ZAMAN SERİLERİ EKONOMETRİSİ I:DURAĞANLIK, BİRİM KÖKLER

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR

• Bir zaman serisi, bir değişkenin zaman içindeki hareketini gözlemler. Değişkenlere ilişkin değerler aylık, üç aylık, yıllık olabildiği gibi, haftalık hatta günlük de olabilir. Aylık işsizlik oranları, yıllık enflasyon oranları vb.

TEMEL KAVRAMLAR

• Ekonometrik bir  çalışmada  model  içerisinde  ele  alınan değişkenler  arasındaki  ilişki  analiz  edilirken,  elde  edilen sonuçların iktisadi, istatistiksel ve ekonometrik açıdan tutarlıolmaları gerekir. 

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR

Model tahminleri birtakım amaçlar için yapılır:

Bu amaçlar, yapısal analiz, 

Geleceği tahmin etme (öngörü)dir. 

Yapısal analiz, iktisadi teorilerin test edilmesi, 

Geleceği tahmin etme(Öngörü) ise, tahmin edilen 

modele dayanarak, bağımlı değişkenlerin ileride alacağı

değerlerin belirlenmesidir.

Eğer bir zaman serisi analizi tek değişkenin zaman 

içindeki hareketi inceleniyorsa tek değişkenli zaman 

serisi (univariate),

Eğer birden fazla değişkenin birlikte zaman içindeki 

değişimini gözlemliyorsa çok değişkenli zaman serisi 

(multivariate) adını alır.

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR

Zaman  serileri  random (tesadüfi)  değişkenlerle  yani 

stokastik (olasılık kurallarına bağlı) değişkenlerle çalışır. 

Bir  zaman  serisinin  deterministik ya  da  stokastik

özelliklerinin incelenerek dikkate alınması önemlidir.

Deterministik özellikler;  sabit katsayı,  trend  ve 

mevsimselliğin varlığını ortaya koyarken,

Stokastik özellik; değişkenin durağanlığı

(stationary) ile ilgilidir. Bir zaman serisinin

durağan olması, zaman içinde belirli bir

değere doğru yaklaşması, daha açık bir

ifadeyle, sabit bir ortalama, sabit varyans ve

gecikme seviyesine bağlı kovaryansa sahip

olmasıdır.

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR

Zaman  serileri  hem  bir  bilgi  edinme  kaynağı,  hem  de 

geleceği  bilmeye  yarayan  yöntem  olarak 

değerlendirildiğinde,  serilerde  zaman  içindeki  büyüme 

eğilimin,  trend,  mevsimsellik,  konjonktürel ve  düzensiz 

dalgalanmalar anlamında ayrıştırılması önemlidir. 

Y = T + C + S + I   

Modelde, 

T: Trend, 

C. Konjonktürel,

S: Mevsimsellik 

modelin deterministik kısmını, 

I:stokastik kısmını

ifade  etmektedir.    Değişkenlerin  seyrini  zaman  içinde 

yakalayabilmek  ve  bu  seyri  doğru  tanımlayabilmek  için 

yukarıda sözü edilen  bileşenlerinden  ayrıştırmaya 

gidilmesi gerekir.

STOKASTİK ZAMAN SERİLERİNİN ÖZELLİKLERİ VE DURAĞANLIK

Stokastik bir  süreç izleyen  zaman  serilerinde,  serinin 

durağan(stationary)  olup  olmadığı çok  önem 

kazanmaktadır.  Stokastik veya  random bir  değişkenin 

zaman  içinde  ortalaması,  varyansı ve  otokovaryansının

sabit  olmasına  durağanlık denir. Serinin  değerlerinin 

belli  bir  değere  yaklaşmasını ya  da  beklenen  değeri 

etrafında dalgalandığını ifade eder. 

Eğer bir stokastik süreç durağan değilse, serinin davranışı

sadece  ele  alınan  tahmin  dönemi  için  geçerli  olacaktır. 

Ancak  seri  hakkında  diğer  dönemler  için  bir  genelleme 

yapılamayacak ve değişkene verilecek şok kalıcı olacaktır. 

E(Yt) = µ Ortalama (tüm t’ ler için)

Var(Yt) = E(Yt-µ)2=σ2 Varyans (tüm t’ ler için)

Cov(Yt,Yt+k)= γk Kovaryans (tüm t’ ler için tüm k≠0

için)

STOKASTİK ZAMAN SERİLERİNİN ÖZELLİKLERİ VE DURAĞANLIK

Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve

kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin

durağan olduğu söylenebilir.

• Bir  zaman  serisinin,  başka  bir  zaman  serisine  göre 

regresyonunu  hesaplarken,  ikisi  arasında  anlamlı bir 

ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek bir R2 bulunur. Bu 

durum SAHTE REGRESYON sorununa yol açmaktadır.

ÖRNEK‐1: ABD,1970/I  – 1991/IV Dönemine İlişkin Makroiktisat Verileri

• GSYİÜ = Gayrisafi Yurtiçi Üretim (GDP)

• KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI)

• KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE)

• Karlar (profit)

• Kar Payı Dağıtımları (dividends)

• Bu  zaman  serileri  aslında  durağan olmayan  zaman serilerine örnektir. 

• Her zaman serisinin bir olasılıklı ya da rassal süreç ile türediği düşünülebilir.

• Veri  kümesi  ise  bu  olasılıklı sürecin  bir dışavurumudur.

• Zaman  serileri  çalışmalarında  ilgi  gösterilen  ve incelenen  bir  olasılıklı süreç türü,  durağan  olasılıklısüreçtir.

Durağanlığın Gerekliliği

Bir regresyon denklemindeki açıklayıcı değişkenlerden her

hangi birisi yukarıda tanımlandığı anlamda durağan

olmadığında regresyon teorisi bozulur.

Klasik regresyon modeli durağan değişkenler arasındaki

ilişkilerde kullanılmak için keşfedilmiştir. Bu nedenle

durağan olmayan serilere uygulanmamalıdır.

DURAĞANLIK TESTLERİ

1. Grafiksel Analiz: Serinin grafiği  incelendiğinde seyir konusunda ön bir bilgi edinilebilir. 

a)Durağan Olmama Durumu

Xt Xt

t t

Durağan Olmama Durumu

t

Xt

2. Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

• Basit bir durağanlık testi, ACF’na dayanır. Gecikmesi k iken ρk ile gösterilen ACF şöyle tanımlanır:

• k=0 iken ρk =1 olur, Neden?• ρk’nın k’ye göre  çizilmesiyle  anakütle korelogramıelde edilir.

0

1 1

gecikme k iken ortak varyansvaryans

kk k

γρ ργ

= − < <

=

• Örneklem ACF 

• Örneklem Ortak Varyansı

• Örneklem Varyansı

2

0

( )ˆ tY Y

nγ

−= ∑

0

ˆˆˆ

kk

γργ

=

( )( )ˆ t t k

k

Y Y Y Yn

γ +− −= ∑

ABD, 1970/I – 1991‐IV arası döneme ilişkin GSYİÜ serisine ilişkin korelogram

kρ

• Herhangi bir          nin istatistik bakımından anlamlılığı, standart hatasıyla belirlenir.

• Bartlett, bir zaman serisi bütünüyle  rassal ise  (beyaz gürültü)  Örneklem  Otokorelasyon Katsayılarının sıfır  ortalama  ve  1/n  varyansla yaklaşık  normal dağıldığını söyler.

• n=88,  varyans 1/88  ve standart sapma          •

. ρknın %95 güven aralığı

ˆkρ

(0,1/ )N n

1/ 0.1066n =

1.96(0.1066) 0.2089± = ±

Tahmin edilen ρk (‐0.2089, 0.2089 ) aralığına düşerse gerçek ρk’nın

sıfır  olduğunu  söyleyen  hipotezi  reddetmeyiz. Dışına  düşerse 

gerçek  ρk’nın sıfır  olduğunu  söyleyen  hipotezi  reddederiz.%95 

güven aralığı şekilde (korelogram)  iki kesikli çizgiyle gösterilmiştir.

0

0

( 0 .2 0 8 9 0 .2 0 8 9 ) 0 .9 5: 0: 0

ρρρ

− ≤ ≤ ==

≠

k

k

k

PH s e r i d u r a ğ a nH s e r i d u r a ğ a n d e ğ i l

• Bütün ρk otokorelasyon katsayılarının eşanlı olarak sıfır  olduğunun  test  edilmesinde  kullanılır.Box ve Pierce tarafından geliştirilmiştir.

• Q  istatistiği asimptotik olarak m  serbestlik derecesi ile Ki‐kare dağılır.

• n:örneklem büyüklüğü (örnekte 88 dir)• m:gecikme uzunluğu (örnekte 25 dir)

Durağan  bir  seriye  ilişkin  korelogram incelendiğinde,  Q istatistiklerinin  anlamlı olmadığı söylenebilir.  ACF değerleri,  bir  durağan  seri  için  sıfıra  yaklaşırsa,  bütün gecikmeler  için  otokorelasyon olmadığını söyleyen hipotez kabul edilecektir.

Q istatistiği

2

1

0 1 2

20

ˆ

. . . 0

r e d e d i le b i l i r .d u r a ğ a n d e ğ i ld i r .

m

kk

k

Q n

H

Q H

ρ

ρ ρ ρ

χ

=

=

= = = = =

> ⇒

∑

Q test istatistiği=792.98

α=0.05  m=25 gecikme için  ki – kare tablo değeri=37.6525dir.

H0 reddir. Yani seri durağan değildir.

Q istatistiği  m sd li ki‐kare dağılımı gösterir.

DURAĞANLIĞIN BİRİM KÖKLE SINANMASI

1 'nin bir birim kökü vard ır, rassal yürüyüş serisidir, durağan değ ildir.

ρ = ⇒ tY

Dickey ve Fuller Birim Kök Testi Basit bir seride birim kökün varlığını araştıran sistematik test Dickey ve Fuller tarafından ortaya konan bir testtir.

21 (0, ) : beyaz gürültü hata terimiσ−= +t t t tY Y u u

1ρ −= +t t tY Y u Sürecinde birim kökün varlığı araştırıldığında hipotez aşağıdaki gibi oluşturulur.

0

1

: 1 (Seri durağan değildir): 1 (Seri durağandır)

ρρ

≥

<

HH

ut : ortalaması sıfır,

varyansı değişmeyen,

ardışık bağımlı olmayan,

olasılıklı hata terimidir.

Bu hata terimi “beyaz gürültü hata terimi” olarak anılmaktadır.

1

1 1 1

1

1

1

( 1) 1

: birinci fark işlemcisi( )

ρρ

ρδ δ ρ

−

− − −

−

−

−

= +− = − +

Δ = − +

= + = −

ΔΔ = −

t t t

t t t t t

t t t

t t

t t t

Y Y uY Y Y Y u

Y Y uY u

Y Y Y

1ρ −= +t t tY Y u Eşitliğin her iki tarafı Yt‐1 den çıkarılırsa

Bu durumda H0 hipotezi

0 0

1 0

: 1 veya H : 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır: 1 veya H : 0(Seri durağandır)

ρ δρ δ

≥ ≥

< <

HH

0 : 1 ( =0) birim kök vardır, durağan değildir.hipotezini test etmek için kullanılan t istatistiği, istatistiği olarak bilinir. H ρ δ

τ=

τ İstatistiğinin  eşik  değerleri  Dickey – Fuller  tarafından belirlenmiştir.  Bu  teste Dickey‐Fuller  testi adı da verilmektedir.

eğer Eşik değeriseri durağandır

τ τ>

⇒

•Eğer, bir zaman serisinin birinci farkları durağan ise başlangıç (rassal yürüyüş) serisi 1.dereceden bütünleşiktir , I(1)

•Eğer, durağan bir seriye ulaşmadan önce ilk serinin iki kez farkı alınıyorsa, ilk seri 2.dereceden bütünleşiktir , I(2)

•Eğer bir zaman serisinin d kez farkının alınmasıgerekiyorsa, o seri d’inci dereceden bütünleşik ya da I(d)’dir.

1. Pür Rassal Yürüyüş Modeli: Bu model trendin ve sabitin yer almadığı modeldir.

t t 1 tY Y uδ −Δ = +

t 1 2 t 1 tY t Y uβ β δ −Δ = + + + Dickey-Fuller birim kök sınamasıiçin üç model kullanılır.

0 0

1 0

: 1 veya H : 0( Seri durağan değildir, birim kök vardı: 1 veya H : 0(Seri durağandır)

ρ δρ δ

≥ ≥

< <

HH

şeklindeki hipotezler test edilir.

2. Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Modelde sabit yer almaktadır.

t 1 t 1 tY Y uβ δ −Δ = + +

0 0

1 0

: 1 veya H : 0( Seri durağan değildir, birim kök vardı: 1 veya H : 0(Seri durağandır)

ρ δρ δ

≥ ≥

< <

HH

şeklindeki hipotezler test edilir. H0 hipotezi kabul edilirse süreç durağan değildir.

3. Trend ve Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Eşitliğin sağ tarafında sabit ve deterministik trend birlikte yar almaktadır. Yani model tüm deterministik bileşenleri ve stokastik kısmı içermektedir.

t 1 2 t 1 tY t Y uβ β δ −Δ = + + +

0 0

1 0

: 1 veya H : 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır): 1 veya H : 0(Seri durağandır)

ρ δρ δ

≥ ≥

< <

HH

Seri hakkında fazla bir bir bilgi yoksa 3. modelden başlanarak ilgili kritik değerlerle hipotez sınanır ve

1. Eğer H0 reddedilirse serinin trend durağan I(0) olduğuna karar verilir.

2. H0 hipotezi kabul edilirse de birim kökün varlığına karar verilir.

Trend Çizgisi

GSYİÜ Zaman Serisi Durağan mı?

H0: δ=0 yani ρ=1 

%1, %5 ve %10 için kritik değerler :

‐3.5064, ‐2.8947, ‐2.5842 ⇒ GSYİÜ birim kök taşır

Δ GDPt = 190.3857 + 1.4776t − 0.0603GDPt−1

t = (1.8389)       (1.6109)        (−1.6252)

model için kritik değerler: −4.0661, −3.4614, ve  −3.1567 dir.

Deterministik trend yok. Birim kök vardır. Seri durağan değildir. Stokastiktrend vardır. Fark alma işlemi yapılır.

Eğer H0 hipotezi reddedilseydi serinin trend durağan olduğuna karar verilecekti.

GSYİÜ Serisinin İlk Farkları Durağan mı?

%1 için kritik değer ‐3. 5073; -6.6303 test değeri ile karşılaştırıldığında H0 red edilebilir.GSYİÜ verilerinin ilk farkları birim kök taşımaz, yani durağandır

ÖRNEK: 1991: 01‐ 2004: 02 dönemine ilişkin üçer aylık toptan eşya fiyat indeksi serisinin durağan olup olmadığını birim kök testi ile araştırınız.

Serinin logaritmasının alınması ile serinin değerleri arasındaki farklar azalacağından kısmen serinin durağanlaşmasını sağlayacaktır. O yüzden TEFE değişkenin logaritması alınarak işleme başlayabiliriz.

Grafiksel analiz

Grafiksel görünüm ilk 

başta serinin ele alınan 

dönem içinde 

ortalamasının sabit 

olmadığı izlemini 

vermektedir. 

Serinin Otokorelasyon Katsayılarının İncelenmesi(ACF) 

Otokorelasyon katsayıları incelendiğinde  yaklaşık  15. gecikmeye kadar %95 güven düzeyinde otokorelasyonolmadığını söyleyen  kabul  bölgesinin  dışına  çıktığıdolayısıyla  seride  otokorelasyon görünümünün olduğunu göstermektedir. 

H0 kabul. Seri durağan değildir.

0.076150Prob(F-statistic)2.787775Durbin-Watson stat

2.712344F-statistic153.6892Log likelihood

-5.574859Schwarz criterion0.009399Sum squared resid

-5.686385Akaike info criterion0.013710S.E. of regression

0.014155S.D. dependent var0.061790Adjusted R-squared

0.010859Mean dependent var0.097875R-squared

0.58570.5487030.0007200.000395@TREND(1991:1)

0.29221.0646280.1307250.139173C

0.3581-0.9276330.061250-0.056817LNTEFE(-1)

Prob. t-StatisticStd. ErrorCoefficientVariable

Included observations: 53 after adjusting endpoints

Sample(adjusted): 1991:2 2004:2

Method: Least Squares

Dependent Variable: D(LNTEFE)

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

-3.176210% Critical Value

-3.49525% Critical Value

-4.13831% Critical Value*-0.927633ADF Test Statistic

Trendli ve Sabit terimli model

0

1

: 1 ( Seri durağan değildir, birim kök vardır): 1 (Seri durağandır)

ρρ

≥

<

HH

Fark durağanlık için

0 0

1 0

: 1 veya H : 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır): 1 veya H : 0(Seri durağandır)

ρ δρ δ

≥ ≥

< <

HH

1

1

( 1) 1

ρδ δ ρ

−

−

Δ = − Δ +

= + = −t t t

t t

DY Y uY u

ADF Test Statistic -11.407071% Critical Value* -4.14205% Critical Value -3.496910% Critical Value -3.1772

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(LNTEFE,2)Method: Least SquaresSample(adjusted): 1991:3 2004:2Included observations: 52 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(LNTEFE(-1)) -1.452071 0.127296 -11.40707 0.0000C 0.026508 0.004279 6.194969 0.0000@TREND(1991:1)-0.000390 0.000120 -3.257242 0.0020

Seri durağandır1( 1)ρ −Δ = − Δ +t t tDY Y u

Sahte Korelasyon/Regresyon

•Eğer denklemdeki hem bağımlı hem de bağımsız değişkenlerde trend baskınsa, kuvvetli bir şekilde anlamlıregresyon katsayıları elde etmek mümkündür.

•Modelde yer alan trende sahip değişkenlerin birbirleriyle tamamen ilişkisiz olsalar dahi, R2 (belirlilik katsayısı) için yüksek değerler tahmin edilebilir.

•Bu sonuçlar tamamen sahte (spurious)’dir.

Sahte Korelasyon/Regresyon

•Bu duruma en iyi örnek Hendry(1980) tarafından verilmiştir.

•Şöyleki: Yağış miktarı ile UK enflasyon oranı arasında bulunan kuvvetli sahte korelasyon ilişkisidir.

•Trendin kuvvetine göre regresyon katsayılarının anlamlılığı artabilir.

•Trende sahip değişkenler arasında bu tür nedensel ilişkiler bulunabilir.

•Ve tabi ki bu tür ilişkilerde sahte korelasyon olduğu keşfedilecektir.

Sahte Korelasyon/Regresyon

Sahte regresyonun açık göstergesi (Phillips-1986 tarafından teorik olarak ispatlanmıştır) çok düşük Durbin-Watson istatistiği ile kabul edilebilir R2 istatistiğinin birlikte ortaya çıkmasıdır. Yani,

DW< R2

2

171.4412 0.9672( 7.4809) (119.8711)

0.99400

0.53160..9 50 1694 3

t tKTt

d

H KHG

R =

= − +

−

=>

KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI)KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE)

Regresyonun sahte olduğu düşünülür…..

1

1

91.7110 0.7704 0.0432(1.6358) (1.2983) ( 1.3276)

326.2089 2.8834 0.1579(2.7368) (2.5243) ( 2.5751)

t t

t t

KTH t KTHt

KHG t KHGt

−

−

= + −−

= + −

−

%1 için : ‐4.0673%5 için : ‐3.4620%10 için : ‐3.2447

‐1.3276 ve ‐2.5751 %10 düzeyindeki tablo değeri ile karşılaştırıldığında her ikisi değişken de   birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir.

ÖDEV : ∆KTHt ve ∆KHGt durağandırlar. 

• ∆KTHt ve ∆KHGt durağan olduğuna göre bu değişkenlere göre oluşturulan regresyon modeli kullanılamaz mı?

HAYIR….Çünkü ilk farklarını alırken , KTH ile KHG’nin orijinal düzeylerinde  belirlenen uzun dönem ilişkilerini  yitirebiliriz.

KTH  : PCEKHG :  PDI

Her iki seri rassal ilerler ama aralarında bir birliktelik vardır.

EŞBÜTÜNLEŞME

KTH ile KHG’nin her ikisi de birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir.(I(1))

Dikkat !Bu iki değişkenin doğrusal bileşimi durağan olabilir.

ut ‘nin I(0)  yada  durağan  olduğunu  bulursak  KTH  ile  KHG değişkenlerinin eşbütünleşik olduğunu söyleriz.

Bu durumda bu değişkenler aynı dalga boyundadır.

1 2t t tu KTH KHGβ β= − −

• Genel olarak, Y dizisi I(1), başka bir X dizisi de I(1) ise ve d aynı değerse bu iki dizi eşbütünleşik olabilir.

• Eşbütünleşik iseler bu iki değişkenin düzey değerleri ile yapılan regresyon anlamlıdır.

• Böylece uzun dönemli ilişki kaybolmamış olur.

EŞBÜTÜNLEŞME

EŞBÜTÜNLEŞME

2

171.4412 0.9672( 7.4809) (119.8711)

0.99400

0.53160..9 50 1694 3

t tKTt

d

H KHG

R =

= − +

−

=>

Eşbütünleşik regresyon

Eşbütünleşim katsayıları

• Engle‐Granger Testi

• Eşbütünleşik regresyon Durbin‐Watson Testi

EŞBÜTÜNLEŞMENİN SINANMASI

HATA DÜZELTME MODELLERİ

1 2t t tu KTH KHGβ β= − −

Denge Hatası

KTH ile KHG eşbütünleşiktirler yani aralarında uzun dönemli bir ilişki söz konusudur

Bu hata terimi KTH’nin kısa dönem davranışını uzun dönem davranışına bağlamak için kullanılabilir.

Granger Nedensellik Testi

Temel Kavramlar

• İktisatta sebep-sonuç (etki) ilişkisi veya nedensellik konusu önemli ve karmaşık bir konudur.

• Çalışmaların başarısı değişkenler arasındaki nedenselliğin tesbitine dayanmaktadır.

• Ekonometrik modellerde, bir değişkenin diğer değişkenlerle bağımlılığı söz konusu olmaktadır.

• Y’nin X'lerle olan bağımlılığı

• Bu bağımlılık, Y ile X'ler arasında mutlaka bir sebep-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez.

• Para Arzı(M) ve GSMH değişkenleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim:

• Bu değişkenlerden her biri diğerini (dağıtılmış) gecikmeli olarak etkiler.

• M→GSMH • GSMH→M • M→GSMH ve GSMH→M

• İki değişken arasında zamana bağlı gecikmeli ilişki varken, nedenselliğin yönünün (sebep ve sonuçilişkisinin) istatistikî olarak tesbiti konusu ile karşıkarşıyayız.

• Nedensellik konudaki ilk çalışma Granger(1969) tarafından yapılmıştır.

• Bu nedenle Granger nedensellik testi adı ile anılmaktadır.

• Granger değişkenler arasındaki nedensellik testi zaman serisi verilerine dayanır.

• Testte önce şu denklemler tahmin edilir:

n n

t i t i j t j 1ti 1 j 1

m m

t i t i j t j 2ti 1 j 1

GSMH M GSMH u

M M GSMH u

− −= =

− −= =

= α + β +

= λ + δ +

∑ ∑

∑ ∑

=Granger nedensellik testi modelleri

M nin GSMH yı tek tönlü etkilemesi (M→GSMH )

n n

t i t i j t j 1ti 1 j 1

i

GSMH M GSMH u

0 istatistiki olarak sıfırdan farklı olması ve

− −= =

= α + β +

α ≠

∑ ∑

∑

m m

t i t i j t j 2ti 1 j 1

j

M M GSMH u

0 parametrelerinin sıfırdan farksız olması halinde söz konusudur

− −= =

= λ + δ +

δ =

∑ ∑

∑

GSMH nin M yi tek tönlü etkilemesi (GSMH →M )

n n

t i t i j t j 1ti 1 j 1

i

GSMH M GSMH u

istatistiki olarak sıfırdan farksız olması ve

− −= =

= α + β +

α

∑ ∑

∑

m m

t i t i j t j 2ti 1 j 1

j

M M GSMH u

0 parametrelerinin sıfırdan farklı olması halinde söz konusudur

− −= =

= λ + δ +

δ ≠

∑ ∑

∑

M→GSMH ve GSMH→Mn n

t i t i j t j 1ti 1 j 1

m m

t i t i j t j 2ti 1 j 1

i j i j

GSMH M GSMH u

M M GSMH u

0 0 0 0

− −= =

− −= =

= α + β +

= λ + δ +

α ≠ β ≠ λ ≠ δ ≠

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

Aksi halde GSMH ve M birbirinden etkilenmemektedir.

• Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları:

1. Cari  GSMH’nın bütün  gecikmeli  GSMH  değerlerine ve  varsa  başka  değişkenlere  göre  regresyonu bulunur.  Bu  modelde  M’nin gecikmeli  değerleri modele  dahil  edilmez.  Sınırlanmış hata  kareler toplamı hesaplanır.

2. Aynı modele  bu  defa  M  terimleri  dahil  edilerek model  tahminlenir ve  bu  sınırlanmamış modelin hata kareler toplamı bulunur.

n n

t i t i j t j 1ti 1 j 1

GSMH M GSMH u− −= =

= α + β +∑ ∑

• Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları:

3. hipotezi oluşturulur.

4. m ve (n‐k) sd ile F dağılımına uyan test istatistiği hesaplanır:

m:Gecikmeli M terimleri sayısı

k:sınırlanmamış regresyonda tahmin edilen anakütlekatsayılarının sayısı

5. F>Ftab ise H0 hipotezi reddedilir. Bu ise M’nin GSMH’nınnedeni olduğunu söylemektedir.

0 0iH α= =∑

( ) //( )

S SM

SM

HKT HKT mFHKT n k

−=

−

ABD 1960-I den 1980-IV GSMH ve M büyüme hızı arasındaki nedensellik :

H0 kabul2.50.56GSMH→M

HO red2.52.68M→GSMH

KararFtab DeğeriFhes DeğeriNedenselliğin Yönü