Zavrsni Ispit (OKTOBAR 1) 2011

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

1 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

ZADATAK 1

Uz zadatak 1

Na gornjoj slici je prikazan aksijalno optereen tap.

Podaci: E = 2104 kN/cm2, F1 = 20 kN, F2 = 40 kN

du = 4 cm, dv = 5 cm, a = 10 cm, l = 50 cm d = de =|dc|=10 kN/cm2

1.1 Odrediti reakcije u osloncima A i B, a zatim odrediti normalne presene sile N(z) i nacrtati njihov dijagram. [Poena 20]

1.2 Proveriti da li je ispunjen uslov |max| d i odrediti pomeranja taaka A, C, D i B. Poena 10

ZADATAK 2

Uz zadatak 2

Ostali podaci: E = 2104 kN/cm2, df = 15 kN/cm2

2.1 Odrediti maksimalni normalni napon za kritini popreni presek i utvrditi da li je osigurana nosivost grede. Poena 15

2.2 Odrediti ugib na mestu maksimalnog momenta savijanja, nagib na mestu oslonca A i

nagib na mestu oslonca B. [Poena 10]

2.3 Dimenzionisati novi popreni presek grede sa konturom (1012k) i upljinom (77k) tako da se osigura njena nosivost (nepoznato k zaokruiti na jednu decimalu). Poena 15

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

2 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

ZADATAK 3

Uz zadatak 3

Ostali podaci: E=2105 MPa, P=200 MPa, T = 240 MPa, = 301,076 1,018 [MPa]

l1 = 6 m, l2 = 0,5 m

3.1 tap 1: Odrediti kritinu silu izvijanja Fkr. Poena 20

3.2 tap 2: Definisati i skicirati jezgro preseka. Poena 10

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

3 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

REENJE ZADATKA 1

1.1 Reakcije u osloncima + normalne presene sile i njihov dijagram

Reakcije u osloncima

Aksijalno optereen tap je 1x statiki neodreen, pa nam je za odreivanje 2 reakcije, osim 1 statikog uslova ravnotee (nulte sume svih sila du z ose), potreban jo 1 dopunski uslov.

Reakcije emo odrediti primenom metoda sila . Iskoristiemo Sliku 1.1-1.

Slika 1.1-1 Uz odreivanje reakcija u osloncima

U gornjem delu Slike 1.1-1, prikazan je zadati tap sa pretpostavljenim smerovima reakcija FA i FB. U donjem delu prikazan je taj isti tap bez oslonca B iji je uticaj zamenjen momentom S = FB.

Iz nulte sume svih sila du z ose, prema Slici 1.1-1,

021 SFFFA ... (1.1-1)

12 FFSFA ... (1.1-2)

Ve pomenuti dopunski uslov odnosi se na nulto izduenje tapa.

0l ... (1.1-3)

Na osnovu teorije aksijalno (poduno) optereenih tapova, imamo da je

0

22

A E

azN

A E

azN

A E

azNl

DBCDAC

... (1.1-4)

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

4 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

Presene normalne sile u (1.1-4) iznose

2121

11

FFFFFFzN

FFFFzN

FFzN

AA

DB

AA

CD

AA

AC

... (1.1-5)

Izraz (1.1-4) se pomou (1.1-5) transformie u oblik

0

22 211

A E

aFFF

A E

aFF

A E

aF AAA ... (1.1-6)

Mnoenjem gornjeg izraza sa [(EA)/a]

0222 211 FFFFFF AAA ... (1.1-7)

035 21 FFFA ... (1.1-8)

kN FF

FA 45

40203

5

3 21

... (1.1-9)

kN FA 4 ... (1.1-10)

Sa (1.1-10) iz (1.1-2)

kN FFFFS AAB 24402041 ... (1.1-11)

kN FB 24 ... (1.1-12)

Normalne presene sile i njihov dijagram

Sa zadatim napadnim silama F1 = 20 kN i F2 = 40 kNcm i sa izraunatim vrednostima

reakcija FA = 4 kN (1.1-10) i FB = 24 kN (1.1-12), iz (1.1-5)

kN FFFFFFzN

kN FFFFzN

kN FFzN

AA

DB

AA

CD

AA

AC

2440204

16204

4

2121

11

... (1.1-13)

kN zN

kN zN

kN zN

DB

CD

AC

24

16

4

... (1.1-14)

Dijagram presenih normalnih sila prikazan je na Slici 1.1-2.

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

5 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

Slika 1.1-2 Dijagram presenih normalnih sila

1.2 Ispunjenost uslova |max| d i pomeranja taaka A, C, D i B.

Ispunjenost postavljenog uslova

Za normalni napon |max| vai

A

zNmax

max ... (1.2-1)

Prema (1.1-14) i prema dijagramu na Slici 1.1-2 maksimalna vrednost normalne presene sile je na delu tapa DB i saglasno ovom imamo

2

22223973

14345

2444cm/kN ,

,dd

zN

A

zN

uv

maxmaxmax

... (1.2-2)

23973 cm/kN ,max ... (1.2-3)

ZAKLJUAK: Postavljeni uslov je ispunjen jer je (|max| = 3,397 kN/cm2 ) < (d = 10

kN/cm2).

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

6 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

Pomeranja taaka A, C, D i B

0

107,114,345102

201641057,0

2)(4

2)(

1057,014,345102

10244

2)(4

2)(

0

3

224

3

22

3

224

22

B

cm

ddE

azNC

AE

azNCD

cm

ddE

azN

AE

azNC

A

uv

CDCD

uv

ACAC

... (1.2-4)

0

1071

10570

0

3

3

B

cm ,D

cm ,C

A

... (1.2-5)

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

7 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

REENJE ZADATKA 2

2.1 Provera nosivosti grede

Reakcije u osloncima

Slika 2.1-1 Uz odreivanje reakcija

Iz nulte sume sila u pravcu y ose, dobijamo

0 BA FFqlF ... (2.1-1)

FqlFF BA ... (2.1-2)

Iz nulte sume momenata oko take A

032

2

lFaFl

q B ... (2.1-3)

kN l

ql

aFF

aFaFl

q

B

B

510152

45

4

1320

23

0432

2

... (2.1-4)

kN FB 5 ... (2.1-5)

Sa (2.1-5) iz (2.1-2)

kN FqlFF BA 520455 ... (2.1-6)

kN FA 15 ... (2.1-7)

Presene poprene sile

zzFqzFzT

zzqzFzT

A

II

y

A

I

y

552055

1555 ... (2.1-8)

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

8 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

zzT

zzT

II

y

I

y

55

15 ... (2.1-9)

Karakteristine vrednosti presenih poprenih sila sadri Tablica 2.1-1.

Tablica 2.1-1 Karakteristine vrednisti presenih poprenih sila

Polje z [m] Ty(z) [kN]

I 0 5

3 -10

II 3 10

4 5

Dijagram presenih poprenih sila prikazan je na Slici 2.1-2.

Slika 2.1-2 Dijagram presenih poprenih sila

Poloaj kritinog poprenog preseka

Na osnovu Tablice 2.1-1 i na osnovu Slike 2.1-2 zakljuujemo da presene poprene sile menjaju znak na mestima definisanim koordinatama zM1 = ? i zM2 = 3m.

Nepoznatu koordinatu zM1 odrediemo pomou izraza

015 11 MMI

y zzT ... (2.1-10)

iz kojeg

m zM 11 ... (2.1-11)

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

9 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

Maksimalni moment savijanja

Odrediemo momente savijanje za preseke definisane koordinatama zM1 = 1 m i zM2 = 3 m.

kNm ,z

qzFzMM

kNm ,z

qzFzMM

MMAMx,x

MMAMx,x

572

3535

2

522

1515

222

2222

2

1111

... (2.1-12)

Iz (2.1-12)

kNm ,MM ,xmax,x 572 ... (2.1-13)

Aksijalni moment inercije poprenog preseka za osu x

443

917123912

71210cm ,I x

... (2.1-14)

49171239 cm ,I x ... (2.1-15)

Maksimalni normalni naponi u kritinom poprenim preseku

2629369171239

100576 cm/kN ,

,

,

I

M

x

max,x

max

... (2.1-16)

26293 cm/kN ,max ... (2.1-17)

ZAKLJUAK: Na osnovu vrednosti maksimalnog normalnog napona u (2.1-17) uporeene

sa dozvoljenim naponom na savijanje, jasno je da je nosivost grede osigurana jer je (max =

3,629 kN/cm2) < (df = 15 kN/cm

2). Sa druge strane moemo govoriti o predimenzionisanom poprenom preseku koji nije racionalan za zadato optereenje.

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

10 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. in.

2.2 Ugib na mestu maksimalnog momenta savijanja + nagib na mestu oslonca A i nagib na mestu oslonca B

Odreivanje traenog ugiba i traenih nagiba emo zasnovati na principu superpozicije i tablinim reenjima

Ugib

222 MF

M

q

M zuzuzu ... (2.2-1)

Sabirci u (2.2-1) iznose

cm

l

z

l

z

l

z

EI

qlzu MMM

x

M

q

479,04

3

4

32

4

3

917,123910224

400105

224

43

4

42

4

2

3

22

4

2

... (2.2-2)

cmzu Mq 479,02 ... (2.2-3)

cml

b

l

a

EI

Flzu

x

M

F 151,04

1

4

3

917,12391023

40020

3

22

4

3223

2

... (2.2-4)

cmzu MF 151,02 ... (2.2-5)

Sa (2.2-3) i (2.2-5) iz (2.2-1)

cmzuzuzu MF

M

q

M 328,0151,0479,0222 ... (2.2-6)

cmzu M 328,02 ... (2.2-7)

Nagibi

rad

l

b