Diferenciálne rovnice

Základný jazyk fyziky

Motivácia• Typická úloha fyziky – hľadanie časových priebehov veličín, ktoré

spĺňajú daný fyzikálny zákon.

mgmr F

mg v mg r

0

(0)

(0)

r h

r v

Fyzikálny

zákon

Počiatočné

podmienky

Určte trajektóriu telesa

padajúceho v gravitačnom

poli.

( ) ????r t

Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so

svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.

Klasifikácia DR

nelineárne

xdt

dxa

dt

xdcos=

2

2

lineárne

0=1

2

2

2

2

2 xtv

druh DR

obyčajné

parciálne

analytický tvar

prvého

druhého

n-tého rádu

najvyšší stupeň

derivácie

Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so

svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.

tfattft exp=sin 2

Všeobecné riešenie

Počiatočná podmienka

vybere jednu krivku:

Počiatočné podmienky DR

rôznych rádov

počiatočné podmienky – hodnoty hľadanej

funkcie a jej derivácii až do n-1 stupňa

(vrátane)

DIFERENCIÁLNE ROVNICE

PRVÉHO RÁDU

Smernicová metóda

( , )y f x y

Smerové pole

Informácia o smerniciach hľadanej funkcie

y y x

y y x

0.2y xy

,0 0, 0y x y y Horizontálne elementy

Pri fixovanom x smernica rastie so zväčšovaním y

Diferenciálne rovnice 1. rádu

Najjednoduchšie DR: ( )y f x

( )y f x dx

2xy e

Diferenciálne rovnice 1. rádu

• Určte rýchlosť v homogénnom gravitačnom poli. Teleso

v čase t=0 malo rýchlosť v(0)=v0.

.= jbxiav

•Častica sa pohybuje z bodu [0,0] rýchlosťou:

Nájdite jej trajektóriu.

Najjednoduchšie DR: ( )y f x

( )y f x dx

mv mg mx mg

Vektorové rovnice prepisujeme do algebraického tvaru

Diferenciálne rovnice so

separovanými alebo

separovateľnými premennými

= , ( ) ( )y f x y h x g y

=

dyh x dx

g y

= x yy e

Rádioktívny rozpad

Úprava: Každá strana rovnice

obsahuje len jednu premennú

1 0x dy ydx

1

dy dx

y x

4 3dy x

ydx y

24 0 1dy

xy ydx

24

dyxdx

y

2

1

2y

x C

24 cos 3 0 0 0dy

y y x ydx

Niekedy sa nedá funkcia vyjadriť explicitne ani cez x ani cez y

Zákon premeny- štatistický charakter

teNN

NdtdN

0

0

tdN t

e dtN

0

1tt e dt

1/ 2

ln 2ln 2T

Polčas premeny

– čas, za ktorý počet jadier klesne na ½

Stredná doba života

Pravdepodobnosť, že premena

sa zrealizuje v čase t+dt

Počet nepremenených jadier, t.j

rádioaktívnych

Počet premenených jadier v čase t,t+dt

Pravdepodobnosť, že hociktoré jadro sa rozpadne počas dt je dt

Jadro nemá pamäť a pravdepodobnosť rozpadu za jednotku

času je konštanta, až pokiaľ sa jadro nerozpadne

JADROVA FYZIKA

Rádioaktívny rozpad

dN Ndt

0

tN N e

Ak polčas je 10 h, potom pre každé

jadro je pravdepodobnosť, že sa

rozpadne 50 %, ale nemá istotu

100 %, že sa rozpadne za 20h

t1/2 polčas premeny

je doba života

Rádioaktívna premena má štatistický

charakter

Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H.

Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s.

Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a

2v gh

V – objem kvapaliny v nádobe: V=Sh dV=Sdh

Úbytok objemu kvapaliny v nádobe dV=-svdt

2dh s

gdtSh

Za

ča

s d

t vyte

čie

z n

ád

oby o

bje

m d

V, kto

rý s

a

rovn

á ú

bytk

u k

va

pa

liny v

ná

do

be

Počiatočná podmienka 0h H

2

22

sh t H gt

S

2

2

S HT

gs

HYDRODYNAMIKA

Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H.

Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s.

Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a

x

y

22

a sg

xy

2dh s

gdtSh

y x

Bernouliho rovnica

ZÁKON ZACHOVANIA ENERGIE

W A

2

1 1 1

1

2p v gy konst

21

2gh v

2v gh

2

1 1 1

1

2p v gy konst

TERMODYNAMIKA

p(x+dx)

p(x)

x

Objem plynu

Sila pôsobiaca na JEDNU molekulu:

Sily pôsobiace na objemový element v smere osi x:

1xdF ndxdSmg

2x

dpdF dxdS

dx

0

0

( )1

dpnmg p nkT

dx

dp mg dx

xp kT

1 2 0x xdF dF

Pole:

Susedné vrstvy:

Podmienka pre termodynamickú rovnováhu:

dS

Teplota plynu sa mení s výškou T=T0(1-x). Určte, ako sa mení tlak a hustota plynu v atmosfére. Na povrchu zeme h=0 je tlak p0. 1, Teplota plynu sa mení s výškou T=T0(1-x).2, izotermická atmosféra

ADIABATICKÝ

DEJ

konst

T

p

1

0Q

konstpV κ

konstTV κ 1

Adiabatický dej

Q W dU 0 vpdV nc dT

pV nRT dpV pdV nRdT

1. veta termodynamická

Stavová rovnica

konstpV κ

p

p v

v

CC C R

C

Ochladzovanie telies

0 00dT

k T T Tdt

0

dTkdt

T

Určenie k: za čas sa ochladí na T

Počiatočná

teplota

Teplota

okolia

Počiatočná

teplota

MECHANIKA

dm v mg v

dt

0

t

mmg mg

v v e

/

0

/

0 1

t m

t m

mg m mgx t t v e c

mg m mgx t t v e

00v v

0 0x

Počiatočná

rýchlosť

Počiatočná

rýchlosť

dm v mg v

dt

Konečná rýchlosť

Ak počiatočná rýchlosť je

väčšia dv/dt<0 , teleso

spomaľuje. Ak počiatočná

rýchlosť je menšia dv/dt>0 ,

rýchlosť telesa sa začne

zmenšovať až dosiahne

terminálnu rýchlosť. 50 m/s

10 m/s

Homogénne diferenciálne rovnice

yy f

x

yu

xsubstitúcia

( )

du dx

f u u x

0xy y x

Vedie k

separovateľnej

DR

y u x u

2 2 2 0xy y x x y

cos lny

xy yx

y xy xy

Lineárne DR 1. rádu

metóda viariácie konštánt

1 0 0

=

a x y a x y g x

y P x y Q x

1. Nájdeme homogénne riešenie

2. Konštantu povýšime na funkciu A A(x)

3. Dosadíme počiatočné podmienky

( )exp ( )y A x P x dx

exp ( )y A P x dx

Metóda variácie konštánt

2

2 xy ey

x x

2 10xy y x y y x

x

2y xy x Aj separovateľná aj homogénna

Partikulárne, homogénne a všeobecné

riešenia

=y P x y Q x

=p py P x y Q x = 0h hy P x y

=

=

=

p h p h

h p p h

h h p p

y y P x y y Q x

y y P x y P x y Q x

y P x y y P x y Q x

Partikulárne riešenie

hocijaké konkrétne riešenie vyhovujúce rovnici:Homogénne riešenie

riešenie vyhovujúce rovnici:

p hy y y

Všeobecné riešenie

Nájd

i hocija

ké

partik

ulá

rne rie

šenie

a

keď

k n

em

u p

ripočíta

š

hom

ogénne, d

osta

neš

všeobecné

DR prvého rádu s konštantnou pravou

stranou a konštantnými koeficientami

Základná črta - saturácia

Ndt

18F

dNA N

dt

dN Nd dqt t

Príklady, ktoré vedú k rovnakej

diferenciálnej rovnici

dN Ndt qdt

0

diL Ri U

dt

Nájdite priebeh prúdu v RL obvode, keď ho zapojíme na konštantné napätie U0

Príkladdy, ktoré vedú k rovnakej

rovnici

dvm mg v

dt

Určte priebeh rýchlosti telesa padajúceho v homogénnom gravitačnom poli.

Predpokladajte, že odpor je úmerný jeho rýchlosti

Bernoulliho DR

my A x y B x y 0,1m

1m m

y AB

y y

1 (1 )m mz y z m y y

1

zAz B

m

zaviesť substitúciu :

LDR

22 0xy y xy

my A x y B x y

Zníženie rádu

( , )y f x y y z

y z

( , )y f y y

dyy z y

dx

dz dy dzy z z

dy dx dy

( , )dz

z f y zdy

Chýba y

( )y f x y z

y z

1 1 2

sin

sin cos sin

y x

z x z x C y x C x C

2

2 2

1

3

1 2

1 2 0

1 2 0 1

3

x y xy

x z xz z C x

xy C x C

2

2

1 2

1 2

y yy

dzz yz

dy

( )z f x

( , )z f x z

Chýba x

Špeciálne pohybové rovnice vo

fyzike

mx F t

v x

mv F t

mx F x dtxFmdv

xFvm

=

=

Keďže za čas dt teleso

sa posunie o dx=vdt

=dx

mdv F xv

2

0 0

22

0

0

=

=2

=2 2

v x

x

mvdv F x dx

v xv

d m F x dx

xvv

m m F x dx

22

0

0

=2 2

x

xvv

m m F x dx

Loďka sa pohybuje rýchlosťou v0 a vypla motor. Odpor vody je

úmerná druhej mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť

klesne na polovicu. Určte dráhu, ktorú loďka prešla

Teleso s hmotnosťou m bolo vrhnuté z povrchu Zeme rýchlosťou v0.

smerom nahor. Nájdite jeho polohu v ľubovoľnom čase, pričom berte do

úvahy nehomogénnosť gravitačného poľa.

20

20

2

2

0

112=

112=

=

vRy

Mv

vRy

Mv

dyy

My

vdv

v

z

z

z

z

z

zRv

v

dydt =

2

2 2

2

=

=

z

z

M md ym

dt y

M mdvm

dt y

=my f y

zz

zz

RvM

RMy

20

max2

2=

Loďka sa pohybuje rýchlosťou v0 a vypla motor. Odpor vody je úmerná druhej

mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť klesne na polovicu. Určte dráhu,

ktorú loďka prešla

22

2

2

d xm v

dt

dvm v

dt

0x x

y y

dv v

d dt mm v mg v

ddtv v g

dt m

00

(0) 0

x

y

v v

v

Počiatočné podmienkyDiferenciálna rovnicaDiferenciálna rovnica

v zložkovom tvare