Završni rad Mirza Kupusović

UNIVERZITET U SARAJEVU

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

ODSJEK ZA ELEKTROENERGETIKU

VEKTORSKO MIKROPROCESORSKO UPRAVLJANJE IZMJENIČNIM STROJEVIMA

ZAVRŠNI RAD - Master (MSc) studij

Mentor Kandidat

Red. prof. dr Šemsudin Mašić, dipl. ing. el. Mirza Kupusović, BoE

809/16147

Sarajevo, 2016.

Vektorsko mikroprocesorsko upravljanje izmjeničnim strojevima

2

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

ODSJEK ZA ELEKTROENERGETIKU

Prijava teme završnog rada – II ciklus studija

Student: Mirza Kupusović, br. indeksa: 809/16147

Predmet: Elektromotorni pogoni i dinamika električnih mašina

Mentor: Red.prof.dr Šemsudin Mašić, dipl.ing.el.

Tema 3.5:


Postavka završnog rada:

U radu opisati principe vektorskog mikroprocesorskog upravljanja brzinom vrtnje i mehaničkog momenta izmjeničnih (asinhronih i sinhronih) strojeva. Potrebno je napraviti pregled tipova energetskih pretvarača (naponski i strujni invertori) i davača pozicije i brzine vrtnje (enkoderi) koji se koriste kod praktičnih realizacija mikroprocesorskog vektorskog upravljanja izmjeničnih strojeva.

Ciljevi i metode rješavanja:

Na osnovi općih naponskih jednačina statorskog i rotorskog kruga asinhronog i sinhronog stroja

potrebno je izvesti matematski model u 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu koji se koristi kao osnova za sintezu i analizu mikroprocesorskog vektorskog upravljanja. Objasniti regulacijske sheme s kojima se praktično realizira vektorsko upravljanje. Izvršiti simulaciju rada vektorski upravljanog asinhronog motora sa skokovitom promjenom opterećenja na osovini. Za proračun koristiti programski paket Matlab/Simulink®. Realizirati jedan od načina vektorskog upravljanja na laboratorijskom modelu asinhronog motora i energetskog pretvarača u laboratoriji za električne mašine.

Literatura:

[1] Š. Mašić, S. Smaka, „Elektromotorni pogoni“, ETF Sarajevo 2011. god.

[2] Š. Mašić, S. Smaka, „Dinamika električnih strojeva“, ETF Sarajevo 2011. god.

[3] V.Vučković „Električni pogoni“, Akademska misao, Beograd 2002. god.

Kandidat će samostalno pribaviti dostupnu dopunsku literaturu, a u konsultaciji s nastavnikom odabrati dijelove za potrebe izrade master rada.


3

Sažetak U ovom radu detaljno su izvedeni opći matematski modeli za asinhroni i sinhroni stroj koji su zapisani u vektorskom obliku. Ovakvi modeli su neophodni za realizaciju mikroprocesorskog upravljanja i regulacije izmjeničnih strojeva koji su tema istraživanja u ovom radu. Prezentovane su vrste energetskih pretvarača koje se koriste za upravljanje i regulaciju izmjeničnih strojeva. Također je dat pregled davača brzine i pozicije kao i magnetnog toka, koji se koriste u praktičnim izvedbama vektorskog upravljanja i regulacije. Detaljno su objašnjeni načini vektorskog upravljanja i regulacije asinhronih strojeva i sinhronih strojeva kroz odgovarajuće šematske prikaze. Izvršena je računarska simulacija rada i praktična realizacija vektorskog upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora, uspoređeni rezultati simulacije i praktičnih mjerenja te izvedeni odgovarajući zaključci.

Ključne riječi: vektorsko upravljanje, asinhroni stroj, sinhroni stroj, koordinatni sistem, vektor, enkoder, elektroenergetski pretvarač

Abstract In this paper, a general mathematical models of induction and synchronous machines have been derived in vector form. These models are crucial for realization of microprocessor control of AC machines, which are the main topic of this paper. Different electronic energy converters that are used for control of machines have been presented. Additionally, position, speed, and magnetic flux encoders that are used for control of machines, have been presented. The ways of vector control have been explained in details with corresponding schemes. A computer simulation model and experimental laboratory model of vector control of doubly fed induction generator have been made. After that, the results have been compared, commented and based on these results, conclusions have been made.

Keywords: vector control, induction machine, synchronous machine, coordinate system, vector, encoder, electronic energy converter


4

Univerzitet u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Odsjek za elektroenergetiku Elektromotorni pogoni i dinamika električnih mašina

Izjava o autentičnosti završnog rada

Ime i prezime: Mirza Kupusović

Naslov rada: Vektorsko mikroprocesorsko upravljanje izmjeničnim strojevima

Vrsta rada: Završni rad za II ciklus studija

Broj stranica:

Potvrđujem:

da sam pročitao dokumente koji se odnose na plagijarizam, kako je to definirano Statutom Univerziteta u Sarajevu, Etičkim kodeksom Univerziteta u Sarajevu i pravilima studiranja koja se odnose na II ciklus studija, kao i uputama o plagijarizmu navedenim na web stranici Univerziteta u Sarajevu;

da sam svjestan univerzitetskih disciplinarnih pravila koja se tiču plagijarizma;

da je rad koji predajem potpuno moj, samostalan rad, osim u dijelovima gdje je to naznačeno;

da rad nije predat, u cjelini ili djelimično, za stjecanje zvanja na Univerzitetu u Sarajevu ili nekoj drugoj visokoškolskoj ustanovi;

da sam jasno naznačio prisustvo citiranog ili parafraziranog materijala i da sam se referirao na sve izvore;

da sam dosljedno naveo korištene i citirane izvore ili bibliografiju po nekom od preporučenih stilova citiranja, sa navođenjem potpune reference koja obuhvata potpuni bibliografski opis korištenog i citiranog izvora;

da sam odgovarajuće naznačio svaku pomoć koju sam dobio pored pomoći mentora i akademskih tutor/ica.

Sarajevo, datum _____________

Potpis: __________________________


5

Sadržaj

1. UVOD ........................................................................................................................... 14

2. MATEMATSKI MODELI ZA ANALIZU RADA IZMJENIČNIH STROJEVA ...... 15

2.1 Modeli za analizu rada asinhronog stroja ............................................................................... 15

2.1.1 Opći model ............................................................................................................................. 15

2.1.2 Vektorski zapis ....................................................................................................................... 21

2.1.3 Matematski model u zajedničkom koordinatnom sistemu .............................................. 24

2.2 Modeli za analizu rada sinhronog stroja ................................................................................. 30

2.2.1 Opći model ............................................................................................................................. 30

2.2.2 Vektorski zapis ....................................................................................................................... 39

2.2.3 Matematski model u rotorskom koordinatnom sistemu ................................................. 41

2.2.4 Matematski model zapisan preko komponenti prostornih vektora ............................... 42

2.2.5 Matematski model sa rotorskim veličinama preračunatim na stranu statora ................ 44

3. ENERGETSKI PRETVARAČI ................................................................................... 46

3.1 Uvod ............................................................................................................................................ 46

3.2 Frekvencijski pretvarači ............................................................................................................ 46

3.2.1 Direktni pretvarač .................................................................................................................. 48

4. DAVAČI POZICIJE I BRZINE VRTNJE .................................................................. 55

4.1 Uvod ............................................................................................................................................ 55

4.2 Hallove sonde ............................................................................................................................. 55

4.3 Enkoderi ...................................................................................................................................... 57

4.3.1 Apsolutni enkoderi ................................................................................................................ 58

4.3.2 Inkrementalni enkoderi ......................................................................................................... 59

5. UPRAVLJANJE I REGULACIJA IZMJENIČNIH STROJEVA ............................... 63

5.1 Uvod ............................................................................................................................................ 63

5.2 Vektorsko upravljanje i regulacija izmjeničnih strojeva ....................................................... 64

5.2.1 Vektorsko upravljanje i regulacija asinhronog motora ..................................................... 65

5.2.2 Vektorska regulacija asinhronog motora ............................................................................ 71

5.2.3 Vektorsko upravljanje i regulacija sinhronog motora sa permanentnim magnetima .. 72

5.2.4 Vektorsko upravljanje bez senzora ..................................................................................... 77


6

6. SIMULACIJA I REZULTATI MJERENJA VEKTORSKI UPRAVLJANOG DVOSTRANO NAPAJANOG ASINHRONOG GENERATORA .................................. 80

6.1 Uvod ............................................................................................................................................ 80

6.2 Upravljanje i regulacija dvostrano napajanog asinhronog generatora ................................ 82

6.3 Simulacijski rezultati upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora ............... 84

6.4 Eksperimentalni rezultati upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora ....... 86

7. ZAKLJUČAK ................................................................................................................ 90

8. LITERATURA ............................................................................................................. 91

A. TRANSFORMACIJE KOORDINATNIH SISTEMA .............................................................. 93

B. PRERAČUNAVANJE ROTORSKIH VELIČINA NA STATORSKU STRANU............... 98

C. NAZIVNE VRIJEDNOSTI DVOSTRANO NAPAJANOG ASINHRONOG GENERATORA...................................................................................................................................... 100


7

Popis skraćenica i simbola

Popis skraćenica

AC naizmjenični signal napona ili struje (eng. Alternating Current)

BLDC istosmjerni motor bez četkica (eng. Brushless DC Motor)

BPT bipolarni tranzistor (eng. Bipolar Transistor)

DC istosmjerni signal napona ili struje (eng. Direct Current)

DFIG dvostrano napajani asinhroni generator (eng. Doubly Fed Induction Generator)

EMP elektromotorni pogon

EMS elektromotorna sila

FOC vektorsko upravljanje orijentacijom polja (eng. Field Oriented Control)

GTO isklopivi tiristor (eng. Gate turn-off Thyristor)

IGBT bipolarni tranzistor sa izoliranom upravljačkom elektrodom (eng. Insulated Gate Bipolar Transistor)

LED dioda koja emituje svjetlost (eng. Light Emitting Diode)

MOS unipolarni tranzistor (eng. Metal Oxide Semiconductor)

MOSFET unipolarni tranzistor sa efektom polja (eng. Metal Oxide Semiconductor Field-effect Transistor)

PAM amplitudna modulacija (eng. Pulse Amplitude Modulation)

PWM širinsko-impulsna modulacija (eng. Pulse Wide Modulation)

SMPM sinhroni motor sa permanentnim magnetima (eng. Permanent Magnet Synchronous Motor)

Popis simbola

𝐵 jačina magnetnog polja

𝑓 frekvencija


8

𝐼, 𝑖 struja, trenutna vrijednost struje

𝐽 moment inercije

𝑗 imaginarna jedinica

𝑚 moment, broj faza

𝑁 broj zavojaka

𝑛 brzina vrtnje

𝑃, 𝑝 aktivna snaga, trenutna aktivna snaga

𝑝 broj pari polova

𝑄, 𝑞 reaktivna snaga, trenutna reaktivna snaga

𝑅, 𝐿, 𝐶 otpornost, induktivnost, kapacitivnost

𝑆 prividna snaga, broj impulsa, površina

𝑠 klizanje

𝑇, 𝑡 vremenski interval, vrijeme

𝑈, 𝑢 napon, trenutna vrijednost napona

ℱ,𝒫 protjecanje magnetnog toka, magnetna provodnost

ℐ, ℛ imaginarna komponenta, realna komponenta

𝒲, 𝓌 energija, trenutna energija

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜃, 𝜖 uglovi

𝜀 greška mjerenja

𝜙 magnetni tok

Ψ,𝜓 ulančeni magnetni tok, trenutna vrijednost ulančenog magnetnog toka

𝜋, 𝐾 konstante

𝜔 ugaona brzina

�� jedinični vektor

[𝑃], [𝐶] Parkova matrica transformacije, Klarkova matrica transformacije


9

[𝑇𝑠] proizvod Parkove i Klarkove matrice transformacije

Popis indeksa

𝑎, 𝑏, 𝑐, 1 veličine vezane za faze statora

𝐴, 𝐵, 𝐶, 2 veličine vezane za faze rotora

𝐷, 𝑑 veličine vezane za 𝐷 osu, veličine vezane za 𝑑 osu

𝑒, 𝑒𝑙 električne veličine

𝑓 veličine vezane za pobudu

𝑔 veličine vezane za zračni raspor, gubici

𝐻 veličine vezane za Hallov efekat

𝑘 proizvoljna brzina vrtnje koordinatnog sistema

𝑚𝑎𝑥 maksimalna vrijednost veličine

𝑚𝑒ℎ mehaničke veličine

𝑚𝑖𝑛 minimalna vrijednost veličine

𝑁, 𝑛 nazivne veličine

𝑃𝑀 magnetni tok permanentnih magneta

𝑄, 𝑞 veličine vezane za 𝑄 osu, veličine vezane za 𝑞 osu

𝑟, 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 veličine vezane za rotor

𝑠, 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 veličine vezane za stator

𝑡 veličine vezane za mehaničko opterećenje

𝛼 veličine vezane za 𝛼 osu

𝛽 veličine vezane za 𝛽 osu

𝜇 međuinduktivnosti

𝜎 rasipne induktivnosti


10

Popis eksponenata

𝑎𝑏𝑐 veličine u troosnom 𝑎𝑏𝑐 koordinatnom sistemu

𝑑𝑞 veličine u dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu

𝑟 veličine vezane za rotor

𝑠 veličine vezane za stator

𝑇 transponovana matrica

𝛼𝛽 veličine u dvoosnom 𝛼𝛽 koordinatnom sistemu

vektor

∗ konjugovano-kompleksna vrijednost, željena vrijednost veličine

′ veličine preračunate na stranu statora

^ estimirana veličina


11

Popis slika i tabela

Popis slika

2.1 Opće šeme asinhronog stroja sa namotanim rotorom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Nadomjesna šema asinhronog stroja za dinamička stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Sinhroni stroja sa istaknutim polovima: (a) raspored namota, (b) šematski prikaz . . 31

2.4 Određivanje vlastite induktivnosti faza statora sinhronog stroja . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Određivanje međuindoktivnosti faza statora sinhronog stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Nadomjesne šeme sinhronog stroja za dinamička stanja: (a) 𝑑 osa, (b) 𝑞 osa . . . . . . 45

3.1 Frekvencijski pretvarači: (a) direktni, (b) indirektni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Šema ciklokonvertora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Valni oblici faznog napona ciklokonvertora sa prirodnom komutacijom:

(a) trapezni oblik, (b) oblik sa promjenljivom srednjom vrijednosti . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Frekvencijski pretvarač sa utisnutom strujom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Valni oblici struje i napona kod frekvencsijskog pretvarača sa utisnutom strujom . . 50

3.6 Frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom – PAM tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Valni oblici napona i struje PAM frekvencijskog pretvarača: (a) naponi sa dvije različite frekvencije, (b) struja motora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Frekvencijski PAM pretvarač sa neupravljivim diodnim ispravljačem na mrežnoj strani i čoperom u istosmjernom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.9 Šema PWM frekvencijskog pretvarača . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.10 Valni oblici PWM frekvencijskog pretvarača za jednaku širinu impulsa i različitu širinu impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11 Šema spoja kod vraćanja energije kočenja u mrežu: (a) tiristorski invertor, (b) tranzistorski invertor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1 Hallov efekat bez prisustva magnetnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Hallov efekat sa prisustvom magnetnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


12

4.3 Pozicioniranje Hallovih senzora za elektroničku komutaciju BLDC motora . . . . . . 56

4.4 Apsoulutni enkoder: (a) raspored elemenata, (b) izgled diska . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Impulsi Gray koda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Impulsi binarnog koda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.7 Osnovni dijelovi inkrementalnog enkodera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8 P postupak mjerenja brzine vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.9 T postupak mjerenja brzine vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.10 P/T postupak mjerenja brzine vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Upravljanje EMP u otvorenom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 EMP sa automatskom regulacijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Grafički prikaz prostornih vektora ��2 i 𝑖1: (a) u zračnom rasporu stroja, (b) u

dvoosnim 𝛼𝛽 i 𝑑𝑞 koordinatnim sistemima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Vektorsko upravljanje sa mjerenjem magnetne indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Blokovska šema za proračun komponenti rotorskog toka uz kompenzaciju rasipnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Šema vektorskog upravljanja sa određivanjem položaja rotora . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.7 Šema vektorske regulacije asinhronog motora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.8 Vektorski dijagram SMPM u stacionarnom stanju (𝐿1𝑑 = 𝐿1𝑞 = 𝐿1) . . . . . . . . . . . 74

5.9 Vektorski dijagram SMPM u stacionarnom stanju sa slabljenjem polja . . . . . . . . . . . 75

5.10 Šema vektorskog upravljanja sinhronim motorom sa permanentnim magnetima . . 76

5.11 Šema vektorske regulacije sinhronog motora sa permanentnim magnetima . . . . . . . 76

5.12 Šema upravljanja SMPM bez senzora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.13 Fazorski dijagram brzina vrtnje u različitim koordinatnim sistemima . . . . . . . . . . . . 78

5.14 Blok-dijagram realizacije procjene položaja i brzine vrtnje rotora . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1 Topologija vjetrogeneratora sa dvostrano napajanim asinhronim generatorom . . . . 80

6.2 Prikaz magnetnih polja rotora i statora dvostrano napajanih asinhronih strojeva . . 82


13

6.3 Šema upravljanja vjetroturbinom sa DFIG-om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 Simulacijski model dvostrano napajanog asinhronog generatora . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5 Rezultati simuliranih signala za 𝑈2𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 10 𝐻𝑧, 𝑛 = 1200

𝑜

𝑚𝑖𝑛 . . . .

85

6.6 Rezultati simuliranih signala za 𝑈2𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 20 𝐻𝑧, 𝑛 = 900

𝑜

𝑚𝑖𝑛 . . . . . .

85

6.7 Laboratorijski model upravljanja DFIG-om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.8 Rezultati snimljenih signala za 𝑈𝑟𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 10 𝐻𝑧, 𝑛 = 1200 𝑜/𝑚𝑖𝑛 . . 88

6.9 Rezultati snimljenih signala za 𝑈𝑟𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 20 𝐻𝑧, 𝑛 = 900 𝑜/𝑚𝑖𝑛 . . . 88

A.1 Prostorni vektor 𝑓 u koordinatnim sistemima 𝑥𝑦𝑧 i 𝑝𝑞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.2 Prostorni vektor 𝑓 u tri dvoosna koordinatna sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Popis tabela

C.1 Nazivni podaci dvostrano napajanog asinhronog generatora korištenog u

eksperimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


14

1. Uvod

Globalizacijom čovječanstva javlja se sve veća potreba za energijom. Kao vid energije koji se vrlo lahko i ekonomično može prenijeti na velike udaljenosti, ali isto dako i pretvoriti iz mehaničke ili u mehaničku, električna energija je postala najbitniji resurs. Za pretvorbu električne energije koriste se električni strojevi. Poseban značaj imaju izmjenični strojevi zbog svoje ogromne rasprostranjenosti i visoke efikasnosti.

Kako moment opterećenja može varirati u širokom opsegu, potrebno je i mijenjati brzinu električnog stroja u skladu sa tim. S obzirom da nije moguće dovoljno dobro manuelno pratiti promjene momenta, razvijeni su automatizirani sistemi koji uz pomoć enkodera, elektroenergetskih pretvarača, mjernih uređaja samostalno upravljaju brzinom vrtnje stroja.

Razvijeni su matematički modeli, uz određena zanemarenja, u vidu diferencijalnih jednačina stanja stroja da bi se uz pomoć računarskih mikroprocesora moglo upravljati strojevima. Upravljanje i regulacija izmjeničnih strojeva se vrši na dva načina:

indirektnim upravljanjem magnetnim tokom – skalarno upravljanje;

direktnim upravljanjem magnetnim tokom – vektorsko upravljanje.

Upravo posljednje spomenuto je predmet ovog rada i u nastavku će biti detaljno objašnjeno sa izvedenim matematičkim modelima.

Pored samih strojeva, za realizaciju jednog vektorski upravljanog pogona, potrebna je i dodatna oprema u vidu elektroenergetskih pretvarača, davača pozicije i davača brzine. U radu će se dati i pregled tipova ovih uređaja te objasniti njihove osnove karakteristike.

U programskom paketu Matlab/Simulink će biti kreirana simulacija upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora te će biti prezentovani rezultati. Za verifikaciju tih rezultata će biti izvršen eksperiment upravljanja istim generatorom u laboratoriji. Bit će izvršena usporedba simuliranih i eksperimentalnih rezultata.


15

2. Matematski modeli za analizu rada izmjeničnih strojeva

2.1 Uvod

Za praktičnu realizaciju mikroprocesorskog vektorskog upravljanja i regulacije izmjeničnih strojeva, što je tema istraživanja ovog rada, neophodno je imati matematske modele izmjeničnih strojeva u dinamičkim i stacionarnim stranjima čije su varijable zapisane preko prostornih vektora stanja (engl. space vector). U nastavku će biti izvedeni takvi modeli za asinhroni i sinhroni stroj.

2.2 Modeli za analizu rada asinhronog stroja

Analiza rada asinhronog stroja počinje sa postavljanjem odgovarajućih diferencijalnih jednačina koje opisuju električne, magnetne i mehaničke pojave u stroju, u svim stanjima u kojima on može raditi. Takav matematski zapis naziva se i matematski model stroja, a njegovim rješavanjem se dobiva dovoljno tačna predstava o dešavanjima u prelaznim (dinamičkim) i stacionarnim stanjima. Stacionarno stanje definira se kao stanje u kojemu se smatra mehanička brzina vrtnje ima konstantnu vrijednost i da se sve izmjenične veličine mijenjaju kao harmonijske funkcije vremena. [1]

Međutim, rješavanje jednačina matematskog modela je komplikovano pa se analiza rada stroja obično provodi pomoću šema i matematskih relacija koje omogućavaju jednostavnije dobivanje opće fizikalne slike i osnovnih odnosa među glavnim veličinama bitnim za rad stroja.

2.2.1 Opći model [1]

Opći matematski model asnihronog stroja predstavljaju diferencijalne jednačine kojima se opisuju elektromagnetne i mehaničke pojave u prelaznim i stacionarnim stanjima.

Na slici 2.1 prikazane su opće šeme rasporeda namota trofaznog klizno-kolutnog asinhrnog stroja za koji će biti postavljen matematsaki model.

Slika 2.1: Opće šeme asinhronog stroja sa namotanim rotorom


16

Za stroj sa kaveznim rotorom može se smatrati da rotor ima 𝑚 faza, za koje se može postaviti

𝑚 naponskih jednačina.

Jednačine općeg matematskog modela za klizno-kolutni asinhroni stroj su:

naponske jednačine statora

𝑢𝑎 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 +𝑑𝜓𝑎

𝑑𝑡 (2.1-1)

𝑢𝑐 = 𝑅𝑐𝑖𝑐 +

𝑑𝜓𝑐

𝑑𝑡

(2.1-2)

𝑢𝑐 = 𝑅𝑐𝑖𝑐 +

𝑑𝜓𝑐

𝑑𝑡

(2.1-3)

naponske jednačine rotora

𝑢𝐴 = 𝑅𝐴𝑖𝐴 +𝑑𝜓𝐴

𝑑𝑡 (2.1-4)

𝑢𝐵 = 𝑅𝐵𝑖𝐵 +

𝑑𝜓𝐵

𝑑𝑡

(2.1-5)

𝑢𝐶 = 𝑅𝐶𝑖𝐶 +

𝑑𝜓𝐶

𝑑𝑡

(2.1-6)

mehanička jednačina kretanja

𝐽𝑑𝜔𝑚𝑒ℎ

𝑑𝑡= 𝑚𝑒 − 𝑚𝑡 (2.1-7)

U jednačinama (2.1-1) – (2.1-7) vrijednosti napona, struja, ulančenih tokova i radnih otpornosti

u fazama statora označene su u indeksu slovima 𝑎, 𝑏, 𝑐, a iste vrijednosti u fazama rotora slovima

𝐴, 𝐵, 𝐶. U jednačini (2.1-7), kojom se opisuju mehanička stanja stroja, 𝑚𝑒 je elektromagnetni

moment koji razvija stroj, 𝑚𝑡 je vanjski mehanički moment na osovini stroja, 𝐽 je moment inercije

sveden na osovinu stroja, a 𝜔𝑚𝑒ℎ je mehanička ugaona brzina vrtnje rotora.

Sistem diferencijalnih jednačina općeg matematskog modela asinhronog stroja nije moguće rješavati analitičkim putem budući da su odnosi među veličinama vrlo komplikovani i nije ih moguće izraziti jednostavnim matematskim relacijama. Naprimjer, ulančeni tok svake od faza ovisi o tokovima (strujama) svih ostalih faza, a tokovi koji prolaze kroz zračni raspor ovisni su o međusobnom položaju statora i rotora koji se, usljed vrtnje stroja, stalno mijenja. Trenutna vrijednost elektromagnetnog momenta ovisna je o svim strujama i tokovima pa se i elektromagnetni moment ne može izraziti jednostavnom relacijom. Ako se tome doda utjecaj zasićenja, nazubljenost statora i rotora koja uzorkuje stalnu promjenu magnetne vodljivost, utjecaj viših harmoničkih komponenti napona, struja, magnetnih tokova i momenta, postaje jasno da je rješavanje jednačina općeg matematskog modela vrlo složeno.

Međutim, uz određene pretpostavke i pogodne matematske transformacije, moguće je riješiti jednačine općeg matematskog modela primjenom numeričkih metoda na računarima.


17

Naponske jednačine statora zapisane su u troosnom 𝑎𝑏𝑐 koordinatnom sistemu vezanom za

stator (nepokretni koordinatni sistem), a naponske jednačine rotora u troosnoom 𝐴𝐵𝐶

koordinatnom sistemu koji se vrti zajedno sa rotorom električnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑟.

Predznaci za momente u mehaničkoj jednačini kretanja (2.1-7) vrijede za motorski režim rada asinhronog stroja. [2]

Ulančeni magnetni tokovi faza asinhronog stroja mogu se zapisati u obliku:

𝜓𝑎 = (𝜓𝑎𝑎 + 𝜓𝑎𝜎) + 𝜓𝑎𝑏 + 𝜓𝑎𝑐 + 𝜓𝑎𝐴 + 𝜓𝑎𝐵 + 𝜓𝑎𝐶 (2.1-8)

𝜓𝑏 = 𝜓𝑏𝑎 + (𝜓𝑏𝑏 + 𝜓𝑏𝜎) + 𝜓𝑏𝑐 + 𝜓𝑏𝐴 + 𝜓𝑏𝐵 + 𝜓𝑏𝐶 (2.1-9)

𝜓𝑐 = 𝜓𝑐𝑎 + 𝜓𝑐𝑏 + (𝜓𝑐𝑐 + 𝜓𝑐𝜎) + 𝜓𝑐𝐴 + 𝜓𝑐𝐵 + 𝜓𝑐𝐶 (2.1-10)

𝜓𝐴 = 𝜓𝐴𝑎 + 𝜓𝐴𝑏 + 𝜓𝐴𝑐 + (𝜓𝐴𝐴 + 𝜓𝐴𝜎) + 𝜓𝐴𝐵 + 𝜓𝐴𝐶 (2.1-11)

𝜓𝐵 = 𝜓𝐵𝑎 + 𝜓𝐵𝑏 + 𝜓𝐵𝑐 + 𝜓𝐵𝐴 + (𝜓𝐵𝐵 + 𝜓𝐵𝜎) + 𝜓𝐵𝐶 (2.1-12)

𝜓𝐶 = 𝜓𝐶𝑎 + 𝜓𝐶𝑏 + 𝜓𝐶𝑐 + 𝜓𝐶𝐴 + 𝜓𝐶𝐵 + (𝜓𝐶𝐶 + 𝜓𝐶𝜎) (2.1-13)

Ulančeni magnetni tok svake faze na statoru i rotoru stvaraju sve struje koje teku u stroju.

Naprimjer, ukupni ulančeni magnetni tok 𝜓𝑎 faze 𝑎 sastavljen je od ulančenih tokova 𝜓𝑎𝑎 i 𝜓𝑎𝜎

stvorenih strujom 𝑖𝑎, ali i od ulančenih tokova uzrokovanih strujama statora 𝑖𝑏 i 𝑖𝑐 (𝜓𝑎𝑏 i 𝜓𝑎𝑐), te

tokova 𝜓𝑎𝐴, 𝜓𝑎𝐵 i 𝜓𝑎𝐶 stvorenih strujama koje teku u namotima rotora 𝑖𝐴, 𝑖𝐵 i 𝑖𝐶 .

Ako se u obzir ne uzima zasićenje magnetnog kruga, ulančeni magnetni tokovi se mogu zapisati kao proizvod odgovarajućih struja i induktivnosti:

𝜓𝑎 = (𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝑎𝜎)𝑖𝑎 + 𝐿𝑎𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝑎𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝑎𝐴𝑖𝐴 + 𝐿𝑎𝐵𝑖𝐵 + 𝐿𝑎𝐶𝑖𝐶 (2.1-14)

𝜓𝑏 = 𝐿𝑏𝑎𝑖𝑎 + (𝐿𝑏𝑏 + 𝐿𝑏𝜎)𝑖𝑏 + 𝐿𝑏𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝑏𝐴𝑖𝐴 + 𝐿𝑏𝐵𝑖𝐵 + 𝐿𝑏𝐶𝑖𝐶 (2.1-15)

𝜓𝑐 = 𝐿𝑐𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑐𝑏𝑖𝑏 + (𝐿𝑐𝑐 + 𝐿𝑐𝜎)𝑖𝑐 + 𝐿𝑐𝐴𝑖𝐴 + 𝐿𝑐𝐵𝑖𝐵 + 𝐿𝑐𝐶𝑖𝐶 (2.1-16)

𝜓𝐴 = 𝐿𝐴𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝐴𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝐴𝑐𝑖𝑐 + (𝐿𝐴𝐴 + 𝐿𝐴𝜎)𝑖𝐴 + 𝐿𝐴𝐵𝑖𝐵 + 𝐿𝐴𝐶𝑖𝐶 (2.1-17)

𝜓𝐵 = 𝐿𝐵𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝐵𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝐵𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝐵𝐴𝑖𝐴 + (𝐿𝐵𝐵 + 𝐿𝐵𝜎)𝑖𝐵 + 𝐿𝐵𝐶𝑖𝐶 (2.1-18)

𝜓𝐶 = 𝐿𝐶𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝐶𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝐶𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝐶𝐴𝑖𝐴 + 𝐿𝐶𝐵𝑖𝐵 + (𝐿𝐶𝐶 + 𝐿𝐶𝜎)𝑖𝐶 (2.1-19)

Induktivnosti u relacijama za ulančene tokove su:

𝐿𝑎𝑎, 𝐿𝑏𝑏 , 𝐿𝑐𝑐 vlastite induktivnosti faza namota statora,

𝐿𝑎𝜎 , 𝐿𝑏𝜎, 𝐿𝑐𝜎 rasipne induktivnosti faza namota statora,

𝐿𝐴𝐴, 𝐿𝐵𝐵, 𝐿𝐶𝐶 vlastite induktivnosti faza namota rotora,

𝐿𝐴𝜎 , 𝐿𝐵𝜎 , 𝐿𝐶𝜎 rasipne induktivnosti faza namota rotora,


18

𝐿𝑎𝑏 , 𝐿𝑏𝑎, 𝐿𝑎𝑐

𝐿𝑐𝑎, 𝐿𝑏𝑐, 𝐿𝑐𝑏 međusobne induktivnosti faza namota statora,

𝐿𝐴𝐵, 𝐿𝐵𝐴, 𝐿𝐴𝐶

𝐿𝐶𝐴, 𝐿𝐵𝐶 , 𝐿𝐶𝐵 međusobne induktivnosti faza namota rotora,

𝐿𝑎𝐴, 𝐿𝐴𝑎, 𝐿𝑏𝐵

𝐿𝑎𝐵, 𝐿𝑎𝐶 , 𝐿𝑏𝐴

𝐿𝐴𝑏 , 𝐿𝐴𝑐, 𝐿𝐵𝑎

𝐿𝐵𝑐, 𝐿𝐶𝑎 , 𝐿𝐶𝑏

𝐿𝐵𝑏 , 𝐿𝑐𝐶 , 𝐿𝐶𝑐

𝐿𝑏𝐶 , 𝐿𝑐𝐴, 𝐿𝑐𝐵

međusobne induktivnosti namota faza statora i rotora.

Vlastite induktivnosti faza namota statora

Vlastite induktivnosti faza namota statora su: 𝐿𝑎𝑎 , 𝐿𝑏𝑏 , 𝐿𝑐𝑐 . Naprimjer, vlastitita induktivnost

𝐿𝑎𝑎 faze 𝑎 statora računa se iz relacije:

𝐿𝑎𝑎 =𝜓𝑎𝑎

𝑖𝑎=

𝑁𝑎𝜙𝑎𝑎

𝑖𝑎 (2.1-20)

Magnetni tok u fazi 𝑎 statora stvara protjecanje ℱ𝑎, odnosno može se pisati:

𝜙𝑎𝑎 = ℱ𝑎𝒫𝑔 = 𝑁𝑎𝑖𝑎𝒫𝑎 (2.1-21)

gdje je 𝒫𝑔 magnetna provodnost zračnog raspora1.

Iz relacija (2.1-20) i (2.1-21) dobiva se vlastita induktivnost faze statora 𝑎:

𝐿𝑎𝑎 = 𝑁𝑎2𝒫𝑔 (2.1-22)

Na isti način dobiju se i vlastite induktivnosti faza 𝑏 i 𝑐 statora:

𝐿𝑏𝑏 = 𝑁𝑏2𝒫𝑔 (2.1-23)

𝐿𝑐𝑐 = 𝑁𝑐2𝒫𝑔 (2.1-24)

S obzirom da svaka faza statora ima isti broj zavojaka (𝑁𝑎 = 𝑁𝑏 = 𝑁𝑐 = 𝑁1), može se pisati:

1 Pretpostavlja se da su jezgre statora i rotora izgrađene od materijala koji ima beskonačnu magnetnu permeabilnost pa je njihova magnetna otpornost jednaka nuli.


19

𝐿𝑎𝑎 = 𝐿𝑏𝑏 = 𝐿𝑐𝑐 = 𝐿11 = 𝑁12𝒫𝑔 (2.1-25)

Vlastite induktivnosti faza namota rotora

Nakon provedbe sličnog postupka mogu se dobiti vlastite induktivnosti faza namota rotora

𝐿𝐴𝐴, 𝐿𝐵𝐵 i 𝐿𝐶𝐶 (𝑁𝐴 = 𝑁𝐵 = 𝑁𝐶 = 𝑁2):

𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐵𝐵 = 𝐿𝐶𝐶 = 𝐿22 = 𝑁22𝒫𝑔 (2.1-26)

Međusobne induktivnosti faza namota statora

Međuinduktivnosti faza namota statora su: 𝐿𝑎𝑏, 𝐿𝑏𝑎, 𝐿𝑎𝑐 , 𝐿𝑐𝑎, 𝐿𝑏𝑐 i 𝐿𝑐𝑏. Naprimjer,

međuinduktivnost namota faze 𝑎 i faze 𝑏 može se odrediti iz relacije:

𝐿𝑎𝑏 =𝜓𝑎𝑏

𝑖𝑏=

𝑁𝑎𝜙𝑎𝑏

𝑖𝑏 (2.1-27)

Magnetni tok 𝜙𝑎𝑏, stvoren strujom 𝑖𝑏 odnosno protjecanjem ℱ𝑏, koji obuhvata namot faze 𝑎, određuje se iz relacije:

𝜙𝑎𝑏 = 𝜙𝑏𝑏 cos (2𝜋

3) = −

1

2ℱ𝑏𝒫𝑔 = −

1

2𝑁𝑏𝑖𝑏𝒫𝑔 (2.1-28)

Iz relacija (2.1-27) i (2.1-28) slijedi:

𝐿𝑎𝑏 = −1

2𝑁𝑎𝑁𝑏𝒫𝑔 = −

1

2𝑁1

2𝒫𝑔 = −1

2𝐿11 (2.1-29)

Zbog simetrično postavljenih namota na željeznoj jezgri statora, vrijedi:

𝐿𝑏𝑎 = 𝐿𝑎𝑏 = −1

2𝐿11 (2.1-30)

Nakon provedbe identičnog postupka dobivaju se međuinduktivnosti ostalih faza statorskog namota:

𝐿𝑏𝑐 = 𝐿𝑐𝑏 = −1

2𝐿11 (2.1-31)

𝐿𝑐𝑎 = 𝐿𝑎𝑐 = −1

2𝐿11 (2.1-32)


20

Međusobne induktivnosti faza namota rotora

S obzirom da su faze namota rotora međusobno u istom položaju kao i faze namota statora, međuinduktivnosti faza rotora su:

𝐿𝐴𝐵 = 𝐿𝐵𝐴 = 𝐿𝐵𝐶 = 𝐿𝐶𝐵 = 𝐿𝐴𝐶 = 𝐿𝐶𝐴 = −1

2𝐿22 (2.1-33)

Međusobne induktivnosti faza namota statora i rotora

Međusobne induktivnosti faza namota statora i rotora mogu se podijeliti u tri grupe:

Grupa 1: 𝐿𝑎𝐴, 𝐿𝐴𝑎, 𝐿𝑏𝐵, 𝐿𝐵𝑏 , 𝐿𝑐𝐶 , 𝐿𝐶𝑐

Grupa 2: 𝐿𝑎𝐵 , 𝐿𝑏𝐶 , 𝐿𝑐𝐴, 𝐿𝐴𝑐, 𝐿𝐵𝑎 , 𝐿𝐶𝑏

Grupa 3: 𝐿𝑎𝐶 , 𝐿𝑏𝐴, 𝐿𝑐𝐵, 𝐿𝐴𝑏 , 𝐿𝐵𝑐, 𝐿𝐶𝑎

Ove međuinduktivnosti ovise o međusobnom položaju namota statora i rotora. Naprimjer,

međusobna induktivnost faze 𝐴 rotora i faze 𝑎 statora je:

𝐿𝐴𝑎 =𝜓𝐴𝑎

𝑖𝑎= 𝑁𝐴

𝜙𝐴𝑎

𝑖𝑎 (2.1-34)

Magnetni tok 𝜙𝐴𝑎, koji obuhvata namot faze 𝐴 rotora stvoren je protjecanjem ℱ𝑎 faze 𝑎 statora, određuje se iz relacije:

𝜙𝐴𝑎 = 𝜙𝑎𝑎 cos 𝛾𝑟 = ℱ𝑎𝒫𝑔 cos 𝛾𝑟 = 𝑁𝑎𝑖𝑎𝒫𝑔 cos 𝛾𝑟 (2.1-35)

Međuinduktivnost 𝐿𝐴𝑎 je:

𝐿𝐴𝑎 = 𝑁𝐴𝑁𝑎𝒫𝑔 cos 𝛾𝑟 = 𝑁1𝑁2𝒫𝑔 cos 𝛾𝑟 = 𝑙12 cos 𝛾𝑟 (2.1-36)

U relaciji (2.1-36) je:

𝑙12 = 𝑁1𝑁2𝒫𝑔 (2.1-37)

Zbog simetrično postavljenih namota na rotoru stroja, može se pisati:

𝐿𝑎𝐴 = 𝐿𝐴𝑎 =𝑏𝐵= 𝐿𝐵𝑏 = 𝐿𝑐𝐶 = 𝐿𝐶𝑐 = 𝑙12 cos 𝛾𝑟 (2.1-38)

𝐿𝑎𝐵 = 𝐿𝑏𝐶 = 𝐿𝑐𝐴 = 𝐿𝐴𝑐 = 𝐿𝐵𝑎 = 𝐿𝐶𝑏 = 𝑙12 cos (𝛾𝑟 +2𝜋

3) (2.1-39)

𝐿𝑎𝐶 = 𝐿𝑏𝐴 = 𝐿𝑐𝐵 = 𝐿𝐴𝑏 = 𝐿𝐵𝑐 = 𝐿𝐶𝑎 = 𝑙12 cos (𝛾𝑟 +4𝜋

3) (2.1-40)

U jednačinama (2.1-38) – (2.1-40) je sa 𝛾𝑟 označen električni ugao između magnetne osi namota

faze 𝑎 i magnetne osi namota faze 𝐴 rotora.


21

2.2.2 Vektorski zapis

Za potrebe analize i sinteze algoritma upravljanja matematski model asinhronog stroja pogodno je zapisati u vektorskom obliku. Naponi, struje i ulančeni magnetni tokovi i relacija za elektromagnetni moment asinhronog stroja zapisuju se preko tzv. prostornih vektora, što je preduvjet za vektorski zapis matematskog modela.

Prostorni vektori napona, struja i ulančenih tokova

Prostorni vektori napona, struje i ulančenih tokova statora ��1𝑠, 𝑖1

𝑠 i ��1𝑠 u troosnom 𝑎𝑏𝑐

koordinatnom sistemu vezanom za stator stroja su:

��1𝑠 =

2

3(𝑢𝑎 + ��𝑢𝑏 + ��2𝑢𝑐) (2.1-41)

𝑖1𝑠 =

2

3(𝑖𝑎 + ��𝑖𝑏 + ��2𝑖𝑐) (2.1-42)

��1𝑠 =

2

3(𝜓𝑎 + ��𝜓𝑏 + ��2𝜓𝑐) (2.1-43)

gdje su �� i ��2 jedinični vektori ili operatori zakreta za ugao 2𝜋/3, odnosno 4𝜋/3 radijana.

Prostorni vektori napona, struje i ulančenog toka rotora ��2𝑟, 𝑖2

𝑟 i ��2𝑟 u troosnom koordinatnom

sistemu vezanom za rotor su:

��2𝑟 =

2

3(𝑢𝐴 + ��𝑢𝐵 + ��2𝑢𝐶) (2.1-44)

𝑖2𝑟 =

2

3(𝑖𝐴 + ��𝑖𝐵 + ��2𝑖𝐶) (2.1-45)

��2𝑟 =

2

3(𝜓𝐴 + ��𝜓𝐵 + ��2𝜓𝐶) (2.1-46)

Troosni koordinatni sistem 𝑎𝑏𝑐 vezan za stator koji miruje, a troosni koordinatni sistem 𝐴𝐵𝐶

vezan za rotor se vrti električnom ugaonom brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 = 𝑝𝜔𝑚𝑒ℎ.

Naponske jednačine

Nakon množenja naponske jednačine (2.1-1) sa 2/3, naponske jednačine (2.1-2) sa 2��/3 i

naponske jednačine (2.1-3) sa 2��2/3 i njihovog sabiranja dobiva se naponska jednačina statora u vektorskom obliku:

��12 = 𝑅1𝑖1

𝑠 +𝑑��1

𝑠

𝑑𝑡 (2.1-47)


22

Identičan postupak primjenjen je na naponske jednačine rotorskog kruga daje vektorsku naponsku jednačinu rotora:

��2𝑟 = 𝑅2𝑖2

𝑟 +𝑑��2

𝑟

𝑑𝑡 (2.1-48)

Jednačine ulančenih tokova

Ako se u relacije za ulančene tokove statora i rotora (2.1-14) – (2.1-19) uvrste izrazi za induktivnosti dati u prethodnim odjeljcima, a zatim prema relacijama (2.1-43) i (2.1-46) formiraju prostorni vektori ulančenih tokova statora i rotora, dobivaju se sljedeće jednačine:

��1𝑠 = 𝐿1𝑖1

𝑠 + 𝐿12𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.1-49)

��2𝑟 = 𝐿12𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 + 𝐿2𝑖2𝑟 (2.1-50)

U izrazima (2.1-49) i (2.1-50) induktivnosti su:

𝐿1 =3

2𝐿11 + 𝐿1𝜎 𝐿2 =

3

2𝐿22 + 𝐿2𝜎 𝐿12 =

3

2𝑙12 (2.1-51)

Elektromagnetni moment

Vektorski oblik izraza za elektromagnetni moment asinhronog stroja se može dobiti iz jednačine bilansa snaga:

𝑝𝑒𝑙 = 𝑝𝑔 + 𝑝𝑓 + 𝑝𝑚𝑒ℎ (2.1-52)

Električna snaga privedena stroju iz vanjske mreže može se zapisati kao:

𝑝𝑒𝑙 = 𝑢𝑎𝑖𝑎 + 𝑢𝑏𝑖𝑏 + 𝑢𝑐𝑖𝑐 + 𝑢𝐴𝑖𝐴 + 𝑢𝐵𝑖𝐵 + 𝑢𝐶𝑖𝐶 = ℛ {3

2��1

𝑠𝑖1𝑠∗} + ℛ {

3

2��2

𝑟𝑖2𝑟∗} (2.1-53)

gdje su:

𝑖1𝑠∗ =

2

3(𝑖𝑎 + ��2𝑖𝑏 + ��𝑖𝑐) (2.1-54)

𝑖2𝑟∗ =

2

3(𝑖𝐴 + ��𝑖𝐵 + ��𝑖𝐶) (2.1-55)

konjugirane vrijednosti prostornih vektora struja statora i rotora.

Množenjem naponskih jednačina statora i rotora je:

��1𝑠 = 𝑅1𝑖1

𝑠 +𝑑��1

𝑠

𝑑𝑡 (2.1-56)


23

��2𝑟 = 𝑅2𝑖2

𝑟 +𝑑��2

𝑟

𝑑𝑡 (2.1-57)

sa 3

2𝑖1𝑠∗ odnosno

3

2𝑖2𝑟∗, električna snaga može se zapisati kao:

𝑝𝑒𝑙 = ℛ {3

2𝑅1𝑖1

𝑠𝑖1𝑠∗ +

3

2

𝑑��1𝑠

𝑑𝑡𝑖1𝑠∗} + ℛ {

3

2𝑅2𝑖2

𝑟𝑖2𝑟∗ +

3

2

𝑑��2𝑟

𝑑𝑡𝑖2𝑟∗} (2.1-58)

Snaga pretovrena u toplotu u otpornostima namota statora i rotora je:

𝑝𝑔 = 𝑅1(𝑖𝑎2 + 𝑖𝑏

2 + 𝑖𝑐2) + 𝑅2(𝑖𝐴

2 + 𝑖𝐵2 + 𝑖𝐶

2) = ℛ {3

2𝑅1𝑖1

𝑠𝑖1𝑠∗} + ℛ {

3

2𝑅2𝑖2

𝑟𝑖2𝑟∗} (2.1-59)

Ukupna energija u magnetnom polju stroja je:

𝓌𝑓 =1

2𝜓𝑎𝑖𝑎 +

1

2𝜓𝑏𝑖𝑏 +

1

2𝜓𝑐𝑖𝑐 +

1

2𝜓𝐴𝑖𝐴 +

1

2𝜓𝐵𝑖𝐵 +

1

2𝜓𝐶𝑖𝐶

=1

2ℛ {

3

2��1

𝑠𝑖1𝑠∗} +

1

2ℛ {

3

2��1

𝑟𝑖1𝑟∗}

=1

2ℛ{��1

𝑠𝑖1𝑠∗ + ��2

𝑟𝑖2𝑟∗}

(2.1-60)

a snaga magnetnog polja je:

𝑝𝑓 =𝑑𝓌𝑓

𝑑𝑡=

3

4ℛ {

𝑑��1𝑠

𝑑𝑡𝑖1𝑠∗ + ��1

𝑠𝑑𝑖1

𝑠∗

𝑑𝑡+

𝑑��2𝑟

𝑑𝑡𝑖2𝑟∗ + ��2

𝑟𝑑𝑖2

𝑟∗

𝑑𝑡} (2.1-61)

Mehanička snaga koja se predaje na osovinu stroja je:

𝑝𝑚𝑒ℎ = 𝑝𝑒𝑙 − 𝑝𝑔 − 𝑝𝑓 =3

4ℛ {

𝑑��1𝑠

𝑑𝑡𝑖1𝑠∗ − ��1

𝑠𝑑𝑖1

𝑠∗

𝑑𝑡+

𝑑��2𝑟

𝑑𝑡𝑖2𝑟∗ − ��2

𝑟𝑑𝑖2

𝑟∗

𝑑𝑡} (2.1-62)

Difereneciranjem relacija za ulančene tokove:

��1𝑠 = 𝐿1𝑖1

𝑠 + 𝐿12𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.1-63)

��2𝑟 = 𝐿12𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 + 𝐿2𝑖2𝑟 (2.1-64)

dobiva se:

𝑑��1

𝑠

𝑑𝑡= 𝐿1

𝑑𝑖1𝑠

𝑑𝑡+ 𝐿12

𝑑𝑖2𝑟

𝑑𝑡𝑒𝑗𝛾𝑟 + 𝑗𝐿12𝜔𝑟𝑖2

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.1-65)

𝑑��2𝑟

𝑑𝑡= 𝐿12

𝑑𝑖1𝑠

𝑑𝑡𝑒−𝑗𝛾𝑟 − 𝑗𝐿12𝜔𝑟𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 + 𝐿2

𝑑𝑖2𝑟

𝑑𝑡 (2.1-66)


24

Mehanička snaga se sada zapisuje u obliku:

𝑝𝑚𝑒ℎ =3

4ℛ {(𝐿1

𝑑𝑖1𝑠

𝑑𝑡+ 𝐿12

𝑑𝑖2𝑟

𝑑𝑡𝑒𝑗𝛾𝑟 + 𝑗𝐿12𝜔𝑟𝑖2

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟) 𝑖1𝑠∗ − (𝐿1𝑖1

𝑠 +

𝐿12𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟)

𝑑𝑖1𝑠∗

𝑑𝑡+ (𝐿12

𝑑𝑖1𝑠

𝑑𝑡𝑒−𝑗𝛾𝑟 − 𝑗𝐿12𝜔𝑟𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 + 𝐿2𝑑𝑖2

𝑟

𝑑𝑡) 𝑖2

𝑟∗ − (𝐿12𝑖1𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 +

𝐿2𝑖2𝑟)

𝑑𝑖2𝑟∗

𝑑𝑡}

(2.1-67)

Grupisanjem članova izraza (2.1-67) dobiva se:

𝑝𝑚𝑒ℎ =3

4ℛ {𝐿1 (𝑖1

𝑠∗𝑑𝑖1

𝑠

𝑑𝑡− 𝐿1𝑖1

𝑠𝑑𝑖1

𝑠∗

𝑑𝑡) + 𝐿2 (𝑖2

𝑟∗𝑑𝑖2

𝑟

𝑑𝑡− 𝑖2

𝑟𝑑𝑖2

𝑟∗

𝑑𝑡)}

+3

4ℛ {𝐿12 (𝑖1

𝑠∗𝑑𝑖2

𝑟

𝑑𝑡𝑒𝑗𝛾𝑟 − 𝑖1

𝑠 𝑑𝑖2𝑟∗𝑒−𝑗𝛾𝑟 + 𝑖2

𝑟∗𝑑𝑖1

𝑠

𝑑𝑡𝑒−𝑗𝛾𝑟

− 𝑖2𝑟𝑑𝑖1

𝑠∗

𝑑𝑡𝑞𝑗𝛾𝑟)} +

3

4𝜔𝑟𝐿12ℛ{𝑗(𝑖2

𝑟𝑖1𝑠∗𝑒𝑗𝛾𝑟 − 𝜔𝑟𝑖1

𝑠𝑖2𝑟∗𝑒−𝑗𝛾𝑟)}

(2.1-68)

Može se pokazati da su prva dva člana u relaciji (2.1-68) uvijek imaginarni pa se konačno za mehaničku snagu dobiva:

𝑝𝑚𝑒ℎ =3

4𝜔𝑟𝐿12ℛ{𝑗(𝑖1

𝑠∗𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 − 𝑖1

𝑠𝑖2𝑟∗𝑒−𝑗𝛾𝑟)} (2.1-69)

Izraz za mehaničku snagu (2.1-69) može se zapisati i u kraćem, pogodnijem obliku kao:

𝑝𝑚𝑒ℎ =3

2𝜔𝑟𝐿12ℛ{𝑗𝑖1

𝑠∗𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟} (2.1-70)

Elektromagnetni moment asinhronog stroja zapisan u vektorskom obliku je:

𝑚𝑒 =𝑝𝑚𝑒ℎ

𝜔𝑚𝑒ℎ=

3

2𝑝𝐿12ℛ{𝑗𝑖1

𝑠∗𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟} = −

3

2𝑝𝐿12ℐ{𝑖1

𝑠∗𝑖2𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟} (2.1-71)

2.2.3 Matematski model u zajedničkom koordinatnom sistemu

Naponske jednačine i relacije za ulančene tokove u matričnom i vektorskom obliku zapisane

su u dva troosna koordinatna sistema: u troosnom koordinatnom sistemu 𝑎𝑏𝑐 vezanom za stator

i troosnom koordinatnom sistemu 𝐴𝐵𝐶 vezanom za rotor koji se vrti električnom ugaonom

brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 . Takav zapis nije pogodan za praktičnu primjenu matematskog modela pa je jednačine modela potrebno zapisati u zajedničkom dvoosnom koordinatnom sistemu koji se

vrti električnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑘.

Brzina vrtnje zajedničkog koordinatnog sistema 𝜔𝑘 može se uzeti proizvoljno, ali se za vektorski zapis jednačina matematskog modela najčešće koriste:

zapis u zajedničkom koordinatnom sistemu koji se vrti električnom ugaonom brzinom

vrtnje rotora (𝜔𝑘 = 𝜔𝑟 = 𝑝𝜔𝑚𝑒ℎ);


25

zapis u zajedničkom koordinatnom sistemu koji se vrti električnom ugaonom brzinom 𝜔𝑘

koja je jednaka ugaonoj frekvenciji statorskih veličina 𝜔1 (𝜔𝑘 = 𝜔1 = 2𝜋𝑓1);

zapis u zajedničkom koordinatnom sistemu koji se ne vrti (𝜔𝑘 = 0).

Veze prostornih vektora napona, struje i ulančenog toka statora ��1𝑠, 𝑖1

𝑠 i ��1𝑠 zapisanih u

dvoosnom 𝛼𝑠𝛽𝑠 koordinatnom sistemu koji miruje sa prostornim vektorima napona, struje i

ulančenog toka statora ��1𝑘, 𝑖1

𝑘 i ��1𝑘 zapisanim u koordinatnom sistemu 𝑑𝑘𝑞𝑘 koji se vrti električnom

ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑘 su:

��1𝑠 = ��1

𝑘𝑒𝑗𝛾𝑘 (2.1-72)

𝑖1𝑠 = 𝑖1

𝑘𝑒𝑗𝛾𝑘 (2.1-73)

��1𝑠 = ��1

𝑘𝑒𝑗𝛾𝑘 (2.1-74)

Veze prostornih vektora rotorskih veličina zapisanih u koordinatnom sistemu 𝑑𝑟𝑞𝑟 koji se vrti

ugaonom električnom brzinom vrtnje 𝜔𝑟 i prostornih vektora rotorskih veličina zapisanih u

koordinatnom sistemu 𝑑𝑘𝑞𝑘 koji se vrti električnom ugaonom brzinom 𝜔𝑘 su:

��2𝑟 = ��2

𝑘𝑒𝑗(𝛾𝑘−𝛾𝑟) (2.1-75)

𝑖2𝑟 = 𝑖2

𝑘𝑒𝑗(𝛾𝑘−𝛾𝑟) (2.1-76)

��2𝑟 = ��2

𝑘𝑒𝑗(𝛾𝑘−𝛾𝑟) (2.1-77)

gdje su ��2𝑘, 𝑖2

𝑘 i ��2𝑘 vektori napona, struje i ulančenog toka rotora zapisani u koordinatnom sistemu

𝑑𝑘𝑞𝑘.

Naponske jednačine, jednačine ulančenih tokova i jednačina elektromagnetnog momenta

zapisane u koordinatnom sistemu koji se vrti proizvoljnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑘 su:

��1𝑘 = 𝑅1𝑖1

𝑘 +𝑑��1

𝑘

𝑑𝑡+ 𝑗𝜔𝑘��1

𝑘 (2.1-78)

��2𝑘 = 𝑅2𝑖2

𝑘 +𝑑��2

𝑘

𝑑𝑡+ 𝑗(𝜔𝑘 − 𝜔𝑟)��2

𝑘 (2.1-79)

��1𝑘 = 𝐿1𝑖1

𝑘 + 𝐿12𝑖2𝑘 (2.1-80)

��2𝑘 = 𝐿12𝑖1

𝑘 + 𝐿2𝑖2𝑘 (2.1-81)

𝑚𝑒 = −3

2𝑝

𝐿12

𝐿2ℐ{��2

𝑘𝑖1𝑘∗} = −

3

2𝑝ℐ{��1

𝑘𝑖1𝑘∗} (2.1-82)

Za praktičnu primjenu matematskog modela asinhronog stroja potrebno je izvršiti preračunavanje svih rotorskih veličina na stranu statora jer se u tom slučaju mogu koristiti poznati parametri nadomjesne šeme asinhronog stroja.


26

Sve rotorske veličine preračunate na stranu statora označavaju se oznakom ′, a u jednačinama

ulančenih tokova i relaciji za elektromagnetni moment induktivnost 𝐿12 se zapisuje kao 𝐿𝜇.

Način preračunavanja rotorskih veličina na stranu statora je dat u prilogu 𝐵.

Nakon preračunavanja rotorskih veličina na statorsku stranu, matematski model asinhronog stroja može se pisati u obliku:

��1𝑘 = 𝑅1𝑖1

𝑘 +𝑑��1

𝑘


𝑘 (2.1-83)

��2′𝑘 = 𝑅2

′ 𝑖2′𝑘 +

𝑑��2𝑘


′𝑘 (2.1-84)

𝐽1

𝑝

𝑑𝜔𝑟

𝑑𝑡= 𝑚𝑒 − 𝑚𝑡 (2.1-85)

gdje su:

𝑚𝑒 = −3

2𝑝

𝐿𝜇

𝐿2ℐ{��2

′𝑘𝑖1𝑘∗} = −

3

2𝑝ℐ{��1

𝑘𝑖1𝑘∗} (2.1-86)

��1𝑘 = 𝐿1𝑖1

𝑘 + 𝐿𝜇𝑖2′𝑘 = 𝐿1𝜎𝑖1

𝑘 + 𝐿𝜇(𝑖1𝑘 + 𝑖2

′𝑘) (2.1-87)

��2′𝑘 = 𝐿𝜇𝑖1

𝑘 + 𝐿2′ 𝑖2

′𝑘 = 𝐿2𝜎′ 𝑖2

′𝑘 + 𝐿𝜇(𝑖1𝑘 + 𝑖2

′𝑘) (2.1-88)

𝐿1 = 𝐿1𝜎 + 𝐿𝜇 (2.1-89)

𝐿2′ = 𝐿2𝜎

′ + 𝐿𝜇 (2.1-90)

Nadomjesna šema asinhronog stroja za dinamička stanja sa rotorskim veličinama preračunatim na statorsku stranu, nacrtana na temelju relacija (2.1-83) – (2.1-90), prikazana je na slici 2.2.

Slika 2.2: Nadomjesna šema asinhronog stroja za dinamička stanja


27

Zapis matematskog modela preko ulančenih tokova

Jednačine za ulančene tokove (2.1-87) i (2.1-88) mogu se zapisati i u obliku2:

��1 = 𝐿1𝜎𝑖1 + ��𝜇 (2.1-91)

��2′ = 𝐿2𝜎

′ 𝑖2′ + ��𝜇 (2.1-92)

gdje je:

��𝜇 = 𝐿𝜇(𝑖1 + 𝑖2′ ) (2.1-93)

Iz relacija (2.1-91) i (2.1-92) određuju se vrijednosti struje statora i rotora preračunate na stranu statora:

𝑖1 =1

𝐿1𝜎(��1 − ��𝜇) (2.1-94)

𝑖2′ =

1

𝐿2𝜎′ (��2

′ − ��𝜇) (2.1-95)

a naponske jednačine i relacija za elektromagnetni moment zapisuju se preko ulančenih tokova u obliku:

��1 =𝑅1

𝐿1𝜎(��1 − ��𝜇) +

𝑑��1

𝑑𝑡+ 𝑗𝜔𝑘��1 (2.1-96)

0 =𝑅2

′

𝐿1𝜎(��2

′ − ��𝜇) +𝑑��2

′


′ (2.1-97)

𝑚𝑒 =3

2𝑝

1

𝐿1𝜎ℐ{��1��𝜇} (2.1-98)

S obzirom da se rotorski strujni krug ne priključuje na vanjski izvor napona u naponskoj

jednačini rotora (2.1-97) je ��2′ = 0.

Ulančeni tokovi u relacijama (2.1-96) – (2.1-98) mogu se zapisati kao:

𝜓1 = 𝜓1𝑑 + 𝑗𝜓1𝑞 (2.1-99)

𝜓2′ = 𝜓2𝑑

′ + 𝑗𝜓2𝑞′ (2.1-100)

𝜓𝜇 = 𝜓𝜇𝑑 + 𝑗𝜓𝜇𝑞 (2.1-101)

2 U eksponentu varijabli nije pisana oznaka „k“ za koordinatni sistem.


28

gdje su:

𝜓1𝑑 = 𝐿1𝜎𝑖1𝑑 + 𝜓𝜇𝑑 𝜓𝜇𝑞 = 𝐿1𝜎𝑖1𝑞 + 𝜓𝜇𝑞 (2.1-102)

𝜓2𝑑′ = 𝐿2𝜎

′ 𝑖2𝑑′ + 𝜓𝜇𝑑 𝜓2𝑞

′ = 𝐿2𝜎′ 𝑖2𝑞

′ + 𝜓𝜇𝑞 (2.1-103)

Iz relacija (2.1-102) – (2.1-103) mogu se dobiti komponente struja:

𝑖1𝑑 =𝜓1𝑑 − 𝜓𝜇𝑑

𝐿1𝜎 𝑖1𝑞 =

𝜓1𝑞 − 𝜓𝜇𝑞

𝐿1𝜎 (2.1-104)

𝑖2𝑑′ =

𝜓2𝑑′ − 𝜓𝜇𝑑

𝐿2𝜎′ 𝑖2𝑞

′ =𝜓2𝑞

′ − 𝜓𝜇𝑞

𝐿2𝜎 (2.1-105)

a matematski model asinhronog stroja zapisati u obliku:

𝑢1𝑑 =𝑅1

𝐿1𝜎(𝜓1𝑑 − 𝜓𝜇𝑑) +

𝑑𝜓1𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝑘𝜓1𝑞 (2.1-106)

𝑢1𝑞 =𝑅1

𝐿1𝜎(𝜓1𝑞 − 𝜓𝜇𝑞) +

𝑑𝜓1𝑞

𝑑𝑡+ 𝜔𝑘𝜓1𝑑 (2.1-107)

0 =𝑅2

′

𝐿2𝜎′ (𝜓2𝑑

′ − 𝜓𝜇𝑑) +𝑑𝜓2𝑑

′

𝑑𝑡− (𝜔𝑘 − 𝜔𝑟)𝜓2𝑞

′ (2.1-108)

0 =𝑅2

′

𝐿2𝜎′ (𝜓2𝑞

′ − 𝜓𝜇𝑞) +𝑑𝜓2𝑑

′

𝑑𝑡+ (𝜔𝑘 − 𝜔𝑟)𝜓2𝑑

′ (2.1-109)

𝐽1

𝑝

𝑑𝜔𝑟

𝑑𝑡=

3

2𝑝

1

𝐿1𝜎(𝜓1𝑞𝜓𝜇𝑑 − 𝜓1𝑑𝜓𝜇𝑞) − 𝑚𝑡 (2.1-110)

Komponente ulančenog magnetnog toka u zračnom rasporu mogu se zapisati kao:

𝜓𝜇𝑑 = 𝐿𝜇(𝑖1𝑑 + 𝑖2𝑑′ ) (2.1-111)

𝜓𝜇𝑞 = 𝐿𝜇(𝑖1𝑞 + 𝑖2𝑞′ ) (2.1-112)

Korištenjem relacija za komponente struja (2.1-104) – (2.1-105) komponente magnetnih tokova

𝜓𝜇𝑑 i 𝜓𝜇𝑞 mogu se zapisati i u obliku:

𝜓𝜇𝑑 =1

𝐿𝑧(𝜓1𝑑

𝐿1𝜎+

𝜓2𝑑′

𝐿2𝜎′ ) (2.1-113)

𝜓𝜇𝑞 =1

𝐿𝑧(𝜓1𝑞

𝐿1𝜎+

𝜓2𝑞′

𝐿2𝜎′ ) (2.1-114)

gdje je:


29

𝐿𝑧 = (1

𝐿𝜇+

1

𝐿1𝜎+

1

𝐿2𝜎′ ) (2.1-115)

Napon trofazne mreže u dvoosnom koordinatnom sistemu

Naponi trofazne mreže efektivne vrijednosti 𝑈1 i ugaone frekvencije 𝜔1:

𝑢𝑎 = √2𝑈1 cos𝜔1𝑡 (2.1-116)

𝑢𝑏 = √2𝑈1 cos (𝜔1𝑡 −2𝜋

3) (2.1-117)

𝑢𝑐 = √2𝑈1 cos (𝜔1𝑡 −4𝜋

3) (2.1-118)

se u dvoosnom koordinatnom sistemu 𝛼𝑘𝛽𝑘 vezanom za sator predstavljaju prostornim vektorom koji se zapisuje u obliku:

��1𝑠 = √2𝑈1𝑒

𝑗𝜔1𝑡 (2.1-119)

Vektor napona ��1𝑘 u koordinatnom sistemu 𝑑𝑘𝑞𝑘 koji se vrti proizvoljnom ugaonom

električnom brzinom 𝜔𝑘 povezan je sa vektorom napona ��1𝑠 relacijom (2.1-72), odnosno može se

pisati:

��1

𝑘 = ��1𝑠𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑡 = √2𝑈1𝑒

𝑗𝜔1𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑡 = √2𝑈1𝑒𝑗(𝜔1−𝜔𝑘)𝑡

= 𝑢1𝑑𝑘 + 𝑗𝑢1𝑞

𝑘 (2.1-120)

Komponente vektora napona mreže ��1𝑘 su:

𝑢1𝑑𝑘 = √2𝑈1 cos(𝜔1 − 𝜔𝑘)𝑡 (2.1-121)

𝑢1𝑞𝑘 = √2𝑈1 sin(𝜔1 − 𝜔𝑘)𝑡 (2.1-122)

Komponente vektora napona (2.1-121) i (2.1-122) mogu se također izračunati korištenjem

transformacionih matrica [𝑃]𝑇 i [𝐶]𝑇:


30

[𝑢1𝑑

𝑘

𝑢1𝑞𝑘 ] = [𝑃]𝑇 [

𝑢1𝛼𝑠

𝑢1𝛽𝑠 ] =

2

3[𝑃]𝑇[𝐶]𝑇 [

𝑢𝑎

𝑢𝑏

𝑢𝑐

]

=2

3[

cos 𝛾𝑘 sin 𝛾𝑘

−sin 𝛾𝑘 cos 𝛾𝑘] [

1 cos2𝜋

3cos

4𝜋

3

0 sin2𝜋

3sin

2𝜋

3

] [

𝑢𝑎

𝑢𝑏

𝑢𝑐

]

=2

3[

cos 𝛾𝑘 cos (𝛾𝑘 −2𝜋

3) cos (𝛾𝑘 −

4𝜋

3)

− sin 𝛾𝑘 −sin (𝛾𝑘 −2𝜋

3) − sin (𝛾𝑘 −

4𝜋

3)

] [

𝑢𝑎

𝑢𝑏

𝑢𝑐

]

(2.1-123)

2.3 Modeli za analizu rada sinhronog stroja

Analiza rada sinhronih strojeva u svim stanjima (motorskim, generatorskim, prelaznim i kvazistacionarnim) provodi se pomoću matematskih modela koji opisuju sve električne, magnetne i mehaničke pojave u stroju. Opći matematski model sinhronog stroja čine odgovarajuće diferencijalne jednačine koje povezuju sve električne, magnetne i mehaničke veličine bitne za rad stroja. Rješavanjem takvog matematskog modela dobivaju se vrijednosti svih promatranih veličina u ovisnosti o vremenu. Međutim, za dobivanje osnovne fizikalne slike rada stroja dovoljno je razmotriti kvazistaconarno stanje stroja u kojemu se rotor vrti konstantnom brzinom vrtnje, a sve izmjerene veličine imaju harmonijske vremenske promjene. Uz ove pretpostavke pojednostavljuje se opći matematski model, a njegovo rješavanje se svodi na rješavanje algebarskih jednačina. U nastavku je postavljen najprije opći matematski model sinhronog stroja, a zatim se analiza rada u kvaziostacionarnom stanju provodi uz korištenje pojednostavljenog modela. [2]

2.3.1 Opći model [1]

Opći matematski model sinhronog stroja postavlja se za stroj sa istaknutim polovima na rotoru. Model, uz određena pojednostavljenja, vrijedi i za sinhroni stroj sa cilindričnim rotorom.

Slika 2.3 prikazuje raspored i šematski prikaz namota statora i rotora trofaznog sinhronog stroja sa istaknutim polovima na rotoru.

Namot statora je simetrični trofazni namot, kojeg na slici 2.3-a predstavljaju tri svitka, čije su

magnetne osi prostorno razmaknute za mehanički ugao 120°. Na rotoru je, pored uzbudnog

koncentriranog namota (𝑓𝑓′), u tijelo polova postavljen i kavez koji služi za pokretanje sinhronog stroja u motorskom radu, odnosno prigušenje oscilacija električnih i mehaničkih veličina u generatorskom radu. U šematskim prikazima namota sinhronog stroja uobičajeno je da se kavez u

rotoru prikazuje sa dva ekvivalentna kratkospojena namota od kojih se jedan (oznaka 𝐷 na slici

2.3-b) postavlja u 𝑑 osu, a drugi (oznaka 𝑄 na slici 2.3-b) u 𝑞 osu rotora.





31



(a) (b)

Slika 2.3: Sinhroni stroj sa istaknutim polovima: (a) raspored namota, (b) šematski prikaz






U 𝑑 osi, koja se poklapa sa osi polova, magnetna otpornost je najmanja, dok je u 𝑞 osi, koja je

okomita na 𝑑 osu, magnetna otpornost najveća.

Jednačine općeg matematskog modela sinhronog stroja postavljene za motorski režim rada su (zanemaren je moment trenja i ventilacije):

naponske jednačine statorskog kruga

𝑢𝑎 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 +𝑑𝜓𝑎

𝑑𝑡 (2.2-1)

𝑢𝑏 = 𝑅𝑏𝑖𝑏 +𝑑𝜓𝑏

𝑑𝑡 (2.2-2)

𝑢𝑐 = 𝑅𝑐𝑖𝑐 +𝑑𝜓𝑐

𝑑𝑡 (2.2-3)

naponska jednačina uzbudnog kruga

𝑢𝑓 = 𝑅𝑓𝑖𝑓 +𝑑𝜓𝑓

𝑑𝑡 (2.2-4)


32

naponske jednačine za ekvivalentne prigušne namote

0 = 𝑅𝐷𝑖𝐷 +𝑑𝜓𝐷

𝑑𝑡 (2.2-5)

0 = 𝑅𝑄𝑖𝑄 +𝑑𝜓𝑄

𝑑𝑡 (2.2-6)

mehanička jednačina kretanja

𝐽𝑑𝜔𝑚𝑒ℎ

𝑑𝑡= 𝐽

1

𝑝

𝑑𝜔𝑚𝑒ℎ

𝑑𝑡= 𝑚𝑒 − 𝑚𝑡 (2.2-7)

U jednačinama matematskog modela (2.2-1) – (2.2-7), oznake električnih, magnetnih i mehaničkih veličina su:

𝑢𝑎, 𝑢𝑏 , 𝑢𝑐 naponi faza namota statora,

𝑖𝑎, 𝑖𝑏 , 𝑖𝑐 fazne struje namota statora,

𝑅𝑎, 𝑅𝑏 , 𝑅𝑐 radne otpornosti faza namota statora,

𝜓𝑎 , 𝜓𝑏 , 𝜓𝑐 ulančeni tokovi faza statora,

𝑢𝑓 , 𝑖𝑓 napon i struja uzbudnog kruga,

𝑅𝑓 , 𝜓𝑓 radna otpornost i ulančeni tok uzbudnog toka,

𝑖𝐷 , 𝑖𝑄 struje ekvivalentnih prigušnih namota,

𝑅𝐷 , 𝑅𝑄 , 𝜓𝐷 , 𝜓𝑄 radne otpornosti i ulančeni tokovi ekvivalentnih prigušnih namota,

𝐽, 𝜔𝑚𝑒ℎ, 𝜔, 𝑝 moment inercije, mehanička ugaona brzina vrtnje rotora, električna ugaona brzina vrtnje rotora i broj pari polova

𝑚𝑒 , 𝑚𝑡 elektromagnetni i mehanički moment na osovini (moment trenja i moment opterećenja)

Analitički način rješavanja jednačina općeg matematskog modela sinhronih strojeva nije moguć zbog komplikovanih odnosa između električnih, magnetnih i mehaničkih veličina. Naprimjer, ulančeni magnetni tok jednog namota ovisi o strujama koje teku u svim ostalim namotima. Eletromagnetni moment koji nastaje u stroju također ovisi o strujama, odnosno ulančenim tokovima svi namota stroja i ne može se jednostavno izraziti. Uzimanje u obzir zasićenja materijala od kojeg je izrađen magnetni krug stroja, promjene magnetne otpornosti uzrokovane izvedbom rotora sa istaknutim polovima te utjecaja ožljebljenja statorskog paketa limova dodatno komplicira rješavanje jednačina općeg matematskog modela.

Međutim, pogodnim matematskim transformacijama i uz određene pretpostavke, moguće je, primjenom metoda numeričkog integriranja uz pomoć računala, riješiti opći matematski model sinhronog stroja sa zadovoljavajućom tačnošću. [2]


33

Ulančeni magnetni tokovi namota sinhrnog stroja mogu se zapisati u obliku:

𝜓𝑎 = (𝜓𝑎𝑎 + 𝜓𝑎𝜎) + 𝜓𝑎𝑏 + 𝜓𝑎𝑐 + 𝜓𝑎𝑓 + 𝜓𝑎𝐷 + 𝜓𝑎𝑄 (2.2-8)

𝜓𝑏 = 𝜓𝑏𝑎 + (𝜓𝑏𝑏 + 𝜓𝑏𝜎) + 𝜓𝑏𝑐 + 𝜓𝑏𝑓 + 𝜓𝑏𝐷 + 𝜓𝑏𝑄 (2.2-9)

𝜓𝑐 = 𝜓𝑐𝑎 + 𝜓𝑐𝑏 + (𝜓𝑐𝑐 + 𝜓𝑐𝜎) + 𝜓𝑐𝑓 + 𝜓𝑓𝐷 + 𝜓𝑓𝑄 (2.2-10)

𝜓𝑓 = 𝜓𝑓𝑎 + 𝜓𝑓𝑏 + 𝜓𝑓𝑐 + (𝜓𝑓𝑓 + 𝜓𝑓𝜎) + 𝜓𝑓𝐷 + 𝜓𝑓𝑄 (2.2-11)

𝜓𝐷 = 𝜓𝐷𝑎 + 𝜓𝐷𝑏 + 𝜓𝐷𝑐 + 𝜓𝐷𝑓 + (𝜓𝐷𝐷 + 𝜓𝐷𝜎) + 𝜓𝐷𝑄 (2.2-12)

𝜓𝑄 = 𝜓𝑄𝑎 + 𝜓𝑄𝑏 + 𝜓𝑄𝑐 + 𝜓𝑄𝑓 + 𝜓𝑄𝐷 + (𝜓𝑄𝑄 + 𝜓𝑄𝜎) (2.2-13)

Elektromagnetni moment koji nastaje u stroju također ovisi o strujama i ulančenim tokovima svih namota stroja i ne može se jednostavno izraziti. Uzimanje u obzir zasićenja materijala od kojeg je izrađen magnetni krug stroja te utjecaja ožljebljenja statorskog paketa limova dodatno komplicira rješavanje jednačina općeg matematskog modela.

Međutim, zanemarenjem zasićenja te pogodnim matematskim transformacijama, moguće je, primjenom metoda numeričkog integriranja uz pomoć računara, riješiti opći matematski model sinhronog stroja sa zadovoljavajućom tačnošću.

Ako je zanemareno zasićenje magnetnog materijala, jednačine za ulančene tokove zapisuju se u obliku:

𝜓𝑎 = (𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝑎𝜎)𝑖𝑎 + 𝐿𝑎𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝑎𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝑎𝑓𝑖𝑓 + 𝐿𝑎𝐷𝑖𝐷 + 𝐿𝑎𝑄𝑖𝑄 (2.2-14)

𝜓𝑏 = 𝐿𝑏𝑎𝑖𝑎 + (𝐿𝑏𝑏 + 𝐿𝑏𝜎)𝑖𝑏 + 𝐿𝑏𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝑏𝑓𝑖𝑓 + 𝐿𝑏𝐷𝑖𝐷 + 𝐿𝑏𝑄𝑖𝑄 (2.2-15)

𝜓𝑐 = 𝐿𝑐𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑐𝑏𝑖𝑏 + (𝐿𝑐𝑐 + 𝐿𝑐𝜎)𝑖𝑐 + 𝐿𝑐𝑓𝑖𝑓 + 𝐿𝑐𝐷𝑖𝐷 + 𝐿𝑐𝑄𝑖𝑄 (2.2-16)

𝜓𝑓 = 𝐿𝑓𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑓𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝑓𝑐𝑖𝑐 + (𝐿𝑓𝑓 + 𝐿𝑓𝜎)𝑖𝑓 + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝐷 + 𝐿𝑓𝑄𝑖𝑄 (2.2-17)

𝜓𝐷 = 𝐿𝐷𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝐷𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝐷𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝐷𝑓𝑖𝑓 + (𝐿𝐷𝐷 + 𝐿𝐷𝜎)𝑖𝐷 + 𝐿𝐷𝑄𝑖𝑄 (2.2-18)

𝜓𝑄 = 𝐿𝑄𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑄𝑏𝑖𝑏 + 𝐿𝑄𝑐𝑖𝑐 + 𝐿𝑄𝑓𝑖𝑓 + 𝐿𝑄𝐷𝑖𝐷 + (𝐿𝑄𝑄 + 𝐿𝑄𝜎)𝑖𝑄 (2.2-19)

Induktivnosti

Kod sinhronog stroja sa istaknutim polovima na rotoru induktivnosti i međuinduktivnosti namota na statoru ovise o trenutnom položaju rotora. U stacionarnom stanju položaj rotora se mijenja periodično u vremenu pa će se periodično u vremenu mijenjati induktivnosti i međuinduktivnosti namota na statoru te međuinduktivnosti između statora i rotora. Samoinduktivnosti i međuinduktivnosti namota na rotoru su konstantne.


34

Vlastite induktivnosti faza namota statora

Vlastite induktivnosti faza namota statora ovise o položaju rotora. Induktivnost neke faze će

biti maksimalna kada se 𝑑 osa rotora poklopi sa osom te faze statora. Induktivnost se definira kao proizvod kvadrata broja zavojaka i odgovarajuće magnetne provodnosti.

Ulančeni magnetni tok faze 𝑎 statora je (𝑁𝑎 = 𝑁𝑏 = 𝑁𝑐 = 𝑁1):

𝜓𝑎𝑎 = 𝑁1𝜙𝑎𝑎 (2.2-20)

Magnetni tok 𝜙𝑎𝑎 faze 𝑎 može se predstaviti preko komponenti 𝜙𝑎𝑎𝑑𝑎 i 𝜙𝑎𝑎𝑞𝑎 kako je to

prikazano na slici 2.4.

𝜙𝑎𝑎 = 𝜙𝑎𝑎𝑑𝑎 + 𝜙𝑎𝑎𝑞𝑎

= 𝜙𝑎𝑎𝑑 cos 𝛾𝑟 + 𝜙𝑎𝑎𝑞 cos (𝜋

2− 𝛾𝑟) = 𝜙𝑎𝑎𝑎𝑑 cos 𝛾𝑟 + 𝜙𝑎𝑎𝑞 sin 𝛾𝑟

(2.2-21)

Magnetni tokovi 𝜙𝑎𝑎𝑑 i 𝜙𝑎𝑎𝑞 se mogu zapisati relacijama:

𝜙𝑎𝑎𝑑 = ℱ𝑎𝑎𝑑𝒫𝑑 (2.2-22)

𝜙𝑎𝑎𝑞 = ℱ𝑎𝑎𝑞𝒫𝑞 (2.2-23)

gdje su 𝒫𝑑 i 𝒫𝑞 magnetne provodnosti po uzdužnoj 𝑑 i poprečnoj osi 𝑞. Magnetne provodnosti

𝒫𝑑 i 𝒫𝑞 imaju konstantne vrijednosti i ovise samo o geometriji magnetnih jezgri, odnosno o

konstrukcijskim parametrima stroja.

Slika 2.4: Određivanje vlastite induktivnosti faza statora sinhronog stroja

Protjecanja ℱ𝑎𝑎𝑑 i ℱ𝑎𝑎𝑞 u 𝑑 i 𝑞 osama su komponente ukupnog protjecanja ℱ𝑎𝑎 u fazi 𝑎 statora.

Ta protjecanja su međusobno pomaknuta za 𝜋/2, mijenjaju se sa položajem rotora odnosno sa

uglom 𝛾𝑟 i mogu se zapisati kao (slika 2.4):


35

ℱ𝑎𝑎𝑑 = ℱ𝑎𝑎 cos 𝛾𝑟 = 𝑁1𝑖𝑎 cos 𝛾𝑟 (2.2-24)

ℱ𝑎𝑎𝑞 = ℱ𝑎𝑎 cos (𝜋

2− 𝛾𝑟) = 𝑁1𝑖𝑎 sin 𝛾𝑟 (2.2-25)

Koristeći relacije (2.2-21) – (2.2-23), ulančeni tok dat relacijom (2.2-20) može se zapisati kao:

𝜙𝑎𝑎 = 𝑁12𝑖𝑎(𝒫𝑑 cos2 𝛾𝑟 + 𝒫𝑞 sin2 𝛾𝑟) = 𝑁1

2𝑖𝑎 (𝒫𝑑 + 𝒫𝑞

2+

𝒫𝑑 − 𝒫𝑞

2cos 2𝛾𝑟) (2.2-26)

Odnosno vlastita induktivnost faze 𝑎 namota statora je:

𝐿𝑎𝑎 =𝜓𝑎𝑎

𝑖𝑎= 𝑁1

2 (𝒫𝑑 + 𝒫𝑞

2+


2cos 2𝛾𝑟) = 𝐿0 + 𝐿2 cos 2𝛾𝑟 (2.2-27)

gdje su:

𝐿0 = 𝑁12𝒫𝑑 + 𝒫𝑞

2 (2.2-28)

𝐿2 = 𝑁12𝒫𝑑 − 𝒫𝑞

2 (2.2-29)

S obzirom da su namoti faza 𝑏 i 𝑐 pomjereni u odnosu na namot faze 𝑎 za uglove 2𝜋/3 i 4𝜋/3,

provedbom sličnog postupka dobivaju se izrazi za vlasite induktivnosti faza 𝑏 i 𝑐 statorskog namota:

𝐿𝑏𝑏 = 𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +2𝜋

3) (2.2-30)

𝐿𝑐𝑐 = 𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +4𝜋

3) (2.2-31)

Ukupne vlastite induktivnosti faza 𝑎, 𝑏 i 𝑐 statorskog namota dobivaju se dodavanjem rasipnih induktivnosti namota. Radi simetrično postavljenih namota statora, rasipne induktivnosti statorskih namota su jednake:

𝐿𝑎𝜎 = 𝐿𝑏𝜎 = 𝐿𝑐𝜎 = 𝐿1𝜎 (2.2-32)

Ukupne vlastite induktivnosti faza namota statora su:

𝐿𝑎 = 𝐿0 + 𝐿2 cos 2𝛾𝑟 + 𝐿1𝜎 = 𝐿1 + 𝐿2 cos 2𝛾𝑟 (2.2-33)

𝐿𝑏 = 𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +2𝜋

3) + 𝐿1𝜎 = 𝐿1 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +

2𝜋

3) (2.2-34)

𝐿𝑐 = 𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +4𝜋

3) + 𝐿1𝜎 = 𝐿1 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +

4𝜋

3) (2.2-35)


36

gdje je:

𝐿1 = 𝐿0 + 𝐿1𝜎 (2.2-36)

Međuinduktivnosti faza statora

Međuinduktivnosti faza namota statora su također ovisne o položaju rotora odnosno uglu 𝛾𝑟. Naprimjer, ako se zanemare rasipne međuinduktivnosti faza statora, međuinduktivnost namota

faza 𝑎 i 𝑏 može se odrediti iz relacije:

𝐿𝑏𝑎 =𝜓𝑏𝑎

𝑖𝑎=

𝑁1𝜙𝑏𝑎

𝑖𝑎 (2.2-37)

Ulančeni tok 𝜓𝑏𝑎 namota faze 𝑏 stvoren strujom 𝑖𝑎 može se odrediti iz relacije (slika 2.5):

𝜙𝑏𝑎 = 𝜙𝑎𝑎𝑑𝑏 − 𝜙𝑎𝑎𝑞𝑏

= 𝜙𝑎𝑎𝑑 cos (2𝜋

3− 𝛾𝑟)

− 𝜙𝑎𝑎𝑞 cos (𝜋

2−

2𝜋

3+ 𝛾𝑟) = 𝜙𝑎𝑎𝑑 cos (𝛾𝑟 −

2𝜋

3)

+ 𝜙𝑎𝑎𝑞 sin (𝛾𝑟 −2𝜋

3)

(2.2-38)

Slika 2.5: Određivanje međuinduktivnosti faza statora sinhronog stroja

Ako se komponente magnetnog toka 𝜙𝑎𝑎𝑑 i 𝜙𝑎𝑎𝑞 faze 𝑎 izraze preko magnetnih provodnosti

𝒫𝑑 i 𝒫𝑞 i protjecanja faze 𝑎 statora ℱ𝑎𝑎 (relacije (2.2-22) – (2.2-25)), izraz za magentni tok dat

relacijom (2.2-38) zapisuje se u obliku:


37

𝜙𝑏𝑎 = 𝒫𝑑ℱ𝑎𝑎 cos 𝛾𝑟 cos (𝛾𝑟 −2𝜋

3) + 𝒫𝑞ℱ𝑎𝑎 sin 𝛾𝑟 sin (𝛾𝑟 −

2𝜋

3)

= 𝑁1𝑖𝑎 [−𝒫𝑑 + 𝒫𝑞

4+


2cos (2𝛾𝑟 −

2𝜋

3)]

(2.2-39)

Iz relacija (2.2-38) i (2.2-39) slijedi:

𝐿𝑏𝑎 = 𝑁12 [−

𝒫𝑑 + 𝒫𝑞

4+


2cos (2𝛾𝑟 −

2𝜋

3)] (2.2-40)

S obzirom da vrijedi 𝐿𝑏𝑎 = 𝐿𝑎𝑏, konačno se za međuinduktivnost faza satora 𝑎 i 𝑏 može pisati:

𝐿𝑎𝑏 = 𝐿𝑏𝑎 = −1

2𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +

4𝜋

3) (2.2-41)

Nakon provedbe sličnog postupka dobivaju se izrazi za međuinduktivnosti faza statora 𝑎 i 𝑐 te

faza 𝑏 i 𝑐:

𝐿𝑎𝑐 = 𝐿𝑐𝑎 = −1

2𝐿0 + 𝐿2 cos (2𝛾𝑟 +

2𝜋

3) (2.2-42)

𝐿𝑏𝑐 = 𝐿𝑐𝑏 = −1

2𝐿0 + 𝐿2 cos 2𝛾𝑟 (2.2-43)

Međuinduktivnosti faza namota statora i uzbudnog namota rotora

Međuinduktivnosti faza namota statora i uzbudnog namota rotora su:

𝐿𝑎𝑓 = 𝐿𝑓𝑎 = 𝐿1𝑓 cos 𝛾𝑟 (2.2-44)

𝐿𝑏𝑓 = 𝐿𝑓𝑏 = 𝐿1𝑓 cos (𝛾𝑟 +4𝜋

3) (2.2-45)

𝐿𝑐𝑓 = 𝐿𝑓𝑐 = 𝐿1𝑓 cos (𝛾𝑟 +2𝜋

3) (2.2-46)

gdje je 𝐿1𝑓 međuinduktivnost namota faze statora i uzbudnog namota za slučaj da se ova dva

namota poklapaju.

Međuinduktivnost faza namota statora i prigušnih namota rotora

Međuinduktivnosti faza namota statora i prigušnog namota u 𝑑 osi rotora su:

𝐿𝑎𝐷 = 𝐿𝐷𝑎 = 𝐿1𝐷 cos 𝛾𝑟 (2.2-47)


38

𝐿𝑏𝐷 = 𝐿𝐷𝑏 = 𝐿1𝐷 cos (𝛾𝑅 +4𝜋

3) (2.2-48)

𝐿𝑐𝐷 = 𝐿𝐷𝑐 = 𝐿1𝐷 cos (𝛾𝑅 +2𝜋

3) (2.2-49)

gdje je 𝐿1𝐷 međuinduktivnost namota faze statora i prigušnog namota 𝐷 za slučaj da se poklapaju ose ova dva namota.

Međuinduktivnost faza namota satora i prigušnog namota u 𝑞 osi rotora su:

𝐿𝑎𝑄 = 𝐿𝑄𝑎 = −𝐿1𝑄 sin 𝛾𝑟 (2.2-50)

𝐿𝑏𝑄 = 𝐿𝑄𝑏 = −𝐿1𝑄 sin (𝛾𝑟 +4𝜋

3) (2.2-51)

𝐿𝑐𝑄 = 𝐿𝑄𝑐 = −𝐿1𝑄 sin (𝛾𝑟 +2𝜋

3) (2.2-52)

gdje je 𝐿1𝑄 međuinduktivnost namota faze statora i prigušnog namota 𝑄 za slučaj da se poklapaju

ose ova dva namota.

Vlastite induktivnosti namota rotora

Ukupne vlastite induktivnosti uzbudnog namota 𝐿𝑓 i prigušnih namota rotora 𝐿𝐷 i 𝐿𝑄 ne ovise

o položaju rotora:

𝐿𝑓 = 𝐿𝑓𝑓 + 𝐿𝑓𝜎 (2.2-53)

𝐿𝐷 = 𝐿𝐷𝐷 + 𝐿𝐷𝜎 (2.2-54)

𝐿𝑄 = 𝐿𝑄𝑄 + 𝐿𝑄𝜎 (2.2-55)

gdje su 𝐿𝑓𝜎, 𝐿𝐷𝜎 i 𝐿𝑄𝜎 rasipne induktivnosti uzbudnog i prigušnih namota.

Međuinduktivnosti namota rotora

Međuinduktivnosti namota rotora 𝐿𝑓𝐷 i 𝐿𝐷𝑓 imaju konstantne (međusobno jednake)

vrijednosti i ne ovise o položaju rotora:

𝐿𝑓𝐷 = 𝐿𝐷𝑓 (2.2-56)

Međuinduktivnost uzbudnog namota i prigušnog namota u 𝑞 osi (𝐿𝑓𝑄 i 𝐿𝑄𝑓) te

međuinduktivnost prigušnih namota (𝐿𝐷𝑄 i 𝐿𝑄𝐷) jednake su nuli jer su namoti prostorno pomjereni

za mehanički ugao 90°:

𝐿𝑓𝑄 = 𝐿𝑄𝑓 = 0 (2.2-57)


39

𝐿𝐷𝑄 = 𝐿𝑄𝐷 = 0 (2.2-58)

2.3.2 Vektorski zapis [1]

Naponske jednačine

Nakon množenja naponske jednačine (3.6-1) sa 2/3, naponske jednačine (2.2-2) sa 2��/3,

naponske jednačine (2.2-3) sa 2��2/3 i njihovog sabiranja, dobiva se jedna vektorska naponska

jednačina kruga statora koja je zapisana u nepomičnom dvoosnom koordinatnom sistemu 𝛼𝑠𝛽𝑠:

��1𝑠 = 𝑅1𝑖1

𝑠 +𝑑��1

𝑠

𝑑𝑡 (2.2-59)

U jednačini (2.2-59) vektori napona, struje i ulančenog toka su:

��1𝑠 =

2

3(𝑢𝑎 + ��𝑢𝑏 + ��2𝑢𝑐) (2.2-60)

𝑖1𝑠 =

2

3(𝑖𝑎 + ��𝑖𝑏 + ��2𝑖𝑐) (2.2-61)

��1𝑠 =

2

3(𝜓𝑎 + ��𝜓𝑏 + ��2𝜓𝑐) (2.2-62)

Naponske jednačine za rotorske namote u općem matematskom modelu sinhronog stroja također se mogu zapisati u vektorskom obliku u kooridnatnom sistemu koji se vrti električnom

ugaonom brzinom rotora 𝜔𝑟:

��𝑓𝑟 = 𝑅𝑓𝑖𝑓

𝑟 +𝑑��𝑓

𝑟

𝑑𝑡 (2.2-63)

0 = 𝑅𝐷𝑖𝐷𝑟 +

𝑑��𝐷𝑟

𝑑𝑡 (2.2-64)

0 = 𝑅𝑄𝑖𝑄𝑟 +

𝑑��𝑄𝑟

𝑑𝑡 (2.2-65)

Treba napomenuti da vektori napona uzbude te struja i ulančenih tokova namota na rotoru stroja nisu definirani na isti način kao prostorni vektori napona, struja i ulančenih tokova namota statora jer su rotorske veličine već zapisane u dvoosnom koordinatnom sistemu vezanom za rotor.

Ulančeni tokovi

Izraz za prostorni vektor ulančenog magnetnog toka statora ��1𝑠 dobiva se korištenjem relacija

(2.2-8) – (2.2-10) i (2.2-62) te izraza za induktivnosti sinhronog stroja koje su izvedene u prethodnom dijelu:


40

��1𝑠 = (

3

2𝐿0 + 𝐿1𝜎) 𝑖1

𝑠 +3

2𝐿2𝑖1

𝑠∗𝑒𝑗2𝛾𝑟 + 𝐿1𝑓𝑖𝑓𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 + 𝐿1𝐷𝑖𝐷

𝑟 𝑒𝑗𝛾𝑟 + 𝐿1𝑄𝑖𝑄𝑟 𝑒𝑗(𝛾𝑟+

𝜋2) (2.2-66)

Izrazi za ulančene magnetne tokove uzbudnog ��𝑓𝑟 i prigušnih namota ��𝐷

𝑟 i ��𝑄𝑟 dobiju se

korištenjem relacija (2.2-11) – (2.2-13) i relacija za induktivnosti koje su date u prethodnom odjeljku:

��𝑓𝑟 =

3

2𝐿1𝑓ℛ{𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟} + 𝐿𝑓𝑖𝑓𝑟 + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝐷

𝑟 (2.2-67)

��𝐷𝑟 =

3

2𝐿1𝐷ℛ{𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟} + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝑓𝑟 + 𝐿𝐷𝑖𝐷

𝑟 (2.2-68)

��𝑄𝑟 =

3

2𝐿1𝑄ℛ{𝑖1

𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟} + 𝐿𝑄𝑖𝑄𝑟 (2.2-69)

Elektromagnetni moment

Vektorski zapis elektromagnetnog momenta sinhronog stroja se može dobiti iz jednačine:

𝑝𝑒𝑙 = 𝑢𝑎𝑖𝑎 + 𝑢𝑏𝑖𝑏 + 𝑢𝑐𝑖𝑐𝑢𝑓 + 𝑖𝑓 + 𝑢𝐷𝑖𝐷 + 𝑢𝑄 + 𝑖𝑄 (2.2-70)

gdje je 𝑝𝑒𝑙 električna snaga koju sinhroni stroj preuzima iz mreže.

S obzirom da prigušni namot na rotoru nije priključen na izvor napona (𝑢𝐷 = 𝑢𝑄 = 0),

električna snaga piše se u obliku:

𝑝𝑒𝑙 = 𝑢𝑎𝑖𝑎 + 𝑢𝑏𝑖𝑏 + 𝑢𝑐𝑖𝑐 + 𝑢𝑓𝑖𝑓 = ℛ {3

2��1

𝑠𝑖1𝑠∗} + ��𝑓

𝑟𝑖𝑓𝑟 (2.2-71)

Ako se prostorni vektori napona i konjugirane vrijednosti struje statora zapišu u dvoosnom

𝑑𝑟𝑞𝑟 koordinatnom sistemu koji rotira ugaonom brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 (pogledati relacije u

prilogu 𝐴), električna snaga se zapisuje u obliku:

𝑝𝑒𝑙 = ℛ {3

2��1

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟𝑖1𝑟∗𝑒−𝑗𝛾𝑟} + 𝑢𝑓𝑖𝑓 = ℛ {

3

2��1

𝑟𝑖1𝑟∗} + ��𝑓

𝑟𝑖𝑓𝑟 (2.2-72)

Korištenjem naponskih jednačina sinhronog stroja zapisnaih u dvoosnom 𝑑𝑟𝑞𝑟 koordinatnom

sistemu koji rotira ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑟:

��1𝑟 = 𝑅𝑠𝑖1

𝑟 +𝑑��1

𝑟

𝑑𝑡+ 𝑗𝜔𝑟��1

𝑟 (2.2-73)

��𝑓𝑟 = 𝑅𝑓𝑖𝑓


𝑟

𝑑𝑡 (2.2-74)

električna snaga data relacijom (2.2-72) zapisuje se u obliku:


41

𝑝𝑒𝑙 =3

2ℛ {(𝑅1𝑖1

𝑟 +𝑑��1

𝑟


𝑟) 𝑖1𝑟∗} + (𝑅𝑓𝑖𝑓


𝑟

𝑑𝑡) 𝑖𝑓

𝑟

=3

2ℛ {𝑅1𝑖1

𝑟𝑖1𝑟∗ +

𝑑��1𝑟

𝑑𝑡𝑖1𝑟∗ + 𝑗𝜔𝑟��1

𝑟𝑖1𝑟∗} + 𝑅𝑓𝑖𝑓

𝑟𝑖𝑓𝑟 +

𝑑��𝑓𝑟

𝑑𝑡𝑖𝑓𝑟

=3

2ℛ{𝑅1𝑖1


𝑟𝑖𝑓𝑟 +

3

2ℛ {

𝑑��1𝑟

𝑑𝑡𝑖1𝑟∗} +

𝑑��𝑓𝑟

𝑑𝑡𝑖𝑓𝑟

+3

2ℛ{𝑗𝜔𝑟��1

𝑟𝑖1𝑟∗} = 𝑝𝑔 + 𝑝𝑓 + 𝑝𝑚𝑒ℎ

(2.2-75)

gdje su:

𝑝𝑔 =3

2ℛ{𝑅1𝑖1


𝑟𝑖𝑓𝑟 (2.2-76)

𝑝𝑓 =3

2ℛ {

𝑑��1𝑟

𝑑𝑡𝑖1𝑟∗} +

𝑑��𝑓𝑟

𝑑𝑡𝑖𝑓𝑟 (2.2-77)

𝑝𝑚𝑒ℎ =3

2ℛ{𝑗𝜔𝑟��1

𝑟𝑖1𝑟∗} (2.2-78)

Vektorski izraz za elektromagnetni moment sinhronog stroja je:

𝑚𝑒 =𝑝𝑚𝑒ℎ

𝜔𝑚𝑒ℎ=

3

2𝑝ℛ{𝑗𝜔𝑟��1

𝑟𝑖1𝑟∗} = −

3

2𝑝ℐ{��1

𝑟𝑖1𝑟∗} (2.2-79)

2.3.3 Matematski model u rotorskom koordinatnom sistemu [1]

S obzirom da su sve rotorske veličine zapisane u dvoosnom koordinatnom sistemu vezanom za rotor, pogodno je i statorske veličine zapisati u istom koordinatnom sistemu, odnosno

kompletan mateamatski model sinhronog stroja zapisati u zajedničkom dvoosnom 𝑑𝑟𝑞𝑟 koordinatnom sistemu vezanom za rotor koji se vrti električnom ugaonom brzinom vrtnje rotora

𝜔𝑟.

Veze između prostornih vektora statorskih veličina zapisanih u mirujućem koordinatnom

sistemu (��1𝑠, 𝑖1

𝑠 , ��1𝑠) i prostornih vektora ovih veličina zapisanih u koordinatnom sistemu vezanom

za rotor (��1𝑟 , 𝑖1

𝑟 , ��1𝑟) date su izrazima:

��1𝑠 = ��1

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.2-80)

𝑖1𝑠 = 𝑖1

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.2-81)

��1𝑠 = ��1

𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (2.2-82)

Vektorska naponska jednačina statora u koordinatnom sistemu vezanom za rotor je:


42

��1𝑟 = 𝑅1𝑖1

𝑟 +𝑑��1

𝑟


𝑟 (2.2-83)

Naponske jednačine rotorskih namota ostaju nepromijenjene i date su relacijama (2.2-63) – (2.2-65).

Korištenjem relacija (2.2-81) i (2.2-82), vektorske jednačine ulančenih tokova (2.2-67) – (2.2-69) u rotorskom koordinatnom sistemu se zapisuju u obiliku:

��1𝑟 = (

3

2𝐿0 + 𝐿1𝜎) 𝑖1

𝑟 +3

2𝐿2𝑖1

𝑟∗ + 𝐿1𝑓𝑖𝑓𝑟 + 𝐿1𝐷𝑖𝐷

𝑟 + 𝐿1𝑄𝑖𝑄𝑟 𝑒𝑗

𝜋2 (2.2-84)

��𝑓𝑟 =

3

2𝐿1𝑓ℛ{𝑖1

𝑟} + 𝐿𝑓𝑖𝑓𝑟 + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝐷

𝑟 (2.2-85)

��𝐷𝑟 =

3

2𝐿1𝐷ℛ{𝑖1

𝑟} + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝑓𝑟 + 𝐿𝐷𝑖𝐷

𝑟 (2.2-86)

��𝑄𝑟 =

3

2𝐿1𝑄ℛ{𝑖1

𝑟} + 𝐿𝑄𝑖𝑄𝑟 (2.2-87)

Izraz za elektromagnetni moment sinhronog stroja zapisan u vektorskom obliku u koordinatnom sistemu vezanom za rotor je:

𝑚𝑒 =3

2𝑝ℛ{𝑗��1

𝑟𝑖1𝑟∗} = −

3

2𝑝ℐ{��1

𝑟𝑖1𝑟∗} (2.2-88)

2.3.4 Matematski model zapisan preko komponenti prostornih vektora [1]

Prostorni vektori satorskih i rotorskih veličina mogu se zapisati preko komponenti u rotorskom koordinatnom sitemu u obliku3:

��1 = 𝑢1𝑑 + 𝑗𝑢1𝑞 𝑖1 = 𝑖1𝑑 + 𝑗𝑖1𝑞 ��1 = 𝜓1𝑑 + 𝑗𝜓1𝑞 (2.2-89)

��𝑓 = 𝑢𝑓 + 𝑗0 𝑖𝑓 = 𝑖𝑓 + 𝑗0 ��𝑓 = 𝜓𝑓 + 𝑗0 (2.2-90)

𝑖𝐷 = 𝑖𝐷 + 𝑗0 ��𝐷 = 𝜓𝐷 + 𝑗0 (2.2-91)

𝑖𝑄 = 0 + 𝑗𝑖𝑄 ��𝑄 = 0 + 𝑗𝜓𝑄 (2.2-92)

Naponske jednačine sinhronog stroja zapisane preko komponenti u rotorskom koordinatnom sistemu su:

3 Radi jednostavnijeg zapisa oznaka 𝑟 koja označava rotorski koordinatni sistem nije pisana.


43

𝑢1𝑑 = 𝑅1𝑖1𝑑 +𝑑𝜓1𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝑟𝜓1𝑞 (2.2-93)

𝑢1𝑞 = 𝑅1𝑖1𝑞 +𝑑𝜓1𝑞

𝑑𝑡+ 𝜔𝑟𝜓1𝑑 (2.2-94)

𝑢𝑓 = 𝑅𝑓𝑖𝑓 +𝑑𝜓𝑓

𝑑𝑡 (2.2-95)

0 = 𝑅𝐷𝑖𝐷 +𝑑𝜓𝐷

𝑑𝑡 (2.2-96)

0 = 𝑅𝑄𝑖𝑄 +𝑑𝜓𝑄

𝑑𝑡 (2.2-97)

Komponente magnetnih tokova statora i rotora su sa odgovarajućim komponentama struja statora i rotora povezane relacijama:

𝜓1𝑑 = 𝐿1𝑑𝑖1𝑑 + 𝐿1𝑓𝑖1𝑓 + 𝐿1𝐷𝑖1𝐷 (2.2-98)

𝜓1𝑞 = 𝐿1𝑞𝑖1𝑞 + 𝐿1𝑄𝑖1𝑄 (2.2-99)

𝜓𝑓 =3

2𝐿1𝑓𝑖1𝑑 + 𝐿𝑓𝑖𝑓 + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝐷 (2.2-100)

𝜓𝐷 =3

2𝐿1𝐷𝑖1𝑑 + 𝐿𝑓𝐷𝑖𝑓 + 𝐿𝐷𝑖𝐷 (2.2-101)

𝜓𝑄 =3

2𝐿1𝑄𝑖1𝑞 + 𝐿𝑄𝑖𝑄 (2.2-102)

gdje su:

𝐿1𝑑 =3

2(𝐿0 + 𝐿2) + 𝐿1𝜎 (2.2-103)

𝐿1𝑞 =3

2(𝐿0 − 𝐿2) + 𝐿1𝜎 (2.2-104)

Elektromagnetni moment sinhronog stroja zapisan preko komponenti struja i ulančenih tokova je:

𝑚𝑒 =3

2𝑝ℛ{𝑗��1𝑖1

∗} =3

2𝑝ℛ{𝑗(𝜓1𝑑 + 𝑗𝜓1𝑞) ∙ (𝑖1𝑑 − 𝑗𝑖1𝑞)}

=3

2𝑝(𝜓1𝑑𝑖1𝑞 − 𝜓1𝑞𝑖1𝑑)

=3

2𝑝[𝐿1𝑓𝑖𝑓𝑖1𝑞 + 𝐿1𝐷𝑖𝐷𝑖1𝑞 − 𝐿1𝑄𝑖𝑄𝑖1𝑑

+ (𝐿1𝑑 − 𝐿1𝑞)𝑖1𝑑𝑖1𝑞]

(2.2-105)


44

2.3.5 Matematski model sa rotorskim veličinama preračunatim na stranu statora [1]

Kao i kod asinhronog stroja, rotorske veličine preračunavaju se na stranu statora. Nakon izvršenog preračunavanja rotorskih veličina na stranu statora, naponske jednačine sinhronog stroja su:

𝑢1𝑑 = 𝑅1𝑖1𝑑 +𝑑𝜓1𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝑟𝜓1𝑞 (2.2-106)

𝑢1𝑞 = 𝑅1𝑖1𝑞 +𝑑𝜓1𝑞

𝑑𝑡+ 𝜔𝑟𝜓1𝑑 (2.2-107)

𝜓𝑓′ = 𝑅𝑓

′ 𝑖𝑓′ +

𝑑𝜓𝑓′

𝑑𝑡 (2.2-108)

0 = 𝑅𝐷′ 𝑖𝐷

′ +𝑑𝜓𝐷

′

𝑑𝑡 (2.2-109)

0 = 𝑅𝑄′ 𝑖𝑄

′ +𝑑𝜓𝑄

′

𝑑𝑡 (2.2-110)

A ulančeni tokovi u naponskim jednačinama su:

𝜓1𝑑 = 𝐿1𝑑𝑖1𝑑 + 𝐿𝜇𝑑(𝑖𝑓′ + 𝑖𝐷

′ ) = 𝐿1𝜎𝑖1𝑑 + 𝐿𝜇𝑑(𝑖1𝑑 + 𝑖𝑓′ + 𝑖𝐷

′ ) = 𝐿1𝜎𝑖1𝑑 + 𝜓𝜇𝑑 (2.2-111)

𝜓1𝑞 = 𝐿1𝑞𝑖1𝑞 + 𝐿𝜇𝑞𝑖𝑄′ = 𝐿1𝜎𝑖1𝑞 + 𝐿𝜇𝑞(𝑖1𝑞 + 𝑖𝑄

′ ) = 𝐿1𝜎𝑖1𝑞 + 𝜓𝜇𝑞 (2.2-112)

𝜓𝑓′ = 𝐿𝑓𝑓

′ 𝑖𝑓′ + 𝐿𝜇𝑑(𝑖1𝑑 + 𝑖𝐷

′ ) = 𝐿𝑓𝜎′ 𝑖𝑓

′ + 𝐿𝜇𝑑(𝑖1𝑑 + 𝑖𝑓′ + 𝑖𝐷

′ ) = 𝐿𝑓𝜎′ 𝑖𝑓

′ + 𝜓𝜇𝑑 (2.2-113)

𝜓𝐷′ = 𝐿𝐷𝐷

′ 𝑖𝐷′ + 𝐿𝜇𝑑𝑖1𝑑 + 𝐿𝜇𝑑𝑖𝑓

′ = 𝐿𝐷𝜎′ 𝑖𝐷

′ + 𝐿𝜇𝑑(𝑖1𝑑 + 𝑖𝑓′ + 𝑖𝐷

′ ) = 𝐿𝐷𝜎′ 𝑖𝐷

′ + 𝜓𝜇𝑑 (2.2-114)

𝜓𝑄′ = 𝐿𝑄𝑄

′ 𝑖𝑄′ + 𝐿𝜇𝑞𝑖1𝑞 = 𝐿𝑄𝜎

′ + 𝐿𝜇𝑞(𝑖1𝑞 + 𝑖𝑄′ ) = 𝐿𝑄𝜎

′ 𝑖𝑄′ + 𝜓𝜇𝑞 (2.2-115)

gdje su:

𝐿𝜇𝑑 =3

2(𝐿0 + 𝐿2) 𝐿𝜇𝑞 =

3

2(𝐿0 − 𝐿2)

(2.2-116)

𝐿1𝑑 = 𝐿𝜇𝑑 + 𝐿1𝜎 𝐿1𝑞 = 𝐿𝜇𝑞 + 𝐿1𝜎 (2.2-117)

𝐿𝑓𝑓′ = 𝐿𝜇𝑑 + 𝐿𝑓𝜎

′ 𝐿𝐷𝐷′ = 𝐿𝜇𝑑 + 𝐿𝐷𝜎

′ 𝐿𝑄𝑄′ = 𝐿𝜇𝑑 + 𝐿𝑄𝜎

′ (2.2-118)

Na temelju naponskih jednačina mogu se nacrtati nadomjesne šeme sinhronog stroja sa istaknutim polovima na rotoru kako je to prikazano na slici 2.6.


45

(b)

Slika 2.6: Nadomjesne šeme sinhronog stroja za dinamička stanja: (a) 𝑑 osa, (b) 𝑞 osa


46

3. Energetski pretvarači

3.1 Uvod

Sistemi jednofazne i trofazne naizmjenične struje predstavljaju osnovu napajanja električnom energijom. Iako mnogi savremeni električni sistemi za svoje napajanje koriste jednosmjernu struju, postoji veliki broj primjena gdje električna energija mora biti pretvorena iz jednosmjerne u naimjeničnu i obrnuto (neki elektrohemijski procesi, upravljani elektromotorni pogoni, šinska vozila, besprekidna napajanja i sl.). Odgovarajuće transformacije električne energije zovu se ispravljanje (pretvaranje naizmjenične u jednosmjernu) i invertovanje (pretvaranje jednosmjerne u naizmjeničnu), a uređaji koji obezbjeđuju te funkcije nazivaju se statički pretvarači.

Osnovu rada svih statičkih pretvarača čine prekidači koji omogućavaju promjenu stanja uključenja i isključenja i time promjenu topologije električnog kola pretvarača. Uloga pretvarača je spajanje i razdvajanje odgovarajuće grane u topologiji pretvarača. [3]

Pretvarač realizira pretvaranje toka električne enrgije iz jednog oblika u drugi i time snagu izvora prilagođava zahtjevima potrošača. Pošto je pretvarač uređaj koji se nalazi između izvora električne enrgije i potrošača, energija potrošena unutar pretvarača je gubitak za cijeli sistem te pretvarač treba da ima visok faktor korisnosti. Osnovni elementi pretvarača su izvori i potrošači, reaktivni elementi za akumulaciju električne energije (prigušnice i kondenzatori) i prekidači. [3]

Kao prekidači u elektroenergetskim pretvaračima se susreću: energetske diode, energetski tranzistori, tiristori, GTO, MOSFET, IGBT. Upravljivi i poluupravljivi prekidači, za razliku od neupravljivih, omogućuju precizniju i širu kontrolu izlaznog signala. [4]

Pretvarači koji se koriste kod upravljanja i regulacije strojeva su:

Ispravljači – Napajaju se iz jednofaznog ili trofaznog AC izvora i na izlazu daju DC signal za upravljanje istosmjernih strojeva. Također se mogu koristiti i kao napajanje za invertore kojima se upravljaju izmjenični strojevi.

Invertori – Na izlazu daju promjenljiv izmjenični napon ili struju željene frekvencije i faznog pomaka za upravljanje izmjeničnih strojeva. Napajaju se iz baterija kao što je slučaj kod električnih vozila ili ispravljenim signalom iz ispravljača. Zbog istosmjernog međukruga između AC napajanja i izlaza invertora nema ograničenja na frekvenciji izlaznog napona osim ograničenja u vidu konstrukcionih ograničenja prekidača.

Ciklokonvertori – Omogućuju direktno pretvaranje naponskog ili strujnog signala sa konstantnom frekvencijom u naponski ili strujni signal sa promjenljivom frekvencijom za upravljanje izmjeničnim strojevima. Izlazna frekvencija je obično ograničena na

33 − 50 % frekvencije ulaznog signala. Razlog tome je izbjegavanje distorzije oblika signala i zbog toga se koriste samo u AC pogonima koji zahtijevaju nisku brzinu vrtnje i veliku snagu.

3.2 Frekvencijski pretvarači [5]

Uređaji energetske elektronike sa poluvodičkim ventilima koji omogućuju istovremenu promjenu vrijednosti napona i frekvencije nazivaju se frekvencijski pretvarači. Frekvencijski pretvarači mogu biti direktni i indirektni.


47

Slika 3.1 pokazuje strukturne blokovske šeme direktnih i indirektnih frekvencijskih pretvarača.

(a)

(b)

Slika 3.1: Frekvencijski pretvarači: (a) direktni, (b) indirektni [5]

Direktni frekvencijski pretvarač (slika 3.1-a) pretvara izmjenični napon mrežne frekvencije u izmjenični napon čija je frekvencija manja od ulazne frekvencije, pri čemu postoji samo jedna pretvorba energije.

Indirektni frekvencijski pretvarači (slika 3.1-b) promjenu napona i frekvencije obavljaju uz dvostruku pretvorbu električne enrgije (izmjenične u istosmjernu i istosmjerne u izmjeničnu). Ovi pretvarači sastavljeni su od tri glavna dijela: mrežni pretvarač, istosmjerni međukrug i pretvarač za motor. Mrežni pretvarač najčešće radi kao ispravljač (može biti i invertor ako se enrgija kočenja vraća u mrežu). Pretvarač na strani motora radi kao invertor i osigurava mtoru promjenljiv napon i frekvenciju. U istosmjernom međukrugu se najčešće koriste pasivni elementi (kondenzatori i prigušnice) kojima se smanjuju valovitost napona i struje, a koriste se i kao skladišta energije.

Obje vrste pretvarača imaju upravljačku jedinicu koja obavlja više funkcija:

upravlja taktom uključenja/isključenja elektroničkih ventila (tiristora i tranzistora) u pretvaračima;

prikuplja informacije o stanju i greškama u radu frekvencijsokog pretvarača;

daje upravljačke signale uređajima za zaštitu frekvencijskog pretvarača i motora.

Električni ventili u frekvencijskim pretvaračima mogu biti: tiristori, bipolarni tranzistori (BPT), unipolarni (MOS) tranzistori, unipolarni tranzistori sa učinkom polja (MOSFET) i tranzistori sa izoliranom upravljačkom elektrodom (IGBT). Tranzistori su punoupravljivi poluvodički elementi


48

jer mogu u željenom trenutku uklopiti ili isklopiti struju. Upravljaju se signalima iz upravljačkog sklopa, a sklopna frekvencija ovisi o vrsti tranzistora.

Tiristori su poluupravljivi ventili koji uklapaju struju u željenom trenutku, a za isklapanje struje

su potrebni posebni komutacijski krugovi. Sklopna frekvencija im je najviše do 2 𝑘𝐻𝑧.

O sklopnoj frekvenciji i načinu upravljanja električnim ventilima u pretvaraču ovise valni oblici napona i struja motora. Veća sklopna frekvencija ventila osigurava da valni oblici napona i struja budu bliži sinusoidi, ali se povećavaju naprezanja ventila i njihovi sklopni gubici. Frekvencijski pretvarač se više zagrijava, a u motoru se zbog impulsnog magnetiziranja pojavljuju prenaponi i dodatno naprezanje izolacije namota te povećana buka koju stvara vibriranje limova.

3.2.1 Direktni pretvarač

Direktni pretvarač frekvencije (ciklokonvertor) je sastavljen od šest punoupravljivih trofaznih tiristorskih pretvarača. Svaka faza motora spojena je na dva tiristorska pretvarača u antiparalelnom spoju koji su preko sekundara transformatora spojeni na trofaznu mrežu.

Šema ciklokonvertora prikazana je na slici 3.2.

Slika 3.2: Šema ciklokonvertora [5]

Tiristori u pretvaračima uklapaju se na vanjsku pobudu, a isklapaju se djelovanjem izmjenične mreže (tzv. prirodna komutacija) ili se isklapaju vlastitim komutacijskim krugovima (tzv. prisilna komutacija). Ciklokonvertor sa prirodnom komutacijom može na izlazu davati samo napone čija je

frekvencija niža od frekvencije ulaznog mrežnog napona (oko 30 𝐻𝑧 ako se napajaju iz mreže

frekvencije 50 𝐻𝑧). Maksimalna izlazna frekvencija ciklokonverotra sa prinudnom komutacijom praktično je ograničena samo sa maksimalno dozvoljenom frekvencijom sklapanja tiristora. Ovi pretvarači su složeni i skupi zbog čega se rijetko koriste u praksi.

Valni oblik izlaznog napona u fazi motora sastavljen je od dijelova mrežnog napona. Valni oblici napona u fazi motora napajnog iz ciklokonverotra sa prirodnom komutacijom mogu imati

oblike prikazane na slici 3.3. ako se ne upravlja tiristorima (ugao upravljanja 𝛼 = 0), dobiva se približno trapezni oblik izlaznog napona (slika 3.3-a). Srednja vrijednost izlaznog napona i izlazna


49

frekvencija u ovom sluaju imaju konstantne vrijednosti. Promjenom ugla upravljanja tiristora u pretvaraču mogu se dobiti različite efektivne vrijednosti i frekvencije izlaznog napona u fazama motora (slika 3.3-b).

(a) (b)

Slika 3.3: Valni oblici fzanog napona ciklokonvertora sa prirodnom komutacijom: (a) trapezni oblik, (b) oblik sa promjenljivom srednjom vrijednosti [5]

Prednosti primjene cikokonvertora (sa prirodnom komutacijom) su:

gubici u ciklokonvertoru se manji u usporedbi sa pretvaračima koji imaju istosmjerni međukrug jer ne postoji dvostruka pretvorba energije;

moguć je četverokvadrantni rad elektromotrnog pogona;

cjelokupna reaktivna energija se uzima iz primarne mreže (kod pretvarača sa istosmjernim krugom i iz kondenzatora).

Nedostaci ciklokonverotra:

niska izlazna frekvencija napona (oko 45 % frekvencije napona mreže);

veliki broj tiristora (najmanje 36);

potreban transformator za vezu ciklokonvertora sa trofaznom mrežom.

Ciklokonvertori se primjenjuju u EMP sa izmjeničnim motorima velikih snaga od 1 𝑀𝑊 do

15 𝑀𝑊 sa niskim brzinama vrtnje kao što su, naprimjer, mlinovi u tvornicama cementa.

3.2.2 Indirektni pretvarači

Indirektni pretvarači se više koriste u praksi neko ciklokonvertori. Postoje dva tipa indirektnih pretvarača:

sa utisnutom strujom (I tip),

sa utisnutim naponom (U tip).

Frekvencijski pretvarač sa utisnutom strujom – I tip

Frekvencijski pretvarač sa utisnutom strujom napaja motor forsiranim trofaznim strujama promjenljive amplitude i frekvencije. Slika 3.4 prikazuje strukturu frekvencijskog pretvarača sa utisnutom strujom.

Na mrežnoj strani je upravljiivi tiristrski pretvarač, koji može raditi kao ispravljač ili invertor. U istosmjernom međukrugu je prigušnica koja omogućava da se istosmjerni međukrug ponaša kao strujni izvor za invertor na motorskoj strani. Energetski poluvodički ventili moraju preklapati struje i izdržati zaporni napon koji se pri tome pojavljuje. Zato se u ovom tipu frekvencijskog pretvarača koriste tiristori.


50

Invertor pretvarača sastavljen je od šest dioda, šest tiristora i šest kondenzatora. Kondenzatori služe za isklapanje tiristora (tzv. komutacijski kondenzatori). Diode sprječavaju protjecanje struja motora kroz kondenzatore.

Slika 3.4: Frekvencijski pretvarač sa utisnutom strujom [5]

Struje u idealnom slučaju imaju stepenasti valni oblik (slika 3.5-a) i međusobno su pomaknute

za 120° električnih. Amplituda struja se podešava sa tiristorskim pretvaračem na mrežnoj strani, a frekvencija struja se podešava promjenom frekvencije sklapanja tiristora u invertoru. Frekvenciju

izlaznih struja moguće je podesiti u opsegu od 5 𝐻𝑧 do 150 𝐻𝑧.

Izlazni napon ima približno sinusni valni oblik, ali u trenucima komutacije tiristora dolazi do pojave prenapona (slika 3.5).

Slika 3.5: Valni oblici struje i napona kod frekvencijskog pretvarača sa utisnutom strujom [5]

Viši harmonijski članovi u valnim oblicima napona i struja uzrokuju dodatne toplotne gubitke u namotima motora i u željezu te pulsacije mehaničkog momenta koje su posebno izražene pri manjim brzinama vrtnje.

Smjer vrtnje motora mijenja se tako što se promijeni polaritet napona u istomsjernom međukrugu. U kočnom režimu (generatorski rad stroja) moguće je energiju kočenja vratiti u mrežu prevođenjem mrežnog tiristorskog pretvarača u invertorski režim rada. Brzina vrtnje motora može

se mijenjati u odnosu 𝑛𝑚𝑖𝑛/𝑛𝑚𝑎𝑥 = 1/20. Ovakav tip invertora koristi se za kavezne asinhrone

motore snage od 20 𝑘𝑊 do 1500 𝑘𝑊 za pogon pumpi, ventilatora i centrifuga.

Frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom – PAM tip

Ako se pored prigušnice u istosmjerni međukrug postavi i kondenzator, dobiva se frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom čija je šema prikazana na slici 4.6.


51

Frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom modulira amplitudu napona istosmjernog međukruga. S obzirom da se izlaznom naponu pretvarača modulira amplituda, ovakav tip pretvarača sa utisnutim naponom naziva se i PAM frekvencijski pretvarač. Optimalni magnetni tok u modulatoru održava se istovremenom promjenom amplitude i frekvencije napona, pri čemu promjenu frekvencije osigurava pretvarač na strani motora. Frekvencija izlaznog napona može se

podešavati do 500 𝐻𝑧. Ventili pretvarača na motorskoj strani su najčešće tranzistori koji se uklapaju i isklapaju u zadatom taktu.

Izlazni napon pretvarača ima pravougaoni valni oblik sa amplitudom koja je određena visinom napona u istosmjernom međukrugu.

Slika 3.6: Frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom – PAM tip [5]

Na slici 3.7-a su prikazani valni oblici faznog izlaznog napona za dvije različite frekvencije i amplitude napona, a na slici 3.7-b dat je valni oblik fazne struje motora.

(a) (b)

Slika 3.7: Valni oblici napona i struje PAM frekvencijskog pretvarača: (a) naponi sa dvije različite frekvencije, (b) struja motora [5]

Promjenljiv napon istosmjernog međukruga može se dobiti i korištenjem čopera (slika 3.8). U ovom slučaju se na mrežnoj strani koristi neupravljvi diodni ispravljač. Čoperom u istosmjernom međukrugu podešava se amplituda, a tranzistorski invertor određuje frekvenciju napona napajanja motora. Spojem čopera u istosmjerni međukrug poboljšava se valni oblik fazne struje motora koji postaje bliži sinusnom.

Karakteristike pretvarača koji na izlazu daje pravougaoni napon promjenljive amplitude i frekvencije su: jednostavnost upravljačkog sklopa, malo naponsko naprezanje tranzistora u


52

invertoru, pouzdanost u radu i visok faktor korisnosti. Nedostaci ovog tipa frekventnog pretvarača su: korištenje kondenzatora velikog kapaciteta u istosmjernom međukrugu i pulsacije momneta na osovini motora koje su naročito izražene kod malih brzina vrtnje.

Slika 3.8: Frekvencijski PAM pretvarač sa neupravljivim diodnim ispravljačem na mrežnoj strani i čoperom u istosmjernom krugu [5]

PAM tip frekvencijskih pretvarača koristi se za asinhrone motore stnage od 10 𝑘𝑊 do

500 𝑘𝑊 za višemotorne pogone radnih strojeva u tekstilnoj industriji, za pogone ventilatora te u pomoćnim pogonima u električnim lokomotivama. Standardni opseg promjene brzine vrtnje je

𝑛𝑚𝑖𝑛/𝑛𝑚𝑎𝑥 = 1/10.

Frekvencijski pretvarač sa utisnutim naponom – PWM tip

Danas se umjesto PAM frekvencijskih pretvarača sa pravougaonim oblikom izlaznog napona više koriste frekvencijski pretvarači sa modulacijom širine impulsa napona – PWM frekencijski pretvarači (slika 3.9).

Slika 3.9: Šema PWM frekvencijskog pretvarača [5]

Napon u istomsjernom međukrugu je konstantan, a amplituda i frekvencija izlaznog napona podešavaju se u invertoru na motorskoj strani. Na mrežnoj strani je neupravljivi diodni ispravljač, a na motorskoj je invertor sa tranzistorima koji imaju visoku sklopnu frekvenciju. Svaki poluval (pozitivni i negativni) izlanog napona sastavljen je od niza pravougaonih impulsa. Promjenom širine tih impulsa i razmaka između njih mijenja se i amplituda osnovnog harmonika izlaznog napona. Impulsi u poluvalu napona mogu biti iste ili različite širine. Promjenom širine impulsa u poluvalu smanjuje se sadržaj viši harmonika u izlaznoj struji. Za podešavanje širine impulsa najčešće se koristi tzv. sinusna modulacija širine impulsa koja osigurava skoro idealne sinusne valne oblike


53

izlaznih struja, a faktor snage na mjestu priključka invertora može se podesiti na vrijednost

cos𝜑 ≈ 1. [6]

Na slici 3.10 prikazani su valni oblici izlaznih napona PWM frekvencijskog pretvarača dobiveni za dvije različite frekvencije.

Slika 3.10: Valni oblici napona PWM frekvencijskog pretvarača za jednaku širinu impulsa i različitu širinu impulsa [5]

Motor napajan iz frekvencijskog pretvarača sa utisnutim naponom mreže može raditi u sva četiri kvadranta. Za vraćanje energije kočenja u mrežu potrebno je na istosmjernoj sabirnici imati priključen pretvarač koji radi u invertorskom režimu rada. To može biti tiristorski ili tranzistorski invertor (slika 3.11). korištenje tranzistorskog invertora omogućuje da se energija kočenja vraća u mrežu sa približno sinusnim valnim oblikom struje.

Slika 3.11: Šema spoja kod vraćanja energije kočenja u mrežu: (a) tiristorski invertor, (b) tranzistorski invertor [5]

Ako se predviđa rad EMP u kočnom režimu bez povratka energije kočenja u mrežu, u istosmjerni međukrug je potrebno postaviti tzv. kočni čoper na čijem se otporniku energija kočenja pretvara u toplotnu (slika 3.12).


54

Frekvencija izlaznog napona PWM frekvencijskog pretvarača može se mijenjati u opsegu od 0

do 500 𝐻𝑧, a omjer maksimalne i minimalne brzine vrtnje mijenja se u opsegu od 20 do 100.

Koriste se za snage motora do 1,5 𝑀𝑊. Valni oblik struje je približno sinusoidalan zbog čega se motor manje zagrijava, a smanjuje se i nivo buke. Postoji mogućnost povezivanja više PWM pretvarača u jednu cjelinu koja se koristi za EMP sa više motora.


55

4. Davači pozicije i brzine vrtnje

4.1 Uvod

Postoje dva načina realizacije vektorskog upravljanja: vektorsko upravljanje sa mjerenjem magnetne indukcije i vektorsko upravljanje sa određivanjem položaja rotora. Određene vrste strojeva je moguće upravljati i bez senzora.

Senzorsko upravljanje se često koristi u slučajevima gdje je potreban veliki početni moment ili gdje je početni moment promjenljiv. Optimalno upravljanje i regulacija su mogući samo sa tačnom informacijom o poziciji rotora kako bi se moglo izvršiti tačno pobuđivanje faza statora. Strojevi sa senzorima uvijek znaju tačnu poziciju, čak i pri niskim brzinama ili kad su u stanju mirovanja. Ovo omogućava da se motori bez četkica ponašaju kao motori sa četkicama, i da isporuče maksimalan obrtni moment pri pokretanju, bez gubitaka na četkicama i komutatoru, koji su karakteristični za motore sa četkicama.

Današnji mikroprocesori rade na mnogo većim frekvencijama radnog takta nego što su frekvencije rada strojeva, tako da se bez problema mogu semplirati informacije o poziciji, obraditi, i dovesti na faze statora odgovarajuće pobude.

Upravljanje bez senzora, sa druge strane, nema informaciju o poziciji rotora sve dok se motor već ne vrti nekom brzinom, tj. dok ne generiše dovoljno povratne elektromotorne sile za generisanje procjene pozicije rotora. Potrebno je provesti posebnu rutinu za pokretanje motora prije nego se pređe na vektorsko upravljanje.

U zavisnosti od primjene strojeva bira se odgovarajući način upravljanja. Obično u slučajevima gdje nije potreban veliki početni moment, koriste se motori bez senzora. Ako su zahtjevi strožiji, onda se koriste motori sa senzorima.

4.2 Hallove sonde

Hallov efekat je otrkiven još 1879. godine i nazvan je po dr Edwinu Hallu koji ga je i otkrio. On je primijetio da kada se kroz tanki pločasti provodnik propusti struja i kada se taj provodnik postavi u magnetno polje tako da je ono okomito na smjer toka struje, dolazi do pojave razlike potencijala na sporednim stranama provodnika.

Međutim, čak i ako su Hallovi eksperimenti bili uspješni i prihvaćeni od strane naučnika, njegovo otkriće nije doživjelo praktičnu primjenu narednih 70 godina. Tek pojavom poluprovodnika 1950-tih godina počela je i upotreba Hallovog efekta za aplikacije u integrisanim kolima. Pojavom brzih mikroporocesora, Hallov efekta u vidu Hallovih sondi se počeo koristiti za upravljanje električnih motora.[7]

Slika 4.1: Hallov efekat bez prisustva magnetnog polja [7]


56

Na slici 4.1 je prikazano stanje u kojem bez postojanja magnetnog polja nema ni napona na krajevima vodiča.

Kad je pristuno magnetno polje okomito na smjer toka struje, kao što je pokazano na slici 4.2, javlja se Lorentzova sila koja djeluje na tok struje. Ova sila narušava tok pravilan tok struje što dovodi dovodi do pojave razlike potencijala na bočnim krajevima provodnika. Ova razlika

potencijala se zove Hallov napon 𝑉𝐻.

Slika 4.2: Hallov efekat sa prisustvom magnetnog polja [7]

Hallov napon je proporcionalan vektorskom proizvodu jačine struje 𝐼 i magnetnog polja 𝐵.

𝑉𝐻~𝐼 × �� (4.2-1)

Zbog osobine da se na veoma jednostavan način može detektovati postojanje magnetnog polja, Hallov element je osnovni senzor za detekciju i mjerenje magnetnog polja. U većini slučajeva za praktičnu upotrebu, potrebno je imati i dodatni pojačivač signala ili kompenzator temperature.

Hallove senzore u svrhu upravljanja električnim motorima je moguće koristiti kao u slučaju BLDC motora. BLDC motori koriste elektroničku komutaciju umjesto mehaničke. Hallovi senzori se pozicioniraju kao što je pokazano na slici 4.3. [8]

Slika 4.3: Pozicioniranje Hallovih senzora za elektroničku komutaciju BLDC motora [8]

Hallovi senzori reaguju na magnetno polje uzrokovano permanentnim magnetima ili na protjecanje struje kroz namote stroja, određujući polove. Na ovaj način se određuje kada se treba propustiti struja kroz namote statora kako bi se okretao rotor u željenom smjeru.

Da bi se aktivirao Hallov senzor, potrebno je magnetno polje. Nivo osjetljivosti ovisi od pozicije senzora u odnosu na magnete, širine zračnog raspora i jačine magneta. Senzori sa visokom osjetljivošću omogućavaju upotrebu jeftinijih magneta što znači značajne uštede u proizvodnji stroja. Također, visoka osjetljivost omogućava i širi zračni raspor u stroju što smanjuje vjerovatnoću


57

kvara stroja usljed mehaničkih oštećenja između rotora i senzora. Još jedna karakteristika visoko osjetljivih senzora je mogućnost efikasnijeg i preciznijeg upravljanja stroja. [8]

Važna osobina Hallovih senzora je i konstantnost pri mjerenju. Na taj način se omogućava maksimalan moment na osovini i preciznije upravljanje. Ukoliko to nije slučaj, može doći do lošeg upravljanja što vodi lošem iskorištenju motora. [7]

Stabilnost u odnosu na temperaturu povećava efikasnost motora. To dalje omogućava male varijacije u brzini. [7]

Vrijeme reakcije senzora je vrijeme potrebno da promijeni izlazni signal senzora u slučaju promjene stanja. Kraće vrijeme reakcije na promjenu magnetnog polja vodi do veće efikasnosti u komutaciji BLDC motora. Ako senzor kasni sa izlaznim informacijama, doći će do grešaka u upravljanju. Za BLDC motore, potrebno je da se mijenja struja u namotima u tačno određenim trenucima da bi se postigla maksimalna efikasnost motora. Kašnjenje senzora uzrokuje pulsacije momenta, smanjuje moment na osovini i može prouzrokovati buku.

4.3 Enkoderi

Enkoderi su uređaji koji na svom izlazu proizvde signal kao rezulatat vlastitog linearnog ili rotacionog kretanja. Kada enkoderi proizvode signal u vidu niza digitalnih impulsa onda se nazivaju digitalnim. Jednostavnim brojanjem pojedinačnih bitova ili dekodiranjem niza bitova, impulsi se mogu pretvoriti u relativno ili apsolutno mjerenje pozicije, brzine, ubrzanja i određivanja smjera kretanja. [9]

Enkoderi se generalno mogu podijeliti na:

mehaničke (enkoderi kontaktnog tipa)

magnetne (linearni diferencijalni transformatori)

optičke (fotoelektrični enkoderi). [9]

Većina današnjih enkodera radi na principu fotoelektričnog skeniranja određene skale tokom kretanja, zbog čega ih nazivamo i digitalni optički enkoderi.

Dalje, enkoderi se mogu podijeliti i na rotacione i linearne. Rotacioni enkoderi proizvode digitalne impulse kada se osovina na koju su pričvršćeni rotira. Time se omogućava mjerenje relativnog ili apsolutnog ugla zakretanja osovine. Linearni enkoderi proizvode digitalne impulse kada se dio na koji su pričvršćeni translatorno pomjera u određenom pravcu. Time se omogućava mjerenje relativnih ili apsolutnih koordinata određene tačke. Češće se koriste rotacioni enkoderi.[10]

Kako je tema ovog rada u vezi rotacionih strojeva, u nastavku će detaljnije biti objašnjeni samo rotacioni apsolutni i rotacioni inkrementalni enkoderi.

Kada rotaconi enkoder ima veliku tačnost (bolju od ±5′′ ili broj linija veći od 10 000) onda se obično naziva ugaoni enkoder umjesto rotacioni enkoder.

Osnovna veličina koju mjere ugaoni enkoderi je ugaona pozicija, za razliku od rotacionih enkodera kod kojih je osnovna veličina koju mjere ugaona brzina.

Područje primjene rotacionih enkodera uključuje: električne motore, alatne mašine, mašine za obradu drveta, proizvodnju tekstila, robote, mjerni uređaji... Područje primjene ugaonih enkodera


58

uključuje: navojna vretena sa preciznom ugaonom podjelom na alatnim mašinama, rotacione ploče na alatnim mašinama, precizna ugaona mjerenja kod teleskopa...[9]

4.3.1 Apsolutni enkoderi

Kod apsolutnih enkodera jedinstveni niz bitova (jedinstvena digitalna riječ) odgovara svakoj ugaonoj poziciji osovine kod rotacionih enkodera, odnosno podužnoj kooordinati u odgovarajućem mjernom opsegu kod linearnih enkodera. Oni mogu ponovo očitati tačnu poziciju i nakon eventualnog gubitka napajanja.

Većina rotacionih enkodera radi na principu fotoelektričnog skeniranja. Sastoje se od staklenog ili plastičnog optičkog diska na koje su ugravirane ili fotografički nanesene radijalne skale raspoređene u više staza.

Pričvršćuju se na osovinu i tokom rotacije radijalne linije skala u stazama prekidaju snop svjetlosti između fotoemitera (LED) i fotodetektora (fototranzistor) (slika 4.4-a). Fiksni senzori detektuju kod na osnovu kojeg se generišu digitalni izlazni signali. Na slici 4.4-b je prikazan izgled diska apsolutnog enkodera.

(a) (b)

Slika 4.4: Apsolutni enkoder: (a) raspored elemenata,[9] (b) izgled diska[11]

Optički disk apsolutnog rotacionog enkodera je dizajniran tako da proizvodi 𝑁 jedinstvenih digitalnih riječi prema odgovarajućoj ugaonoj poziciji osovine na koju je pričvršćen. Naprimjer,

enkoder koji ima 8 staza može razlikovati 𝑁 = 28 = 256 ugaonih pozicija, što odgovara širini

sektora (ugaonoj rezoluciji) od 1,406° (360°/256).

Kod apsolutnih enkodera naješće se koriste sljedeća dva tipa numeričkog kodiranja:

Gray kod

binarni kod

Prednost Gray koda je minimalna netačnost na prelaznim pozicijama, gdje greška ne može biti

veća od 1, za razliku od binarnog koda kod kojeg greška može biti mnogo veća. I pored veće netačnosti, binarni kod se često preferira zbog mogućnosti direktnog interfejsa sa digitalnim računarima, bez potrebe za dodatnim digitalnim uređajima za konvertovanje Gray koda u binarni.


59

Gray kod je karakterističan po tome što se na svakom prelazu istovremeno može mijenjati samo jedan bit u digitalnoj riječi. Dakle, na istoj ugaonoj poziciji samo se u jednoj stazi može mijenjati stanje. Prikaz Gray koda je dat na slici 4.5.

Slika 4.5: Impulsi kod Gray koda [9]

Za razliku od Gray koda, binarni kod može mijenjati stanje u više staza istovremeno, što znači da se istovremeno može mijenjati i više bitova u digitalnoj riječi. Zbog toga je posebno izražen problem netačnosti binarnog koda na pozicijama gdje dolazi do prelaza iz jednog stanja u drugo u više staza istovremeno (slika 4.6).

Slika 4.6: Impulsi kod binarnog koda [9]

4.3.2 Inkrementalni enkoderi

Inkrementalni enkoderi ili davači impulsa su najčešće korišteni uređaji za digitalno mjerenje brzine. Oni su jednostavniji od apsolutnih enkodera. Mehanički se vežu na osovinu motora te pomoću optoelektroničkih komponenti generišu niz električnih impulsa čija je frekvencija proporcionalna brzini vrtnje. Na slici 4.7 prikazani su osnovni dijelovi inkrementalnog enkodera – disk, izvor svjetlosti (LED) i fotosenzor.


60

Pri obodu diska načinjena je optička rešetka koja se sastoji od svijetlih i taminih segmenata i nalazi se između izvora svjetlosti i fotosenzora. Svjetlosni tok pada na fotosenzor kada se na njegovom putu nalazi svijetli segment rešetke, dok je blokiran kada mu se zbog rotacije diska na putu nalazi tamni segment. Na taj se način generiše pulsirajući napon na fotosenzoru koji se potom oblikuje u impulse oblika četvrtki prikladne za brojanje pomoću odgovarajućih digitalnih sklopova.

Slika 4.7: Osnovni dijelovi inkrementalnog enkodera

Inkrementalni optički enkoderi mjere rotacijsku brzinu i iz nje mogu izvući relativnu poziciju u odnosu na referentnu tačku. Ako nestane napajanja gubi se informacija o apsolutnom položaju. Zbog toga se moraju ponovo dovesti na referentnu poziciju. Ova vrsta enkodera ne može detektovati promjenu smjera vrtnje, nego samo promjenu brzine.

P postupak [12]

P postupak mjerenja brzine vrtnje temelji se na brojanju impulsa iz davača u unaprijed zadanom

vremenskom intervalu 𝑇𝑑, kao što je prikazano na slici 4.8.

Slika 4.8: P postupak mjerenja brzine vrtnje [12]

Broj impulsa 𝑆1 pristiglih u vremenskom intervalu 𝑇𝑑 proporcionalan je brzini vrtnje koja se određuje prema sljedećem izrazu:

𝑛 =60

𝑃𝑇𝑑𝑆1 [s

−1] (4.3-1)

gdje su:

𝑃 broj impulsa davača po okretaju,


61

𝑇𝑑 fiksni vremenski interval u kojem se broje impulsi,

𝑆1 broj impulsa davača pristiglih u intervalu 𝑇𝑑

Mjerenje nije sinhronizovano sa dolaskom impulsa zbog čega je kvaliteta mjerenja narušena, posebno pri malim brzinama vrtnje. Najgori slučaj nastupa ukoliko mjerenje započne neposredno nakon dolaska impulsa i završi neposredno prije dolaska novog impulsa. S porastom brzine vrtnje utjecaj ove greške se smanjuje, te je stoga P postupak prikladniji za mjerenje većih brzina vrtnje.

Rezolucija mjerenja brzine vrtnje P postupkom dobiva se kao odnos brzine vrtnje 𝑛 i broja

impulsa 𝑆1, što daje izraz za rezoluciju:

𝑄𝑛 =𝑛

𝑆1=

60

𝑃𝑇𝑑 [𝑠−1] (4.3-2)

Statička greška mjerenja definira se kao odnos rezolucije 𝑄𝑛 i trenutne brzine vrtnje 𝑛:

𝜀𝑠 =100

𝑆1=

60

𝑃𝑇𝑑𝑛∙ 100 [%] (4.3-3)

T postupak [12]

Kako bi se riješio problem mjerenja malih brzina vrtnje, koristi se T postupak kojim se mjeri period impulsa iz davača. Mjerenje je sinhronizovano impulsima iz davača, tj. započinje sa rastućim

bridom impulsa i završava sa rastućim bridom sljedećeg impulsa. Mjerenje trajanja impulsa 𝑇𝑝

obavlja se na način da se za vrijeme trajanja mjerenja broje impulsi stalne visoke frekvencije 𝑓𝑐 , kao što je prikazano na slici 4.9.

Slika 4.9: T postupak mjerenja brzine vrtnje [12]

Brzina vrtnje motora uz primjenu T postupka računa se prema izrazu:

𝑛 =60𝑓𝑐𝑃𝑆2

[𝑠−1] (4.3-4)

gdje su:

𝑃 broj impulsa davača po okretaju,

𝑓𝑐 frekvencija impulsa visoke frekvencije,


62

𝑆2 broj impulsa visoke frekvencije u intervalu 𝑇𝑝.

Izraz za rezoluciju mjerenja brzine vrtnje T postupkom, dobiven kao koeficijent brzine vrtnje

𝑛 i broja impulsa 𝑆1 glasi:

𝑄𝑛 =𝑛

𝑆2 − 1 [𝑠−1] (4.3-5)

P/T postupak [13]

Najčešće upotrebljavani postupak mjerenja brzine vrtnje koji objedinjuje dobre strane P i T postupaka, jest kombinirani ili P/T postupak. Ovaj postupak predstavlja standard u industriji jer osigurava visoku tačnost mjerenja u širokom rasponu promjena brzine vrtnje. Postupak se temlji

na brojanju impulsa 𝑆1 pristiglih iz davača i impulsa 𝑆2 stalne visoke frekvencije 𝑓𝑐 , unutar vremenskog intervala sinhronizovanog sa impulsima iz davača, kao što je pokazano na slici 4.10.

Slika 4.10: P/T postupak mjerenja brzine vrtnje [13]

Mjerenje započinje na rastući brid impulsa iz davača i odvija se unutar intervala 𝑇𝑑, koje se

dobiva kao zbir konstantnog (unaprijed zadanog) intervala 𝑇𝑐 i promjenljivog intervala Δ𝑇. Interval

Δ𝑇 traje od trenutka isteka intervala 𝑇𝑐 do pojave prvog novog impulsa iz enkodera.

Brzina vrtnje motora uz primjenu P/T postupka računa se prema izrazu:

𝑛 =60𝑓𝑐𝑃

𝑆1

𝑆2 [𝑠−1] (4.3-6)

gdje su:

𝑃 broj impulsa enkodera po okretaju,

𝑓𝑐 frekvencija impulsa visoke frekvencije

𝑆1 broj impulsa enkodera pristiglih u intervalu 𝑇𝑐 + Δ𝑇,

𝑆2 broj impulsa visoke frekvencije u intervalu 𝑇𝑐 + Δ𝑇.


63

5. Upravljanje i regulacija izmjeničnih strojeva

5.1 Uvod Prije detaljnog objašnjavanja procesa upravljanja i regulacije, postavlja se pitanje šta su to

upravljanje i regulacija i koja je razlika među njima. Često dolazi do poistovjećivanja ova dva pojma

iako su oni u suštini različiti.

Upravljanje je postupak u kojem se promjena odabrane varijable osigurava tako da se na neki

dio sistema dovede signal za koji se pretpostavlja da će uzrokovati promjenu te varijable, pri čemu

se njena vrijednost ne mjeri.[5] Ukoliko kod nekog pogona dođe do promjene brzine vrtnje motora,

zbog nekog vanjskog poremećaja, upotrebom elektroenergetskog pretvarača može se djelovati na

neku varijablu (npr. napon). Promjenom te varijable mijenja se i brzina motora, ali informacija o

tome koliko je promijenjena nije poznata jer se ne mjeri. Ovakav način upravljanja se zove

upravljanje u otvorenom. Principijelna šema je data na slici 5.1.

Slika 5.1: Upravljanje EMP u otvorenom [5]

Regulacija je postupak u kojem se varijable bitne za rad EMP automatski dovode na željene vrijednosti, a može se primijeniti u sistemima sa zatvorenom povratnoom spregom. U ovim sistemima se automatski generira protudjelovanje kojim se sistem nastoji vratiti u željeno stanje nakon što nastupi poremećaj.[5] S obzirom da se u sistemima sa povratnom spregom mjeri varijabla ili varijable od interesa, onda je moguće tu mjerenu veličinu uporediti sa željenom i ukoliko se razlikuju pravilno djelovati. Ovakav način upravljanja se naziva i automatska regulacija. Opća šema automatkse regulacije je prikazana na slici 5.2.

Slika 5.2: EMP sa automatskom regulacijom [5]


64

Informacije o veličinama od interesa se dobijaju od od odgovarajućih senzora. Na osnovu ovih informacija, regulacijski uređaj, koji može biti jednostavan ili složen u zavisnosti od EMP-a, upoređuje stvarne vrijednosti varijabli sa željenim te djeluje putem elektroenergetskog pretvarača na pobudu stroja.

U realnim slučajevima, rijetko kad se mjeri samo jedna varijabla. Obično je to više varijabli: položaj rotora, brzina vrtnje, jačina električne struje, mehanički moment te magnetni tok. Ove veličine se mogu dobiti direktno sa odgovarajućih senzora ili indirektno kroz provođenje računskih postupaka uz korištenje izmjerenih vrijednosti drugih veličina. Kombinirajući senzore za mjerenje prethodno spomenutih veličina sa regulatorima, moguće je dobiti veoma precizne sisteme sa brzim odzivom.

Veličine koje se najčešće reguliraju su: brzina vrtnje, mehanički moment i položaj (translacijski ili ugaoni pomak).

Karakteristike izmjeničnih strojeva se podešavaju najčešće promjenom visine i frekvencije

napona pri čemu se u opsegu brzina vrtnje od 0 do 𝑛𝑁 održava konstantan magnetni tok. Za brzine veće od nazivne, zbog unutrašnjih terminčkih ograničenja stroja, održava se konstantna snaga. Upravljanje se može provesti na dva načina: [5]

indirektnim upravljanjem magnetnim tokom. – 𝑈/𝑓 upravljanje ili tzv. skalarno upravljanje;

direktnim upravljanjem magnetnim tokom – upravljanje koje se temelji na orijentaciji magnetnog polja u motoru (FOC regulacija) ili tzv. vektorsko upravljanje.

Koji od ovih načina će se koristiti zavisi od složenosti EMP. Za jednostavne EMP primjenjuje se skalarno upravljanje, dok se kod složenijih EMP, gdje se traži brz odziv zadate veličine, koristi vektorsko upravljanje.

5.2 Vektorsko upravljanje i regulacija izmjeničnih strojeva

Podešavanje mehaničkih karakteristika izmjeničnih strojeva promjenom efektivne vrijednosti

napona 𝑈 i njegove frekvencije 𝑓 primjenjuje se kod manje zahtjevnih elektromotornih pogona koji veći dio vremena rade u stacionarnim stanjima.

Za EMP koji veći dio vremena rade u dinamičkim stanjima, kao što su servopogoni, 𝑈/𝑓 upravljanje ne daje zadovoljavajuće rezultate. Za ovakve EMP koriste se postupci upravljanja i regulacije za koje je potrebno da se sve struje, naponi i magnetni tokovi zapišu preko tzv. prostornih vektora. Jednačinu za elektromagnetni moment stroja je također potrebno zapisati preko prostornih vektora struja i magnetnih tokova.

Upravljanje i regulacija mehaničkih karakteristika izmjeničnih motora, zasnovano na zapisu glavnih veličina u matematskim modelima izmjeničnih strojeva pomoću prostornih vektora, nazivaju se vektorsko upravljanje i vektorska regulacija.

Postoje dvije vrste vektorskog upravljanja. Razlikuju se po načinu dobijanja informacije o magnetnim tokovima unutar stroja. Ako se informacija o magnetnim tokovima dobija iz Hallovih senzora ili namota osjetljivih na promjenu magnenog fluksa, onda se taj način vektorskog upravljanja zove direktno vektorsko upravljanje. Informacija o magnetnim tokovima se može dobiti i koristeći davače pozicije rotora. Ovaj način vektorskog upravljanja se zove indirektno vektorsko upravljanje. U nastavku će biti detaljnije objašnjena ova dva načina vektorskog upravljanja.


65

Primjena vektorskog upravljanja i vektorske regulacije omogućuje: [5]

kratko vrijeme odziva za postizanje zadatih vrijednosti momenta i brzine vrtnje kod promjene opterećenja;

male pulsacije momenta na osovini;

visok polazni moment te ubrzanje i kočenje sa maksimalnim momentom;

brže i tačnije podešavanje mehaničkog momenta motora u radnim i kočnim stanjima;

mali nivo buke i dobar faktor korisnosti.

5.2.1 Vektorsko upravljanje i regulacija asinhronog motora [5]

Za potrebe vektorskog upravljanja i regulacije elektromagnetnog momenta asinhronog motora potrebno je njegov matematski model zapisati u dvoosnom koordinatnom sistem koristeći zapis glavnih veličina preko odgovarajućih prostornih vektora.

Prostorni vektori struje statora 𝑖1 i ulančenog magnetnog toka rotora ��2 asinhronog stroja

priključenog na izvor napona rotiraju električnom ugaonom brzinom 𝜔1 = 2𝜋𝑓1 (ugaona brzina vrtnje okretnog magnetnog polja) u odnosu na nepokretnu referentnu osu vezanu za stator.

Grafički prikaz prostornih vektora ��2 i 𝑖1 u koordinatnom sistemu 𝑑𝑞 koji rotira električnom

ugaonom brzinom 𝜔1 i nepokretnom koordinatnom sistemu 𝛼𝛽 dat je na slici 5.3. Prostorni vektor

magnetnog toka rotora ��2 postavljen je u 𝑑 osi 𝑑𝑞 koordinatnog sistema.

(a) (b)

Slika 5.3: Grafički prikaz prostornih vektora ��2 i 𝑖1: (a) u zračnom rasporu stroja, (b) u dvoosnim 𝛼𝛽 i 𝑑𝑞 koordinatnim sistemima [5]

U dvoosnom koordinatnom 𝑑𝑞 sistemu koji rotira električnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔1, naponske jednačine statora i rotora, jednačine ulančenih tokova statora i rotora te relacija za elektromagnetni moment asinhronog stroja mogu se zapisati u obliku:

��1 = 𝑅1𝑖1 +𝑑��1

𝑑𝑡+ 𝑗𝜔1��1 (5.2-1)


66

0 = 𝑅2𝑖2 +𝑑��2

𝑑𝑡+ 𝑗(𝜔1 − 𝜔𝑟)��2 (5.2-2)

��1 = 𝐿1𝑖1 + 𝐿𝜇𝑖2 (5.2-3)

��2 = 𝐿𝜇𝑖1 + 𝐿2𝑖2 (5.2-4)

𝑚𝑒 = −3

2𝑝

𝐿𝜇

𝐿2ℐ{��2𝑖2

2} (5.2-5)

gdje su: ��1, 𝑖1, 𝑖2, ��1, ��2 prostorni vektori napona izvora, struja statora i rotora i ulančenih

magnetnih tokova statora i rotora, 𝑖1∗ je konjugirana vrijednost statorske struje, 𝑅1, 𝑅2, 𝐿1, 𝐿2, 𝐿𝜇 su

otpornosti i induktivnosti stroja, 𝜔𝑟 je električna ugaona brzina vrtnje rotora, a 𝑝 je broj pari polova stroja.

Ako se prostorni vektori magnetnog toka rotora i konjugirane struje statora zapišu u obliku:

��2 = |��2|𝑒𝑗𝛾1 (5.2-6)

𝑖1 = |𝑖1|𝑒−𝑗(𝛾1+𝜖) (5.2-7)

elektromagnetni moment asinhronog stroja može se zapisati preko prostornih vektora statorske

struje 𝑖1 i ulančenog magnetnog toka rotora ��2:

𝑚𝑒 = −3

2𝑝

𝐿𝜇

𝐿2ℐ{|��2||𝑖2|𝑒

𝑗[𝛾1−(𝛾1+𝜖)]} =3

2𝑝

𝐿𝜇

𝐿2|��2||𝑖1| sin 𝜖 (5.2-8)

gdje je 𝜖 ugao između prostornih vektora 𝑖1 i ��2. S obzirom da prostorni vektori rotorskog toka i

statorske struje rotiraju istom električnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔1, ugao 𝜖 između njih je uvijek konstantan.

Prostorni vektor magnetnog toka rotora postavljen je u 𝑑 osu dvoosnog 𝑑𝑞 koordinatnog sistema pa je iz vektorskog dijagrama prikazanog na slici (5.3) vidljivo da vrijedi:

|��2| = 𝜓2𝑑 (5.2-9)

|𝑖2| =𝑖1𝑞

sin 𝜖 (5.2-10)

Elektromagnetni moment dat relacijom (6.2-8) može se zapisati:

𝑚𝑒 =3

2𝑝

𝐿𝜇

𝐿2𝜓2𝑑𝑖1𝑞 = 𝐾𝜓2𝑑𝑖1𝑞 (5.2-11)

gdje je 𝐾 konstanta data izrazom 𝐾 = 3𝑝𝐿𝜇/(2𝐿2).

Iz relacije (5.2-11) vidljivo je da se elektromagnetnim momentom asinhronog stroja može

upravljati tako da se podešava komponenta rotorskog toka 𝜓2𝑑 i/ili komponenta struje 𝑖1𝑞.


67

Dakle, ako su poznate vrijednosti komponenti 𝜓2𝑑 i 𝑖1𝑞 u svakom trenutku, moguće je direktno

upravljanje momentom asinhronog motora na isti način kao što se upravlja momentom istosmjernog motora.

Iz razmatranja koje slijedi bit će pokazano da se komponentnom rotorskog toka 𝜓2𝑑 može

direktno i neovisno upravljati tako što se podešava komponenta statorske struje 𝑖1𝑑.

Ako se iz jednačina (5.2-2) i (5.2-4) eliminira rotorska struja 𝑖2, dobiva se:

𝑇𝑟

𝑑��2

𝑑𝑡+ (1 + 𝑗Δ𝜔𝑇𝑟)��2 = 𝐿𝜇𝑖1 (5.2-12)

gdje su:

𝑇𝑟 =𝐿2

𝑅2 vremenska konstanta rotorskog kruga,

Δ𝜔 = 𝜔1 − 𝜔𝑟 brzina klizanja.

Zapisom jednačine (5.2-12) preko komponenti vektora struje statora 𝑖1𝑑 i 𝑖1𝑞 i komponente

vektora rotorskog toka 𝜓2𝑑 (𝜓2𝑞 = 0) te izjednačavanjem realnih i imaginarnih članova sa lijeve

i desne strane jednačine, dobiva se:

𝑇𝑟

𝑑𝜓2𝑑

𝑑𝑡+ 𝜓2𝑑 = 𝐿𝜇𝑖1𝑑 (5.2-13)

Δ𝜔𝑇𝑟𝜓2𝑑 = 𝐿𝜇𝑖1𝑞 (5.2-14)

Iz relacije (5.2-13) je vidljivo da se komponentom rotorskog toka 𝜓2𝑑 može direktno upravljati

tako što se podešava komponenta struje 𝑖1𝑑, odnosno pokazano je da se elektromagnetnim momentom asinhronog stroja može direktno i neovisno upravljati tako što se podešavaju

komponente struje statora 𝑖1𝑑 i 𝑖1𝑞.

Glavni nedostatak vektorskog upravljanja je velika ovisnost o parametrima motora. Posebno je

kritična vremenska konstanta rotora 𝑇𝑟 = 𝐿2/𝑅2 čija je vrijednost ovisna o uvjetima rada motora.

Vektorsko upravljanje sa mjerenjem magnetne indukcije

Ovaj način vektorskog upravljanja momentom asinhronog motora temelji se na mjerenju magnetne indukcije u zračnom rasporu stroja, a poznat je i pod nazivom direktno vektorsko upravljanje.

Šemu realizacije vektorskog upravljanja sa mjerenjem magnetne indukcije u zračnom rasporu stroja pokazuje slika 5.4.

Ako se dvije grupe senzora (naprimjer, Hallovih sondi) postave u zračni raspor u dvije međusobno okomite ose (slika 5.4), mogu se iz izmjerenih vrijednosti magnetne indukcije izračunati ulančeni magnetni tokovi u zračnom rasporu na mjestima gdje su postavljeni senzori.


68

Ako se ose u koje su postavljeni senzori označe sa 𝛼 i 𝛽, dobiva se dvoosni koordinatni sistem

𝛼𝛽. Koordinatni sistem 𝛼𝛽 miruje u odnosu na stator.

Slika 5.4: Vektorsko upravljanje sa mjerenjem magnetne indukcije [5]

Komponente ukupnog magnetnog toka u tim osama 𝜓𝜇𝛼 i 𝜓𝜇𝛽 računaju se iz izmjerenih

vrijednosti magnetne indukcije (𝜓𝜇~∫ ��𝜇𝑑𝑆).

Komponente ukupnog rotorskog toka 𝜓2𝛼 i 𝜓2𝛽 dobiju se kad se tokovima 𝜓𝜇𝛼 i 𝜓𝜇𝛽 dodaju

komponente magnetnih tokova rasipanja rotora 𝜓2𝛼𝜎 i 𝜓2𝛽𝜎, odnosno može se pisati:

𝜓2𝛼 = 𝜓𝜇𝛼 + 𝜓2𝛼𝜎 = 𝜓𝜇𝛼 + 𝐿2𝜎𝑖2𝛼 (5.2-15)

𝜓2𝛽 = 𝜓𝜇𝛽 + 𝜓2𝛽𝜎 = 𝜓𝜇𝛽 + 𝐿2𝜎𝑖2𝛽 (5.2-16)

S obzirom da vrijedi:

𝜓𝜇𝛼 = 𝐿𝜇𝑖1𝛼 + 𝐿𝜇𝑖2𝛼 (5.2-17)

𝜓𝜇𝛽 = 𝐿𝜇𝑖1𝛽 + 𝐿𝜇𝑖2𝛽 (5.2-18)

𝐿2 = 𝐿𝜇 + 𝐿2𝜎 (5.2-19)

Komponente rotorskog toka 𝜓2𝛼 i 𝜓2𝛽 mogu se zapisati u obliku:

𝜓2𝛼 = 𝐿𝜇𝑖1𝛼 + 𝐿2𝑖2𝛼 (5.2-20)

𝜓2𝛽 = 𝐿𝜇𝑖1𝛽 + 𝐿2𝑖2𝛽 (5.2-21)

Eliminiranjem struja 𝑖2𝛼 i 𝑖2𝛽 iz relacija (5.2-15) – (5.2-18), dobiva se:


69

𝜓2𝛼 =𝐿2

𝐿𝜇𝜓𝜇𝛼 − 𝐿2𝜎𝑖1𝛼 (5.2-22)

𝜓2𝛽 =𝐿2

𝐿𝜇𝜓𝜇𝛽 − 𝐿2𝜎𝑖1𝛽 (5.2-23)

Rasipna induktivnost rotora 𝐿2𝜎 i glavna induktivnost 𝐿𝜇 poznate su iz nadomjesne šeme

asinhronog stroja, a komponente struja 𝑖1𝛼 i 𝑖1𝛽 se mogu izračunati iz poznatih (izmjerenih) struja

statora, pri čemu se troosni 𝑎𝑏𝑐 koordinatni sistem transformira u dvoosni mirujući 𝛼𝛽 koordinatni

sistem pomoću matrice transformacije [𝐶]𝑇:

[𝑖1𝛼

𝑖1𝛽] =

2

3[𝐶]𝑇 ∙ [

𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐

] =2

3[1 cos

2𝜋

3cos

4𝜋

3

0 sin2𝜋

3sin

4𝜋

3

] ∙ [𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐

] (5.2-24)

Proračun komponenti rotorskog toka 𝜓2𝛼 i 𝜓2𝛽 provodi se prema relacijama (5.2-22), (5.2-23)

i blokovskoj šemi prikazanoj na slici 5.5.

Slika 5.5: Blokovska šema za proračun komponenti rotorskog toka uz kompenzaciju rasipnog toka [5]

Nakon izračunavanja komponenti rotorskog toka 𝜓2𝛼 i 𝜓2𝛽 moguće je odrediti modul |��2| i

ugao 𝛾1 rotorskog toka (slika 5.1-b):

|��2| = √𝜓2𝛼2 + 𝜓2𝛽

2 (5.2-25)

𝛾1 = arccos𝜓2𝛼

|��2| (5.2-26)

Elektromagnetnim momentom motora se upravlja tako što se zadaju komponente struje statora

𝑖1𝑑∗ i 𝑖1𝑞

∗ . Zadate komponente struja 𝑖1𝑑∗ i 𝑖1𝑞

∗ su zapisane u dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu

koji rotira ugaonom električnom brzinom 𝜔1. Struje 𝑖1∗, 𝑖𝑏

∗ i 𝑖𝑐∗ su zadate vrijednosti za energetski

elektronički pretvarač (strujni invertor) sa širinsko impulsnom modulacijom koji proizvodi tri fazne

struje 𝑖𝑎, 𝑖𝑏 i 𝑖𝑐 koje se uvode (utiskuju) u namote na statoru motora. Struje 𝑖𝑎∗ , 𝑖𝑏

∗ i 𝑖𝑐∗ zapisuju se

u troosnom nepokretnom 𝑎𝑏𝑐 koordinatnom sistemu, pa je potrebno napraviti transformaciju


70

dvoosnog 𝑑𝑞 rotirajućeg sistema u troosni nepokretni 𝑎𝑏𝑐 koordinatni sistem. Ova transformacija se provodi matričnom jednačinom:

[

𝑖𝑎∗

𝑖𝑏∗

𝑖𝑐∗] = [𝑇𝑆] [

𝑖1𝑑∗

𝑖1𝑞∗ ] =

[

cos 𝛾1 −sin 𝛾1

cos (𝛾1 −2𝜋

3) − sin (𝛾1 −

2𝜋

3)

cos (𝛾1 −4𝜋

3) − sin (𝛾1 −

4𝜋

3)]

[𝑖1𝑑∗

𝑖1𝑞∗ ] (5.2-27)

gdje je [𝑇𝑆] matrica transformacije dvoosnog 𝑑𝑞 koordinatnog sistma koji rotira električnom

ugaonom brzinom 𝜔1 u nepokretni 𝑎𝑏𝑐 koordinatni sistem. Ugao 𝛾1 u matrici [𝑇𝑆] određen je

relacijom (5.2-26). Matrica transformacije [𝑇𝑆] dobiva se kao matrični proizvod Parkove i Klarkove

matrice transformacije za dvoosni koordinatni 𝑑𝑞 sistem koji rotira električnom ugaonom brzinom

𝜔1.

Nedostaci direktnog vektorskog upravljanja su: [14]

potrebno je direktno mjerenje struja statora te magnetne indukcije sa senzorima postavljenim u zračni raspor stroja koji su vrlo osjetljivi na termička i mehanička naprezanja;

smetnje usljed postojanja viših harmonika magnetnog toka uzrokovane ožljebljenjem željeznih jezgri stroja;

magnetni tok se ne mjeri direktno nego se proračunava iz magnetne indukcije, čime se smanjuje preciznost upravljanja;

motor nije standardan jer se u toku proizvodnje u zračni raspor moraju ugraditi senzori.

Vektorsko upravljanje sa određivanjem položaja rotora

Kod ovog načina vektorskog upravljanja ne mjere se niti struja niti magnetna indukcija, već je potrebno samo imati informaciju o položaju rotora. Položaj rotora se određuje različitim vrstama davača položaja. Ovakav način upravljanja poznat je i pod nazivom indirektno vektorsko upravljanje.

Šemu realizacije indirektnog vektorskog upravljanja pokazuje slika 5.6.

Zadate komponente statorskih struja 𝑖1𝑑∗ i 𝑖1𝑞

∗ zapisane su u dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom

sistemu. Te vrijednosti se koriste za izračunavanje komponente magnetnog toka 𝜓2𝑑 i brzine

klizanja Δ𝜔 prema relacijama:

𝜓2𝑑 =𝐿𝜇

1 + 𝑝𝑇𝑟𝑖1𝑑∗ (5.2-28)

Δ𝜔 =𝐿𝜇

𝑇𝑟

𝑖1𝑞∗

𝜓2𝑑= 𝜔1 − 𝜔𝑟 (5.2-29)

Nakon transformacije veličina 𝑖1𝑑∗ i 𝑖1𝑞

∗ u troosni koordinatni 𝑎𝑏𝑐 sistem, koja se provodi

transformacijskom matricom [𝑇𝑆], dobivaju se zadate statorske struje 𝑖𝑎∗ , 𝑖𝑏

∗ i 𝑖𝑐∗. Ovi signali struja

su upravljačke veličine za energetski elektronički pretvarač sa širinsko impulsnom modulacijom,

koji se genereiraju stvarne struje za motor 𝑖𝑎, 𝑖𝑏 i 𝑖𝑐.


71

Ugao 𝛾1, koji je potreban u matrici transformacije [𝑇𝑆], je:

𝛾1 = 𝛾𝑟 + Δ𝛾 (5.2-30)

Ugao položaja rotora 𝛾𝑟 dobiva se sa davača položaja postavljenog na osovinu motora, a ugao

Δ𝛾 dobiva se integracijom brzine klizanja Δ𝜔.

Za indirektno vektorsko upravljanje potrebno je osigurati informaciju o položaju rotora 𝛾𝑟 te imati veliku brzinu i tačnost proračuna. Praktična primjena ovog načina upravljanja počela je tek sa uvođenjem brzih mikroračunara. [14]

Slika 5.6: Šema vektorskog upravljanja sa određivanjem položaja rotora [5]

5.2.2 Vektorska regulacija asinhronog motora [5]

Na slici 5.7 prikazana je šema prema kojoj se automatski mogu regulirati položaj, brzina vrtnje i mehanički moment asinhronog motora. Za svaku od ovih veličina postoje odgovrajuće povratne veze. Regulacijska šema temelji se na teoriji vektorskog upravljanja asinhronog motora koja je izložena ranije u ovom odjeljku. Informaciju o položaju rotora daje inkrementalni enkoder koji je postavljen na osovinu stroja. Regulatori položaja, brzine vrtnje i struje su najčešće analogni PI regulatori. Blok za kompenzaciju klizanja je preuzet sa slike 5.6.


72

Slika 5.7: Šema vektorske regulacije asinhronog motora [5]

5.2.3 Vektorsko upravljanje i regulacija sinhronog motora sa permanentnim magnetima [5]

Opći matematski model sinhronog motora zapisan u dvoosnom koordinatnom sistemu koji se

vrti električnom brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 izveden je u poglavlju 2.

Za motor kod kojeg magnetni tok stvoren uzbudnom strujom ima konstantnu vrijednost ili ima uzbudu sa permanentnim magnetima, naponska jednačina statora i relacija za elektromagnetni moment se zapisuju u obliku:

��1 = 𝑅1𝑖1 +𝑑��1

𝑑𝑡+ 𝑗𝜔𝑟��1 (5.2-31)

𝑚𝑒 = −3

2𝑝ℐ{𝑗��1𝑖1

∗} (5.2-32)

Prostorni vektori napona statora, struje statora i ulančenog magnetnog toka statora, zapisani

preko komponenti u dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu, su:

��1 = 𝑢1𝑑 + 𝑗𝑢1𝑞 (5.2-33)

𝑖1 = 𝑖1𝑑 + 𝑗𝑖1𝑞 (5.2-34)


73

��1 = 𝜓1𝑑 + 𝑗𝜓1𝑞 (5.2-35)

Ako se na rotoru nalaze permanentni magneti, komponente ulančenog magnetnog toka statora su povezane sa odgovarajućim komponentama struja statora i magnetnim tokom permanentnih magneta sljedećim relacijama4:

𝜓1𝑑 = 𝐿1𝑑𝑖1𝑑 + Ψ𝑃𝑀 (5.2-36)

𝜓1𝑞 = 𝐿1𝑞𝑖1𝑞 (5.2-37)

Naponska jednačina statora i relacija za elektromagnetni moment sinhronog stroja zapisane preko komponenti prostornih vektora napona, struje i magnetnog toka su:

𝑢1𝑑 = 𝑅1𝑖1𝑑 + 𝐿1𝑑

𝑑𝑖1𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝑟𝐿1𝑞𝑖1𝑞 (5.2-38)

𝑢1𝑞 = 𝑅1𝑖1𝑞 + 𝐿1𝑞

𝑑𝑖1𝑞

𝑑𝑡+ 𝜔𝑟𝐿1𝑑𝑖1𝑑 + 𝜔𝑟Ψ𝑃𝑀 (5.2-39)

𝑚𝑒 =3

2𝑝[Ψ𝑃𝑀𝑖1𝑞 + 𝑖1𝑞𝑖1𝑑(𝐿1𝑑 − 𝐿1𝑞)] (5.2-40)

Za motor kod kojeg su permanentni magneti na rotoru postavljeni tako da vrijedi 𝐿1𝑑 = 𝐿1𝑞 =

𝐿1, relacija za elektromagnetni moment ima jednostavniji oblik:

𝑚𝑒 =3

2𝑝Ψ𝑃𝑀𝑖1𝑞 = 𝐾𝑖1𝑞 (5.2-41)

Dakle, elektromagnetnim momentom sinhronog motora sa permanentnim magnetima na

rotoru može se direktno upravljati podešavanjem komponente statorske struje 𝑖1𝑞. Komponenta

statorske struje 𝑖1𝑑 nema utjecaja na elektromagnetni moment, ali se, kako će kasnije biti pokazano, podešavanjem ove komponente može postići da mehanička brzina vrtnje motora bude veća od nazivne.

Za stacionarno stanje u kojem je 𝑑��1/𝑑𝑡 = 0, naponska jednačina statora zapisuje se u obliku:

��1 = 𝑅1𝑖1 + 𝑗𝜔𝑟��1 = 𝑅1𝑖1 + 𝑒1 (5.2-42)

Napon koji se inducira u namotu statora magnetnim tokokm permanentnih magneta

predstavljen je vektorom 𝑒1.

4 Magnetni tok permanentih magneta i konstantan magnetni tok uzbudnog namota zapisuju se samo u 𝑑 osi 𝑑𝑞

koordinatnog sistema (Ψ𝑃𝑀 = Ψ𝑃𝑀 + 𝑗0 ili Ψ𝑓 = Ψ𝑓 + 𝑗0).


74

Na slici 6.8 prikazan je vektorski dijagram napona i struja za stacionarno stanje sinhronog

motora sa permanentnim magnetima kod kojeg vrijedi 𝐿1𝑑 = 𝐿1𝑞 = 𝐿1. Dijagram je nacrtan

pomoću jednačina (6.2-38) i (6.2-39) u kojima je 𝑑𝑖1𝑑/𝑑𝑡 = 0 i 𝑑𝑖1𝑞/𝑑𝑡 = 0.

Slika 5.8: Vektorski dijagram SMPM u stacionarnom stanju (𝐿1𝑑 = 𝐿1𝑞 = 𝐿1) [5]

Ako se zanemari radna otpornost 𝑅1, električna ugaona brzina vrtnje rotora sinhronog motora

𝜔𝑟 može se približno izračunati iz naponske jednačine statora (5.2-42):

𝜔𝑟 ≈

|��1|

|��1|=

|��1|

√𝐿12𝑖1𝑞

2 + (Ψ𝑃𝑀 + 𝐿1𝑖1𝑑)2

(5.2-43)

Za nazivni napon energetskog pretvarača |��1| = 𝑈1𝑁 i uz nazivnu komponentu struje 𝑖1𝑞 =

𝑖1𝑁 kod 𝑖1𝑑 = 0, motor će imati nazivnu vrijednost elektromagnetnog momenta i nazivnu eleltričnu ugaonu brzinu vrtnje rotora:

𝑚𝑒𝑁 =3

2𝑝Ψ𝑃𝑀𝑖1𝑁 (5.2-44)

𝜔𝑟𝑁 ≈𝑈1𝑁

√Ψ𝑃𝑀2 + 𝐿1

2𝑖1𝑁2

(5.2-45)

Kod upravljanja mehaničkim momentom i brzinom vrtnje potrebno je voditi računa o termičkim uvjetima u kojima rade motor i pretvarač jer njihovo zagrijavanje ovisi o vrijednosti modula struje statora. Dobri termički uvjeti za motor i pretvarač će biti osigurani samo ako je:

|𝑖1| = √𝑖1𝑑2 + 𝑖1𝑞

2 ≤ 𝑖1𝑁 (5.2-46)

gdje je 𝑖1N nazivna struja pretvarača.

Ako se pri nazivnom naponu pretvarača želi povećati brzina vrtnje motora iznad nazivne,

potrebno je promijeniti predznak, a zatim povećati komponentu struje 𝑖1𝑑. Da bi se modul


75

statorske struje zadržao na nazivnoj vrijednosti, potrebno je istovremeno smanjiti struju 𝑖1𝑞.

Smanjenje struje 𝑖1𝑞 dovodi do smanjenja elektromagnetnog momenta motora, a brzina vrtnje 𝜔𝑟

će se povećati iznad nazivne vrijednosti. Na ovaj način postiže se isti efekat kao kad se smanjuje uzbudno magnetno polje kod istosmjernih motora.

Maksimalna brzina vrtnje u idealnom praznom hodu 𝜔0 određuje se iz relacije (5.2-43) za 𝑖1𝑞 =

0 i 𝑖1𝑑 = −𝑖1𝑁:

𝜔0 =𝑈1𝑁

Ψ𝑃𝑀 − 𝐿1𝑖1𝑁 (5.2-47)

Ako se vektor struje statora 𝑖1 zapiše sa negativnim predznakom komponente struje 𝑖1𝑑:

𝑖1 = 𝑖1𝑑 + 𝑖1𝑞 = −𝑖1𝑑 + 𝑗𝑖1𝑞 (5.2-48)

dobiva se vektorski dijagram sinhronog motora koji je prikazan na slici 5.9.

Slika 5.9: Vektorski dijagram SMPM u stacionarnom stanju sa slabljenjem polja [5]

Vektorsko upravljanje

Vektorsko upravljanje momentom i brzinom vrtnje sinhronog motora vrši se pomoću

komponenti vektora statorske struje 𝑖1𝑑 i 𝑖1𝑞.

Šema vektorskog upravljanja sinhronog motora sa permanentnim magnetima napajanog iz energetskog elektroničkog pretvarača prikazana je na slici 5.10.

Vektorsko upravljanje sinhronim motorom znatno je jednostavnije od vektorskog upravljanja asinhronim motorom. Kod sinhronog motora nema klizanja pa je za realizaciju vektorskog upravljanja potrebno poznavati samo brzinu vrtnje iz koje se može izračunati položaj rotora koji je

definiran električnim uglom 𝛾𝑟. Poznavanje ugla 𝛾𝑟 je neophodno jer je to veličina koja se pojavljuje


76

u transformacijskoj matrici koja povezuje originalni trofazni troosni 𝑎𝑏𝑐 i dvoosni 𝑑𝑞 koordinatni sistem u kojem se zapisuje matematski model sinhronog stroja koji se koristi kao osnova vektorskog upravljanja. [15]

Slika 5.10: Šema vektorskog upravljanja sinhronim motorom sa permanentim magnetima [5]

Vektorska regulacija

Šema vektorske regulacije pomoću koje se mogu automatski regulirati položaj, brzina vrtnje i mehanički moment sinhronog motora sa permanentnim magnetima prikazana je na slici 5.11.

Slika 5.11: Šema vektorske regulacije sinhronog motora sa permanentnim magnetima [5]

Regulacijska šema je jednostavnija u odnosu na regulacijsku šemu asinhronog motora jer za sinhroni motor nije potrebno vržiti kompenzaciju klizanja. Kvalitet vektorske regulacije je bolji u odnosu na klasične regulacijske postupke, ali je za realizaciju vektorske regulacije potrebno koristiti mikroprocesore koji trebaju da veome brzo obavljaju veliki broj proračuna na temelju podataka o glavnim veličinama motora koji se dobiju mjerenjem.


77

5.2.4 Vektorsko upravljanje bez senzora

Elektromotorni pogoni sa SMPM motorima zahtijevaju dva strujna senzora i jedan apsolutni davač pozicije na rotoru za implementaciju bilo kojeg od prethodno predstavljenih načina vektorskog upravljanja. Pozicija rotora se određuje optičkim davačem pozicije ili rotacionim transformatorom za važnije pogone. Cijena davača pozicije je uporediva sa motorima male snage, prema tome, EMP sa SMPM motorom se ne može porediti sa drugim izvedbama EMP. Strujni senzori nisu toliko skupi, ali treba imati na umu da i drugi EMP zahtijevaju iste. Nadalje, upravljanje SMPM pogonom bez davača pozicije povećava i njegovu primjenljivost za slučajeve kada je cijena EMP u prvom planu. Jedan od načina vektorskog upravljanja bez senzora je razmotren u nastavku.

Osnova ovakvog načina upravljanja je da greška između izmjerene i proračunate struje iz modela stroja daje razliku između pretpostavljene brzine rotora i stvarne brzine rotora stroja. Poništavanje ove strujne greške se dobija precizna pozicija rotora. U nastavku je objašnjen algoritam rada upravljanja bez senzora. [16]

Uvedene su sljedeće pretpostavke:

Parametri motora i permanentnih magneta su konstantni.

Inducirana elektromotorna sila u stroju je sinusoidalnog oblika.

Stroj radi u području konstantnog momenta i ne razmatra se područje konstantne snage.

Slika 5.12: Šema upravljanja SMPM bez senzora [14]

Osnovna šema upravljanja je data na slici 5.12. Dvije fazne struje služe kao ulazne informacije

za proračun pozicije rotora i brzine vrtnje. Greška između željene brzine 𝜔∗ i stvarne brzine 𝜔 je

pojačana i ograničena da bi se obezbijedila imaginarna komponenta statorske struje 𝑖1q. Na osnovu

procijenjene pozicije rotora i struje 𝑖1𝑞 dobijaju se signali za statorske struje, koje se generišu

trofaznim invertorom. [14]

Može se pretpostaviti da se rotor vrti brzinom 𝜔𝑟 ako se kao referentna brzina uzme da je 𝜔.

Ovo je prikazano na slici 5.13. Pretpostavljeni ugao zakreta rotora 𝛾 zaostaje za stvarnom pozicijom

rotora za ugao 𝛾𝑟 za Δ𝛾 radijana. Njihov odnos se može predstaviti i sljedećim jednačinama:


78

𝛾𝑟 = ∫𝜔𝑟𝑑𝑡 (5.2-49)

𝛾 = ∫𝜔𝑑𝑡 (5.2-50)

Δ𝛾 = 𝛾𝑟 − 𝛾 = ∫(𝜔𝑟 − 𝜔)𝑑𝑡 (5.2-51)

Koristi se matematski model stroja za izračunavanje statorskih struja. Treba imati na umu da se proračun vrši u referentnom koordinatnom sistemu pri pretpostavljenoj brzni vrtnje rotora. To

znači da je referenti 𝛼𝛽 koordinatni sistem, a ne 𝑑𝑞 koordinatni sistem, koji je uobičajen.

Slika 5.13: Fazorski dijagram brzina vrtnje u različitim koordinatnim sistemima

Nakon što se veličine prevedu u relevantni koordinatni sistem i nakon kraćeg matematičkog

postupka, dobije se ugao greške Δ𝛾. Slika 5.14 pokazuje blok-dijagram dobivanja položaja rotora i brzine vrtnje.


79

Slika 5.14: Blok-dijagram realizacije procjene položaja i brzine vrtnje rotora [14]

Pokretanje iz stanja mirovanja je postignuto dovođenjem rotora u određen položaj propuštanjem struja kroz namote statora. Pored toga, moguće je slati seriju impulsa na invertor koji će omogućiti da motor ostvari malu, ali dovoljnu, brzinu vrtnje kako bi se mogla izvršiti procjena. Tokom ovog vremena, estimator nije aktivan. Postaje aktivan kada se završi proces pokretanja rotora. Početne vrijednosti brzine vrtnje i pozicije rotora služe za postepeni prelaz iz početnog stanja do stanja upravljanja. Međutim, na ovaj način je teško upravljati strojeve koji se vrte malom brzinom. [14]

Razvijeno je još nekoliko drugih metoda za procjenu pozicije rotora. Kod jedne metode indukovana elektromotorna sila statorskih faza se može procijeniti iz izmjerenih statorskih struja i napona. Ova metoda ima problem nalaženja pozicije rotora kada je on u stanju mirovanja jer tada nema indukovanih EMS, a za male brzine bi bilo problematično tačno procijeniti zbog malih amplituda. Prema tome, i ova metoda mora izvršiti proces startanja kao što je prethodno objašnjeno.

Pozicija rotora se može dobiti iz statorskih međuinduktivnosti. Javlja se razlika u magnetnoj otpornosti koja se može mjeriti određenim tehnikama. Ova razlika je posebno uočljiva kod motora od visokog značaja.


80

6. Simulacija i rezultati mjerenja vektorski upravljanog dvostrano napajanog asinhronog generatora

6.1 Uvod

U ovom dijelu rada bit će pokazani rezultati simulacije i dijela eksperimentalnih mjerenja na primjeru dvostrano napajanog i vektorski upravljanog asinhronog generatora ( engl. DFIG).

Ova vrsta generatora (prikazana na slici 6.1) se najčešće koristi kao vjetrogenerator velike snage.

Razlog tome je promjena brzine vjetrogeneratora u opsegu ±30% oko sinhrone brzine koju diktira mreža elektroenergetskog sistema pri čemu je osiguran velik stepen korisnosti vjetroturbine. [17]

Slika 6.1: Topologija vjetrogeneratora sa dvostrano napajanim asinhronim strojem

Dvostrano napajani asinhroni generator je stroj sa namotanim rotorom i statorom (klizno-kolutni asinhroni stroj), kod kojeg i stator i rotor moraju biti priključeni na izvor energije, od čega je i dobio naziv dvostrano napajani. [18]

Primarna prednost dvostrano napajanog asinhronog generatora za dobijanje električne energije iz vjetra je da ovaj tip generatora omogućava održavanje konstantne frekvencije i amplitude napona na svom izlazu, bez obzira na brzinu vjetra odnosno snagu koju daje vjetroturbina. Zbog ove prednosti, DFIG se može spojiti direktno na mrežu i ostati sinhronizovan sve vrijeme na mreži. Druge prednosti se ogledaju u sposobnosti kontrole faktora snage. [18]

Kod konvencionalnih trofaznih sinhronih generatora, ukoliko se snaga dovodi na osovinu i pogoni rotor generatora, statično magnetno polje rotora proizvedeno istosmjernom pobudom

rotira istom brzinom kao i rotor – 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟. Kao rezultat stalne promjene magnetnog polja u zračnom procjepu, u statorskim namotima se inducira napon. Mehanička snaga dovedena na rotor se pretvara u električnu koja je dostupna na izlazu generatora.


81

Za konvencionalne jednostrano napajane asinhrone generatore, veza između frekvencije

𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 izmjeničnih napona induciranih u statoru i brzine rotora 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 je izražena preko relacije:

𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 =𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟𝑝

60 [𝐻𝑧] (6.1-1)

gdje su:

𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 frekvencija izmjeničnih napona induciranih u namotima statora DFIG-a,

𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 mehanička brzina rotora DFIG-a, izražena u obrtajima u minuti [𝑜

𝑚𝑖𝑛],

𝑝 broj pari polova po fazi DFIG-a.

Koristeći relaciju (6.1-1), moguće je odrediti, u slučaju da je 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 jednaka sinhronoj brzini

generatora 𝑛𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 , da je frekvencija 𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 izmjeničnih napona induciranih u namotima statora

generatora jednaka konstantnoj frekvenciji izmjenične mreže 𝑓.

Isti princip je primjenljiv i kod dvostrano napajanih asinhronih generatora. Jedina razlika je u tome što magnetno polje rotora više nije statično (jer ga sad stvaraju izmjenične struje, a ne

istosmjerne kao kod sinhronih generatora), već rotira brzinom 𝑛Φ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 koja je proporcionalna frekvenciji izmjeničnih struja koje teku namotima rotora generatora. Ovo znači da magnetno polje koje prolazi kroz namote statora rotira ne samo uslijed rotacije rotora generatora, već i zbog rotacijskog efekta koji uzrokuju izmjenične struje koje teku namotima rotora generatora. Zbog toga,

kod dvostrano napajanog asinhronog generatora, brzinu rotirajućeg magnetnog polja 𝑛Φ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟, a

time i frekvenciju izmjeničnih napona induciranih u namotima statora 𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 određuju i brzina

vrtnje rotora 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 i frekvencija izmjeničnih struja koje teku kroz namote rotora generatora 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟.

Uzimajući u obzir princip rada DFIG-a, može se ustanoviti da, kada se magnetno polje rotora

vrti u istom smjeru kao i rotor generatora, se brzina vrtnje 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 i brzina vrtnje obrtnog magnetnog

polja rotora 𝑛Φ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 superponiraju. Ovaj efekat je prikazan na slici 6.2-a. Frekvencija napona induciranih u namotima statora može se izračunati preko sljedeće relacije:


60+ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 (6.1-2)

gdje je 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 frekvencija izmjeničnih struja koje teku kroz namote rotora DFIG-a, izražena u [𝐻𝑧].

Analogno, kada su smjerovi vrtnje rotora i magnetnog polja rotora suprotni, tada se brzine

vrtnje rotora 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 i magnetnog polja rotora 𝑛Φ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 oduzimaju jedna od druge. Ovo je prikazano na slici 6.2-b.

Frekvencija napona induciranih u namotima statora se tada može izračunati preko relacije:


60− 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 (6.1-3)

Drugim riječima, frekvencija 𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 izmjeničnih napona induciranih u namotima statora

DFIG-a proporcionalna je brzini vrtnje obrtnog magnetnog polja statora 𝑛Φ𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 . Brzina vrtnje

obrtnog magnetnog polja statora 𝑛Φ𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 zavisi od brzine vrtnje rotora 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 (koja nastaje usljed


82

mehaničke snage dovedene na osovinu rotora) i frekvencije 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 izmjeničnih struja koje teku namotima rotora stroja. [19]

Slika 6.2: Prikaz magnetnih polja rotora i statora dvostrano napajanih asinhronih strojeva [19]

6.2 Upravljanje i regulacija dvostrano napajanog asinhronog generatora

U realnim sistemima vjetroelektrana se obično koristi model asinhronog generatora kako je prikazano na slici 6.1. Kao elektroenergetski pretvarač se koristi back-to-back poluprovodnički pretvarač. To je dvosmjerni pretvarač koji se sastoji od dva impulsno-širinska naponska pretvarača (jedan na strani rotora i jedan na strani mreže) i istosmjernog međukruga. [20]

S obzirom da se radi o generatoru, u prvi plan se stavljaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga. Upravljanje aktivnim i reaktivnim snagama je bazirano na teoriji vektorskog upravljanja asinhronih strojeva, koja je objašnjena u prethodnom poglavlju. To podrazumijeva da se veličine zapišu u

dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu.

Na slici 6.3 je prikazana šema vektorskog upravljanja aktivnom i reaktivnom snagom DFIG-a.

U radu DFIG-a, glavno pravilo je da se mehanička snaga, koja se dobija sa turbine 𝑝𝑚𝑒ℎ,

pretvara u električnu snagu 𝑝𝑠, te se preko statora stroja prenosi u mrežu. Snaga vjetra ovisi od

brzine vjetra što dovodi do promjenljive brzine vrtnje rotora 𝑛𝑟. Iako je snaga koja dolazi sa strane turbine promjenljiva, napon koji se indukuje u statorskim napona mora da bude konstantne frekvencije i amplitude.

Na osnovu električne aktivne snage koja je potrebna da se preda u mrežu 𝑝𝑠, zadaje se

referentna aktivna snaga 𝑝𝑠∗. Prema tome, aktivna snaga na rotoru je posljedica referentne aktivne

snage definisane za različite brzine vjetra.

DFIG može raditi u nadsinronom režimu, kada rotor predaje aktivnu snagu u mrežu, u podsinhronom režimu, kada rotor uzima aktivnu snagu iz mreže i u sinhronom režimu kada nema razmjene aktivne snage na rotoru.


83

Slika 6.3: Šema upravljanja vjetroturbinom sa DFIG-om [21]

Detaljan matematski model za asinhrone strojeve koji vrijedi i za DFIG je već izveden u poglavlju 2. Prema tom modelu mogu se izračunati aktivna i rekativna snaga na strani statora ako se pomnože vektor napona statora sa konjugovano kompleksnom vrijednošću vektora struja statora. [20]

𝑝𝑠 = 𝑢1𝑑𝑖1𝑑 + 𝑢1𝑞𝑖1𝑞 (6.2-1)

𝑞𝑠 = 𝑢1𝑞𝑖1𝑑 − 𝑢1𝑑𝑖1𝑞 (6.2-2)

Aktivna snaga DFIG-a na rotoru se može izračunati na sličan način:

𝑝𝑟 = 𝑢2𝑑𝑖2𝑑 + 𝑢2𝑞𝑖2𝑞 (6.2-3)

Reaktivna snaga DFIG-a na rotoru je jednaka nuli.

Kako se vidi iz jednačine (6.2-3), snaga na rotoru zavisi od struja koje teku rotorskim namotima pa se upravljanje DFIG-a vrši regulacijom tih struja. Kao ulazne veličine koriste se stvarne i željene vrijednosti aktivne i reaktivne snage turbine, vektor rotorskih struja, vektor rotorskih magnetnih flukseva i ugaona brzina vrtnje rotora. Kao rezultat se dobija vektor rotorskih napona.


84

6.3 Simulacijski rezultati upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora

Za potrebe provjere teorije vektorskog upravljanja izmjeničnim strojevima prezentirane u

prethodnim poglavljima, urađen je model sistema dvostrano napajanog asinhronog generatora

(eng. DFIG). Osnova za izradu simulacijskog programa je bio model DFIG generatora iz biblioteke

power_pwm Matlab programa i matematski model asinhronog stroja za dinamička stanja izveden u

poglavlju 2.

Ulazni podaci za simulacijski program su bili poznati od (ranije izmjereni) parametri DFIG

generatora u laboratoriji za električne mašine i elektromotorne pogone Elektrotehničkog fakulteta

u Sarajevu (pogledati prilog C). Simulacijska šema modela DFIG generatora je prikazana na slici

6.4.

Slika 6.4: Simulacijski model dvostrano napajanog asinhronog generatora

U nastavku će biti objašnjen način funkcioniranja modela. Upravlja se ulaznim signalom napona

rotora. Kao zamjena za energetski pretvarač koriste se idealni simetrični izvori trofaznog napona,

čija se frekvencija podesi tako da se na statoru dobije napon frekvencije 50 𝐻𝑧. U uvodu ovog

poglavlja je rečeno da su frekvencije statorskih i rotorskih struja i napona direktno proporcionalne,

a koeficijent proporcionalnosti je klizanje pa je prema tome za brzinu rotora 𝑛𝑟 = 1200 𝑜/𝑚𝑖𝑛

potrebno unijeti frekvenciju rotorskog napona 𝑓2 = 10 𝐻𝑧. U bloku označenom plavom bojom

na slici 6.4 se unese brzina vrtnje rotora u 𝑜/𝑚𝑖𝑛.

Blok DFIG, označen žutom bojom na slici 6.4 u Simulinku je modelovan na način da ne može

raditi u praznom hodu, tj. mora imati priključen neki izvor ili potrošač i na rotorskoj i na statorskoj

strani pa je zbog toga priključen trofazni sinhroni potrošač na statorsku stranu, kojeg u stvarnosti

kada je vršeno mjerenje nije bilo. Kako bi se simulirao prazan hod, vrijednost tereta je postavljena

na 10 𝑘Ω po fazi.


85

Kada se izvrši simulacija, dobijene vrijednosti se šalju u Matlab Workspace, odakle se pomoću

Matlab skripte iscrtavaju grafici. Rezultati simulacije su prikazani u nastavku.

Slika 6.5: Rezultati simuliranih signala za 𝑈2𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 10 𝐻𝑧, 𝑛 = 1200𝑜

𝑚𝑖𝑛

Slika 6.6: Rezultati simuliranih signala za 𝑈2𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 20 𝐻𝑧, 𝑛 = 900𝑜

𝑚𝑖𝑛


86

Sa slika 6.5 i 6.6 se može uočiti promjena u amplitudi napona na statoru koja je postignuta

upravljanjem na rotorskoj strani. U slučaju sa slike 6.6 u odnosu na sliku 6.5 smanjena je brzina

vrtnje rotora, tj. mehanička snaga koja se uzima iz turbine, a na osnovu toga je regulisana frekvencija

napona rotora da bi frekvencija napona na statoru ostala očuvana. Kako bi ostao očuvan zakon

održanja energije došlo je i do sniženja jačine struje u namotima rotora. Sniženje jačine struje na

rotorskoj strani je uzrokovalo i sniženje amplitude napona na statorskoj strani.

6.4 Eksperimentalni rezultati upravljanja dvostrano napajanog asinhronog generatora

Verifikacija rezultata simulacije provedena je na eksperimentalnom modelu u laboratoriji za električne mašine i elektromotorne pogone Elektrotehničkog fakulteta u Sarajevu.

Eksperimentalni model je sastavljen od sljedeće opreme:

dvostrano napajani asinhroni generator – Siemens tip DM R 55n-4;

asinhroni motor – ELIN tip DD 802,

dva invertora – ABB tip ACS800-U1-0016-5,

akvizicijska kartica – Meilhaus Electronic tip RedLab 1608FS;

laptop;

računar;

dva strujna mjerna transformatora;

napojna jedinica – Techtron tip SP 430;

filteri,

regulacioni transformator – Metrel tip HTN 0702;

davač brzine vrtnje i momenta opterećenja – Kistler.

Model na kojem je vršeno upravljanje dat je na slici 6.7.

Slika 6.7: Laboratorijski model upravljanja DFIG-om


87

Simulacija brzine vrtnje vjetroturbine, odnosno mehaničke brzine na osovini generatora, realizovana je promjenom brzine vrtnje asinhronog motora koji je priključen na trofaznu mrežu preko U/f ABB invertora.

Za generisanje uzbudnog napona na rotoru korišten je drugi ABB invertor sa algoritmom za vektorsko upravljanje. Amplituda napona je podešavana regulacionim transformatorom, dok je izalznu frekvenciju napona generisao invertor pomoću odgovarajućeg komercijalnog softvera DriveWindow 2.20, zasnovanog na metodi širinsko-impulsne modulacije (eng. PWM).

Na statorskoj strani generatora, ostavljene su otvorene stezaljke pa je stroj radio u praznom hodu.

Izvršeno je mjrenje (snimanje) sljedećih veličina:

dva linijska naponska signala na rotoru;

dva fazna strujna signala na rotoru;

dva fazna naponska signala na statoru;

jedan signal elektromagnetnog momenta;

jedan signal brzine vrtnje rotora.

Za snimanje signala je korištena akvizicijska kartica RedLab čije je maksimalna frekvencija

uzorkovanja 𝑓𝑠 = 100 𝑘𝑆/𝑠. Kako je korišteno 8 kanala za snimanje, maksimalna frekvencija

uzorkovanja je 12,5 𝑘𝑆/𝑠 po kanalu.

Program za zapis vrijednosti snimanih veličina u tekstualnu datoteku napravljen je u programu LabView. Za prikaz i usporedbu snimljenih signala sa rezultatima simulacije kreirana je odgovarajuća skripta u programskom paketu Matlab. Signali u fazama u kojim nisu snimane veličine izračunate su na osnovu snimljenih rezultata s obzirom da se radi o simetričnom sistemu napona i struja.

U nastavku rada su prikazani snimljeni signali u stacionarnom stanju. Zbog bolje vidljivosti

izdvojeni su dijelovi signala u periodu od 0,5 𝑠.


88

Slika 6.8: Rezultati snimljenih signala za 𝑈𝑟𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 10 𝐻𝑧, 𝑛 = 1200 𝑜/𝑚𝑖𝑛

Slika 6.9: Rezultati snimljenih signala za 𝑈𝑟𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑉, 𝑓2 = 20 𝐻𝑧, 𝑛 = 900 𝑜/𝑚𝑖𝑛

Na slikama 6.8 i 6.9 su prikazani snimljeni signali laboratorijskog eksperimenta. Prvo što se može primijetiti jeste prisustvo šuma usljed nesavršenosti opreme, ali i ograničene frekvencije sempliranja akvizicijske kartice.

Također, moguće je upravljati izlaznom snagom, odnosno izlaznim naponom promjenom naponskog signala na rotoru putem ABB invertora. Frekvencija statorskog signala je očuvana regulisanjem frekvencije rotorskog signala. Do sniženja amplitude statorskog signala je došlo zbog


89

smanjenja ulazne snage sa strane turbine, odnosno smanjenja brzine vrtnje. Da bi se sačuvala i amplituda, bilo bi potrebno povisiti napon signala na rotoru.

Ukoliko se rezultati simulacije uporede sa eksperimentalnim, može se primijetiti da nema odstupanja u frekvenciji nijednog od posmatranih signala. Postoji malo odstupanje od amplituda koje je primjetno kod signala napona. Razlog tome je prisustvo šuma u eksperimentalnom mjerenju jer je napon na rotoru generisan širinsko-impulsnim modulatorom, a napon simulacije je generisan idealnim naponskim izvorom.


90

7. Zaključak

U radu su izvedeni i u vektorskom obliku zapisani matematički modeli izmjeničnih strojeva

(asinhronog i sinhronog stroja) u dvoosnom 𝑑𝑞 koordinatnom sistemu. Matematički modeli izmjeničnih strojeva zapisani u ovakvom obliku koriste se za vektorsko mikroprocesorsko upravljanje i regulaciju ovih strojeva. Na osnovu vektorski zapisanih matematičkih modela određuju se sve bitne veličine za vektorsko upravljanje i regulaciju izmjeničnih strojeva.

Prikazane su osnovne šeme i objašnjeni načini rada više različitih tipova energetskih pretvarača te davača pozicije i brzine vrtnje koji su, uz električni stroj, sastavni dio svih shema kojima se praktično realizira vektorsko mikroprocesorsko upravljanje i regulacija izmjeničnih strojeva.

Na osnovu teorije vektorskog upravljanja urađen je simulacijski model vektorski upravljanog dvostrano napajanog asinhronog generatora u programskom paketu Matlab/Simulink, a za potvrdu rezultata dobivenih simulacijom, napravljen je i eksperimentalni model u laboratoriji. Promjenom brzine vrtnje rotora, koja se ostvaruje promjenom brzine vrtnje pogonske vjetroturbine (simulira je asinhroni motor napajan iz U/f energetskog pretvarača) snimani su naponi i struje statora i rotora. Vektorskim upravljanjem naponom na rotoru ostvarena je konstantna frekvencija napona statora pri različitim brzinama vrtnje rotora. Nakon izvršenih snimanja i obrade signala mjerenja na eksperimentalnom modelu utvrđeno je da se rezultati mjerenja sa rezultatima simulacije slažu sa zadovoljavajućom tačnošću.

Za unaprijeđenje simulacijskog i eksperimentalnog modela obrađenog u ovom radu za nastavak istraživanja na ovoj temi bilo bi potrebno realizirati automatsku vektorsku regulaciju napona i struje rotora u kompletnom opsegu promjene brzine vrtnje rotora To bi doprinijelo bržem i preciznijem upravljanju koje bi rezultiralo osiguranjem napona na statoru konstantne frekvencije i amplitude.


91

8. Literatura

[1] Š. Mašić, S. Smaka, „Dinamika električnih strojeva“, Elektrotehnički fakultet Sarajevo, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2011.

[2] Š. Mašić, „Električni strojevi“, Elektrotehnički fakultet Sarajevo, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2006.

[3] N. Š. Behlilović, A. Šabanović, „Statički pretvarači – topologije i upravljanje“, Elektrotehnički fakultet Sarajevo, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2009.

[4] S. J. Chapman, „Electric machinery fundamentals: Fourth edition“, McGraw-Hill, New York, United States of America, 2005.

[5] Š. Mašić, S. Smaka, „Elektromotorni pogoni“, Elektrotehnički fakultet Sarajevo, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2011.

[6] M. Malinowski, M. P. Kazmierkowski, „Control of three-phase PWM rectifiers“, Warsaw University of Technology, Warsaw, Poland, 2007.

[7] Honeywell Inc., „Hall effect sensing and application“, Illinois, United States of America, 2004.

[8] Honeywell Inc., „How to select Hall-effect sensors for brushless dc motors“, Illinois, United States of America, 2012.

[9] M. Kapetanović, „Osnove mehatronike – Predavanje 9“, Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2012.

[10] J. Velagić, „Mehatronika – Predavanje 6“, Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, Sarajevo, Bosna i Hercegovina, 2013.

[11] __, „Mjerni pretvornici – prilog predavanjima“, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Zagreb, Hrvatska, 2005.

[12] __, „Davači impulsa“, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Zagreb, Hrvatska, 2015.

[13] N. Perić, „Digitalno mjerenje brzine vrtnje“, RO Elektrotehnički institut Rade Končar, Zagreb, Hrvatska, 1990.

[14] R. Krishnan, „Electric motor drives: modeling, analysis and control“, Prentice Hall, Sjedinjene Američke Države, 2001.

[15] L. Pavica, „Strukture upravljanja sinkronim motorom sa permanentim magnetima – diplomski rad br. 463“, Fakultet za elektrotehniku i računarstvo, Zagreb, Hrvatska, 2012.


92

[16] M. Bhardwaj, „Sensorless field oriented control of 3-phase induction motors using F2833x – user manual“, Texas Instruments, United States of America, 2013.

[17] S. Huseinbegović, „Primjena diskretnih kliznih režima u upravljanju vjetrogeneratorima sa statičkim pretvaračima – doktorska disertacija“, Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, 2015.

[18] J. Fletcher, J. Yang, „Introduction to doubly-fed induction generator for wind power applications“, University of Strathclyde, Glasgow, United Kingdom, 2012.

[19] Staff of Festo Didactic, „Principles of doubly-fed induction generators (DFIG)“, Festo Didactic, Quebec, Canada, 2011.

[20] J. Smajo, „Wind turbine system with doubly-fed induction generator and rotor power feedback control“, Faculty of Electrical Engineering Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Split, Split, Croatia, 2006.

[21] J. Smajo, M. Smajo, D. Vukadinovic, „Reference value choice of the wind turbine active power with doubly-fed induction generator“, Faculty of Electrical Engineering Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Split, Split, Croatia, 2005.


93

A. Transformacije koordinatnih sistema

Prostorni vektori [5]

U troosnom koordinatnom sistemu čije su osi 𝑥𝑦𝑧 međusobno razmaknute za 2𝜋/3 radijana može se definirati vektor:

𝑓 =2

3(𝑓𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑓𝑧) =

2

3(𝑓𝑥 + ��𝑓𝑦 + ��2𝑓𝑧) (A.0-1)

gdje su:

𝑓𝑥, 𝑓𝑦 𝑖 𝑓𝑧 realne ili vremenski promjenljive varijable,

�� = 𝑒𝑗2𝜋3 jedinični vektor ili operator zakreta za ugao

2𝜋

3 radijana,

�� = 𝑒𝑗4𝜋3 jedinični vektor ili operator zakreta za ugao

4𝜋

3 radijana.

Za vektor 𝑓 definiran relacijom (A.0-1) koristi se i naziv prostorni vektor (engl. space vector).

Transformacija troosnog u dvoosni koordinatni sistem [5]

Vektor 𝑓 se može zapisati i u dvoosnom 𝑝𝑞 koordinatnom sistemu sa osama 𝑝 i 𝑗𝑞:

𝑓 = 𝑓𝑝 + 𝑗𝑓𝑞 (A.0-2)

Za slučaj da je algebarski zbir varijabli 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 i 𝑓𝑧 jednak nuli:

𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = 𝑓𝑧 = 0 (A.0-3)

veze između varijabli 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 i 𝑓𝑧 u troosnom koordinatnom sistemu i komponenti 𝑓𝑝 i 𝑓𝑞 vektora 𝑓

u dvoosnom 𝑝𝑞 koordinatnom sistemu mogu se dobiti iz relacija (A.0-1), (A.0-2) i (A.0-3) i zapisati u matričnoj formi kao:

[

𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑧

] =

[

1 0

cos2𝜋

3sin

2𝜋

3

cos4𝜋

3sin

4𝜋

3 ]

[𝑓𝑝𝑓𝑞

] = [𝐶] [𝑓𝑝𝑓𝑞

] (A.0-4)

[𝑓𝑝𝑓𝑞

] =2

3[1 cos

2𝜋

3cos

4𝜋

3

0 sin2𝜋

3sin

4𝜋

3

] [


] =2

3[𝐶]𝑇 [


] (A.0-5)


94

Transformacija troosnog 𝑥𝑦𝑧 u dvoosni 𝑝𝑞 koordinatni sistem, pri čemu koordinatni sistemi

miruju ili rotiraju istom brzinom, poznata je kao Klarkova trasnformacija. Matrice [𝐶] i [𝐶]𝑇 (𝑇 u eksponentu označava transponovanu matricu) su tzv. Klarkove matrice transformacije. Ako je

vektor 𝑓 definiran relacijom (A.0-1), vrijednosti varijabli 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 i 𝑓𝑧 mogu se dobiti kao:

𝑓𝑥 = ℛ{𝑓} (A.0-6)

𝑓𝑦 = ℛ{��2𝑓} (A.0-7)

𝑓𝑧 = ℛ{��𝑓} (A.0-8)

Ako vrijedi relacija (A.0-3), a ose 𝑥 i 𝑝 se poklapaju, prostorni vektor 𝑓 u kordinatnim sistemima

𝑥𝑦𝑧 i 𝑝𝑞 prikazan je na slici A.1.

Slika A.1: Prostorni vektor 𝑓 u koordinatnim sistemima 𝑥𝑦𝑧 i 𝑝𝑞

Prostorni vektor u različitim dvoosnim koordinatnim sistemima [5]

Prostorni vektor 𝑓 može se zapisati u više različitih koordinatnih sistema koji miruju ili rotiraju različitim brzinama vrtnje.

Na slici A.2 prikazan je prostorni vektor 𝑓 u tri dvoosna koordinatna sistema. Dvoosni

koordinatni sistem 𝛼𝑠𝛽𝑠 miruje, dvoosni koordinatni sistem 𝑑𝑟𝑞𝑟 rotira ugaonom električnom

brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 , dok dvoosni koordinatni sistem 𝑑𝑘𝑞𝑘 rotira proizvoljnom električnom

ugaonom brzinom vrtnje 𝜔𝑘.

Prostorni vektor 𝑓 može biti zapisan u sva tri dvoosna koordinatna sistema:

𝑓𝑠 = 𝑓𝑒𝑗𝜃𝑠 (A.0-9)

𝑓𝑟 = 𝑓𝑒𝑗𝜃𝑟 (A.0-10)

𝑓𝑘 = 𝑓𝑒𝑗𝜃𝑘 (A.0-11)


95

Sa slike A.2 je vidljivo da vrijedi:

𝛾𝑟 = 𝜃𝑠 − 𝜃𝑟 (A.0-12)

𝛾𝑘 = 𝜃𝑠 − 𝜃𝑘 (A.0-13)

𝛾𝑘 − 𝛾𝑘 = 𝜃𝑟 − 𝜃𝑘 (A.0-14)

Slika A.2: Prostorni vektor 𝑓 u tri dvoosna koordinatna sistema

Iz relacija (A.0-7) – (A.0-12) slijede međusobni odnosi prostornih vektora zapisani u različitim dvoosnim koordinatnim sistemima:

𝑓𝑠 = 𝑓𝑟𝑒𝑗(𝜃𝑠−𝜃𝑟) = 𝑓𝑟𝑒𝑗𝛾𝑟 (A.0-15)

𝑓𝑠 = 𝑓𝑘𝑒𝑗(𝜃𝑠−𝜃𝑘) = 𝑓𝑘𝑒𝑗𝛾𝑘 (A.0-16)

𝑓𝑟 = 𝑓𝑘𝑒𝑗(𝜃𝑟−𝜃𝑘) = 𝑓𝑘𝑒𝑗(𝛾𝑘−𝛾𝑟) (A.0-17)

ili

𝑓𝑟 = 𝑓𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑟 (A.0-18)

𝑓𝑘 = 𝑓𝑠𝑒−𝑗𝛾𝑘 (A.0-19)

𝑓𝑘 = 𝑓𝑟𝑒−𝑗(𝛾𝑘−𝛾𝑟) (A.0-20)

Prostorni vektori se mogu zapisati i kao kompleksni brojevi i predstaviti odgovarajućim

komponentama. Naprimjer, veze među komponentama prostornih vektora 𝑓𝑠 i 𝑓𝑘 mogu se zapisati relacijama:

𝑓𝛼𝑠 = 𝑓𝑑

𝑘 cos 𝛾𝑘 − 𝑓𝑞𝑘 sin 𝛾𝑘 (A.0-21)


96

𝑓𝛽𝑠 = 𝑓𝑑

𝑘 sin 𝛾𝑘 + 𝑓𝑞𝑘 cos 𝛾𝑘 (A.0-22)

ili u matričnoj formi:

[𝑓𝛼

𝑠

𝑓𝛽𝑠] = [

cos 𝛾𝑘 −sin 𝛾𝑘

sin 𝛾𝑘 cos 𝛾𝑘] [

𝑓𝑑𝑘

𝑓𝑞𝑘] = [𝑃] [

𝑓𝑑𝑘

𝑓𝑞𝑘] (A.0-23)

Također vrijedi:

𝑓𝑑𝑘 = 𝑓𝛼

𝑠 cos 𝛾𝑘 + 𝑓𝛽𝑠 sin 𝛾𝑘 (A.0-24)

𝑓𝑞𝑘 = −𝑓𝛼

𝑠 sin 𝛾𝑘 + 𝑓𝛽𝑠 cos 𝛾𝑘 (A.0-25)

[𝑓𝑑

𝑘

𝑓𝑞𝑘] = [



𝑓𝛼𝑠

𝑓𝛽𝑠] = [𝑃]𝑇 [

𝑓𝛼𝑠

𝑓𝛽𝑠] (A.0-26)

Postupak kojim se prostorni vektor 𝑓 iz mirujućeg dvoosnog koordinatnog sistema

transformiše u dvoosni koordinatni sistem koji se vrti proizvoljnom ugaonom brzinom 𝜔𝑘 naziva

se Parkova transformacija, a matrice [𝑃] i [𝑃]𝑇 su tzv. Parkove matrice trasnformacije.

Korištenjem matrica [𝐶], [𝐶]𝑇, [𝑃] i [𝑃]𝑇 moguće je povezati komponente trofaznog

mirujućeg 𝑎𝑏𝑐 koordinatnog sistema i dvofaznog 𝑑𝑘𝑞𝑘 koordinatnog sistema koji rotira

proizvoljnom električnom ugaonom brzinom 𝜔𝑘:

[𝑓𝑑

𝑘

𝑓𝑞𝑘] = [𝑃]𝑇 [

𝑓𝛼𝑠

𝑓𝛽𝑠] =

2

3[𝑃]𝑇[𝐶]𝑇 [

𝑓𝑎𝑓𝑏𝑓𝑐

]

=2

3[



1 cos2𝜋

3cos

4𝜋

3

0 sin2𝜋

3sin

4𝜋

3

] [


]

=2

3[

cos 𝛾𝑘 cos (𝛾𝑘 −2𝜋

3) cos (𝛾𝑘 −

4𝜋

3)

− sin 𝛾𝑘 −sin (𝛾𝑘 −2𝜋

3) − sin (𝛾𝑘 −

4𝜋

3)

] [


]

(A.0-27)

ili :


97

[


] = [𝐶] [𝑓𝛼

𝑠

𝑓𝛽𝑠] = [𝐶][𝑃] [

𝑓𝑑𝑘

𝑓𝑞𝑘]

=

[

1 0

cos2𝜋

3sin

2𝜋

3

cos4𝜋

3sin

4𝜋

3 ]

[cos 𝛾𝑘 sin 𝛾𝑘


𝑓𝑑𝑘

𝑓𝑞𝑘]

=

[

cos 𝛾𝑘 −sin 𝛾𝑘

cos (𝛾𝑘 −2𝜋

3) − sin (𝛾𝑘 −

2𝜋

3)

cos (𝛾𝑘 −4𝜋

3) − sin (𝛾𝑘 −

4𝜋

3)]

[𝑓𝑑

𝑘

𝑓𝑞𝑘]

(A.0-28)

Kod razmatranja rada trofaznih električnih strojeva najčešće se koristi dvoosni 𝑑𝑞 koordinatni

sistem koji rotira električnom ugaonom brzinom vrtnje 𝜔1 (ugaona brzina vrtnje okretnog

magnetnog polja statora) i dvoosni 𝑑𝑞 koordinatni sistem koji rotira električnom ugaonom

brzinom vrtnje rotora 𝜔𝑟 .


98

B. Preračunavanje rotorskih veličina na statorsku stranu

Asinhroni stroj [5]

Za praktično rješavanje matematskog modela asinhronog stroja potrebno je izvršiti preračunavanje svih rotorskih veličina na stranu statora. Rotorske veličine preračunate na stranu statora označavaju se oznakom '.

Rotorske veličine se na statorsku stranu preračunavaju prema relacijama:

𝑢2′ =

𝑁1

𝑁2𝑢2 𝑖2

′ =𝑁2

𝑁1𝑖2 𝜓2

′ =𝑁1

𝑁2𝜓2 𝑅2

′ =𝑁1

2

𝑁22 𝑅2 𝐿2

′ =𝑁1

2

𝑁22 𝐿2 B.0-1

Naponske jednačine i jednačine ulančenih tokova (2.5-105) – (2.5-108) nakon preračunavanja su:

��1𝑘 = 𝑅1𝑖1

𝑘 +𝑑��1

𝑘


𝑘 (B.0-2)

��2′𝑘 = 𝑅2

′ 𝑖1′𝑘 +

𝑑��1′𝑘


′𝑘 (B.0-3)

��2𝑘 = 𝐿1𝑖1

𝑘 +𝑁1

𝑁2𝐿12𝑖2

′𝑘 = 𝐿1𝑖1𝑘 + 𝐿𝜇𝑖2

′𝑘 (B.0-4)

��2′𝑘 =

𝑁1

𝑁2𝐿12𝑖1

𝑘 + 𝐿2′ 𝑖2

′𝑘 = 𝐿𝜇𝑖1𝑘 + 𝐿2

′ 𝑖2′𝑘 (B.0-5)

gdje je:

𝐿𝜇 =𝑁1

𝑁2𝐿12 (B.0-6)

Induktivnosti u relacijama (B.0-4) i (B.0-5) mogu se, s obzirom na relaciju za preračunavanje induktivnosti (B.0-1) i relacije (2.5-78), zapisati u obliku:

𝐿𝜇 =𝑁1

𝑁2𝐿12 =

𝑁1

𝑁2

3

2𝑙12 =

𝑁1

𝑁2

3

2𝑁1𝑁2𝒫𝑔 =

3

2𝑁1

2𝒫𝑔 (B.0-7)

𝐿1 =3

2𝐿11 + 𝐿1𝜎 =

3

2𝑁1

2𝒫𝑔 + 𝐿1𝜎 = 𝐿𝜇 + 𝐿1𝜎 (B.0-8)

𝐿2′ =

𝑁12

𝑁22 (

3

2𝐿22 + 𝐿1𝜎) =

𝑁12

𝑁22 (

3

2𝑁2

2𝒫𝑔 + 𝐿2𝜎) = 𝐿𝜇 + 𝐿2𝜎′ (B.0-9)

gdje su:


99

𝐿𝜇 =3

2𝑁1

2𝒫𝑔 𝐿2𝜎′ =

𝑁12

𝑁22 𝐿2𝜎 (B.0-10)

Na temelju izvedenih relacija za indkutivnosti (C.0-7) – (C.0-9) jednačine za uančene tokove (C.0-4) i (C.0-5) konačno se zapisuju kao:

��1𝑘 = 𝐿1𝜎𝑖1

𝑘 + 𝐿𝜇(𝑖1𝑘 + 𝑖2

′𝑘) = 𝐿1𝜎𝑖1𝑘 + ��𝜇 (B.0-11)

��2′𝑘 = 𝐿2𝜎

′ 𝑖2′𝑘 + 𝐿𝜇(𝑖1

𝑘 + 𝑖2′𝑘) = 𝐿2𝜎

′ 𝑖2′𝑘 + ��𝜇 (B.0-12)

gdje je:

��𝜇 = 𝐿𝜇(𝑖1𝑘 + 𝑖2

′𝑘) (B.0-13)

Sinhroni stroj [5]

Kao i kod asinhronog stroja, rotorske veličine preračunavaju se na stranu statora. Vlastite

induktivnosti i međuinduktivnosti koje su predstavljene u jednoj osi (𝑑 ili 𝑞) nakon preračunavanja postaju međusobno jednake, što omogućuje da se sinhroni stroj predstavi pomoću nadomjesnih šema koje vrijede i u dinamičkim stanjima.

Relacije koje se koriste u postupku preračunavanja su:

𝑢𝑓′ =

𝑁1

𝑁𝑓𝑢𝑓 𝑢𝐷

′ =𝑁1

𝑁𝐷𝑢𝐷 𝑢𝑄

′ =𝑁1

𝑁𝑄𝑢𝑄 (B.0-14)

𝜓𝑓′ =

𝑁1

𝑁𝑓𝜓𝑓 𝜓𝐷

′ =𝑁1

𝑁𝐷𝜓𝐷 𝜓𝑄

′ =𝑁1

𝑁𝑄𝜓𝑄 (B.0-15)

𝑖𝑓′ =

2

3

𝑁𝑓

𝑁1𝑖𝑓 𝑖𝐷

′ =2

3

𝑁𝐷

𝑁1𝑖𝐷 𝑖𝑄

′ =2

3

𝑁𝑄

𝑁1𝑖𝑄 (B.0-16)

𝑅𝑓′ =

3

2(𝑁1

𝑁𝑓)

2

𝑅𝑓 𝑅𝐷′ =

3

2(𝑁1

𝑁𝐷)2

𝑅𝐷 𝑅𝑄′ =

3

2(𝑁1

𝑁𝑄)

2

𝑅𝑄 (B.0-17)

gdje je 𝑁1 broj zavoja jedne faze statorskog namota, a 𝑁𝑓 broj zavoja uzbudnog namota. Faktor

2/3 u relacijama za rotorske struje te faktori 𝑁𝐷 i 𝑁𝑄 (fiktivni brojevi zavoja prigušnih namota

rotora) uvedeni su za potrebe preračunavanja jer su rotorske struje sinhronog stroja zapisane prostorni vektorima kojinisu definirani na isti način kao prostorni vektor struje statora.


100

C. Nazivne vrijednosti dvostrano napajanog asinhronog generatora

Nazivni podaci DFIG su dati u tabeli C.1.

Tabela C.1: Nazivni podaci dvostrano napajanog asinhronog generatora korištenog u eksperimentu

Oznaka Fizička veličina Vrijednost

𝑃𝑛 Nazivna snaga stroja 4 𝑘𝑊

𝑛𝑛 Nazivna brzina vrtnje rotora 1470 [𝑜/𝑚𝑖𝑛]

𝑈Δ/𝑈𝑌 Nazivni napon trokut/zvijezda

220 𝑉/380 𝑉

𝐼Δ/𝐼𝑌 Nazivna jačina struje

trokut/zvijezda 15,2 𝐴/8,8 𝐴

𝑝 Broj pari polova 2

cos𝜑 Faktor snage stroja 0,83

𝐽 Moment inercije stroja 0,14 𝑘𝑔𝑚2

𝑅1 Otpornost statorskog

namotaja stroja 1,025 Ω

𝑅2′

Otpornost rotorskog namotaja stroja svedena na

statorsku stranu 1,78 Ω

𝑋1𝜎 Impedansa statorskog

namotaja stroja 2,817 Ω

𝑋2𝜎′

Impedansa rotorskog namotaja stroja svedena na

statorsku stranu 2,817 Ω

𝑋𝜇 Impedansa međudjelovanja

namotaja statora i rotora 36,77 Ω

𝑅𝐹𝑒 Otpor željeza 460 Ω

Documents

Završni rad Mirza Kupusović