ZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ · PDF fileZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ MATEMATIKE (školska 2015/2016.godina) I R A Z R E D . I.1 P O L I N O M I 1. Neki polinom

ZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ MATEMATIKE (školska 2015/2016.godina)

I R A Z R E D

I.1 P O L I N O M I

1. Neki polinom pri deljenju sa x - 1 daje ostatak 2, a pri deljenju sa x + 2 daje ostatak -7. Odrediti

ostatak deljenja ovog polinoma sa x2 + x - 2.

[ Rešenje: R(x) = 3x - 1 ]

2. Odrediti parametre a i b tako da polinom P(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 bude deljiv sa x2 - x +

b.

[ Rešenje: a = -7, b = -1 ili a = -12, b = -2 ]

I.2 RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

3. Uprostiti izraz:

+−

++

+−

+ xy2

yx:

xyxy

yx2

xyyx

22

[ Rešenje: yx

1+

; x ≠ -y, x, y ≠ 0 ]

4. Uprostiti izraz:

−−

−⋅

−+−−

+−

xy

x1y1

xyxxyyx2

yyxxyx

23223

2

32

2

[ Rešenje: xy

1x + ; x ≠ -y, x, y ≠ 0 ]

5. Uprostiti izraz:

+

−+

⋅−

−+−+−−

−1a

21a

aa1

11a2a

a:1aaa

1a4223

2

[ Rešenje: 2

1a2 + ; |a| ≠ 1 ]

6. Uprostiti izraz:

++−

+

+

++

ab21b

ba

b2aba:

bbaa2

222

[ Rešenje: - a; a, b ≠ 0 ]

7. Uprostiti izraz: ( )2aa34

12a12a32

a4a22a

6a32

22 +−

++−

+−

−+

[ Rešenje: a6

1 ; a ≠ 0, a ≠ -2 ]

Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 2

8. Uprostiti izraz: x4a

a2a3axx6x2

14x2

12x6x222 −

+−−+

⋅

−−

+

[ Rešenje: x2a

1+

; x ≠ 2, x ≠ 3, 2ax ≠ ]

9. Uprostiti izraz:

−−−

−

−−

−+

+ y4x2y4x1:

y2xyy

y4xy4

xy2xx2

22

22

2222

[ Rešenje: 2

y2x − ; x, y ≠ 0, y2x ≠ ]

10. Uprostiti izraz:

−++

+−

++

bc2acb1:

cb1

a1:

cb1

a1 222

[ Rešenje: ( )acb

bc22−+

; b, c, a ≠ 0, b ≠ -c ]

11. Uprostiti izraz: ( )

xy1

xy4yx:x1

y1

yx:

x1

yx 2

23

2

+

+−

+−

+

[ Rešenje: xy1 ; x, y ≠ 0, x≠ -y ]


( )4z2z2z4z2z2z:

2z1

8z124z

2zz62z

23

23

3

2

2 −+−+++

−−

−−+

+−+

−

[ Rešenje: 2z

1+

; |z| ≠ 2 ]


+−

+

−

+−

+c2m

mc2

c2mmc2

mc8m

c81 33

3

[ Rešenje: mc2

m−

; c ≠ 0, c2m ≠ ]


−+

++

−

−+

−y4x

y31:y2xyx21

yxyx31 22

2

[ Rešenje: ( )yx

y2x2−− ; x ≠ y, y2x ≠ ]

15. Uprostiti izraz: 1m

41mm2m2

m1m2

mm2

3

2

22 −+

−+

⋅

−

−−

[ Rešenje: ( )1m

m42−

; m ≠ 0, m ≠ 1 ]


16. Uprostiti izraz: ( )a3a18a271a27

1:1a3a9a27

1a9a61

1a9 233232

2+−⋅

++−−

−+−+

[ Rešenje: 9a2; 31a ≠ ]


−+

⋅

+−

+++

−++

+3a23a2

1a21a4

3a22a3

9a12a4a3a2

2

2

[ Rešenje: ( )( )3a21a25a4a4 2

−+−+ ;

23a ≠ ]

18. Uprostiti izraz: yx

3yxy2x

yx2:yx

yxyxyx

x3yx

322

22

33 +⋅

+++

+++

⋅−

+−

[ Rešenje: yx

9−

; |x| ≠ y ]

19. Uprostiti izraz: 4x4x

2x2:2x

4x2x8x

x32x

32x6x3

2

2

3 +++

+

++⋅

−+

−+−

[ Rešenje: 9; x ≠ 1, 2x ≠ ]


−

−+

++

−+−

−−+

++++

2x23

2x23

1x5:

2x2x2x210xx2

2x2x2x26x3

223

2

23

[ Rešenje: 2

2x + ; |x| ≠ 1, 2x ≠ ]

21. Uprostiti izraz: aa

2xx2x:

4x4x4x

:1a

2xx2x2

23

2

223

++−−

−++

+−−+

[ Rešenje: a; x ≠ ±1, x ≠ ±2, a ≠ -1, a ≠ 0 ]

22. Uprostiti izraz: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5a4a1

4a3a1

3a2a1

2a1a1

1aa1

+++

+++

+++

+++

+

[ Rešenje: ( )5aa5+

, a ≠ -5, -4, -3, -2, -1 ]

23. Uprostiti izraz: 3

baba3

bab3a

1:

ab

1

1

ab

1

1

ab

ba

ab

ba

A−

−+

+−

−

−−

++

−

+=

[ Rešenje: A = 1; a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b ]


24. Izračunati vrednost izraza:

bc2acb

1

abccba

:

cb1

a1

cb1

a1

R 222 −++

−−

++

+−

= , za a = 0,02; b = -11,05; c = 1,07

[ Rešenje: R = 0,1 ]

25. Izračunati vrednost izraza:

−+

+⋅

+−

+−

+⋅

++

bab

baa

ab

b2a

bab

a2ba

2ab

ba

2 , za a = 0,75; 31

1b =

[ Rešenje: 168625

− ]

26. Izračunati vrednost izraza: ( ) ( )

+−−⋅

+−

+−

mx2xm1

1

xm1

1

xm1

1 22

2

2, ako je

1m1

x−

= , m ≠ 1

[ Rešenje: ( )1m2m3

− ]

I.3 LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

27. Data je jednačina: 2a1x

4a2aa

8ax3

23 −−

=++

−−

a) Rešiti po x datu jednačinu i diskutovati rešenja.

b) Odrediti parametar a, tako da rešenje jednačine bude pozitivno.

[ Rešenje: a) a ≠ 2; 1) a = -1, 0∙x = 0 - neodredjena; 2) a ≠ -1, 1a

4x

+= ; b) a ∈ (-1, 2) ∪ (2, +∞)]

28. Odrediti parametar a, tako da sledeće jednačine imaju ista rešenja

a3x

3ax −=

− i

a9xa13x2

3a3xa2x

22

22

−−

−=+−

[ Rešenje: a = 1; a ≠ 0, a ≠ 3, x ≠ ±3a ]

29. Rešiti jednačinu |x + 1| - |x| + 3 |x - 1| - 2 |x - 2| = x + 2

[ Rešenje: x = -2 ۸ x ≥ 2 ]

30. Rešiti po x nejednačinu a42x

2x31

ax +

>−

+ i diskutovati rešenja u zavisnosti od vrednosti

parametra a.

[ Rešenje:1) 21

a = , nema rešenja; 2) 21

a0 << , ( )( )a213

a12x

−−

> ; 3) 21

a0a >∨< , ( )( )a213

a12x

−−

< ]


31. Rešiti i diskutovati sistem jednačina: 1a

byb

ax=

−+

− ۸ 1by

ax

=+

[Rešenje:1)а–b ≠ 0 и a+b ≠ 0,bа

аx2

−= ,

bаby

2

−−= ; 2) a–b = 0,nema reš; 3)a+b = 0, ( )

− y,yb

ba ]

32. Rešiti sistem jednačina 12y2x

15zx

32zy2

1−=

+++

−+−

−+

62y2x

35zx

52zy2

2−=

++−

−+−

−+

62y2x

15zx

22zy2

5=

++−

−++

−+

[ Rešenje: x = 1, y = -1, z = 5 ]

II R A Z R E D

II.1 STEPENOVANJE I KORENOVANJE

1. Uprostiti izraz: baba:

abba

baba

22

1122 1

11

22

−−

+⋅

++ −−−

−−

−−

[ Rešenje: - ab; a, b ≠ 0, a ≠ ±b ]

2. Uprostiti izraz: yxyx

2yx

xyyxyx

11

1111 1

11

11 1

−−

−−−−−

−−

−−−

−−

++

++

[ Rešenje: 2x; xy ≠ 0, x ≠ ±y ]

3. Uprostiti izraz: ( )1baab

1ba:1abba

1babaab1ab

11

33

122

33

11

1 2

−++

++−

⋅−+

−−

−

−−

−

−−

−

[ Rešenje: 1; ab ≠ 0, a ≠ ±b ]

4. Uprostiti izraz: xxxx

x2

xxx1

1

24

31

4

−

−

−

−

−−

+−−−

[ Rešenje: x

x23

4+− ; x ≠ 0, x ≠ ±1 ]

5. Uprostiti izraz: ( )x211x2x4

xx44x

xx2464x 2

21

2

21

6

−+

−+−

⋅++

−−−−−

−

[ Rešenje: 1 + 2x; x ≠ 0, x ≠ 21 ]


6. Uprostiti izraz: ( )( )

−−

−++⋅

+++− −

−−

−−

cbaabc:

bc2acb1

cbacba

1222

11

11

[ Rešenje: ( )2

acba −− ; abc ≠ 0, b + c ≠ 0, a ≠ b + c, a + b + c ≠ 0 ]

7. Uprostiti izraz: baba:

abba

baba

22

1122 1

11

22

−−

+⋅

++ −−−

−−

−−

[ Rešenje: ( )ba

ab2+

− ; ab ≠ 0, a ≠ ±b ]

8. Uprostiti izraz:

−

−+

−

++

− −−−

−

− 121

122

212

212

xx

x

x

x

x

x

[ Rešenje: 1 ]

9. Uprostiti izraz: 4 12

24 31 xx

x1x

xx −−

−− −⋅−

⋅− , x > 1

[ Rešenje: x ]

10. Uprostiti izraz: xx

1:xxxx

1x2 −++

+

[ Rešenje: x – 1, x ≠ 1 ]

11. Uprostiti izraz: x

21x1x:

1xx1x

5,05,1

5,0

21 −+

−+

++−

[ Rešenje: x + 1, x ≠ 1 ]

12. Uprostiti izraz: 1x1xxx

xx1x 41

21

4121

2143+⋅

++

⋅+−

[ Rešenje: x ]

13. Uprostiti izraz: yyx2x

yxyx

yxyxyxx

yx21414121

4141

2121

21414121

412143 +−⋅

++

⋅+−

[ Rešenje: ( )44

444

yxyxy

−

+, x ≠ y ]


−+

⋅

−

++

babaab

babbaa

2

[ Rešenje: 1; a, b > 0, a ≠ b ]



++

−

−+

+

−+

xyxy

xyxy

xy2yx

xyx1yx

[ Rešenje: xx , x, y > 0, x ≠ y ]

16. Uprostiti izraz: 3bc

3bcbccabcabc 4

4 24 32

+

++

+

++

[ Rešenje: bc , a, b, c > 0 ]

17. Uprostiti izraz: ( ) ( )( ) 1a21a1a

1a21a1a222

222

−+−−−

−+−−+

[ Rešenje: 1a1a

−+

, |a| > 1 ]

18. Izračunati vrednost izraza: z1z

1z2

2

−−

−, za

+=m1

m21

z , m > 0

[ Rešenje: m2

1m −, za 0 < m ≤ 1;

2m1 −

, za m > 1 ]

19. Uprostiti izraz: 1ax

:axax

axaxax

ax2

2

22−

+−−

−+

−++−

, x > a > 0

[ Rešenje: 1 ]


−

−+

⋅

−+

−+

− 1x1x1x1

x1x1x1 , -1 ≤ x < 1

[ Rešenje: 2x ]

21. Uprostiti izraz: ( ) ( ) 1a1a1a1a

1a1a:

1a1

1a1

1a1a

1

12

−+−+−−⋅+

−−

+

+−−− , a > 1

[ Rešenje: 1a2 − ]

II.2 KOMPLEKSNI BROJEVI

22. Izračunati R(z), ako je R(x) = (x - x2 + 2x3) (2 - x + x2) i 2

3i1z

+−= .

[ Rešenje: R(z) = 7 ]


23. Izračunati: ( ) ( )( ) ( )i2i23

i1i21z 23

22

+−+−−+

=

[ Rešenje: i106

3538z += ]

24. Izračunati: ( ) ( )( ) ( )i1i1

1ii1z 66

88

−−+−++

=

[ Rešenje: i2z = ]

25. Izračunati: ( )( )i21i1i3z−+

+=

[ Rešenje: i53

54z += ]

26. Izračunati: ( )

−−+

=i12

3i1z

12

[ Rešenje: 641

z −= ]

27. Dati su kompleksni brojevi z1 = 3 + 2i i z2 = 2 + i. Odrediti kompleksan broj

z = x + yi, ako je: 53

zzRe2

=

, ( ) 1zzIm 1 −=⋅ .

[ Rešenje: i21

25z += ]

28. Dati su kompleksni brojevi z1 = 3 + 2i i z2 = 2 + i. Odrediti kompleksan broj

z = x + yi, ako je: 53

zzIm2

=

, ( ) 1zzRe 1 −=⋅ .

[ Rešenje: i1z +−= ] 29. Rešiti jednačinu: ( ) ( )3i1zi1 1028 +−=+−

[ Rešenje: 3i44z0 += , 3i44z1 −−= ]

II.3 KVADRATNE JEDNAČINE. VIETOVE FORMULE. KVADRATNE FUNKCIJE I NEJEDNAČINE

30. Rešiti po x jednačinu 1x

babaxa2

bax

=+

−−−

++

, a, b ∈ R i diskutovati rešenja u zavisnosti od

vrednosti parametara a i b.

[ Rešenje: a ≠ ±b, x ≠ 0; 1) b = 0 ⇒ x = a; 2) b ≠ 0, a = 3b ⇒ x = 4b; 3) b ≠ 0, a ≠ 3b ⇒

b2ba

x22

1−

= , x2 = a + b ]


31. U kvadratnoj jednačini (5k – 1)x2 - (5k + 2)x + 3k – 2 = 0 odredite parametar k ∈ R tako da rešenja

budu dvostruka.

[ Rešenje: 352k2k =∨= ]

32. У једначини x2 - 7x + 2m – 4 = 0 одредити вредност реалног параметра m за које ће

једначина имати: 1. оба решења позитивна, 2. реална решења супротног знака.

[ Rešenje: 1. 8

65m2 ≤< ; 2. m < 2 ]

33. Odrediti parametar m u jednačini x2 - 3mx + m2 = 0 tako da rešenja zadovoqavaju relaciju x12 +

x22 = 112.

[ Rešenje: m1,2 = ± 4 ] 34. Ne rešavajući kvadratnu jednačinu (m + 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0, odrediti vrednost parametra m

tako da njena rešenja zadovoqavaju uslov x12 + x2

2 = 9

10 .

[ Rešenje: 21m1m −=∨= ]

35. Odrediti parametar m u jednačini x2 - x + m - 1 = 0 tako da rešenja zadovoqavaju relaciju x13 +

x23 = 7.

[ Rešenje: m = - 1 ] 36. Ne rešavajući kvadratnu jednačinu (m - 1)x2 + (m + 1)x + m + 1 = 0, odrediti vrednost parametra

m tako da njena rešenja zadovoqavaju uslov x13 + x2

3 = x12x2

2.

[ Rešenje: 1m3m −=∨= ] 37. Дата је једначина x2 - 8x + 12 = 0. Не решавајући ову једначину, sastaviti квадратну

једначину са решењима x1

x1

1 + i x1

x2

2 + .

[ Rešenje: 12x2 – 104x + 185 = 0 ] 38. Data je jednačina x2 - 2(k + 1)x + 3k + 2 = 0, k je realan parametar.

a) Za koju vrednost parametra k su rešenja realna?

b) Naći vezu izme|u x1 i x2 nezavisnu od k.

v) Odrediti ceo broj k, tako da zbir rešenja date jednačine bude jednak zbiru njihovih kubova.

[ Rešenje: a)

+∞

+∪

−∞−∈ ,

251

251

,k ; b) 2x1x2 - 3(x1 + x2) + 2 = 0; v) k = ±1 ]

39. Rešiti sistem jednačina x2 - 3xy + y2 = -5 ۸ x2 - xy + y2 = 7

[ Rešenje: (2, 3), (-2, -3), (3, 2), (-3, -2) ]


40. Data su dva skupa parabola: y = x2 - (k - 3)x + k - 1 i k1

kx4kxy 2 −+−= . Odrediti dve

parabole iz ova dva skupa, tako da one imaju minimum u istoj tački. Naći tu tačku.

[ Rešenje: y = x2 - x + 3 i 4

15x4x4y 2 +−= ;

411

,21

T ]

41. Data je kvadratna funkcija y = (k - 2)x2 - 2kx + 2k - 3, k je realan parametar.

a) Za koje vrednosti parametra k je funkcija negativna za svako x?

b) Odrediti vrednost parametra k, tako da je zbir recipročnih vrednosti kvadrata nula funkcije

jednak 2.

[ Rešenje: a) k ∈ (-∞, 1); b) k1 = 1, 4

15k2 = ]

42. Za koje vrednosti parametra k je nejednakost taчна за свако x:

x2 + (3k + 1)x + 5k > (k + 1)x2 + 5kx + 7k

[ Rešenje:

−−∞−∈

22

21,x ]

43. Rešiti nejednačinu: 33x4x3x2x

2

2<

+−−+−

[ Rešenje: ( ) ( )+∞∪

∪∞−∈ ,32,

231,x ]

44. Rešiti nejednačinu: 12x3x2x3x

2

2≥

+++−

[ Rešenje: ( ) ( ]0,12,x −∪−∞−∈ ]

45. Rešiti nejednačinu: 13x2x

13xx22

2>

−−−+

[ Rešenje: ( ) ( )2,15,x −∪−∞−∈ ]

46. Rešiti sistem nejednačina: 21x

8x7x312

2<

++−

<

[ Rešenje: ( )6,1x ∈ ]

47. Rešiti sistem nejednačina: 21

9x6xxx0

2

2≤

+−+

≤

[ Rešenje: [ ]1,9x −−∈ ]

48. Rešiti nejednačinu: 04x

3x4x2

2

<−

+−

[ Rešenje: ( ) ( ) ( )3,21,12,3x ∪−∪−−∈ ]


49. Za koje vrednosti realnog parametra m rešenja x1 i x2 jednačine x2 + (2m + 2)x + m = 0

zadovoqavaju relaciju 8x1

x1

22

21

>+

[ Rešenje: ( )2,00,21x ∪

−∈ ]

50. Za koje vrednosti realnog parametra m rešenja x1 i x2 jednačine x2 + (m + 3)x + m + 21 = 0

zadovoqavaju relaciju 1xx

xx

1

2

2

1 <+

[ Rešenje: ( ) ( )6,921,x −∪−∞−∈ ]

51. Rešiti nejednačinu: x23x

12xx2

≥−

−−

[ Rešenje: ( )3,x ∞−∈ ]

52. Rešiti nejednačinu: 26x5x

3x2 ≥

+−−

[ Rešenje:

∈ 2,23

x ]

II.4 IRACIONALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

53. Rešiti jednačinu 3x7x3x1 2 +−=−

[ Rešenje: 21x = ]

54. Rešiti jednačinu 8x31x3x2 −=−−+

[ Rešenje: 27x = ]

55. Rešiti jednačinu 1x1x25x4 −+−=+

[ Rešenje: x = 5 ]

56. Rešiti jednačinu x59x3

6x3 −=

−+−

[ Rešenje: x = -3 ]

57. Rešiti jednačinu 275x232x5x22x =−+++−+−

[ Rešenje: x = 15 ] 58. Rešiti jednačinu 03x22x1x 333 =−−−+−


[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 2 ∨ 23x = ]

59. Rešiti nejednačinu 3x4x5x2 −<+−

[ Rešenje: [ )5,4x ∈ ]

60. Rešiti nejednačinu x12xx2 <−−

[ Rešenje: [ )+∞∈ ,4x ]

61. Rešiti nejednačinu x810x3x2 −<−−

[ Rešenje: ( ]

∪−∞−∈

1374,52,x ]

62. Rešiti nejednačinu x16xx2 −>++−

[ Rešenje: ( ]3,1x −∈ ]

63. Rešiti nejednačinu 5x14x5x2 −>−−

[ Rešenje: ( ]

+∞∪−∞−∈ ,

5392,x ]

64. Rešiti nejednačinu 2x46xx3 2 −>++−

[ Rešenje: [ ]2,2x −∈ ]

65. Rešiti nejednačinu ( )1x21x2x3 2 −≥−−

[ Rešenje: [ ]5,131

,x ∪

−∞−∈ ]

66. Rešiti nejednačinu x2xx5 2 −<−

[ Rešenje: ( ]5,421

,0x ∪

∈ ]

II.5 EKSPONENCIJALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

67. Rešiti jednačinu

=⋅

−−

225,0

4125,0x

8x2

[ Rešenje: 3

38x = ]

68. Rešiti jednačinu

=

−++

35

259

35 911x2x1x 2


[ Rešenje: 2x27

x 21 =∨−= ]

69. Rešiti jednačinu 39 2x81x3 −− =

[ Rešenje: 72x = ]

70. Rešiti jednačinu ( ) 4 75 3x4x3x4x

327 =

−

+

[ Rešenje: x = 10 ]

71. Rešiti jednačinu 33 xxx 24125,042 =⋅⋅

[ Rešenje: x = 3

∉−−≠ N

51;

51x ]

72. Rešiti jednačinu 3525 2x3x2 +⋅= −−

[ Rešenje: x = 2 ]

73. Rešiti jednačinu 082124 5x1x5xx 22 =+⋅− −−−−−

[ Rešenje: 49x3x =∨= ]

74. Rešiti jednačinu 3 x + 2 + 9 x + 1 = 810

[ Rešenje: x = 2 ]

75. Rešiti jednačinu 210164 2x2x ⋅=+ −−

[ Rešenje: x = 11 ∨ x = 3 ]

76. Rešiti jednačinu ( ) 06252 4x2x4xx 22 =−⋅− −+−−+

[ Rešenje: 25x = ]

77. Rešiti jednačinu 10234 2x1x2xx 22 =⋅− −+−−+

[ Rešenje: 23x = ]

78. Rešiti jednačinu 0162564 x 3xx =+− +

[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 3 ]

79. Rešiti jednačinu 016271284964 xxx =⋅+⋅−⋅

[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 2 ]


80. Rešiti jednačinu 0418635912 xxx =⋅+⋅−⋅

[ Rešenje: x = -1 ∨ x = 2 ] 81. Rešiti jednačinu 365812163 xxx ⋅=⋅+⋅

[ Rešenje: 21

x0x =∨= ]

82. Rešiti jednačinu 32x-3 – 9x-1 + 272x/3 = 675

[ Rešenje: x = 3 ]

83. Rešiti jednačinu 52x – 7x – 52x∙35 + 7x∙35 = 0

[ Rešenje: x = 0 ]

84. Rešiti jednačinu 4x – 3x-1/2 = 3x+1/2 – 22x-1

[ Rešenje: 23x = ]

85. Rešiti jednačinu 53537 3x4x2x1x ++++ −=−⋅


86. Rešiti jednačinu 2334 3x425

x223

x22x2 ++++ −=−

[ Rešenje: 41x −= ]

87. Rešiti jednačinu 4545 3x2

51x2

33x2

54x2

+=−−−+

[ Rešenje: x = 3 ] 88. Rešiti nejednačinu ( ) ( )( )64,025,1 x12x1 +− <

[ Rešenje: x ∈ (25, +∞) ]

89. Rešiti nejednačinu 173 x

x2x2

2

≥

−

[ Rešenje: x ∈ (0,2] ]

90. Rešiti nejednačinu 931 x1

2x

>

−

+

[ Rešenje: ( )4,11,34x ∪

−−∈ ]

91. Rešiti nejednačinu

⋅>+

21

3221 xx2

[ Rešenje: x ∈ (0, +∞) ]


92. Rešiti nejednačinu 12

132

12xx2 −

≥+ +

[ Rešenje: ( ) { }12,x ∪−∞−∈ ]

II.6 LOGARITMOVANJE. LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

93. Izračunati log3 5, ako je log6 2 = a i log6 5 = b.

[ Rešenje: a1

b5log3 −= ]

94. Izračunati log35 28, ako je log14 7 = a i log14 5 = b.

[ Rešenje: baa228log35 +

−= ]

95. Izračunati ba

log3

ab , ako je logab a = t (a, b > 0, ab ≠ 1).

[ Rešenje: 6

3t5ba

log3

ab−

= ]

96. Izračunati logc x, ako je loga x = p, logb x = q i logabc x = r.

[ Rešenje: qrprpq

pqrxlogc −−= ]

97. Rešiti jednačinu log4 (x + 2)∙logx 2 = 1

[ Rešenje: x = 2 ]

98. Rešiti jednačinu 11xlogxlogxlog 822 =++

[ Rešenje: x = 8 ]

99. Rešiti jednačinu 3

20x2logxlog2xlog 282 =+−

[ Rešenje: x = 4 ]

100. Rešiti jednačinu 0xlog40xlog14xlog x43

x162

x5,0 =⋅+⋅−

[ Rešenje: 22

x4x =∨= ]

101. Rešiti jednačinu ( ) ( ) 172log12log x7

x7 =−+−

[ Rešenje: x = 3 ]

102. Rešiti jednačinu ( ) 11x2log218xlog =++−



103. Rešiti jednačinu ( ) ( )12log194log2log 2x2x ++=++ −−

[ Rešenje: x = 2 ∨ x = 4 ]

104. Rešiti jednačinu 11x1x

log1x7x

log2 22 =+−

+−−


105. Rešiti jednačinu 30log13x2log5xlog =+−+−

[ Rešenje: x = 6 ]

106. Rešiti jednačinu ( ) 340xlog

11xlog3

=−

++


107. Rešiti jednačinu 3logxlog2log 71497 =+

[ Rešenje: 121x = ]

108. Rešiti jednačinu 3logxlogxlog 51255 =+

[ Rešenje: 3 31x = ]

109. Rešiti jednačinu ( ) ( ) ( ) 42xlog2xlog2xlog 2,03

55 =−+−+−

[ Rešenje: x = 3 ]

110. Rešiti jednačinu ( ) 88xlogx4log

2

22

21 =+

[ Rešenje: x = 2-7 ∨ x = 2 ]

111. Rešiti jednačinu 1444 xlog1xlog1xlog 552

5 =+− +−+

[ Rešenje: x = 5 ]

112. Rešiti jednačinu x10x xlog1 =+

[ Rešenje: 101x = ∨ x = 10 ]

113. Rešiti jednačinu ( )( ) ( )1x1001x 1xlog +=+ +

[ Rešenje: x = -0.9 ∨ x = 99 ]


114. Rešiti jednačinu 10x xlog53

5xlog+

+=

[ Rešenje: x = 10-5 ∨ x = 103 ]

115. Rešiti jednačinu ( ) 5x1xlog5 =−

[ Rešenje: 51x = ∨ x = 25 ]

116. Rešiti jednačinu 10x 1xlog4

7xlog+

+=

[ Rešenje: x = 10-4 ∨ x = 10 ]

117. Rešiti jednačinu 9x3 xlog3log 3x =⋅

[ Rešenje: x = 3 ∨ 3x 251±−

= ]

118. Rešiti jednačinu ( ) 5x 1xlog 2x2 =−

[ Rešenje: 26x = , uslov: x > 1 ]

119. Rešiti nejednačinu 21

xlog1xlog1

2

4 ≤+−

, x > 0

[ Rešenje: [ )+∞∪

∈ ,2

21,0x ]

120. Rešiti nejednačinu ( ) 03x4xlog 23x <+−−

[ Rešenje: ( )4,22x +∈ ]

II.7 T R I G O N O M E T R I J A

121. Dokazati da je 33

2cos

32

coscos2 222 =

−+

++⋅ απ

απ

α .

122. Ako je 1212tg

−+

=α i 2

1tg =β , pri čemu je

∈

2,0 πα i

∈

2,0 πβ , dokazati da je

4πβα =− .

123. Ako je α + β + γ = π, dokazati da je 2

cos2

cos2

cos4sinsinsin γβαγβα =++ .

124. Dokazati da je ( ) ( ) 01cossin3cossin2 4466 =++⋅−+⋅ αααα .

125. Dokazati da je sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos 7°, ako znamo da je ( )154118sin −=° .

126. Dokazati da je 2

sin2

sin2

sin41coscoscos γβαγβα +=++ , za α + β + γ = π.


127. Dokazati da je ααα

ααα cos21coscos2

3cos2coscos12 =

−++++ .

II.8 TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

128. Rešiti jednačinu: 2sin4 x – 2cos4x – 1 = 0 na intervalu [-π, π].

[ Rešenje: 3

2x1

π−= ,

3x2π

−= , 3x3π

= , 3

2x4

π= ]

129. Rešiti jednačinu: 3xcos

6xsin21 =−

[ Rešenje: πk6x1 = ∨ ππ n123x2 += , k, n ∈ Z ]

130. Rešiti jednačinu: 2xsin

xcos1xsin

=+

[ Rešenje: πk2x = , k ∈ Z ]

131. Rešiti jednačinu: 13x2cos2xcos

2xsin4xsin2 2 +=++

[ Rešenje: ππ k23x1 += ∨ ππ n2

32

x2 += , k, n ∈ Z ]

132. Rešiti jednačinu:

+=

+

2x

2sin

2xsin32x2

23cos ππ

[ Rešenje: πkx1 = ∨ ππ n26x2 +±= , k, n ∈ Z ]

133. Rešiti jednačinu: sin3x + cos2x = 1

[ Rešenje: πkx1 = , ( ) πm4

113arcsin1x n2 +

−−= , k, m ∈ Z ]

134. Rešiti jednačinu: xcosxsin27

xcosxsin 44 =+

[ Rešenje: ( )2

k12

1x n ππ+−= , k ∈ Z ]

135. Rešiti jednačinu: x2sin23

xcosxsin2 22 =+

[ Rešenje: ππ k4x1 += ∨ πn

21arctgx2 += , k, n ∈ Z ]

136. Rešiti jednačinu: 2x

cos4xcos3x2cos 2=−


[ Rešenje: ππ k23

2x +±= , k ∈ Z ]

137. Rešiti jednačinu: 2xcos5xcosxsin4xsin3 22 =+−

[ Rešenje: ππ k24x1 += ∨ πn3arctgx2 += , k, n ∈ Z ]

138. Rešiti jednačinu: 1xcosxsin32xsin3xcos 22 =++

[ Rešenje: πkx1 = ∨ ππ n3x2 +−= , k, n ∈ Z ]

139. Rešiti jednačinu: 2xcos3xsin −=+


x1 +−= ∨ ππ n212

11x2 += , k, n ∈ Z ]

140. Rešiti jednačinu: 1xcos2xsin2 =−


x1 += ∨ ( )ππ 1n212x2 ++= , k, n ∈ Z ]

141. Rešiti jednačinu: sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x - sin x) + 3

[ Rešenje: ππ k4

x1 +−= , ππ m3

x2 += , ππ n3

x3 +−= , k, m, n ∈ Z ]

142. Rešiti jednačinu: ( )

−=−+ x2

6cos5x2cos3x2sin

2 π

[ Rešenje: ππ k125x +−= , k ∈ Z ]

143. Rešiti jednačinu: 32 cos6 x - cos 6x = 1

[ Rešenje: πk41arccos

21

x1 +

−±= , ππ n

2x2 += , k, n ∈ Z ]

144. Rešiti jednačinu: x4cos25

xcosx3cos

xsinx3sin

+=+

[ Rešenje: ππ k6

x1 +−= ∨ ππ n6

x2 += , k, n ∈ Z ]

145. Rešiti jednačinu: xcos2xsinx2sinxsinx4sin21 2=+

[ Rešenje: ππ k2

x += , k ∈ Z ]

146. Rešiti nejednačinu: log2 (cos 2x + 3 sin x + 1) < 1


[ Rešenje:

+−∈ πππ k2,k2

6x ∨

++∈ ππππ n2

67,n2x , k, n ∈ Z ]

III R A Z R E D

III.1 POLIEDRI I OBRTNA TELA

1. Osnova pravog paralelepipeda je paralelogram sa stranicama a i b i oštrim uglom α. Ako je manja

dijagonala paralelepipeda jednaka većoj dijagonali osnove, izračunati zapreminu paralelepipeda.

[ Rešenje: αα cosabsinab2V ⋅⋅= ] 2. Основа četvorostrane пирамиде је romb čiji je оштaр угao α, a kraća dijagonala d. Izračunati

površinu piramide ako sve bočne strane te piramide zaklapaju isti ugao β sa osnovom.

[ Rešenje:

+=

βα

cos11

2ctgd2

1P 2 ]

3. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide jednaka je a, a bočna strana nagnuta je prema ravni

osnove pod uglom ϕ. Naći površinu i zapreminu te piramide.

[ Rešenje: ( )ϕ

ϕcos

1cos4

3aP2 +

= ; 24tgaV

3 ϕ= ]

4. U pravilnu trostranu piramidu upisana je pravilna trostrana prizma čija je gornja osnova paralelni

presek piramide, a donja osnova pripada osnovi piramide. Osnovna ivica piramide je 12cm, a

visina je 15cm. Površina omotača prizme je 120cm2. Odrediti odnos zapremina prizme i piramide.

[ Rešenje: I Rešenje: V1 : V2 = 2 : 9; II Rešenje: V1 : V2 = 4 : 9 ] 5. Nagib bočne strane pravilne trostrane zarubqene piramide prema ravni osnove iznosi 60°. Ivica te

osnove je a i površina piramide P. Izračunati osnovnu ivicu druge osnove.

[ Rešenje: 3P4

a3b 2 −= ]

6. Odrediti zapreminu pravilne četvorostrane zarubqene piramide ako je veća osnovna ivica a, manja

osnovna ivica b, a oštar ugao bočne strane 60°.

[ Rešenje: ( )6

ba2V33 −

= ]

7. U pravu kupu poluprečnika r i visine 2rH = upisana je kocka, tako da joj jedna strana leì u

osnovi kupe, a ostala četiri temena pripadaju omotaču kupe. Odrediti razmeru zapremina kupe i

kocke.

[ Rešenje: V1 : V2 = 4π : 3 ]


8. Dat je pravougli trapez sa osnovicama 10cm i 6cm i oštrim uglom od 60°. Izračunati zapreminu i

površinu tela koje nastaje rotiranjem datog trapeza oko duèg kraka.

[ Rešenje: ( )cm96368P 2+= π ; V = 392π cm3 ]

9. Pravougli trapez osnovica a = 9cm i b = 4cm i sa duìm krakom 13cm rotira oko ose paralelne

visini, koja je u ravni trapeza i ne seče ga. Rastojanje ose je 1cm od temena pravog ugla trapeza.

Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela.

[ Rešenje: P = 342π cm2; V = 688π cm3 ]

10. Jednakokraki trapez čije su osnovice 20cm i 8cm i krak 10cm rotira oko ose koja pripada njegovoj

ravni, a ne seče ga. Osa je paralelna većoj osnovici trapeza i na rastojanju je 2,5cm od nje.

Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela.

[ Rešenje: P = 528π cm2; V = 1328π cm3 ]

11. Jednakostranični trougao stranice a rotira oko prave koja sadrì jedno njegovo teme i paralelna je

naspramnoj stranici trougla. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog obrtnog tela.

[ Rešenje: π3a2P 2= ; 2aV

3π= ]

12. Jednakostranični trougao ABC stranice a rotira oko prave koja sadrì teme A i paralelna je visini

koja sadrì teme B. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog rotacionog tela.

[ Rešenje: a3P 2π= ; 3a41V 3π= ]

13. Romb sa dijagonalama 4dm i 3dm rotira oko visine koja prolazi kroz središte romba. Naći

zapreminu tako dobijenog tela.

[ Rešenje: V = 4898π cm3 ]

14. U sferu čija je površina P = 100π cm2 upisan je vaqak čiji osni presek ima površinu 48cm2. Naći

površinu i zapreminu vaqka.

[ Rešenje: P1 = 66π cm2, V1 = 72π cm3; P2 = 80π cm2, V2 = 96π cm3 ] 15. U sferi poluprečnika R upisan je pravilan tetraedar. Odrediti zapreminu tetraedra.

[ Rešenje: 3R278V 3= ]

16. Naći poluprečnik upisane i opisane lopte oko tetraedra stranice a.

[ Rešenje: 12

6ar = ; 4

6aR = ]

17. Oko lopte zapremine 36π cm3 opisana je prava zarubqena kupa, koja ima poluprečnik jedne baze

jednak 4cm. Izračunati površinu i zapreminu te kupe.


[ Rešenje: cm8

481P 2π= , cm

8481V 3π

= ] 18. У лопти полупречника R = 8cm уписана је купа, чија је висина једнака пречнику основе.

Израчунати површину и запремину купе.

[ Rešenje: ( )cm5125

1024P 2+=π

, cm37565536V 3π

= ] 19. Data je lopta poluprečnika R. Oko lopte opisan je vaqak i jednakostranična kupa. Odrediti u kom

odnosu su zapremine ovih tela.

[ Rešenje: 9:6:4V:V:V KVL = ] 20. Nad krugom poluprečnika 5cm postavqeni su na istoj strani uspravni vaqak i uspravna kupa. Ta

dva tela imaju jednake površine i jednake zapremine. Izračunati zapreminu onog dela kupe koji

pripada vaqku.

[ Rešenje: cm27

1900V 3π= ]

III.2 D E T E R M I N A N T E

21. Rešiti jednačinu: 011132x94x2

=

[ Rešenje: x1 = 3 ∨ x2 = 2 ]

22. Rešiti jednačinu: 051x111

x11=−−

[ Rešenje: x1 = -3 ∨ x2 = 3 ]


12x1112x=

−−+−

−−

[ Rešenje: x1 = 0 ∨ x2 = 1 ]

24. Rešiti jednačinu: 0xx21362x

3x84=+

+

[ Rešenje: x1 = -1 ∨ x2 = -3 ]

25. Rešiti jednačinu: 0xx21361

3x82=

−

+−

[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = -3 ]

26. Rešiti jednačinu: 0x11312x

3x24=

−+

+−

[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = -3 ]


1x21111

=−

−


[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = 2 ] 28. Rešiti sistem jednačina:

22

xz65

zy=

+−

+ ∧ 0

4x5z6

3x2y

=+

+−

∧ 3

z221

2x7

6y −=

−−

+

[ Rešenje: (x, y, z) = (2, 1, -1) ] 29. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:

(m + 1)x + y + z = 0 ∧ x + (m + 1)y + z = 0 ∧ x + y + (m + 1)z = 0

[ Rešenje: D = m2 (m + 3); 1) m ≠ 0, m ≠ -3 ⇒ x = y = z = 0; 2) m = 0 ⇒ (x, y, z) = (-y - z, y, z);

3) m = -3 ⇒ (x, y, z) = (z, z, z) ]

30. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:

4x + 8y + (m + 3)z = - 2 ∧ (m + 2)x + 6y + 3z = 1 ∧ x + 2my + mz = - 1

[ Rešenje: 1) m ≠ 1, m ≠ -3 ⇒ (x, y, z) = ( )

−−− m12,

1m21,

1m1 ; 2) m = 1 ⇒ sistem nema

rešenja; 3) m = -3 ⇒ (x, y, z) =

−−

2t161,t,

2t41 , t ∈ R ]


x + (m + 2)y - z = 0 ∧ (m + 2)x + y - z = 1 ∧ x + y – (m + 2)z = m + 3

[ Rešenje: 1) m ≠ -1, m ≠ -4 ⇒ (x, y, z) =

++

+−

1m2m,

1m1,0 ; 2) m = -1 ⇒ sistem nema rešenja;

3) m = -4 ⇒ (x, y, z) =

+

−−

31t3,t,

31t3 , t ∈ R ]


x - y - mz = 1 ∧ mx + 3y + 3z = -1 ∧ mx + y + mz = 1 - m

[ Rešenje: 1) m ≠ ±1 ⇒ (x, y, z) = ( ) ( )

++

−++−

+−

1m34m,

1m33m2m,

1mm2 2

; 2) m = -1 ⇒ sistem nema

rešenja; 3) m = 1 ⇒ (x, y, z) =

−− t,t

21,

21 , t ∈ R ]

33. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati rešenja sistema:

ax + y + z = 1 ∧ x + ay + z = 2 ∧ x + y + az = -3

[ Rešenje: 1) a ≠ 1, a ≠ -2 ⇒ (x, y, z) =

−−

−− 1a3,

1a2,

1a1 ; 2) a = 1 ⇒ sistem nema rešenja; 3) a

= -2 ⇒ (x, y, z) =

−− t,

35t3,

34t3 , t ∈ R ]

III.3 V E K T O R I

34. Vektori n2ma += i n4m5b −= su stranice pravougaonika, pri čemu je 1|n||m| == . Izračunati

( )n,m∠ , duìnu dijagonale pravougaonika i ugao ϕ izme|u dijagonala.


[ Rešenje: ( )3

n,m π=∠ ;

332 ππϕ ∨= ; 72d = ]

35. Date su koordinate temena trougla ABC (A(-1, 3, 1), B(3, 4, -2), C(5, 2, -1)). Odrediti ∠ABC.

[ Rešenje:

−=∠

31arccosABC ]

36. Izračunati površinu trougla odre|enog vektorima b3a2 − i b2a3 + , ako je 2|a| = , 3|b| = ,

4|ba| =+ .

[ Rešenje: 41539P = ]

37. Израчунати површину троугла ако су дате координате његових темена:

A(2, - 3, 4), B(1, 2, - 1), C(3, - 2, 1)

[ Rešenje: 25P ABC =∆ ]

38. Odrediti ugao izme|u vektora ba + i ba2 − i zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad

vektorima ba + , ba2 − i c , ako je 1|b||a| == , ( )54b,acos =∠ , ( )

31cba =⋅× .

[ Rešenje: 4π

ϕ = ; V = 1 ]

39. Zadati su vektori )1,1,1(a = , )1,2,2(b = i )6,3,1(c −= . Odrediti vektor d , normalan na a i b ,

tako da je 16dc =⋅ . Zatim izračunati zapreminu paralelepipeda odre|enog vektorima a , b i d i

visinu koja odgovara strani ( )d,a .

[ Rešenje: )0,8,8(d −= ; V = 16; 36h = ]

40. Dati su vektori )1,2,1(a −= , )3,1,2(b = i )0,1,0(c = .

a) Napisati vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i ba ×

b) Naći t tako da vektor )2,t,1(d = bude komplanaran sa vektorima ba × i ca × .

[ Rešenje: a) ( )ba151a

31c ×+= ; b)

21t −= ]

41. Tačke A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6), D(2, 3, 8) su temena piramide. Израчунати запремину

piramide i visinu koja odgovara osnovi ABC.

[ Rešenje: V = 14; 14H = ] III.4 PRAVA U RAVNI


42. Temena na osnovici jednakokrakog trougla su A(-2, 2) i B(4, 8), a duìna kraka trougla iznosi

25 . Naći koordinate trećeg temena i površinu trougla.

[ Rešenje: C1(-3, 9), C2(5, 1); P = 24 ]

43. Jedno teme trougla je A(3, -4), a dve visine pripadaju pravama hc: 7x - 2y - 1 = 0 i

hb: 2x - 7y - 6 = 0. Odrediti jednačine njegovih stranica.

[ Rešenje: AB: 2x + 7y + 22 = 0, AC: 7x + 2y - 13 = 0, BC: x - y + 2 = 0 ]

44. Naći jednačinu prave p, koja sadrì presečnu tačku pravih a: 9x - 4y - 19 = 0 i

b: 9x + 16y + 1 = 0, a paralelna je sa pravom q: 4x - 5y + 20 = 0.

[ Rešenje: 12x - 15y -35 = 0 ]

III.5 K R U G

45. Naći jednačinu kru`nice koja sadrì presek kru`nica k1: x2 + y2 - 10x - 6y + 17 = 0 i

k2: x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0, i datu tačku A(10, -1).

[ Rešenje: k: (x - 7)2 + (y - 5)2 = 45 ]

46. Za koji ugao treba da rotira prava p: x - 7y + 59 = 0 oko svoje tačke M(-3, y) da bi postala

tangenta kru`nice k: x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0.

[ Rešenje: α = 45° ∨ α = 135° ]

47. Iz tačke P(-3, 6) konstruisane su tangente na kru`nicu k: x2 + y2 + 4x + 2y - 20 = 0. Napisati

njihove jednačine.

[ Rešenje: 4x – 3y + 30 = 0 ∧ 3x + 4y – 15 = 0 ]

48. Iz tačke P(0, 8) konstruisane su tangente na kru`nicu k: x2 + y2 - 6x + 4 = 0. Napisati njihove

jednačine.

[ Rešenje: 2x – y + 8 = 0 ∧ 2x + y – 8 = 0 ]

49. Naći ugao pod kojim prava p: 3x + 4y - 13 = 0 seče kru`nicu k: x2 + y2 + 9x - 7y + 20 = 0.

[ Rešenje: α = 45° ]

50. Naći ugao pod kojim prava p: x - 3y - 5 = 0 seče kru`nicu k: x2 + y2 - 2x + 6y + 5 = 0.


51. Naći ugao izme|u prave p: 3x - y = 1 i kru`nice k: x2 + y2 + 4x - 6y - 7 = 0.



52. Naći ugao pod kojim se seku kru`nice k1: x2 + y2 + 8x - 9 = 0 i k2: x2 + y2 + 9x - 7y + 20 = 0.


III.6 E L I P S A

53. Napisati jednačine tangenti elipse 2x2 + 3y2 = 35 koje su normalne na pravu

3x – 8y - 24 = 0.

[ Rešenje: 8x + 3y ± 35 = 0 ]

54. Napisati jednačine tangenti elipse x2 + 2y2 = 54 koje su normalne na pravu x + y - 4 = 0.

[ Rešenje: x - y ± 9 = 0 ]

55. Napisati jednačinu one tangente elipse x2 + 3y2 = 28 koja sa pravom x - 5y - 20 = 0 gradi ugao od

45°.

[ Rešenje: 3

14x32y ±−= ]

56. Iz tačke A(2, 7) konstruisane su tangente na elipsu x2 + 4y2 = 100. Naći jednačine tih tangenti i

površinu trougla ograničenog tangentama i dodirnom tetivom.

[ Rešenje: P = 25 ]

57. U elipsu x2 + 4y2 = 36 je upisan kvadrat. Naći njegovu površinu.

[ Rešenje: 5

144P = ]

58. Odrediti uglove pod kojima se seku prava p: x + y - 2 = 0 i elipsa x2 + 3y2 = 12.

[ Rešenje: α = 45°, β = 90° ]

III.7 H I P E R B O L A

59. Napisati jednačine tangenti hiperbole 9x2 - 4y2 = 32 koje su paralelne sa pravom

9x + 2y - 1 = 0.

[ Rešenje: 9x + 2y ± 16 = 0 ]

60. Napisati jednačine tangenti hiperbole 5x2 - 7y2 = 13 koje su normalne na pravu

7x + 10y + 28 = 0.

[ Rešenje: 9x + 2y ± 16 = 0 ]

61. Iz tačke A(1, -10) konstruisane su tangente na hiperbolu 4x2 - y2 = 32. Naći jednačinu tetive koja

spaja tačke dodira tih tangenti i hiperbole.

[ Rešenje: 2x + 5y - 16 = 0 ]


62. Odrediti ugao pod kojim se seku krive e: 3x2 + 4y2 = 84 i h: 3x2 - 4y2 = 12 i jednačine tangenti u

jednoj presečnoj tački.

[ Rešenje: α = 90°, presečne tačke: (4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3);

tangente u (-4, 3): x + y + 1 = 0, x – y + 7 = 0 ]

63. Na tangenti elipse 4x2 + 5y2 = 20, koja je konstruisana u tački

>− 0y,

35M elipse, leì tetiva

hiperbole 4x2 - y2 = 36. Naći duìnu te tetive.

[ Rešenje: 28AB = ]

III.8 P A R A B O L A

64. Naći jednačinu tetive parabole y2 = 4x, koja je tačkom

−1,

25P prepolovqena.

[ Rešenje: 2x + y - 4 = 0 ]

65. Napisati jednačine zajedničkih tangenti krivih x2 + y2 - 2x - 9 = 0 i y2 = 4x.

[ Rešenje: x - 3y + 9 = 0, x + 3y + 9 = 0 ]

66. Data je prava a: 4x - 3y + 9 = 0.

a) Napisati jednačinu parabole y2 = 2px koja dodiruje pravu a;

b) Na dobijenoj paraboli odrediti tačku P koja je najblià pravoj 4x + y + 4 = 0;

v) Odrediti odstojanje tačke P od prave a.

[ Rešenje: a) y = 16x; b)

−2,

41P ; v)

516d = ]

67. Prava 2x + y - 12 = 0 seče parabolu y2 = 4x. Odrediti:

a) ugao izme|u tangenti parabole u tačkama preseka;

b) jednačinu tangente parabole koja je paralelna sa datom pravom;

v) jednačinu kru`nice opisane oko trougla čija su temena presečne tačke date prave i parabole, i

presek tangenata povučenih na parabolu u tim tačkama.

[ Rešenje: a) α = 45°; b) 4x + 2y + 1 = 0; v) 2

12527y

23x

22

=

++

− ]

III.9 MATEMATIČKA INDUKCIJA

68. Dokazati da za ∀n∈N vaì jednakost ( )( )6

1n21nnn321 2222 ++

=++++ 2


69. Dokazati da za ∀n∈N vaì jednakost 4n2

n2n3n

1201

121

61

2 +=

++++++ 2

70. Dokazati da je 3⋅52n+1 + 23n+1 deqivo sa 17 za ∀n∈N.

71. Dokazati da je 22n+1 - 9n2 + 3n - 2 deqivo sa 54 za ∀n∈N.

III.10 BROJNI NIZOVI. ARITMETIČKI I GEOMETRIJSKI NIZ. BROJNI REDOVI

72. Odrediti aritmetički niz za koji je: 5a1 + 10a5 = 0 i S4 = 14.

[ Rešenje: 8, 5, 2, -1, -4, . . . ]

73. Odrediti aritmetički niz za koji je: S2 – S4 + a2 = 1 i S3 + a3 = 17.

[ Rešenje: 2,1110,

1131,

1152,

1173 ]

74. U aritmetičkom nizu dato je: a2 + a5 – a3 = 10 i a1 + a6 = 17. Izračunati prvi član i diferenciju.

[ Rešenje: a1 = 1, d = 3 ]

75. Rešiti jednačinu: 3 + 7 + 11 + . . . + x = 210.


76. Rešiti jednačinu: 1 + 9 + 17 + . . . + x = 370.


77. Izračunati prvi član i količnik geometrijskog niza ako je: b5 – b1 = 15 i b4 – b2 = 6

[ Rešenje: -16, -8, -4, -2, . . . ili 1, 2, 4, 8, . . . ]

78. Odrediti geometrijski niz ako je: b2 + b5 – b4 = 10 i b3 + b6 – b5 = 20

[ Rešenje: 1, 2, 4, 8, . . . ]

79. Odrediti geometrijski niz ako je: b1 + b2 + b3 = 62 i b1 ∙ b2 ∙ b3 = 1000

[ Rešenje: 50, 10, 2, 52 , . . . ili 2, 10, 50, 250, . . . ]

80. Odrediti geometrijski niz ako je: b1 + b5 = 1285 i b2 ∙ b4 = 6400

[ Rešenje: b1’ = 5, q’ = ± 4; b1” = 1280, q” = 41

± ]

81. Ako svaki od četiri broja, koji čine aritmetičku progresiju, uvećamo redom za 5, 6, 9 i 15 dobićemo

geometrijsku progresiju. Naći te brojeve.

[ Rešenje: 3, 6, 9, 12 ]


82. Dimenzije pravouglog paralelepipeda čine geometrijski niz. Površina osnove je 108cm2, a površina

tela je 888cm2. Izračunati dimenzije tela.

[ Rešenje: 9, 12, 16 ]

83. Odrediti aritmetički i geometrijski niz ako su im prvi članovi jednaki 1, peti članovi su me|usobno

jednaki, a drugi član aritmetičkog niza je za 12 veći od trećeg člana geometrijskog niza.

[ Rešenje: an: 1, 21, 41,..., 20n - 19,...; bn': 1, 3, 9,..., 3n-1 ,...; bn": 1, -3, 9, -27,..., (-3) n-1,... ]

84. Izračunati graničnu vrednost

21

41

211

32

98

342

limn

1n

n

n ++++

++++ −

∞→ 2

2

[ Rešenje: 3 ]

85. Naći zbir beskonačnog reda ( )( ) 22 ++−

++⋅

+⋅

+⋅ 1n32n3

11071

741

411

[ Rešenje: 31 ]

86. U jednakostranični trougao stranice a upisan je novi jednakostranični trougao čija su temena

središta stranica prvog trougla. U ovaj trougao upisan je novi na isti način, i tako redom u

beskonačnost. Naći zbir obima i zbir površina ovih trouglova.

[ Rešenje: SO = 6a; 3

3aS2

P = ]

IV R A Z R E D

IV.1 GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE

1. Izračunati graničnu vrednost x48xx8

lim2

4x −

−→

[ Rešenje: 6 ]

2. Izračunati graničnu vrednost ( )49x

3x24lim 27x −

−−→

[ Rešenje: 141

− ]

3. Izračunati graničnu vrednost x4

x1x1lim

0x

−−+→

[ Rešenje: 41 ]


4. Izračunati graničnu vrednost 416x

11xlim2

2

0x −+

−+→

[ Rešenje: 4 ]

5. Izračunati graničnu vrednost ( )xcos1

x2tg1x2tg1xlim

0x −+−−

→

[ Rešenje: -4 ]

6. Izračunati graničnu vrednost

+− −

+∞→ 3x21x2

lim2x3

x

[ Rešenje: e-6 ]

7. Izračunati graničnu vrednost xsinx

xsintgxlim 20x

−→

[ Rešenje: 21 ]

8. Izračunati graničnu vrednost x

xxlim

+∞→

[ Rešenje: 1 ]

9. Izračunati graničnu vrednost xlim xsin

0x→

[ Rešenje: -1 ]

10. Izračunati graničnu vrednost ( )x1ln1xsinelim

x

0x +−+

→

[ Rešenje: 2 ]

11. Izračunati graničnu vrednost xx3

xxsinelim 52

x

0x +−

→

[ Rešenje: 31 ]

IV.2 IZVODI FUNKCIJA

12. Naći prvi izvod funkcije ( )1xxlny 2 ++=

[ Rešenje: 1x

1y2 +

=′ ]

13. Naći prvi izvod funkcije xcos1xcos1lny

+−

=

[ Rešenje: xsin

1y =′ ]

14. Naći prvi izvod funkcije x1x1arcctgy

−+

=


[ Rešenje: x1

1y 2+−=′ ]

15. Naći prvi izvod funkcije x1

xarcctgy2−

=

[ Rešenje: x1

1y2−

=′ ]

16. Naći prvi izvod funkcije xax2

x2aarcctgy2−

−=

[ Rešenje: xax

1y2−

=′ , (0 < x < a) ]

17. Naći prvi izvod funkcije earcsine1ey xx2x +−=

[ Rešenje: e1e2y x2x −=′ ]

18. Naći prvi izvod funkcije arctgx21

x1x1ln

41y −

−+

=

[ Rešenje: x1

xy 4

2

−=′ ]

19. Naći prvi izvod funkcije ( )axln2a

axxarctgy 22 +−=

[ Rešenje: axarctgy =′ ]

20. Naći prvi izvod funkcije 1x4arctg1x4y −−−=

[ Rešenje: x2

1x4y −=′ ]

IV.3 ISPITIVANJE FUNKCIJA

21. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije ( )( )3x1xx4xy

2

−−−

=

22. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x4

x4y 2−=

23. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1x

1x2xy 2

2

++−

=

24. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 4xxx3y

2

−−

=

25. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1x

4xx4y2

−−−

=


26. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x3

xy 2

3

−=

27. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 4xx3xy

2

++

=

28. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1xx3y

2

−+

=

29. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x

xln2y −=

30. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xlnxy =

31. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xlnxy 2=

32. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije ( ) ex1y x 22 −⋅+=

33. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije exy x⋅=

34. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xey

x=

IV.4 NEODRE\ENI INTEGRALI

35. Izračunati integral ( )∫

−

−

xx6

dx4x2

[ Rešenje: C3

3xarcsinxx6 2 +−

−−− ]

36. Izračunati integral ( )∫+ x1x

arctgxdx22

[ Rešenje: Cx1

xln2

xarctgx

arctgx2

2+

++−− ]

37. Izračunati integral ( )( )∫

+− 1x1xxdx

2

[ Rešenje: ( ) C1x2

11x1xln

41

++

−+− ]

38. Izračunati integrale ( )∫= dxxlnsinJ1 i ( )∫= dxxlncosJ2

[ Rešenje: ( ) ( )( ) Cxlncosxlnsin2x

J1 +−= ; ( ) ( )( ) Cxlncosxlnsin2x

J2 ++= ]

39. Izračunati integral ∫−

− dxx1

xxarccos2


[ Rešenje: ( ) Cx1xarccos21 22 +−+− ]

40. Izračunati integral ∫+

− dxx1

arctgxx2

[ Rešenje: ( ) ( ) Carctgx21

x1ln21 22 +−+ ]

41. Izračunati integral ∫ dxxctgx2sin

4

[ Rešenje: Cxcosxcos

1xcosln 2

24 +−+ ]

42. Izračunati integral ∫ ⋅ dxxctgx2sin 4

[ Rešenje: Cxsin

1xsinlnxsin 2

42 +−− ]

43. Izračunati integral ∫ dxx

xln3

[ Rešenje: Cx41

x2xln

22 +−− ]

44. Izračunati integral ∫ dxxln2

[ Rešenje: ( ) C2xln2xlnx 2 ++− ] 45. Izračunati integral ∫ dxxsinex

[ Rešenje: ( ) C2

xcosxsinex+

− ]

46. Izračunati integral ∫ dxxcosex

[ Rešenje: ( ) C2

xcosxsinex+

+ ]

47. Izračunati integral ( )∫ −⋅ dx1xlnx 2

[ Rešenje: ( ) ( ) Cx21

1xln1x21 222 +−−− ]

48. Izračunati integral ∫+−

⋅ dxx1x1lnx2

[ Rešenje: Cx31

x1ln31

x1x1ln

3x 22

3+−−−

+− ]

49. Izračunati integral ∫++

dx1xcos4xcos

xsin2

[ Rešenje: C1xcos4xcos2xcosln 2 +++++− ]

50. Izračunati integral ∫−− xlnxln41x

dx2

[ Rešenje: C5

xln2arcsin ++ ]


51. Izračunati integral dxx4x

8x2x93

2

∫−

−−

[ Rešenje: C2xln42xln3xln2 +++−+ ] IV.5 ODRE\ENI INTEGRALI

52. Izračunati površinu površi ograničene linijama y2 = 2x + 1 i y = x - 1.

[ Rešenje: 3

16P = ]

53. Izračunati površinu dela ravni ograničenog pravom y = x i parabolom y = 2 - x2.

[ Rešenje: P = 4,5 ] 54. Izračunati površinu dela ravni koji ograničavaju parabole 7x2 - 9y + 9 = 0 i

5x2 - 9y + 27 = 0.

[ Rešenje: P = 8 ] 55. Izračunati površinu površi ograničene linijama x2 + y2 = 4 i y2 = 3x ( )2x0 ≤≤ .

[ Rešenje: 3

34P +=

π ]

56. Izračunati duìnu luka krive ( )3x3xy −= , x ∈ [0, 3].

[ Rešenje: 32l = ]

57. Izračunati zapreminu tela odre|enog rotacijom luka y= sin2x, x ∈ [0, π] oko ose Ox.

[ Rešenje: 8

3V2π= ]

58. Izračunati zapreminu tela odre|enog rotacijom luka krive x1

1y 2+= , x ∈ [0,1] oko Ox ose.

[ Rešenje: 48

V2 ππ += ]

IV.6 KOMBINATORIKA

59. (a) Iz grupe od 7 muškaraca i 4 ène treba odabrati 6 osoba tako da me|u njima budu bar 2 ène.

Na koliko načina se to moè učiniti?

(b) Rešiti jednačinu 3:1V:V 1x5

x4 =−

[ Rešenje: (a) 371; (b) x = 10 ] 60. (a) Koliko ima različitih četvorocifrenih brojeva deqivih sa 5, zapisanih pomoću cifara 0, 1, 2, 3, 4,

5 ako se cifre ne ponavqaju, a koliko ako se cifre ponavqaju.


(b) Rešiti jednačinu V157

C 1x3

1x4x

++− =

[ Rešenje: (a) 108, 360; (b) x = 10 ] 61. (a) Odrediti broj prirodnih brojeva, većih od 10 000 koji se mogu formirati od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, tako da im cifre budu različite.

(b) Rešiti nejednačinu ( )( ) 90

1!1x3!1x3≥

+− , x ∈ N.

[ Rešenje: (a) 10 800; (b) x ∈ {1, 2, 3} ] 62. Dat je skup E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Odrediti sve različite prirodne brojeve veće od 1 000, koji se mogu

formirati od elemenata skupa E, tako da cifre budu različite.

[ Rešenje: 1 500 ] 63. Odrediti broj različitih prirodnih brojeva, manjih od 100 000 koji se mogu formirati od cifara 0, 1, 2,

3, 4, 5.

[ Rešenje: 7 775 ] 64. Dat je skup S = š0, 1, 2, 3, 4}.

(a) koliko se različitih petocifrenih prirodnih brojeva moè formirati od elemenata skupa S, tako da

se u njima cifre ne ponavqaju;

(b) koliko ima parnih brojeva odre|enih u zadatku pod (a)?

[ Rešenje: (a) 96; (b) 60 ] 65. Dat je skup S = š0, 1, 2, 3, 4, 5}.

(a) odrediti broj različitih šestocifrenih prirodnih brojeva moè formirati od elemenata skupa S;

(b) odrediti broj parnih prirodnih brojeva odre|enih u zadatku pod (a)?

[ Rešenje: (a) 600; (b) 312 ] 66. Koliko ima sedmocifrenih brojeva obrazovanih od cifara 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, ne uzimajući u obzir,

razume se, one koji počinju nulom (ili nulama)?

[ Rešenje: 90 ] IV.7 BINOMNA FORMULA

67. Za koju vrednost x u razvijenom obliku binoma

+

−2

12

1xx

n

je zbir trećeg i petog člana 135,

ako je zbir binomnih koeficijenata poslednja tri člana 22.

[ Rešenje: n = 6, x = -1 ∨ x = 2 ]

68. Odrediti za koje je x šesti član razvoja binoma ( ) ( )

+ −− 5 3log2x310 xlog

n

22 jednak 21, ako su

binomni koeficijenti drugog, trećeg i četvrtog člana razvoja redom prvi, treći i peti član aritmetičke

progresije.


[ Rešenje: n = 7, x = 0 ∨ x = 2 ]

69. U razlaganju binoma

−

aa

2aa 3

32

n

naći član koji ne sadrì a, ako je odnos binomnih

koeficijenata petog i trećeg člana 1 : 2.

[ Rešenje: B3 = 40 ]

70. Zbir binomnih koeficijenata drugog i trećeg člana u razvoju binoma

− 6

5 2n

x21

x jednak je 153.

Naći član koji ne sadrì x.

[ Rešenje: n = 17, k = 12, B13 = 17⋅91⋅2-10 ]

Documents

ZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ · PDF fileZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ MATEMATIKE (školska 2015/2016.godina) I R A Z R E D . I.1 P O L I N O M I 1. Neki polinom