1

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

( )1 32 24 ++−= xxy Rješenje :

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

( )2 x

xy1−=

Rješenje :

-2 -1 1 2

-20

-10

10

20

2

( )3 3

22

−−−=

x

xxy

Rješenje :

-2 2 4 6 8 10

-20

-10

10

20

30

( )4 1

522

−+−=

x

xxy

Rješenje :

-10 -5 5 10

-30

-20

-10

10

20

30

3

( )5 ( )( )31

42

−−−=

xx

xxy

Rješenje :

-2 2 4 6

-20

-10

10

20

30

( )6 1

44 2

−−−=

x

xxy

Rješenje :

-2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

4

( )7 4

32

−−=

x

xxy

Rješenje :

-2 2 4 6 8 10

-20

-10

10

20

30

( )8 1

222

−+−=

x

xxy

Rješenje :

-2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

5

( )9 1

122

2

++−=

x

xxy

Rješenje :

-6 -4 -2 2 4 6

0.5

1

1.5

2

( )10 2

2

1

4

x

xy

−−=

Rješenje :

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-20

-15

-10

-5

5

10

15

6

( )11 2

443

xxy −−=

Rješenje :

-10 -5 5 10

-30

-20

-10

( )12 1

4432

2

++++=

xx

xxy

Rješenje :

-4 -2 2 4

1

2

3

4

7

( )13 x

xxy

562 −+=

Rješenje :

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-40

-20

20

40

60

( )14 4

42

3

+−=

x

xxy

Rješenje :

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

8

Odrediti definiciono područje(oblast definisanosti) funkcije

( )1 ( ) 652 +−= xxxf

( )2 ( )12

2

−=

x

xxf

( )3 ( ) ( )53ln 2 +−= xxxf

( )4 ( )2

3

−=

x

xxf

( )5 ( )1

ln2 −

=x

xxf

( )6 ( )2

ln−

=x

xxf

( )7 ( ) ( )xxxxf −+−+= 3log22

( )8 ( ) ( )3log

1

−=

xxf

( )9 ( ) 3 2sinln xxf =

Matematička indukcija

Matematičkom indukcijom dokazati identitete:

( )1 ( )( )

6

121321 2222 ++=++++ nnn

nL

( )2 ( ) 2

3333

2

1321

+=++++ nnnL

( )3 ( ) ( )( )3

211433221

++=+++⋅+⋅+⋅ nnnnnL

( )4 ( ) ( )( )6

7212534231

++=+++⋅+⋅+⋅ nnnnnL

( )5 ( ) ( )6

192121472

22 ++=−+++++ nnn

nnL

( )6 ( ) ( )( )12

2311433221

22222 +−=−++⋅+⋅+⋅ nnn

nnL

9

( )7 ( )( ) 121212

1

75

1

53

1

31

1

+=

+−++

⋅+

⋅+

⋅ n

n

nnL

( )8 ( )( ) ( )4443

1

76

1

65

1

54

1

+=

++++

⋅+

⋅+

⋅ n

n

nnL

( )9 ( )( )( )

( )122

1

121275

3

53

2

31

1 2222

++=

+−++

⋅+

⋅+

⋅ n

nn

nn

nL

( )10 ( )( ) ( )( )

++−=

++++

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅ 21

1

2

1

2

1

21

1

543

1

432

1

321

1

nnnnnL

( )11 ( ) ( )222 1

12

1

12

144

7

36

5

4

31

+−=

+++++++

nnn

nL

( )12 12

22

2

2

12

2

12

2

12

22

1

24

3

2

2

1

−−=++

++

++

+

+

− nn

nn

L

( )13 12

1

28421

2

1

1

1

2

1

8

1

4

1

2

1

1+

−+

−=

+++

++

++

++

+

+

nn

aaaaaaa

nn

L

( )14 ( )[ ]13124

133433321 132 +−=⋅++⋅+⋅+⋅+ − nn nnL

Dokazati da u skupu prirodnih brojeva Ν vrijede identiteti: ( )1 ( )9mod041043 11 ≡−+⋅ −+ nn 1

( )2 ( )196mod04282 23 ≡−−+ nn

( )3 ( )27mod0281810 ≡−+ nn

( )4 ( )16mod0989 1 ≡−−+ nn

( )5 ( )64mod0983 22 ≡−−+ nn

( )6 ( )25mod04564 ≡−+⋅ nn

( )7 ( )59mod085265 122 ≡+⋅+ ++ nnn

( )8 ( )1053mod02353 223222 ≡⋅−⋅ ++ nnnn

( )9 ( )54mod02392 212 ≡−+−+ nnn

( )10 ( ) ( )11mod0123430 ≡−−+ nnnn

( )12 ( ) ( )9mod01414 1 ≡+⋅+−⋅ + nn nn

( )13 ( )25mod04532 2 ≡−+⋅+ nnn

( )13 ( )17mod0352 235 ≡⋅+ ++ nnn

( )14 ( )37mod0532 1345 ≡+⋅ ++ nnn

1 Napomena:oznaka npr. ( )9mod0≡ je ekvivalentna oznaci ˝djeljiv sa deve t ˝.

10

Binomna formula

( )1 Odrediti x u razvoju binoma

7

log

1

log 1010

+

−xx ako četvrti član binoma iznosi

3.500.000.

( )2 Odrediti vrijednost x u izrazu ( )5log xxx + čiji je treći član razvoja jednak 1.000.000.

( )3 Naći vrijednost x u izrazu 6

121log

1

++ xx x čiji je četvrti član u razvoju binoma

jednak 200.

( )4 Izračunati x u izrazu

9

log

7 2

1

+ xx

x tako da treći član u razvoju binoma iznosi

36.000.

( )5 Za koje vrijednosti x u razvoju binoma

n

x

x

+

−12

12 zbir trećeg i petog člana

iznosi 135,ako je zbir binomnih koeficienata prva tri člana 22.

( )6 zbir binomnih koeficienata prvog,drugog i trećeg člana razvoja binoma n

xx

+2

3 1je

11.Naći član koji sadrži 2x .

( )7 Zbir binomnih koeficienata prvog,drugog i trećeg člana razvoja binoma n

xx

+ 12 je

46.Naći član koji ne sadrži x.

( )8 Odrediti x u izrazu 6

4

1

4

422

+−

−x

x tako da treći član razvoja binoma bude 240.

( )9 Šesti član razvoja binoma

8

log2

3 22

1

+ xx

xx je 5 600.Odrediti x.

( )10 Suma binomnih koeficijenata drugog i trećeg člana razvoja binoma n

xx

+

−6

15 2 jednak je 153.Odrediti član razvoja binoma koji ne sadrži x.

( )11 Deveti član razvoja binoma

10

log2

log5

10

⋅+ xx

x

x

xje 450.Odrediti x.

( )12 Šesti član razvoja binoma ( ) ( )( )73log2310log 22 −− + xx je 21.Naći x.

11

( )13 Koeficijent trećeg člana je za 44 veći od koeficijenata drugog člana razvoja binoma n

xxx

+4

1.Naći član koji ne sadrži x.

( )14 U razvijenom obliku binoma 16

3

1

+

xx naći član koji sadrži 3x .

( )15 U razvijenom obliku binoma 1000

20

5 1

+x

x naći onaj član koji ne zavisi od x.

( )16 Odrediti član koji ne sadrži x u razvoju binoma ( )nxx +−1 ,ako je odnos binomnih

koeficijenata četvrtog i šestog člana jednak 5 : 18.

( )17 Koji član u razvoju binoma

21

33

+

a

b

b

a sadrži a i b na isti eksponent.

( )18 Odnos binomnih koeficienata četvrtog i drugog člana u razvijenom obliku binoma n

a

b

b

+

8 3

4

3 2

1je 187.Koji član sadrži 6b ?

( )19 Odnos koeficijenata petog i trećeg člana u razvoju binoma

n

xxxx

−−

52

1 1

jednak je 14 : 3.Odrediti sedmi član razvoja.

Kompleksni brojevi

( )1 Kompleksne brojeve iz +−= 11 i iz2

1

2

32 −= prevesti u trigonomrtrijski oblik,a

zatim izračunati:

a) ( )2

12021 ;

z

zzz ⋅

b) 5 2z

( )2 Kompleksne brojeve 311 iz += i iz += 32 prevesti u trigonomrtrijski oblik,a zatim izračunati:

a) 10

2

121 ;

⋅

z

zzz

b) 4 1z

12

( )3 Primjenom Moivre-ove binomne formule2( ) nxinxxix n sincossincos +=+ dokazati

da vrijedi: a) xxx cos3cos43cos 3 −= b) xxx 3sin4sin33sin −=

( )4 Ako je 3

2sin

3

2cos

ππiz += dokazati da je:

a)

−−−−−−−−−

=+3,2

3,12

sadjeljivokjeako

sadjeljivonijekakozz kk

b) ( )

( )

−−+−−−−−+−

=++ ++

31,3

31,01 221

sadjeljivokjeako

sadjeljivonijekakozz kk

( )5 Riješiti jednačinu:

( ) 05335 3 =+−+ izi pri čemu je z kompleksan broj oblika iyxz += .

( )6 Riješiti jednačine:

a) ( ) 02010642 =−+−− iziz

b) ( ) ( ) 07122 =+−++− iziz

c) ( ) 0177232 =+−+− iziz

d) ( ) 0652 2 =+−− ziz

( )7 Riješiti jednačinu:

izz 2832 −=− pri čemu je z kompleksan broj oblika iyxz += .

( )8 Ako je iz 321 += , Re ( ) 211 =⋅ zz ,Im 13

1

1

=

z

z,odrediti kompleksan broj

iyxz += .

( )9 Ako je iz 521 −= , Re 11

=

z

z ,Im ( ) 291 −=⋅ zz ,odrediti kompleksan broj

iyxz += .

( )10 Ako je 26=z i Re ( ) 10=z ,odrediti kompleksan broj iyxz += .

( )11 Odrediti Re ( )z i Im ( )z pri čemu je

14

2

53

1

−+

−=

iz

( )12 Izračunati 2121 zzzz ⋅−+ ako je dato: iz 321 −= i iz +−= 52

( )13 Riješiti kvadratnu jednačinu:

( ) 02212 =−−+ ixix

2 Učenicima se preporučuje da Moivre-ovu formulu dokažu matematičkom indukcijom.

13

zatim odrediti Re

2

1

x

x i Im

2

1

x

x.Pri čemu su 1x i 2x rješenja kvadratne

jednačine. ( )14 Koristeći se trigonometrijskim oblikom kompleksnog broja,te odgovarajućim formulama izračunati:

a) 100

2

1

+= iz

b)

−+=

1

31

i

iz

c) ( )8sincos1 xixz ++=

d) 3

3sin

3cos1

++= ππiz

e) 3 8−=z

f) 4 1 iz +=

g) 6

1

1

i

iz

−+=

h) 4 388 iz +−=

i) ( )

5117

2

16

212

i

iz

+−=

Razni tipovi jednačina

Jednačine sa apsolutnom vrijednošću: ( )1 132 −++= xxx

( )2 4312 −=−−+ xxx

( )3 222131 −=−−−+−+ xxxxx

( )4 11

2

1=

+−

+ x

x

x

x

( )5 2

3

22

146=

++−+−xx

xx

14

Kvadratne jednačine: ( )1 U jednačini 012 22 =++− aaxx odrediti a ako se zna da je 162

221 =+ xx

( )2 U jednačini ( ) 06745 2 =+−− xxm odrediti m tako da jedno rješenje bude šest puta veće od drugog. ( )3 U jednačini ( ) 020934 2 =++− xxm odrediti m tako da važi 32 21 =− xx .

( )4 Odrediti vrijednost parametra m R∈ \{ }2 tako da jednačina

( ) ( ) 0112 2 =++++− mxmxm ima rješenja: a)realna i različita b)realna i jednaka c)konjugovano kompleksna

( )5 Odrediti kvadratnu jednačinu čija su rješenja brojevi: 321 +=x i 322 −=x

( )6 Ako su 1x i 2x rješenja jednačine 0322 =+− xx odrediti vrijednost izraza:

a) 22

21 xx +

b) ( )2

21

1

xx −

c) 32

31

11

xx+

( )7 Za koje vrijednosti parametra a je razlika korijena jednačine ( ) 0112 2 =−++− axax jednaka proizvodu njenih korijena? ( )8 Odrediti vrijednost parametra m tako da korijeni jednačine

( ) ( ) 04421 2 =++−−+ mxmxm budu: a)pozitivni b)negativni ( )9 Odrediti vrijednost parametra m za koje su korijeni jednačine

( ) ( ) ( ) 013121 2 =+++−− mxmxm različitog znaka pri čemu je 1≠m . ( )10 Odrediti vrijednost parametra a tako da funkcija

( ) ( ) ( )4,6224 2 −≠−+−+= aaaxxaxf bude : a)pozitivna za svako Rx∈ b)negativna za svako Rx∈

15

( )11 U zavisnosti od realnog parametra diskutovati rješenja jednačina3:

( )( )

09124

2

94

3

32

1)

)

2;02

2

2

2

4

2)

44)

2222

2

22

2

2

=+−

+−

+−−

+−−−+−−=

−−−

−−

±≠=++−

−−−

−−

+=+

xaxa

a

xa

xa

xad

abbxaxx

abbax

ax

bx

bx

axc

mm

xm

m

mx

m

mxb

xmxma

Eksponencijalne jednačine:

( )1 3

1372

5

9

9

5−−

=

xx

( )2 10;14 123 21 ≠<=⋅⋅ −++ aaaa xxx

( )3 22 210164 −− ⋅=+ xx

( )4 2

8

2

15.61202

=

+− xx

( )5 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx

( )6 3421 53537 ++++ −=−⋅ xxxx

( )7 027343 5284 =+⋅− ++ xx

( )8 0164210 =−−⋅ xx

( )9 742

3 4

3−= −

−x

x

( )10 ( ) 6252424

22

=−−+−−+ xxxx

( )11 080927431

2

3113 =−+⋅−

−−+ xxx

( )12 611353 1 =−+− +xx

( )13 027811281 2 =+⋅− xx

3 Smatramo da su m, a i b parametri u odnosu na koje treba vršiti diskusiju,dok je x nepoznata.

16

Logaritamske jednačine4: ( )1 ( ) ( ) 11log2log =−++ xx

( )2 ( ) ( ) 23ln5ln =−−+ xx

( )3 ( )( ) 01

3log31log 1010 =

−+++−

x

xxx

( )4 1log

2log

1log

log2

−+−=

− xx

x

x

( )5 ( )1log23log23 31 +=+ + xx

( )6 ( )( )[ ]2

112logloglog 324 =−x

( )7 ( )

12log7log

5log8log =−+

−−x

x

( )8 ( ) ( ) ( ) ( ) 273log35log 3573 =+++ ++ xx xx

( )9 ( ) ( )12log194log2log 22 ++=++ −− xx

( )10 ( ) ( )12log1log 2

5

1

3

1

59++

=xx

( )11 ( ) 03loglog3 2loglog3 =−+− xxx Trigonomerijske jednačine: ( )1 12sin2cos3sin 22 =+− xxx

( )2 xxx 22 cos3sin32cos5 =+

( )3 0cos3sin52sin4 22 =−− xxx

( )4 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx

( )5 6cos5cossin4sin3 22 =++ xxxx

( )6 0cos42sin5sin6 22 =+− xxx

( )7 1275 =+ ctgxtgx

( )8 1cossin32sin3cos 22 =++ xxxx

( )9 2cos3sin =− xx

( )10 2

1cossin =− xx

( )11 2

1cossin =− xx

( )12 4

1cossincossin 33 =− xxxx

4 Učenici posebnu pažnju trebaju obratiti na definiciono područje(oblast definisanosti) svake od logaritamskih jednačina!

17

( )13 xxx 2sin2

11cossin 33 −=+

( )14 Data je jednačina 0cos22 2 =++ αxx odrediti α tako da rješenja budu konjugovano kompleksni brojevi. ( )15 Zadana je kvadratna jednačina 0sin22 2 =++ αxx odrediti α tako da rješenja budu konjugovano kompleksni brojevi.

( )16 U jednačini 04

3sin3sin22 =−+− ααxx odrediti α tako da korijeni jednačine

budu jednaki. ( )17 Odrediti sve vrijednosti x u intervalu od 0 do 2π za koje je funkcija

( ) ( ) 3sin312sin4 2 ++−= xxxf pozitivna. ( )18 Koristeći se poznatim trigonometrijskim formulama dokazati trigonometrijske identitete:

( )( ) ( )

( ) ( )2

sin4sinsincoscos)

2coscos

2sinsin)

sin

2

sin

cos1

cos1

sin)

cossin1

cos

1

sin1)

222

22

yxyxyxd

yxtgyxx

yxxc

xx

x

x

xb

xxtgx

x

ctgx

xa

−=−+−

−=−+−+

=+++

⋅=+

−+

−

( )

βαπβαβαπ

ααααααα

cossin42

cos24

sin2)

35cos3coscos

5sin3sinsin)

sin

1

3sin3cossincos

1cos22sin2)

2

+=

−−⋅

−+

=+−+−

=−−−−+

g

tgf

xxxxx

xxe

( )19 Ako je 4

πβα =+ dokazati da je tada ( ) ( ) 211 =+⋅+ βα tgtg .

Nejednačine Odrediti oblast rješenja datih nejednačina5:

( )1 2

1

1

3 <+−

x

x

5 Obratiti pažnju na oblast definisanosti nejednačina,posebno kod logaritamskih nejednačina.

18

( )2 21

2 ≥−+

x

x

( )3 11

12 <−−

x

x

( )4 21

12 ≥+−

x

x

( )5 11 +<− xx

( )6 12 >−+ xx

( )7 2

2cos >x

( )8 ( ) 31 >+xtg

( )9 ( )2

131sin <− x

( )10 22

3sin2 >

− xπ

( )11 0cossin >+ xx

( )12 ( ) ( )2log82log 77 −>− xx

( )13 ( ) ( )23log2log1 222 +−>−+ xxx

( )14 ( ) ( ) 11log43log2

12

2

1 −<−−+− xxx

( )15 012log2log2 ≥+− xx

( )16 ( )[ ] 05loglog 24

3

1 >−x

Stereometrija ( )1 Ako je a osnovana ivica pravilne šestostrane piramide,H visina i P površina odrediti

zapreminu V,ako je a :H=3:2,P= ( )3349 + .

( )2 Pravilna četverostrana prizma osnovne ivice a i visine h presječena je sa ravninom

koja prolazi kroz ivicu gornje baze i s njom zatvara ugao od o30 .Izračunati površinu i zapreminu donjeg dijela prizme. ( )3 Ako je H visina pravilne četverostrane piramide,b njena bočna ivica.Izračunati njenu

površinu i zapreminu ako je dato: 4,34 == Hb .

( )4 Baza piramide je trougao ∆ABC sa stranicama a=27,b=18 i c=15.Bočne stranice SAB i SAC normalne su na ravan baze ABC,a strana SBC obrazuje s njom ugao od

o45 .Odrediti zapreminu piramide.(S je vrh piramide)

19

( )5 Baza četverostrane prizme je trapez čije su osnovice a=16 i c=3 te kraci b=14 i d=15.Ako je visina prizme jednaka 10 kolika je površina i zapremina? ( )6 Izračunati zapreminu i prostornu dijagonalu kvadra ako je dato a :b=1:6 ; b:c=1:3 ; P=264. ( )7 Površina pravilne četverostrane piramide je P=384,a osnovna ivica se odnosi prema visini piramide kao 3:2.Izračunati njenu zapreminu. ( )8 U kvadru čije su ivice a= 143 ,b= 113 ,c= 70 povučene su dijagonale iz jednog tjemena u stranama koje se u tom mjestu sustižu,a krajnje tačke dijagonala su međusobno spojene.Kolika je površina i zapremina nastale trostrane piramide? ( )9 Pravilna četverostrana prizma osnovne ivice a i visine h presječena je sa ravninom

koja prolazi kroz ivicu gornje baze i s njom zatvara ugao od o60 .Izračunati površinu i zapreminu donjeg dijela prizme. ( )10 Ako je D= 33 prostorna dijagonala pravilne četverostrane prizme,a osnovna ivica 2 kolika je površina i zapremina?

( )11 Visina pravilne šestostrane piramide iznosi 3

2 osnovne ivice ,dok je površina

318 .Kolika je zapremina pomenute piramide? ( )12 Pravilna trostrana piramida ima osnovnu ivicu a=34 i omotač koji je dva puta veći od baze.Kolika je visina piramide? ( )13 Tri metalne kocke ivica 3,4,5 izliju se u jednu.Kolika je ivica dobijene kocke?

( )14 Dijagonalni presjek kvadra je kvadrat površine 400,a osnovne ivice se odnose kao 3:4.Izračunati prostornu dijagonalu te površinu i zapreminu. ( )15 Pravilna četverostrana piramida ima visinu 3 i površinu 144.Izračunati osnovnu ivicu,bočnu ivicu i bočnu visinu. ( )16 Najveća prostorna dijagonala pravilne šestostrane prizme je D=10,a bočne strane su kvadrati.Izračunati zapreminu prizme. ( )17 Data je pravilna četverostrana zarubljena piramida čija je površina P=128.Visina piramide je H=6,a razlika osnovnih ivica je 5=− ca .Odrediti osnovne ivice piramide,te izračunati njenu zapreminu. ( )18 Visina pravilne četverostrane zarubljene piramide je H=7,a osnovne ivice su 10=a i

2=c .Izračunati bočnu ivicu zarubljene piramide. ( )19 Baza prizme je pravougli trougao čije se katete odnose kao 3:4,a površina mu je P=96.Kako se odnose zapremine upisanog i opisanog valjka? ( )20 Izračunati površinu valjkaste cijevi koja ima unutrašnji prečnik jednak 10,a vanjski 12 čija je visina dvadeset puta veća od debljine cijevi. ( )21 Obim veće baze prave trostrane zarubljene piramide iznosi 36,a stranice manje baze

su 12,9,6 222 === cba .Ako je njena visina H=10 izračunati površinu i zapreminu zarubljene piramide. ( )22 U zarubljenoj četverosranoj piramidi,čije se baze odnose 16:1,nalazi se prizma koja ima sa piramidom zajedničku visinu i manju bazu.Kako se odnose zapremine oba tijela?

20

( )23 Valjak je presječen sa ravni koja je paralelna sa osom valjka i udaljena od nje za 2

r

pri čemu je r poluprečnik baze valjka.Kako se odnose zapremine ta dva tijela koja nastaju presijecanjem valjka? ( )24 Površina uspravnog valjka je π32 .Poluprečnik baze prema visini valjka se odnosi kao 1:3.Odrediti zapreminu valjka. ( )25 Pravilna četverostrana piramida osnovne ivice 20 i visine 24 presječena je paralelno sa bazom po sredini visine.Izračunati površinu i zapreminu nastalih dijelova. ( )26 Kolike su osnovne ivice pravilne zarubljene šestostrane piramide ako je njena visina

H=6,a suma baza iznosi 330 i zapremina 384=V ? ( )27 Površina osnog presjeka valjka iznosi π8 ,a površina baze je π12 .Odrediti površinu presjeka valjka paralelnog sa njegovom osom i na udaljenosti 1 od ose. ( )28 U trostranu prizmu čije su osnovne ivice 15,14,13 === cba upisan je i oko nje opisan valjak.Kako se odnose zapremine valjka? ( )29 Zapremina četverostrane zarubljene piramide je V=3904,a visina H=48,suma njenih baza je 164.Kolike su baze piramida? ( )30 Izračunati površinu i zapreminu pravilne šestostrane piramide ako su joj osnovne

ivice 3

32,34 == ca ,a visina zarubljene piramide H=12.

( )31 Zapremine triju cilindara (valjaka) se odnose kao 1:4:9,a suma zapremina je π56 . Koliki su poluprečnici baza svakog od valjaka ako su im svima jednake visine H=1. ( )32 U kocku stranice a je upisan i oko nje opisan valjak.Kako se odnose zapremine valjaka? ( )33 Izračunati poluprečnik baze r,površinu i visinu H pravog uspravnog konusa čija je

zapremina V= 39π a površina omotača dvaput veća od površine baze. ( )34 Kupa i valjak imaju jednake omotače.Kod konusa je 15:8: =Hr a kod valjka

17:1: =HR .Kako se odnose zapremine oba tijela? ( )35 Zadana je pravilna četverostrana zarubljena piramida čije su osnovne ivice

2,24 == ba i bočna ivica 2834−=s .Kolika je bočna stranica zarubljenog konusa kome je jedna baza krug opisan oko kvadrata stranice a ,a druga baza krug upisan u kvadrat stranice b. ( )36 Poluprečnici baza uspravnog zarubljenog konusa su R=11,r=2 a visina H=12.Iz tog konusa izrezan je i odstranjen konus čiji je vrh u centru manje baze,a izvodnice su paralelene sa izvodnicama zadanog konusa.Kolika je površina,a kolika zapremina preostale geometrijske figure? ( )37 Osni presjek uspravne kupe je pravougli trougao.Kolika je površina i zapremina uspravne kupe ako je obim baze π6 . ( )38 Visina zarubljenog konusa je H=24,a bočna strana i poluprečnici baza se odnose kao s:R:r= 5:4:1.Kolika je površina i zapremina kupe?

21

( )39 U unutrašnjosti jednakostraničnog valjka postavljene su dvije kupe tako da se baza jednog konusa poklapa sa bazom valjka, a baza drugog konusa sa drugom bazom

valjka.Visina svakog od konusa je 3

2 visine valjka.Koliki je poluprečnik kružnice u

kojoj se presijecaju omotači konusa? ( )40 Jednakostranični trougao stranice a rotira oko ose koja je paralelna s visinom, a

udaljena je od najbližeg tjemena trougla za 2

a.Naći površinu i zapreminu rotacionog

tijela. ( )41 Bočna strana uspravnog konusa 6=b nagnuta je prema bazi za ugao od

o45 .Izračunati površinu i zapreminu konusa. ( )42 Kolika je zapremina uspravnog zarubljenog konusa čija je bočna strana b=5,razlika poluprečnika baza R-r=3,a površina omotača jednaka sumi površina obiju baza? ( )43 Uspravna kupa čiji je poluprečnik baze r=9,a visine h=12 presječena je paralelno sa bazom tako da presjek dijeli visinu u odnosu 1:2 računajući od vrha.Izračunati zapreminu i omotače dobivenih dijelova. ( )44 Trougao čije su stranice 14,13,15 === cba rotira oko stranice c.Izračunati površinu i zapreminu obrtnog tijela. ( )45 Konus i valjak imaju jednake omotače.Kod konusa je r:h=8:15 a kod cilindra R:H=1:17.Kako se odnose zapremine oba tijela? ( )46 Kolika je površina uspravne zarubljene kupe čija je zapremina π52=V ,zbir poluprečnika baza R+r= 7,te visina H=4? ( )47 Jednakokraki trapez čije su osnovice 6 i 2,nagibni ugao prema osnovici o45 rotira oko manje osnovice .Odrediti površinu i zapreminu nastalog rotacionog tijela. ( )48 U uspravnom zarubljenom konusu donja baza je 36 puta,a omotač 70 puta vća od gornje baze.Koliki je ugao koji bočna ivica zaklapa sa bazom konusa?

Aritmetički i geometrijski niz ( )1 Odrediti aritmetički i geometrijski niz ako su im prvi članovi jednaki,peti članovi jednaki,a drugi član aritmetičkog niza je za 12 veći od trećeg člana geometrijskog niza. ( )2 Tri broja čiji je zbir 93 čine geometrijski niz.Isti brojevi se mogu uzeti za prvi,drugi i sedmi član aritmetičkog niza.Naći te brojeve. ( )3 Zbir tri broja je 114.Oni se mogu uzeti kao tri uzastopna člana geometrijskog niza ili kao prvi,četvrti i dvadeset peti član aritmetičkog niza.Naći te brojeve. ( )4 Četiri broja čine aritmetički niz.Ako se od svakog broja oduzme redom 2,7,9,5 dobijeni brojevi obrazuju geometrijski niz.Odrediti taj niz.

22

( )5 Naći četiri broja od kojih prva tri čine geometrijski,a posljednja tri čine aritmetički niz,ako je zbir prva tri jednak 14,a zbir srednjih 12. ( )6 Tri broja čiji je zbir 26 obrazuju geometrijski niz.Ako se tim brojevima doda redom 1,6,3 dobiju se tri broja koja obrazuju aritmetički niz.Odrediti te brojeve. ( )7 Zbir tri broja,koji su uzastopni članovi geometrijskog niza,je 21.ako treći broj umanjimo za 3,dobiju se tri uzastopna člana aritmetičkog niza.Odrediti te brojeve. ( )8 Zbir tri broja,koji su uzastopni članovi aritmetičkog niza,je 18.Ako prvi broj povećamo za 1,a treći za 2,dobiju se tri uzastopna člana geometrijskog niza.Odrediti te brojeve. ( )9 Tri broja su članovi geometrijskog niza.Ako drugi broj uvećamo za 2,dobiju se tri člana aritmetičkog niza.Ako sada treći član dobivenog aritmetičkog niza uvećamo za 9,dobije se novi geometrijski niz.Odrediti te brojeve. ( )10 Tri broja su članovi geometrijskog niza.Treći od njih je jednak 12.Ako umjesto broja 12 uzmemo broj 9,dobiju se tri člana aritmetičkog niza.Odrediti te brojeve. ( )11 Dokazati: ako 22 ,, cbab formiraju aritmetički niz,tada abcb −2,, formiraju geometrijski niz.

Analitička geometrija

( )1 Da li date tri tačke ( ) ( ) ( )4,5;2,1;0,3 CBA − leže na istoj pravoj?

( )2 Izračunati površinu četverougla čija su tjemena ( ) ( ) ( ) ( )5,3;3,2;3,4;1,5 −−− DCBA .

( )3 Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke ( ) ( )3,1;2,4 −−BA .

( )4 Prava prolazi kroz tačku ( )7,3M i polovi duž čije su krajnje tačke ( )4,2A i

( )2,8B .Kako glasi jednačina te prave i pod kojim uglom siječe datu duž?

( )5 Date su jednačine stranica trougla:

02

085

085

=++≡=−−≡=+−≡

yxBC

yxAC

yxAB

Odrediti jednačinu bilo koje težišne linije. ( )6 Napisati jednačinu prave koja prolazi tačkom ( )3,2A i paralelna je sa pravom

23 −= xy . ( )7 Napisati jednačinu prave koja prolazi tačkom ( )2,8B i normalna je na pravu

012 =+− yx .

( )8 Trouglu čija su tjemena ( ) ( ) ( )4,1;0,2;1,4 −−− CBA odrediti jednačinu proizvoljne visine.

23

( )9 Odrediti najkraće rastojanje tačke ( )1,2A od prave 0543 =++ yx .

( )10 Date su jednačine dva prečnika kruga:

01232

014

=+−=−+

yx

yx

Kako glasi jednačina toga kruga kada se zna da on prolazi kroz koordinatni početak. ( )11 Naći koordinate presječnih tačaka prave 1+= xy i kružnice 2522 =+ yx .

( )12 Odrediti dužinu tetive koju prava 052 =+− yx odsijeca na kružnici 5022 =+ yx .

( )13 Pod kojim se uglom iz koordinatnog početka vidi tetiva kruga

02521422 =+−−+ yxyx koja leži na pravoj 2527 =− yx .

( )14 U tački ( )0,3 >yA napisati jednačinu tangente na kružnicu 2522 =+ yx .

( )15 Iz tačke ( )1,7A povući tangente na kružnicu 2522 =+ yx .

( )16 Napisati jednačinu tangente kružnice 036121022 =+−−+ yxyx koja je paralelna pravoj 01034 =+− yx .

( )17 Napisati jednačinu tangente kružnice 0158622 =+−−+ yxyx koja je normalna na pravu xy 3= .

( )18 Pod kojm se uglom sijeku linije:

522 =+ yx i 53 =− yx

( )19 Pod kojim se uglom sijeku linije:

322 =+ yx i ( ) 41 22 =+− yx

( )20 Naći dužinu tetive koju parabola xy 42 = odsijeca na pravoj 42 −= xy .

( )21 U tački ( )0,1 >yA napisati tangentu na parabolu xy 42 = .

( )22 U presječnim tačkama prave 84 =− yx i parabole xy 162 = povući tangente na parobolu i naći rastojanje presječne tačke tangenata od fokusa parabole. ( )23 Iz tačke ( )9,3A povući tangente na parabolu xy 242 = .

( )24 Na parabolu xy 122 = povući tangentu koja je paralelna sa pravom 5+= xy .

( )25 Napisati jednačinu tangente parabole xy 162 = koja je naormalna na pravu 062 =++ yx .

( )26 Pod kojim se uglom sijeku linije:

62 =− yx i xy 22 =

( )27 Naći dužinu tetive koju prava 62 += xy odsijeca na elipsi 362 22 =+ yx .

( )28 Kolika je površina pravougaonika čija tjemena leže u presječnim tačkama elipse

1449 22 =+ yx i koncentričnog kruga čiji je poluprečnik jednak geometrijskoj sredini poluosa elipse? ( )29 U tački ( )0,4 >yA napisati tangentu na elipsu 204 22 =+ yx .

( )30 Iz tačke ( )0,12−M povući tangente na elipsu 363 22 =+ yx te odrediti njene jednačine.Pod kojim se uglom sijeku linije:

1822 =−+ yyx i 192163 22 =+ yx

24

( )31 U tački ( )9,0 −<xM napisati jednačinu tangente na hiperbolu 1449 22 =− yx .

( )32 U presječnim tačkama prave 102 =+ yx i hiperbole 1243 22 =− yx povući tangente na hiperbolu,napisati njihove jednačine i naći ugao pod kojim se one sijeku. ( )33 Kroz tačku ( )0,2 <yM na hiperboli 22 22 =− yx povući normalu na hiperbolu.

( )34 Kako glase jednačine tangente koje su povučene iz tačke ( )5,3−M na hiperbolu

33 22 =− yx .

( )35 Napisati jednačinu tangente na hiperbolu 18095 22 =− yx koja je paralelna sa pravom xy = .

( )36 Pod kojim se uglom sijeku linije:

xy 92 = i 123 22 =− yx

( )37 Odrediti ugao pod kojim data prava siječe kružnicu

01343 =−+ yx i 0207922 =+−++ yxyx

( )38 Napisati jednačinu zajedničkih tangenata krivih:

410025 22 =+ yx i 13 22 =− yx

( )39 Date su krive 123 22 =− yx i xy 162 = . a)kako glase jednačine njihovih zajedničkih tangenata b)kolika je površina trapezačiji su vrhovi dodirne tačke tangenata ( )40 Prava 0122 =−+ yx siječe parabolu xy 42 = .Odrediti: a)ugao između tangenti u timtačkama b)jednačinu tangente parabole koja je paralelnasa datom pravom c)jednačinu križnice opisane oko trougla čija su tjemena presječne tačke date prave i parabole i presjeka tangenata povučena na parabolu u tim tačkama d)ugao pod kojim se sijeku data parabola i kružnica. ( )41 U tačkama presjeka prave 053 =−+ yx i kružnice 056222 =++−+ yxyx konstruisane su tangente na kružnicu.Odrediti: a)površinu trougla čija su dva tjemena pomenute presječne tačke,a treće presjek tangenti b)ugao između tangenti c)jednačinu kružnice opisane oko tog dobijenog trougla ( )42 Prava 042 =++ yx dodiruje parabolu pxy 22 = .Odrediti: a)jednačinu parabole b)jedančine zajedničkih tangenata parabole i kružnice 09222 =−−+ xyx c)ugao između date prave i one zajedničke tangente parabole i kružnice,koja sa x osom gradi oštar ugao. ( )43 Date su krive 222 =+ yx i xy 82 = .Naći: a)jednačinu zajedničkih tangenata b)površinu četverougla čija tjemena leže u tačkama dodira tangenata

25

( )44 Iz tačke ( )2,2 −−T konsruisati tangente na parabolu čija je direktrisa d: x=-4 a)napisati jednačine tangenata b)naći ugao pod kojim se parabola vidi iz tačke T c)izračunati površinu trougla odredjenog presjekom tangenata i tačkama dodira tangenata i krive.

♣6

6 Za dodatne informacije ili konsultacije učenici neka se obrate predmetnim nastavnicima.

Author: prof.Selmir Dadanović