çözülür

2 2 2 2

26 34 43 48 84

qL 12 4 qL 12 5 M 40Ankastrelik momentleri M 24 kNm M M 25kNm M M 10kNm

8 12 12 12 4 4

⋅ ⋅= = = − = = = = = = = =

Düğüm 1 2 3 7 4 8 5 Uç �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-�

d 0.375 0.375 0.25 0.278 0.278 0.444 0.314 0.294 0.392

M 40 -40/2 24 -25 25 30/2 40/4=10 40/4=10 30 4 50 -7.85 -15.7 -14.7 -19.6 -9.80

3 32.85 4.57 9.13 9.13 14.59 4.56 7.3

2 8.57 -3.21 -3.21 -2.14 -1.07

4 7.30 -1.15 -2.29 -2.15 -2.86 -1.43

3 -0.08 0.30 0.62 0.62 0.99 0.31 0.50

2 0.3 -0.11 -0.11 -0.08

4 0.5 -0.16 -0.15 -0.2 -0.10

ΣΣΣΣ 40 -23.32 20.68 2.05 8.68 9.75 -18.42 4.88 14.65 -2.00 -12.66 -1.33 30

H10=29.17+3.66+6.5 = 39,33

40

�

2m

�

12,66

1,34

(40-12,66-1,34)/4=6,5

12 kN/m

�

I

2I

� �

I 2I

2I �

� �

2m

4m

20 kN 30 kNm

4m 5m 4m 2m 4m

2I 2I

40 kNm 12 kN/m

� �

12 kN/m

�

0.5

0.75

� �

0.5

1

0.8 �

� �

2m

4m

20 kN 30 kNm

4m 5m 4m 2m 4m

0.75 0.375

40 kNm 12 kN/m

� �

40

23.33

20.67

18.43

8.66

9.77

4.89 1.34

14.33

25.67

30.00 14.68

2.00

12.67

20.94

(12x4)/2+20,68/4=29,17 �

12 k

N/m

20,68 9,75

�

� 4,89

(9,75+4,89)/4=3,66


268

Dış kuvvetler kaldırılarak sistem sadece δ=1 alınarak moment alanı bulunur.

δδδδ=1 için çözüm Düğüm 1 2 3 7 4 8 5

Uç �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-�

d 0.375 0.375 0.25 0.278 0.278 0.444 0.314 0.294 0.392

M -37,5 -37,5 -37,5 -75 -75 4 75 11,78 23,55 22,05 29,4 14,7

3 25,72 3,58 7,15 7,15 11,42 3,58 5,71

2 33,92 12,72 12,72 8,48 4,24

4 5,35 -0,9 -1,79 -1,68 -2,24 -1,12

3 3,34 -0,47 -0,93 -0,93 -1,48 -0,47 -0,74

2 0,47 0,18 0,18 0,12 0,06

4 0,74 0,12 0,23 0,22 0,29 0,15

3 0,18 -0,03 -0,05 -0,05 -0,08 -0,03 -0,04

ΣΣΣΣ 12,9 -24,6 11,68 10,47 -31,33 20,86 -34,42 26,96 20,59 -47,55 -61,27

H11=6.15+16.44+27.21 = 49,79 H10 - δ .H11 = 0 39.33 – 49.79δ = 0 δ= 0.790 Momentler M = M0+ δ.M1 eşitliğinden hesap edilir. Örnek momentler: M73 = 4,88 + 0,790. (-34,42) = 22,31 M84 = -1,33 + 0,790. (-61,27) = -49,73 M32 = 8,68 + 0,790. 10,47 = 16,95

24,6/4=6,15 �

24,6 31,33

�

� 34,42

(31,33+34,42)/4=16,44 �

�

47,55

61,27

(47,55+61,27)/4=27,21


269

CROSS BÜTÜN SĐSTEM HESABA ESAS SĐSTEM BÜTÜN SĐSTEM HESABA ESAS SĐSTEM S

ĐME

TR

ĐK S

ĐST

EM

SĐM

ET

RĐK

Y

ÜK

LE

ME

SĐM

ET

RĐK

SĐS

TE

M A

NT

ĐME

TR

ĐK

YÜ

KLE

ME

ÖRNEK 5.3: Şekilde verilen mütemadi kirişin moment alanını Cross metoduyla ve simetri özelliğinden yararlanarak çiziniz. (I=sabit) Çözüm: Simetri ekseni mesnetten geçtiği için yarım sistem aşağıdaki şekilde belirlenerek çözüme başlanır.

Ankastrelik momentleri tm51.98

5.6x8.1Mtm53.6

12

6.5x5.2M

2

21

2

23 ================−−−−

Düğüm � � � Çubuk uçları 1-� �-1 �-� �-� Çubukların k değerleri 0.231 0.357 Dağıtma sayıları 0.39 0.61 Ankastrelik momentleri -3.6 -1.8 9.51 -6.53 6.53 Düğüm Dağıtılacak moment 2 (-1.8-6.53+9.51)=-1.18 -0.46 -0.72 -0.36

Uç momentleri -3.6 7.25 -7.25 6.17

Bulunan uç momentlerinin aynı sistemin açı metoduyla çözümüyle bulunan momentlerle aynı olduğu görülür. Açı ile çözüm sonuçları aşağıda verilmiştir.

M21= 0.231 ( 2 x (-1.003)) + 9.51 - 1.8= 7.23 kNm

P

q

P 2P

L L

L/2 L/2

℄

q

P P

L

L/2

℄ ℄

q

k

P P 2P

L L

L/2 L/2 L/2

L

k

℄

Kayıcı ankastre mesnet

k/2

P

q

P

L/2

L/2 L/2

L

k/2

q

q

EI2

P P

L L

L/2 L/2

EI1

℄

q

EI2/2

P

L/2

EI1/2

L

℄

q

q

k

P P

L L

L/2 L/2

L

℄

k 1.5k

q

1.5k

P

L/2

L/2

L

℄

I � � � �

2.5 kN/m

6.5m 5.6m 2m 6.5m 5.6m

1.8 kN/m 1.8 kN/m

2m

I I I

I � � �

2.5 kN/m

2m 6.5m 5.6m

1.8 kN/m

I

3.6

I � � �

2.5 kN/m

6.5m 5.6m

1.8 kN/m

I


270

M23 = 0.357 ( 2 x (-1.003)) – 6.53 = -7.25 kNm

M32= 0.357 ((-1.003)) + 6.53 = 6.17 kNm

M12 = 1.8 x 2 x 0.5 =-3.60 kNm

Kesme kuvvet diyagramı, Moment diyagramı 1. açıklıkta maxMaç= ((5.292 / (2x1.8) – 3.6 = 4.17 kNm

2. açıklıkta maxMaç= ((6.8072 /(2x2.5)) - 6.17 = 3.097 kNm veya

2. açıklıkta maxMaç= ((7.1932 /(2x2.5)) - 7.25 = 3.097 kNm

ÖRNEK 5.7: Şekilde verilen sistemi ve yüklemesi simetrik sistemi simetri özelliğini kullanarak Cross metoduyla çözünüz. (δδδδ=0) Ankastrelik momentleri, -M23 = M32 =2x62 /12 =6 kNm -M35=M53=2 x 82/12 = 10.66 kNm

Düğüm � � � � Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� �-5 �-� DağıkNma sayıları 0.419 0.591 0.428 0.411 0.161 Ankastrelik momentleri -6.0 6.0 -10.67 Düğüm Dağıtılacak moment

3 -4.67 1.00 2.00 1.919 0.752 0.96

2 -5.0 1.048 2.095 2.955 1.478 3 1.478 -0.316 -0.633 -0.608 -0.238 -0.304

2 -0.316 0.066 0.132 0.187 0.093 3 0.093 -0.020 -0.040 -0.038 -0.015 -0.019

2 -0.020 0.004 0.008 0.012 Uç momentleri 1.118 2.235 -2.206 8.898 1.273 -10.171 0.64

℄℄℄℄ 2 kN/m

0.6I m

3’ m

2’ m

1’ m

� m

� I

� m

� m

0.8I 0.6I m

I I

4’ m

0.8I 5m

6m 8m 6m

℄℄℄℄ 2 kN/m

k= 0.24 k= 0.32

k= 0.25 k= 0.125

k= 0.33 � m

� I

� m

� m

0.8I 0.6I m

6m 4m

6.40 6.81

7.19

3.60

5.29

3.10

3.60 7.25

4.17

6.17


271

1. açıklıkta maxMaç= ((4.8902 /2)) x 0.5 – 2.235 = 3.743 kNm veya 1. açıklıkta maxMaç= ((7.1112 /2)) x 0.5 – 8.898 = 3.742 kNm 2. açıklıkta maxMaç= ((82 /2)) x 0.5 – 10.171 = 5.829 kNm

1.118

2.235

Maç=2x8x8/8-10.17=5.83 tm

1.272

8.898 10.171

0.64

3.743

℄℄℄℄

�

m �

2 6

0.373 6=2x6/2

2 kN/m 2.235 8.898

0.373=2.235/6

1.483=8.898/6 1.483

4.89 toplam 7.11

4.89

7.11 Kesme kuvvet diyagramı

3.743

8.898 2.235

Moment diyagramı


272

ÖRNEK 5.8: Sistemin simetri özelliğini kullanarak Cross metoduyla moment alanın çizimi. Çözüm: Verilen bu sistemin çözümü iki aşamada yapılır. 1. Sistem önce herhangi bir simetrik yükleme durumu için çözülür. Burada seçilen simetrik yükleme hali

aşağıdaki gibi seçilerek çözümü yapılmıştır. Burada dikkat edilmesi gereken simetri ekseninin kestiği

çubuğun k değerinin 0.5 katı alınmasıdır (k22’= 0.5 k) .

Ankastrelik momentleri (� - � çubuğunun tamamında hesaplanır),

2 2 2 2

21 22 2 2

q xL 3 x 6 PL Pab 8 x8 2 x1x7M 13.5kNm M 9.53kNm

8 8 8 8L 8= = = − = + = + = −

Simetrik sistem simetrik yükleme durumu

Düğüm � �

Çubuk uçları �- � �- � �-�’ �-�

Çubuk k değerleri 0.5 0.5 0.25

Dağıtma sayıları 0.40 0.40 0.20

Ankastrelik momentleri 13.5 -9.53

Düğüm Dağıtılacak M

2 13.5-5.53=-7.97 -1.59 -1.59 -0.79 -0.79

Uç momentleri 11.91 -1.59 -10.32 -0.79

2. Bu aşamada antimetrik yükleme hali için çözülür. Antimetrik yükleme durumu ile simetrik yükleme durumunun toplamları başta verilen yükleme durumunu vermelidir. Antimetrik yükleme durumu ve çözümü aşağıda verilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken simetri ekseninin kestiği çubuğun k değerinin 1.5 katı alınmasıdır (k22’=1.5 k).

Ankastrelik momentleri (� - �’ çubuğunun tamamında hesaplanır),

2 2 2 2 2 2

21 22 2 2 2 2

qxL 1x 6 Pab Pab 2x1x7 2x7 x1M 4.5 tm M 1.313 tm

8 8 L L 8 8

= = = − = − = − − = −

Simetrik sistem antimetrik yükleme durumu Düğüm � �

Çubuk uçları �-� �-� �-�’ �-� Çubuk k değerleri 0.5 0.5 0.5x1.5=0.75

Dağıtma sayıları 0.286 0.286 0.429

Ankastrelik momentleri 4.5 -1.313


2 4.5-1.313= -3.187 -0.912 -0.912 -1.367 -0.456

Uç momentleri 3.588 -0.912 -2.680 -0.456

1 t/ m

6.0 m

4 kN/m 2 kN/m

4m

�

� � 2I

4 kN

6m 1m 6m 3m 4m

8 kN

2I 2I

I I

3 kN/m

4m

�

� � 2I

2 kN

6m 1m 6m 3m 4m

8 kN

2I 2I

I I

4 kN/m 2 kN/m

4m

�

� � 2I

4 kN

6m 1m 6m 3m 4m

8 kN

2I 2I

I I

1 kN/m 1 kN/m

4m

�

� � 2I

2 kN

6m 1m 6m 3m 4m

2 kN

2I 2I

I I

1 kN/m 1 kN/m

4m

�

� � 2I

2 kN

6m 1m 6m 3m 4m

2 kN

2I 2I

I I 0.5x1.5=0.75

0.79

8.20

11.91

1.59

4.32

10.32

7.68

0.456

2.88

3.588

0.912

0.41 2.68


273

Çözümü yapılan simetrik sistemin yarısındaki çubuk uç momentlerinin bulunması simetrik ve

antimetrik yükleme durumları için bulunan moment değerlerinin işaretleri dikkate alınarak

toplanmasıyla bulunur. Örnek olarak �-�’ çubuğunun uç momenti, simetrik yüklemeden

bulunan –10.32 kNm değeri ile antimetrik yükleme sonucu bulunan -2.680 tm değerinin

toplamına eşittir (M22’= -10.32 - 2.68 = -13.00 kNm).

Çözümü yapılmayan sistemin diğer yarısındaki çubuk uç moment değerleri, simetrik yükleme

durumu için yapılan çözümde bulunan çubuk uç momentlerin ters işaretli değerleri ile

antimetrik yükleme durumu için bulunan çubuk uç momentlerinin toplamıdır. Örnek olarak �’-�

çubuğunun uç momenti, simetrik yüklemeden bulunan –10.32 kNm değerinin ters işaretlisi

olan +10.32 kNm moment değeri ile antimetrik yükleme sonucu bulunan -2.680 kNm

değerinin toplamına eşittir (M2’2=10.32-2.68=7.64 kNm). Benzer şekilde diğer çubuk uç

momentleri aşağıdaki gibi bulunur.

Simetrik sistem antimetrik yükleme durumu Düğüm � �

Çubuk uçları �-� �-� �-�’ �-�

Uç momentleri(simetrik) 11.91 -1.59 -10.32 -0.79

Uç momentleri (antimetrik) 3.588 -0.912 -2.680 -0.456

ΣΣΣΣ 15.50 -2.50 -13.00 -1.25

1. açıklıkta maxMaç= ((9.422 /4)) x 0.5 = 11.09 kNm veya 1. açıklıkta maxMaç = ((14.582 /4)) x 0.5 – 15.50 = 11.09 kNm 2. açıklıkta maxMaç = ((8.20 – 2.88 = 5.32 kNm

7.64

1.25

11.09

15.50 13.00

2.50

7.68

4.71 8.32

0.68

0.294

5.32

Moment alanı

15.50 4 kN/m

12 12=4x6/2 2.58=15.5/6

9.42 14.58

11.09

Q

9.42

14.33

15.588 M


274

5.3. DÜĞÜM NOKTALARI HAREKETLĐ (δδδδ ≠≠≠≠0) SĐSTEMLER

Düğüm noktaları hareketli sistemler 4. bölümde açıklanan kriterleri sağlayan sistemlerdir. Bu sistemlerin Cross yöntemi ile aşağıda maddeler halinde açıklanarak çözümü yapılmıştır. Cross yöntemi ile düğüm noktaları hareketli sistemlerin çözümü;

1. Verilen sistem ilk önce yatay ve/veya düşey hareketler [H10, H20, H30] tutularak düğüm

noktaları sabit sistem haline getirilir.

2. Bu düğüm noktaları sabit sistemin dış yüklerden oluşan moment alanı elde edilir.

3. Düğüm noktaları sabit sistemin moment alanı ve dış yüklerin dikkate alınması suretiyle

yatay denge yazılarak yatay kat kuvvetleri [H10, H20, H30, Hn0] bulunur.

4. Sonra düğüm noktaları sabit sistemin her bir katına birim [δδδδi=1] deplasmanlar verilerek

moment alanı [M1] elde edilir.

5. [M1] alanında yatay denge yazılarak yatay kuvvetler [H11, H12, H13…….. H1n] bulunur.

6. Bu işlem her bir deplasman [δδδδ1, δδδδ2, δδδδ3…….. δδδδn] için birim yükleme yapılarak moment

değerleri elde edildikten sonra yatay denge yazılarak [Hi1, Hi2, Hi3…….. H1n] değerleri

bulunur.

q

q

�

2I 1.5I

P

I I

4.67I

I

�

�

� �

A

B

6.09

H10=6.09/1.5+0.24/7=4.09

H20=[[7.38+5.96]-

[5.59+7.38]]/4+0.24/7=0.13

A

B

5.96

7.38

7.38

5.59 0.24

4x6/2-[12.05+7.38]/6=12.78

4 kN/m

4 kN/m

4 kN

12.42

A

B

6.89

7.38

0.24 7.38

12.05 11.46 0.22

H30=24.46

0.88

0.40

6.21

H11=6.21/1.5+1.46/7=4.35

H21=0.47

A

B

3.11

0.88 0.40

1.46

1.45 0.81 0.88

0.88 3.11

0.21 0.57=[0.81+1.45]/4

H13=0.11

0.67 δ1=1

Đçin çözüm Moment değerleri

H10 H20

q

q

�

2I 1.5I

P

I I

4.67I

I

�

�

� �

A

B

H30 Düğüm noktaları sabit sistem


275

7. Bu işlemler ayrıca aşağıdaki tabloda 3 katlı yapı içinde sırası ile elde edilmiştir.

CROSS METODUNDA DÜĞÜM NOKTALARI HAREKETLĐ SĐSTEMLERDE YATAY DENGE

SA

BĐT

SĐS

TE

M

1.

KA

T Y

AT

AY

DE

NG

E

VE

RĐL

EN

ES

AS

SĐS

TE

M

2.

KA

T Y

AT

AY

DE

NG

E

3.

KA

T Y

AT

AY

DE

NG

E

8. Her deplasman ve dış yükler için moment alanlarından elde edilen yatay denge

denklemleri sonucu bulunan [Hi1, Hi2, Hi3…….. H1n] değerleri kullanılarak,

H10 + H11 δδδδ1 + H12 δδδδ2 + H13 δδδδ3 = 0 H20 + H21 δδδδ1 + H22 δδδδ2 + H23 δδδδ3 = 0 H30 + H31 δδδδ1 + H32 δδδδ2 + H33 δδδδ3 = 0 denklemi elde edilir.

9. Bu denklem sistemi çözülerek deplasman değerleri [δδδδ] bulunur. Bu şekilde δδδδ’ların

gerçek değerleri bulunup yerlerine yazılırsa bu H yatay kuvvetlerin sıfır olduğu görülür.

10. Bulunan δδδδ değerleri

Mij = M0 + M1. δδδδ1 + M2. δδδδ2+ M3. δδδδ3.......... Mn. δδδδn

bağıntısında yerine yazılarak sonuç moment alanı elde edilir. Sistemin kesme ve eksenel kuvvet

değerleri için,

1. Dış yüklerden dolayı düğüm noktaları sabit sistemde oluşan [V ve N] alanları çizilir.

2. Sonra düğüm noktaları sabit sistemin her bir katına birim [δδδδi=1] deplasmanlar verilerek

kesme ve eksenel kuvvet alanı [V1 N1] elde edilir.

3. Moment için yapılan bütün işlemlerin aynısı bu kesit tesirleri içinde yapılır.

Sistemin kesme ve eksenel kuvvet değerleri moment için yapılan işlemler aynı yapılarak,

Vij = V0 + V1. δδδδ1 + V2. δδδδ2+ V3. δδδδ3.......... Vn. δδδδn

Nij = N0 + N1. δδδδ1 + N2. δδδδ2+ N3. δδδδ3.......... Nn. δδδδn

bağıntıları ile elde edilir.

Hareketli sistem δ1 ≠ 0 δ2 ≠ 0 δ3 ≠ 0

P2

P1 P3

Hareketsiz sistem δ1= 0 δ2= 0 Mo δ3= 0

P2

P1 P3

H30

H30

H30 δδδδ1 = 1 M1 δδδδ2 = 0 δδδδ3 = 0

δδδδ1

H31

H21

H11

δδδδ1 = 0 M2 δδδδ2 = 1 δδδδ3 = 0

δδδδ22

H32

H12

H22

δδδδ1 = 0 M3 δδδδ2 = 0

δδδδ3 = 1

H32

H13

H33

δδδδ32


276

ÖRNEK 5.9: Şekilde verilen çerçevenin CROSS yöntemiyle moment alanının çizimi. Çözüm: Önce sistem düğüm noktaları sabit sistem haline getirilir, sonra δδδδ=1 için çözüm yapılır.

Đki ucu moment taşıyan çubuklarda2EI

kL

= ve

bir ucu moment taşıyan çubuklarda 3EI

k2L

′ = kısaltması yapılacak olur ise deplasmanlardan

dolayı oluşan çubuk uç momentleri;

��

��

k değeri

ik ki 2

k ' değeri

ik 2

16EI 3 2EI 3k

k çubuklarında olması durumunda M M 12EIL L LLk

L

OLU

13EI 4 3EI 2k

k ' çubuklarında olması durumunda M 13EI3L 2L LLk

2L

δ

δ

δ = − = − = − δ = − ⋅ = − = δ = = δ = − ⋅ = − =

R

Açıklıkta yük olmadığı için (ankastrelik momenti sıfır) dış yüklere göre çözüm yapılmaz ve δδδδ=1

için çözüm yapılarak yatay deplasman bulunur.

I

8 kN

�

� � 2I

I

�

10m

6m

H10=0

Ankastrelik momenti

olmadığı için M0=0 dır.

I

8 kN

�

� � 2I

I

� 17.0

6

333.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−−

k=0.400

k=0.333 k=0.25

17.06

333.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−− 0833.0

6

25.0x2

L

k2−−−−====−−−−====−−−−

�

� �

�

δδδδ=1 için çözüm

Deplasmandan [δδδδ] oluşan moment ve kesme

i 2

6EIM

L= δ

' dan oluşan kesme kuvvetle

3

2

r

2

i

i k

6EI 6EI12L L

V VEI

LL

δ

δ

δ + δ = = =

��

_

+

k 2

6EIM

L= δ

δ i k

_

+ i 2 22

6EI 6EI 3EI

2L L LM = − δ + δ = − δ

k 2 2

6EIM 0

LL

6EI= δ − =δ

δ

i

k

i k 3

3EI3EIL

V VL L

δ = = = δ

+ − δ=2i

3EI

LM


277

δδδδ=1 için çözüm Düğüm � � �

Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Çubuk k değerleri 0.333 0.333 0.400 0.400 0.250 Dağıtma sayıları 0.454 0.546 0.615 0.385 Ankastrelik M [100 katı] -17 -17 -8.33

Düğüm Dağıtılacak M 2 -17 3.86 7.72 9.28 4.64 3 -8.33+4.64=-3.69 1.14 2.27 1.42 2 1.14 -0.26 -0.52 -0.62 -0.31 3 -0.31 0.10 0.19 0.12 2 0.10 -0.03 -0.05 -0.055

Uç momentleri -13.43 -9.85 9.85 6.79 -6.79

H11 δδδδ - H0 = 0 [3.88 + 1.13] δδδδ - 8 = 0 60.101.5

8========δδδδ

Çubuk uç momentleri

M12=1.60 x (-13.43) = -21.488 tm

M21=1.60 x (-9.85) = -15.76 tm

M23=1.60 x (9.85) = 15.76 tm

M32=1.60 x (6.79) = 10.864 tm

M34=1.60 x (-6.79) = -10.864 tm

Not: [3.88 + 1.13] δ/100 - 8 = 0 δ=800/5.01=159.68 M34=159.68 x (-6.79/100) = -10.864 tm AYNISI ÖRNEK 5.10: Şekilde verilen çerçevenin CROSS yöntemiyle moment alanının çizimi. [� mesnedinin ankastre olması ile mafsallı olması durumundaki değişim gözlenir]

H1=3.88+1.13=5.01

13.43

9.85 13.1

6

79.6====

88.36

43.1385.9====

++++

1.13 3.88

6.79

�

I

Sonuç M alanı

10.864 15.760

21.488

0.75I

8 kN

�

� � 2I

I

�

10m

6m

H10=0

Ankastrelik momenti

olmadığı için M0=0 dır.

8 kN

�

� � 2I

�

k=0.40

k=0.333 k=0.25

17.06

333.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−−

17.06

333.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−− 125.0

6

25.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−−

125.06

25.0x3

L

k3−−−−====−−−−====−−−−

�

� �

�


278

Açıklıkta yük olmadığı için (ankastrelik momenti sıfır) dış yüklere göre çözüm yapılmaz ve δδδδ=1

için çözüm yapılarak yatay deplasman bulunur.


Düğüm �� Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� �-� Çubuk k değerleri 0.333 0.333 0.400 0.400 0.250 Dağıtma sayıları 0.454 0.546 0.615 0.385

Ankastrelik M (10 katı) -17 -17 -12.5 -12.5


2 -17 3.86 7.72 9.28 4.64

3 -12.5+4.64=-7.86 2.42 4.83 3.03 1.515

2 2.42 -0.55 -1.10 -1.32 -0.66

3 0.66 0.21 0.41 0.25 0.125

2 -0.21 -0.05 -0.10 -0.15

Uç momentleri -13.74 -10.48 10.48 9.22 -9.22 -10.86

H11 δδδδ - H0=0 (4.04 + 3.35 ) δδδδ - 8 = 0 083.139.7

8========δδδδ

Çubuk uç momentleri M12=1.083 x (-13.74) = -14.88 kNm

M21=1.083 x (-10.48) = -11.35 kNm M23=1.083 x (10.48) = 11.35 kNm

M32=1.083 x (9.22) = 9.99 kNm M34=1.083 x (-9.22) = -9.99 kNm

M43=1.083 x (-10.86) = -11.76 kNm � mesnedinin ankastre olması ile mafsallı olması durumunda momentlerdeki değişim yukarıdaki moment alanlarının karşılaştırılması sonucu görülebilir.

11.76 14.88

Sonuç M alanı

9.99 11.35

Sonuç M alanı

10.864 15.760

21.488

H1=3.35+4.04=7.39

13.74

10.48

1.13 3.88

9.22

I

10.86

04.46

74.1348.10====

++++35.3

6

86.1022.9====

++++


279

ÖRNEK 5.11: Şekilde verilen çerçevenin CROSS yöntemiyle moment alanının çizimi.

Çözüm: Sistem önce düğüm noktaları sabit sistem haline getirilerek dış yükler altında çözülerek yatay denge yazılır ve [H0] bulunur.

Ankastrekik momenti 21

3M 4 x 4 3kNm

16= =

Bundan sonra δδδδ=1 için çözüm yapılarak kolonda yatay denge yazılarak [H11] bulunur.

Ankastrekik momenti 221 1100 kat2x0.3

alını75

M 0.187 r 755 M 1 .4

8= =−− =−

Bulunan bu değerler kullanılarak aşağıdaki şekilde yatay deplasman [δδδδ] bulunur.

H11 δδδδ + H0 = 0 2.419 δδδδ +1.613 = 0 1.613

0.6672.419

δ =− =−

21

23

32

M 1.548 x[ 9.675] 8

M 1.548 x[9.675] 8

M 0.77

0.667 kNm

Çubukuç M kNm

4 x[ 4.83

0.667

0.6 8 k] 4 Nm67

= − − =

= − − = −

= − −

− =

4 kN I

I �

�

� m

5m

2m

2m

4 kN I k’=0.375

I k=0.40 �

�

� m

5m

2m

2m

Düğüm noktaları

sabit sistem

+3 -1.452

�

0.516

0.484

-1.548

1.548 -1.548

-0.774

-

+

Düğüm noktası sabit sistem ve dış yüklerden oluşan M

1.548

3.226

0.774

4 kN

�

1.548 2 0.387

2 0.387 1.613=H0

-18.75 9.075

�

0.516

0.484

9.675

-9.675 9.675

4.838

�

9.675 2.419

2.419=H11

-

+

δ=1 için M

9.675

9.675

4.838

Sonuç M alanı

8.00 -

+ 4.00


280

ÖRNEK 5.11: Verilen kirişin moment alanını Cross metoduyla çiziniz. (2I=sabit) Çözüm: Sistem daha önce düğüm noktaları sabit sistemler bölümünde çözülmüş ve moment alanı aşağıdaki şekilde bulunmuştu. Bu moment alanından yatay H10 kuvveti aşağıdaki şekilde bulunur. Daha sonra yatay birim yükleme için çözüm yapılarak yatay H11 kuvveti bulunur ve yatay deplasman değeri δδδδ bulunarak M alanı elde edilir.

Düğüm � � � Çubuk uçları 1-� konsol �-1 �-� �-� konsol Çubukların k değerleri 1.00 0.357 Dağıtma sayıları 0.727 0.273 Ankastrelik momentleri -10 -10 Düğüm Dağıtılacak moment 2 -10 3.64 7.27 2.73

6.36 ----- -2.73 2.73 --- -----

11 10H H 0

3.

1.2

03 3.

0

64 0

1

δ

δ

δ =

− =

− =

12

21

23

32

4.01kNm,

3.99 k

M 3.64 1.201x 6.36

M 7.27 1.201x 2.73

M 11.2

Nm

7.99 kNm7 1.201x2.73

M 4 1. 4.00 k2 N0 m01x

= − =

= − =

= − =

+ =

−+

=

−

ÖRNEK 5.12: Çerçevenin moment alanını CROSS metodunu kullanarak çizimi.


M12 = -8 x 4.52 /12 = -13.5 kNm M21 = 8 x 4.52 /12 = 13.5 kNm

M23 = -9.6 x 4.5 x 1.52 / 62 = -2.70 kNm M32 = -9.6 x 1.5 x 4.52 / 62 = 8.10 kNm

2I �

�

�

2 kN/m

3m

8m 2m 2m

1.5I

2 kN/m 2x2x1=4 kNm

k’=0.375 �

�

�

4m

8m

k=1.00

2x2x1=4 kNm 11.27

4

7.27

3.64

8.57

Sonuç M alanı

4

11.27

4

7.27

3.64

8.57

Sonuç M alanı

4

-3k/h=-3x1/3=1

δδδδ1=1 için

-3k/h=-3x1/3=1

7.27

3.64

(3.64+7.27)/3=3.64

(3.64+7.27)/3=3.64

H10=3.64 2.73

2.73

6.36

2.73

6.36

(6.36+2.73)/4=3.03 H11=3.03

(6.36+2.73)/3=3.03

1.5m

9.6 kN

6m

2I

�

I

4I

4.5m

�

�

�

H10

Düğüm noktaları sabit sistem Mo

1.5m

9.6 kN

6m

2I

�

I

4I

4.5m

�

�

�


281

Düğüm � � � �

Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� �-�

Dağıtma sayıları 0.40 0.60 0.75 0.25

Ankastrelik momentleri -13.5 13.5 -2.70 8.10


2 (13.5-2.7)=-10.8 -2.16 -4.32 -6.48 -3.24

3 (8.10-3.24)=-4.84 -1.823 -3.645 -1.215 -0.608

2 -1.823 0.365 0.729 1.094 0.547

3 0.547 -0.205 -0.410 -0.137 -0.068

2 -0.205 0.041 0.082 0.123 0.062

3 0.062 0.023 -0.046 -0.015 -0.008

2 0.023 -0.005 -0.009 -0.014

Uç momentleri -15.259 9.982 -9.982 1.368 -1.367 -0.684

8 x15 4..259 5

2

9.982 1.367 0.684

4.5 4.37kN

516.

− + − + = ⇐

Bu durumda yatay denge yazılırsa, 37.16H0H37.16 o1o1 −−−−========⇐⇐⇐⇐++++⇐⇐⇐⇐ δδδδ1 için çözüm.


Düğüm � � � � Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.40 0.60 0.75 0.25 Ankastrelik momentleri -5.93 -5.93 -2.96 -2.96

Düğüm Dağıtılacak moment 2 -5.93 1.186 2.372 3.558 1.779

3 (1.779-2.96) =-1.181 0.443 0.886 0.295 0.148

2 0.443 -0.089 -0.177 -0.266 -0.133

3 -0.133 0.05 0.100 0.033 0.017

2 0.05 -0.010 -0.020 -0.030 -0.015

3 0.015 0.006 0.011 0.004 0.002

2 0.006 -0.001 -0.002 -0.004

Uç momentleri -4.844 -3.757 3.757 2.628 -2.628 -2.793

4.844 3.757 2.628 2.7933.12kN

4.5 4.5

+ + + = ⇒

Bu durumda yatay denge yazılırsa, ⇐⇐⇐⇐========−−−−⇒⇒⇒⇒ 12.3H0H12.3 11

δδδδ=H10 / H1 = 16.37 / 3.12 = 5.254 M = M0 + M1 x δδδδ M12 = -15.259 – 5.254 x 4.844 = -40.709 kNm M21 = 9.982 – 5.254 x 3.757 = -9.757 kNm M23 = -9.982 + 5.254 x 3.757 = 9.757 kNm M32 = 1.368 + 5.254 x 2.628 = 15.176 kNm M34 = -1.367 – 5.254 x 2.628 = -15.176 kNm M43 = -0.684 – 5.254 x 2.793 = -15.358 kNm

1.367

0.684 15.259

9.982

H10

k=0.889

k=1.333

k=0.444

3k0.296

L− = −

3k0.593

L− = −

3k0.593

L− = − 3k

0.296L

− = −

2.628

2.793 4.844

3.757

H11

9.757

15.358 40.709

9.757 15.176

Sonuç M alanı

17.63


282

Düğüm �� Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� �-� Dış yüklerden uç momentleri (M0) -15.259 9.982 -9.982 1.368 -1.367 0.684

δ1 =1 uç momentleri (M1) -4.844 -3.757 3.757 2.628 -2.628 -2.793

ÖRNEK 11: Verilen çerçevenin cross M

Ankastrelik M 2

12 21

8x 4.5M M 13.5kNm

12− = = =

2 2

23 32

10 x 4.5x1.5 10x 4.5 x1.5M 2.81kNm M 8.44kNm

6x6 6x6− = = = =

1. DIŞ YÜKLER ĐÇĐN ÇÖZÜM Düğüm � � �

Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Çubuk k değerleri 0.89 0.89 1.33 1.33 0.44 Dağıtma sayıları 0.4 0.6 0.75 0.25

Ankastrelik M -13.5 13.5 -2.81 8.44

Düğüm Dağıtılacak M 2 13.5-2.81=10.69- -2.14 0.4x10.69=-4.28 0.6x10.69=-6.41 6.41x0.5=-3.21 3 8.44-3.21=5.2- 3.9x0.5=-1.95 0.75x5.2=-3.9 0.25x5.2=-1.33 2 1.95+ 0.39 0.78 1.17 0.59 3 0.59- -0.22 -0.44 -0.15 2 0.22+ 0.05 0.09 0.13

Uç momentleri -15.20 10.09 -10.09 1.48 -1.48

Not: 10 kN yatay kuvvet hesaplara katılmadığı için yatay dengede diğer kuvvetlerin tesi yönünde hesaba katılır.


Düğüm � � � Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Çubuk k değerleri 0.89 0.89 1.33 1.33 0.44 Dağıtma sayıları 0.4 0.6 0.75 0.25

Ankastrelik M -59.3 -59.3 -19.6 Düğüm

Dağıtılacak M 2 -59.3 11.86 0.4x59.3=23.72 0.6x59.3=35.58 35.58x0.5=17.79 3 17.79-19.6=-1.81 1.36x0.5=0.68 0.75x1.81=1.36 0.25x1.81=0.45 2 0.68- -0.14 -0.27 -0.41 -0.20 3 0.20+ 0.08 0.15 0.05 2 0.08- -0.02 -0.03 -0.05

Uç momentleri -47.60 -35.88 35.88 19.10 -19.10

1.5m

6m

1

1.32I

4I

2I

8 k

N/m

10 kN

4.5m

2 3

4

10 kN

2 3 1.33

0.89

k

1.5m

6m

1

0.44

8 k

N/m

10 kN

4.5m

4

10 kN

H10=0 k=1.33

k=0.89 k=0.44

3k 3 0.89 0.593L 4.5

− =− =−i 2k 2 0.44 0.196L 4.5

− =− =−i

�

� �

�

δδδδ=1 için çözüm 3k 3 0.89 0.593L 4.5

− =− =−i

8x4.5/2-((15.2-10.09)/4.5)+10=26.86

�

�

8 k

N/m

15.20

10.09 2 3 1.33

0.89

k

1.5m

6m

1

0.44

8 k

N/m

10 kN

4.5m

4

10 kN

H10=0 3

4.5m

4

1.48/4.5=0.33 1.48

H1=26.85-0.33=26.53


283

H11 δδδδ + H10 = 0 -

22.79δδδδ+26.53=0 26.53

1.16422.79

δ = =

M = M0 + M1 x δδδδ M12 = -15.20 – 1.164 x 47.60 = -70.61 kNm M21 = 10.09 – 1.164 x 35.88 = -31.67 kNm M23 = -10.09 + 1.164 x 35.88 =31.67 kNm M32 = 1.48 + 1.164 x 19.10 = 23.71kNm M34 = -1.48 – 1.164 x 19.10 = -23.71 kNm NOT: δ=1 durumundaki ankastrelik momentleri 100 katı alındığı için δ değerini 100’e bölerek yapıldığı zaman aşağıdaki gibi aynı sonuçlar elde edilir.

H11 δδδδ + H10 = 0 -22.79(δδδδ/100)+26.53=0 ⋅

δ = =26.53 100

116.4122.79

M = M0 + M1 x δδδδ M12 = -15.20 – 116.41 x (47.60/100) = -70.61 kNm M21 = 10.09 – 116.41 x (35.88/100) = -31.67 kNm M23 = -10.09 + 116.41 x (35.88/100) =31.67 kNm M32 = 1.48 + 116.41 x (19.10/100) = 23.71kNm M34 = -1.48 – 116.41 x (19.10/100) = -23.71 kNm

(35.88+47.60)/4.5)=18.55 �

� 47.60

35.88 2 3 1.33

0.89

k

6m

1

0.44 4.5m

4

H11=0 3

4.5m

4

19.1/4.5=4.24 19.1

H11=18.55+4.24=22.79

Sonuç M alanı

31.667

+

23.715

1.382

70.681

-

-

-


284

ÖRNEK 5.13: Şekildeki çerçevenin moment alanının Cross Yöntemiyle belirlenmesi. Bulunan uç momentlerinden oluşan H yatay kuvveti aşağıdaki şekilde hesaplanır. Yatay denge H = 4 x 3 – 6.82 + 0.675 = 5.855 kN Ankastrelik momentleri, (iki ucu ankastre çubuklarda 6 diğerlerinde 3 ve 100 katı alınmıştır)

12 23 342 2 2

6 100 6 1.2 100 5 3 1.5 100 6.4M 37.5 37.5 M x 36 36 M x 28.8 28.8

4 5 4 5 4

⋅ ⋅ ⋅ δ ⋅ ⋅ δ=− δ=− δ=− = = δ= =− =− δ=−

Sistemin birim yatay yükleme durumunda şekil değiştirme hali, uç momentleri ve yatay denge aşağıdaki gibi elde edilir.


Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.51 0.49 0.58 0.42

Ankastrelik momentleri -4 4 Düğüm Dağıtılacak moment

2 -4 -1.02 -2.04 -1.96 -0.98

3 0.98 0.28 0.57 0.41 3 -0.28 -0.07 -0.14 -0.14 -0.07

2 0.07 0.02 0.04 0.03

Uç momentleri -5.09 1.82 -1.82 -0.44 0.44

1.2I m

� � m

3 k

N/m

I m

1.5I m

� � m

4m

5m 5m

5.0 m 5.0 m

δ

4

5 δ

4

4.6 δ

δ


tm412

4x3MM

2

1221 ========−−−−====

18.52

4x3

4

09.582.1====++++

−−−−

82.62

4x3

4

82.109.5====++++

−−−−

1.82

3 k

N/m

�

m

� m

2I m

5.09

1.82 0.44

452.05

44.082.1====

++++

400.452x5 0.44

H = 0.6754

+= �

0.44 0.452

0.452


285

Düğüm � � � Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.51 0.49 0.58 0.42

Ankastrelik momentleri -37.5 -37.5 36 36 -28.8


3 -[36-28.8]=-7.2 -2.09 -4.18 -3.02

3 -[36-37.5-2.09]=3.59 0.92 1.83 1.76 0.88

3 -0.88 -0.25 -0.51 -0.37

2 0.25 0.06 0.13 0.12

Uç momentleri -36.52 -35.54 35.54 32.19 -32.19

Yatay denge H = 18.015 + 24.98 = 42.995 kN ◄ H11 δδδδ - H0 = 0 -(42.995) δδδδ + 5.855 = 0

136.0995.42

855.5========δδδδ

Çubuk uç momentleri : M12=0.136 x (-36.52) – 5.09 = -10.06 kNm

M21=0.136 x (-35.54) +1.82 = -3.01 kNm M23=0.136 x (35.54) – 1.82 = 3.01 kNm

M32=0.136 x (32.19) – 0.44 = 3.94 kNm M34=0.136 x (-32.19) +0.44= -3.94 kNm

35.54 32.19

546.135

19.3254.35====

++++

4113.546x5 32.19

H 24.984

+= = �

32.19 13.546

13.546

36.52

� m

�

35.54

1136.52 35.54

H 18.0154

−= =


286

ÖRNEK 5.14: Şekildeki çerçevenin moment alanının Cross metoduyla bulunması.

Ankastrelik momentleri tm167.812

7x2Mtm25.2

8

3x2M

2

23

2

21 ========−−−−========

Düğüm � � Çubuk uçları �- � �-3 3-� 3-4 Çubukların k değerleri 0.60 1.143 1.143 0.375 Dağıtma sayıları 0.344 0.656 0.753 0.247 Ankastrelik momentleri 2.25 -8.167 8.167 Düğüm Dağıtılacak moment

3 -8.167 -3.075 -6.150 -2.017

2 -8.167-3.075+2.25=8.992 3.093 5.899 2.949

3 -2.949 -1.110 -2.221 -0.728

2 1.11 0.382 0.728 0.364

3 -0.364 -0.137 -0.274 -0.09

2 0.137 0.047 0.090 0.045

3 -0.045 -0.034 -0.011

Uç momentleri 5.772 5.772 2.846 -2.846

ÖRNEK 5.15: Şekildeki [düğüm noktaları sabit] sistemin moment alanın ve H1 kuvvetinin bulunması.

Ankastrelik momentleri 2

24 42 45 54

30 x6M M M M 90kNm

12− = = − = = =

2 2 0.5 2

56

30 x((3 7.2 ) )M 228.15kNm

8

+− = =

Genel durum için çözüm

Düğüm � � � � Çubuk uçları �- � �- � �- � �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.238 0.762 0.414 0.172 0.414 0.698 0.302

Ankastrelik momentleri -90 90 -90 90 -228.15 Düğüm Dağıtılacak M

4 -228.15+90=-138.15 48.21 96.43 41.72

2 -90 21.42 68.58 34.29

3 90-90+34.29+48.21=82.5 -7.1 -17.08 -34.16 -14.19 -34.15 -17.08

4 -17.08 5.96 11.92 5.16

2 4.06 13.02 6.51

3 6.51+5.96=12.47 -1.08 -2.58 -5.16 -2.15 -5.16 -2.58

2 -2.58 0.61 1.97 0.98

4 -2.58 0.90 1.80 0.78

3 1.88 -0.16 -0.39 -0.78 -0.32 -0.78 -0.39

2 -0.39 0.09 0.30 0.15

4 0.14 0.27 0.12

3 0.29 -0.06 -0.12 -0.05 -0.12

Uç momentleri -8.36 26.18 -26.18 91.71 -16.71 -75.00 180.37 -180.37

�

�

4 m

2 kN/m

�

�

I

4I 2I

7.0 m

3.0 m

� �

30 kN/m

2I

30 kN/m

2I

4I 4I

3I

� � �

�

7.2m

6m 6m 3m

� �

30 kN/m

2I

30 kN/m

2I

4I 4I

3I

� � �

�

7.2m

6m 6m 3m

H1


287

Bulunan çubuk uç momentlerinden yatay denge aşağıdaki şekilde yazılır. Yatay denge H =-3.64+3.48+129.34=129.185 t ⇒⇒⇒⇒ ÖRNEK 5.16: Şekilde verilen sistemin moment alanının CROSS yöntemiyle elde edilmesi. Çözüm: Đlk önce sistem aşağıdaki şekilde düğüm noktaları sabit hale getirilir ve buna göre çözüm yapılarak bu mesnedin yatay tepki kuvveti (H10) bulunur.

GENEL DURUM ĐÇĐN ÇÖZÜM ( δ = 0 )

Düğüm � � � Çubuk �-� �- � �-� �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.36 0.64 0.364 0.272 0.364 0.64 0.36 Ankastrelik momentleri 4.5 -6 6 -6 6 Düğüm Dağıtılacak M

5 6 -1.92 -3.84 -2.16

3 -1.92 0.350 0.700 0.522 0.26 0.70 0.35

2 4.5+0.35-6=-1.15 0.41 0.740 0.370

3 0.37 -0.070 -0.135 -0.100 -0.05 -0.135 -0.07

2 -0.07 0.02 0.050

5 0.35-0.07=0.28 -0.09 -0.180 -0.10

3 -0.09 0.033 0.025 0.012 0.033

Uç momentleri 4.93 -4.93 6.968 0.447 0.222 -7.412 2.260 -2.260

Bulunan uç momentlerinden dolayı yatay denge yazılarak sistemi düğüm noktaları sabit hale getirmek için çerçevenin üst kısmına konan mesnedin yatay tepkisi aşağıdaki şekilde bulunur.

64.32.7

18.26====

� m

� m

26.18

6 kN

2 kN/m

�

2I

I

�

�

I I m

2I �

�

�

6m 6m

2m

2m k=0.50

k’=0.375 k’=0.375

k=0.667 k=0.667 H10

6 kN

2 kN/m

� �

� �

�

�

6m 6m

2m

2m

16.71

48.32.7

36.818.16====

++++

48.32.7

36.818.16====

++++

�

8.36

�

30 t/m

�

12.1402

8.7x30

8.7

37.180====++++

140.12xcos22.62=129.34

H10 = 4.23+0.167-0.565=3.832⇐⇐⇐⇐

4.93 6/2+4.93/4=4.23

6/2+4.93/4=4.23

2.26 2.26/4=0.565

2.26/4=0.565

0.447 0.222+0.447/4=0.167

0.222 0.222+0.447/4=0.167


288

Đkinci adım olarak da kolonların rijitliklerine göre birim deplasman verildiğinde oluşan momentlere göre sistem bir defa daha çözülerek yatay mesnet tepkisi (H11) bulunur.

δδδδ = 1 ĐÇĐN ÇÖZÜM Düğüm � � �

Çubuk �-� �- � �-� �-� �-� �-� �-� �-�

Dağıtma sayıları 0.36 0.64 0.364 0.272 0.364 0.64 0.36

Ankastrelik M (100 katı) -18.75 -37.50 -37.50 -18.75


3 -37.50 6.825 13.65 10.200 5.100 13.65 6.825

2 6.825-18.75=-11.925 4.293 7.632 3.816

5 6.90-18.75=-11.925 3.816 7.632 4.293

3 3.816+3.816=7.632 -1.389 -2.778 -2.076 -1.038 -2.778 -1.389

2-5 -1.389 0.500 0.889 0.889 0.500

Uç momentleri -13.957 13.957 14.688 -29.376 -33.438 14.688 13.957 -13.957

H10 = 4.23+0.167-0.565=3.832 ⇒⇒⇒⇒ H11 = 3.489+15.704+3.489=22.682 ⇐⇐⇐⇐ H10 + H11 δδδδ1 = 0 3.832 – 22.682 δδδδ = 0 δδδδ1 = 3.832 / 22.682 = 0.169 Çubuk uç momentleri aşağıda tabloda hesaplanmıştır.

Çubuk ucu M0 M1 δδδδ1 Sonuç M=M0 + M1 x δδδδ1 Düğüm dengesi

M21 4.930 -13.957 0.169 2.571

M23 -4.930 13.957 0.169 -2.571

0.00

M32 6.968 14.688 0.169 9.450

M34 0.447 -29.376 0.169 -4.518

M35 -7.412 14.688 0.169 -4.930

0.00

M43 0.222 -33.438 0.169 -5.429

M53 2.260 13.957 0.169 4.619

M56 -2.260 -13.957 0.169 -4.619

0.00

3k 3x0.5

h 40.375

′− =− =

2k 2x0.3750.1875

h 4

′− =− =

2k 2x0.375

h 40.1875

′− =− =

3k 3x0.5

h 40.375

′− =− =

H11

�

2I

I

�

�

I I m

2I �

�

�

6m 6m

H11 =3.489+15.704+3.489=22.682⇒⇒⇒⇒

13.957

13.957/4=3.489

13.957/4=3.489

29.376

(33.438+29.376)/4=15.704

33.438 (33.438+29.376)/4=15.704

13.957 13.957/4=3.489

13.957/4=3.489


289

Sonuç kesme kuvveti ve moment alanı, ÖRNEK 5.17: Düğüm noktaları hareketli sistemin M alanının CROSS yöntemiyle elde edilmesi. Đlk önce sistem aşağıdaki şekilde düğüm noktaları sabit hale getirilir ve buna göre çözüm yapılarak bu mesnedin yatay tepki kuvveti (H1) bulunur.

Ankastrelik momentleri 2 2

23 32 35 536kNm 6kNm2 x6 2 x6

M M M M12 12

− = = =−= =−=

GENEL DURUM ĐÇĐN ÇÖZÜM ( δ = 0 )

Düğüm � � � � �

Çubuk �-� �- � �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.53 0.47 0.364 0.272 0.364 0.50 0.50 -

Ankastrelik momentleri -6 6 -6 6


2-5 6 3.18 2.820 1.41 -1.50 -3.00 -3.00 -1.50

3 1.41-1.5=-0.09 0.017 0.033 0.024 0.033 0.017 0.017

2-5 0.017 -0.009 -0.008 -0.004 -0.005 -0.009 -0.009 -0.005

3 -0.004-005=-0.009 0.003 0.003 0.003 0.002

Uç momentleri 3.171 -3.171 7.442 0.027 -7.469 0.019 3.008 -3.009 -1.505

Bulunan uç momentlerinden dolayı yatay denge yazılarak sistemi düğüm noktaları sabit hale getirmek için çerçevenin üst kısmına konan mesnedin yatay tepkisi aşağıdaki şekilde bulunur.

2 kN/m

�

2I

2I

�

�

I 2I m

2I �

�

�

6m 6m

2m

4m

H1

2 kN/m

�

2I

2I

�

�

I 2I m

2I �

�

�

6m 6m

2m

4m

H1 = 0.793+0.011-0.752=0.052⇒⇒⇒⇒

3.171

3.171/4=0.793

3.171/4=0.793

0.026

0.026+0.019/4=0.011

0.019 0.026+0.019/4=0.011

3.008

1.505

(3.008+1.505)/6=0.752

(3.008+1.505)/6=0.752

−

2.357

3.643

2.357 =6/2-2.571/4

4.853

2.357 =(5.429+4.518)/4

1.155 =(4.619)/4

7.147

6.052

5.948

Vsonuç

−

5.429

4.714

3.317

9.450

2.571 4.619

4.930

Msonuç

4.227

4.518 −

−


290

Đkinci adım olarak da kolonların rijitliklerine göre birim deplasman verildiğinde oluşan momentlere göre sistem bir defa daha çözülerek yatay mesnet tepkisi (H11) bulunur.

GENEL DURUM ĐÇĐN ÇÖZÜM ( δδδδ =1 ) Düğüm � � � � �

Çubuk �-� �- � �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-�

Dağıtma sayıları 0.53 0.47 0.364 0.272 0.364 0.364 0.50 0.50 -

Ankastrelik momentleri -375 -375 -375 -335 -335


2-5 -375 198.75 176.25 88.13 83.75 167.5 167.5 83.75

3 88.13+83.75-375 36.97 73.94 55.25 73.94 27.63 36.97

2-5 36.97 -19.59 -17.38 -8.69 -9.24 -18.49 -18.49 -9.24

3 -9.24-8.69=-17.93 3.26 6.53 4.88 6.53 2.44 3.26

2-5 3.26 -1.73 -1.53 -1.63 -1.63 -0.81

Uç momentleri -197.57 197.57 159.91 -314.87 154.98 -344.93 187.61 -187.62 -261.30

H1 = 0.793+0.011-0.752=0.052 ⇐⇐⇐⇐ H11 = 49.39+164.96+112.23=326.58 ⇒⇒⇒⇒ H1 + H11 δδδδ1 = 0 326.58 δδδδ1-0.052 = 0 δδδδ1 = 0.052 / 326.58 = 159.225 10-6

3k 3x0.67

h 60.335

′− =− =

375.04

75.0x2

h

k2====−−−−====

′′′′−−−−

3k 3x0.5

h 40.375

′− =− =

�

2I k=0.667

2I k’=0.275

�

�

I k=0.50

k=0.675 2I

�

�

� 2I k=0.667

3k 3x0.67

h 60.335

′− =− =3k 3x0.5

h 40.375

′− =− =

H11 =49.39+164.96+112.23=326.58⇒⇒⇒⇒

197.57

197.57/4=49.39

197.57/4=49.39

314.87

344.97 (314.57+344.97)/4=164.96

187.52

261.30

(314.57+344.97)/4=164.96

(187.52+261.30)/6=112.23

(187.52+261.30)/6=112.23


291

.Çubuk uç momentleri Uç M0 M1 δδδδ1 (10-6) Sonuç M=M0 + M1 x δδδδ1

M21 3.171 -197.57 159.225 3.140 M23 -3.171 197.57 159.225 -3.140

M32 7.442 159.91 159.225 7.467 M34 0.027 -314.87 159.225 -0.023

M35 -7.469 154.98 159.225 -7.444

M43 0.019 -344.93 159.225 -0.036

M53 3.008 187.61 159.225 3.038 M56 -3.008 -187.52 159.225 -3.038

M65 -1.505 -261.30 159.225 -1.547

Örnek: Şekilde verilen sistemin M alanının elde edilmesi (Cross)


Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.444 0.556 0.769 0.231

Ankastrelik momentleri -5 5


3 5 -1.923 -3.845 -1.155

3 -[5+1.923]=-6.923 1.537 3.074 3.849 1.925

3 1.925 -0.740 -1.480 -0.445

2 0.74 0.165 0.329 0.411 0.206

3 0.206 -0.079 -0.158 -0.048

2 0.079 0.018 0.035 0.044

Uç momentleri 1.72 -3.438 3.348 1.648 -1.648

Dış yüklerden yanda denge yazılarak düğüm noktaları sabitliğini sağlayan H10 bulunur. δδδδ1=1 birim yüklemesi yapılıp sistem tekrar aşağıdaki şekilde çözülür.

Düğüm � � � Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-� Dağıtma sayıları 0.444 0.556 0.769 0.231

Ankastrelik momentleri -48 -48 (dönüş)+8.57


2 48 10.656 21.312 26.668 13.334

3 13.334+8.57 -8.426 -16.852 -5.062

2 8.426 1.871 3.741 4.685 2.343

3 2.343 -0.901 -1.802 -0.541

2 0.901 0.200 0.400 0.501 0.251

3 0.251 0.097 -0.193 -0.058

0.097 0.022 0.043 0.054

Uç momentleri -35.251 -22.504 22.504 -2.909 2.909

7.45

3.04 3.14

1.55

0.04

0.02

7.47

3.83 3.90

(1.72+3.438)/5+1.648/7=1.267=H10

2I

5m 7m

4m 10 kN

I

1.4I

� �

� �

H10 (1.72+3.438)/5=

1.032

3.438 1.72

1.648

-3k/L=3x0.8/5= 0.48

�

-3k/L=3x0.8/5= 0.48

-2k/L=2x0.38/7= 0.0857

2I

5m 7m

4m 10 kN

I

1.4I

� �

� � �

2I

5m 7m

4m 10 kN

I

1.4I

� �

�

H10

Düğüm noktası

sabit sistem


292

10 11 1 1 1H H 0 1.267 11.967 0 0.106+ δ = ⇒ − δ = ⇒ δ =


Çubuk uçları �-� �-� �-� �-� �-�

Uç momentleri (düğüm sabit) 1.72 -3.438 3.348 1.648 -1.648

Uç momentleri (δ=1) -35.251 -22.504 22.504 -2.909 2.909

Sonuç

mom

ent

değerleri

SONUÇ M=sabit+(δ=1) xδ -2.02 -5.82 5.82 1.34 -1.34

ÖRNEK: Şekilde verilen sistemin moment alanının CROSS yöntemi ile elde edilmesi. Çözüm: Bu sistemin çözümü düğüm noktaları sabit sistemde dış yüklerin olması durumu, birinci kat için δ1=1 ve ikinci kat için δ2=1 olmak üzere 3 aşamada yapılır. Düğüm noktaları sabit sistemin dış yükler altında çözümü

� � �

�-� �-� �-� �-� �-� �-� d 0.431 0.138 0.431 0.757 0.243

M -15 15 2 -3.233 -6.465 -2.070 -6.465 -3.233

3 1.224 2.447 0.786

2 -0.264 -0.528 -0.169 -0.528 -0.264

3 0.100 0.200 0.064

2 -0.022 -0.043 -0.014 -0.043

ΣΣΣΣ --18.519 7.964 -2.253 -5.712 -0.85 0.85

δ1=1 için çözüm [M1]

� � �

�-� �-� �-� �-� �-� �-�

d 0.431 0.138 0.431 0.757 0.243

M -66.7 -66.7 2 14.374 28.748 9.205 28.748 14.374

3 -5.441 -10.881 -3.433

2 1.173 2.345 0.751 2.345 1.173

11.551+2.909/7=11.967=H11

2I

5m 7m

4m 10 kN

I

1.4I

� �

� �

H10 (35.251+22.504)/5=11.551

22.504 35.251

2.909

2.02

5.82

1.34

12.24

�

�

�

�

20 k

N/m

7m

EI=sabit 3m

3m

� k=0.214

k=0.667

k=0.214

k=0.667

H20=2.187

H10=28.669

H21=9.733

H11=38.557

�

� 51.057

35.416 (51.057-35.416)/3=28.824

�

� 25.399

3.801 (25.399-3.801)/3=9.733

(25.399-3.801)/3=

�

�

20 k

N/m

18.519

7.964 20x3/2-((18.519-7.954)/3)=26.482

�

� 5.712

0.85 (5.712-0.85)/3=2.187

�

-3k/L=3x0.8/5= 0.48

-2k/L=2x0.38/7= 0.0857


293

-3k/L=3x0.667/3=0.667 0.48

-3k/L=3x0.667/3=0.667

3 -0.444 -0.888 -0.285

2 0.096 0.191 0.061 0.191 0.096

3 -0.072 -0.023

ΣΣΣΣ --51.057 -35.416 10.017 25.399 3.801 -3.801

δ2=1 için çözüm [M2]

� � �

�-� �-� �-� �-� �-� �-� d 0.431 0.138 0.431 0.757 0.243

M -66.7 -66.7 3 25.246 50.492 16.208

2 8.934 17.867 5.721 17.867 8.934

3 -3.382 -6.763 -2.171

2 0.729 1.458 0.467 1.458 0.729

3 -0.276 -0.552 -0.177

2 0.06 0.119 0.038 0.119 0.06

3 -0.045 -0.015

ΣΣΣΣ 9.723 19.444 6.226 -25.668 -13.845 13.845

Yukarıdaki 3 çözümden bulunan değerler kullanılarak,

H10 + H11 δδδδ1 + H12 δδδδ2= 0 -28.669 + 38.557 δδδδ1 -22.893 δδδδ2= 0 H20 + H21 δδδδ1 + H22 δδδδ2 = 0 2.187 - 9.733 δδδδ1 + 13.171 δδδδ2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümünden δδδδ1=1.149 ve δδδδ2=0.683 olarak bulunur. Bu

değerler kullanılarak çubuk uç momentleri aşağıda hesaplanarak diyagramı çizilmiştir.

= + +

=− − ⋅ + ⋅ =−

= − ⋅ + ⋅ =−

= + ⋅ + ⋅ =

=− +

δ

⋅ − ⋅ =

=− +

δij o 1 2

12

21

24

23

21

32

M M M M

M 18.519 51.057 9.723 70.55kN

M 7.964 35.416 19.444 19.

1.149

1 45kN

M 2.253 10.017 6.226 13.51kN

M 5.7

0.6

12 25.339 25

83

0.683

0.683

0.683.668 5.94kN

M

.149

1.149

1.14

0.85

9

⋅ − ⋅ =−

= − ⋅ + ⋅ =35

3.801 13.845 5.94kN

M 0

1.1

.85 3.801 13.845

0.683

0.68

49

1.14 39 5.94kN

ÖRNEK: Şekilde verilen sistemin moment alanının CROSS yöntemi ile elde edilmesi.(Konsollar 1.2m, Tekil yükler sol tarafa

H20

H10

k=0.40

k=8

k=0.5

k=0.40

k=8

k=0.5

�

� 9.723

19.444 (19.444-9.723)/3=9.722

�

� 25.668

13.845 (25.668-13.845)/3=13.171

H22=13.171

H12=22.893

(25.668-13.845)/3=13.171

1.93 kN

5.94

19.45 5.94

13.51

70.55

0.85 kN

2.78 kN

60 kN

Sonuç M alanı

-3k/L=3x0.667/3=0.667

-3k/L=3x0.667/3=0.667

2.613 kN/m 7.63 kN

1.552 kN/m

2.013 kN/m 6.9 kN

1.132 kN/m

3m

3m

� �

� �

A 7m 1.2m


294

Çözüm: Sistem düğüm noktaları hareketli olduğu için önce düğüm noktası sabit hala getirilerek

çubuk uç momentleri [M0] bulunur. Kolon uç momentlerinden kolonların karşıladığı kesme

kuvveti ve yatay denge yazılarak kat yatay kuvvetleri [H10, H20] belirlenir.

Konsol 1 2 Konsol 3 4

�-A �-� �-� A-� �-� �-� �-B B- � �-� �-� �-� �-� d 0.488 0.024 0.488 0.286 0.357 0.357 0.95 0.05 0.444 0.556

M -1.88 -25.86 29.91 -1.45 -20.51 24.36 2 -4.277 -8.554 -10.678 -10.678 -5.339 -5.339

1 15.624 0.768 15.624 7.812 0.384 7.812 4 -4.288 -4.223 -8.445 -10.576

3 8.726 17.452 0.919 0.459 1 -4.258 -0.209 -4.258 -2.129 -0.105 -2.129 2 0.573 1.147 1.431 1.431 0.716 0.716

3 1.011 2.022 0.106 0.053

4 -0.341 -0.273 -0.545 -0.683

1 -0.773 -0.038 -0.773 -0.386 -0.019 -0.376

3 0.308 0.617 0.032 0.016

2 0.051 0.103 0.129 0.129 0.064 0.064

1 -0.175 -0.009 -0.175 -0.088 -0.088

4 -0.018 -0.036 -0.045

3 0.101 0.005

ΣΣΣΣ -1.88 10.418 -29.001 20.463 5.209 22.866 -13.747 -9.118 -4.559 -1.45 4.901 -3.452 15.862 -15.863

Düğüm noktaları sabit sistemde dış yüklerden dolayı oluşan yatay kuvvetler [H10, H20] aşağıdaki şekilde hesaplanır.

δδδδ1=1 için çözüm


�-A �-� �-� A-� �-� �-� �-B B- � �-� �-� �-� �-� d 0.488 0.024 0.488 0.286 0.357 0.357 0.95 0.05 0.444 0.556

M -60 -60 -3.75 -3.75

1 29.28 1.44 29.28 14.64 0.72 14.64

3 -6.954 -13.908 -0.732 -0.366

2 0.433 0.887 1.082 1.082 0.541 1.210

1 3.182 0.157 3.182 1.591 0.078 1.591

3 -0.756 -1.511 -0.080 -0.04

4 -0.224 -0.179 -0.357 -0.447

1 0.369 0.018 0.369 0.184 0.009 0.184

2 0.039 0.049 0.049 0.025

ΣΣΣΣ -27.169 2.048 25.121 -43.585 1.733 0.907 -2.619 -3.184 0.996 -0.991 -0.763 0.763

4.901

20.463

10.418

5.219

15.862

13.747

9.118

4.559

H20

H10

4.901

20.463

10.418

5.219

15.863

13.747

9.118

4.559

6.341 =[4.901+20.463]/4

6.341 3.909

3.909

7.403

7.403 3.419

3.419

+ =

H20=1.062

H10=1.552


295

δδδδ1=1 için çözüm sonucu bulunan momentlerden yatay kuvvetler [H11, H12] hesaplanır.



�-A �-� �-� A-� �-� �-� �-B B- � �-� �-� �-� �-� d 0.488 0.024 0.488 0.286 0.357 0.357 0.95 0.05 0.444 0.556

M -60 -3.75 -60 -3.75

1 29.28 1.44 29.28 14.64 0.72 14.64

3 21.546 43.092 2.268 1.134

2 0.433 0.887 1.082 1.082 0.541 0.541

1 -10.726 -0.527 -10.726 -5.363 -0.264 -5.363

4 0.577 0.461 0.921 1.154

3 2.328 4.657 0.245 0.123

1 -1.136 -0.056 -1.136 -0.568 -0.028 -0.568

3 0.270 0.540 0.028 0.014

4 -0.038 -0.061 -0.076

1 -0.132 -0.006 -0.132 -0.066 -0.003

2 -0.069 -0.086 -0.086 -0.043

Σ 17.286 1.284 -18.57 8.643 1.243 -2.215 0.996 0.498 -3.002 3.002 2.131 -2.131

δδδδ2=1 için çözümünde bulunan momentlerden yatay kuvvetler [H21, H22] hesaplanır.

H10 + H11 δδδδ1 + H12 δδδδ2 + H13 δδδδ3 ……+ H1n δδδδn = 0 H20 + H21 δδδδ1 + H22 δδδδ2 + H23 δδδδ3 ……+ H2n δδδδn = 0 :: :: :: :: :: :: Hn0 + Hn1 δδδδ1 + Hn2 δδδδ2 + Hn3 δδδδ3 ……+ Hnn δδδδn = 0 Denklemi yazılarak δδδδ’lar aşağıdaki tablodaki bulunur.

ΣΣΣΣX1 = H10 H11δδδδ1 H12δδδδ2 = 0 1.552 -26.093δδδδ1 -13.336δδδδ2 = 0 δδδδ1 = 0.10631

ΣΣΣΣX2 = H20 H21δδδδ1 H22δδδδ2 = 0 -1.062 6.947δδδδ1 -6.480δδδδ2 = 0 δδδδ2 = 0.0549

3.002

18.570

17.286

8.643

2.131

2.215

0.996

0.498

H22

H12

5.393

5.393 6.482

6.482

1.087

1.087 0.374

0.374

+ =

H22=6.480

H12=13.336


3.002

18.570

17.286

8.643

2.131

2.215

0.996

0.498

0.996

25.121

27.169

43.585

0.763

0.907

2.619

3.184

H21

H11

6.529 =[0.996+25.121]/4

6.529 17.695

17.695

0.418

0.418 1.451

1.451

+ =

H21=6.947

H11=26.093

0.996

25.121

27.169

43.585

0.763

0.907

2.619

3.184



296

Bulunan bu δδδδ değerleri aşağıdaki moment denkleminde yerine yazılarak istenilen çubuklardaki uç momentleri hesaplanır. Mij = M0 + M1. δδδδ1 + M2. δδδδ2+ M3. δδδδ3.......... Mn. δδδδn

ΣΣΣΣX1 = H10 H11δδδδ1 H12δδδδ2 = 0 -1.552 11.443δδδδ1 6.111δδδδ2 = 0 δδδδ1 = 0.10631

ΣΣΣΣX2 = H20 H21δδδδ1 H22δδδδ2 = 0 1.062 -13.336δδδδ1 6.480δδδδ2 = 0 δδδδ2 = 0.0549

δ1 ve δ2’in gerçek değerleri 10’na bölünerek bulunur.

Şekilde kat yükseklikleri değişik sistemde yatay deplasmanlar aşağıdaki şekilde yapılır. Şekilde yükleme durumu verilen simetrik sistemin Cross yöntemi ile çözümü,

a. Sistem antimetrik yüklü, b. Düğüm noktaları sabit hale getirilir. c. Sistem bu haliyle yarım sistem olarak çözülür.

δ2=1

δ1=1

δ3=1 δ3=1

δ2=1

δ1=1

δ1=1

δ1=1 δ1=1

δ1=1

δ2=1

δ2=1 δ2=1 δ2=1

δ3=1 δ3=1 δ3=1


297

Not: Yarım sistem düğüm noktaları sabit olduğu için dış yüklerden oluşan yatay tepkiler [H10 ve H20] yatay dengeden hemen bulunur. ÖRNEK 5.20: Şekilde verilen sistemin moment alanın Cross yöntemi ile çizimi.

Dış yükler için çözüm Düğüm 1 2 3 4 5

Uç �-A �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-B d 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 M -12 -12 12 12 -2 2 1 6 3 3 1.5 1.5

3 -3.38 -6.75 -6.75 -3.38

2 2.63 5.25 5.25 2.63

4 -1.16 -1.16 -2.31 -2.31 -4.63 -2.32

2 0.29 0.58 0.58 0.29

3 0.29 0.58 0.58 0.29

4 -0.08 -0.08 -0.16 -0.16 -0.32 -0.16

5 0.12 0.24 0.24

1 0.09 0.04 0.04 0.02 0.02

2 0.03 0.03

3 0.03 0.03

4444 -0.03 -0.03 -0.06

ΣΣΣΣ 6.09 5.96 -12.05 7.38 -7.38 7.38 -7.38 12.42 -5.59 -6.89 -0.24 0.24

6.09

H10=6.09/1.5+0.24/7=4.09

H20=[[7.38+5.96]- [5.59+7.38]]/4+0.24/7=0.13

A

B

5.96

7.38

7.38

5.59 0.24

4x6/2-[12.05+7.38]/6=12.78

4 kN/m

4 kN/m

4 kN

12.42

A

B

6.89

7.38

0.24 7.38

12.05 11.46 0.22

H30=24.46

4 kN/m

4 kN/m

�

2I 1.5I

4 kN

2m 2m 6m

1.5m

1.5m

4mI I

4.67I

I

�

�

� �

A

B

H10 H20

4 kN/m

4 kN/m

�

2I 1.5I

4 kN

I I

4.67I

I

�

�

� �

A

B

H30

4P

I I

2I

2I

2P 2I

2I

Simetrik sistem

2P

I

2I

P

1.5k

H20=P

H10=2P

1.5k

Antimetrik yükleme

I

2I

1.5k

H21

H11

1.5k

δδδδ1=1

I

2I

1.5k

H22

H21

1.5k

δδδδ2=1


298

δδδδ1=1 için çözüm Düğüm 1 2 3 4 5

Uç �-A �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-B

d 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5

M -13.33 -2.87 1 6.67 3.33 3.33 1.67 1.67 5 0.72 1.43 1.43 2 -0.42 -0.84 -0.84 -0.42 3 -0.42 -0.84 -0.84 -0.42 1 0.42 0.21 0.21 0.10 0.10 4 0.02 0.02 0.03 0.03 0.06 0.03 2 -0.03 -0.06 -0.06 -0.03 3 -0.03 -0.06 -0.06 -0.03 1 0.03 0.02 0.02 0.10 0.10 4 0.02 0.02 0.03 0.02 5 -0.03 -0.03

ΣΣΣΣ -6.21 3.11 3.11 0.88 -0.88 0.88 -0.88 -0.40 -0.40 0.81 1.45 -1.46


Uç �-A �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-B

d 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5

M -3.75 -3.75 -3.75 -3.75 -2.87 1 1.88 0.94 0.94 0.47 0.47 4 0.47 0.47 0.94 0.94 1.88 0.94 5 0.48 0.96 0.96 2 0.70 1.41 1.41 0.70 3 0.70 1.41 1.41 0.70 4 -0.24 -0.24 -0.47 -0.47 -0.94 -0.47 1 -0.70 -0.35 -0.35 -0.18 -0.18 5 0.12 0.24 0.24 2 0.11 0.21 0.21 0.11 3 0.11 0.21 0.21 0.11 4 -0.05 -0.09 -0.09 -0.17 -0.09 1 -0.11 -0.06 -0.06 5 0.05 0.05

ΣΣΣΣ 1.07 -2.41 1.34 -1.84 1.85 1.91 -1.9 1.19 -2.56 1.37 1.63 -1.62

δδδδ3=1 durumu için orta kolonun deplasmanı durumu dikkate

0.88

0.40

6.21

H11=6.21/1.5+1.46/7=4.35

H21=0.47

A

B

3.11

0.88 0.40

1.46

1.45 0.81 0.88

0.88 3.11

0.21 0.57=[0.81+1.45]/4

H13=0.11

0.67

1.90

1.19

1.07

H12=0.48

H22=2.41

A

B

2.41

1.842.56

1.62

1.631.371.85

1.911.34

0.51 0.75=[1.37+1.63]/4

H32=0.30

0.54


299

alındığında saat dönüş yönü artı tersi ise eksi olarak kabul edilmiş ve ankastrelik momentleri buna göre bulunmuştur.


Uç �-A �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-B d 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5

M -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 7.5 7.5 5 -1.88 -3.75 -3.75

4 -0.39 -0.39 -0.78 -0.78 -1.56 -0.78

3 0.72 1.45 1.45 0.72

2 0.72 1.45 1.45 0.72

1 0.53 0.27 0.27 0.13 0.13

4 -0.18 -0.18 -0.36 -0.36 -0.72 -0.36

5 0.29 0.57 0.57

2 0.02 0.03 0.03 0.01

3 0.02 0.03 0.03 0.01

4 -0.04 -0.04 -0.08 -0.08 -0.16 -0.08

5 0.04 0.04

2 0.01 0.02 0.02

3 0.01 0.02 0.02

1 -0.03 -0.02 -0.02

ΣΣΣΣ 0.5 1.00 -1.5 1.63 -1.61 -0.87 0.89 -2.99 -0.49 3.47 3.14 -3.14

ΣΣΣΣX1 = H10 H11δδδδ1 H12δδδδ2 H13δδδδ3 = 0 -4.09 0.12δδδδ1 -0.48δδδδ2 0.12δδδδ3 = 0 δδδδ1 = 40.15

ΣΣΣΣX2 = H20 H21δδδδ1 H22δδδδ2 H23δδδδ3 = 0 -0.13 -0.31δδδδ1 2.41δδδδ2 -0.31δδδδ3 = 0 δδδδ2 = 9.14

ΣΣΣΣX2 = H30 H31δδδδ1 H32δδδδ2 H33δδδδ3 = 0

24.46 -2.82δδδδ1 0.30δδδδ2 -2.82δδδδ3 = 0 δδδδ3 = 30.50

Örnek olarak bazı uç momentlerinin hesabı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Uç M Mo δ1M δ2M δ3M M12 = 5.96 40.15x3.11 (-2.41)x9.14 30.50x1.00 = 139.30

M13 = -12.05 40.15x3.11 1.34x9.14 30.50x(-1.5) = 79.31

M1A = 6.09 40.15x(-6.21) 1.07x9.14 30.50x0.5 = -218.21 Σ=0

3kδ/L 3kδ/L

3kδ/L 3kδ/L

δ3=1

δδδδ3=1 δ3=-1

3kδ/L 3kδ/L

0.89

2.99

0.50

H31=0.12

H32=0.31

A

B

1.00

1.630.49

3.14

3.143.471.61

0.871.50

0.77 1.65=[3.47+3.14]/4

H33=2.82

0.40


300

ÖRNEK 5.21: Şekilde verilen çerçevenin moment alanının Cross yöntemi ile hesabı


Uç �-A �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-� �-B

d 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5

M -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 7.5 7.5 5 -1.88 -3.75 -3.75

4 -0.39 -0.39 -0.78 -0.78 -1.56 -0.78

3 0.72 1.45 1.45 0.72

2 0.72 1.45 1.45 0.72

1 0.53 0.27 0.27 0.13 0.13

4 -0.18 -0.18 -0.36 -0.36 -0.72 -0.36

5 0.29 0.57 0.57

2 0.02 0.03 0.03 0.01

3 0.02 0.03 0.03 0.01

4 -0.04 -0.04 -0.08 -0.08 -0.16 -0.08

5 0.04 0.04

2 0.01 0.02 0.02

3 0.01 0.02 0.02

1 -0.03 -0.02 -0.02

ΣΣΣΣ 0.5 1.00 -1.5 1.63 -1.61 -0.87 0.89 -2.99 -0.49 3.47 3.14 -3.14

6 kN

��

2I 1.5I

2I 1.5I

4 kN

4 kN

I I I

2I

I

� � �

�

AB

2 kN

4 kN/m

4 kN/m

3m 3m 8m

4.5m

4m

H20

H10

6 kN

�

�

�

2I 1.5I

2I 1.5I

4 kN

4 kN

I I I

2I I

�

�

�

�

�

�

�

AB

H30

2 kN

4 kN/m

4 kN/m

22.66

36.26 24.91 0.52

49.41

28.94

6.85

29.27

20.14

30.64 7.98

36.38 11.47

36.40

2.06

8.79

Documents

Yapı Statiği 2 Cross Yöntemi