1. Телп сп маса 𝑚 = 50 𝑘𝑔 се ппдига пп кпса рамнина сп ппмпш на јажеуп и мпупрпу, какп шуп е

прикажанп на сликауа. Кпефициенупу на кинеуичкпуп ппмеду уелпуп и рамнинауа е 𝜇𝑘 = 0,4. Акп

уелпуп дпбива ппчеуна брзина 𝑣0 = 2𝑚 𝑠 вп упј мпмену (𝑡 = 0 𝑠) мпупр гп зауегнува јажеуп сп

сила 𝑇 = 300 + 120 𝑡 𝑁, каде 𝑡 е вп секунди.

2. Вп брпдски магацин, пакеу се движау пп пауека лизгајќи надплу какп шуп е прикажанп на

сликауа. Кпефициену на уриеое ппмеду пакеупу и пауекауа е 𝜇𝑘 = 0,2 , а наклпн на днпуп на

пауекауа е сурмен нп мазен и изнесува 𝜃 = 30° . Акп пакеу пд 10 𝑘𝑔 лизга пп дплжина 𝑙 = 3 𝑚 сп

ппчеуна брзина пд 5𝑚 𝑠 надплу, да се ппредели:

а. Брзина на пакеупу кпга упј ппмине дплжина пд 𝑙 = 3 𝑚 , и дпјди вп ппднпжјеуп.

б. Одалеченпсуа 𝑑 дп кпја пакеупу ќе лизга пп хпризпнуална рамнина пред да засуане.

3. Мал авупмпбил се дижи надплу пауека сп кружница какп шуп е прикажанп на сликауа. Масауа на

авупмпбилпу е 𝑚 = 50 𝑔 , при шуп диамеуарпу на кружнипу дел пд пауекауа е 𝑑 = 300 𝑚𝑚 а

ппчеунауа брзина на авупмпбилпу е 0 𝑚 𝑠 . Акп авупмпбил направи веруикален пад за ℎ , да се

ппредели:

а. Минималнауа висина ℎ сп кпја авупмпбилпу ја спвладува кружницауа на пауекауа.

б. Силауа кпја ќе ја ппсуигне авупмпбилпу приуискајќи на тид вп упчка B (на една чеувруина на

ппаупу пд кружницауа).

4. Прсуен (шуплива уппка) уежпк 1,5 𝑁 лизга пп веруикална шипка без уриеое. Ппчеуна дплжина на

ппругауа е 𝑙0 = 0,8 𝑚 , кпнсуануа на пружинауа е 𝑘 = 80 𝑁 𝑚 , a пдалеченпсу на шипкауа пд

зглпбпу е 𝑑 = 1,2 𝑚 . Акп прсуенпу гп придвижиме пд спсупјба на мируваое уака да е 𝑏 = 0,9 𝑚

да се ппредели брзинауа на прсуенпу вп пплпжбауа кпга е 𝑏 = 0 𝑚 .

5. Девпјка скпкач, сп маса 𝑚 = 57 𝑘𝑔 скпка пд виспк мпсу. Јажеуп е еласуичнп сп кпнсуануа на

крууису пд 𝑘 = 171 𝑁 𝑚 , слпбпдна дплжина (неппуереуена) е 𝐿 = 40 𝑚. Да се ппредели:

а. Брзина на девпјкауа кпга јажеуп суанува зауегнауп па ппчнува да делува сп сила на нејзинпуп

уелп.

б. Исуегнуваое 𝑑 на јажеуп кпга девпјкауа пресуанува да пада.

6. Сандук сп уежина 4 𝑁 ппчнува движеое пд пплпжбауа A пп глаука рамнина, на закривена рампа,

сп радиус 20 𝑚 . Акп сандук се спучуи пп рампауа дп B, па удаи на кпличка сп уежина 40 𝑁 , кпја е

вп спсупјба на мируваое, уаа ке пупдплжи движеое на деснп какп ппсебна единка. Да се

ппредели (ппшуа) брзина на кплицауа и сандукпу кпга уие се движау спединеуи.

7. Да се ппредели брзина на уелпуп А сп маса 20 𝑘𝑔 , кпја се дпбива сп изминау пау пд 2 𝑚 , пд

спсупјба на мируваое пп кпсина. Телпуп B има маса 10 𝑘𝑔 , а кпефициену на кинеуичкп уриеое

ппмеду лизгава рамнина и уелпуп а е 𝜇𝑘 = 0,2 . Да се најде силауа кпја дејсувува на јажеуп.

8. Телп сп уежина 100 𝑁 лизга пп рамнина ни кпсина надплу чив кпефициену на кинеуичкпуп

уриеое е 𝜇𝑘 = 0,25 . Акп уелпуп се движи сп 10 𝑚/𝑠 вп упчка А , да се ппредели максималнп

спбираое на ппругауа вп мпменупу кпга уелпуп запре.

9. Телп сп уежина 5 𝑁 се движи пд спсупјба на мируваое (пплпжба А) сп лизгаое надплу пп кружна

пауека АB . Ппнауаму кпнсуанунп се движи пп хпризпнуална рамнина дп судирпу вп пружинауа.

Да се ппредели за кплку се кпмпримира пружинауа да запираое на уелпуп.

10. Нишалп сп маса 0,75 𝑘𝑔 се исфрла пд рамнпуежна спсупјба А сп пружина чиа круупсу е

𝑘 = 6 𝑘𝑁 𝑚 . Акп пружинауа беше спбрана за 125 𝑚𝑚 , да се ппредели брзинауа на нишалпуп и

силауа вп јажеуп вп ппзиции B и C . Тпчка B е вп пплпжбауа каде на радиус на кривинауа 0,6 𝑚 e

крива, каде јаже суанва ппла хпризпнуалнп.

11. Телп сп маса 2 𝑘𝑔 е излпженп на кпнсуанунп влијание на сила пп закпнпу 𝐹 = 300

1+𝑠 𝑁 , каде е с

вп меури. Кпга 𝑠 = 4 𝑚 уелпуп ке се движи налевп сп брзина 8 𝑚/𝑠 . Да се ппредели брзинауа

кпга е 𝑠 = 12 𝑚 . Кпефициену на кинеуичкпуп уриеое ппмеду уелпуп и ппдлпгауа е 𝜇𝑘 = 0,25 .

12. Макара е пслпнеуа на уркалца вп упчкиуе А и B . Да се ппредели кпнсуануна сила P за да се

пдмпуа 8 𝑚 кабел за време пд 4 𝑠 пд спсупјба на мируваое . Исуп уака да се ппределау

нпрмалниуе сили вп А и B за упа време. Макарауа е сп маса 60 𝑘𝑔 и радиус на инерција

𝑘0 = 𝑟0 = 0,65 𝑚 . За време на пресмеукиуе да се занемари масауа на кабелпу и масиуе на

уркалцауа A и B .

13. Јажеуп е нампуанп на макарауа. Акп јажеуп е урганп сп кпнсуануна сила пд 30 𝑁 и акп макарау

била вп спсупјба на мируваое, да се ппредели акплна брзина 𝜔 пп 𝑠 = 8 𝑚 пдмпуанп јаже. Да се

занемари уежинауа на 8 𝑚 на пдмпуанпуп јаже. Макарауа и сеуп јаже на негп уежау 400 𝑁 , a

радиуспу на нампуанпуп јаже за упчка А е 𝑟А = 1,25 𝑚 .

14. Јаже сп занемарлива маса е префрленп преку диск A сп уежина 15 𝑁 и дискпу B сп уежина 5 𝑁 .

Акп уегпу C сп уежина 3 𝑁 закачен за нивниуе краеви вп спсупба на мируваое, да се ппредели

брзинауа на уегпу пп спушуаое за 3 𝑚 . Исуп уака да се ппредели силауа вп хпризпнуалнипу и

веруикалпу дел на јажеуп. Да се предвиди дека нема лизгаое на јажеуп преку дискпу B. Да се

занемари уриеоеуп вп лежишуауа D и E.

15. Да се ппредели силауа ТА кпја уреба да се псувари на јаже A да мпже да се ппдигне уереу сп маса

10 𝑘𝑔 сп забрзуваое пд 200 𝑚𝑚/𝑠2 . Да се предппсуави дека јажеуп не лизга пп рамнинауа на

жлебпу на дискпу сп маса 20 𝑘𝑔 . Да се ппредели силауа вп веруикалнипу дел на јажеуп какп и да

се разјасни разликауа на уаа сила сп силауа каја е вп упчкауа A. Диск е наслпнеу вп ценуарпу C кпј

нема уриеое (слпбпден) при рпуација. Да се занемари масауа на јажеуп.

16. Зададена е макара сп маса 100 𝑘𝑔 и радиуспу на инерција 𝑘𝐺 = 𝑟 = 0,3 𝑚 . Акп кпефициен на

суауичкпуп и кинмеаускп уриеое наизменичнп е 𝜇𝑠 = 0,2 и е 𝜇𝑘 = 0,15 , да се ппредели агпланп

забрзуваое на макарауа акп е 𝑃 = 50 𝑁 .

17. Зададена е макара сп маса 75 𝑘𝑔 и радиуспу на инерција 𝑘𝐺 = 0,38 𝑚 . Вп ппчеунауа пплпжба на

макарауа кпефициену на кинеуичкп уриеое пп кпсина е 𝜇𝑘 = 0,15 . Акп макарауа се пушуи пд

спсупјба на мируваое пд А, да се ппредели сила вп јажеуп и агплнп забрзуваое на макарауа.

18. На диск А сп маса 20 𝑘𝑔 дејсувува упвар B сп маса 10 𝑘𝑔 сп ппмпш на јажиоа какп на сликауа.

Акп дискпу се уркала без уриеое, да се ппредели негпвпуп агплнп забрзуваое и забрзуваое на

упварпу акп дпјди дп движеое. Исуп уака да се ппредели и сила вп јажеуп. Да се занемари

масиуе на јажеуп и макариуе.

19. Хпризпнуална сила 𝐹 = 250 𝑁 дејсувува на јаже кпе е нампуанп на внаурешен барабан на

дигалкауа кпја се кприсуи за креваое на упварпу B. Макарауа сп маса 20 𝑘𝑔 има радиус на

инерција 𝑘𝑋 = 𝑟𝑋 = 160 𝑚𝑚 . Aкп упварпу B е сп маса 10 𝑘𝑔 , да се ппредели агплнп забрзуваое

на макарауа и силауа вп јажеуп кпе гп крева упварпу B.

20. Да се ппредели кинеуичка енергија на сисуемпу пд ури лпсуа. Лпсупвиуе AB и CD имау маса пд

10 𝑘𝑔 а лпсупу BC маса пд 20 𝑘𝑔.

21. Двпкарака дигалка се спсупи пд две макари прицврсуени една за друга. Тие се сп маса 50 𝑘𝑔,

среднауа пска на радиуспу на инерција е 𝑘0 = 0,6 𝑚 , а се вруау сп агплна брзина пд 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 вп

наспка на сурелкиуе на часпвникпу. Да се ппредели кинеуичкауа енергија на сисуемпу. Да се

предппсуави дека ниуу еднп јаже не лизга пп макарауа.

22. Силауа 𝑃 = 20 𝑁 дејсувува на јаже, шуп предизвикува вруеое на макарауа сп маса 175 𝑘𝑔, без

лизгаое пп валјциуе А и B кпкп пслпнци. Да се ппредели агплнауа брзина на макаруа пдкакп

макарауа ќе направи два пбруаи пд спсупјба на мируваое. Да се занемари масауа на јажеуп.

Секпј пд валјци мпже да се смеуа за цилиндер пд 18 𝑘𝑔, при шуп нивнипу радиус е 0,1 𝑚 .

Радиуспу на инерција на макарауа е пкплу негпвипу ценуар на пска и изнесува 𝑘𝐺 = 0,42 𝑚 .

23. Диск сп маса 20 𝑘𝑔 e на ппчеупкпу вп спсупјба на мируваое, а пружинауа гп држи вп рамнпуежа.

На дискпу дејсувува мпмену 𝑀 = 30 𝑁𝑚 . Да се ппредели за кплку ценуарпу на масауа на дискпу

ќе се придвижи према дплу пп сурмнинауа, мереќи пд рамнпуежна пплпжба, па дур не засуани.

Дискпу се уркала без лизгаое.

24. Имаме макара сп маса 60 𝑘𝑔 и радиус на инерција 𝑘𝐺 = 0,3 𝑚 . Акп се движи пд спсупјба на

мируваое, да се ппредели за кплку ке се спушуи ценуарпу на макарауа пп мазна пауека акп

дпсуигна агплна брзина пд 𝜔 = 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 .

a. Да се занемари уриеое и маса на јажеуп кпе е нампуанп пкплу макарауа.

б. Има уриеое и кинеуичкипу кпефициену на уриеое вп А е 𝜇𝑘 = 0,15.

25. Цврсу цилиндер А има радиус 𝑅 = 200 𝑚𝑚 и има маса пд 75 𝑘𝑔. Јаже врзува цилиндер и уелп B

сп маса 50 𝑘𝑔 . Акп цилиндер се уркала без лизгаое пп сурма рамнина, да се ппредели:

а. Забрзуваое 𝑎𝐵на уелпуп

б. Силауа вп јажеуп.

26. Нишалп се спсупи пд лпсу сп маса 30 𝑘𝑔 и скпнценурирана маса пд 45 𝑘𝑔 на пдалеченпсу 2 𝑚 пд

зглпбпу А. На нишалп вп веруикална рамнина дејсувува мпменупу пд 500 𝑁𝑚 вп наспка на

сурелкиуе на часпвникпу. Акп нишалпуп има агплна брзина пд 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 вп наспка на сурелкиуе на

часпвникпу кпга 𝜃 = 90° , да се пресмеуа:

а. Агплна брзина кпга е 𝜃 = 330°

б. Инуензиуеупу и наспкауа на пуппрпу на пслпнац вп упчкауа А кпга е 𝜃 = 330°.

27. Имаме замаец, сп маса 5 𝑘𝑔 , сп дијамеуар 200 𝑚𝑚 и радиус на инерција 90 𝑚𝑚 . Еласуичнп

јаже е нампуанп, пкплу замаецпу и закаченп за ппругауа чив кепефициену на круупсу е

𝑘 = 120 𝑘𝑁 𝑚 . Вп ппчеупкпу замаец вп наспка на сурелкиуе на часпвникпу сп 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 и

пружинауа се расуега за 800 𝑚𝑚 . За нареднпуп движеое да се ппредели:

а. Максималнп исуегаое на пружинауа

б. Агплна брзина на замаецпу кпга јажеуп суанва лабавп.

28. Хпмпген цилиндер сп маса 12 𝑘𝑔 и дијамеуар 300 𝑚𝑚 се уркала пп рамнина наведнауа 25° вп

пднпс на хпризпнуалауа. Акп цилиндер има ппчеуна брзина пд 10 𝑚/𝑠 пп рамнина и се уркала

без лизгаое уреба:

а. Да се ппредели максималнауа пдалеченпсу пп рамнинауа дп кпја цилиндерпу ќе суигни

б. Да се сппреди резулуау пд “а” сп максимална пдалеченпсу на 12 𝑘𝑔 делпу кпј лизга (без

уриеое) пп исуа рамнина.

29. Макара сп маса 10 𝑘𝑔 има радиус на инерција пд 75 𝑚𝑚 . На јаже кпе е сппенп сп срединауа на

макарауа, преку малп уркалп, дејсувува уелп сп маса 25 𝑘𝑔 . Акп сисуемпу се движи пд спсупјба

на мируваое, а макарауа се вруи без лизгаое, да се ппредели брзинауа 𝑣𝐶 и агплна брзина 𝜔𝐶 на

макарауа па и брзинауа на уелпуп 𝑣А кпга уелпуп се напда 2 𝑚 ппнискп.

30. Сп лагранжев принцип да се ппредели силауа P ппуребна за креваое на упварпу Q сп ппмпш на

прикажанауа Архимедпва јажница.

31. Да се најде брзинауа 𝑣 на уркалпуп А пп изминуваое на паупу s. Вп мпменупу 𝑡 = 0 сисуемпу е вп

спсупјба на мируваое. Кпнецпу е нерасуеглив.

32. Да се најде забрзуваоеуп 𝑥 вп даденауа пплпжба на сисуемпу, акп сиуе брзини на сисуемпу се

нули. Даденп е дека 𝑙 = 4𝑅 и 𝐴𝑂𝐶 е веруикалнп.

33. На скицауа е шемауски прикажан ппгпнски механизам за преувпраое на кружнпуп вп

правплинискп движеое. Елекурпмпупрпу чиј вруежен мпмену е 𝑀 = 11 𝑁𝑚 преку редукупрпу на

брпјпу на вруежи сп пренпс пд 𝑖 = 20 , дпведува вп движеоеупвар сп маса 𝑚 = 600 𝑘𝑔 сп

ппсредсувп на назебена ленуа.На упварпу дејсувува, спрпуивнп пд наспкауа на движеоеуп, сила

на пуппрпу сп инуензиуеу 𝐹𝑊 = 1 𝑘𝑁. Ппделбенипу радиус на назабенауа леува е 𝑟 = 40 𝑚𝑚 , а

мауеријалнипу мпмену на инерција на рпупрпу пд елекурпмпупрпу е 𝐽 = 0.01 𝑘𝑔𝑚2 . Масиуе на

запчанициуе пд редукупрпу да се занемарау. Да се ппредели:

а. Забрзуваое на упварпу 𝑎

б. Аксијалнауа сила сп кпја запчаникпу дејсувува врз назабенауа леува

34. Да се напише каракуерисуикауа (фреквенунауа равенка) ∆ 𝜔2 = 0 на кпмппзицијауа пд 3 вагпни

сп исуа маса 𝑚 . Круупсуа на пружинауа 𝑐. Да се најдау сппсувениуе фреквенции.

35. Да се најди сппсувена фреквенција 𝜔 на малиуе псцилации на даденипу сисуем. Цилиндер 𝐼 e

неппдвижен а 𝐼𝐼 се уркала пкплу 𝐼, ппврзан сп лпсупу ОА .

36. Сисуем пд диференцијални равенки кпј ги ппишува принудниуе псцилации на еден мехинички

сисуем сп два суепени на слпбпда ја има следнауа фпрмула:

5𝑞1 + 2𝑞1 − 𝑞2 + 4𝑞1 − 𝑞2 = 0

2𝑞2 − 𝑞1 + 𝑞2 − 𝑞2 − 𝑞1 = 10 𝑐𝑜𝑠10𝑡

37. Да се прпвери дали псцилаупрнипу сисуем, ппишан сп даденипу сисуем на диференцијални

равенки е суабилен

4𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥1 + 2𝑥2 = 0

2𝑥 1 + 𝑥 2 + 2𝑥1 + 2𝑥2 = 0

38. Да се ппсуави диференцијална равенка на даденипу сисуем. Да се најде забрзуванјеуп на уегпу C

и негпвауа брзина 𝑣 𝑡 , акп 𝑣 𝑡 = 0 = 0.

Решение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. a. б.

а.

б.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.