Ogledala

9.1. Koliku najmanju visinu treba da ima i na kojoj visini nazidu mora biti postavljeno ravno ogledalo, da bi covek visokH = 1, 72m mogao u njemu da vidi ceo svoj lik? Covekove ocinalaze se na visini h = 1, 60m od poda.

RESENJE:

Visina ogledala i njegov polozaj moraju da budu takvi da svetlosni zraci izkrajnjih tacaka A i B, posle refleksije od ogledala, stignu do covekovih ociju(tacka O).

A

B C

D

OE

F

H

h

Na osnovu zakona odbijanja moze se zakljuciti da je:

CD =OB

2=

h

2i EF =

OA

2=

H − h

2,

a sa slike se vidi da je visina ogledala DE:

DE = H − CD − EF = H − h

2− H − h

2=

H

2=

1, 72m

2= 0, 86m.

Gornja ivica ogledala treba da se nalazi na visini:

CE = h + EF = h +H − h

2=

H + h

2=

1, 72m + 1, 6m

2= 1, 66m .

1

9.2. Mali predmet se nalazi izmedu dva ravna ogledala postavlje-na pod uglom α = 30◦, na rastojanju ℓ = 8 cm od linije presekaogledala. Na kom medusobnom rastojanju x se nalaze prviimaginarni likovi ovog predmeta u ogledalima?

RESENJE:

Imaginarni likovi L1 i L2 nalaze se na istoj udaljenosti od ogledala kao ipredmet P .

O1P

L1

O2

L2

x

a

l

C

To znaci da je:CL1 = ℓ i CL2 = ℓ ,

a takode i da je ugao 6 L1CL2 = 2α. Na osnovu kosinusne teoreme je:

x2 = ℓ2 + ℓ2 − 2 ℓ2 cos 2α

i konacno:x = ℓ

√

2 (1 − cos 2α) = 8 cm .

9.3. Konkavno sferno ogledalo daje realan lik koji je tri puta veciod predmeta. Kolika je zizna daljina ogledala, ako je rasto-janje izmedu predmeta i njegovog lika d = 20 cm?

RESENJE:

Zizna daljina ogledala dobija se izjednacine konkavnog sfernog ogledala:

1

f=

1

p+

1

ℓ,

odakle je:f =

p · ℓp + ℓ

. (1)

Kako je uvecanje ogledala:

u =L

P=

ℓ

p= 3 (2)

dp

l

P

LF

\\\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\\\

2

i kako se sa slike vidi veza:

ℓ − p = d , (3)

resavanjem sistema jednacina (2) i (3) dobija se:

p =d

u − 1i ℓ = d · u

u − 1.

Zamenom ovih izraza u (1), za ziznu daljinu se dobija:

f =u · d

(u + 1)(u − 1)= 7, 5 cm .

9.4. Svetao predmet nalazi se na rastojanju p = 2

3f od konveksnog

ogledala. Kakav ce biti i gde ce se nalaziti lik ovog predmeta?

RESENJE:

Jednacina konveksnog ogledala imaoblik:

− 1

f=

1

p− 1

ℓ,

jer su ziza i lik koji daje konveksnoogledalo imaginarni. Udaljenost likaod temena ogledala je, prema tome:

ℓ =p · fp + f

, tj. ℓ =2

5f . \\\

\\\\\\

\\\\

\\\\

\\\ \

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\\\\

p l

PL

F

Uvecanje ogledala je:

u =L

P=

ℓ

p=

3

5< 1 ,

sto znaci da je lik umanjen.

9.5. Konkavno i konveksno ogledalo jednakih poluprecnika krivinepostavljena su na medusobnom rastojanju d (d > R) tako daim se opticke ose poklapaju. Na kom rastojanju p1 od temenakonkavnog ogledala treba postaviti predmet P da bi njegovilikovi u oba ogledala bili jednakih velicina?

3

RESENJE:

\\\\\\\\\

\\\\

\\\\

\\\ \

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\\\\

\\\\\\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\\\\

p

P

p l

L

L

l

FF

1

2 2

2

1

1

2F

21

d

C2

Polazi se od izraza za uvecanje ogledala:

u1 =L1

P=

ℓ1

p1

,

u2 =L2

P=

ℓ2

p2

.

Prema uslovu zadatka L1 = L2 , sledi:

ℓ1

p1

=ℓ2

p2

. (1)

Na osnovu jednacine za konkavno ogledalo:

1

f=

2

R=

1

p1

+1

ℓ1

i konveksno ogledalo:

− 1

f= − 2

R=

1

p2

− 1

ℓ2

,

sledi:

ℓ1 =f · p1

p1 − f, (2)

ℓ2 =f · p2

p2 + f. (3)

Ako se jednacine (2) i (3) uvrste u (1), dobija se:

p2 + f = p1 − f .

4

S obzirom da je d = p1 + p2 , sledi p2 = d − p1 . Tada je:

d − p1 + f = p1 − f ⇒ 2p1 = 2f + d

i konacno:

p1 = f +d

2.

Zadaci za samostalni rad:

9.6. Horizontalni zrak svetlosti pada navertikalni ekran. Ako se na put zrakapostavi ravno ogledalce, udaljeno odekrana za ℓ = 0, 5m, svetla tacka naekranu pomeri se za h = 3, 5 cm. Podkojim uglom pada zrak na ogledalce? O

l

h

9.7. Svetao predmet nalazi se na rastojanju p = 3R od temenakonkavnog sfernog ogledala poluprecnika krivine R. Za kolikoputa ce se povecati velicina lika predmeta u ogledalu ako senjegov poluprecnik krivine poveca dva puta?

9.8. Za odredivanje zizne daljine konveksnog sfernog ogledala O1

koristi se eksperiment prikazan na slici. Ravno ogledalo O2

pomera se duz ose sfernog ogledala sve dok se likovi predmetaP u oba ogledala ne poklope, pri cemu su rastojanja a = 30 cmi b = 10 cm. Kolika je zizna daljina sfernog ogledala?

\\\\\\\\\

\\\\

\\\\

\\\ \

\\\\

\\\\

\\\\

\\\\\\\

P

F

a b

O1

O2

5

9.9. Predmet velicine P = 3mm postavljen je na udaljenosti p =f/4 od temena sfernog ogledala. Kolika ce da bude velicinalika ovog predmeta ako je ogledalo konkavno, a kolika ako jekonveksno?

6

Sociva

10.1. Plankonveksno socivo poluprecnika krivine R = 10 cm nacinjenoje od stakla indeksa prelamanja n = 1, 5. Kolika je zizna daljinaovog sociva:

a) u vazduhu ;

b) u vodi indeksa prelamanja n1 = 4/3 ?

c) Sta ce se desiti ako se socivo nalazi u sredini ciji je indeksprelamanja n1 = 3/2, isti kao indeks prelamanja materi-jala od kojeg je napravljeno socivo?

d) Kolika bi bila zizna daljina sociva ako bi spoljna sredinaimala indeks prelamanja n1 = 1, 6, dakle veci nego sto jeindeks prelamanja materijala sociva? Kakav karakter biimalo ovo socivo?

RESENJE:

a) U opstem slucaju zizna daljina sociva se odreduje iz relacije:

j =1

f=

n2 − n1

n1

(

1

R1

+1

R2

)

.

Kako je u ovom slucaju R1 = R, R2 = ∞, n2 = n i n1 = 1, to jezizna daljina ovog sociva u vazduhu:

f1 =R

n − 1= 20 cm .

b) Zizna daljina sociva u vodi iznosi:

f2 =R

n

n1

− 1= 80 cm .

c) Zizna daljina sociva u sredini ciji je indeks prelamanja isti kao i indeksprelamanja sociva (n2 = n1) je:

f =R

n2

n1

− 1= ∞ ,

7

sto znaci da socivo gubi svoje osobine i da mu opticka moc postajejednaka nuli.

d) U sredini koja ima veci indeks prelamanja od sociva, zizna daljinasociva bi bila:

f =R

n2

n1

− 1= −160 cm .

Dakle, ovom slucaju se pomenuto socivo ponasa kao rasipno.

10.2. U prozorskoj staklenoj ploci ostao je prilikomizrade prostor ispunjen vazduhom oblika bikon-veksnog sociva, cije granicne povrsine imajujednake poluprecnike krivina R = 2mm. Ko-liko iznosi zizna daljina ovog ,,sociva”, ako jeindeks prelamanja stakla n = 1, 52?

RESENJE:

Ponovo polazimo od jednacine:

1

f=

n2 − n1

n1

(

1

R1

+1

R2

)

,

ali je u ovom slucaju n2 = 1 , n1 ≡ n i R1 = R2 ≡ R:

1

f=

(

1

n− 1

)

2

R,

te je trazena zizna daljina:

f =R

2(

1

n − 1) =

2mm

2(

1

1,52 − 1) ≈ −3mm ,

sto znaci da se opisani vazdusni prostor ponasa kao rasipno socivo.

10.3. Pomocu simetricnog sabirnog sociva ciji je poluprecnik krivi-ne R = 30 cm dobija se realan lik nekog predmeta uvecan petputa. Socivo se nalazi u vazduhu, a nacinjeno je od materi-jala ciji je indeks prelamanja n = 1, 50. Odrediti rastojanjepredmeta i lika u odnosu na socivo.

8

RESENJE:

P

L

p

f f

F F

l

Polazeci od jednacine sabirnog sociva u obliku:

1

p+

1

ℓ=

n − n1

n1

(

1

R1

+1

R2

)

= (n − 1)2

R,

jer je R1 = R2 ≡ R (simetricno socivo) i n1 = 1 i uzimajuci u obzir da je:

u =ℓ

p= 5 ,

dobija se:1

p+

1

5p= (n − 1)

2

R⇒ 6

5p=

2(n − 1)

R

i konacno:

p =3R

5(n − 1)= 36 cm, ℓ = 5p = 180 cm .

10.4. Visina plamena svece iznosi 5 cm. Socivo, ciji je polozaj fik-siran, pokazuje na zaklonu njegov lik visine 15 cm. Sveca sepotom udalji za ∆p = 1, 5 cm od sociva i pomeranjem zaklonaponovo se dobije ostar lik plamena visine 10 cm. Odreditiziznu daljinu sociva.

RESENJE:

9

Dp p1

p2

F

1l

2l

F

P

L1

L2

Prema uslovu zadatka je:

1

f=

1

p1

+1

ℓ1

=1

p2

+1

ℓ2

,

pri cemu je:p2 = p1 + ∆p ,

i

u1 =L1

P=

ℓ1

p1

= 3 ⇒ ℓ1 = 3p1 ,

u2 =L2

P=

ℓ2

p2

= 2 ⇒ ℓ2 = 2p2 = 2(p1 + ∆p) .

Dakle:1

p1

+1

3p1

=1

p1 + ∆p+

1

2(p1 + ∆p),

odnosno:p1 = 8∆p = 12 cm i ℓ1 = 3p1 = 36 cm ,

na osnovu cega konacno proizilazi:

f =p1 · ℓ1

p1 + ℓ1

= 9 cm .

10

10.5. Opticki sistem se sastoji iz dva tanka sociva od kojih je jednosabirno zizne daljine f1 = 0, 8m, a drugo rasipno zizne daljinef2 = −1, 2m. Opticke ose sociva se poklapaju, a medusobnorastojanje sociva je jednako zbiru njihovih ziznih daljina. Narastojanju p1 = 1, 4m ispred sabirnog sociva, izvan medusobnograstojanja sociva, postavljen je osvetljen predmet. Gde senalazi krajnji lik predmeta? Da li bi se od datog predmetamogao dobiti isti ovakav lik, na istom mestu, upotrebom samojednog sociva?

RESENJE:

P

FF

F

p

L

l

L

l

111

2

1 21

2

2

p

f +1 2f

Na osnovu jednacine za sabirno socivo:

1

f1

=1

p1

+1

ℓ1

sledi:

ℓ1 =p1 · f1

p1 − f1

= 1, 87m .

Lik L1 je predmet rasipnog sociva i udaljen je od optickog centra sociva za:

p2 = f1 + |f2| − ℓ1 = 0, 13m .

Koristeci jednacinu za rasipno socivo:

− 1

f2

=1

p2

− 1

ℓ2

,

dobija se konacno:

ℓ2 =p2 · f2

f2 + p2

= 0, 12m .

11

Krajnji lik je imaginaran i obrnut u odnosu na predmet P . Kako su imagi-narni likovi uvek uspravni, jasno je da se ovakav lik ne moze dobiti na istommestu upotrebom samo jednog sociva.

10.6. Sabirno socivo zizne daljine fs daje realan lik nekog predmetana rastojanju ℓ = 25 cm od svog optickog centra. Kada seneposredno uz njega postavi jedno rasipno socivo i napravikombinacija sociva, rastojanje lika poveca se za ∆ℓ = 15 cm.Odrediti ziznu daljinu rasipnog sociva.

RESENJE:

P

L

p

fs

fs

l

Fs Fs

P

L’

Fk

p +Dl l

fk

Fk

fk

Jednacina sabirnog sociva je:

1

p+

1

ℓ=

1

fs,

a kombinovanog:1

fk=

1

fs+

1

fr=

1

p+

1

ℓ + ∆ℓ.

12

Na osnovu ovih relacija proizilazi:

1

fr= − ∆ℓ

ℓ(ℓ + ∆ℓ)

i konacno:

fr = −ℓ(ℓ + ∆ℓ)

∆ℓ= −66, 7 cm .

10.7. Objektiv mikroskopa ima opticku moc j1 = 40 dioptrija, aokular j2 = 20 dioptrija. Ispod objektiva nalazi se osvetljenipredmet (preparat) velicine P = 0, 02mm na rastojanju p1 =2, 8 cm od optickog centra objektiva. Konacan lik koji dajemikroskop formira se na daljini jasnog vida s = ℓ2 = 25 cm odokulara. Konstruisati konacni lik i odrediti ukupno uvecanjemikroskopa, kao i velicinu L2 konacnog lika.

RESENJE:

P

p

p

L

l

1

F11

1

okular

objektiv

L

F2

ld

2

F2

2

2

F1

Konstrukcija konacnog lika je prikazana na slici. Zizna daljina objektivaiznosi:

f1 =1

j1

=1

40m = 0, 025m ,

a okulara:

f2 =1

j2

=1

20m = 0, 05m .

13

Na osnovu jednacine:1

f1

=1

p1

+1

ℓ1

,

udaljenost lika L1 koji formira objektiv imace vrednost:

ℓ1 =p1 · f1

p1 − f1

=2, 8 · 2, 52, 8 − 2, 5

cm = 23, 3 cm .

Lik L1 igra ulogu predmeta za okular koji deluje kao lupa, tako da na osnovujednacine:

1

f2

=1

p2

− 1

ℓ2

i uslova zadatka ℓ2 = s , sledi:

p2 =f2 · sf2 + s

=5 · 255 + 25

cm = 4, 17 cm .

Prema tome, ukupno uvecanje mikroskopa moze se odrediti kao:

u = u1 · u2 =ℓ1

p1

· s

p2

= 49, 9 ≃ 50 .

Kako je uvecanje odredeno i relacijom:

u =L1

P· L2

L1

=L2

P,

velicina konacnog lika bice:

L2 = u · P = 50 · 0, 02mm = 1mm .

10.8. Mikroskop ima objektiv zizne daljine f1 = 1 cm, a okularzizne daljine f2 = 3 cm. Razmak izmedu objektiva i okulara jed = 20 cm. Na kojoj udaljenosti od objektiva treba postavitipredmet da bi ga, gledajuci kroz okular, videli na udaljenostiℓ2 = 22 cm? Koliko je linearno uvecanje mikroskopa?

RESENJE:

Lik koji daje objektiv je predmet za okular i od njega je udaljen za p2

(pogledati sliku u prethodnom zadatku). Posto je po uslovu zadatka lik kojidaje okular udaljen od njegovog optickog centra za ℓ2 = 22 cm, sledi:

1

f2

=1

p2

− 1

ℓ2

⇒ p2 =f2 · ℓ2

f2 + ℓ2

=3 · 223 + 22

cm = 2, 64 cm .

14

Lik koji daje objektiv mora biti udaljen od objektiva za:

ℓ1 = d − p2 = (20 − 2, 64) cm = 17, 36 cm .

Iz jednacine:1

f1

=1

p1

+1

ℓ1

,

sledi da je:

p1 =f1 · ℓ1

ℓ1 − f1

= 1, 06 cm .

Linearno uvecanje mikroskopa iznosi:

u = u1 · u2 =ℓ1

p1

· ℓ2

p2

= 136, 5 .

Zadaci za samostalni rad:

10.9. Sociva 10.8.

10.10. Sociva 10.9.

15

Fizika oka i videnja

11.1. Mreznjaca u ljudskom oku se nalazi na rastojanju 24mm odocnog sociva. Oko se fokusira na predmet udaljen 2m i visine40 cm. Odrediti ziznu daljinu ocnog sociva, kao i velicinu likau mreznjaci.

RESENJE:

Polazeci od jednacine:1

f=

1

p+

1

ℓ

i uzimajuci da je p = 200 cm, ℓ = 2, 4 cm (lik se stvara u mreznjaci), sledi:

f =p · ℓp + ℓ

= 2, 37 cm .

Kao sto se vidi, zizna daljina ocnog sociva je veoma bliska rastojanju likaℓ, a to je posledica mnogo veceg rastojanja predmeta (p ≫ ℓ). Zbog togai relativno velike promene velicine p ne zahtevaju znatnu promenu ziznedaljine.Velicinu lika u mreznjaci odredicemo polazeci od definicije uvecanja:

u =L

P=

ℓ

p⇒ L =

ℓ

pP =

2, 4 cm

200 cm40 cm = 0, 48 cm = 4, 8mm .

11.2. Kolika je akomodacija (izrazena u dioptrijama) neophodna,da bi normalno oko dobro videlo i daleke i bliske predmete?Daljina jasnog vida iznosi s = 25 cm.

RESENJE:

Daljnja tacka akomodacije je beskonacno udaljena, te je:

1

∞ +1

ℓ= j daleko ,

gde je ℓ− rastojanje lika koji se formira u mreznjaci od ocnog sociva, dok jeza blisku tacku:

1

s+

1

ℓ= j blisko .

16

Prema tome, akomodacija oka jednaka je:

∆j = j blisko − j daleko =1

s+

1

ℓ− 1

ℓ=

1

s=

1

25 · 10−2m= 4D .

11.3. Kratkovid covek moze jasno da vidi predmet ako se nalazi naudaljenosti 50 cm od oka. Kolika treba da bude opticka mocnaocara koje on mora da nosi?

RESENJE:

Uloga sociva naocara je da ,,pomeri” predmet iz beskonacnosti na rastojanjesa koga se on jasno vidi. Dakle, covek treba da koristi naocare koje ce da-vati imaginarni lik beskonacno udaljenog predmeta na rastojanju najmanje50 cm. Iz:

1

∞ − 1

ℓ=

1

f,

dobija se:

f = −ℓ = −50 cm j =1

f= −2D .

11.4. Kakve naocare treba da nosi:

a) dalekovid covek kome je daljina jasnog vida 50 cm;

b) kratkovid covek kome je daljnja tacka akomodacije 40 cm?

RESENJE:

a) Sa naocarima, daljina jasnog vida je s = 25 cm, a bez njih s1 = 50 cm.Prema tome, ako se predmet nalazi na rastojanju s, njegov imaginarnilik u socivu naocara treba da bude na rastojanju s1 od oka:

j =1

s− 1

s1

⇒ j = +2D .

b) Sa naocarima, daljnja tacka akomodacije je beskonacno daleka, a beznaocara je x = 40 cm. Dakle, imaginarni lik beskonacno dalekog pred-meta u socivu naocara treba da se formira na rastojanju x od oka:

1

∞ − 1

x=

1

f= j ⇒ j = −1

x= −2, 5D .

17

11.5. Bliska i daljnja tacka akomodacije kratkovidog coveka su 8 cmi 17 cm. Koliko iznose ove tacke ako covek stavi naocare jacine−4D?

RESENJE:

Neka je x = 8 cm bliska tacka akomodacije samog oka, a x′ bliska tackaakomodacije oka sa socivom naocara. Kada se predmet nalazi na rastojanjux′, njegov lik u socivu naocara formira se na rastojanju x od oka:

1

x′− 1

x= − 1

f⇒ x′ =

x f

f − x≈ 12 cm.

Na slican nacin se dobija da je daljnja tacka akomodacije:

y′ =y f

f − y= 53 cm.

Zadaci za samostalni rad:

11.6. Za citanje teksta covek koristi naocare jacine −4D. Na ko-likom rastojanju on treba da drzi ravno ogledalo da bi unjemu video svoj lik bez koriscenja naocara?

11.7. Covek normalnog vida stavio je naocare jacine +3D.

a) Na kolikom rastojanju on treba da drzi predmet da bi gajasno video bez naprezanja ocnog misica?;

b) Na kolikom maksimalnom rastojanju covek moze da drzipredmet da bi ga video?

11.8. Odrediti jacinu sociva potrebnog za korekciju kratkovidogoka, kod koga je najdalja tacka jasnog vida na udaljenostiod 1m, a najbliza tacka jasnog vida na 25 cm. Uzeti da jeudaljenost mreznjace od ocnog sociva ℓ ≈ 2 cm.

18

11.9. Kratkovida osoba ima najblizu tacku jasnog vida na 15 cm odoka bez naocara. Kolika ce biti daljina jasnog vida ako osobanosi naocare sa korektivnim socivima od −1D?

11.10. Odrediti jacinu korektivnog sociva kod dalekovidog oka potrebnuda omoguci osobi, cija je najbliza tacka jasnog vida 2m, dacita tekst bez naprezanja na udaljenosti od 0, 25m.

19

Fotometrija

12.1. Sa koje udaljenosti posmatrac jos uvek moze da vidi upaljenucigaretu u potpuno mracnoj noci, ako je svetlosni intenzitetupaljene cigarete I = 0, 0025 cd? Najmanji svetlosni fluks kojiokom moze da se zapazi je Φ = 10−13 ℓm, a povrsina zenice umraku iznosi S = 0, 4 cm2.

RESENJE:

Zenicu oka smatracemo tackastom, tako da je njena osvetljenost:

E =I

r2cos α .

Odavde se za udaljenost izmedu izvora svetlosti i zenice dobija:

r =

√

I cos α

E. (1)

Svetlosni fluks koji stize do zenice je Φ = E ·S, gde je E osvetljenost zenice,a S njena povrsina. Sledi da je:

E =Φ

S. (2)

Uvrstavanjem izraza (2) u izraz (1) dobija se:

r =

√

IS cos α

Φ.

Ovo rastojanje najvece je za α = 0, tj. za cos α = 1, kada svetlost upadanormalno na povrsinu zenice. Trazeno rastojanje prema tome iznosi:

r =

√

IS

Φ= 1000m .

12.2. Tackast izvor svetlosti S jacine I = 100 cd postavljen je u geo-metrijskom centru prostorije u obliku kocke sa ivicom a = 4m.Odrediti:

a) ukupan svetlosni fluks koji pada na pod prostorije;

b) srednju osvetljenost poda;

c) najvecu i najmanju vrednost osvetljenosti poda.

20

RESENJE:

a) Ukupan svetlosni fluks koji daje svetlosni izvor je:

Φ = 4πI .

Svetlosni fluks Φ1 koji pada na pod prostorije je:

Φ1 =1

6Φ =

2π

3I = 209, 33 ℓm .

b) Srednja osvetljenost poda iznosi:

E =Φ1

a2= 13, 08 ℓx .

c) Najosvetljenija tacka poda nalazi se u preseku dijagonala, neposrednoispod sijalice (α = 0), tako da je:

Emax =I

r2=

I(

a

2

)2=

4I

a2= 25 ℓx .

Najmanju osvetljenost imajutacke koje leze u temenimakvadrata. Njihovo rastojanjeod izvora je:

r1 =a√

3

2,

odnosno polovina prostorne di-jagonale kocke, dok je:

r a

2=

r1=

a

2

r

a

a

3

S

a

cos α =

a

2a√

3

2

=1√3

.

Dakle, za minimalnu osvetljenost se dobija:

Emin =I

r12

cos α =4√

3I

9a2= 4, 8 ℓx .

21

12.3. Dva tackasta svetlosna izvora S1 i S2 osvetljavaju povrsinuMN. Izvori se nalaze na medusobnom rastojanju ≤= 1m i navisini h = 2m iznad povrsine koju osvetljavaju.

a) Koliko iznose osvetljenosti u tackama A i B, ako svakiod svetlosnih izvora emituje totalni svetlosni fluks odΦ = 2100 ℓm?

b) Koliko iznosi osvetljenost tacke C koja lezi na sredinirastojanja izmedu A i B?

RESENJE:

1 2S

MA B

N

h

l

S

r1

1 2S

MA

C

B

N

h

l

S

a1r aa

a1 r1

r

a) b)

a) Osvetljenosti tacaka A i B medusobno su jednake i predstavljaju zbirosvetljenosti koje poticu od izvora S1 i S2, odnosno:

EA = EB = E1 + E2 , (1)

gde je E1 osvetljenost u tacki A koja potice od izvora S1, a E2 osvetl-jenost tacke A koja potice od izvora S2. Prema tome:

E1 =I

h2i E2 =

I

r2cos α , (2)

gde je I = Φ/4π intenzitet izvora S1 i S2. Sa slike se vidi da vazi:

r2 = h2 + ℓ2 , (3)

kao i da je:

cos α =h√

h2 + ℓ2. (4)

Uvrstavanjem izraza (2), (3) i (4) u izraz za osvetljenost, konacno sedobija:

EA = EB =Φ

4πh2

1 +

1(

1 + ℓ2

h2

)3/2

= 71, 7 ℓx .

22

b) Osvetljenost tacke C jednaka je:

EC = E′1 + E′

2 = 2E′1 ,

gde je:

E′1 =

I

r12

cos α1 .

Vaze takode i relacije (videti sliku):

r1

2 = h2 +

(

ℓ

2

)2

i cos α1 =h

√

h2 +(

ℓ2

)2.

Odavde se za osvetljenost tacke C dobija:

EC =Φ

2πh2· 1[

1 +(

ℓ2h

)2]3/2

= 76, 3 ℓx .

12.4. Na stubu visokom h = 6m nalazi se svetlosni izvor jacine I =3000 cd. Koliko iznosi povrsina kruga, na zemlji ispod stuba,unutar kojeg osvetljenost nije manja od EC = 2 ℓx?

RESENJE:

Sa slike se vidi da je osvetljenost tacke C:

EC =I

r2cos α ,

gde je r2 = R2 + h2, a cos α =h√

h2 + R2. Tako se

za osvetljenost EC dobija izraz:

EC =Ih

(R2 + h2)3/2.

C R

SN

ha

a

r

Resavanjem ovog izraza po R2 dobija se:

R2 = 3

√

I2h2

E2

C

− h2 .

Prema tome, trazena povrsina kruga S = R2π iznosi:

S =

3

√

(

Ih

EC

)2

− h2

· π = 1243, 4m2 .

23

12.5. Dve sijalice intenziteta I1 = 5 cd i I2 = 20 cd nalaze se namedusobnom rastojanju d = 150 cm. Odrediti na kom mestutreba postaviti zaklon, da bi se sa obe njegove strane postiglaista osvetljenost?

RESENJE:

1 2I

Z

d

d-xxI

Prema uslovu zadatka mora biti ispunjeno:

E1 = E2 , (1)

gde su E1 i E2 osvetljenosti jedne i druge strane zaklona, odnosno:

E1 =I1

x2i E2 =

I2

(d − x)2. (2)

Izjednacavanjem poslednje dve jednacine dobija se:

(

d − x

x

)2

=I2

I1

odakle je:

x =d

1 +√

I2I1

= 0, 5m .

12.6. Ulicna svetiljka nalazi se na visini h = 10m iznad tla. Odre-diti udaljenost tacaka A i B na zemlji, ako je poznato da jeodnos osvetljenosti u tim tackama EA/EB = 8. Tacka A nalazise neposredno ispod svetiljke.

RESENJE:

24

a

a

BA

rh

l

Osvetljenost tacke A je:

EA =I

h2, (1)

a tacke B:

EB =I

r2cos α , (2)

sa slike se vidi da je:

r2 = h2 + ℓ2 i cos α =h√

h2 + ℓ2.

Prema tome, osvetljenost (2) moze se napisati kao:

EB =Ih

√

(h2 + ℓ2)3, (3)

gde je ℓ rastojanje izmedu tacaka A i B, tj. AB = ℓ. Uvrstavanjem izraza(1) i (3) u uslov zadatka: EA/EB = 8, dobija se:

8h3 =√

(h2 + ℓ2)3 . (4)

Resavanjem jednacine (4) po ℓ sledi:

ℓ = h ·√

3√

64 − 1 = 17, 3m .

25

12.7. Povrsina laboratorije za fiziku iznosi S = 80m2, a njena sred-nja osvetljenost je E = 50 ℓx. Koliki je intenzitet svetlostikoji daju elektricne sijalice, ako se za osvetljavanje labora-torije koristi η = 25% ukupnog svetlosnog fluksa koji emitujusijalice?

RESENJE:

Srednja osvetljenost laboratorije iznosi:

E =Φ

S, (1)

gde je Φ svetlosni fluks koji pada na povrsinu laboratorije S. Odavde sledida je:

Φ = E · S = 4 · 103 ℓm , (2)

ukupan svetlosni fluks kojim je laboratorija osvetljena. Ovaj fluks pred-stavlja η = 25% od ukupnog svetlosnog fluksa Φ0 koji sijalice emituju, pa jeprema tome:

Φ = η · Φ0 ,

odnosno:

Φ0 =Φ

η= 16 · 103 ℓm . (3)

Za trazeni intenzitet svetlosti dobija se:

I =Φ0

4π=

E S

4πη= 1274 cd .

12.8. Sijalica snage P = 60W izraci η = 2% utrosene elektricne ener-gije u vidu svetlosti. Izracunati intenzitet svetlosnog izvora(sijalice), smatrajuci sijalicu izotropnim tackastim izvorom.

RESENJE:

Svetlosni fluks Φ koji emituje sijalica iznosi η = 2% od ukupne snage sijalice,odnosno:

Φ = η · P = 1, 2W ,

sto u vizuelnim jedinicama iznosi:

Φ =1, 2

0, 0016ℓm = 750 ℓm .

26

Kako se sijalica smatra izotropnim izvorom, sledi da je intenzitet sijalice:

I =Φ

4π= 60 cd .

12.9. Na rastojanju r = 70 cm od tackastog svetlosnog izvora Sjacine I = 20 cd nalazi se ravno ogledalo O. Odrediti osvet-ljenosti EA i EB u tackama A i B, koje se nalaze na rastoja-njima rA = r/2 i rB = 2r/3 od svetlosnog izvora S, kao sto jeprikazano na slici.

RESENJE:

S

A

O

B

r

r/2

2r/3\\\\\ \\\\\ \\\\ \\\\\ \\

S,

Zbog prisustva ravnog ogledala O, u njemu se formira imaginaran lik S′

izvora S, kao sto je prikazano na slici. Osvetljenosti tacaka A i B jednake suzbiru osvetljenosti ovih tacaka koje poticu od svakog od ovih izvora posebno,odnosno:

EA = E SA + E S′

A i EB = E SB + E S′

B , (1)

gde je:

E SA =

I

rA2

i E S′

A =I

(2r − rA)2, (2)

odnosno za tacku B :

E SB =

I

rB2

i E S′

B =I

(2r − rB)2, (3)

Uvrstavanjem rA = r/2 i rB = 2r/3 u gornje izraze, za osvetljenost tacakaA i B konacno se dobija:

EA =40

9· I

r2= 181, 4 ℓx ,

EB =45

16· I

r2= 114, 8 ℓx .

27

Zadaci za samostalni rad:

12.10. Svetlost sijalice pada na knjigu koja se nalazi na stolu poduglom α = 60◦ prema ravni stola i na njoj stvara osvetljenostE = 70 ℓx. Svetlosna jacina sijalice u svim pravcima iznosiI = 200 cd. Na kolikom rastojanju i na kojoj visini se nalazisijalica u odnosu na knjigu?

12.11. Kolika je srednja osvetljenost poda fiskulturne sale povrsineS = 72m2, ako se za njegovo osvetljavanje koristi η = 25%ukupnog svetlosnog fluksa Φ0 = 12000 ℓm koji emituju elek-tricne sijalice na tavanici?

28