ばね - ダンパ系

ダンパからは速度に比例する抵抗力　　　　を受ける.!cdx

dt

m

md2x

dt2= !kx ! c

dx

dt

おもりの位置　　　の満たす微分方程式を求めよ.x(t)Ex.

バネの復元力＋ダンパの抵抗力damp:勢いをそぐ

バネ - ダンパ系の方程式! =

c

2m, "0 =

!k

m とおくと

d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

!2 + 2"! + #20 = 0 特性方程式

と置いたときに が満たすべき方程式を求めよ.x(t) = e!t !Ex.

斉次線形微分方程式を見たら と置いてみる！ x(t) = e!t

　　　　　　 の一般解d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

x = A cos !0t + B sin!0t = C sin (!0t + ")

: 抵抗力の強さの指標! = c/(2m)

! = 0(1)

(4) ! > "0

! = "0(3)0 < ! < "0(2)

次の４通りの場合について一般解を求めよう.

!2 + 2"! + #20 = 0特性方程式

判別式 / 4 = !2 ! "20

=任意定数を含む解

　　　　　　 の一般解 : 場合(4)d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

!2 + 2"! + #20 = 0 ! = !" ±

!"2 ! #2

0

x = Ae(!!+!

!2!"20)t + Be(!!!

!!2!"2

0)t一般解は

とは一次独立な解である.x1 = e(!!+

!!2!"2

0)t x2 = e(!!!!

!2!"20)t

いずれも負

指数的に減衰

! > "0 : 抵抗力が強い場合

　　　　　　 の一般解 : 場合(2)

!2 + 2"! + #20 = 0 ! = !" ± i#

! =!

!20 ! "2

x1 = e(!!+i")t = e!!tei"t = e!!t(cos!t + i sin!t)

x2 = e(!!!i")t = e!!te!i"t = e!!t(cos !t ! i sin!t) と が解.

の１次結合で２つの実数値関数を作る.x1, x2

(x1 + x2)/2 = e!!t cos !t (x1 ! x2)/(2i) = e!!t sin!t

x = e!!t (A cos !t + B sin!t)一般解は

d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

0 < ! < "0 : 抵抗力が弱い場合

減衰振動

　　　　　　 の一般解 : 場合(3)

!2 + 2"! + "2 = 0 ! = !" 重解！

x1 = e!!t は解であるが, もう一つは？

x2 = te!!t が解であることを確かめよ.Ex.

一般解は x = e!!t(A + Bt)

d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

! = "0 : 境目の場合

指数的に減衰

　　　　　　 の一般解(まとめ)

x = e!!t(A + Bt)

! = 0(1)

(4) ! > "0

! = "0(3)

0 < ! < "0(2)

x = A cos !0t + B sin!0t

x = e!!t (A cos !t + B sin!t)! =

!!2

0 ! "2ただし

x = Ae(!!+!

!2!"20)t + Be(!!!

!!2!"2

0)t

d2x

dt2+ 2!

dx

dt+ "2

0x = 0

解の減衰の様子あれこれ! = 0(1)

単振動

! = 0.0v

tx t

x

!0 = 1.0

0 < ! < "0(2)

減衰振動

! = 0.05v

tx

x!0 = 1.0

解の減衰の様子あれこれ! = "0(3)

臨界減衰

! = 1.0v

tx

x!0 = 1.0

! > "0(4)

過減衰

! = 5.0v

tx

x!0 = 1.0

減衰の速さ比べ

i!0

!i!0

!!0 0

!

! = "0

! > "0

x = e!!t

!A cos

"!2

0 ! "2t + B sin"

!20 ! "2t

#

x = Ae(!!+!

!2!"20)t + Be(!!!

!!2!"2

0)t

x = e!!t(A + Bt)

0 ! ! < "0

特性方程式　　　　　　　　

Ex.　　　　　　　　

の２つの解の軌跡を複素平面上にプロットしてみよ.　　　　　　　　

!2 + 2"! + #20 = 0

!0 を固定し をパラメータとして動かしたとき　　　　　　　　 !

Ex.　　　　　　　　 最も早く減衰するのは, をいくらぐらいにとったときか?　　　　　　　

!

! = "0 臨界減衰の場合！　　　　　　

Exercises 1以下の斉次線形微分方程式について一般解を求めよ.

d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 2x = 0

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ 2x = 0

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+ 3

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+ x = 0

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Exercises 1以下の微分方程式について一般解を求めよ.

d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 2x = 0

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ 2x = 0

(1)

(2)

x(t) = Ae!t + Be!2t

x(t) = e!t(A cos t + B sin t)

Exercises 1d2x

dt2+ 2

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+ x = 0

(3)

(4)

x(t) = e!t(A + Bt)

x(t) = A cos t + B sin t

Exercises 1

d2x

dt2+ 3

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+

dx

dt+ x = 0(5)

(6)

x(t) = Ae!3+

"5

2 t + Be!3!

"5

2 t

x(t) = e!t2 (A cos

!3

2t + B sin

!3

2t)

Exercises 2

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

x(0) = !1, x(0) = 3

x(0) =!

3, x(0) = 1x(0) = 1, x(0) = 0

x(0) = 2, x(0) = !1 x(0) = 2, x(0) = !3

x(0) = 1, x(0) = 0

前問の方程式を, 対応するそれぞれの初期条件の下で解け.また, の範囲でグラフの概形を書き, となる を求めよ.

x(t) = 0tt > 0

Exercises 2

(1)

(2)

x(0) = !1, x(0) = 3

x(0) = 1, x(0) = 0

前問の方程式を, 対応するそれぞれの初期条件の下で解け.また, の範囲でグラフの概形を書き, となる を求めよ.

x(t) = 0t

x(t) = e!t ! 2e!2t

x(t) = e!t(cos t + sin t)=

!2e!t sin (t + !/4)

t > 0

Exercises 2

(3)

(4) x(0) =!

3, x(0) = 1

x(0) = 1, x(0) = 0

前問の方程式を, 対応するそれぞれの初期条件の下で解け.また, の範囲でグラフの概形を書き, となる を求めよ.

x(t) = 0t

x(t) = e!t(1 + t)

x(t) =!

3 cos t + sin t

= 2 sin (t + !/3)

t > 0

Exercises 2

(5)

(6)

x(0) = 2, x(0) = !1

x(0) = 2, x(0) = !3

前問の方程式を, 対応するそれぞれの初期条件の下で解け.また, の範囲でグラフの概形を書き, となる を求めよ.

x(t) = 0t

x(t) = 2e!t/2 cos (!

3t/2)

x(t) = e!3+

"5

2 t + e!3!

"5

2 t

t > 0

線形微分方程式

斉次線形微分方程式の複数個の解の線形結合は, またもとの方程式の解になる.

線形微分方程式という. 　

K!

k=0

ak(t)dku

dtk= f(t) の形をした微分方程式を

特に の場合, 斉次線形微分方程式と呼ぶ.f(t) = 0

!

ak

k = 0

K

" (t)d

k

dtk# L

!

ak

k = 0

K

" (t)d

k

dtk# L とおくと線形微分方程式は

!

L(u) = f (t)

!

L :「線形演算子」

:定数

線形演算子の性質

!

L(u + v) = L(u) + L(v)

!

L("u) ="L(u)

!

"

のように書ける

n階微分方程式　n個の任意定数を持つ解が存在

n階斉次線形微分方程式の解

n個の独立な解 を発見するとすべての解は

!

u1,u

2,,,,u

n

!

"1u1

+"2u2+,,,,+"

nu

n の形で書ける

これは斉次線形微分方程式特有の性質である

これを線形微分方程式の「一般解」と呼ぶ

一般解の全ての任意定数に、ある特定の値を代入して得られる解を特殊解または特解という。

!

ak

k = 0

K

" (t)d

k

dtk# L とおいて

!

L(u) = 0 斉次線形微分方程式

もし　

!

u1

!

u2 が ある斉次線形微分方程式の解

!

"u1

+ #u2($",# % Z) も解

!

"

!

L(u1) = 0 L(u

2) = 0

!

L("u1

+ #u2) ="L(u

1) + #L(u

2)また

!

L("u1

+ #u2) ="L(u

1) + #L(u

2) = 0

!

"

proof

2階斉次線形微分方程式の解すべての個別の解は

一般解

2階斉次線形微分方程式の任意の２つの解の和や差も同じ微分方程式の解である

上記の一般解に含まれる

2階非斉次線形微分方程式の任意の２つの解の差も線形斉次微分方程式の一般解に含まれる

!

au1+ bu

2 に含まれる

!

ak

k = 0

K

" (t)d

k

dtk# L とおいて

非斉次線形微分方程式

もし　 が ある非斉次線形微分方程式の解

は対応する斉次線形微分方程式の解

!

"

!

"

proof

!

L(u) = f (t)

!

S1

!

S2

!

S1" S

2

!

L(S1) = f (t) L(S

2) = f (t)

!

L(S1" S

2) = L(S

1) " L(S

2) = f (t) " f (t) = 0

非斉次線形微分方程式の一般解の探し方

◯どのような方法でも１つ特解を見つけ出す

◯上で得られた特解に斉次線形微分方程式の一般解を付け加える

2階非斉次線形微分方程式の任意の２つの解の差は線形斉次微分方程式の一般解に含まれる

!

S1

斉次微分方程式の一般解のひとつ

(= 特解)を足す

!

S2

!

S3斉次微分方程式

の一般解のひとつ(= 特解)を足す

!!