1

Zadatak 241 (Amira, gimnazija)

Dvije jednake kuglice, svaka mase 30 mg, vise u zraku na tankim nitima duljine 1 m. Niti

slobodnim krajevima objesimo na istu točku i kuglice ostanu međusobno udaljene 7.5 cm. Odredite

naboj na kuglicama (pod pretpostavkom da su međusobno jednaki). (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 241

m1 = m2 = m = 30 mg = 3 · 10-5 kg, l = 1 m, a = 7.5 cm = 0.075 m, g = 9.81 m / s2,

Q1 = Q2 = Q = ?

Električna sila između dvaju točkastih naboja (Coulombov zakon) dana je relacijom:

1 ,22

Q QF k

r

⋅= ⋅

gdje su Q1 i Q2 naboji, r njihova međusobna udaljenost, k konstanta u vakuumu (a praktično i u zraku).

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovu poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

2

a

2

a

2

a

hl

QQ

F

ED

C

BA

G

F

Sa slike vidi se:

2 22 2

, , ,2 2 4

a a aAF a AB AC l BC h l l= = = = = − = −

,DE F AE G= =

a

2

a

2

a

hl

QQ

F

ED

C

BA

G

F

Iz sličnosti pravokutnih trokuta ∆DEA i ∆ABC slijedi razmjer:

22

: : : : : :2 2 4

a a aDE AE AB BC F G h F G l= ⇒ = ⇒ = − ⇒

3

2 2 22 2 2

4 2 4 2 4 2

a a a a a m g aF l G F l m g F l

⋅ ⋅⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − = ⇒

22

.24

1/

22

2

244

2

a m g a m g aF l F

aal l

⋅

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ − = ⇒ =

⋅ −

Budući da je F Coulombova sila, slijedi:

21 2

2 22

2 222 2 22 2

2 424 4

Q Q QF k F k

a aQ m g a

km g a m g aF F a a

la al l

⋅= ⋅ = ⋅

⋅ ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ −

⋅ − ⋅ −

2 32

2 2 22 2

2

2

/

24 4

aQ m g a m g ak Q

a a al k l

k

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅⋅ = ⇒ = ⇒

⋅ − ⋅ ⋅ −

/

3 32

2 22 2

2 24 4

m g a m g aQ Q

a ak l k l

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

( )

( )( )

353 10 9.81 0.075

2 92.63 10 .

220.07529

2 9 10 12 4

mkg m

s C

mN mm

C

−⋅ ⋅ ⋅

−= = ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ −

Vježba 241

Dvije jednake kuglice, svaka mase 30 mg, vise u zraku na tankim nitima duljine 10 dm. Niti

slobodnim krajevima objesimo na istu točku i kuglice ostanu međusobno udaljene 75 mm. Odredite

naboj na kuglicama (pod pretpostavkom da su međusobno jednaki). (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 2.63 · 10-9 C.

Zadatak 242 (Amra, gimnazija)

Dvije metalne kuglice postavljene su na udaljenosti 1 m jedna od druge. Jedna kuglica ima

višak dvije milijarde elektrona, a druga manjak tri milijarde. Kolikom silom će kuglice djelovati jedna

na drugu, ako ih stavimo u mlijeko, εr = 66? (elementarni naboj e = 1.602 · 10-19 C)

Rješenje 242

r = 1 m, n1 = 2 · 109, n2 = 3 · 109, εr = 66, e = 1.602 · 10-19 C, F = ?

Coulombov zakon

Električna sila između dvaju točkastih naboja (Coulombov zakon) u vakuumu dana je relacijom:

1 ,22

Q QF k

r

⋅= ⋅

gdje su Q1 i Q2 naboji, r njihova međusobna udaljenost, konstanta k za vakuum

4

29

8.99 102

.N m

k

C

⋅= ⋅

U sredstvu relativne permitivnosti εr Coulombov zakon glasi

1 22

,Q Qk

F

r rε

⋅= ⋅

gdje je εr relativna permitivnost (relativna dielektrična konstanta) koja ovisi o sredstvu u kojem se

nalaze naboji. To je broj bez dimenzije koji pokazuje koliko puta je manja sila F ako se naboji nalaze u

sredstvu od one u vakuumu.

Elektron je negativno nabijena subatomska (izgrađuje atom) čestica. Elektroni se nalaze u

elektronskom omotaču atoma. Naboj jedne čestice elektrona iznosi – 1.602 · 10-19 C.

Proton je subatomska (izgrađuje atom) nukleonska (sastavni dio jezgre atoma) pozitivna čestica,

naboja + 1.602 · 10-19 C.

Električni naboj elektrona i protona ima isti iznos: 1.602 · 10-19 C. To je najmanja količina

naboja koju su fizičari dosad otkrili pokusima i zove se elementarni naboj. Utvrđeno je da se električni

naboji javljaju samo u cjelobrojnim višekratnicima tog elementarnog naboja. Kažemo da je naboj

kvantiziran, sastavljen od osnovnih kvanata elektriciteta

,Q n e= ⋅

gdje je n cijeli broj, e elementarni naboj.

Električni naboj jedna je od osnovnih osobina elementarnih čestica. Jedinica za električni naboj je

coulomb (C). Najmanja količina električnog naboja, elementarni naboj, iznosi:

191.602 .10e C

−= ⋅

Dakle, ukupni naboj bilo kojeg tijela jednak je cijelom broju pomnoženome s elementarnim nabojem.

Prva kuglica ima višak n1 elektrona. Njezin je naboj negativan.

( ) .1 1 1 1

Q n e Q n e= ⋅ − ⇒ = − ⋅

Druga kuglica ima manjak n2 elektrona. Njezin je naboj pozitivan.

( ) .2 2 2 2

Q n e Q n e= ⋅ + ⇒ = ⋅

Sila kojom kuglice međusobno djeluju iznosi:

2 21 2 1 2 1 2

1 22 2 2

Q Q n e n e n n ek k k k eF F F F n n

rr r r rr r rε ε ε ε

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ =

29 29 10 192 1.602 109 9 11

2 10 3 10 2.10 10 .66 1

N m

CC Nm

⋅⋅ −

⋅ −= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅

Predznak sile je minus (–) jer je negativna, tj. privlačna.

Vježba 242

Dvije metalne kuglice postavljene su na udaljenosti 10 dm jedna od druge. Jedna kuglica ima

manjak dvije milijarde elektrona, a druga višak tri milijarde. Kolikom silom će kuglice djelovati jedna

na drugu, ako ih stavimo u mlijeko, εr = 66? (elementarni naboj e = 1.602 · 10-19 C)

Rezultat: 11

2.10 10 .N−

− ⋅

Zadatak 243 (Asterix, gimnazija)

Naboj 9 nC u glicerinu, relativne permitivnosti 39, stvara električno polje. Kolika je razlika

potencijala između točaka koje su od naboja udaljene za 3 cm i za 12 cm? Koliki će rad polje obaviti

ako premjestimo naboj 5 nC iz jedne točke u drugu?

5

Rješenje 243

Q = 9 nC = 9 · 10-9 C, εr = 39, r1 = 3 cm = 0.03 m, r2 = 12 cm = 0.12 m,

Q1 = 5 nC = 5 · 10-9 C, U = ?, W = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q ili nabijena kugla, onda je potencijal

u točki na udaljenosti r od naboja, odnosno središta kugle, za vakuum jednak

,Q

kr

ϕ = ⋅

gdje je 2

1 99 10

240

,N m

k

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅

a u sredstvu

,k Q

rrϕ

ε= ⋅

gdje je εr relativna permitivnost sredstva (relativna dielektrična konstanta.

Razlika potencijala (φ1 – φ2) naziva se naponom U i možemo ga izračunati kao

1 2.Uϕ ϕ− =

Rad što se utroši pri prijelazu naboja Q iz točke potencijala φ1 u točku potencijala φ2 jednak je

promjeni potencijalne energije naboja, tj.

( )1 2.W Q W Q Uϕ ϕ= ⋅ − ⇒ = ⋅

Računamo razliku potencijala U između točaka.

11 1

11 2

2

21

1 22

k Q

rr k Q k Q k QU U

k Q r r r rr r r

rr

U

ϕε

ε ε εϕ ϕ

ϕε

= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − = = ⋅

= −

29 9

9 10 9 102 1 1

51.92 .39 0.03 0.12

N mC

C Vm m

⋅ −⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ − =

Rad koji će polje obaviti kada premjestimo naboj Q1 iz jedne točke u drugu iznosi:

1 11 1 1 11

1 2 11 2 1 2

1

k Qk Q QU k Q

r r W Q Wrr r r rr r

W Q U

εε ε

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ − = = ⋅

29 9 9

9 10 9 10 5 102 1 1 7

2.596 10 .39 0.03 0.12

N mC C

C Jm m

⋅ − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−= ⋅ − = ⋅

Vježba 243

Naboj 9 nC u glicerinu, relativne permitivnosti 39, stvara električno polje. Kolika je razlika

potencijala između točaka koje su od naboja udaljene za 30 mm i za 120 mm? Koliki će rad polje

obaviti ako premjestimo naboj 5 nC iz jedne točke u drugu?

Rezultat: 7

51.92 , 2.596 10 .V J−

⋅

6

Zadatak 244 (Amra, gimnazija)

Metalna kugla promjera 2 cm nabijena je negativno do potencijala 1 kV. Izračunati masu svih

elektrona kojima je kugla nabijena. (naboj elektrona e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona

me = 9.11 · 10-31 kg)

Rješenje 244

2 · r = 2 cm => r = 1 cm = 0.01 m, φ = 1 kV = 1000 V, e = 1.602 · 10-19 C,

me = 9.11 · 10-31 kg, m = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q ili nabijena kugla, onda je potencijal

u točki na udaljenosti r od naboja, odnosno središta kugle, za vakuum jednak

,Q

kr

ϕ = ⋅

gdje je

21 9

9 1024

0

.N m

k

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅

Električni naboj elektrona i protona ima isti iznos: 1.602 · 10-19 C. To je najmanja količina

naboja koju su fizičari dosad otkrili pokusima i zove se elementarni naboj. Utvrđeno je da se električni

naboji javljaju samo u cjelobrojnim višekratnicima tog elementarnog naboja. Kažemo da je naboj

kvantiziran, sastavljen od osnovnih kvanata elektriciteta

,Q n e= ⋅

gdje je n cijeli broj, e elementarni naboj.

Električni naboj jedna je od osnovnih osobina elementarnih čestica. Jedinica za električni naboj je

coulomb (C). Najmanja količina električnog naboja, elementarni naboj, iznosi:

191.602 .10e C

−= ⋅

Dakle, ukupni naboj bilo kojeg tijela jednak je cijelom broju pomnoženome s elementarnim nabojem.

Najprije odredimo broj svih elektrona n kojima je kugla nabijena.

metoda

komparacije/r

k

Q n e Q n eQ n e Q n e

Q rQ Qk Qk k

r kr rϕ ϕϕ ϕ

= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = = ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅

/ .1r r r

n e n e nk k ke e

ϕϕ ϕ

⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⋅⋅ =

Masa svih n elektrona iznosi:

1000 0.01 31 219.11 10 6.32 10 .

29 19

9 10 1.602 102

rn r V m

m m kg kgk e ek e N mm n me C

C

ϕϕ

⋅= ⋅ ⋅ − −

⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 244

Metalna kugla promjera 20 mm nabijena je negativno do potencijala 1 kV. Izračunati masu

svih elektrona kojima je kugla nabijena. (naboj elektrona e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona

me = 9.11 · 10-31 kg)

Rezultat: 21

6.32 10 .kg−

⋅

Zadatak 245 (Tonka, gimnazija)

Dva naboja Q1 = 1.5 · 10-8 C i Q2 = 3 · 10-7 C, nalaze se u zraku i udaljeni su međusobno

r = 60 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih?

Rješenje 245

Q1 = 1.5 · 10-8 C, Q2 = 3 · 10-7 C, r = 60 cm = 0.60 m,

7

1 10.60 0.30 ,

1 2 2 2r r R r m m= = = ⋅ = ⋅ = E = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini, onda je jakost

električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu zakonu)

izrazom

,2

QE k

r

= ⋅

gdje je 2

1 99 10

240

.N m

k

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅

r2r1

E2

E

E1

+ +

Q2Q1

S

Budući da je naboj Q1 pozitivan, smjer vektora 1

E→

radijalno je od naboja Q1. Budući da je naboj Q2

pozitivan, smjer vektora 2

E→

radijalno je od naboja Q2. Rezultantni vektor E→

jednak je razlici vektora

i .2 1

E E→ →

.2 1

E E E→ → →

= −

111 2 1 2

1 2 12 2

2 22 2

1

2

2

22

QQE k

E kr Q QR

E k kQ Q R R

E k E k

E E

r R

E

= ⋅= ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

= ⋅

= −

= ⋅

( )( )

( )

29

9 102 7 8

3 10 1.5 102 12 2

0.30

N m

k CE Q Q C C

R m

⋅⋅

− −⇒ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

u smjeru prem4

2.85 1 a n0 j1.abo u

N

CQ= ⋅

Vježba 245

Dva naboja Q1 = 1.5 · 10-8 C i Q2 = 3 · 10-7 C, nalaze se u zraku i udaljeni su međusobno

r = 6 dm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih?

Rezultat: u smjeru prema4

2.85 nabo1

0 u1 .jN

CQ⋅

Zadatak 246 (Jakov, gimnazija)

Točkasti naboj 200 nC udaljen je 10 cm od naboja – 50 nC. Koliko je električno polje na

polovici njihove spojnice? Kolika je jakost polja kada bi oba naboja imala jednak predznak?

Rješenje 246

Q1 = 200 nC = 2 · 10-7 C, r = 10 cm = 0.10 m, Q2 = – 50 nC = – 5 · 10-8 C,

8

1 10.10 0.05 ,

1 2 2 2r r R r m m= = = ⋅ = ⋅ = E3 = ? E4 = ? E5 = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini, onda je jakost

električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu zakonu)

izrazom

,2

QE k

r

= ⋅

gdje je 2

1 99 10

2.

4

N mk

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅�

r2r1

-+

E

E2 E1Q2

Q1

S

Budući da je naboj Q1 pozitivan, smjer vektora 1

E→

radijalno je od naboja Q1. Budući da je naboj Q2

negativan, smjer vektora 2

E→

radijalno je prema naboju Q2. Rezultantni vektor E→

jednak je zbroju

vektora i .1 2

E E→ →

.1 2

E E E→ → →

= +

111 2 1 2

1 212 2

2 22 2

2

2

1

22

QQE k

E kr QQR

E k kQ Q R R

E k E k

E E

r R

E

= ⋅= ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

= ⋅

= +

= ⋅

( )( )

( )

29

9 102 7 8

2 10 5 101 22 2

0.05

N m

k CE Q Q C C

R m

⋅⋅

− −⇒ = ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ =

u smjeru prema na5

9 boj1 .2

0 uN

CQ= ⋅

Računamo jakost polja u točki S kada su oba naboja pozitivna.

+

Q1 Q2E1E2

E

+

r1 r2

S

Budući da je naboj Q1 pozitivan, smjer vektora 1

E→

radijalno je od naboja Q1. Budući da je naboj Q2

pozitivan, smjer vektora 2

E→

radijalno je od naboja Q2. Rezultantni vektor E→

jednak je razlici vektora

9

i .1 2

E E→ →

.1 2

E E E→ → →

= −

111 2 1 2

1 1 22 2

2 22 2

2

2

1

22

QQE k

E kr Q QR

E k kQ Q R R

E k E k

E E

r R

E

= ⋅= ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

= ⋅

= −

= ⋅

( )( )

( )

29

9 102 7 8

2 10 5 101 22 2

0.05

N m

k CE Q Q C C

R m

⋅⋅

− −⇒ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

u smjeru prema5

5.4 nab10 oju2

.N

CQ= ⋅

Računamo jakost polja u točki S kada su oba naboja negativna.

--

Q1 Q2E1 E2

E

r1 r2

S

Budući da je naboj Q1 negativan, smjer vektora 1

E→

radijalno je prema naboju Q1. Budući da je naboj

Q2 negativan smjer vektora 2

E→

radijalno je prema naboju Q2. Rezultantni vektor E→

jednak je razlici

vektora i .1 2

E E→ →

.1 2

E E E→ → →

= −

111 2 1 2

1 1 22 2

2 22 2

2

2

1

22

QQE k

E kr Q QR

E k kQ Q R R

E k E k

E E

r R

E

= ⋅= ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

= ⋅

= −

= ⋅

( )( )

( )

29

9 102 7 8

2 10 5 101 22 2

0.05

N m

k CE Q Q C C

R m

⋅⋅

− −⇒ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

u smjeru prema5

5.4 nab10 oju1.

N

CQ= ⋅

Vježba 246

Točkasti naboj 200 nC udaljen je 1 dm od naboja – 50 nC. Koliko je električno polje na

polovici njihove spojnice?

Rezultat: u smjeru prema nab5

9 oj2

10 u .N

CQ⋅

10

Zadatak 247 (Ivan, gimnazija)

Je li u točkama A i B jakost električnog polja jednaka? Nacrtati vektore električnog polja u tim

točkama.

Q

-

B

A

Rješenje 247

Q, EA, EB

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini, onda je jakost

električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu zakonu)

izrazom

.2

QE k

r

= ⋅

EB

EA

A

B

-

Q

Budući da su točke A i B jednako udaljene od naboja Q, jakosti električnog polja jednake su po

iznosu.

ili .E E E EB BA A

→ →= =

Vektori iE EBA

→ → razlikuju se po smjeru i iznosu pa vrijedi

.E EBA

→ →≠

Vježba 247

Je li u točkama A i B jakost električnog polja jednaka?

Q

-BA

Rezultat: , .E E E EB BA A

→ →= ≠

11

Zadatak 248 (Ivan, gimnazija)

Koliki je potencijal metalne kugle obujma 33.5 dm3 koja ima naboj 0.1 µC? Kugla se nalazi u

vakuumu.

Rješenje 248

V = 33.5 dm3 = 3.35 · 10-2 m3, Q = 0.1 µC = 1 · 10-7 C, φ = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q ili nabijena kugla, onda je potencijal

u točki na udaljenosti r od naboja, odnosno središta kugle, za vakuum jednak

,Q

kr

ϕ = ⋅

gdje je 2

1 99 10

2.

4

N mk

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅�

Obujam kugle

Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi:

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

34 4/

4 33 3 3 3

3 3 3 44

VV r r V r V r

Q Q Q Qk k k k

r r r r

π π ππ

ϕ ϕ ϕ ϕ

π⋅

⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

333 3444 3

33

3/

3

4

VVrr

Qk k Q

VVQ Qk k

r r

πππ ϕ ϕ

ϕ ϕπ

⋅⋅==

⋅⋅⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =⋅⋅

= ⋅ = ⋅⋅

249 7 3

39 10 1 10 4500.46 4.5 10 4.5 .2 2 3

3 3.35 10

N mC V V kV

C m

π⋅ ⋅−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ≈ ⋅ =

−⋅ ⋅

Vježba 248

Koliki je potencijal metalne kugle obujma 33500 cm3 koja ima naboj 0.1 µC? Kugla se nalazi

u vakuumu.

Rezultat: 4.5 kV.

Zadatak 249 (Ivan, gimnazija)

U šuplju kuglu, polumjera 30 cm, unesena je kuglica naboja 0.1 µC. Kolika je jakost

električnog polja u kugli, a kolika na njezinoj površini?

Rješenje 249

r = 30 cm = 0.30 m, Q = 0.1 µC = 1 · 10-7 C, E1 = ?, E2 = ?

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini, onda je jakost

električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu zakonu)

izrazom

,2

QE k

r

= ⋅

gdje je

12

21 9

9 102

.4

N mk

Cπ ε

⋅= ≈ ⋅

⋅ ⋅�

U elektrostatičkim uvjetima naboj je tako raspoređen na površini kugle da je unutar nje električno

polje jednako nuli. Kada bi polje bilo različito od nule potekla bi električna struja. Dakle, jakost

električnog polja u šupljoj kugli jednaka je nuli.

0 .1

NE

C=

Ako u šuplju kuglu unesemo naboj Q vanjska površina kugle bit će nabijena pa jakost polja na njoj

iznosi:

( )

2 71 109 4

9 10 10 000 10 10 .2 2 2 2

0.30

Q N m C N N kNE k

C C Cr C m

−⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = = =

Vektor polja 2

E→

je radijalan (okomit je na površinu kugle). Njegova orijentacija ovisi od predznaka

naboja.

Ako je naboj Q pozitivan orijentacija vektora 2

E→

je radijalna od naboja.

Ako je naboj Q negativan orijentacija vektora 2

E→

je radijalna prema naboju.

-E2E2

+

Vježba 249

U šuplju kuglu, polumjera 3 dm, unesena je kuglica naboja 0.1 µC. Kolika je jakost

električnog polja na njezinoj površini?

Rezultat: 10 kN / C.

Zadatak 250 (ID, gimnazija)

Koliko ćemo puta povećati kapacitet pločastog kondenzatora ako donju polovicu njegovih

ploča uronimo u vodu, a gornju polovicu ostavimo u zraku? Relativna permitivnost vode je 81.

(Uputa: Uranjanjem ploča do polovice u vodu, dobivamo sustav dvaju paralelno spojenih

kondenzatora kojima su površine ploča S / 2.)

Rješenje 250

εv = 81 relativna permitivnost vode, ,1 2 2

SS S= = n = ?

Pločasti kondenzator sastoji se od dviju paralelnih metalnih ploča između kojih je izolator.

Ako je između ploča vakuum kapacitet pločastog kondenzatora računa se formulom

,S

Cd

ε= ⋅�

gdje je ε0 dielektričnost (permitivnost) vakuuma, S površina svake od ploča, d razmak među pločama.

Ako je između ploča neko sredstvo kapacitet pločastog kondenzatora računa se formulom

13

,S

C rd

ε ε= ⋅ ⋅�

gdje je ε0 dielektričnost (permitivnost) vakuuma, εr relativna dielektričnost sredstva, S površina svake

od ploča, d razmak među pločama.

Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza

...1 2 3 1

.n

C C C C C Cn ii

= + + + + = ∑=

Vrijednost kapaciteta ekvivalentnog kondenzatora jednaka je zbroju vrijednosti kapaciteta svakog

pojedinog kondenzatora.

εεεεv

d

C2

C1

Kapacitet dijela kondenzatora ostavljenog u zraku iznosi:

1 2 .1 0 1 0 1 0 2

SS S

C C Cd d d

ε ε ε= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅

Kapacitet dijela kondenzatora uronjenog u vodu iznosi:

2 2 81 81 .2 0 2 0 2 0 2 02 2

SS S S

C C C Cv vd d d d

ε ε ε ε ε ε= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅

Kada je kondenzator uronjen u vodu, dijeli se na dva kondenzatora koji čine paralelnu kombinaciju.

Tada je ukupni kapacitet:

81 821 2 0 0 02 2 2

S S SC C C C Cu u u

d d dε ε ε= + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ ⋅

41 .0 0

822

S SC Cu u

d dε ε⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

⋅

Kada je cijeli kondenzator u zraku njegov je kapacitet

.0

SC

dε= ⋅

Računamo koliko ćemo puta povećati kapacitet pločastog kondenzatora ako donju polovicu njegovih

ploča uronimo u vodu, a gornju polovicu ostavimo u zraku.

41 410

41.

0

0

0

S

Cu dn n n nS

d

S

d

C

S

dε

ε

ε

ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

Vježba 250

Koliko ćemo puta povećati kapacitet pločastog kondenzatora ako donju polovicu njegovih

ploča uronimo u vodu, a gornju polovicu ostavimo u zraku? Relativna permitivnost glicerina je 56.2.

(Uputa: Uranjanjem ploča do polovice u vodu, dobivamo sustav dvaju paralelno spojenih

kondenzatora kojima su površine ploča S / 2.)

Rezultat: 28.6.

14

Zadatak 251 (ID, gimnazija)

Elektron je postigao brzinu 106 m / s pošto je prešao put od jedne nabijene metalne ploče do

druge. Razmak između ploča je 5.3 mm. Kolika je bila jakost električnog polja u kojem se gibao

elektron? (naboj elektrona e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona m = 9.11 · 10-31 kg)

Rješenje 251

v = 106 m / s, s = 5.3 mm = 5.3 · 10-3 m, Q = e = 1.602 · 10-19 C,

m = 9.11 · 10-31 kg, E = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,

22

22

vv a s a

s= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅

gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako se u polju jakosti E nalazi naboj Q, silu kojom polje djeluje na naboj možemo izračunati iz izraza

.F Q E= ⋅

Sila koja ubrzava elektron je električna sila pa akceleraciju a dobijemo iz

/ .:e E

m a Q E m a e E m a e E am

m⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Budući da se elektron giba stalnom akceleracijom, uporabom formule za brzinu jednolikog ubrzanog

gibanja, izračunamo E.

2 2 2

2 2 2 2/

2

e Ea

m e E v e E v m vE

m s

m

em s s eva

s

⋅ =

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

=⋅

231 6

9.11 10 10

536.48 .3 19

2 5.3 10 1.602 10

mkg

Vs

mm C

−⋅ ⋅

= =− −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 251

Elektron je postigao brzinu 103 km / s pošto je prešao put od jedne nabijene metalne ploče do

druge. Razmak između ploča je 0.53 cm. Kolika je bila jakost električnog polja u kojem se gibao

elektron? (naboj elektrona e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona m = 9.11 · 10-31 kg)

Rezultat: 536.48 V / m.

Zadatak 252 (Ana, gimnazija)

Jakost homogenoga električnog polja iznosi 4000 V / m. Nađi razliku potencijala između dvije

točke koje su smještene (na istoj silnici) na udaljenosti 3 cm.

Rješenje 252

E = 4000 V / m, r1 = r, ∆r = 3 cm = 0.03 m, r2 = r + ∆r, U = ?

Razlika potencijala (φ1 – φ2) naziva se naponom U i možemo ga izračunati kao

1 2.Uϕ ϕ− =

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini (vakuumu), onda je

jakost električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu

15

zakonu) izrazom

1

2.

40

QE

rπ ε= ⋅

⋅ ⋅

Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q ili nabijena kugla, onda je potencijal u točki

na udaljenosti r od naboja, odnosno središta kugle, za vakuum (prazninu) jednak

, .1

4

Qr E

rϕ ϕ

π ε= ⋅ = ⋅

⋅ ⋅�

oduzmemo

jednadžbe

1 12 1 2 1

2 2

r Er E r E

r E

ϕϕ ϕ

ϕ

= ⋅⇒ ⇒ − = ⋅ − ⋅ ⇒

= ⋅

( )2 1 2 1r r E r E r E r E r Eϕ ϕ ϕ ϕ⇒ − = + ∆ ⋅ − ⋅ ⇒ − = ⋅ + ∆ ⋅ − ⋅ ⇒

2 1 2 2 11r E r Er E r E Uϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⇒ − = + ∆ ⋅ ⇒⋅ − ⋅ − =− = ∆ ⋅ ⇒ ⇒

0.03 4 000 120 .V

U r E m Vm

⇒ = ∆ ⋅ = ⋅ =

Vježba 252

Jakost homogenoga električnog polja iznosi 2000 V / m. Nađi razliku potencijala između dvije

točke koje su smještene (na istoj silnici) na udaljenosti 6 cm.

Rezultat: 120 V.

Zadatak 253 (Maturant, gimnazija)

Na izvor napona 150 V priključen je kondenzator kapaciteta 2 nF, a na izvor napona 250 V

kondenzator kapaciteta 3 nF. Kondenzatori se odspoje i zatim međusobno spoje paralelno. Koliki je

zajednički napon na kondenzatorima nakon spajanja?

Rješenje 253

U1 = 150 V, C1 = 2 nF = 2 · 10-9 F, U2 = 250 V, C2 = 3 nF = 3 · 10-9 F, U = ?

Kapacitet pločastog kondenzatora iskazujemo jednadžbom:

,Q Q

C Q C U UU C

= ⇒ = ⋅ ⇒ =

gdje je Q naboj na ploči, U napon između ploča.

Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza

...1 2 3

.C C C C Cn= + + + +

Kod paralelnog spoja svi kondenzatori imaju jednak napon, a ukupni naboj je:

...1 2 3

.Q Q Q Q Qn= + + + +

Na svakom kondenzatoru prije spajanja pohranjena je količina naboja

, .1 1 1 2 2 2

Q C U Q C U= ⋅ = ⋅

Kada se kondenzatori međusobno paralelno spoje ukupni je naboj

,1 2 1 1 2 2

Q Q Q Q C U C U= + ⇒ = ⋅ + ⋅

a ekvivalentni kapacitet

.1 2

C C C= +

Zajednički napon U tada iznosi: 9 9

2 10 150 3 10 2501 1 2 2 210 .9 9

2 10 3 101 2

C U C UQ F V F VU U V

C C C F F

− −⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⇒ = = =

− −+ ⋅ + ⋅

16

Vježba 253

Na izvor napona 150 V priključen je kondenzator kapaciteta 4 nF, a na izvor napona 250 V

kondenzator kapaciteta 6 nF. Kondenzatori se odspoje i zatim međusobno spoje paralelno. Koliki je

zajednički napon na kondenzatorima nakon spajanja?

Rezultat: 210 V.

Zadatak 254 (Josipa, medicinska škola)

U homogenom električnom polju jakosti 2 kV / cm giba se točkasti naboj iznosa 6 µC. Treba

odrediti rad ako se naboj giba na putu 3 cm u smjeru polja.

Rješenje 254

E = 2 kV / cm = 2 · 105 V / m, Q = 6 µC = 6 · 10-6 C, s = 3 cm = 0.03 m, W = ?

Ako se u polju jakosti E nalazi naboj Q, silu kojom polje djeluje na naboj možemo izračunati iz izraza

.F Q E= ⋅

Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru

gibanja tijela, vrijedi .W F s= ⋅

6 56 10 2 10 0.03 0.036 .

F Q E VW Q E s C m J

W F s m

= ⋅ −⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

Vježba 254

U homogenom električnom polju jakosti 4 kV / cm giba se točkasti naboj iznosa 3 µC. Treba

odrediti rad ako se naboj giba na putu 3 cm u smjeru polja.

Rezultat: 0.036 J.

Zadatak 255 (Mario, gimnazija)

Dva su točkasta naboja dovedena iz velike međusobne udaljenosti na udaljenost 1 m i pritom

je obavljen rad 10 J. Koliki je rad potrebno utrošiti da se ta dva naboja dovedu od međusobne

udaljenosti 1 m na 0.2 m?

. 5 . 50 . 10 . 40A J B J C J D J

Rješenje 255

r1 = 1 m, W1 = 10 J, r2 = 0.2 m, W = ?

Kada promatramo električno polje koje stvara naboj Q tada je električna potencijalna energija

točkastog naboja q koji se nalazi na udaljenosti r dana izrazom

,Q q

E kpr

⋅= ⋅

gdje je konstanta

29

8.99 10 .2

N mk

C

⋅= ⋅ Ako se točkasti naboj Q1 pomiče u električnom polju

naboja Q2 pod djelovanjem vanjskih sila, onda je njihov rad

1 1

1 22 1

,W k Q Qr r

= ⋅ ⋅ ⋅ −

gdje je r1 početna udaljenost, a r2 konačna udaljenost između naboja.

Kada se dva točkasta naboja Q1 i Q2 dovedu iz velike međusobne udaljenosti na udaljenost r1 obavljen

je rad

1 2 .1

1

Q QW k

r

⋅= ⋅

Kada se dva točkasta naboja Q1 i Q2 dovedu iz velike međusobne udaljenosti na udaljenost r2 obavljen

17

je rad

1 2 .2

2

Q QW k

r

⋅= ⋅

Rad potreban da se ta dva naboja dovedu od međusobne udaljenosti r1 na r2 iznosi:

1 2 1 2 1 2 1 12 1

2 1 1 2

Q Q Q Q Q Q rW W W W k k W k

r r r r

⋅ ⋅ ⋅ = − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒

11 1 10 1 40 .1 0.2

2

r mW W J J

r m

⇒ = ⋅ − = ⋅ − =

Odgovor je pod D.

Vježba 255

Dva su točkasta naboja dovedena iz velike međusobne udaljenosti na udaljenost 1 m i pritom

je obavljen rad 5 J. Koliki je rad potrebno utrošiti da se ta dva naboja dovedu od međusobne

udaljenosti 1 m na 0.2 m?

. 5 . 50 . 10 . 40A J B J C J D J

Rezultat: C.

Zadatak 256 (BMX, gimnazija)

Djelovanjem konstantnog električnog polja jakosti 1 V / m elektron je pokrenut iz stanja

mirovanja te je prešao put 1 m. Za koje vrijeme je elektron prevalio taj put? (naboj elektrona

e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona m = 9.11 · 10-31 kg)

3 6. 8.61 10 . 3.37 10 . 3.33 . 0.11A s B s C s D s

− −⋅ ⋅

Rješenje 256

E = 1 V / m, s = 1 m, Q = e = 1.602 · 10-19 C, m = 9.11 · 10-31 kg, t = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

2,

1

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako se u polju jakosti E nalazi naboj Q, silu kojom polje djeluje na naboj možemo izračunati iz izraza

.F Q E= ⋅

Sila koja ubrzava elektron je električna sila pa vrijedi:

1 21 2

1

1

1 22 22

2 2

/F m a F m a m a e E m a e E

F Q E F e Es a t

s a ts

m

a t s a t

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

18

1 12 2 22

1 222

2

2

/

e Ea

e E e Ems t s t m s e E t

m mt

m

s a

⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ ⋅

2 22 2 2 21/2 /2

e E

m s m se E t m s e E t m s t t

e E e E

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅⋅

⋅⇒

312 2 9.11 10 1 6

3.37 10 .19

1.602 10 1

m s kg mt s

Ve EC

m

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⇒ = = = ⋅−⋅

⋅ ⋅

Odgovor je pod B

Vježba 256

Djelovanjem konstantnog električnog polja jakosti 1 V / m elektron je pokrenut iz stanja

mirovanja te je prešao put 100 cm. Za koje vrijeme je elektron prevalio taj put? (naboj elektrona

e = 1.602 · 10-19 C, masa elektrona m = 9.11 · 10-31 kg)

3 6. 8.61 10 . 3.37 10 . 3.33 . 0.11A s B s C s D s

− −⋅ ⋅

Rezultat: B.

Zadatak 257 (Luka, tehnička škola)

Naboj metalne kugle iznosi – 8 · 10-19 C. Koja je od navedenih tvrdnja točna? (naboj elektrona

e = – 1.6 · 10-19 C)

. Metalna kugla ima 5 elektrona više nego protona.A

. Metalna kugla ima 5 elektrona manje nego protona.B

. Metalna kugla ima 8 elektrona više nego protona.C

. Metalna kugla ima 8 elektrona manje nego protona.D

Rješenje 257

Q = – 8 · 10-19 C, e = – 1.6 · 10-19 C, n = ?

Kvantizacija naboja

Električni naboj jedna je od osnovnih osobina elementarnih čestica. Jedinica za električni naboj je

coulomb (C). Najmanja količina električnog naboja, elementarni naboj, iznosi:

191.602 .10e C

−= ⋅

Naboj nekog tijela može biti samo mnogokratnik tog elementarnog naboja

,Q n e= ⋅

gdje je n cijeli broj. Dakle, ukupni naboj bilo kojeg tijela jednak je cijelom broju pomnoženome s

elementarnim nabojem e. Kažemo da je naboj kvantiziran, sastavljen od osnovnih kvanata

elektriciteta.

Atom se sastoji od jezgre (protona i neutrona) i elektronskog omotača (elektrona). Električni naboji

elektrona i protona najmanje su količine elektriciteta u prirodi. Zovu se elementarni električni naboji.

Ti naboji sadrže jednako veliku količinu elektriciteta suprotnog predznaka.

• naboj elektro19

1 1na .602 0e C−

= − ⋅

• naboj protona19

1.602 10 .p C−

= + ⋅

19

Naboj je elektrona negativan ( – ), dok je naboj protona pozitivan (+). Atom je električki neutralan jer

ima istu količinu pozitivnog i negativnog naboja. Kad atom izgubi jedan ili više elektrona postaje

električki pozitivan, a atom s viškom elektrona postaje električki negativan. Ako neutralnom tijelu

(ima jednaku količinu negativnog i pozitivnog naboja) oduzmemo određeni broj elektrona (negativan

naboj), tijelo postaje električki pozitivno. Ako neutralnom tijelu (ima jednaku količinu negativnog i

pozitivnog naboja) dodamo određeni broj elektrona (negativan naboj), tijelo postaje električki

negativno.

Metalna kugla je električki negativna. To znači da ima više elektrona od protona. Višak elektrona

iznosi: 19

8 105.

191.6 10

1/

Q CQ n e n e Q n e Q n

e Ce

−− ⋅

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = =−

− ⋅⋅

Odgovor je pod A.

Q < 0

- -

---

Vježba 257

Naboj metalne kugle iznosi 8 · 10-19 C. Koja je od navedenih tvrdnja točna? (naboj elektrona

e = – 1.6 · 10-19 C) . Metalna kugla ima 5 elektrona više nego protona.A

. Metalna kugla ima 5 elektrona manje nego protona.B

. Metalna kugla ima 8 elektrona više nego protona.C

. Metalna kugla ima 8 elektrona manje nego protona.D

Rezultat: B.

Zadatak 258 (Lorena, srednja škola)

Odredite vrijeme za koje kroz žarulju od 40 W, priključenu na napon 220 V, prođe 3 · 1019

elektrona. (naboj elektrona e = 1.6 · 10-19 C)

. 10.56 . 26.4 . 52.8 . 13.8A s B s C s D s

Rješenje 258

P = 40 W, U = 220 V, N = 3 · 1019, e = 1.6 · 10-19 C, t = ?

Kvantizacija naboja

Električni naboj jedna je od osnovnih osobina elementarnih čestica. Jedinica za električni naboj je

coulomb (C). Najmanja količina električnog naboja, elementarni naboj, iznosi:

191.602 .10e C

−= ⋅

Naboj nekog tijela može biti samo mnogokratnik tog elementarnog naboja

,Q N e= ⋅

gdje je N cijeli broj. Dakle, ukupni naboj bilo kojeg tijela jednak je cijelom broju pomnoženome s

elementarnim nabojem e. Kažemo da je naboj kvantiziran, sastavljen od osnovnih kvanata

elektriciteta.

Jakost električne struje I kvocijent je električnog naboja Q i vremenskog intervala t u kojemu taj naboj

prođe određenim presjekom vodiča.

.Q

It

=

20

Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je

,P U I= ⋅

gdje je U napon između krajeva promatranog trošila, I struja.

/

Q N eN e

IQ N e N eI P U P Ut

t t tP U I

P I

t

P

U

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅= ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅= ⋅

⋅

19 19220 3 10 1.602 10

26.4 .40

U N e V Ct s

P W

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = = =

Odgovor je pod B.

Vježba 258

Odredite vrijeme za koje kroz žarulju od 80 W, priključenu na napon 220 V, prođe 6 · 1019

elektrona. (naboj elektrona e = 1.6 · 10-19 C)

. 10.56 . 26.4 . 52.8 . 13.8A s B s C s D s

Rezultat: B.

Zadatak 259 (Vesna, medicinska škola)

Razmak između ploča pločastog kondenzatora iznosi 5 · 10-4 m. Ako se kondenzator stavi u

ulje, njegov se kapacitet promijeni. Međutim, kada se razmak ploča poveća na 1.2 · 10-3 m,

kondenzator ima i u ulju prijašnji zračni kapacitet. Kolika je relativna dielektrična konstanta?

. 3 . 1.2 . 3.6 . 1.6 . 2.4A B C D E

Rješenje 259

d1 = 5 · 10-4 m. d2 = 1.2 · 10-3 m, εr = ?

Kapacitet pločastog kondenzatora u zraku upravno je razmjeran površini S jedne ploče, a obrnuto

razmjeran udaljenosti d između ploča:

,S

Cd

ε= ⋅�

gdje je dielektričnost praznine

212

8.854 10 .2

C

N m

ε−

= ⋅⋅

�

Kapacitet pločastog kondenzatora površine ploča S, koje su razmaknute za d i u kojem je dielektrik

relativne permitivnosti εr iznosi:

.S

C rd

ε ε= ⋅ ⋅�

Prema uvjetu zadatka slijedi:

11

12 1

2

2

2

SC

d S Sr

S d dC r

d

C C

ε

ε ε ε

ε ε

= ⋅

⇒ ⇒ ⋅ ⋅ =

⋅

= ⋅ ⇒

= ⋅

�

� �

�

31.2 102 2.4.

45 1

2

1 1

/

02

dS S mr r

d d d m

d

Sε ε ε ε

ε

−

⋅⋅

⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =

−⋅�

� �

Odgovor je pod E.

21

Vježba 259

Razmak između ploča pločastog kondenzatora iznosi 10-3 m. Ako se kondenzator stavi u

ulje, njegov se kapacitet promijeni. Međutim, kada se razmak ploča poveća na 2.4 · 10-3 m,

kondenzator ima i u ulju prijašnji zračni kapacitet. Kolika je relativna dielektrična konstanta?

. 3 . 1.2 . 3.6 . 1.6 . 2.4A B C D E

Rezultat: E.

Zadatak 260 (Vesna, medicinska škola)

Pločasti kondenzator nabijen je na 1000 V. Razmak ploča je 1 cm, masa elektrona je

9.11 · 10-31 kg, naboj elektrona je 1.602 · 10-19 C. Vrijeme potrebno da elektron prijeđe put od

negativne do pozitivne ploče, ako mu je početna brzina nula, iznosi:

9 10. 10 . 10 . 3 . 1 . 1A s B s C ns D s E sµ

− −

Rješenje 260

U = 1000 V, d = 1 cm = 0.01 m, m = 9.11 · 10-31 kg, Q = e = 1.602 · 10-19 C,

t = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

2,

1

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako se u polju jakosti E nalazi naboj Q, silu kojom polje djeluje na naboj možemo izračunati iz izraza

.F Q E= ⋅

Polje između dviju nabijenih paralelnih ploča udaljenih d između kojih je napon U ima svuda jednaku

jakost i paralelne silnice, a naziva se homogeno polje.

.U

Ed

=

Električna sila Fel ubrzava elektron pa prema drugom Newtonovu poučku vrijedi:

1/

UE

d m

U UF F m a Q E m a Q m a Q

el d d= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅

[ ] .Q U e U

a am d m

Qd

e=⋅ ⋅

⇒ = ⇒ ⇒ =⋅ ⋅

Budući da je sila električnog polja na elektron stalna, elektron se giba jednoliko ubrzano akceleracijom

a pa za prevaljeni put d vrijedi:

1 2.

2d a t= ⋅ ⋅

Iz sustava jednadžbi dobije se t.

1 1 12 2 2

1 2 2 22

2

2/

e Ua

e U e U e Um d md t t d t d

m d m d md

d

dt

ea

U

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅= ⇒

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅

22

2 2 22 2 2 22 2

/m d m d m d m

t t t t de U e U e U e U

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

312 9.11 10 9 9

0.01 1.07 10 10 .19

1.602 10 1000

kgm s s

C V

−⋅ ⋅ − −

= ⋅ = ⋅ ≈−

⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 260

Pločasti kondenzator nabijen je na 1 kV. Razmak ploča je 1 cm, masa elektrona je

9.11 · 10-31 kg, naboj elektrona je 1.602 · 10-19 C. Vrijeme potrebno da elektron prijeđe put od

negativne do pozitivne ploče, ako mu je početna brzina nula, iznosi:

9 10. 10 . 10 . 3 . 1 . 1A s B s C ns D s E sµ

− −

Rezultat: A.