Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta

Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta

Dusan Prodanovic

Contents

2 Fizicka svojstva fluida2.1 Velicine, dimenzionalni sistem i jedinice mere2.2 Viskoznost2.3 Gustina (specificna masa) fluida2.4 Tezina i specificna tezina2.5 Elasticne deformacije, stisljivost fluida2.6 Pritisak2.7 Povrsinski napon i kapilarnost2.8 Zadaci za vezbuChapter 2 Fizicka svojstva fluida

Sva fizicka svojstva fluida se mogu vezati ili za konacnu kolicinu fluida ili za jednu tacku unutar fluida. Najpoznatija svojstva konacne kolicine fluida su masa i zapremina. Vrednosti tih svojstava se mogu odrediti samo za odredjenu kolicinu materije. Na primer, moze se izmeriti masa vode u casi, dodavanjem vode u casu, masa \'ce se pove\'cati.

Svojstva fluida koja su vezana za jednu tacku, ne zavise od ukupne kolicine materije. Temperatura vode u casi iz prethodnog primera, koja se meri u jednoj tacki, se ne\'ce promeniti ako se odlije jedna kolicina fluida. Ako se dolije voda, temperatura \'ce se mozda i promeiti ali ne kao rezultat pove\'canja mase fluida ve\'c kao rezultat procesa difuzije i konvekcije.

Do svojstva fluida u tacki se cesto dolazi normalizacijom svojstava konacne mase. Na primer, gustina fluida se moze definisati u jednoj tacki kao odnos mase i zapremine: = M/V (poglavlje2.3).

U ve\'cini slucajeva, posebno u oblasti hidrodinamike gde se proucava kretanje fluida, jednostavnije je raditi sa velicinama koje su vezane za jednu tacku nego za odredjenu kolicinu fluida. Poznavanje vrednosti svojstava fluida (pritiska, gustine, temeprature, itd.) u svakoj tacki i u svakom trenutku vremena je jedan od osnovnih zadataka predmeta "Mehanika fluida". U nastavku se daju definicije i objasnjenja za nekoliko osnovnih, najvaznijih svojstava fluida, koja \'ce se intenzivno "trositi" tokom kursa "Mehanike fluida".

2.1Velicine, dimenzionalni sistem i jedinice mere

Pojam velicine je direktno povezan sa pojmom merenja: velicina je sve ono sto se moze izmeriti. Na primer, ako je sirina stola 0.8m, velicina koja se meri je sirina (ili duzina), vrednost te velicine je 0.8, a jedinica mere koja je koris\'cena u merenju je metar. Velicine su i vreme, sila, ubrzanje itd.

Odredjene velicine su medjusobno zavisne. Ubrzanje je brzina u jednici vremena, dok se duzina moze izraziti kao brzina pomnozena sa vremenom. Na primer, sirina stola iz prethodnog primera se moze izmeriti i kao vreme potrebno mravu da predje preko stola idu\'ci odredjenom (standardnom?) brzinom1.

Da bi se uveo red, sedam velicina koje su medjusobno nezavisne su proglasene osnovnim velicinama, a sve ostale su izvedene velicine. U tabeli2.1 su date osnovne velicine cija imena i simboli su medjunarodno dogovoreni.

Velicina Jedinica Simbol jedinice

Duzina metar m

Masa kilogram kg

Vreme sekund s

Jacina struje amper A

Temperatura kelvin K

Svetlosna jacina kandela cd

Kolicina supstance mol mol

Table 2.1: Osnovne velicine

Prve tri osnovne velicine iz tabele2.1 cine dimenzionalni sistem koji odgovara Mehanici: duzina definise prostor i geometriju tela cije se kretanje proucava, masa opisuje inercijalnost materijalnog tela koje se protivi promenama u svom kretanju i vreme ili vremenski interval u kome nastaje promena u kretanju materijalnog tela. Ovakav dimenzionalni sistem se naziva jos i apsolutni sistem.

U usvojenom dimenzionalnom sistemu, bilo koja izvedena velicina Y u oblasti Mehanike se moze napisati kao:

[Y]=[La Mb Tc]

(2.1)

gde su L, M i T oznake za duzinu, masu i vreme. U izrazu se koriste uglaste zagrade kao oznaka za dimenzionalni izraz jer su uspostavljene relacije samo izmedju velicina a ne i izmedju vrednosti tih velicina.

Do vrednosti velicine se dolazi merenjem, uporedjivanjem nepoznate velicine sa nekom drugom, istorodnom velicinom, koja je uzeta kao osnovna jedinica mere. Izbor osnovnih jedinica mere je slobodan. Na primer, sirina stola je 0.8 ako se koristi metar kao jedinica mere, 31.5 sirina palca (inci) ili 3.3 visine knjige B5 formata.

Jasno je da slobodan izbor jedinica mere dovodi do prilicne konfuzije ("moj palac je malo siri od tvog"), pa su se sve drzave obavezale da koriste jedinstveni medjunarodni sistem jedinica SI (La Systme International d'Units). SI sistem propisuje osnovne velicine i za te osnovne velicine definise jedince mera2. Definicije jedinica mera se povremeno menjaju, u skladu sa razvojem nauke, cime se smanjuje merna neizvesnost i pove\'cava prakticna upotreba jedinice mere.

Kada je definisan sistem jedinica kojima se meri odredjena velicina, iz dimenzionalnog izraza(2.1) se dobija vrednost velicine Y kao:

Y=NY ma kgb sc

(2.2)

pri cemu je postovan SI sistem mera. U izrazu(2.2), NY je merni broj, vrednost velicine Y u usvojenom sistemu jedinica.

Kroz ve\'ci deo ove knjige \'ce se postovati SI sistem mera. Taj sistem, medjutim, budu\'ci da je propisan uz uvazavanje svih naucnih oblasti, u oblasti Mehanike, posebno statike, unosi jednu veliku nelogicnost. Sila je prema SI sistemu izvedena velicina, dimenzionalno jednaka [L1 M1 T2]. Prema takvoj definiciji, sila zavisi od vremena iako se razmatraju problemi u oblasti statike, gde je vreme konstantno, iskljuceno iz razmatranja. Bilo bi prirodnije da sila bude osnovna velicina a masa izvedena (nekada je bio u upotrebi takav tehnicki dimenzionalni sistem). Tada bi se u oblasti statike koristile dve osnovne velicine (duzina i sila) a u oblasti kinematike tri (duzina, sila i vreme).

Iako je SI sistem propisan i mora se koristiti, uobicajena je praksa da se u fazi analize fizicke zavisnosti pojedinih velicina koje opisuju neki fenomen, koristi slobodan izbor osnovnih velicina. Na primer, ako se izucava momenat M na kraju grede u funkciji od duzine L i kontinualnog optere\'cenja q, logicno je duzinu i kontinualno optere\'cenje uzeti kao osnovne velicine a konkretne L i q kao jedinice mere. Uz uslov o dimenzionalnoj homogenosti direktno se dobija da je [M]=[L2q1] odnosno da je vrednost momenta M=NM L2q . Oblast koja se bavi ovakvim analizama se zove dimenzinalna analiza, veoma se cesto koristi u Mehanici fluida i izucava\'ce se detaljnije u glavi ove knjige.

2.2Viskoznost

Fluid je po definiciji supstanca koja se neprekidno deformise kada na nju deluje smicu\'ci napon, ma koliko mali taj napon bio. Na slici2.1 je u formi promene kroz vreme prikazan rezultat veoma prostog eksperimenta, delovanja konstantne bocne, tangencijalne sile F na cvrsto telo i na fluid. Cvrsto, idealno elasticno telo je prikazano u formi kocke koja je svojim bazisom pricvrs\'cena za nepokretnu podlogu, a fluid je u sloju debljine h izmedju donje nepokretne ploce i gornje na koju se deluje silom F.

Figure 2.1: Razlika u vremenskom deformisanju cvrstog tela i fluida kada se na njih deluje bocnom - tangencijalnom silom

U pocetnom trenutku t0=0 cvrsto telo i fluid su u stanju mirovanja, sila F nije jos pocela da deluje. U trenutku t1=t, sila F pocinje da "gura" gornju ivicu kocke i gornju plocu. Gornja ivica kocke se istog trenutka pomeri, deformise, za xK a gornja ploca, odnosno gornji sloj fluida za xF. U slede\'cem trenutku t=2t, ukupna deformacija kocke je jos uvek xK dok se gornja ploca kod fluida pomerila za dodatno xF pa je sada ukupna deformacija 2xF.

Nakon nt vremena, ako je cvrsto telo bilo idealno elasticno, deformacija kocke ostaje i dalje xK dok je ukupna deformacija kod fluida nxF. Na osnovu rezultata eksperimenta, moze se zakljuciti da su slede\'ce dve velicine konstantne:

deformacija

xK kocke, koja je ocigledno karakteristicna velicina kod cvrstih tela, i

brzina deformacija

fluida, izrazena kao odnos deformacije i vremenskog prirastaja [(xF)/(t)]=[(2xF)/(2t)]= = [(nxF)/(nt)] pa se moze definisati velicina brzine deformacije kao [(xF)/(t)]=Const.=U.

Figure 2.2: Raspored brzina u fluidu, gornja ploca je pokretna sa konstantnom brzinom U a donja nepokretna

Velicina brzine deformacije spada u jedno od fizickih svojstava svih fluida. Na slici2.2 je prikazan detaljnije mehanizam deformacije fluida koji se nalazi izmedju dve ravne ploce, pri cemu je samo jedna ploca pokretna (na primer, kod osovina u lezaju gde je fluid sredstvo za podmazivanje). Izmedju ploca fluid miruje, nema sopstvenog protoka fluida, pa su brzine u fluidu samo rezultat pomeranja gornje ploce.

Kada se gornja ploca gura nekom silom F, tacka B(t0) \'ce se pomeriti na mesto B(t0+t), pa B"(t0+2t) itd, a prav ugao koji je zaklapala duz [AB] sa osom x se deformise u ugao manji od 900 i postaje , " .... Ako se brzina pomeranja gornje ploce oznaci sa U, eksperimenti su pokazali da je ta brzina direktno proporcionalna sili F i rastojanju izmedju ploca h, a obrnuto proporcionalna povrsini ploca A, odnosno, ako se sila F stavi sa leve strane izraza, dobija se:

F

A U

h

(2.3)

Za koeficijenat proporcionalnosti standardno se koristi oznaka i zove se dinamicki koeficijenat viskoznosti:

F=A U

h

(2.4)

Prosecan smicu\'ci napon yx=3 se definise kao odnos sile i povrsine na koju ta sila deluje:

=

F

A

=

AU

h

A

=U

h

(2.5)

7

Velicina [U/h] je ugaona brzina linije [AB] (slika2.2, levi deo) ili brzina ugaone deformacije. Ako se pretpostavi da su brzine deformacija male4, u slucaju kada je donja ploca nepokretna, raspored brzina po visini h \'ce biti linearan (desni deo slike2.2) pa se brzina u(y) moze definisati kao (yugaonabrzinalinije[AB]). Prosecni tangencijalni napon je tada isti kao i napon na bilo kom odstojanju y od donje ploce, odnosno, = (y).

Figure 2.3: Raspored brzina u fluidu kada postoji protok fluida, gornja ploca je pokretna sa konstantnom brzinom U a donja nepokretna

Za raspored brzina izmedju dve ploce razlicit od pravolinijskog, kao na primer prikazanom na slici2.3 gde se superponiraju brzine usled tecenja fluida5 i usled pomeranja gornje ploce6, tangencijalni napon na udaljenju y od donje ploce \'ce i dalje biti proporcionalan ugaonoj brzini ali sada ne prosecnoj ve\'c onoj na mestu y, definisanoj kao izvod [du/dy]. Sada se moze napisati:

(y) = du

dy

(2.6)

Obrazac(2.6) je poznat kao Njutnov 7 zakon viskoznosti. Zakon kaze da postoji proporcionalnost izmedju napona smicanja i ugaone brzine, odnosno brzine deformacije. Svi fluidi koji podlezu tom zakonu se zovu Njutnovski fluidi. Na primer, Njutnovski fluidi su voda, alkohol, med, ulje, ....

Jedinica mera za dinamicki koeficijenat viskoznosti nema odredjeno ime:

[]=

[]

[

u

h

]

=

ML1T2

LT1

L

=[ML1T1]

kg

ms

SIsistem

(2.7)

ve\'c se cesto koristi jedinica [Pas]. U starom CGS (centimetar - gram - sekund) sistemu koristila se jedinica Poaz (poise):

1P = 1

gr

cmsodnosno 100 puta manja jedinica, centipoaz 1cP=

1

100

P

pa je veza CGS i SI sistema: 1[(kg)/(ms)]=10P.

U praksi se cesto koristi i kinematicki koeficijenat viskoznosti (ili kinematski koeficijenat) koji je jednak:

=

gde je []=[L2T1]

Figure 2.4: Reoloski dijagrami za razlicite fluide

Na slici2.4 je prikazan dijagram zavisnosti tangencijalnog napona od brzine deformacije (takav dijagram se cesto zove i reoloski dijagram). Kao i prema definiciji, Njutnovski fluid je predstavljen pravom linijom koja polazi iz koordinatnog pocetka i ciji nagib je jednak koeficijentu viskoznosti.

Na dijagramu se vidi da postoje i fluidi koji ne slede Njutnov zakon viskoznosti. Na primer, gusta smesa vode i pepela koja se koristi za hidraulicki transport pepela od termoelektrane do mesta gde se odlaze pepeo, ne\'ce poceti da tece sve dok sila koja gura smesu (komponenta sile gravitacije u pravcu toka) ne predje odredjenu kriticnu vrednost, a nakon toga \'ce se ponasati kao i svaki drugi Njutnovski fluid. Takvi fluidu se nazivaju idealno plasticni fluidi, ili Bingamovi fluidi.

Postoje i pseudo plasticni fluidi sa nelinearnom vezom brzine deformacije i tangencijalnog napona. Na reoloskom dijagramu se pravom linijom duz ordinatne ose mogu prikazati i cvrsta tela: brzina deformacija je nula za sve tangencijalne napone manje od napona loma tela.

Poseban slucaj predstavljaju idealni fluidi, na reoloskom dijagramu predstavljeni pravom linijom duz apscisne ose. Kod idealnog fluida koeficijenat viskoznosti je nula: za beskonacno mali tangencijalni napon, brzina deformacija je beskonacno velika, odnosno, idealan fluid nema unutrasnjeg trenja. Idealan fluid se cesto koristi u toku izvodjenja i objasnjenja osnovnih jednacina Mehanike fluida: cinjenica da nema trenja olaksava pisanje jednacina jer se zanemaruju svi clanovi u kojima figurise gubitak energije. Kada se izraz napise za idealan fluid, uvodjenjem raznih koeficijenata (koeficijenta protoka, koeficijenta brzine, ...), dobijeni rezultati se prebacuju na slucaj tecenja realnog fluida.

Za razliku od idealnog fluida, kod realnog, Njutnovskog fluida, koeficijenat viskoznosti je ve\'ci od nule pa postoji unutrasnje trenje. To trenje je odgovorno za gubitak energije8 koji postoji kad god se fluid kre\'ce.

Figure 2.5: Viskoznost je rezultat "kocenja" molekula usled medjumolekularne sile kao i usled razmene kolicine kretanja izmedju molekula koji se slobodno kre\'cu

Unutrasnje trenje, odnosno viskoznost, je posledica postojanja dva mehanizma na nivou molekula. Prvi je posledica postojanja privlacnih medjumolekularnih sila. Te sile deluju "koce\'ci", sto su molekuli medjusobno blizi, ve\'ce su sile izmedju njih pa je ve\'ca i viskoznost. Na slici2.5 su prikazani molekuli u dva sloja, koji se pod dejstvom neke spoljne sile (na slici nije prikazana) kre\'cu razlicitim brzinama. Molekuli iz sloja1, koji se kre\'cu brze od molekula iz sloja2, bivaju usporeni usled delovanja medjumolekularne sile (na slici prikazana sirokom belom strelicom) dok se molekuli iz sloja2 ubrzavaju. Kod tecnosti su te sile jake, pa je i njihov efekat na viskoznost znacajan. Kod gasova je razmak izmedju molekula toliko veliki9 da su medjumolekularne sile zanemarljive, pa ovaj mehanizam skoro uopste ne utice na viskoznost.

Drugi mehanizam je posledica stalnog slobodnog, haoticnog kretanja molekula unutar fluida (na slici2.5 prikazanoj u formi strelica izmedju dva sloja). Oni molekuli koji u tom haoticnom kretanju dodju iz sloja1 u sloj2, sa sobom ponesu i svoju ve\'cu brzinu, odnosno ve\'cu kolicinu kretanja. U sudaru sa molekulima iz sloja2, dolazi do razmene kolicina kretanja, odnosno do ubrzavanja sporijih molekula. Isti proces se dogadja i u suprotnom smeru: sporiji molekuli iz sloja2 kada se u svom haoticnom kretanju zadese u sloju1, uspori\'ce brze molekule. Proces razmene kolicine energije se dogadja i kod tecnosti i kod gasova, i njegov intenzitet ne zavisi od pritiska ve\'c zavisi samo od pokretljivosti molekula, odnosno od temperature fluida: sa porastom temperature raste i pokretljivost pa i viskoznost.

Figure 2.6: Promena viskoznosti vode i vazduha pri razlicitim temperaturama

Uticaj temperature na viskoznost proistice iz sadejstva opisana dva mehanizma. Kod gasova na normalnom pritisku je delovanje medjumolekularnih sila zanemraljivo pa viskoznost zavisi samo od stepena pokretljivosti molekula. Sa pove\'canjem temperature gasa, viskoznost skoro linearno raste, sto se i vidi na slici2.6, gde je dat primer za vazduh pri atmosferskom pritisku.

Kod tecnosti je uticaj medjumolekularnih sila dominantan, pa sa pove\'canjem temperature i pove\'canjem pokretljivosti molekula, te sile opadaju. Rezultuju\'ca viskoznost sa porastom temperature tecnosti opada, ali stepen opadanja nije konstantan ve\'c se postepeno smanjuje (slika2.6, zavisnost viskoznosti vode od temperature), jer sa visim temperaturama mehanizam razmene kolicine kretanja izmedju molekula ima sve ve\'ci uticaj na ukupnu viskoznost.

Viskoznost, kao sto je ve\'c rezeno, ne zavisi od pritiska. Standardna vrednost viskoznosti za vodu je vode=1.0103[(kg)/(ms)], a za vazduh vazduha=1.8105[(kg)/(ms)] . U prilogu knjige se daju tablice sa razlicitim vrednostima viskoznosti u funkciji temperature, za neke od najces\'ce koris\'cenih fluida.

Primer 2.2.0Osovina vodene pumpe se podmazuje vodom koja prolazi kroz samu pumpu. Precnik osovine je d=12mm, debljina vodenog sloja je h=0.5mm a duzina na kojoj se podmazuje osovina je L=1cm. Broj obrtaja osovine pumpe je 1500o/min. Ako se pumpa pogoni preko remenika precnika D=10cm, kolika je potrebna sila u remenici za savladavanje samo otpora trenja zimi, na temperaturi t0=00C a kolika kada se voda zagreje usled rada motora na t80=800C?

U prilogu knjige, dati su podaci o osnovnim osobinama fluida. Iz tablice se dobijaju vrednosti za koeficijenat viskoznosti vode 0=1.753103Pas i 80=3.510104Pas.

Obim osovine je Oos=d = 0.0123.1415=0.0377m pa je tangencijalna brzina U=0.037681500/60=0.942m/s. Prosecni tangencijalni napon u fluidu je = [U/h] uz neophodnu proveru pretpostavke o laminarnom toku u vodi:

U h

=

999.8 0.942 0.5103

1.753103=268.6 < 1500

gde je uzeta gustina vode iz tablice za T=00C, 0=999.8kg/m3.

Tangencijalni napon za temperature T=00C i T=800C je:

0=1.7531030.942

0.5103=3.3027 Pas

80=3.5101040.942

0.5103=0.66128 Pas

Sila kojom treba okretati osovinu je A gde je povrsina A obim pomnozen sa duzinom, A=OosL=0.03770.01=0.377103m2 a sila na remenici je za odnos krakova sile D/d manja. Konacno, sila na remenici koja je samo posledica trenja usled viskoznosti vode je:

F0=0A

d

D

=3.30270.3771031.2

10

= 0.15103 N=0.15 mN

odnosno za 800C sila je

F80=80A

d

D

=0.661280.3771031.2

10

= 0.03103 N=0.03 mN

2.3Gustina (specificna masa) fluida

Figure 2.7: Kruto telo konacne mase M i deli\'c elementarne mase dM

Kao sto je ve\'c napomenuto u uvodnom objasnjenju ove glave, masa i zapremina su fizicka svojstva koja se vezuju uz konacnu kolicinu jasno razgranicenog tela (slika2.7). Srednja gustina tog tela je:

=

M

V

i ako se pretpostavi da je telo homogeno, srednja gustina je svojstvo materije u bilo kojoj tacki tela.

Za nehomogena tela, sa gustinom u prostoru koja nije konstantna, umesto srednje gustine, treba poznavati raspodelu gustine po prostoru (x,y,z). U izrazu za gustinu, dakle, potrebno je smanjiti posmatranu zapreminu do nivoa elementarne zapremine dV koja \'ce imati masu dM:

(x,y,z)=

dM

dV

Figure 2.8: Dva homogena fluida razlicitih gustina u istom sudu

Kao i kod cvrstih tela i kod fluida se moze uociti ogovaraju\'ca elementarna zapremina dV mase dM i izracunati gustina. Ako je = const., fluid je homogen. U ve\'cini zadataka u okviru ovog kursa "Mehanike fluida" \'ce se raditi sa homogenim fluidima.

Na slici2.8 je prikazan slucaj kada se dva homogena fluida, tecnosti, nalaze u istom sudu. U svim zadacima koji \'ce se raditi, pretpostavlja se da ne dolazi do mesanja tih fluida i da se formira jasna horizontalna granica10. Fluid manje gustine 1 \'ce uvek zauzimati gornji deo suda dok \'ce fluid ve\'ce gustine 2 zauzimati donji deo suda.

Gustina fluida se menja sa promenom temperature, ali u znatno manjoj meri nego sto se menja viskoznost. U prilogu knjige su date vrednosti gustina za vodu, za razlicite vrednosti temperature. U ve\'cini zadataka, medjutim, uzima\'ce se aproksimativna vrednost gustine vode = 1000kg/m3=1kg/dm3.

Gustina suvog vazduha na 200C i na pritisku od 1013mBar-a je = 1.2kg/ m3, sto je 833 puta manje od gustine vode. U zadacima iz hidrostatike, gustina vazduha \'ce se zanemarivati, jer se radi sa malim visinskim razlikama. Sile usled delovanja tezine tecnosti su dominantne, pa se za gustinu vazduha uzima da je nula.

2.4Tezina i specificna tezina

Tezina je sila, jednaka proizvodu mase krutog tela i ubrzanja zemljine teze G=Mg, odnosno, tezina elementarnog deli\'ca zapremine dV je dG=dMg. Kada se posmatra fluid, uobicajeno je da se umesto elementarne mase pise dV pa je tezina elementarnog deli\'ca fluida:

dG=gdV

Ako se tezina posmatra kao jedno od svojstava vezanog za konacnu kolicinu fluida, normalizacijom se dolazi do specificne tezine:

dG

dV

=

dMg

dV

=

dM

dV

g=g=

U starijim knjigama se specificna tezina cesto koristila, ali kako ga SI sistem jedinica ne poznaje, u ovoj knjizi \'ce se umesto specificne tezine dosledno koristiti proizvod gustine (specificne mase) i gravitacionog ubrzanja g. Kako vrednost gravitacionog ubrzanja zavisi od geografske lokacije, u svim zadacima \'ce se koristiti prosecna vrednost g=9.81m/s2.

2.5Elasticne deformacije, stisljivost fluida

Sve materije su u izvesnoj meri stisljive, jer odredjena promena pritiska uvek donosi promenu zapremine. Stisljivost fluida se definise preko modula stisljivosti K:

dV

V

=1

K

dp

(2.8)

gde znak minus u izrazu ukazuje na to da pove\'canje pritiska uvek izaziva smanjenje zapremine.

Posto je masa fluida konstantna, ne zavisi od stepena deformacije, elementarna zapremina se moze napisati kao:

dV=d

m

=md(1)=m

2d

pa se prethodni izraz(2.8) moze napisati u funkciji od mase i gustine:

K=dp

md

2

m

=

dp

d

=p

(2.9)

Iz izraza(2.9) se vidi da je modul stisljivosti jednak odnosu pove\'canja pritiska prema relativnom pove\'canju gustine usled pove\'canog pritiska. Znak parcijalnog izvoda ukazuje na to da je pritisak jedina nezavisna promenljiva: promena gustine je iskljucivo rezultat promene pritiska.

Primer 2.5.0Za vodu na normalnoj temperaturi modul stisljivosti je K=2.07GPa (1GPa=109Pa). Ako je gustina vode na povrsini 0=1000kg/m3, kolika \'ce biti gustina na 10m dubine? Kolika je relativna promena zapremine?

Pritisak na 10m dubine vode je: p10=g h=10009.8110 = 98.1kPa. Promena gustine vode se dobija iz izraza(2.9):

K=p

= p

K

=1000

98100

2.07109= 0.04739 kg/m3

pa je gustina vode na 10m dubine 10=1000+0.04739 = 1000.04739kg/m3.

Pri promeni pritiska p od 98.1kPa, relativna promena zapremine \'ce biti (prema izrazu(2.8)):

V

V

=

98100

2.07109=0.00474%=47.4 ppm

gde oznaka [ppm] znaci "parts per million". U prethodnom primeru se vidi da su promene gustine tecnosti sa dubinom veoma male. Zbog toga \'ce se u ve\'cini zadataka u ovom kursu "Mehanike fluida" smatrati da su tecnosti nestisljive. Samo kod veoma malog broja problema, nastalih usled velike promene pritiska, stisljivost fluida se ne moze zanemariti. Jedan od takvih problema je analiza hidraulickog udara, neustaljene pojave koja nastaje naglim zatvaranjem ili otvaranjem cevovoda pod pritiskom. Zbog stisljivosti fluida kao i materijala od koga je napravljen sam cevovod, talas pove\'canja (ili smanjenja) pritiska putuje brzinom zvuka11 duz cevovoda, dovode\'ci u opasnost sve elemente mreze.

Modul stisljivosti vazduha na normalnoj temperaturi je K=140kPa, sto je oko 10000 puta manje od modula stisljivosti vode. Iako se stisljivost gasova ne moze zanemariti, u okviru "Mehanike fluida" za Gradjevinske inzenjere se ne\'ce izucavati problemi vezani za stisljivost i termodinamicke procese u gasovima. Gasovi \'ce se uzimati u razmatranje samo u dva slucaja: kao dodatno optere\'cenje u zatvorenim rezervoarima u strogo ustaljenim uslovima, i kao sredina kroz koju se kre\'cu tela na koja izucavamo otpore pri kretanju.

2.6Pritisak

Figure 2.9: Pritisak je normalna sila dF podeljena sa povrsinom na koju deluje A

Normalna sila koja deluje na ravnu povrsinu podeljena sa povrsinom na koju deluje predstavlja srednji pritisak:

(n

)p=

limA 0

d

F

A

(2.10)

Pritisak je skalar i predstavlja jedno od svojstava fluida vezanih za jednu tacku (kao i gustina, temperatura, ...). Oznacava se malim slovom p (veliko slovo P se koristi za oznacavanje sile) i ima dimenziju:

[p]=

[F]

[A]

=

N

m2=Pa=[ML1T2]

Prema SI sistemu jedinica za pritisak je paskal [Pa] 12 Ranije je bila u upotrebi jedinica [Atm] (atmosfera), koja je jednaka srednjem vazdusnom pritisku na nivou mora. Vrednost atmosfere izrazena u paskalima je:

1Atm = 101325Pa

Zbog toga sto je atmosferski pritisak veoma zgodan da se uzme kao referentni pritisak u ve\'cini primena, SI sistem je dozvolio da se paralelno sa paskalima koristi i jedinica bar [Bar], koja je 100000 puta ve\'ca od paskala. Tako je:

1Bar = 100000Pa = 1.013Atm 1Atm

U izrazu(2.10) za pritisak je uveden znak () da bi se dobili pozitivni pritisci za silu [F\vec] koja deluje ka povrsini A. To je u suprotnosti sa konvencijom koju uvodi opsta teorija otpornosti krutih tela, gde se za pozitivne sile i pozitivne napone uzima smer koji zateze presek. Kako tecnosti ne trpe zatezanje, ve\'c samo pritisak, da se ne bi stalno racunalo sa negativnim brojevima, standardna praksa je da se u predmetima koji se bave fluidima, konvencija o smeru promeni, pa se uzima za pozitivan smer (i pozitivan pritisak), smer sile ka fluidu.

Osobine pritiska su:

1. Pritisak uvek deluje upravno na zid. U stvari, pritisak je skalar pa on i nema definisan pravac delovanja. Kada se posmatra pritisak na zid suda, posmatra se sila na neku povrsinu. Sila je vektor sa orijentacijom orta povrsine na koju deluje, a to je normala na zid.

Figure 2.10: Pritisak uvek deluje upravno na zid

2. Vrednost pritiska u jednoj tacki fluida koji miruje, odnosno na istoj koti, je ista bez obzira na smer. Ovo je definisao i Paskal u formi zakona: Kada nema tangencijalnih napona, pritisak je nezavisan od smera.

Figure 2.11: Sile na elementarni deli\'c trougaonog oblika

Na slici2.11 je prikazan elementarni deo fluida trougaonog oblika, jedinicne sirine. Ako su px, pz i ps pritisci, odnosno normalni naponi koji deluju na strane dAx, dAz i dAs, tada je iz uslova o mirovanju fluida potrebno posti\'ci jednakost svih sila u x i z pavcu:

px dx

=

ps ds sin

pz dz

=

ps ds cos+ g

dx dz

2

Tezina trougla g [dx dz/2] je mala velicina drugog reda, pa se moze izostaviti iz izraza. Iz geometrije trougla sledi da je ds sin = dz i ds cos = dz, pa se dobija:

p=px = pz = ps

(2.11)

Cinjenica da je pritisak isti u svim pravcima u jednoj tacki \'ce se koristiti u narednoj glavi knjige Hidrostatika, gde \'ce se utvrditi da pritisak u homogenom fluidu zavisi samo od vertikalne z koordinate a ne i od horizontalnih x i y koordinata. Na slici2.10 je, na koti z1 to prikazano istom duzinom linija koje reprezentuju vrednost pritiska p1.

Ako se fluid kre\'ce, postoje tangencijalni naponi, pa normalni naponi u jednoj tacki vise nisu isti u svim pravcima. Pritisak se tada definise kao srednja vrednost bilo koja tri medjusobno upravna normalna napona u tacki:

p=

px+py+pz

3

(2.12)

3. Pritisak na zatvoreni fluid se podjednako prenosi na sve zidove suda. Ovu osobinu je jos davno definisao Blez Paskal13, pa se po njemu i zove Paskalov zakon.

Figure 2.12: Pritisak na zatvoreni fluid se podjednako prenosi na sve zidove suda

Prema Paskalovom zakonu, uz uslov da su klipovi povrsina A1 i A2 u sistemu datom na slici2.12 na istoj visinskoj koti (prema prethodnoj osobini pritiska) i da se zanemare sile trenja izmedju klipova i zidova suda, sledi da je sila:

F2=F1A2

A1

odnosno, malu silu F1 mozemo onoliko puta "pojacati" koliko puta pove\'camo odnos precnika klipova.

Primer 2.6.0Pomo\'cu hidraulicke dizalice treba podi\'ci auto mase 1500kg. Ako su precnici klipova hidraulicke prese A1=12cm2 i A2=0.1m2, kojom silom treba pritisnuti klip 1? Koliki je pritisak u fluidu?

Sila F2 koju treba podi\'ci je: F2 = 15009.81 = 14.715kN. Sila F1 je prema Paskalovom zakonu:

F1=F2A1

A2= 14.715

12104

0.1

=14.7150.012 = 0.17658 = 176.6N

Pritisak u fluidu, na koti klipa je:

p=

F1

A1=

176.58

12104=147.15kPa

Pritisak je apsolutna, ne negativna velicina paps 0Pa (kao sto je to i temperatura). Slucaj kada je pritisak jednak nuli se zove vakuum14. Pritisak koji je posledica samo sopstvene tezine suvog vazduha se naziva atmosferski pritisak i na nultoj nadmorskoj visini ima vrednost patm=101300Pa. Sa pove\'canjem visine atmosferski pritisak pada za 11.4Pa/m, tako da je na nadmorskoj visini od 1000m nad morem, atmosferski pritisak patm=89900Pa.

Figure 2.13: Apsolutni pritisak je zbir atmosferskog i hidrostatickog pritiska

U okviru predmeta "Mehanika fluida" najve\'cim delom se izucavaju optere\'cenja na objekte relativno malih dimenzija (do nekoliko desetina metara visine), pa se u ve\'cini zadataka smatra da je atmosferski pritisak konstantan i da iznosi patm=100kPa. Ukupni, apsolutni pritisak u tacki A (slika2.13) sa strane fluida gustine 1 je jednak zbiru atmosferskog pritiska patm koji deluje iznad povrsine fluida i pritiska pA koji je posledica dodatnog sloja fluida h. Sa druge strane zida suda, u vazduhu, na tacku A deluje apsolutni pritisak koji je jednak atmosferskom, pri cemu se zanemaruje promena pritiska u vazduhu usled razlicitih kota povrsine fluida i tacke A. Rezultuju\'ci pritisak u tacki A je jednak pritisku usled fluida 1:

pA=(patm+pA) patm

i zove se hidrostaticki pritisak, ili manometarski pritisak, ili u ovoj knjizi najces\'ce, samo pritisak15.

Veza izmedju pritiska, apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska je data sa jednacinom:

p=papspatm

(2.13)

Iz napisane jednacine, znaju\'ci da je apsolutni pritisak uvek ve\'ci ili jednak nuli, i uz uslov da je atmosferski pritisak konstantan, sledi za pritisak da je p 100kPa. Drugim recima, pritisak (hidrostaticki) u fluidu ne moze biti manji od 100kPa.

Primer 2.6.0Dva suda istih dimenzija, ispunjena su istim fluidom do iste kote, pri cemu je prvi sud otvoren (u spoju je sa atmosferom) a drugi zatvoren sa gornje strane. Posmatra se pritisak u tacki na dnu oba suda. Ako je pritisak (hidrostaticki pritisak) u posmatranoj tacki u oba suda isti, da li su isti i apsolutni pritisci u toj tacki?

Odgovor je: da, isti su i apsolutni pritisci. Prvi sud je otvoren i na povrsinu fluida sigurno deluje atmosferski pritisak. Drugi sud je zatvoren i pitanje je da li u njemu i dalje postoji atmosferski pritisak. Potvrdan odgovor lezi u samoj definiciji pritiska, dat jednacinom(2.13): uvek je apsolutni pritisak jednak zbiru atmosferskog (koji je konstantan) i (hidrostatickog) pritiska.

2.7Povrsinski napon i kapilarnost

Slobodna povrsina tecnosti se ponasa kao razapeta i zategnuta gumena membrana. Sila po jedinici duzine na zamisljenom preseku po povrsini tecnosti je povrsinski napon. Simbol za povrsinski napon je 16, dok je dimenzionalno povrsinski napon jednak sili po jedinici duzine, []=[MT2].

Figure 2.14: Sile kohezije su odgovorne za povrsinski napon a sile adhezije za kapilarno penjanje fluida uza zid

Razlog postojanja povrsinskog napona je znatna razlika u intenzitetu medjumolekularnih sila izmedju molekula u tecnosti (sile kohezije) i izmedju molekula tecnosti u povrsinskom sloju i molekula spoljnjeg fluida (gasa ili neke druge tecnosti). Na slici2.14 je prikazan jedan molekul17 unutar fluida, koji sa svim okolnim molekulima formira ravnotezu medjumolekularnih sila, i drugi molekul pri povrsini tecnosti koji prakticno nema medjumolekularnih sila sa molekulima iz drugog fluida18. Zbog neravnoteze sila, povrsinski napon tezi da minimizuje slobodnu povrsinu tecnosti. To je upravo i razlog zasto kapi vode i mehuri od sapunice imaju sferni oblik.

Kako povrsinski napon zavisi od medjumolekularnih sila, njegov intenzitet zavisi od vrste tecnosti, temperature (odnono kineticke energije molekula) ali i od vrste spoljnog fluida. U tabeli u prilogu knjige su dati podaci za povrsinski napon vode, u kontaktu sa vazduhom, u funkciji od temperature. Vidi se da povrsinski napon opada sa porastom temperature, jer sa pove\'canjem srednje kineticke energije molekula sile kohezije opadaju. U drugoj tabeli su dati podaci za povrsinski napon nekih najces\'ce koris\'cenih tecnosti, u kontaktu sa vazduhom.

Figure 2.15: U zavisnosti od odnosa sila kohezije i adhezije, tecnost ili vlazi zid suda ili ga ne vlazi

Na slici2.14, sa desne strane, su prikazane i sile adhezije (medjumolekularne sile izmedju molekula tecnosti i molekula u zidu suda u kome se tecnost nalazi) i njihovo dejstvo na slobodnu povrsinu tecnosti. U zavisnosti od odnosa sila adhezije i kohezije, kao i vrste fluida iznad tecnosti, tecnost \'ce vlaziti zid (penja\'ce se uz zid) ili ne\'ce vlaziti. Na slici2.15 su prikazana oba slucaja, i to sa leve strane kada je tecnost u kontaktu sa vertikalnim zidom a sa desne strane kada kap tecnosti stoji na horizontalnoj povrsini.

Kao karakteristicna velicina moze se definisati ugao vlazenja . Ugao zavisi od vrste tecnosti, materijala od koga je napravljen zid, kao i od osobina okolnog fluida. Za uglove manje od 900 tecnost kvasi zid (na primer, na kontaktu vode i stakla), dok za uglove ve\'ce od 900 ne kvasi (kontakt zive i staklenog zida). U tabeli u prilogu knjige su dati uglovi kvasenja za neke standardne kombinacije tecnosti i materijala zidova suda.

Figure 2.16: Zbog povrsinskog napona pritisak u kapi tecnosti je ve\'ci nego okolni pritisak (levi deo slike) i tecnost se kapilarno "penje" duz tankih cevi (desni deo slike)

Povrsinski napon je odgovoran za pove\'canje pritiska unutar kapi tecnosti. Usled postojanja stalnih zatezu\'cih sila u povrsinskom sloju tecnosti, kap zauzima sferni oblik, tako da ima minimalnu spoljnu povrsinu (slika2.16). Sila u preseku kapi, na jednu poluloptu, usled povrsinskog napona je jednaka O gde je O=d obim presecnog kruga. Ta sila mora biti u ravnotezi sa silom usled pove\'canog pritiska A p:

d =

d2

4

p p=

4

d

(2.14)

Povrsinski napon se uglavnom zanemaruje u inzenjerskoj praksi. Fenomen kapilarnog izdizanja (ili spustanja) tecnosti, koji je takodje rezultat povrsinskog napona, medjutim, cesto se sre\'ce: zbog kapilarnosti, vlaga u zemlji se dize znatno iznad nivoa slobodne povrsine podzemne vode, a nivo vode u tankoj staklenoj cevi (pijezometru) je uvek iznad stvarnog nivoa vode.

Na desnoj strani slike2.16 je prikazan stub tecnosti visine h u tankoj kruznoj cevi unutrasnjeg precnika d. Usled delovanja povrsinskog napona , sila po obodu stuba tecnosti zaklapa sa vertikalom ugao (ugao vlazenja) i uravnotezuje se sa sopstvenom tezinom stuba tecnosti:

d cos =

d2

4

g h

pa je visina kapilarnog dizanja:

h=

4 cos

g d

(2.15)

Figure 2.17: Dijagram kapilarnog dizanja vode i zive u staklenim cevima

Visina kapilarnog dizanja je funkcija precnika cevi d, vrste tecnosti i materijala od koga je napravljen zid cevi. Rezultati jednacine(2.15) uglavnom precenjuju visinu kapilarnog dizanja, jer i najmanje necisto\'ce u vodi znatno smanjuju povrsinski napon.

Na dijagramu datom na slici2.17 su date visine kapilarnog dizanja h za cistu destilovanu vodu, obicnu vodu iz cesme kao i za zivu (gde se javlja kapilarno spustanje), u funkciji od unutrasnjeg precnika pijezometarskih staklenih cevi.

Primer 2.7.0Za koliko je ve\'ci pritisak unutar mehura od vode precnika d=1mm pri temperaturi od 200C?

Za razliku od skice kapi vode, koja je prikazana na slici2.16, i koja ima samo spoljnu stranu tecnosti u kontaktu sa vazduhom, mehur od vode ima i spoljnu i unutrasnju stranu. Sila usled povrsinskog napona je dvostruko ve\'ca od one date izrazom(2.14), tako da je:

2O = A p

2 d =

d2

4

p

Pritisak unutar mehura je:

p=2

4

d

=2

4 0.073

0.001

= 584 Pa

2.8Zadaci za vezbu

1. Ako se osovina okre\'ce ... itd. SAMO POSTAVKE ZADATAKA, resenje je u appendix-u

2. Vidi malo Nakayamu

3. Baci pogled i na Schaumma

4. Massey - zadatak 1.10 strana 46

Footnotes:

1Za ve\'ce duzine se moze upotrebiti zec, a za manje puz. Mada, ovakva definicija duzine nije bas prikladna za svakodnevnu upotrebu. Faraoni u starom Egiptu su bili nesto domisljatiji, pa su svoju beskrajnu vlast pokazivali i time sto se standard za duzinu odredjivao rastojanjem od lakta do vrha njihovog kaziprsta. Naravno, sa promenom faraona, menjao se i etalon duzine!

2Definicije za osnovne tri velicine SI sistema koje se koriste u Mehanici (u zagradi je data godina donosenja pojedine definicije):

Metar

(1889.) Metar je jednak duzini izmedju glavnih crtica Medjunarodnog prototipa metra koji se nalazi na temperaturi topljenja leda. (1960.) Metar je duzina jednaka 1.650.763,73 talasnih duzina, u vakuumu, zracenja koje odgovara prelazu izmedju nivoa 2p10 i 5d5 atoma izotopa kriptona Kr86. (1983.) Metar je duzina putanje koju u vakuumu predje svetlost za vreme od 1/299.792.458 sekunde.

Kilogram

(1889.) Kilogram je masa medjunarodnog etalona kilograma.

Sekunda

(1956.) Sekunda je 1/31.556.925,9747 tropske godine za 0. januar 1900. godine u 12 Casova efemerida. (1967.) Sekunda je trajanje od 9.192.631.770 perioda zracenja koje odgovara prelazu izmedju dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma 133.

3Pozitivan smer napona yx je onaj koji smanjuje ugao elementarnog deli\'ca u prvom kvadrantu, odnosno ovde, 21 je pozitivno ako ima smer x ose. To je pozitivna orijentacija koja se koristi u mehanici cvrstih tela, gde je pozitivan smer normalnih napona onaj koji zateze presek. Kako fluidi ne trpe zatezanje, kasnije u knjizi (poglavlje Brzina deformacije i naponi na materijalni deli\'c) \'ce se okrenuti konvencija o pozitivnom smeru, pa \'ce i definicija tangencijalnog napona da se promeni: umesto = du/dy napon \'ce postati = du/dy. Pogledati i poglavlje Navie-Stoksove jednacine.

4Pod malim brzinama deformacija podrazumevaju se takve brzine pri kojima je odnos [(U h)/()] < 1500, odnosno kada je u fluidu laminaran tok. Takav dvo-dimenzionalni paralelan tok konstantnog gradijenta brzine gde jedna ploca miruje a druga se kre\'ce, se zove jos i Kuet-ov (Couette) tok.

5Laminaran dvo-dimenzionalan paralelan tok izmedju dve ploce koje miruju, sa parabolicnim rasporedom brzina u fluidu, se zove jos i Poaz-ov (Poiseuille) tok.

6Ovde se radi o superpoziciji Poaz-ovog i Kuet-ovog toka.

7Isaac Newton (1642-1727) engleski matematicar, fizicar i astronom, studirao na Kembridzu. Jedan od najve\'cih naucnika koji je se smatra utemeljivacem modernih prirodnih nauka. Tri najpoznatija otkri\'ca su: spektralna analiza svetla, univerzalna gravitacija i diferencijalni i integralni racun.

8Naravno da se energija ne moze izgubiti. Pod gubitkom energije misli se na transformaciju korisne kineticke energije u nama beskorisnu mehanicku i toplotnu energiju.

9Pretpostavka o velikom razmaku izmedju molekula gasa vazi samo za gasove pod normalnim pritiskom. Ako se gas izlozi visokim pritiscima, pocinje da se ponavsa kao tecnost.

10Da li je granica izmedju dva fluida ostra ili ne je vise stvar razmere u kojoj se analizira neki problem. Ako se izucavaju sile na rezervoar visine par metara, da li je granica izmedju fluida ostra ili sa kontinualnim prelazom u zoni od par santimetra, zaista nije od sustinskog pitanja. Za druge, mikro probleme, mozda je upravo proces difuzije i mesanja dva fluida bitan, pa ga nije mogu\'ce zanemariti.

11I sama cinjenica da se kroz tecnost prostiru zvucni talasi ukazuje na to da je svaki fluid stisljiv!

12Jedinica za pritisak je dobila naziv prema Blaise Pascal-u (1623-1662), svestranom francuskom matematicaru, filozofu i pronalazacu, koji je kao mlad otkrio osnovne zakone Mehanike fluida. Koliko je bio svestran pokazuje i cinjenica da je patentirao 1652. prvu mehanicku masinu za racunanje.

13Mada su ovu zakonitost poznavali sigurno i stari Grci i Rimljani, kao i stari graditelji piramida koji su koristili pesak kao fluid kojim su pomerali velike blokove stena.

14Vakuum je zadavao dosta glavobolja starim naucnicima i filozofima. Stari Grci, izmedju kojih je bio i Aristotel, su smatrali da apsolutna "praznina", odnosno vakuum, u kojoj nema nicega nije mogu\'c. Koliko je bio jak uticaj takvog misljenja pokuzuju i kasniji zapisi iz Aleksandrije, koji opisuju pojedine hidraulicke i pneumatske uredjaje, gde se kaze da "iako je prirodni vakuum nemogu\'c, mogu\'ce ga je stvoriti vestacki unosenjem dodatnih sila, kao sto se dodatnim silama molekuli mogu i sabiti". Tek je Toriceli1644. (strana) godine pomo\'cu barometra pokazao da "nije tacno da priroda ne voli vakuum".

15Sa recju pritisak oznacava\'ce se uvek hidrostaticki pritisak. Ako se misli na apsolutni pritisak, to \'ce se eksplicitno naglasavati.

16Kao simbol za povrsinski napon, cesto se koristi i .

17Molekul na slici2.14 je, naravno, MALO uvelican da bi mogao da se vidi!

18Povrsinski napon se moze posmatrati i kao energija po jedinici povrsine potrebna da se molekuli iz unutrasnjosti tecnosti dovedu do povrsine tecnosti.

File translated from TEX by TTH, version 3.31.On 24 Mar 2003, 09:16.