ELEKTROMAGNETSKI VALOVI 1. dio - fizika.unios.hr · 9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu 9.2.2 Monokromatski ravni valovi Faradayev zakon povezuje amplitude električnog i magnetskog

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI1. dio

11. siječnja 2017.

Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.1 Valna jednadžba

VAL = poremećaj kontinuiranog medija koji se širi stalnom brzinom i uz nepromjenjivi oblik

f (z , t)= f (z−vt ,0) = g (z−vt)

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.1 Valna jednadžba

ZADATAK 9.2 (Griffiths ItE 4th)

v = √ Tμ∂

2 f∂ z2 =

1v2

∂2 f

∂ t 2

Δ F = T sinθ '−T sin θ ≈ T ( tanθ '−tan θ)≈ T (∂z f|z+Δ z−∂ z f|z)≈ T∂

2 f∂ z2 Δ z

Δ F =(Δm)a = (μ Δ z )∂

2 f∂ t 22.N.Z.

∂2 f

∂ z2 =μ

T∂

2 f∂ t 2

klasična valna jednadžba

f (z , t)= g (z−vt )dobije se i derivacijom po u ≡ z−vt

f (z , t)= g (z−vt )+h( z+vt )opće rješenje:

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.2 Sinusni valovi

k =2πλ

ω =2π

Tv = λ

T

v = λT

= λ2π

2 π

T= ω

k

f (z , t)= A cos [k ( z−vt)+δ ]

od svih valnih oblika, najpoznatiji je sinusni val

fazaamplituda

fazna konstanta

valni broj brzina vala kutna frekvencija

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.2 Sinusni valovi

e iθ= cos θ+i sinθ

e iπ+1 = 0

zadivljujuća povezanost matematičkih konstanti

Eulerova formula

uobičajen je zapis pomoću kutne frekvencije

f (z , t)= A cos (kz−ω t+δ)

f (z , t)= A cos (−kz−ω t+δ)

val putuje slijeva nadesno

val putuje zdesna nalijevo

KOMPLEKSNA NOTACIJA

f (z , t)= Re ( A ei (kz−ωt+δ)) = Re ( Ae iδ e i(kz−ω t )) = Re (~A ei (kz−ω t) ) = Re (~f (z ,t ))kompleksna amplituda kompleksna

valna fukncija

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija

Pretpostavimo da je u točki z = 0 uže (čija je masa po jedinici duljine μ1)

vezano za drugo uže (čija je masa po jedinici duljine μ2).

Napetost T je ista, ali su brzine valova različite:

v1 = √ Tμ1

v 2 = √ Tμ2

ODBIJANJE PRIJENOS


upadni val (z < 0)~f I (z ,t )= ~A I ei (k1 z−ω t )

reflektirani val (z < 0)~f R (z ,t )= ~A R e i(−k1 z−ω t )

transmitirani val (z < 0)~f T (z , t) = ~AT e i(k2 z−ω t )


kutna frekvencija je ista: ω = k1⋅v1 = k2⋅v2 ⇒v1

v2

=k2

k1

ukupni val (z < 0):~f (z , t)= ~A I e i(k1 z−ω t )

+~AR e i (−k1 z−ωt )

ukupni val (z > 0):~f (z , t)= ~AT ei (k2 z−ω t )


na spoju (z = 0) nema prekida krivulje: f (0 - , t) = f (0+ , t)

na spoju (z = 0) je krivulja glatka: ∂z f |0- = ∂ z f|0+

https://www.brightstorm.com/science/physics/vibrationandwaves/waveinversion/

δT = δ I

δR = δ I za μ2<μ1 tj. v2>v1

δR = δ I+180 zaμ2>μ1 tj. v2<v1


AT =2v2

v1+v 2

A I

AR =v2−v 1

v 1+v2

A I za v2>v1

AR =v1−v 2

v 1+v2

A I za v1>v 2

μ2=μ1 ⇒ AT = A I AR = 0

μ2≫μ1 ⇒ AT = 0 AR = A I

9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.4 Polarizacija

transverzalni val - smjer titranja okomit je na smjer širenja

ravninu titranja određuje vektor polarizacije

~f (z , t)= n~A e i (k z−ωt )

n

∇⋅E =ρϵ0

∇⋅B = 0

∇×E =−∂t B

∇×B = μ0 J + μ0 ϵ0 ∂t E

GAUSSOV ZAKON

GAUSSOV ZAKONza magnetizam

FARADAYEV ZAKON

AMPEREOV ZAKONs Maxwellovim članom

9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.1 Valna jednadžba za E i B

Maxwellove jednadžbe

∇⋅E = 0

∇⋅B = 0

∇×E =−∂t B

∇×B = μ0 ϵ0∂t E

GAUSSOV ZAKON


FARADAYEV ZAKON



Maxwellove jednadžbe(u praznom prostoru, bez naboja i bez struja)

Primijenimo rotaciju na zadnje dvije ∇×(∇×v )= ∇ (∇⋅v )−∇2 v


∇2 E = μ0 ϵ0

∂2 E

∂ t 2 ∇2 B = μ0 ϵ0

∂2 B

∂ t 2

v =1

√μ0ϵ0= 3⋅108 m /s

μ0 ϵ0 =1

c2

zadivljujuća povezanost fizičkih konstanti

∂2 f

∂ x2 +∂

2 f∂ y2 +

∂2 f

∂ z2 =1v2

∂2 f

∂ t 2svaka od tri komponente svakogpolja zadovoljava 3D valnu jednadžbu

9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.2 Monokromatski ravni valovi

ODREĐENE FREKVENCIJE

ravni val – širi se u jednom smjeru (npr. z), a nema ovisnosti u druga dva smjera (npr. x i y) tj. polja su stalna u ravninama okomitima na smjer širenja

~E(z , t) =~E0 e i(k z−ω t )

~B(z , t) =~B0 e i(k z−ω t )


mora vrijediti ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0

pa je stoga (~E0)z = 0 (~B0)z = 0

odnosno EM valovi su transverzalni


Faradayev zakon povezuje amplitude električnog i magnetskog polja

~B0 =1c

( z×~E0)

dakle, polja su u fazi i međusobno okomita

za realne amplitude vrijedi B0 =E0

c

realna polja za ravni val koji putuje u pozitivnom smjeru osi zi polariziran je u x smjeru

po dogovoru, smjerpolarizacije je smjerelektičnog polja

E(z , t)= x E0cos (kz−ω t+δ)

B(z , t)= yE0

ccos(kz−ω t+δ)



E(r , t) = E0 ncos (k⋅r−ω t+δ)

B(r , t) =1c

E0( k× n)cos (k⋅r−ω t+δ)

općenito, za polarizaciju i valni vektor polja EM ravnog vala sun k

B =1c

k×E

9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.3 Energija i količina gibanja EM valova

ZADATAK 9.10 (Griffiths ItE 4th)I ≡ ⟨S ⟩ =

12

cϵ0 E02

za EM ravni val (koji putuje u pozitivnom smjeru osi zi polariziran je u x smjeru) Poyntingov vektor je

S =1μ0

E×B

S =1μ0

zE0

2

ccos2

(kz−ω t+δ)

intenzitet – prosječna snaga po jedinici površine koju prenosi EM val

∇⋅E = 0

∇⋅B = 0

∇×E =−∂t B

∇×B = μ ϵ∂t E

GAUSSOV ZAKON


FARADAYEV ZAKON


Maxwellove jednadžbe(u tvari, ali bez slobodnih naboja i bez slobodnih struja)

9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.1 Širenje u linearnom mediju

v =1

√μϵ =cn

indeks loma I =12

v ϵE02

9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.2 Refleksija i transmisija za normalni upad


R+T = 1

R ≡IR

I I

T ≡I T

I I

koeficijentrefleksije

koeficijenttransmisije

R = ( n1−n2

n1+n2)

2

T =4n1n2

(n1+n2 )2

za svjetlost koja iz zraka (n1 = 1) ulazi u staklo (n

1 = 1,5): R = 0,04 i T = 0,96

9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.3 Refleksija i transmisija za kosi upad


Tri temeljna zakona geometrijske optike: (1) valni vektori upadnog, reflektiranog i transmitiranog vala leže u ustoj ravnini

(2) zakon odbijanja

(3) zakon loma (Snellov zakon)

θI = θR

sin θT

sin θ I

=n1

n2

9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.3 Refleksija i transmisija za kosi upad



Documents

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI 1. dio - fizika.unios.hr · 9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu 9.2.2 Monokromatski ravni valovi Faradayev zakon povezuje amplitude električnog i magnetskog