doc. dr. Janko MarovtUniverza v Mariboru

Zabavna matematika z igrami inugankami

• MATEMATICNA TOMBOLA,

• IGRA S KOVANCI,

• UGASNIMO LUCI,

• RAZNE MATEMATICNE UGANKE

MATEMATICNA TOMBOLA

1. BINGO

Pripomocki: tablice in listkiCilj igre: precrtati vsa stevila v eni vrstici alienem stolpcu ali na eni izmed obeh diagonal

B I N G O

47 13 54 77 38

72 36 16 11 5

28 46 9 76 23

27 62 61 99 41

30 97 54 20 39

N: dvomestno prastevilo

Nacin igranja: ucitelj izvlece listek in ga pre-bere. Ce ucenec na svoji tablici pod ustreznocrko najde stevilo, ki ustreza prebranemu kri-teriju, ga precrta (v vsaki potezi najvec enega).

Seznam kriterijev:

1. prastevilo

2. najvecje prastevilo, manjse od 100

3. sestavljeno stevilo

4. enomestno prastevilo

5. dvomestno prastevilo

6. dvomestno sestavljeno stevilo

7. sodo prastevilo

8. liho sestavljeno stevilo

9. prastevilo, ki je vecje od

10. dvomestno stevilo, katerega vsota stevk jeprastevilo

...

2. ZMAGA

Pripomocki: tablice in seznam stevil

Cilj in nacin igranja: podobno kot pri BINGU(ucitelj bere stevila s svojega seznama, ucencijih iscejo na svojih tablicah)

Z M A G A

1, 5 14 90% 6

10 0,07

16 100% 6

40 0,5 12, 5%

1% 3, 3 × 5% 20%

8090

333 871

2% 0, 3 0, 6

0, 75 100300 0, 4 80% 2

20

Seznam stevil:

1, 11,

1212, 100%

12,

24,

612, 0, 5, 0, 50, 50%

13,

39,

100300, 0, 3, 331

3%, 33, 3%

78,

2124,

140160, 0, 875, 871

2%, 87, 5%

...

1. BOGATAS IN MILIJON

Bogatas se je odlocil razdeliti milijon evrov medsvoje prijatelje. Da pa bi bila stvar zanimiva, jesklenil, da bodo podarjeni zneski vedno v oblikipotence stevila 7:

1 = 70, 7 = 71, 49 = 72, 343 = 73, . . .

Poleg tega se je odlocil, da ne bo dal vec kotsestim osebam istega zneska. Kako je bogatasuuspelo razdeliti milijon evrov? Kaksne zneske soprejeli njegovi prijatelji? Denar lahko razdelitemed poljubno stevilo ljudi.

Bogatas obdari 16 svojih prijateljev nanaslednji nacin:

1 darilo po 1 evro,

1 darilo po 7 evrov,

3 darila po 49 evrov,

3 darila po 343 evrov,

3 darila po 2401 evrov,

3 darila po 16807 evrov,

1 darilo po 117649 evrov,

1 darilo po 823543 evrov.

Pretvorba milijona v sedmiski zapis:

106 = 142857 ∗ 7 + 1

142857 = 20408 ∗ 7 + 1

20408 = 2915 ∗ 7 + 3

2915 = 416 ∗ 7 + 3

416 = 59 ∗ 7 + 3

59 = 8 ∗ 7 + 3

8 = 1 ∗ 7 + 1

1 = 0 ∗ 7 + 1

⇒ 106(10) = 11333311(7)

1 ∗ 77 + 1 ∗ 76 + 3 ∗ 75 + 3 ∗ 74 + 3 ∗ 73 + 3 ∗ 72 + 1 ∗ 7 + 1 = 106

Resitev je enolicno dolocena.

6 ∗ 76 + 6 ∗ 75 + 6 ∗ 74 + 6 ∗ 73 + 6 ∗ 72 + 6 ∗ 7 + 6 = 823542

< 77

2. KVADRATI V KROGU

V kvadratke vpisite razlicna naravna stevila, kiso manjsa od 100, tako da bo vsota kvadratovdveh stevil iz poljubnih sosednjih kvadratkovenaka vsoti kvadratov stevil, ki se nahajata vdiametralno nasprotnih kvadratkih!

162 + 22 = 260

82 + 142 = 260

162 − 82 = 142 − 22 = 192 ⇒192 = a2 − b2

= (a− b)(a + b)

192 sodo ⇒ a in b hkrati sodi ali hkrati lihi ⇒(a− b) in (a + b) sta sodi

192 = 2 ∗ 96

= 4 ∗ 48

= 6 ∗ 42

= 8 ∗ 24

= 12 ∗ 16

a− b = 2, a + b = 96 ⇒ a = 49, b = 47

49, 47

26, 22

19, 13

16, 8

14, 2

Resitev:

3. KRALJ IN GRADOVI

Kralj je svojemu arhitektu ukazal, da mu zgradi10 gradov, ki pa morajo biti povezani zutrjenimi zidovi. Zidovi naj bodo v obliki petihravnih crt s stirimi gradovi na vsaki crti. Nasliki je predstavljen prvotni arhitektov nacrt, kipa kralju ni bil vsec. Tako je od arhitekta zahte-val, da naj poleg tega gradove poveze z zidovitako, da bo pred napadom od zunaj ogrozenihcim manj gradov, oziroma da bi napadalci cimvec gradov dosegli le s precenjem zidov. Kako bivi zgradili utrdbe, da bi cim bolj ustregli kralju?

Resitev:

Vse moznosti:

4. POCITNICE

Prijatelja sta se odlocila, da bosta s kolesi odslana pocitnice. V vaski gostilni sta tik predodhodom preucila karto, ki je na poenostavljennacin predstavljena na spodnji sliki. Na kartije oznacenih 120 krajev. Ravne crte predstav-ljajo poti, ki te kraje povezujejo. Prijatelja stasvoje potovanje zacela v kraju A, ki je na kartioznacen levo zgoraj (severozahod). Ugotovilasta, da do kraja, kjer bosta zakljucila potovanje,vodi natanko 1365 poti, s tem da sta se odlocila,da bosta ves cas potovala na jug in na vzhod(navzdol in na levo). Cilj uganke je najti ciljnjunega potovanja!

Resitev:

kraj v 5. vrstici in 12. stolpcu

Koliko poti vodi do mesta v n-ti vrsticiin m-tem stolpcu?

Primer:

J J V J . . . V J

J ... n− 1 kratV ... m− 1 krat

Permutacije s ponavljanjem:

P n−1, m−1m+n−2 =

(m + n− 2)!

(n− 1)! (m− 1)!

Primer: n = 5, m = 12

P 4,1115 =

15!

4! 11!= 1365

IGRA S KOVANCI

Igro igrata dva igralca, tako da zaporedoma mecetakovanec. Pred zacetkom igre vsak od njiju napoverezultat v obliki treh zaporednih metov. Zmagatisti, ki napove rezultat, ki se pojavi v treh za-porednih metih pred napovedanim rezultatomsotekmovalca

Mozne napovedi (S-slika, C-cifra):

SSS, SSC, SCS, CSS, CCS, CSC, SCC, CCC

Primer:

• prvi igralec: CCC

• drugi igralec: SCC

METI 1 2 3 4 5 6 7

S/C C S C S S C C

Verjetnost, da se pojavi CCC pred SCC:

1

2∗ 1

2∗ 1

2=

1

8

A−CSS se pojavi pred CCS

Oznaka: pcs − verjetnost CSS, potem ko padetav prejsnjih dveh metih najprej cifra, nato slika

Podobno: pcc, psc, pss

Locimo 4 moznosti:

1. v prvih dveh metih padeta cifri:

C

CC↗↘

S

pcc =1

2pcc +

1

2∗ 0 =⇒ pcc = 0

2. v prvih dveh metih pade najprej slika, natocifra:

C =⇒ pcc

SC↗↘

S =⇒ pcs

psc =1

2pcc +

1

2pcs =⇒ psc =

1

2pcs

3. v prvih dveh metih pade najprej cifra, natoslika:

C =⇒ psc

CS↗↘S

pcs =1

2psc+

1

2∗1 =⇒ pcs =

1

4pcs+

1

2=⇒ pcs =

2

3, psc =

1

3

4. v prvih dveh metih padeta sliki:

C =⇒ psc

SS↗↘S =⇒ pss

pss =1

2psc +

1

2pss =⇒ pss = psc =⇒ pss =

1

3

P (A) =1

4pcc +

1

4pcs +

1

4psc +

1

4pss

=1

3

2/1 CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS

CCC 12

25

25

18

512

310

12

CCS 12

23

23

14

58

12

710

CSC 35

13

12

12

12

38

712

CSS 35

13

12

12

12

34

78

SCC 78

34

12

12

12

13

35

SCS 712

38

12

12

12

13

35

SSC 710

12

58

14

23

23

12

SSS 12

310

512

18

25

25

12

Optimalna strategija:

• igralec 2: za zadnje dva pricakovana metaizbere prva dva pricakovana meta prvega igralcater se izogiba obratni moznosti

• igralec 1: izbere CSC ali CSS ali SCS aliSCC

CCC =⇒ SCC (zmaga z verjetnostjo 78)

CCS =⇒ SCC (zmaga z verjetnostjo 34)

CSC =⇒ CCS (zmaga z verjetnostjo 23)

UGASNIMO LUCI (LIGHTS OUT)

Igro igra en igralec, tako da skusa na (obicajno)5×5 tablici ”ugasniti vse luci”. Tablico ses-tavlja (obicajno) 25 gumbov, ki so lahko priz-gani ali ugasnjeni. S pritiskom na gumb, spre-menimo stanje gumba in njegovih (nediagonal-nih) sosedov.

• ×

×

× • ××

×× • ×

×

Naloga

”Ugasni luc” v naslednjih dveh primerih, ce Lpomeni, da je luc prizgana!

L L L

L L L

L L L

L

L L

L L

Primer poteze:

L L L

L L L

L L L

=⇒

•

L L

L L L

Resitvi:

• •

•

• •

• • •

•

Ugotovitve:

• vrstni red ni pomemben

• posamezen gumb ”pritisnemo” najvec enkrat⇒ stevilo vseh moznosti v primeruigre 3× 3 :

(90

)+

(91

)+ ... +

(99

)= 512

• iz izbire gumbov v prvi vrstici lahko ugo-tovimo, katere gumbe moramo pritisniti vdrugi in tretji vrstici:

• L

L L

L L L

•

•

L L

a b c

d e f

g h i

a, b, ..., i∈{0, 1}0 - na gumb ne pritisnemo1 - na gumb pritisnemo

a+b+d ≡ 1(mod2)

1+1 = 0, 1 = -1, a = -a

=⇒ a+b+1 = d

Podobno:

a+b+c+e ≡ 1(mod2)=⇒ a+b+c+1 = e

b+c+f ≡ 1(mod2)=⇒ b+c+1 = f

g = a+d+e+1= a+a+b+1+a+b+c+1+1= a+c+1

a b c

a+b+1 a+b+c+1 b+c+1

a+c+1 0 a+c+1

a b c

a+b+1 a+b+c+1 b+c+1

a+c+1 0 a+c+1

b+c+1 a+b+c a+b+1

b+c+1 = 0a+b+c = 0a+b+1 = 0

=⇒ c = 1, b = 0, a = 1

Resitev

3×3, zacetni polozaj - prizgane vse luci:

1 0 1

0 1 0

1 0 1

4×4, zacetni polozaj - prizgane vse luci:

a b c d

a+b+1 a+b+c+1 b+c+d+1 c+d+1

a+c+1 d a b+d+1

b+c+d+1 a+b+d+1 a+c+d+1 a+b+c+1

0 0 0 0

=⇒ a, b, c, d ∈ {0, 1}

=⇒ 16 resitev

Primer: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0

1 1 0 0

1 1 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

5×5, zacetni polozaj - prizgane vse luci:

a b c d e

a+b+1 a+b+c+1 b+c+d+1 c+d+e+1 d+e+1

a+c+1 d a+e b c+e+1

b+c+d+1 a+b+d+e+1 a+c+e a+b+d+e+1 b+c+d+1

e d+1 c+1 b+1 a

b+c+e+1 a+b+c a+b+d+e c+d+e a+c+d+1

a+b+c = 0b+d = 1

c+d+e = 0

=⇒ 4 resitve: d, e ∈ {0, 1}

Primer: d = 1, e = 1

=⇒ a = 0, b =0, c = 0

0 0 0 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

Zanimive povezave:

• Vse o igri ”Lights out”:

– http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/lights.htm

– http://mathworld.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html

– http://www.anarkasis.com/rafa/indexuk.htm

• Zastonj igra ”Lights out” za Windowse:http://games.ncbuy.com/downloads/title 10000.html