of 20 /20
1 Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obruč i puni valjak imaju jednaku masu 2 kg i koturaju se jednakom brzinom 5 m / s. Nađi kinetičke energije obaju tijela. Rješenje 221 m = 2 kg, v = 5 m / s, Eko = ?, Ekv = ? Tijelo rotira kada se njegove čestice gibaju po kružnicama čija središta leže u istoj točki ili na istom pravcu. Između obodne v i kutne brzine ω neke čestice pri rotaciji vrijedi odnos . v r r ν ω ω = = Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju translacije: 1 2 2 . E mv k = Kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω je: 1 2 2 , E I kr ω = gdje je I moment ustrajnosti (tromosti) tijela. Moment tromosti obruča mase m i polumjera r s obzirom na os rotacije koja prolazi okomito na obruč njegovim središtem: . 2 I mr = Moment tromosti homogenog valjka mase m i polumjera osnovke (baze) r s obzirom na os rotacije koja je identična s osi valjka: 2 . 1 2 I mr = Ukupna kinetička energija obruča koji se kotrlja brzinom v jednaka je zbroju kinetičke energije translacije i kinetičke energije rotacije. 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I mr v v E mv I E mv mr o r k ko r ω ω = + = = = + 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v E mv r mr E mv m ko o r r k = + = + 2 1 1 2 2 2 2 5 50 . 2 2 m E mv mv E mv kg J ko ko s = + = = = Ukupna kinetička energija punog valjka koji se kotrlja brzinom v jednaka je zbroju kinetičke energije translacije i kinetičke energije rotacije. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 I mr v v E mv I E mv mr kv kv r r ω ω = + = + = = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 v v E mv r mr E mv m kv v r r k = + = + 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 4 E mv mv E mv E mv kv kv kv + = + = = =

Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

1

Zadatak 221 (Branko, strukovna škola)

Obruč i puni valjak imaju jednaku masu 2 kg i koturaju se jednakom brzinom 5 m / s. Nađi kinetičke energije obaju tijela.

Rješenje 221

m = 2 kg, v = 5 m / s, Eko = ?, Ekv = ?

Tijelo rotira kada se njegove čestice gibaju po kružnicama čija središta leže u istoj točki ili na istom

pravcu. Između obodne v i kutne brzine ω neke čestice pri rotaciji vrijedi odnos

.v

rr

ν ω ω= ⋅ ⇒ =

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju translacije:

1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω je:

1 2

2,E I

krω= ⋅ ⋅

gdje je I moment ustrajnosti (tromosti) tijela.

Moment tromosti obruča mase m i polumjera r s obzirom na os rotacije koja prolazi okomito na

obruč njegovim središtem:

.2

I m r= ⋅

Moment tromosti homogenog valjka mase m i polumjera osnovke (baze) r s obzirom na os rotacije

koja je identična s osi valjka:

2.

1

2I m r= ⋅ ⋅

Ukupna kinetička energija obruča koji se kotrlja brzinom v jednaka je zbroju kinetičke energije

translacije i kinetičke energije rotacije.

21 1 1 12 2 2 2

2 2

2

2 2

I m r

vv

E m v I E m v m ro

r

k ko rωω= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅

= ⋅

=⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 21 1 1 12 2 2

22 2 2 22

2v vE m v rm r E m v m

ko or r

k⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

21 12 2 2

2 5 50 .2 2

mE m v m v E m v kg J

ko ko s⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Ukupna kinetička energija punog valjka koji se kotrlja brzinom v jednaka je zbroju kinetičke energije

translacije i kinetičke energije rotacije.

21 1 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2

2I m r

v

vE m v I E m v m r

kv kv r

r

ω

ω

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⇒

⋅ ⋅

=

2 21 1 1 12 2 2

22 4 2 24

2v vE m v rm r E m v m

kv vr r

k⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

1 1 2 1 32 2 2 2

2 4 4 4E m v m v E m v E m v

kv kv kv

+⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =

Page 2: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

2

23

2 5 37.5 .4

mkg J

s= ⋅ ⋅ =

Vježba 221

Obruč i puni valjak imaju jednaku masu 200 dag i koturaju se jednakom brzinom 5 m / s. Nađi kinetičke energije obaju tijela.

Rezultat: 50 J, 37.5 J.

Zadatak 222 (Azra, medicinska škola)

Odredite kutnu brzinu za slučaj kazaljke na ručnom satu koja pokazuje broj sekundi u minuti.

. 0.01 . 0.10 . 3.14 . 6.28 . 60rad rad rad rad rad

A B C D Es s s s s

Rješenje 222

φ = 2 · π rad puni kut, t = 1 min = 60 s, ω = ?

Kutna brzina ω mjeri se u rad / s i određena je izrazom

.2 1

t t

ϕ ϕϕω ω

−∆= ⇒ =

∆ ∆

Obično se uzima

0 , ,1 2

t tϕ ϕ ϕ= = ∆ =

pa je

.t

ϕω =

20.10 .

60

rad rad

t s s

ϕ πω

⋅= = =

Odgovor je pod B.

Vježba 222

Odredite kutnu brzinu za slučaj kazaljke na satu koja pokazuje broj minuta u satu.

. 0.0017 . 0.12 . 3.14 . 0.013rad rad rad rad

A B C Ds s s s

Rezultat: A.

Zadatak 223 (Una, gimnazija)

Moment sile (zakretni moment) od 66 N · m djeluje na kotač čiji je moment tromosti (inercije)

175 kg · m2. Ako kotač u početku miruje koliko mu treba vremena da napravi jedan okret?

Rješenje 223

M = 66 N · m, I = 175 kg · m2, N = 1 broj okretaja, t = ?

Pri rotaciji konstantnom kutnom akceleracijom kut φ mijenja se u vremenu prema izrazu

1 20 2

,t tϕ ω α= ⋅ + ⋅ ⋅

gdje je ω0 početna kutna brzina. Ako je rotacija počela iz stanja mirovanja izraz glasi:

Page 3: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

3

2.

1

2tϕ α= ⋅ ⋅

Prijeđeni kut φ i ukupni broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

Tijelo će rotirati jednoliko ubrzano ako na nj djeluje stalni moment sile M, koji još zovemo zakretni

moment. Osnovni zakon rotacije pišemo:

.M

M II

α α= ⋅ ⇒ =

Računamo vrijeme potrebno za jedan okret.

1 21 12 2

222 2

22

M

IM

t Mt t NI

IN

N

α

ϕϕ α π

ϕ πϕ π

=

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

1 4 42 22/ /

22

2

M NI

M

I N It N t t

I M M

π ππ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

24 1 175

2 2 5.77 .66

N I N I kg mt t s

M M N m

π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 223

Moment sile (zakretni moment) od 132 N · m djeluje na kotač čiji je moment tromosti

(inercije) 350 kg · m2. Ako kotač u početku miruje koliko mu treba vremena da napravi jedan okret?

Rezultat: 5.77 s.

Zadatak 224 (Azra, medicinska škola)

Lopta se giba stalnom brzinom 4 m / s po kružnoj stazi polumjera 0.25 m. Odredite periodu

gibanja.

. 0.1 . 0.2 . 0.4 . 0.7 . 0.9A s B s C s D s E s

Rješenje 224

v = 4 m / s, r = 0.25 m, T = ?

Tijelo rotira kada se njegove čestice gibaju po kružnicama čija središta leže u istoj točki ili na istom

pravcu. Brzina točke udaljene r od središta vrtnje (rotacije) iznosi

2,

rv

T

π⋅ ⋅=

gdje je T perioda, trajanje jednog ophoda (okretaja) izraženo u sekundama.

2 2 2 2 0.250.4 .

4

/r r r m

v v T smT

T

T v v

s

π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = = =⋅

Odgovor je pod C.

Vježba 224

Lopta se giba stalnom brzinom 4 m / s po kružnoj stazi polumjera 25 cm. Odredite periodu

gibanja.

. 0.1 . 0.2 . 0.4 . 0.7 . 0.9A s B s C s D s E s

Rezultat: C.

Page 4: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

4

Zadatak 225 (Azra, medicinska škola)

Uteg mase 0.25 kg privezan je na nit duljine 0.5 m, koja kruži u horizontalnoj ravnini.

Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi.

Rješenje 225

m = 0.25 kg, r = 0.5 m, ν = 2 Hz, F = ?

Da bi se tijelo, mase m, gibalo po kružnici, polumjera r, potrebno je da na nj djeluje centripetalna sila:

2 24 ,F m rcp π ν= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

gdje je ν frekvencija (broj okreta u jedinici vremena). Centripetalna sila ima smjer prema središtu

kružnice. U sustavu koji se giba po kružnici pojavljuje se centrifugalna sila po iznosu jednaka

2 24 ,F m rcp π ν= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a u smjeru od središta kružnice.

Napetost niti je po iznosu jednaka centrifugalnoj sili.

212 2 2

4 0.25 4 0.5 2 19.74 .F F F m r kg m Ncf s

π ν π

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 225

Uteg mase 25 dag privezan je na nit duljine 5 dm, koja kruži u horizontalnoj ravnini.

Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi.

Rezultat: 19.74 N.

Zadatak 226 (Azra, medicinska škola)

Kojom najvećom brzinom može voziti automobil na zavoju horizontalne ceste polumjera 50 m

ako je faktor trenja između kotača i ceste 0.2? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 226

r = 50 m, µ = 0.2, g = 9.81 m / s2, v = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom). Pod djelovanjem težne

sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G težna sila, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome

mjestu na Zemlji jednaka.

Da bi se tijelo, mase m, gibalo po kružnici, polumjera r, potrebno je da na nj djeluje centripetalna sila:

,

2v

F mcpr

= ⋅

gdje je v obodna ili linearna brzina.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Tu je trenje sila koja prisiljava automobil da se kreće kružnom cestom.

2 2 2v v v

F F G m m g m m m gcptrr r r

µ µ µ= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

Page 5: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

5

22 2

/ /v

m m g v g r v g r v g rr

r

mµ µ µ µ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅ ⋅ =

0.2 9.81 50 9.90 .2

m mm

ss

= ⋅ ⋅ =

Vježba 226

Kojom najvećom brzinom može voziti automobil na zavoju horizontalne ceste polumjera

0.05 km ako je faktor trenja između kotača i ceste 0.2? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 9.90 m / s.

Zadatak 227 (Veky, gimnazija)

Motor postigne kutnu brzinu 2800 okr / min za 30 s. Odredite kutno ubrzanje, prijeđeni kut i

učinjeni broj okretaja.

Rješenje 227

n = 2800 okretaja, t = 1 min = 60 s, t1 = 30 s, α = ?, φ = ?, N = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega. Vrtnju

opisuje prijeđeni kut φ, kutna brzina ω, kutna akceleracija α.

Kutna brzina ω i broj okretaja n u vremenu t povezani su u formuli

2.

n

t

πω

⋅ ⋅=

Prijeđeni kut φ i ukupan broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

Za jednoliko promjenljivu vrtnju vrijede izrazi:

,1 2

22

, ,2

t tω α ω α ϕ ϕ α= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje je ω kutna brzina, α kutna akceleracija, t vrijeme vrtnje, φ prijeđeni kut.

Računamo kutno ubrzanje (akceleraciju) α.

1/

1 2 2 22 1 1

11

tn n n

t tnt

ttt t t

ω απ π π

α α απω

= ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =⋅ ⋅⋅

⋅=

2 28009.77 .

260 30

rad

s s s

π⋅ ⋅= =

Računamo prijeđeni kut φ.

1.inačica

( )1 1 22

9.77 30 4396.5 .9.77

2

301

1 22 2

radt s r

rad

s

t s

ad

s

ϕα

α=

= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅

=

=

2.inačica

2 2 22 2

2 22

2

nn n

tt t

πω π π

α ϕ α ϕ

ω α ϕ

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒

= ⋅ ⋅

Page 6: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

6

2 22 1 2

9.772

1/ 2802 0

2260

ra

ns

nn

t

d

t st

π π

α

ϕ ϕα

αα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⇒

=

⋅ = ⋅⋅

=⋅

=

=

=

21 2 2800

4399.96 .60

2 9.772

radrad

rad s

s

π⋅ ⋅= ⋅ =

Razlika se javlja zbog zaokruživanja!

Računamo učinjeni broj okretaja N.

2 21

22

/2

N N N Nϕ

ϕ π π ϕ π ϕππ

⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = =⋅

[ ]4396.54396.5

700 .2

radokretajrad a

πϕ == = ≈

Vježba 227

Motor postigne kutnu brzinu 2800 okr / min za pola minute. Odredite kutno ubrzanje.

Rezultat: 9.77 .2

rad

s

Zadatak 228 (Veky, gimnazija)

Elektromotor kutne brzine 2400 okr / min zaustavi se učinivši 4500 okretaja. Koliko je trajalo

zaustavljanje i koliko je kutno usporenje?

Rješenje 228

n = 2400 okretaja, t = 1 min = 60 s, N = 4500 okretaja, t1 = ?, α = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega. Vrtnju

opisuje prijeđeni kut φ, kutna brzina ω, kutna akceleracija α.

Kutna brzina ω i broj okretaja n u vremenu t povezani su u formuli

2.

n

t

πω

⋅ ⋅=

Prijeđeni kut φ i ukupan broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

Za jednoliko promjenljivu vrtnju vrijede izrazi:

, ,1

2t tϕ ω ω α= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje je ω kutna brzina, α kutna akceleracija, t vrijeme vrtnje, φ prijeđeni kut.

Računamo vrijeme zaustavljanja t1.

2

1 2 1 2

21 1 1 1212

2 2 22

n

tn n n

t t tt t t t

N N NN

πω

π π πϕ ϕ ϕ

ϕ ω

ω π ω π ω πϕ π

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

Page 7: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

7

/2

2 21 1 1

n n N tt N t N t

t t n

t

n

π ππ π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =⋅

⋅⋅ ⋅ =

2 4500 60225 .

2 400

ss

⋅ ⋅= =

Računamo kutno usporenje α. (formule su analogne kao i za ubrzavanje)

1/

1 2 2 22 1 1

11

tn n n

t tnt

ttt t t

ω απ π π

α α απω

= ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =⋅ ⋅⋅

⋅=

2 2 4001.12 .

2

2 400

60

26

251

0 225

rad

s s s

n

t s

t s

π=

=

=

⋅ ⋅= = =

Vježba 228

Elektromotor kutne brzine 4800 okr / min zaustavi se učinivši 9000 okretaja. Koliko je trajalo

zaustavljanje?

Rezultat: 225 s.

Zadatak 229 (Veky, gimnazija)

Kutna brzina ventilatora poveća se sa 250 okr / min na 750 okr / min za 50 s. Odredite kutno

ubrzanje i učinjeni broj okretaja.

Rješenje 229

n1 = 250 okretaja, t1 = 1 min = 60 s, n2 = 750 okretaja, t2 = 1 min = 60 s,

t = 50 s, α = ?, N = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega. Vrtnju

opisuje prijeđeni kut φ, kutna brzina ω, kutna akceleracija α.

Kutna brzina ω i broj okretaja n u vremenu t povezani su u formuli

2.

n

t

πω

⋅ ⋅=

Prijeđeni kut φ i ukupan broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

Za jednoliko promjenljivu vrtnju s početnom kutnom brzinom ω0 vrijede izrazi:

( ),1

0 02,t tω ω α ϕ ω ω= + ⋅ = ⋅ + ⋅

gdje je ω konačna kutna brzina nakon vremena t, α kutna akceleracija, t vrijeme vrtnje, φ prijeđeni kut

nakon vremena t.

Računamo kutno ubrzanje (akceleraciju) α.

2 1 1 2 2 1 2

1/

1t t t t

tω ω α ω α ω α ω ω α ω ω= + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = − ⋅− ⋅ ⇒

22

22

21

11

2 212 1 2 1

2 1

n

t

n

t

n n

t t t t

ω ω π

πω

πα

πω

α− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅

⋅ ⋅=

⇒⋅ ⋅

=

Page 8: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

8

2 2 750 2502 1 1.047 .250 60 60

2 1

n n rad

t t t s s s s

π πα

⋅ ⋅⇒ = ⋅ − = ⋅ − =

Računamo učinjeni broj okretaja N.

( )( ) ( )

21 1

2 21 1 2 1 222

21

1/

22

N

N t N tt π

ϕ π

π ω ω π ω ωϕ ω ω

= ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒= ⋅ + ⋅

⋅⋅

( )2

21

11

22

21 1 1 21 2 4

22

41

2

n

n nN t N t

t

t

n

t

t

π πω ω

πω

πω

π π

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

⋅ ⋅=

1 11 2 1 224

1 2 1

2

24

n n n nN t N t

t t t tπ

ππ

π⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

⋅ ⋅

1 1 250 7501 2 50 416.7 .2 2 60 60

1 2

n nN t s okretaja

t t s s⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Vježba 229

Kutna brzina ventilatora poveća se sa 500 okr / min na 1500 okr / min za 100 s. Odredite

kutno ubrzanje.

Rezultat: 1.047 .2

rad

s

Zadatak 230 (Veky, gimnazija)

Kotač zamašnjak motora izvrši rad od 392.4 J za vrijeme dok mu kutna brzina padne od 600

na 580 okretaja u minuti. Koliki je moment tromosti kotača?

Rješenje 230

W = 392.4 J, n1 = 600 okretaja, n2 = 580 okretaja, t = 1 min = 60 s, I = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega. Vrtnju

opisuje prijeđeni kut φ, kutna brzina ω, kutna akceleracija α.

Kutna brzina ω i broj okretaja n u vremenu t povezani su u formuli

2.

n

t

πω

⋅ ⋅=

Kinetička je energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω

1 2

2,E I

kω= ⋅ ⋅

gdje je I moment tromosti tijela.

Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.

Rad koji kotač zamašnjak izvrši u vremenskom intervalu u kojem mu kutna brzina padne od ω1 na ω2

jednak je razlici kinetičke energije rotacije pri tim kutnim brzinama.

( )1 1 12 2 2 21 2 1 21 2 2 2 2

W E E W I I W Ik k

ω ω ω ω= − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒

( ) ( )1 1 22 2 2 2 2/

1 2 1 2 2 22 21

22

21 2

WI W I W Iω ω ω ω

ωω ω ω⋅

⋅⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ ⋅ =

− ⇒ = ⇒−

Page 9: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

9

2

2 22 2

1

2

22

11

22

WI

n n

t

n

n

t t

t

πω

π π πω

⋅⇒ ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅−

( ) ( )

22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 42 21 2 1 2

1 222 2

W W W tI I I

n n n nn n

tt t

π π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ −−

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 22

1 2

2

41 2

W t W tI I

n n n nπ π

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

( )

( )

2392.4 60 2

3.03 .2 2 2

2 600 580

J skg m

π

⋅= = ⋅

⋅ ⋅ −

Vježba 230

Kotač zamašnjak motora izvrši rad od 0.3924 kJ za vrijeme dok mu kutna brzina padne od 600

na 580 okretaja u minuti. Koliki je moment tromosti kotača?

Rezultat: 2

3.03 .kg m⋅

Zadatak 231 (Ivana, gimnazija)

Osovina motora vrti se stalnom kutnom brzinom od 6000 okretaja u minuti. U jednom

trenutku počinje jednoliko kočenje i kutna brzina osovine smanji se na 4800 okretaja u minuti za

vrijeme od 4 sekunde. Koliko okretaja načini osovina do zaustavljanja?

Rješenje 231

n0 = 6000 okretaja, t0 = 1 min = 60 s, n1 = 4800 okretaja, t1 = 1 min = 60 s,

t = 4 s, N = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega. Vrtnju

opisuje prijeđeni kut φ, kutna brzina ω, kutna akceleracija α.

Kutna brzina ω i broj okretaja n u vremenu t povezani su u formuli

2.

n

t

πω

⋅ ⋅=

Prijeđeni kut φ i ukupan broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

Trenutačna kutna brzina ω kod jednoliko usporene vrtnje (rotacije) dana je izrazom

0,tω ω α= − ⋅

gdje je ω0 početna kutna brzina, α kutna akceleracija, t vrijeme vrtnje (rotacije).

Osovina motora počinje jednoliko usporavati pa njezina kutna akceleracija iznosi:

0 11 0 0 1

1/

0 1t t t

tt

ω ωω ω α α ω ω α ω ω α

−= − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= − ⇒

Page 10: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

10

2 21 20 01

20

00

21

1

1

0 1 0 1

1

n

n

t nn n

t t t t

t

tn t

π π πα

πω

πα

ω

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − =

2 6 000 480031.42 .

24 60 60

rad

s s s s

π⋅= ⋅ − =

Odredimo prijeđeni kut φ osovine do zaustavljanja.

osovina se zausta2 2 2 22 0 2 2

0 0 0

vi

0ω ω α

ωϕ ω α ϕ α ϕ ω

== − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒

1/

2

22 02 .

0 2

ωα ω ϕ

ααϕ ⋅

⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

Broj okretaja N osovine do zaustavljanja je:

1/

2 2 2 20 0 02 2 2

0 2 2 42

2

N

N N N

ϕ πω ω ω

π πωα α π αϕ π

α

= ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

221 0

40 0

20

0

n

t

nN

t

π

π α

πω

⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ =

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

21 2 6 000

1000

31.4

.60

22

6 0000

4 316

.40

220

rad

s

n okretajar d

t s

a s

s

α

π

π

⋅ ⋅= = ⋅ ≈

=

=

=⋅

Vježba 231

Osovina motora vrti se stalnom kutnom brzinom od 3000 okretaja u pola minute. U jednom

trenutku počinje jednoliko kočenje i kutna brzina osovine smanji se na 4800 okretaja u minuti za

vrijeme od 4 sekunde. Koliko okretaja načini osovina do zaustavljanja?

Rezultat: 1000.

Zadatak 232 (Frenky, srednja škola)

Kružna ploča promjera 5 m zakrene se za 90° u 2 s. Kolika je obodna brzina tijela koje se

nalazi na rubu ploče?

Rješenje 232

2 · r = 5 m, α = 90°, t = 2 s, v = ?

Perioda T je vrijeme jednog ophoda, okretaja.

Kada kruto tijelo rotira oko čvrste osi, sve se njegove čestice gibaju po koncentričnim kružnicama

(koncentrične kružnice imaju zajedničko središte). Obodna (linearna) brzina iznosi:

v ,2 r

T

π⋅ ⋅=

gdje je r polumjer kružnice, T perioda (ophodno vrijeme, vrijeme jednog okreta).

.0

1 2 360okret radπ= =

Page 11: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

11

Budući da se kružna ploča zakrene za 90° u 2 s, za jedan okretaj (kut od 360°) trebat će joj

( )360 : 90 4 4 4 2 8T t s s= ⇒ = ⋅ = ⋅ =� �

pa obodna brzina iznosi:

2 5v 1.96 .

8

r m m

T s s

π π⋅ ⋅ ⋅= = =

r

360°°°°

90°°°°

A

Vježba 232

Kružna ploča promjera 10 m zakrene se za 90° u 4 s. Kolika je obodna brzina tijela koje se

nalazi na rubu ploče?

Rezultat: 1.96 .m

s

Zadatak 233 (Mario, gimnazija)

Dva tijela jednakih masa gibaju se po kružnim stazama polumjera r1 i r2 jednakim kutnim

brzinama. Koja je od navedenih veličina jednaka za ta dva tijela?

. centripetalna sila . obodna brzinaA B

. centripetalno ubrzanje . frekvencijaC D

Rješenje 233

m1 = m2, r1, r2, ω1 = ω2

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega.

Kutna brzina ω i broj okretaja po sekundi ν (frekvencija) povezani su u formuli:

2 .ω π ν= ⋅ ⋅

Iz uvjeta zadatka slijedi:

2 2 2 2 .1 2 1 2

1/

2 1 221ω ω π ν π ν π ν π ν ν ν

π= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒⋅

⋅= ⋅ ⋅ =

Odgovor je pod D.

Page 12: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

12

Vježba 233

Dva tijela različitih masa gibaju se po kružnim stazama polumjera r1 i r2 jednakim kutnim

brzinama. Koja je od navedenih veličina jednaka za ta dva tijela?

. centripetalna sila . obodna brzinaA B

. centripetalno ubrzanje . frekvencijaC D

Rezultat: D.

Zadatak 234 (Helena, gimnazija)

Kotač zamašnjak motora obavi rad 392.4 J za vrijeme dok mu kutna brzina padne od 600 na

580 okretaja u minuti. Koliki je moment tromosti kotača?

Rješenje 234

W = 392.4 J, n1 = 600, n2 = 580, t = 1 min = 60 s, I = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega.

Kutna brzina ω i broj okretaja po minuti n povezani su u formuli:

0.

2

6

nπω

⋅ ⋅=

Kinetička je energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω:

1 2

2,E I

kω= ⋅ ⋅

gdje je I moment tromosti tijela.

Računamo kutne brzine pri n1 i n2 okretaja:

• prva kutna brzina

2 2 6001 62.831 60

n rad

t s s

π πω

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

• druga kutna brzina

2 2 5802 60.74 .2 60

n rad

t s s

π πω

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Rad koji obavi kotač zamašnjak u vremenskom intervalu u kojem mu kutna brzina padne od ω1 na ω2

jednak je razlici energija rotacije pri tim kutnim brzinama.

( )1 1 12 2 2 21 2 1 21 2 2 2 2

W E E W I I W Ik k

ω ω ω ω= − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒

( ) ( )1 1 22 2 2 2 2/

1 2 1 2 2 22 21

22

21 2

WI W I W Iω ω ω ω

ωω ω ω⋅

⋅⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ ⋅ =

−− ⇒ = =

2 392.4 23.04 .

2 2

62.83 60.74

Jkg m

rad rad

s s

⋅= = ⋅

Vježba 234

Kotač zamašnjak motora obavi rad 392.4 J za vrijeme dok mu kutna brzina padne od 300 na

290 okretaja u pola minute. Koliki je moment tromosti kotača?

Rezultat: 3.04 kg · m2.

Zadatak 235 (Branko, srednja škola)

Kotač se giba jednoliko usporeno. Koliko okretaja načini tijekom jedne minute ako mu se

frekvencija okretanja u tom razdoblju smanji od početne vrijednosti 5 Hz na vrijednost 3 Hz?

Page 13: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

13

Rješenje 235

t = 1 min = 60 s, ν1 = 5 Hz, ν2 = 3 Hz, N = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega.

Kutna brzina ω i broj okretaja po sekundi ν povezani su u formuli:

2 .ω π ν= ⋅ ⋅

Za opisani kut φ kod jednoliko usporene rotacije s početnom kutnom brzinom ω0 i konačnom ω vrijedi

formula

( ) .1

2tϕ ω ω= ⋅ + ⋅

Prijeđeni kut φ i ukupni broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

( )

( ) ( )

21

2 1 12 2 2 2

1 2 1 22 212 2

2

2

t t

t N N

N

ω π ν

ω π νϕ π ν π ν ϕ π ν ν

ϕ ω ω ϕ π ϕ π

ϕ π

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ ⇒= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )1

1 21 2 21 2

22

22

ttt N

NN

ϕ π ν νϕ π ν νπ ν ν π

ϕ πϕ π

= ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

( ) ( )( )1 2

2 21 2

1

2/

21 2

tN t N t N

ν νπ π ν ν π π ν

πν

+ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =⋅

⋅=

1 15 3 60

240.2

ss s

+ ⋅

= =

Vježba 235

Kotač se giba jednoliko usporeno. Koliko okretaja načini tijekom jedne minute ako mu se

frekvencija okretanja u tom razdoblju smanji od početne vrijednosti 6 Hz na vrijednost 2 Hz?

Rezultat: 240.

Zadatak 236 (Branko, srednja škola)

Gramofonska ploča okreće se 33 puta u minuti, a treba joj 20 s da se zaustavi nakon

isključenja gramofona. Koliko okreta napravi ploča prije negoli se zaustavi? (Pretpostavite jednoliko

usporeno gibanje)

Rješenje 236

n = 33, t = 1 min = 60 s, t1 = 20 s, N = ?

Vrtnja (rotacija) je gibanje tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz tijelo ili leži izvan njega.

Frekvencija je broj okretaja u sekundi, a računa se po formuli

,n

tν =

gdje je n broj okretaja, t vrijeme.

Kutna brzina ω i broj okretaja po sekundi ν povezani su u formuli:

2.2

n

t

πω π ν ω

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =

Za opisani kut φ kod jednoliko usporene (ubrzane) rotacije s početnom kutnom brzinom ω0 vrijedi

Page 14: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

14

formula

2.

1tϕ ω= ⋅ ⋅�

Prijeđeni kut φ i ukupni broj okretaja N povezani su formulom

2 .Nϕ π= ⋅ ⋅

2

1 2 11 1 1 1212

2 2 2

2

2

2

n

tn n n

t t tt t t t

N N NN

πω

π π πϕ ϕ ϕ

ϕ ω

ϕ π ϕ π ϕ πϕ π

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

2 2 21 1

1/

21

n n nt N N t N t

t t t

π π ππ π π

π

⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⇒

33 201 5.5.2 2 60

n t sN

t s

⋅ ⋅⇒ = = =

⋅ ⋅

Vježba 236

Gramofonska ploča okreće se 66 puta u minuti, a treba joj 10 s da se zaustavi nakon

isključenja gramofona. Koliko okreta napravi ploča prije negoli se zaustavi? (Pretpostavite jednoliko

usporeno gibanje)

Rezultat: 5.5.

Zadatak 237 (Mario, srednja škola)

Homogeni štap duljine 60 cm može rotirati oko horizontalne osi u vertikalnoj ravnini (crtež).

Kolikom najmanjom brzinom treba gurnuti donji kraj štapa da bi on učinio puni okret oko osi?

Moment tromosti štapa mase m i duljine d s obzirom na os rotacije iznosi 1 2

.3

I m d= ⋅ ⋅ (ubrzanje

slobodnog pada g = 10 m / s2)

v

Page 15: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

15

Rješenje 237

d = 60 cm = 0.6 m, 1 2

,3

I m d= ⋅ ⋅ g = 10 m / s2, v = ?

Tijelo rotira kada se njegove čestice gibaju po kružnicama čija središta leže u istoj točki ili na istom

pravcu. Između obodne v i kutne brzine ω neke čestice pri rotaciji vrijedi odnos

,rν ω= ⋅

gdje je r polumjer kružne staze.

Kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω je:

1 2

2,E I

krω= ⋅ ⋅

gdje je I moment ustrajnosti (tromosti) tijela.

Potencijalna energija je energija međudjelovanja tijela. Ona ovisi o međusobnom položaju tijela ili o

međusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu

energiju

,E m g hgp = ⋅ ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema

dogovoru tijelo imalo energiju nula.

Zakon očuvanja energije:

• Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi.

• Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu.

• Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije.

d

2

d

2

v

d

d

v

Središte mase homogenog štapa udaljeno je 2

d od osi rotacije pa kada on dođe iz najnižeg u najviši

položaj središte mase podigne se za visinu d. Promjena gravitacijske potencijalne energije iznosi

.E m g dgp∆ = ⋅ ⋅

Zbog zakona očuvanja energije kinetička energija rotacije Ek mora biti jednaka promjeni gravitacijske

potencijalne energije ∆Egp.

1 21 1 12 2 2

2 2 33I m dE E I m g d m d m g dgpk

ω ω= ∆ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ ⋅

( ) [ ]1 12 2

6 6m d m g d m v g dd mv ωω =⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒

Page 16: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

16

1 2 2 2/6

6/ 6

6m v m g d v g d v g

md⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⇒

6 6 10 0.6 6 .2

m mv g d m

ss

⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 237

Homogeni štap duljine 6 dm može rotirati oko horizontalne osi u vertikalnoj ravnini (crtež).

Kolikom najmanjom brzinom treba gurnuti donji kraj štapa da bi on učinio puni okret oko osi?

Moment tromosti štapa mase m i duljine d s obzirom na os rotacije iznosi 1 2

.3

I m d= ⋅ ⋅ (ubrzanje

slobodnog pada g = 10 m / s2)

Rezultat: 6 m / s.

Zadatak 238 (Johnny, tehnička škola)

Od tanke žice načinjeno je tijelo mase 120 g u obliku jednakostraničnog trokuta sa stranicama

duljine 60 cm. Trokut je oslonjen na oštar brid jednim kutom. Izračunajte moment tromosti oko

vodoravne osi koja prolazi osloncem i okomita je na ravninu trokuta.

Rješenje 238

M = 120 g = 0.12 kg, l = 60 cm = 0.6 m, I = ?

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Na osnovi odnosa među duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakostraničnog trokuta duljine sve tri stranica su jednake.

Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta.

Visina jednakostraničnog trokuta duljine stranice a računa se po formuli

3.

2

av

⋅=

v

a a

a

Moment tromosti materijalne točke mase m na udaljenosti r od osi rotacije:

.2

I m r= ⋅

Moment tromosti štapa duljine l s obzirom na os koja prolazi krajem štapa i okomita je na njegovu

duljinu

2,

1

3I m l= ⋅ ⋅

Page 17: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

17

gdje je m masa štapa, l duljina štapa.

Moment tromosti štapa duljine l s obzirom na os koja prolazi njegovom sredinom i okomita je na

njegovu duljinu

2,

1

3I m l= ⋅ ⋅

gdje je m masa štapa, l duljina štapa.

Steinerov teorem (teorem o usporednim osima)

Ako je I0 moment tromosti u odnosu na os koja prolazi središtem mase tijela (težištem), tada je

moment tromosti u odnosu na os usporednu toj osi, a udaljenu od nje za d:

2.I I m d= + ⋅

Trokut je jednakostraničan pa svaka stranica ima masu

1 10.12 0.04 .

3 3m M kg kg= ⋅ = ⋅ =

1

y

l l

l

Moment tromosti stranice 1 oko osi y (izlazi okomito na ravninu slike) iznosi

1 2.

1 3I m l= ⋅ ⋅

2

y

l l

l

Moment tromosti stranice 2 oko osi y (izlazi okomito na ravninu slike) iznosi

1 2.

2 3I m l= ⋅ ⋅

Page 18: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

18

težište

l ⋅⋅⋅⋅ 3

2

3

y

l l

l

Moment tromosti stranice 3 oko osi y (izlazi okomito na ravninu slike) uz primjenu poučka o

usporednim osima iznosi

231 2

.3 12 2

lI m l m

⋅= ⋅ ⋅ + ⋅

Ukupni moment tromosti iznosi

231 1 12 2 2

1 2 3 3 3 12 2

lI I I I I m l m l m l m

⋅= + + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

22 1 3 2 1 32 2 2

3 12 4 3 12 4

lI m l m l m I m l

⋅⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + + ⇒

8 1 9 18 32 2 2 2

12 1

1

2

8

12 2I m l I m l I m l I m l

+ +⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =

( )3 2 2 2

0.04 0.6 0.0216 21.6 .2

kg m kg m g m= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Vježba 238

Od tanke žice načinjeno je tijelo mase 12 dag u obliku jednakostraničnog trokuta sa

stranicama duljine 6 dm. Trokut je oslonjen na oštar brid jednim kutom. Izračunajte moment tromosti

oko vodoravne osi koja prolazi osloncem i okomita je na ravninu trokuta.

Rezultat: 2

21.6 .g m⋅

Zadatak 239 (Teslla, tehnička škola)

Drvena greda mase 40 kg i duljine 2 m obješena je 45 cm daleko od jednoga svojeg kraja.

Kolikom će silom drugi kraj pritiskati na našu ruku ako gredu držimo u horizontalnom položaju?

(ubrzanje slobodnog pada g = 10 m / s2)

Rješenje 239

m = 40 kg, l = 2 m, d = 45 cm = 0.45 m, g = 10 m / s2, F = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovu poučku

,G m g= ⋅

Page 19: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

19

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Moment M sile F u odnosu prema osi rotacije jest umnožak sile F i udaljenosti r pravca sile od te osi:

.M F r= ⋅

Težište tijela je točka sjecišta vertikala (težišnica) kroz dva ili više objesišta.

Algebarski zbroj momenata svih sila koje djeluju na tijelo mora biti jednak nuli. Pritom moment sile

obično uzimamo pozitivnim ako sila (ili rezultanta sila) nastoji zakrenuti tijelo u smislu vrtnje

kazaljke na satu, i obratno, ako sila nastoji (ili rezultanta sila) zakrenuti tijelo, obrnuto od kazaljke na

satu, moment sile je negativan. Tijelo je u ravnoteži ako je zbroj momenata sila koje ga zakreću u

jednom smjeru jednak zbroju momenata sila koje ga zakreću u suprotnom smjeru.

Za jednostranu polugu (slika) vrijedi:

O

F2

F1

r2

r1

1 2.

1 2r F r F⋅ = ⋅

Na gredu djeluju dvije sile: sila teža G s hvatištem u težištu T koje se nalazi na polovini duljine cijele

grede i sila F kojom držimo gredu u horizontalnom položaju.

r2

T

O

d F

G

l

2r1

l

11 12 1 2 1

2

2/

22

r Gr F r G r F r G F

r

lr d

rr l d

⋅ = −⋅

= −

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒

20.45 40 10

222141.94 .

2 0.45

m mlm kgd m g

sF Nl d m m

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅

⇒ = = =− −

Vježba 239

Drvena greda mase 40 kg i duljine 20 dm obješena je 4.5 dm daleko od jednoga svojeg kraja.

Kolikom će silom drugi kraj pritiskati na našu ruku ako gredu držimo u horizontalnom položaju?

(ubrzanje slobodnog pada g = 10 m / s2)

Rezultat: 141.94 N.

Page 20: Zadatak 221 (Branko, strukovna škola) Obru č đ č đ ω č ω č · Odredite napetost niti ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi. Rješenje 225 m = 0.25 kg, r = 0.5 m,

20

Zadatak 240 (Lucka, medicinska škola)

Polumjer Zemljine staze oko Sunca je 390 puta veći od polumjera Mjesečeve staze oko

Zemlje. Mjesec obiđe Zemlju približno 13 puta u godini dana. Koliki je omjer brzine kruženja Zemlje

oko Sunca (vz) i brzine kruženja Mjeseca oko Zemlje (vm)?

. : 1 : 13 . : 13 : 1 . : 1 : 30 . : 30 : 1A v v B v v C v v D v vz m z m z m z m= = = =

Rješenje 240

R = 390 · r, R – polumjer Zemljine staze oko Sunca, r – polumjer Mjesečeve staze oko

Zemlje, Tz = 13 · Tm, Tz – perioda Zemlje, Tm – perioda Mjeseca, vz : vm = ?

Perioda T je vrijeme jednog ophoda, okretaja.

Kada kruto tijelo rotira oko čvrste osi, sve se njegove čestice gibaju po koncentričnim kružnicama

(koncentrične kružnice imaju zajedničko središte). Obodna (linearna) brzina iznosi:

v ,2 r

T

π⋅ ⋅=

gdje je r polumjer kružnice, T perioda (ophodno vrijeme, vrijeme jednog okreta).

r

R

Mjesec

Zemlja

Sunce

2

podijelimo

2jedna

2 2v

v v v

22 v v vdžbv

e

R R R Rz

T T T Tz z z z z z zr r rr m m m

m T T TT m m mm

π π

ππ

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

390 390v v v v v39 390

1

0

v v 13 v 13 v 13 v 3

R T r Tm mz z z z z

r T r Tzm m m m m m

r Tm

r Tm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

v 30v : v 30 :1.

v 1

zz m

m⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod D.

Vježba 240

Polumjer Zemljine staze oko Sunca je 390 puta veći od polumjera Mjesečeve staze oko

Zemlje. Mjesec obiđe Zemlju približno 13 puta u godini dana. Koliki je omjer brzine kruženja

Mjeseca oko Zemlje (vm) i brzine kruženja Zemlje oko Sunca (vz)?

. : 1 : 13 . : 13 : 1 . : 1 : 30 . : 30 : 1A v v B v v C v v D v vm z m z m z m z= = = =

Rezultat: C.