Zadaci iz istosmjernih struja.pdf

7/25/2019 Zadaci iz istosmjernih struja.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-istosmjernih-strujapdf 1/17

27.12.2015. Zadaci iz istosmjernih struja

http://w ww .oe.fe.untz.ba/Z adaci_H TM L/istosmjer ne/Istosmjer ne%20_str uje/istosm jer ni_zadaci.htm 1/17

Primjer 1.

Direktnom primjenom Kirchoffovih zakona riješiti kolo, ako je poznato:E1=100[V], E2=50[V], R 1=R 3=10[ ], R 2=R 4=20[ ].

Slika 1. Slika 1.a

Rješenje:

Prikazano kolo ima tri grane i dva čvora. Primjenom ove metode treba postaviti jednačine i to:

(nč-1)=2-1=1,

nezavisnu jednačinu koristeći prvi Kirchoffov zakon i:

ng-(nč-1)=3-1=2,

jednačine koristeći drugi Kirchoffov zakon.

Usvojimo referentne smijerove struja. Za čvor 2 prema prvom Kirchoffovom zakonu važi:

I1+I2=I3.

Prema drugom Kirchoffovom zakonu:

(R 1+R 3)I1-R 2I2=E1-E2 (1)

R 2I2+R 4I3=E2,

odnosno dobija se sistem jednačina:

I1+I2-I3=0

2I1-2I2=5 (2)

2I2-2I3=5

Rješavanjem dobivenog sistema jednačina dobija se:

I 1=2.5 [A], I 2=0 [A], I 3=2.5 [A].





Primjer 2.

Metodom konturnih struja riješiti električno kolo sa Slike 2., ako je poznato:R 1=100 [V], E2=20 [V], E3=E5=30[V], E4=50[V], R 1=R 6=5[ ], R 2=R 5=10[ ], R 3=15[ ].

Slika 2.

Rješenje:

Metoda direktne primjene Kirchoffovih zakona za riješavanje električnih kola, odlikuje se složenom matematičkomprocedurom, koja se sastoji u rješavanju velikog broja jednačina. Zbog toga je opravdano nastojanje da sedefinišu nove metode s ciljem da se smanji broj jednačina i pojednostavi procedura rješavanja.

Metoda konturnih struja počiva na primjeni Kirchoffovih zakona, ali je broj jednačina znatno reduciran.Direktnom primjenom Kirchoffovih zakona bilo je potrebno napisati onoliko jednačina koliko je struja u kolu, dok primjenom metode konturnih struja potrebno je napisati ng-(nč+1) jednačina, tj. onoliko koliko je u prethodnoj

metodi postavljeno primjenom drugog Kirchoffovih zakona. Razmatranje se svodi na struje u nezavisnimkonturama, dok struje u zajedničkim granama za dvije ili više kontura rješava kao algebarski zbir usvojenihkonturnih struja.

Prije svega treba odrediti nezavisne konture u kolu i one se označavaju sa I, II, III itd. Svaka kontura sadrži po jednu granu koja ne pripada ni jednoj drugoj konturi. Struje koje djeluju duž kontura nazivaju se konturnimstrujama i označavaju I1, I2, itd. Smjerovi konturnih struja označavaju se strelicama koje se odabiraju proizvoljno.

Za svaku konturu napiše se jednačina dinamičke ravnoteže u skladu s drugim Kirchoffovih zakonom. Opšti oblik jednačina konturnih struja za složeno kolo s n kontura je:

R 11I1+R 12I2+……….+R 1nIn=E11

R 21I1+R 22I2+……….+R 2nIn=E22 (1)

.

.

.R n1I1+R n2I2+……….+R nnIn=Enn

gdje su:

R 11, R 22, …..R nn sopstveni otpori konture

R 12, R 13, …..R 1n otpori u zajedničkoj grani

E11, E22, …..Enn suma elektromotornih sila u konturi

Ako u kolu pored naponskih djeluju i idealni strujni generatori tada se djelovanje strujnih generatora mora uvestna poseban način u jednačine konturnih struja. To se izvodi primjenjujući ograničenje da grana sa idealnimstrujnim generatorom može pripadati samo jednoj konturi i da pri tom predstavljaju njenu nezavisnu granu.





Kolo ima šest grana i četiri čvora. Tri grane ulaze u sastav stabla grafa, a tako da kolo posjeduje tri nezavisnekonture. Struje u konturama su I1, I2 i I3 i proizvoljno su orijentisane. Sada se može napisati slijedeći sistem

jednačina:

R 11II+R 12III+R 13IIII=EI

R 21II+R 22III+R 23IIII=EII (2)

R 31II+R 32III+R 33IIII=EIII

gdje je:

R 23=R 32=R 5=10 [], R 11=R 1+R 6=10 [], R 12=R 21=0 [], R 13=R 31=R 6=5 [],

R 22=R 2+R 5=20 [], R 33=R 6+R 3+R 5=30 [], EI=E4-E1=-50 [V], EII=E4-E2=30[V],

EIII=E5-R 3=0[V].

10II+0+5IIII=-50

0+20III-10IIII=30

5II-10III+30IIII=0

Odakle se dalje dobija:

II=-5.5 [A], III =0.5[A], IIII=1.1 [A],

a struje u granama su:

I1=-5.5 [A], I2=-0.5 [A], I3=-5 [A], I5=0.6 [A], I6=-4.4 [A], I7=1.1 [A].

Primjer 3.

Primjenom metode superpozicije odrediti struje u svim granama električnog kola sa Slike 3. Poznato je:

Rješenje:





Princip superpozicije predstavlja jedan od temeljnih principa linearne elektrotehnike. U linearnim električnimkolima definiše: da je jačina struje u bilo kojoj grani kola jednaka algebarskoj sumi pojedinačnihstruja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatori koji su u kolu kada bi svaki djelovaoponaosob.

Stuja u k-toj grani bi bila:

(1)

Član: predstavlja odnos otpornih članova i konstantnog iznosa. U izrazu za konturnu struju Ik koja predstavlja

struju u k-toj nezavisnoj grani, ako se raščlane sume elektromotornih sila , može se pokazatipojedinačni uticaj svake elektromotorne sile u njoj. Dobijeni izraz za struju, u tom slučaju, na očigledan načinpokazuje da pojedinačno sve elektromotorne sile u kolu svojim djelovanjem participiraju u njenom konačnomizrazu. Struje u zajedničkim granama određene su sumom konturnih struja koje protiču kroz dotičnu granu.

Za neki proizvoljni čvor u konturi u složenom kolu mogu se, u skladu s Kirchoffovim zakonima, napisati jednačine:

(2)

koje predstavljaju sistem linearnih jednačina u kome je struja svake grane jednoznačno određena.

Ako se naizmjenično pretpostavlja, npr. da u kolu djeluje samo elektromotorna sila E1, a da su ostale jednake nuli,mogu se za svaku elektromotornu silu dobiti odgovarajuće struje, pa se za taj čvor i konturu dobija:

(3)

(4)

Slaganjem pojedinačnih dijelovanja, dobija se:

(5)

koji je takođe sistem linearnih jednačina. Upoređivanjem sistema vidimo da je struja u bilo kojoj grani kola jednaka algebarskoj sumi pojedinačnih struja koje u toj grani stvaraju elektromotorne sile u kolu, kada bi svakadjelovala pojedinačno. Princip superpozicije ne važi za raspodjelu snaga pošto snage predstavljaju funkcije drugogstepena struje.

Ukoonimo naponski generator pa će se dobiti:

U drugoj shemi uklonjen je strujni generator pa je:

Ukupno struje u granama su:





odnosno dobija se:

I’ 1=5[A], I’’ 1=0[A], I’ 2=3[A], I’’ 2=2[A], I’ 3=2[A], I’’ 3=2[A], I1=5[A], I2=1[A], I3=4[A].

Primjer 4.

Električni otpori R 1, R 2, R 3 povezani su u zvijezdu. Ako se elektromotorna sila E prvo priključi između krajeva 1 i 2,a krajevi 3 i 4 kratko spoje, a nakon toga elektromotorna sile E spoji između krajeva 3 i 4, a krajevi 1 i 2 kratkospoje, dokazati princip uzjamnosti.

Rješenje:

Iz metode konturnih struja može se ustanoviti važno svojstvo linearnih električnih kola, takozvano svojstvouzajamnosti, koje je poznato i kao princip uzajamnosti ili reciprociteta.

Princip uzajamnosti odnosi se na električno kolo proizvoljne konfiguracije u kome djeluje samo jedan izvorelektromotorne sile.

U kolu je odabrana nezavisna grana 1-2 koja pripada k -toj konturi i nezavisna grana 3-4 koja pripada p-toj konturi.

Ako se u grani 1-2 stavi elektromotorna sila koja djeluje od tačke 2 prema tački 1, ona u grani 3-4 stvara struju Ipkoja je usmjerena od tačke 3 prema tački 4. Ukoliko se sada ista elektromotorna sila stavi u granu 3-4 i to tako dadjeluje od 3 prema tački 4 u grani 1-2 će stvorit struju I k koja je usmjerena od tačke 2 prema 1 i jednaka je sa

strujom Ip.

Princip uzajamnosti koga je definisao Kirchoff defeniše: ako neka elektromotorna sila djelujući u bilo kojojgrani pasivnog ekeltričnog kola proizvoljne konfiguracije stvara u drugoj grani struji I, i ako se taista elektromotorna sila prenese u drugu granu, stvarat će u prvoj grani istu toliku struju.

Smijer struje u granama treba odrediti u odnosu na smijer djelovanja elektromotorne sile E.





Sa Slike 4.c se dobija:

(1)

(2)

Pa je:

(3)

Sa Slike 4.d se dobija:

(4)

što je očigledno i u skladu s principom uzajamnosti.

Primjer 5.

Pomoću teoreme kompenzacije odrediti otpornost otpornika R x tako da napon na njegovim krajevima iznosi

. Kolo je prikazano na Slici 5. Poznato je: E=70[V], IS=0.5[A], R=100[].

Rješenje:

Teorema kompenzacije omogućava da se u proizvoljnom električnom kolu jedna grana (ili njen dio) otpornosti R,kroz koju protiče struja jačine I, zamijeni naponskim generatorom elektromotorne sile E=RI, smjera suprotnog odsmjera struje I. S obzirom na ekvivalenciju koja vrijedi između realnog naponskog i strujnog generatora, teoremakompenzacije omogućava da se grana (ili njen dio) kroz koji protiče struja jačine I zamijeni i idealnim strujnimgeneratorom struje iste jačine i smjera kao što je smjer struje kroz posmatranu granu.





Otpornik R x kroz koji protiče struja I12 i na njegovim krajevima stvara napon U12, moguće je po teoremikompenzacije, zamijeniti idealnim naponskim generatorom elektromotorne sile:

Koristeći kolo prikazano na Slici 5.a napon U12 moguće je izraziti i kao:

odnosno:

Iz posljednje relacije dobija se da je otpornost nepoznatog otpornika R x:

Primjer 6.

Pomoći Tevenenove teoreme i Nortonove teoreme odrediti struju u grani s otporom R 5.E1=E2=20[V], R 1=R 2=40[ ], R 3=10[ ], R 4=160[ ], R 5=20[ ].

Rješenje:

Struja kroz bilo koju granu ili dio grane električnog kola može se odrediti pomoću takozvane metode ekvivalentnoggeneratora. Suština metode sastoji se u tome da se struja u dijelu grane između tačaka 1 i 2 neće promijeniti akose dio kola, sa kojim je uočeni dio grane kola povezan, zamijeni jednim ekvivalentnim generatorom odgovarajućeelektromotorne sile Ee i unutrašnjeg otrpora R u.

Ovu teoremu definisao je Tevenen pa je poznata kao tevenenova teorema. On je definisao kako se određuje Eeekvivalentnog generatora i njegov unutrašnji otpor R u. Po Tevenenu, svako aktivno električno kolo, u odnosu nabilo koje dvije tačke u grani kola ponaša se kao realni naponski generator. Elektromotorna sila generatora Ee

jednaka je naponu između tačaka 1 i 2 kada je otpor R uklonjen. Ako se sa U120 oznaći napon na krajevima 1 i 2

kada je otpor uklonjen onda važi:

Ee=U120.





Unutrašnji otpor generatora R u jednak je ekvivalentnoj otpornosti kola R e, posmatrano sa strane tačaka 1 i 2, kadasu sve elektromotorne naponskih generatora jednake nuli (krajevi generatora kratko spojeni) i kada su sve struje

strujnih generatora jednake nuli (krajevi generatora otvoreni).R u=R e.

Izraz za struju kroz posmatranu granu sa otporom R, može se odrediti primjenom Omovog zakona:

(1)

Za određivanje napona Tevenenovog generatora, odnosno struja u preostalom dijelu kola može se koristiti bilokoja druga metoda (metoda potencijala čvorova, metoda konturnih struja isl).

Nortonova teorema

Struja kroz bilo koju granu ili dio grane električnog kola može se odrediti ako se preostali dio aktivnog kolazamijeni ekvivalentnim strujnim generatorom. Suština ove metode, koja je poznata kao Nortonova, sastoji se utome da se svaki realni naponski generator može zamijeniti ekvivalentnim strujnim generatorom.

Struja ekvivalentnog strujnog generatora ili Nortonovog generatora je:

(1)

i jednaka je struji kratkog spoja Tevenenovog generatora. Otpor Nortonovog generatora je R N=R e.





Struja u grani sa otporom R može se odrediti iz odnosa:

(2)

odakle se dobija:

(3)

a) primjenom Tevenenove teoreme, struja u grani sa otporom R 5 je:

gdje napon U120 predstavlja napon između tačaka 1 i 2 kada je otpor R 5 isključen. Otpor R e predstavlja

ekvivalentni otpor između čvorova 1 i 2 kada se grana sa R 5 isključi, a generatori elektromotornih sila E1 i E2

kratko spoje, pa je:

U120=-R 3I1+R 4I2=Eek

b) Kod primjene metode ekvivalentnog strujnog generatora, granu s otporom R 5 treba kratko spojiti. Struja i

kratko spojenoj grani u tom slučaju predstavlja struju ekvivalentnog strujnog generatora.

Ova struja se može odrediti pomoću metode potencijala čvorova. Ako se pretpostavi da je potencijal čvorova 1 i 2 V1=V2=0 dobija se:





Struja Ik =Is može se odrediti ako se prethodno odrede struje I’ 1 i I’ 3, jer za čvor 1 važi

Ik =Is= I’ 1- I’ 3=0.3 [A].

Otpor ekvivalentnog strujnog generatora jednak je otporu ekvivalentnog naponskog generatora:

R ek =40[ ].

Iz sheme ekvivalentnog strujnog generatora može se odrediti struja u grani s otporom R 5.

Primjer 7.

Za kolo na Slici 7. izračunati struju u svim granama primjenom Millmanove teoreme. Podaci su:





Rješenje:

Kada u električnom kolu imamo dosta paralelno vezanih grana (malo čvorova a dosta grana!) moguće je pronaći

njihovu ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu provodnost (otpornost) na sljedeći način:

gdje n predstavlja broj paralelno vezanih grana.

Predznak članova EiGi uzima se na osnovu usvojenog smjera djelovanja elektromotorne sile. Ako se smjerdjelovanja elektromotorne sile Ei poklapa sa smjerom djelovanja elektromotorne sile Ee, onda je predznak ovihčlanova pozitivan; u suprotnom predznak je negativan. Ovaj postupak naziva se Millmanovom teoremom.

Primjenom Millmanove teoreme dobija se kolo kao na Slici 7.a. Vrijednost elektromotorne sile, unutrašnjeprovodnosti i otpornosti ekvivalentnog generatora je:





Jačina struje I5 u kolu na Slici 7.a je:

Da bi se odredile jačine struja o ostalim granama kola sa Slike 7. potrebno je odrediti napon između tačaka A i B,čija vrijednost iznosi:

Jačine struja u ostalim granama su:

Primjer 8.

Primjenom metode potencijala čvorova riješeti električno kolo sa Slike 8., ako je poznato:E1=E2=E3=102.5[V], R 1=R 2=R 3=0.5[], R 4=6.67[].

Rješenje:

Ova metoda počiva na primjenei prvog Kirchoffovog zakona. Ona je naročito pogodna za složena kola u kojima jebroj grana znatno veći od broja čvorova. Primjenjuje se na n-1 čvorova tj ima n č-1 jednačinu koje se konstruišu poprvom Kirchoffovom zakonu. Na ovaj način dobijene jednačine predstavljaju strujne jednačine. Njihovomtransformacijom u naponske jednačine dobiju se takozvane jednačine napona čvorova. Zamislimo dva čvora (kaodio složenog električnog kola) k , j koji su povezani samo jednom granom, i da je smijer obilaženja od čvora j





prema čvoru k . Za granu j-k važi I jk =-Ikj Ekj=-E jk , pa se potencijalna razlika može napisati:

(1)

Ukupna struja se može napisati (ako imamo m-grana između čvorova):

(2)

Prema tome struja u grani se može odrediti ako se može odrediti porencijalna razlika na njenim krajevima. Zasvaki čvor u složenom kolu važi prvi Kirchoffov zakon tako da za čvor j važi:

(3)

gdje p predstavlja broj čvorova sa kojima je čvor j povezan, pri čemu je broj grana između čvorova proizvoljan. Uopštem slučaju je:

(4)

pri čemu je zbog negativnog predznaka sume na lijevoj strani jednačine struja I j pozitivna za elektromotornu silu

čije je djelovanje orijentisano prema čvoru, a negativna za elektromotornu silu čije je djelovanje orijentisano odčvora j, isto vrijedi i za eventualne strujne izvore sa strujom Im. Sada se može napisati sistem jednačina:

G11(V1-V0)-G12(V2-V0)-…….-G1n(Vn-V0)=I1

-G12(V1-V0)+G22(V2-V0)-…….-G2n(Vn-V0)=I2 (5)

.

.

.-Gn1(V1-V0)-Gn2(V2-V0)-…….+Gnn(Vn-V0)=In

Dobijeni sistem pokazuje da je čvor 0 tretiran kao referentni čvor i ako se pretpostavi da je potencijal referentnogčvora jednak nuli sistem se može pisati:

G11 V1-G12 V2-……..-G1n Vn=I1

-G12 V1+G22 V2-…….-G2n Vn=I2 (6)

-Gn1 V1-Gn2 V2-…….+Gnn Vn=In

gdje su:

G j suma provodnosti svih grana koje se stiču u čvor j

G jk suma provodnosti svih grana između čvora j i čvora k

I j potencijal čvora j u odnosu na potencijal referentnog čvora.

Pošto kolo ima samo dva čvora od kojih je čvor 0 referentni, osnovna jednačina kola je oblika:

G11U1=I1.





U1=100 [V],

I1=G1(E2-U)=5 [A],

I2=G2(E2-U)=5 [A],

I3=G3(E3-U)=5 [A],

I4=G4U=15 [A].

Ili

I4= I1+ I2+ I3=15 [A].

Primjer 9.

U električnom kolu na Slici 9. poznato je: E1=120 [V], E2=60 [V], R 1=R 2=R 3=R=30 []. Odrediti otpor potrošačaR p da bi snaga na njemu bila maksimalna. Kolika je ta snaga i koliki je stepen korisnog dejstva u tom slučaju?

Rješenje:

Ponekad je u električnim kolima potrebno da se potrošaču preda što je moguće veća snaga. Pošto se karakteristike

generatora uglavnom ne mogu mijenjati, potrebno je odrediti otpornost potrošača tako da se na njemu razvijamaksimalna snaga.

Za prosto električno kolo prikazano na Slici 9.b, jednačina koja predstavlja funkciju snage u zavisnosti odotpornosti potrošača je:

Da bi se utvrdio maksimum snage potrebno je odrediti izvod ove funkcije i izjednačiti ga sa nulom:





Iz ove jednačine dobije se da je:

Kako je drugi izvod funkcije snage od otpornosti:

za vrijednosti manji od nule:

to je maksimalna snaga na potrošaču:

Dakle, da bi se na potrošaču ostvarila maskimalna snaga potrebno je da otpornost potrošača bude jednakaotpornosti generatora. Ovaj uslov se često koristi u telekomunikacijama i naziva se uslov prilagođenjapotrošača na generator.Stepen korisnog dejstva sistema generator – potrošač definiše se kao odnos korisne snage na potrošaču i ukupnesnage koju daje generator. Za prosto električno kolo (sastoji se od generatora unutrašnje otpornosti i potrošačaotpornosti R p) stepen korisnog dejstva je:

Uz uslov maksimalne snage na potrošaču stepen korisnog dejstva je:

Stepen korisnog dejstva pri uslovu maksimalne snage na potrošaču iznosi, dakle, 0.5. To znači da samo 50%energije generatora odlazi u korisne svrhe, dok ostatak se troši na pokrivanje unutrašnjih gubitaka generatora.Uslov maksimalne snage na potrošaču dosta se primjenjuje u telekomunikacijama i prenosu signala male snage.Za elektroenergetska postrojenja u kojima se vrši prenos energije velikih iznosa, cilj je da stepen korisnog dejstvabude što veći, tako da se kod projektovanja ovih, ima u vidu da stepen korisnog dejstva bude veći od 0.9. Odavdeproizilazi da unutrašnja otpornost generatora mora biti što manja u odnosu na otpornost potrošača, čime se

obezbjeđuje da se najveći dio energije izvora predaje potrošaču gdje se vrši koristan rad.Izvedene izraze moguće je primjeniti na bilo koje složeno električno kolo, jer Tevenenova teorema omogućava dase svako složeno kolo svede na prosto električno kolo. U tom slučaju maksimalna snaga na potrošaču razvit će sekada je otporost potrošača jednaka unutrašnjoj otpornosti Tevenenovog generatora:





i iznosi:

Znači, u zadatku je prvo potrebno odrediti napon i otpornost Tevenenovog generatora. S obzirom da u

posmatranom kolu postoje tri paralelno vezane grane, moguće je pronaći ekvivalentnu elektromotornu silu iekvivalentnu provonost (otpornost) pomoću Millmanove teoreme, pa imamo:

a ekvivalentna provodnost je:

odnosno otpornost:

Kolo sa Slike 9. trasnformiše se u kolo prikazano na Slici 9.a.

Primjenom Tevenenove teoreme na kolo sa Slike 9.a kolo se transformiše u kolo na Slici 9.b pri čemu je:

pa je uslov maksimalne snage na potrošaču:

maskimalna snaga na potrošaču:

Stepen korisnog dejstva:



Documents

Zadaci iz istosmjernih struja.pdf