ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA II

--Predavanja-- 12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOG ZRAČENJA (FOTONI) 12.1. Zakočno rendgensko zračenje U prošlom poglavlju vidjeli smo da je za objašnjenje toplinskog zračenja bilo potrebno uvesti hipotezu (Planck) o emisiji elektromagnetskog zračenja u obrocima hω . Kvantna priroda zračenja potvrđuje se također postojanjem kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Rendgenske zrake nastaju pri bombardiranju čvrstih meta brzim elektronima. Na slici 12.1. dana je shematski prikazana elektronska rendgenska cijev1.

Rendgenske2 zrake stvaraju se u jonskim ili elektronskim cijevima. Mi ćemo opisati elektronsku rendgensku cijev jer je suvremenija i nalazi se u širokoj primjeni. Kod ovog tipa rendgenske cijevi emisija elektrona je termoelektronska, na principu zagrijavanja katode. Katoda (K) je u obliku spirale (volfram) koja se zagrijava do usijanja, posebnim strujnim kolom. Na suprotnoj strani katode u cijevi u kojoj je visoki vakuum (oko 10-5 Pa) nalazi se anoda (A). Između anode i katode priključen je visoki napon. Slobodni elektroni nastali pod djelovanjem električnog polja kreću se ubrzano prema anodi sa kojom se sudaraju. Na mjestu sudara nastaju rendgenski ili X-zraci.

1 Ovo je shema prve rendgenske cijevi, sada su u upotrebi cijevi od metala s otvorima za X- zrake. 2 W.C. Rontgen (1845-1923), njemački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1901).

1

Veći dio energije elektrona izdvaja se na anodi (antikatodi) u obliku toplote; u zračenje se pretvara samo 1-3% energije. Cijevi velike snage treba intenzivno hladiti. Obično kroz tijelo anode cirkulira tečnost za hlađenje. Eksperiment pokazuje da se intenzivno zračenje može dobiti samo pri naglom kočenju brzih elektrona. Za ovo na rendgensku cijev treba dovesti napon više od 50 kV. Kod takvog napona elektron postiže brzinu reda veličine 0,4 c, kod 50 MV brzina elektrona iznosi 0,99995 c. Takvi elektroni daju izuzetno male valne dužine X-zračenja. Za dovoljno veliku brzinu elektrona, osim zakočnog zračenja (tj. zračenja uvjetovanog kočenjem elektrona) pobuđuje se i karakteristično zračenje. Karakteristično zračenje izazvano je pobuđivanjem unutrašnjih elektrona omotača atoma, tijela mete (antikatode). Prema klasičnoj elektrodinamici, pri kočenju elektrona, treba da se jave valovi svih valnih dužina od nule do beskonačnosti. Valna dužina kojoj odgovara maksimum zračenja treba da se smanjuje sa povećanjem brzine elektrona, tj. napona u cijevi, U. Na slici 12.2. prikazane su

eksperimentalne krivulje raspodjele intenziteta zakočnog zračenja dIdλ

po valnim dužinama λ

za razne vrijednosti napona U.

λddI

λ(nm)

Slika 12.2. Kao što se vidi na slici 12.2. postoje odstupanja od zahtjeva klasične elektrodinamike. Neslaganje se sastoji u tome da funkcija raspodjele ne ide prema koordinatnom početku nego se prekida kod neke konačne vrijednosti λm. Eksperimentalno je utvrđeno da je kratkovalna granica zakočnog zračenja povezana s naponom relacijom:

( ) [ ]λmin =1239U V

nm (12.1.)

gdje je λmin izraženo u nm a napon U u voltima. Postojanje kratkovalne granice može se objasniti kvantnom prirodom zračenja. Ako prihvatimo da zračenje nastaje na račun energije

2

koju elektron gubi pri kočenju, to veličina kvanta hω ne može da bude veća od kinetičke energije elektrona. Prelazeći potencijalnu razliku u električnom polju rendgenske cijevi, elektron vrši rad koji je jednak kinetičkoj energiji: mv

eU2

2=

(12.2.)

gdje je e=1,6 x 10-19 C, a U napon. Iz ovoga slijedi: hω ≤ eU (12.3.) Pošto maksimalnoj frekvenciji odgovara minimalna valna dužina dobivamo:

ω

λπ

ω

max

minmax

=

= =

eU

c hceU

h2

(12.4.)

Zamjenom vrijednosti konstanti h, c i e dobivamo relaciju (12.1.) koju je trebalo objasniti:

( ) [ ]λmin =1239U V

nm

Spektar zakočnog zračenja je kontinuiran i ne zavisi od (materijala) supstance od kojeg je napravljena anoda pa se obično zove bijelo zračenje (po analogiji sa spektrom Sunčevog zračenja). Ukoliko je energija elektrona jednaka kritičnoj veličini ili veća od nje nastaje zračenje koje se naziva karakteristično zračenje, koje nastaje kao posljedica izbijanja elektrona iz unutrašnjih orbita atoma materijala od kojeg je napravljena anoda. Elektroni vrlo velikih brzina udaraju u anodu, i pobuđuju atom, upražnjeno mjesto se popunjava elektronima iz vanjskih orbita) praćeno je emisijom X-zraka karakterističnog spektra. Na slici 12.3. dat je karakteristični spektar. Objašnjenje karakterističnog spektra objašnjava kvantna teorija o čemu će biti riječi u slijedećim poglavljima.

3

12.2. Fotoelektrični efekt Fotoelektrični efekt ili fotoefekt naziva se emisija elektrona iz materije pod djelovanjem svjetlosti. Ovu pojavu otkrio je 1887. godine Hertz3, primijetivši da se preskakanje iskri između cinkovih kuglica znatno olakša ako se jedna kuglica osvijetli ultraljubičastom svjetlošću. na slici 12.4. dana je shema uređaja za ispitivanje fotoefekta. Svjetlost prolazi kroz kvarcni prozor KP u evakuirani balon i osvjetljava katodu K, koja je napravljena od materijala koji se ispituje. Elektroni emitirani, uslijed fotoefekta, prelaze pod djelovanjem električnog polja na anodu A. Kao rezultat u električnom kolu teče struja koja se mjeri galvanometrom G. Napon između anode i katode može se mijenjati pomoću potenciometra P.

3 Heinrich Hertz (1857-1894), njemački fizičar, prvi eksperimentalno dobio elektromagnetske valove i time potvrdio Maxwellovu teoriju.

4

Na slici 12.5. prikazana je krivulja koja pokazuje ovisnost fotostruje i o naponu između elektroda U, pri konstantnom svjetlosnom fluksu Φ. Iz te krivulje se vidi da pri nekom velikom naponu, fotostruja postaje zasićena. Struja zasićenja se postiže kada svi elektroni koje emitira katoda dospijevaju na anodu. Jačina struje zasićenja izas određuje se prema broju elektrona koje emitira katoda u jedinici vremena pod djelovanjem svjetlosti. Za U=0, fotostruja ne iščezava. To služi kao dokaz da elektroni napuštaju katodu sa brzinom različitom od nule. Da bi fotostruja bila jednaka nuli, potrebno je dovesti napon kočenja Uk. Pri takvom naponu ni jedan od elektrona čak ni oni najbrži vm ne dospijevaju na anodu. Pri ovome možemo pisati da je: 12

2mv eUm k= (12.5.)

gdje je m-masa elektrona, a e-naboj elektrona. Na ovaj način, ako se izmjeri napon kočenja Uk, može se odrediti maksimalna vrijednost brzine fotoelektrona. Ako je spektralni sastav svjetlosti koja pada na katodu konstantan, jačina struje zasićenja izas je proporcionalna svjetlosnom fluksu Φ: i kzas = λΦ

(12.6.) gdje je kλ koeficijent proporcionalnosti. Eksperiment pokazuje da napon kočenja Uk ne ovisi o veličini svjetlosnog fluksa nego o frekvenciji. Sa slike 12.6. se vidi da u slučaju da se katoda obasja monokromatskom svjetlošću, napon kočenja se mijenja sa frekvencijom svjetlosti ω po linearnom zakonu: U ak = −ω ϕ (12.7.) gdje su a i ϕ konstante. Pomnožimo (12.7.) sa e i uvrstimo u relaciju (12.5.) dobit ćemo:

( )eU mv e ak m= = −12

2 ω ϕ (12.8.)

5

Iz posljednje relacije slijedi: elektroni mogu napustiti katodu pod djelovanjem svjetlosti kada je ispunjen uvjet: aω ϕ≥ , (12.9.)

ω ωϕ

≥ =o a

Za valnu dužinu dobiva se odgovarajući uvjet.

λ λπϕ

≥ =oca2

(12.10.)

Frekvencija ωo ili valna dužina λo, naziva se crvena granica fotoefekta. To je granična frekvencija pri kojoj je napon kočenja jednak nuli, slika 12.7.

Zakoni fotoefekta su u suprotnosti sa klasičnom valnom teorijom svjetlosti. Prema klasičnoj elektromagnetskoj teoriji, elektroni materije oscilirali bi proporcionalno s amplitudom svjetlosnih valova. Međutim, eksperiment pokazuje da brzina elektrona ne zavisi od amplitude svjetlosnih valova nego samo od frekvencije upadne svjetlosti. Albert Einstein je 1905. godine pokazao da se zakonitosti fotoelektričnog efekta mogu lako objasniti, ako se pretpostavi da se svjetlost apsorbira u istim obrocima (kvantima) hω , u kojima se prema Plankovom zakonu emitira.

6

Kada se svjetlosni kvant (foton) sudari sa elektronom koji se nalazi na površini metala ili neposredno ispod nje, on može da prenese svoju energiju na elektron. Elektron primi ili cjelokupnu energiju fotona ili ne primi nikakvu. U slučaju predaje energije, foton prestaje da postoji. Energija koju je elektron primio može da mu omogući da prođe kroz potencijalnu barijeru, ukoliko se kreće u dobrom pravcu. Prolazeći kroz potencijalnu barijeru elektron gubi određenu količinu energije W, koja je karakteristična za danu površinu i naziva se izlazni rad. Elektron koji polazi sa nekog udaljenijeg mjesta ispod površine može da izgubi veći iznos energije, ali maksimalna energija kojom elektron može da napusti površinu metala ravna je energiji fotona umanjenoj za veličinu izlaznog rada. Dakle maksimalna kinetička energija fotoelektrona izbačenih kvantima svjetlosti jednaka je:

Wmvm −= ωh2

21

(12.11.)

Relacija (12.11.) je poznati Einsteinov zakon fotoelektričnog efekta. Lako je vidjeti da je ovaj zakon u suglasnosti sa Millikanovim4 (Milikan) eksperimentalnim rezultatima, relacija (12.8.). Uporedjivanjem jednadžbi (12.8.) i (12.11.) dobivamo da je:

ϕα

eWetgea

===h

(12.12.)

Prema tome, iz tangensa nagibnog ugla na slici 12.7. može se odrediti Planckova konstanta . Vrijednost za dobivena na ovaj način podudara se sa rezultatima dobivenim iz spektralne raspodjele ravnotežnog toplotnog zračenja i kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Odsječak ϕ, koji pravi siječe na osi Uk daje izlazni potencijal za supstancu od koje je napravljena katoda.

h h

Einsteinova teorija također objašnjava i proporcionalnost struje zasićenja izas i upadnog fluksa Φ, relacija (12.6.). Naime, veličina svjetlosnog fluksa određena je brojem kvanata svjetlosti koji padaju na površinu u jedinici vremena. Istovremeno, broj oslobođenih elektrona treba da bude proporcionalan broju upadnih kvanata. Povećanje fluksa svjetlosti znači samo da, više fotona pada na katodu u jedinici vremena, što odgovara većem broju izbačenih fotoelektrona, ali maksimalna energija ostaje ista jer je i energija fotona ista. Granična frekvencija (crvena granica fotoefekta) danog materijala je ona frekvencija pri kojoj je energija fotona jednaka izlaznom radu materijala, tj. elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine. Osim vanjskog fotoefekta, kojeg smo izučavali, postoji također i unutrašnji fotoefekt, koji se primjećuje u dielektricima i poluvodičima. 12.3. Fotoni Da bi se objasnila raspodjela energije u spektru ravnotežnog toplinskog zračenja dovoljno je, kao što je pokazao Planck, pretpostaviti da se svjetlost emitira samo u kvantima hω . Da bi se objasnio fotoefekt dovoljno je pretpostaviti da se svjetlost apsorbira u istim takvim kvantima. Međutim, Einstein je išao dalje. On je pretpostavio da se svjetlost rasprostire u obliku diskretnih čestica, prvobitno nazvanih svjetlosni kvanti, a kasnije su te

4 Robert Andrews Millikan (1868-1953), američki fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1923)

7

čestice dobile naziv fotoni. Einsteinova hipoteza potvrđena je nizom eksperimenata. Foton treba shvatiti kao česticu u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog polja, tj. česticu čija je energija jednaka:

Ec

= =hh

ωπλ

2

(12.13.)

Energija fotona, zavisi samo od valne dužine, odnosno frekvencije elektromag- netskog zračenja. Foton valne dužine λ=550 nm ima energiju E=2,23 eV, dok energija fotona X-zraka leži u intervalu od 15 eV (λ=80 nm) do približno 100 MeV (λ=10-14 m). Suglasno teoriji relativnosti, čestici s energijom E odgovara masa, m=E/c2. Odavde se dobije da je masa fotona jednaka:

mc

=hω

2 (12.14.)

S druge strane, ako u izraz za relativističku masu (10.43.) uvrstimo, za brzinu fotona brzinu svjetlosti, tj. v=c, nazivnik će biti jednak nuli. Istovremeno je, kao što se vidi iz (12.14.) masa fotona konačna. Ovo je moguće jedino u slučaju da je masa mirovanja mo, jednaka nuli, tj.:

mm

vc

=

−

=02

21

00

Znači, foton je čestica koja se bitno razlikuje od čestica kao što su elektron, proton i neutron, koji imaju masu mirovanja različitu od nule i koji se mogu nalaziti u stanju mirovanja. Foton nema mase mirovanja i može da postoji samo kad se kreće brzinom svjetlosti. Uvrštavanjem mo=0 u formulu (10.56.) dobiva se E=cp. Odavde slijedi da foton ima impuls:

pEc c

= = =h hω π

λ2

(12.15.)

Uzimajući u obzir da je 2πλ

jednako valnom broju k, tj. modulu valnog vektora rk ,

impuls fotona može se pisati u obliku vektora:

rhr

p k= (12.16.)

Iz postojanja impulsa fotona slijedi da svjetlost, koja pada na bilo koje tijelo, mora da vrši pritisak na to tijelo, koji je jednak impulsu koji fotoni predaju jedinici površine u jedinici vremena. Razmotrili smo niz pojava, u kojima se svjetlost ponaša kao struja čestica (fotona). Međutim, ne treba zaboraviti da se pojave kao što su interferencija i difrakcija svjetlosti, mogu objasniti samo na osnovu valnih pretpostavki.

8

Svjetlost iskazuje korpuskularno-valni dualizam: u nekim pojavama pokazuje se njena valna priroda i ona se ponaša kao elektromagnetski val, a u drugim pojavama, pokazuje se korpuskularna priroda svjetlosti i ona se ponaša kao tok fotona. Dualizam je karakterističan ne samo za svjetlosne čestice, već i za ostale čestice materije (elektrone, protone, neutrone, itd.) o čemu će biti govora kasnije. Da bi objasnili vezu između valne i korpuskularne slike, promatrat ćemo osvijetljenost neke površine. Prema valnoj teoriji osvijetljenost u nekoj točki površine proporcionalna je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema korpuskularnoj teoriji, osvijetljenost je proporcionalna gustoći fluksa fotona. Znači, između kvadrata amplitude svjetlosnog vala i gustoće fluksa fotona postoji direktna proporcionalnost. Nosilac energije i impulsa je foton. Kvadrat amplitude vala određuje vjerojatnost da foton padne u danu točku površine. Vjerojatnost dP da foton bude nađen unutar zapremine dV, koja u sebi sadrži promatranu točku, određena je izrazom: dP XA dV= 2 (12.17.) gdje je X koeficijent proporcionalnosti, A amplituda svjetlosnog vala. Veličina:

2AdVdP χ=

(12.18.)

naziva se gustoća vjerojatnosti. 12.4. Comptonov efekt I pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotofekta, veliki broj fizičara je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Točnije, i dalje se sumnjalo u korpuskularnost fotona, u njihovu individualnost u prostoru. Eksperiment kojeg je izveo A.Compton (Kompton) 1923. godine jasno je istakao korpuskularne osobine svjetlosti, nazvan je Comptonov efekt. Compton je istražujući raspršenje rendgenskih zraka na raznim supstancama (litij, berilij, grafit) primijetio da se raspršeni zraci, sastoje od dvije komponente: jedna sa nepromijenjenom valnom dužinom λ, i druga čija je valna dužina λ’ veća od valne dužine upadnog zračenja. Shema Comptonovog eksperimenta dana je na slici 12.8. Uzak snop monokromatskog rendgenskog zračenja pada na supstancu koja ga raspršuje. Spektralni sastav raspršenog zračenja ispituje se pomoću rendgenskog spektrografa sastavljenog od kristala i jonizacione komore. Eksperimentalno je pokazana slijedeća ovisnost:

( )Δλ λ θ= −0 1 cos (12.19.) gdje je Δλ=λ’-λ, θ ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer prvobitnog snopa, λo je Comptonova valna dužina koja za elektrone ima vrijednost: λ0

122 42 10= ⋅ −, m (12.20.)

9

Comptonov efekt može se objasniti, ako se raspršenje promatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s praktično slobodnim elektronima. Slobodnim, se mogu smatrati elektroni koji su najslabiji vezani za atom, čija je energija vezanja znatno manja od energije koju foton može da preda elektronu prilikom sudara. Suština eksperimenta sastoji se u slijedećem: neka na elektron, koji se nalazi u stanju mirovanja, pada foton energije hω , i impulsa h

rk . Energija elektrona do sudara iznosi

moc2(mo masa mirovanja), impuls je jednak nuli. Poslije sudara elektron će imati energiju mc2 i impuls mvr , a energija i impuls fotona će se također promijeniti i iznosit će hω ’ i ’. Iz zakona o očuvanju impulsa (količine kretanja) i očuvanja energije slijede dvije relacije.

hrk

hr r

hr

h h

k mv km c mc

= +

+ = +

''ω ω0

2 2

(12.21.)

Dijeljenjem druge jednadžbe sa c i kvadriranjem, ona se može dovesti u oblik: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )mc m c k k k k m c k k2

02 2 2

02 2= + + − + −h h h h h' ' '

cos

(12.22.)

Iz slike 12.8. slijedi da je: ( ) ( ) ( ) ( )( )mv k k k k2 2 2

2= + −h h h h' ' θ (12.23.)

Oduzimanjem jednadžbe (12.23.) do (12.22.) dobiva se:

( ) ( ) ( )m c v m c kk m c k k2 2 202 2 2

02 1 2− = − − + −h h' cos 'θ (12.24.)

Uzimajući u obzir relaciju (10.43.) lako možemo pokazati da je m2(c2-v2)=m2

oc2. Zamijenimo ovo u gornju jednadžbu dobivamo:

( ) ( )m c k k kk0 1− = −' ' cosh θ (12.25.)

Pomnožimo relaciju (12.25.) s 2π i podijelimo s kk’ moc, dobivamo:

10

( )2 2 21

0

π π πθ

k k m c'cos− = −

h

(12.26.)

Pošto je 2 2π

λπ

λk

ik

='

'= , dobivamo formulu:

(Δλ λ λ )πθ= − = −'

21

0

h

m ccos

(12.27.)

koja se podudara sa empirijskom formulom (12.19.). Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti , mo i c dobiva se vrijednost za konstantu λo:

h

λ0

122 10= ⋅ −,42 m što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnim rezultatima (12.20.).

11