I I

, r' I ,,!

" 'I',' ') j I' I, ,I"

. i? ,"

U N I V E R ZIT E TUB E 0 G R A DU

Dr inz. DANILO P. RASKOVIC profesor univerziteta

ZBIRKA ZADAT AKA IZ MEHANIKE

I ZA PRVI STE}JEN STUDIJA NA TEHNICKIM

FAKULTETIMA I V1SIM TEHNTCKIM SKOLAMA

ZAVOD ZA IZDA VANJE UDtBENIKA SOCJJALJSTICKE REPUBLIKE SRBTJE

BEOGRAD

Dr in!. DANILO P. RiASKOVIC, Z B IRK A Z A D A T A K A ! Z M B HAN I K B I " IzdnVll~: ZA VOD ZA IZDAVANJE UDZBENIKA SOCIJAUSTICKE REPUBLlKE SRBlJE, Beograd, ObiIieev venae 5{1 " Loktor: ZDENKA PLESA Tchnicki Ulednik: BORA JOVANOVIC" Korektori: VISESLAVA NIKOLIC, MrRJANA' LESKOVAC i NADE:tOA PLANOJEVIC ., Rukopis predat u l::tampu oktobra J965-. godine .. Stampanje z;a-vrscno maja J966. godinc .. Obim: 24112 stamparska tabaka . Tira!: 4_000 primeraka $ Format: 17x24 CIll.

$tampa1 BEOGRADSKI GRAFlCl

4

IlL DINAMlKA Stri:l.fiI.\

A) Dinamika m1terijalne tacke (zadaci 3,1. do 3.80) ................ .... ...... .... 305 B) Dinlmikl m lterija Inog sistema. M~inenti inercije i centrifugalni moment; (zadaci

3.81. do 3.100).................................................... . . . . . . . . .. 324 C) Dinamika krulog tela (zadaci 3.101. do .3.200) ................................ 331

ill deo - TABLICE Tablica I - Obrasci .................. . 367 Tablica n - Geometrijske i mehanieke Yelicine ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 379 Tablica III - TeZi~ta slika .................................................... 380 Tablica IV - Teiisla tela.......... ...................................... 381 Tablica V - M)menti inercije slika ................................. . Tablica VI - M:Jrnenti inercije tela ................................ Tablica VII - Stepeni, koreni, prirodni logaritmi, reciprccne vrednosl; prirodnih

brojeva, obim i povrsina kruga ....... . ................................ i'ablica VII! - Trigonomelrijske funkcije .................... . Tabli9a IX - a) Znacajne brojoe vredoosti ................................ ..

- b) Znaeajne brojne vrednost; ............... .

382 383

385 387 391 392

PREDGOVOR

Motto: "Exempla non minus idocunt. quam precaepta". Ntwton-Principia

fla zahtev studemta Alasinskog jakulteta u Beogradu prosirio sam i upotpunio prvobilnu malu lilograjisanu 'Zbirku zadataka iz mehanike. OJ'a zbirka obuhvata 600 zadataka iz slatike, killematike i dinamike, iz :[vake oblasti po 200 zadalaka, i u skladu je 'sa nastavnim programima iz mehallike Ila prvom slepenu naslave skoro na svim tehnickim jakuftelima i viSim tehnickim skolama. Oni su u skladu i sa mojim udtbenieima Mehanika I (slalikaj i Mehallika II (kinem2tika i dinlmika) za mafillske jakullete.

Zadaci su potpuno proradeni i obu1JI'ataju eeli kurs predvider nastavnim programom, pn'enstveno za masinske jaku/lele, da bi student; magli na Ol'im pri-merima da steknu iskustvo za reavanje i drugih slicl1ilJ zadataka iz, ove oblasti.

Ov; su zadaci vefinom: radeni na I'eibanjima sa swdenlima iii su bili ispitni zadaci iz mehanike na prvom slepenu naslql'e na masinskim jakuiletima u Beogrqdu' Novom Sadu, odnosno na MaSinskom odseku TehnickoK jakullela u Nisu.

12. XII 1964. godine Beograd

AUTOR I

ZADACI

" "

A) STATIKA U

1.1. Na dnu okna nalazi se radnik, tezine 80 kg, koji,.pomoctl. uzeta prebacenog preko nepom;cnog kotura, podize teret tdine 50 kg. Koliki je pritisak coveka na tIe okna? Kuliki llajveci teret moze da podignc covek'!

1.2. Remorker vuce u liniji ("bmzdi") tri slepa razlEtih veJ:c'na, Slepovi sU medusobno povezani uzadima Icoja mogu da izdrze zateznu silu jacine 300 kg. Vucna s'la propel era remorkera (F) iznosi 2400 kg. Krelanju remorkera i slepova protivi se olpor vode (otporna sila F,,), koji kod remor-kera i prvog sJepa iznosi 600 kg, kod drugog slepa 300 kg, a kod treceg siepa 200 kg. Sa koLko uZadi treba privezati prvi slep za remorker, drugi sJep za prvi i treci slep za drugi?

1.3. Napadne linije dveju suceljnih sila, velicina 10 kg i 6 kg, grade ugao 60. Kolika je velicina rezultante ov:h sila? Kolike ugJove grade napad-ne linije komponenti sa napadnom linijom rezultante? .

104. Koliki ugao grade napadne Iinije dveju suceljnih sila istih veLc:na ako njibova rezultanta ima istu velicinu kao j komponente?

~ ~ .

1.5. Silu F = F, treba razloziti na dve L komponentc, od kojih je prva jednaka rezultanti F; = 'it i sa njom gradi ugao c(. Odred: ti velicinu i polo-zaj druge komponente; F"

1.6. Velicine komponenata su 3 kg j 4 kg, a velicina rezultante tih suceljnih sila je 5 kg. Koji ugao grade napadne linije komponenata?

1.7. Silu F. jacine 200 kg, . raz!pziti u dYe komponente, ciji je zbir velicina 1 ~ 1 + 1 F21 = 450 kg, a napadna linija pive komponente gradi ugao G( = 30 sa napadnom linijom rezultante.

10

1.8. 'Silu F= F" jaeine 300 kg, treba razloz:ti na dye komponente, F, i Fz , f

12

u ravnote.zi. Pokazati da su tada zbirovi momenata svih sila za tri neka-Iinearne tacke, O(Oem; Oem),A(lem; 1 em) i B(2em; -lem), jednaki uuli.

1.23. Dul. straniea pravougaonika ABCDA, duzina AB = CD = b = 8 em,

BC = DA = h = 6 em, dejstvuju sile i; jacine ?kg; 4 kg; 3 kg i 1 kg, ciji su smerovi od A ka B, od B ka C, od C ka D i od D ka A. Redukovati sistem ovih sila na srediste 0 pravougaonika. Odrediti poloZaj redukeione

. rezultante i izracunati njen moment za leme A pravougaonika. 1.24. Ako su u prethodnom zadatku vclicine sila. i, i F3 po 8 kg, ~ -.

sila F2 i F4 Po 4 kg, a smerovi su ostali isti, odrediti na sta ce se svesti sistem siJa. Kolike moraju biti veliCine sila F,i 1. da bi. pravougaoriik bio u ravnotezi?

1.25. Duz straniea jednakokrakog trap~za A BCD , duzina paralelnih straniea AB=IOem, CD=4em i krakova BC~DA=5em, visine h=4em, dejstvuju sile koje su po intenzitetu jednake duzinama straniea, a smerovi

~ -+ -j. -> su AB, BC, CD iDA. Na sta se svodi ovaj ravan sistem sila.?

1.26. U temen:m1 T J (5em; 0) i T4 (0; -Scm) kruga, poluprecn:ka R~5em, dejstvuju sile FJ =X1 =300kg, F.=Y4 =-400kg, au temenima T2 (0; 5 em) i T3 (- Sem; 0) spregovi intenziteta 'illz = 600 kgem i l}T/3 = -- 100kgem. Redukovati sistem sila i spregova na srediste kruga 0 - koordinatni pocetak triedra Oxy.

J.27. Silu F(X=Okg; Y= -IOkg), koja dejstvuje u tacki N(4cm; 0), razloziti u trl komplanarna pravea u ravni Oxy koja prolaze kroz tacke N] (0 em; . 0), N z (6 em; 0) i NJ (S em; 0), a sa + Ox-osom grade uglove 45; 90 i 1200

1.28. Momenti sile Fza tri nekoliriearne tacke, A(2em; 2em), B(4em; 4 em) j C (3 em; - 1 em), jznose J 3 kgem, 15 kgem i 6 kgem. Odrediti jac:nu sile i polozaj njene napadne linije u odnosu na triedar Ox),.

yt CD

c

. Slika 1.29.

I.22~ Tanki homogeni disk, teZinetG =}6kg:' poluprecnika (!{.~ = 1 0 cm~bno je vezan sa tri stapa u tackama A (6 em; 8 em), ,,' B(-6em; -8cm)i C(6em; -Scm).,,': Pravei stapova pr:kazani Sil na' slici. Odred.ti sile u stapov:ma u ravnoteZnom polozaju d'ska. ~

1.30. Stap AB, duzine 2 m, opterecen je teretom F= 100 kg na kraju A. Stap je poduprt sa tri stapa, (1), (2) i (3), koji su zglobno

r

.)

vezani za stap i pod, Odrediti velie'ne i karakter' sila u st~povima u ravno-teZnom polozaju sistema.

13

1.31. Paralelne s:le Fl>' jacine A..-___ ... C ____ B{---'-__ ---+ 6 kg, - 3 kg, 2 kg i-I kg, grade sa + Ox-osom t:iedra Oxy ugao 300 i seku tu osu u tackama Ni (2 em; 3 em; 4 em i 5 em). Odrediti vel:Cnu i polozaj na-padne linije ovog s:stema parale1nih sJa.

Slika 1.30.

1.32. Kol"ka mora bili siJa F. u prethodnom 2adatku da bi se s:stem sila sveo na spreg'! Koliki je tada moment sprega?

KoLka mora b:ti sila ~ i njena koord'n~ta X4 u odnosu ha tr:edat Oxy da bi s'stem sla b:o u ravnotez.? Pokazati~da gu tada zb'rovi mome-r .' nata sistema sila za tri nekoLnearne tacke, 0 (~fO), A (I em; 0): i B (2 em; 2 em), jednaki nuli. _ i~ .

1.33. Poluga AB, te'line G, duz' ne AB = I, '!'zglobno je yezaria vertikalni zid, a za kraj B vezano je uze koje je1prebaceno p~~korm" tura C na zidu. 0 kraj uleta obesen je teret kzine F. Odreditrv~Ll:in~ tere a '. F, pod us'ovorn da poluga AB bude u ravnotemom polozaju horizontaina, ako je na njenom kraju B obesen teret tez.ne Gj2. RastojanJe tacaka A i C jednako je duz:ni poJuge (AC = AB= I).

'C

a

A

Slika 1.33. Slika 1.34.

1.34. Stap AB, duZine /, teiine G, zglobno je Vezan u A za pod, a za kraj B privezano je ute koje je ucvrSCeDO u tacki C zida. Odrediti otpor zgJoba i silu u Uletu ako su poznati uglovi ex i ~, koje stap uze grade sa +Ax-osom (podom).

14

1.35. 'Stap AB, tezine G, duzine I, opterecen je na kraju B teretom tezine G12. Za taj kraj vezano je uze koje je prebleeno preko maJog kotura C na zidu, gde; je AC = h = I. 0 kraj uteta obcsen je tere! F. KoJ ki ugao

16

1.43. Odredite odnose duzina krakova poluga deeimalne Quintenz-vage, pod uslovom da poloiaj tereta na platformi ne utiee na tacnost merenja vage.

B C 0 B x A . ~ ~

{>

D G

. I . D =jr",i:+f~ 5 H' v/, "

-0---- b -I /---

Slika 1.43. SJika 1.44.

1.44. Ventil sigurnosti parnog kotla vezan je polugom. BD za polugu OA, koja se moze obrtati oko zg!oba O. Precnik ventila iznosi IOcm. a pritisak pare u kotlu je IO atmosfera. Odrediti krak tega ldine G = 50 kg da bi se ventil sam Ol\'orio pri povecanom pritisku pare u kollu, zanema rujuci tdine poluga i ventiJa ako je hak Os= 5 em.

1.45. Ruena presa za sabijanje sena sastoji se iz sistema poluga i platforme. Na po:ugu OAB, duzine OA=!=lQOem, dejstvuje radnik silom F= 50 kg upravno na polugu koja moie da se obrce oko nepomicnog zg'o-ba O. Ova je poluga vezana zategom Be, duiine 50em, za zglob e, kojije dvema polugama, CD iCE, vezan za nepokretni [oslonac (D) i platformu prese (P). ~ U poJozaju prese, kada je zatega BC upravna na kraku OB. duzine .10 em, i polovi ugao

18

Slika 1.51.

kvadratna ploca, tdine 30 kg, oslanja se te-zid. Za terne B pioce vezano je uze 0 B, du-

line jednake duzini strane pioce (a) koje je drugim krajem, 0, vezano za isti vertikalni zid. U ravnoteznorn polozaju ploce odrediti silu u uzetu i nor~ malni otpor glatkog zida. i

].52.! Homogeni poJupr'sten, ldine G, oclnosa poluprecnika r/R = 0,5, zglobno je: vezan za zglob A. Za teme B vezano je uze koje je prebaceno preko malog kotura K, postavljenog na isloj horizontali kao i zglob A. 0 kraj uzeta 'obesen je tere! tezine F, koji odrZava ravnotezu poluprstenu. U ravnotezno/TI poloZaju odrediti velicinu tereta F ako je poznato da je ugao 0;=600 i AK=AB=2R. Koliki je otpor zgloba A? Koji ugao gradi napadna Iinija otpota zgloba A sa pravom KA (horizontalom)7

Slika 1.52. Slika 1.53.

1.53.: Homogeni stap AB, duiine II> teline G1 , zglobno je vezan u A i osianja se na drugi homogepi stap CD, duzine 12 , teZine G2 , koji je zglob-no vezan h' zglobu C na istoj visini kao i zglob A. Ovaj se stap naslanja

_?'

1 ,.. i I

II

I

19

na glatki obli osJonac E. U ravnoteZnom polozilju sistema stapovi grade sa vertikalama uglove 0; i ~. Odrediti otpore zglobova A i C, otpor oslonca Ei uzajamni pritisak stapova na mestu oslanjanja D, ako je poznato da je u ravnoteznom poJozaju AE=EC= C. OpStt; resenje.

Izracunati brojne vrednosti ako su podaci: 2/1 = Ii = 180 cm, G2 = 2 GJ = = 80 kg, ~= 20;= 60.

1.54. Stap AB, duzine 1, tezine G1 = 100 kg, osJanja se u tacki A na gJatki pod, a kr~jero B na stap CD, duzine 2/, tezine G2 = 2 G1 , koji ~oze da se obrce oko zgloba C, a u tacki D oslanja se na pod. Krajevi AiD slapova vezani su uzetom. U ravnoteZnom poiozaju sistema stapovi grade sa podom uglove C( = 45 i ~ = 60. Izracunati silu u uzetu, otpore glatkog poda,

otp~r zgloba C i uzajamni pritisak stapova.

Slil

20

c

o

c

A B

SJika 1.56. Slika 1.57.

1.57. Homogeni stap AB, duz.:ne t, tdine G= 6 kg, obeSen je 0 tac-ku 0 pomocu dva uzeta, OA i DB, iednakih dliZina (OA = DB = d, koja sa stapom grade jednake uglove, a = 30. 0 tacku D ~tapa, gde je iB-= ABj3, obesen je teret, (dine F. U kom odnosu inoraju stajati ,tdine stapa i tereta da bi stap grad:o u ravnoteznom poloz.aju sa horizontalom ugao 'I' = ]50? Za date odnose odrediti velic:ne sila u uzadima.

1.58. Dva homogcna stapa, AC i BD, od istog materijala i istog pop-recnog preseka, vezana su zglobno u A, B i C, gde su AC= BC= CD. Ovi stapovi nose disk, poluprecnika R, te;fne G = 12 kg, koji se u tackama D j i D2 oslanja na ~tapove, gde su CD j = CD2=AC/3. U ravnoteillom polozaju s:stema stap AC gradi sa pravom AB ugao a= 30. Odred:ti otpore zglobova A:" B i C ako je tezinastapa AC takode G kg.

D

Slika1.58. Stika 1.59.

1.59. Stap AB, duzine J, tezme G, zglobno je vezan u A, a drugirn krajem, B, oslanja se na stap CD, duzille 2/, tezine 3 G. Ovaj se stap osla-nja na nepokretni oslonae E, a kraj D priddava mu borizontalno liZe KiJ.

i. I

2.1

o kraj C stapa CD obesen je teret tezine F = G. Za p()znate odnose duzina AB=AE, DE= CD/) i dati uslov (da su j~dnaki ug'ovi koje grade stapovi AB i DC sa borizontalama) odrediti otpor zgloba A, otpor oslohea E, slu u uzetu KD i uzajamni prifsak stapova na mestu osJanjanja B.

Izracunati te velic:ne ako je G = 20 kg; a IX = 30. 1.W. Dve homogene kugle, tezina Gj , i= 1,2, poluprecni'ka R;, obe-

sene su pomocu dva uzeta, OA i DB; 0 tc:.cku O. Oba uzeta gtade ugao a. a) Ako je poznato da je OA + R j = OB + R2 = C j da u ravnoteznom po-

lozaju uze OA gradi sa horizontalom ugao

22

Slika 1.63.

B

1;63. Stap AB, dliZirie.l, teiine G=40kg, zglobno je vezan zglobom A za pod i osli).nja se u tacb C na glatki rub stoIa, gradeci .sa horizontalom ugao 0: = 60. 0 kraj B stapa AB obesena je kugla, poluprecnika R = V3//12, tdine 3 G, k;oja se oslanja na stap u tacki D, gde je BD = AC =1/4. U ravno-teznom poloz.aju sistema odrediti otpor. zgloba A, tacke osianjanja C i silu u uzetu OB kojim je vezana kugla.

1.64. Za horizontalnu konzolu AB, duzine 1= 2m, tezine G = 48 kg, zglobno je vezan stap BC, duzine 4//3, tdine 4 G/3, koji se oslanja u tacki D na glatki rub stoia, gde jeBD;"" 3 BCj4, i gradi sa horizontal om ugao 0: = 60. 0 kraj C stapa BC obesena je pomocu uzeta CO kugla, poluprecnika R=lj4, tdine G/4, koja se oslanja na stap. Uie gradi sa stapom CB ~o (3 = a/2 = 30.; Odrediti otpore .os\onaca sistema i silu u uzelu.

s

A

,Slika 1.64. Slika 1.65.

1.65. KugJa, te:line G = 20 kg, vezana je uzetom SO za vertikalni zid, a u tacki E ioslanja se na gredu AB, duZine I, tezine G. Uze SO i greda AB grade sa vertikalom SA uglove a i ~; (3=4a/3=600. Greda AB krajem B oslanja se TIa horizontalnu gredu CD, duzine I, tdine 'G, gde je CB= 1/4,

23

koja je u tacki D zglobno vezana za zid, au tacki M priddavana zategom . MN, pod uglom y=2a/3 prema gredi. Ako je MD=I/4 i AE=lj3, odrediti

otpore oslonaca greda, njihov uzajamni pritisak i silu u uietu. 1.66. Greda AB, tezine G = 40 kg, duzine 1=2 m, vezana je zglobom A

za pod. Za tacke B i C grede, gde je AC = CB, vezano je uze, dliZine L, prebaceno preko kotnra K, koji se nalazi iznad A na visini h = AK = I. U ravnotdnom polofuju sistema greda AB gradi sa vertikalorn AK ugao a = 60. Odrediti duzinu uieta L, pod uslovom da je sila u uzetu k = 2 (3 + (3)/3 puta manja od tezine grede G. Za taj slucaj izraeunati otpor zgloba A.

K

A

Slika 1.66. Slika 1.67.

'10 1.67. Stap AB, duzine 21, tezine 2 G, zglobno je', vezan u A za stap AC, duzine t, tdine G, koji je zglobno vezan u C. 0 kraj B prvog stapa obesen je teret tdine F = 2 G j vezano je uze BC, koje je drugim krajem \ privezano za zglob e. U ravnoteZnom polozaju sistema me je upravno na stap AC, a stap AB gradi sa horizontalom ugao

24

tezine G, Venn je jednim krajem za prsten 0 i oslanja se na kuglu. Koliki ug:l.O 'P gradi uze OS u ravnoteznom polozaju sistema sa verti kalom?

A Slika 1.69. Slika 1.70.

1.70. Dve jednake kugle, poluprecnika R, tezina po G, obeSenc su 0 taeku 0 pJIDOCU dva uzeta, OA i OB, jednakih duiina I, ut.:, = UA + AC, = = 1+ R = DC2 Na te kugle je postavljena treca kugb, istog poluprecnika R, ali tdine G3 U kom su odnosu uglovi 'P i

26

-+

1.81. :Prostorni sistem sila F t (0; 4 kg; 0), Fz (4 kg; 0; 0) i F} (0; 8 kg; 6 kg), :sa napadnim tackama Nt (2 em; 0; 0), Nz (0; 2 em; 0) i N3 (0; 0; 0), redukovati na koordinatni pocetak 0 ortogonalnog triedra Oxyz kao redukciOnu iaCku.

: Redukovati prostorni sistem sila F. (0; 2 kg; 0), ~ (0; 0; 6 kg), !

F} (3 kg; 0;,0), sa napadnim tackama N, (2 em; 0; 0), N2 (0; 2 em; 0) i N 3 (0; 0; 1 em), na koordinatni poeetak 0 triedra Oxyz kao redukcionu tacku.

c

:r:

i

B

Slika 1.83.

i.83. Du.z iviea AD i BC pravil-nog tetraedra ABCD, duzine a = 12 em,

dejstvuju sila ,F" jacine 6 kg, i sila ~, jacine 8 kg. Redukovati ove sile na teiiste 0 osnove ABC tetraedra. Ko-Jikl ugao grade napadna fnija gIav-nog vektora i nosac glavnog mo-menta ovih sila?

1.84. Pokazati da se prostorni sistem sila F; (4 kg; 3 kg; ~ 2 kg), F2 ( - 3 kg; 2kg; 4 kg), is ( - 2 kg; 1 kg; 3kg) i F4(lkg;-6kg;-5kg). koje dejstvuju u tackama Nt (I em; - 2 em; 1 cm), N2 (2 em; 3 em; 2 em), N3 (2em; -2 em; 3cm) i N4 (1 em; 0; 0), svodi na spreg. Koiiki je moment sprega7

1.85. Na krulo telo dejstvuju spregovi Sill] (6 kgm; - 2 kgrn; 3 kgm), ---). ---)0 ~ ~2 (12 kgm;;- 3 kgm;-4 kgm), ~J (0; 4 kgm; 3 kgrn) i \]]]4' intenziteta 14 kgm, ciji nosac gradi sa koordinatnim osama ti-iedra Oxyz ugiove ciji su kosinusi 6/7, 3/7 i 2/? Sioziti ove; spregove.

1.86. Paralelne ~ sile 1" jacine 7 kg, 3 kg, - 4 kg i 1 kg, r dejstvuju u tackama N1 (2m; 3m; 1m), N2 (lm; 3m; 6m), N3 (2m; 2m; 3m) i N4 (5 m; - I'm; 1 m). Napadne linije sila grade sa koordinatnim osama trie-dra Oxyz uglove Ciji su kosinusi 2/7, 6/7 i cos y>O. Redt!kovati ovaj pros-tomi sistem i sila na koordinatni pocetak 0 triedra Oxyz i pokazati da je vektor glavnog momenta upravan na glavni vektor sistema sila. rr.~'"

un. T ri sile jednakih intenziteta, F J = X, F2 = Y, F3 = Z, x = Y = Z = F, dejstvuju u napadnim tackama NJ (0; - 3 em; 0); N2 (0; 0;1 em) i N3 (2 cm; 0; 0). Pokaz~ti da je glavni moment ovog sistema sila upravan na glavni vektor. I

'f!"

27

1.88. Pokazati da se sile ~ (0; 0; 2 t), F2 (0; 0; I t), F) (0; 0; - 3 t) u napadnim tackama N, (3 m; 0; 0), N2 (0; 4 m; 0) i N3 (0; 0; 3 m) svode na spreg.

1.89. S]e FJ (0; 3 t; 0) i F2 (0; 0; 4 t) u nap3.dnim tackama Nd2 m; 0; 0) i N2 (0; 3 m; 0) i spreg, momenta 4 tm, . koji dejstvuje u ravni Ozx, redukovati na koordinatni pocetak 0 triedra Oxyz. Kolka je projekcija glav-nog rriomenta ovog siskma na pravae glavnog vektora?

1.90. Dati sistem sila . u napad-nim tackama Nt (4 m; 0; 0), N2 (0; 4 m; 0) i N3 (0; 0; 2 m) i sistem spregova redukovati na koordinatni 'pocetak {O triedra Oxyz. Vektorski predstaviti glav-ni vektor i glavni moment ovog sistema. Koliki ugao grade ova dva vektora?

1.91. Tri uieta Vezana 3U jednim krajevima za tacke A (Q; 0; 60 em), B(60em: 0; 0) i C(50cm; 90em; 20 em), a drugim krajevima u cvor P (20 em; 30 cm; 0). 0 cvor je obeSen teret tei; ne G = 78 kg. Odred; ti velicine sila u uietima.

y

Slika 1.90.

1.92. Stap OE, duiine 1= 80 em, CIJU tezinu zanemarujemo, vezan je zglobno u 0, a za tacke A (0; 20 em, 0) i C (0; 60 em; 0) vezane su zatege koje su pricvrscene u tackama B(30em; 0; 60em) i D(-30em; 0; 20em) zida. 0 kraj E stapa obesen je teret, tezine G= 120kg. Odrediti otpoLzglo-ba 0 isile u zategama u horizontalnom ravnoteznom poIoiaju stapa.

o

B

x

Slika 1.92. Slika 1.93.

1.93. Kruzna ploea, polupreenika 30 cm, tdine 30 kg, obesena je pomocu tri uzeta za plafon, Ufud su vezana za sam obod ploce, tako da

28

odgovarajuCi poluprecnici grade uglove a= 120, ~= 1500 i y=900 Odrediti s Ie u uiadima u hor:zontalnom ravnoteinom poiozaju pIoce.

1.94. Motorska radilica i2loiena j~ Iz dejstvu sila u cilindrima jednakih vcL-cina F. Odrediti o(pareoslonaea sfernog (A) i cilindrienog (B) Ieiista rad.lce.

SJika 1.94. S!ika 1.95.

1.95. PravougJ.oni poklop:le, tdine 10 kg, duzine stranica a =0 80 em, b=50cm, sa sfemim (A) i clindrienim leiistem (B), odriava u ravnoteinom polozaju, nagnutcm prema osnovi za ugao a =0 30, teret tezine F, koji je obeSen o konae prebacen preko kotura K i v, z:m Z:l poklt pic. Odred ti olpore OS-lonaca ako je AK = AD = b.

1.96. Pravougaonu ploc~cu, straniea a = 120 em, b = 60 em, sa sfernim (A) i cijindrienim ltiistem (B), odriava u ravnoteznom horizontaInom p'Jlozaju teret F, obeSen 0 me koje je preko kotura K (0; 0; 120 em) vczano za Ierne Cplo-

eice. Odred t1 teZ nu plociee zj ako je tezina tereta F = 9 kg.

KoLki Sil tad a otpori oslonaca?

x /~I ~'-LLU-'-"-'".uc..w..u.lll" x /

SJika 1.96. SJika 1.97.

].97. Homogena tanka ploca ABD, oblika jednakostranicnog trougla, straniee a, tezine G, oslanja se u tackama A, BiD na koordinatne ravni tried-

J.

29

ra Oxyz. Za teme A plocevezano je ule OA, dUline I. Odrediti sllu U ilzetu j olpore oslonaca u 'tackama oslanjanja A, BiD aka je OB'~ODi' i XA=Y".

1.98. Kocka, ivice a = 10 cm, sa sfernim JeZistem u pocetk~ 0 triedra Oxyz i cilindricnim u tacki A (a; 0; 0) na + Ox-osi, izlozena je dt:jstvu spre-gova intenzitcta' 60 kgcm u ravni Oxy, 80 kgcm u ravni Oyz i 140 kgcm u ravni Ozx. Izracunati otpore oslonaca zanemarujuci tezinu koch;, Koliki bi bili otpori ako bi se uzda u obzir i tdina G koeke? '

1.99. Tanka kvadratna plocica, iv~ce G, tezine G. poduprta je sa sest stapova vezan h zglobno Zl pJoCicu, ipod. Odred:ti velcine i kanikter s'la u stapovima ako oni pod uticajem dejstva s;!a ~ odriavaju ploCicu! \l horizon-talnom ravnoteZnom polozaju i ako je duzina slapova jednaka iVici pJocice.

F

Stika 1.99. Slika 1.l00.

1.100. Tanka trougaona ploe'ca, obl'ka jednako~.nicnog trbugla, stra-nice a,tezine G = 24 kg, poduprta je sa sest stapova' iglobno veZln:h ZJ. plo-cicu i pod. Pod uticajem tdine i sle F= G, plocica se nalazi u hofizontalnom ravnotdnom polozaju na v:sini h = a od poda. Ako su pozdate dUline OA'=A'A"=OD'=D'B=D'B"=a i ugao

30

debljine d, (ezine G, opterecena je i silama Fl i F2 jacine 2 G. Ploca je poduprta sa sest stapilVa koji su zglavkasto vezani za ploCu i pod i odrmvaju ploCu u horizontaJllom ravnoteZnom polo:fuju na visini h = 2a = 4 d iznad poda. Ako

-;- ---,,----- ---- ---j 'I ! 5' I ! / I

i Slika 1.102. !

jeb = 3 a, C = a odrediti veliCine i karakter sila u stapovima u ravnoteznom polo:fuju sistema.

c~---_

Slika 1.l03.

1.103. i Homogena kruzna ploca, poluprecnika R, tdine G, oslanja se u svom tez!stu (0) na siJjak i zauzima horizontalni poJozaj. Tri konea ve-zana su za tacku 0 place i 0 njihovim krajevima vise tereli tdina F] = 4 kg, F2 = 3 kg i F3 = 2 kg. Odrediti uglove koje obrazuju napadne jinije tereta u ravnoteznom: polozaju sistema.

I 1.104.: Duz iviea AC, BD, CD pravilnog tetraedra ABeD, ivice duzine

a = 60 em, d~jstvu ju Iri jednake sile F, jacine 12 kg. Redukavati ove sile na teziste (0) osnove i ABC tctracdra i odredi!i ugao koji grade glavni vektor i glavni mament ovqg sistema sila.

Slika 1.104.

.:t/ , S.'===~~~~

Slika 1.l05.

1.105.: Tanku pravougaanu pIoCu, straniea a=100cm, b=40em, tezine G = 12 kg, k~ja moze da se obrce oko sfernog (A) i eilindricnog lezista (B), odrz.ava u ravnoteznom horizontalnom polo:fuju kosnik DE, koji je u tacki E

31

zglavkasto vezan za zid, gde je BE = 30 em. Odrediti otpore osJonaca siln u kosniku n ravnoteznom poloz.ajn sistema.

1.106. Homogenu plocieu ABD, oblika jednakokrakog trougla, osno-viee AB = 80 em, visine h = 60 em, odrzava nagnntu pod nglom 60 prema horizontalnoj ravni Axy teret F obesen 0 me prebaceno preko malog kotura K (0; 0; 80 V3 em). Ako je tdina p\ociee G = 36 kg, odrediti velicinu tereta F i atpore sfernog (A) i eilindricnog lezista (B).

D

y

Slika 1.106. Slika 1.107.

1.107. Horizontalna tanka pravougaona pJoca OABD, iviea h = 60 em, tezine G = 30 kg, poduprta je sa dva stapa (l) i (2) zategom (3), a vezana je u A sfernim zglobom. 0 teme 0 placiee obesen je te-ret tdine G/2. Ako je poznato da je i zatega nagnuta prema ploci za ugao 0;=45, da je OK=3b/4 i da se plociea naJazi na visini H = b iznad pada, odre-diti silu u zatezi, sile u stapovima i ot-par sfemog Idista.

1.108. Tanka plocica ABD, oblika jednakokrakog trougla, osnovice AB= = a = 20 em, visine h = 3 a, tezine G = '= 96 kg, zglobno je vezana sa sest sta-pova, koji je odrz.avaju u horizontalnom ravnoteznom polozaju na visini H = 80 em ad poda. Stapovi su zglobno vezani za pod. 0 teme D plociee obeSen je teret tdine F, = 2 G/3, a u temenu A dejstvuje

zI i

Slika !.l08.

b= 80em, zategnuta

B'

32

sda F2 , intenziteta GI3 kg. Odrediti yeliCine i karakter sIla u stapoyima u ravnoteZnom poloZaJu sistema.

1.109. Tanka plociea ABCD, oblika jednakokrakog trapeza, paraleJnih stranica Xi5'= a = 2 boo 120 em, b~ jfc~ visine h = 180 cm, tdine G = 60 kg, zglo!;-no je poduprta sa sest stapoYa vezanih za pod tako da je u horizontalnom raYno-teZnom poloZaju, 0 sredinu manje paralelne stranice (P) c.beSen je teret F, tdine G, a u tacki A dejstvuje u ::melU + Ox-cse sila j~c:ne F13. Ako je AK = DK' = AB/3 i plocica se nalazi na visini H = 80 em od poda, odrediti sile u stapoyima.

D

Slika J.109,

b/Y p

7 D,.

Slika !.I 10,

1.110. Homogena tanka ploca ABD, oblika jednakostranicnog trougla, stranice a = 60 em, tezine G = 90 kg, poduprta je sa sest stapoya, koji je odr-

y/ /

iavaju u horizontalnom ravnotetnom poloiaju na Yisini H = 80 em iznad poda. Yeze stapova za plocu i pod su zglav-

;~I~lllllal'~~ kaste. PloCa je u svojoj ravni izlozena dejstvu sprega jacine ,9B = 900 kgem koji dejstvuje u pozi(vnom sllleru. p -.:;., Odrediti veliCine i karakter sila u ray noteinom poloiaju sistema,

G

Slika 1.111.

1.l1I. Sest stapova zglobno ve-zanih za pod i zid odriavaju tanku pravougaonu ploCu, iviea a = 80 cm, b=60cm, teline G=20kg, opterecenu Ii tacki P teretom tdine G, u horizon-

I I

;1'

I i

33

talnom ravnoteinom poloZaju na visini }J = 60 em. Ako su Yeze stapova za plocu zglaykaste, a poznato je da je 00' = h = 40 em, odrediti sHe u stapoyima.

1.112. Odrediti silu F kojom treba dejstvovati yertikalnJ na kraj ruciee CA transmisionog vratiia AB da biisto miroyalo. Pomoc~ bubnja. poluprecnika r = 10 em, tdine G/2, , gde je G tdina ciJindricnog vratila' AB, precnika i'12, podize se teret tdine 5 G pomocu uzeta narnotanog .na bubanj i prebacenog preko kotura K: Kaisnik, poluprecnika R = 2 r, tdine G15, nasaden je na yratilu u preseku E, gde je BE = 40 em. Sile u kdiseyima su horizontalne, jaCine FI = G i 2 Fl' Ak9 je duzina vratila AB = 2 m, /.jC = 50 cm, AD = 60em, gde je D tacka na bubnju sa koje se odmotaya uze, ia nagibni ugao uieta buboja prema horizootu je a: = 30n, odrediti otpore sfernog (A) i eilindricnog (B) lezista vratila u ravnoteznorn poloiaju sistema.

1.113. Teska homogena vrata, oblika pravougaonika, duzine b = 120 em, visine h = 60 em, te:line G = 300 kg, yezana Sil sferni~.4) i cilindricnim le-Zislem (B) za osoyinu. AB, oko koje se mogu obrtafi:"Yrata su izaokrenuta za, ugao a: = 600 od ravni Ozx i u tom poloiaju ih pridrzava teret iF" obesen o kraj uieta prebacenog preko kotura K(b; 0; b) i vezanog za tatku P Yfa-ta, gde je BP=DP.Pored teiine, vrata SU u naznacenom poloiaju izloiena i dejstvu horizontalne sile PI' jacine GI4 kg, koja dejstYuje u tacki 'H na polo-yiui ivice DE, uprayno na jyieu. U ravnoteinom poloiaju vrat~, odrediti velicinu tereta F2 i otpore oslonaea.

l.H4. Tanka kyadratna ploCa, IVlee a, tezine G, Yezana je cilindric:-nim (A) i sfernim lezistem (B) za osovinu AB, oko koje se moze o~ftati. Ploca je nagnuta pod uglom (I; = 60 prema Bxy-ravni i u tom polozaju i odrZava je' lize vezano za tacku A (a; 0; 0) i teiiste C ploce. Uze je proV1\ceno kroz prsten P, koji se nalazi na vertikali kroz B na rastojanju a V3 em iod horizon-

3 Zbirka zadataka iz roehanike ]

talnice Bxy.i U ravnoteznompoloZaju sistema odrediti silu u uzetu otpore oslonaca. ~pste resenje. Specijalno za podatke: a = 60 em, G = 20 kg.

Iz

o

(Slika 1.114. Slika U15.

1.115. Tere! feline F, obesen 0 uze prebaceno preko malog kotuni K(a; 0; 2 d) i vezano za Ierne D, odrlava p10cicu ABD,oblika jednakokrakog pravouglog'tTougla, kateta AB= AD = a, teZine 12 kg, U ravnoteZnom pololaju pod uglom (f. = 300 prema horizontalnoj ravni Axy. PloCa je vezana sfernim (A) j eilindricnim lezislem (B) za osovinu AB, oko koje se moze obrtali. U ravno-teznom poi?zaju sistema odrediti velicinu terela i otpore oslonaea.

Iz :

~ K. i . !.' ~ lu

o

I ! I

, Slika 1.116.

1.116. PolukruzllU pJoeicu, poJu-precni ka R = 20 em, tezine G = 20 kg, vezanu sfemim (A) i cilindricnim ldis-tern (B) za osovinu AB, oko koje se moze obrtati, odrlava u ravnoteznom pololaju, nagnutom Z'l ugao (f. = 600 prema horizontalnoj ravni Oxy, tere! tezine F, vezan za tlZe prebaceno prekb malog kotura K na Oz-osi, a na ras" tojanju R V3 em od pocetka 0 tricdra Oxyz. U ravnoteznom polozaju sistema odrediti velicinu tereta i otpore 0510-naca ako je AD=BD.

1.117. Za koliko ce se prorne-niti tdina tereta j otpori oslonaea u

prethodnom! zadatku ako se t:icka veSanja D uzeta nalazi na obimu pIoe.iee na .h

rastojanju ED = R "IT/3? 1.118.' Na sredini vratila AB, duzine 1 m, !dine 200 kg, koje je oslo-

njeno u A ha sferno i u B naeilindricno Jeziste, hasaden je kaisnik, polu-

, 1 precnilCa R = 10 em, (dine 20 kg, pre-ko koga je prebaceno uze kojim se,

pomocu kotura (K), odrzava ti ravnote-zi tere! tdine G3 =' 90 kg usled dejstva vertikalne pritisne sile F na kraj P fuciee AP kruto vezane za vratilo. Od-rediti velieinu sile F ~ko je duzina ruciee AP = r = 30 em i otpore sfemog i eilindricnog leZista vratila.

35

1.119; Horizontalnom silom F na P obodu locka vitIa odrlava se ravnotda teretu G koji se podize pomocu bubnja. Slika l.l 18. Za poznate duzine a, b, c, i poluprecnike r i R, odrediti silu F sfernog (A) i cifindricnog !ezista (B) vitIa; BO' = c.

otpore

z, i !

F

~ !f ~r>--_a __ :~"_~I_' ----J-Slika 1.119.

1.120. Izracunati sHu F i otpore oslonaca u prethodnom zadatku ako je vratilo duzine 120 em, feline 60 kg, bubanj duzine 60 em, tdine 40 kg,

{!} F,

Slika 1.121.

postavljen na sredini vratila, teret tezi-ne G = 300 kg udaljen je od oslonea A za 50 em, a tocak, poluprecnika R = = 5 r= 25 em, gdc jc r poluprecnik bub-nja, udaljen je 40 em od desnog osJon-ca B.

1.121. Horizontalno ceJicno tran-smisiono vrafiJo, speeificne (dine ma-terijala Ym= 7,85 kg/dm3, kruznog pre-. seka precnika d = 100 mm, nosi dva kaisnika, teiine G, = 30 kg j G2 = 50 kg; precnika 30 em i 40 em. Sile u delovi~ rna kaisa su velicina F; i F;' = 2 Fi i dejst-vuju u prvom kaisniku llorizontaino, a: u drugom koso, pod uglom ex = 3.00 prema vertikali. Vratilo je duzine J 00 em

36

i oslonjeno je na sferno (A) i 'eiiindricno leiiste (B), a kaisnici su udaljeni: prvi 30 em od levog, a drugi 20 em od desnog oslonca. Ako je sUa FI = 400 kg, u horizontalnom delu kaiSa prvog kaisnika, odrediti silu u kaim drugog kaisnika i otpore oslonaea u ravnoteZnom polozaju sistema, zanema-rujuCi tezine kaiseva.

1.122. Homogena pravougaona tanka ploCa ABDE, stranice b = 2 a = 80 em. tezine G = 100 kg, vezana je sfernim (A) i eilindricnim lezistem (B) za osovinu AB, oko koje se moze obrtati. PloCu u ravnoteZnom polozaju, nagnutom za ugao Cl = 300 prerna horizontalnici, Axy-ravni, oddava ter.et tdine F, vezan {) me prebaceno preko malog kotura K(a; 0; b/2) i drugim krajem vezano za teme I} ploce. Pored tdine, ploca je izlozena i dejstvu vetra F", cija rezul-tanta iznosi 2 G kg i dejstvuje u tezistu ploce pod uglom ~ = 300 prerna hori-zontalnici, Axy-ravni. Projekcija napadne linije rezultante dejstva vetra na ravan Ax;> usmerena je ka + Ay-osi i sa njom gradi ugao y"= 60. Odrediti velicinu tereta F i otpore oslonaea ploce u njenom naznacenom ravnoteznom poloZaju.

zl

F

Slika 1.122. Slika 1.123.

.

, , ,

/ /8

y

1.123. Plocu datog oblika, R=20cm, (dille G=lOkg, vezanu u A sfernim i B cilindricnim Iezistem za osovinu AB, oko koje se moze obrtati, odrhva u horizontalnom ravnoteZnom polozaju teret tdine F, vezan za uie prebaceno preko rnalog kotura K na osi Oz, na udaljenju OK = 4 R/3, a dru-gim krajem vezano' za tacku D na obimu ploce, AD= DB. Odrediti u ravno-tdnom poloZaju ploce velicinu tereta i otpore osIonaca.

1.124. U prethodnorn zadatku umesto tereta F postavljeno je me ve--""" r--- r--.

zano za tacke D' i D" obi!lla ploce, AD' =BD" ~ AB/3 i provuceno kroz prs-ten 1', koji se naIazi na mestu kolura K. Odrediti silu u uzetu i otpore oslonaca (lezista).

37

1.125. Trostrana prizma OABDEH, os nove pravougaonika, stranica a = 60 em, b= 80 ern, C = 30 ern, tezine G = 30 kg, poduprta je sa i\est stapova, koji su zglavkasto vezani za ploi'll i gIatki pod tako da plocu odrfuvaju u horizontalnom ravnotdnom poJo~ ia ju na visini H = a od poda. Odre-diti velicinu i karakter siJa u poje-dinim stapovima, u ravnoteznom po-IOZaju sistema.

E

Stika Ll25 . stika 1.12~.

1.126. Okrugli sto, po\uprecnika R,teZine G, poduprt je sa tri jed-naka stativa, ciji krajevi A, B i C obrazuju na glatkom podu jed.qakostranicni trougao, stranice a. 0 tacku P stoIa obesen je tefet te:line F,i tako dll: je projekcija poluprecnika OP na pod, prava O'P' upravna na stranicu AC t~ougla ABC. Teziste stoIa Co nalazi se na siubu stoIa. Odrediti pr~tisak svake Doge st;l.tiva na pod. Koji uslov mora biti ispunjen da bi doslo do prevr-tanja stoIa?

1.127. Odrediti velicine i karakter sUa u stap~ koji i su zglobno vezani za trougaonu ploCicu, oblika jednakostranicnog-tr~ugla, strani~~ a = 60 em, teZine 96 kg, i za pod, i odrZavaju plocieu u horizontalnorn ravnoteZnom polozaju na visini H = 40 em od poda. Ploca je, pored sopstvene: ldine, izlo-zena i dejstvu tereta tezine F = G, 0 besenog 0 me prebaceno pre~o kotura K i drugim krajem vezanim za tacku P ploce, gde je OP=PS=h/2. Kako je kotur (K) vertikalno iznad temena S ploce, uze je u ravni simetrije ploee i gradi sa plocorn ugao CI. = 30.

38

H

I,

.' K,

Slika 1.l27.

1.128. Odrediti sile u stapovima u prethodnom zadatku ako je teret F obesen 0 ~eme S ploce, a ploCa je jz-lozena i dejstvu sprcga, momenta spre-ga 108 V3 kgem, koji dejstvuje u rave ni ploce u direktnom smeru.

Slika 1.129.

Iz I I

A

1.129. Avionski motor, tezine G = 2 000 kg, poluprecnika R = 20 em, po-duprt je simetricno sa sest stapova, koji su zglobno vezlni u tackama (zglo-bovima): A(-120em; 80em; 70cm), B(-24cm; 20 em; 0), C(-lOOcm;

. 48em; -90em) i D(O; 0; -20em). Odre-

; Slika 1.130.

diti veliCine i karakter sila u pojedinim stapovima u ravnoteznom polozaju sistema.

1.130. Konzola ABC uklestena je na levom kraju (A), kod B savijena pod pra-vim uglom i na slobodnom kraju C optere~ cena silom F jacine 200 kg koja dejstvuje upravno na konzolu, a sa horizontal om gra-di ugao 0: = 45. Odrediti otpore ukleStenja konzole ako je duzina dc!a AB = 3 metra, a

- I dela BC = 2 metra.

q TEZISTA

a) Izvesti obrazac za odredivanje sredista (C) sistema vezanih parale1nih sila u ravni.

~

b) Odredifi polozaj sredista sistema parllielnih sila Fl Jacme 10 kg, 2 kg:, - 3 kg, -4 kg i 5 kg, koje grade ugao 600 sa + Ox-osom trie-

39

dra Oxy, a vezane su u naIJadnim tackama NI (2 em; 2 em), N2 (- 1 em; i em), N 3 (2em; -2em), N4 (3em; 2ero) i Ns (4em, -2em).

1.132. a) Raeuuski i. graficki odrediti koordinate tezista homogenog vJaka (poligona) ABDEFH.

b) Kolika je povrsina omotaca obrtnog tela koje postaje potpunim obrtanjem poligona ABDFH oko Oy-ose?

yl I I I

AI 8

E

D

tL.-.---~ __ ._L~ VLI-____ 4R . Slika 1.132. Slika 1.133.

1.133. a) Raeunski . odrediti polozaj tezista bomogenog poligona OABDEFHO.

.b) Racunski odrediti poloZaj tdista homogcne slike oivicene poligonom OABDEFHO.

1.134. Jz tacaka 0 i 01' kao sredista, opisani su kru-govi, poluprecuika R. Odrediti koordinate lezista srafirane po-vrsine u odnosu na triedar Ox),.

1.135. Jz tacaka 0 1 i O2 opisani su polukrugovi, pom-precnika R, a iz tacke 0 kva-drant kruga, poluprecnika 2 R. Odrediti polozaj tezista srafirane povrsine.

1.136. Iz sredista 0' opi-san je polukrug, poluprecnika R, a iz taCaka A (2 R; 0) i B ( - 2 R; 0) Iuei, poluprecnika 3 R. Odrediti poloiaj teZista slike omedene polukrugom i lucima.

0,

Slika 1.134.

B(-2R;O)

Slika 1.135.

fJ

A(2R;0!

SJika Ll36.

40

1.137. Kolika mora biti duzina straniee b pravougaonika cia hi :ie teziste slike poklopilo sa sredistem 0 polukruga?

., b

Slika 1.137. Slika 1.138.

1.138. Kolika mora biti vis ina trougla h da bi se teziste sJike poklo-pilo sa sredistem polukruga?

1.139. 1z pravougaonika ABDE, stranica b i 2h=b, treba isecijednako-kraki trougao ABC takve visine (x) da teziste preostale slike bude u ternenu C (rougla.

Slika 1.139. Slika 1.140.

1.140. }z jednakokrakog trapeza, straniea a = 2 b, b i visine h = b, ise-Cen je polukrug, poluprecnika R = bit, sa sredistem na sredini donje osnoviee. Odrediti po!ozaj tezista preostaJe slike.

1.141. Iz polukruga, poluprecnika R, isecen je eentricni krug, polupre-cnika r = Rj2. Odrediti polozaj teiista preostale slike. Kolika je zapremina tela koje postaje potpunim obrtanjem te slike oko horizontalnog precnika?

y

o

Slika 1.141.

2R

Slika 1.142.

:r

1.142. Odrediti koordinate tdista srafirane povrsine i zapreminu tela loje postaje njenim potpunim obrtanjem oko Ox-ose.

41

1.143. Izracunati zapreminu tela koje postaje potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko Oy-ose.

1.144. Odrediti zapreminu tela koje postaje potpunim obrtanjem srafirane povr-sine oko Ox-ose.

!X

Slika 1.143. Slika 1.144.

1.145. a) Odrediti koordinaietezista srafirane povrsine ~ odnosu Ua ose Ox i Oy triedra Oxy.

II) U kome su odnosu zapremine tela dobijenih potpunim obr-tanjem srafirane povrsine oko koordinatnih osa triedra Oxy?

.r o o 0,

Stika 1.145. Slika 1.146.

1.146. a) Odrediti koordinate tensta srafimne poydine. b) U korn Sil odnosu za-

prernine tela koja se dobijaju. potpunim obrtanjem srafirane povrSine oko koor-dinatnih osa Ox i Oy triedra Oxy?

1.147. U kom su odnosu zapre-mine tela koja se dobijaju potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko koor-dinatnih osa triedra Oxy?

1.148. Izracunati zapreminu tela koje postaje potpunirn obrtanjem ilrafi-ranepovrsine oko Oy-oseako je R= 3 em.

y

Slib U41. ;Slika 1.148. I

42

1.14~. Kolika je zapremina rezcrvoara, poprecnog preseka ABDEH, aka su af40cm, b=180cm, R=30cm?

la

1.150: a) Odrediti kaordinate tezista homogenog poligona OABDEH aka je R=4cml

, b) Kolika je povrsina omotaeatela koje se dobije poipunim obrtanjem iog poligona oko OH-ose?

i c) Odrediti koordinate tezistaslike omedenc pbJigonom OABDEHO. d) Kolika je zapremina tela' koje postaje potpunim obrtanjem

srafirane slike oko ose OH?

1.151.' Iz valjka, poluprecnika R, duzine 6 R, isecena je na jednoj osnovi pohllopta, po)uprecnika R, a na drugoj osnovi konus, poluprecnika Dsnove R i: vi sine 2 R. Odrediti polozaj tezista tela.

'x

Slika 1.151. Slika 1.152.

1.152. Izkonusa, poluprecnika osnove R, visine 4 R, isecena jc poJulopta sa centrom u sredistu osnove' konusa, poluprecnika R. Odrediti polozaj tezista tela.

o

jZ Slika 1.154.

1.153. Odrediti ko-ordinate tezista tela koje se sastoji iz polulopte i konusa.

1.154. Iz bomogene po1uJopte, poluprecnika R; isccene su dye polulopte,

~"

43

poluprecnika r = R/2. Odrediti polomj tezista tako dobijenog tela ako Je R= 8 em.

1.155. Kolika mora biti Vlsma H kruinog konusa da bi teziste tela bilo u sredistu 0 polulopte, poluprecnika R?

. __ --'i_+ I

Slika 1.155. o

Slika 1.156.

1.156. Iz homogene polukugle, poluprecnika R, isecen je kruzni konus, isle osnove. Kolika mora biti visina konusa (y) da bi teziste preostaiog tela

bjl~ u vrhu C konusa?

1.157. Iz polulopte, poluprecnika R, isecena je eentricna lopta, polu-precnika R/2. Odrediti polozaj preuslalog tela.

1.158. Pravilni tetraedar, ivit;e u, presecen je na polovini visine rnVlll paralelnoj osnovi. Odrediti polozaj tezista zarubljenog tetraedra.

1.159. a).Odrediti polomj teiista srafirane povrsine. b) Kolika je zapremina tela koje postaje potpunim obrtanjem

te povrsine oko Ox-ose? c) Odrediti polozaj tezisla tela dobijenog oortanjem srafirane

povrsine oko Ox-ose.

SIika 1.159. Slika 1.160.

1.160. a) Odrediti kODrdinate tezista srafirane povrsine. b) Odrediti po!ozaj teiista tela koje postaje potpunim obrta-

njem srafirane povrsine oko Ox-(Oz) ose.

44

D) TRENJE

}'161. Telo teZine G nalazi se na brapavoj strmoj ravni, nagibnog ugla CA, koeficijenta statickog trenja 1-'-0' Na telo dejstvuje i sila F, koja sa strmom ravni gradi ugao ~. Odrediti veliCiou ove sile u ravnoteinom polo-iaju tela.

1.162. Stap AB, duzine I, (dine G, oslanja se krajem Ana hrapavi pod, koeficijenta trenja !J.D' Drugi kraj B priddava teret F, obesen 0 uie prebaceno preko kotura (K) j vezano za kraj B stapa. Kolika mora bili maksimalna velicina tereta Fda bistap AB u ravnoteznom poloz.aju sistema gradio sa podom ugao CA1 Izraeuna(i veliCinu tereta ako je koeficijent trenja 1-'-0 = 0,2 i ugao CA = 300; G = 100 kg.

Slika 1.162. Slika 1.163.

1.163. Homogeni stap AD, duzine J, tdine G, oslanja se krajem A na hrapavi horizontalni pod, koeficijenta trenja 0,4, a krajem B na vertikalni zid, koeiicijenta trenja 0,5. Odrediti ugao

46

I ,T, --~.-'-

I i

G,

Slika 1.169.

T,

1.]69. Transmisionim ureaa-jcm odrzava se ravnotcZa (creta Gl i G2 , cije su veJicine u odnosu I : 10. Koliki je koeficijent trenja izmeau uzeta j transmisionih tockova?

1.170. Kocni kotur sa trakom naJazi se u stanju mirovanja pod uticajem obimne sile F, jaCine 100 kg, i otpora trenja koji stvara kocni teg, (dine G, obesen 0 tacku A koCione

poluge. Kolika je tdina kocnog tega ako je obvojni ugao trake na kotum fl= 31tj2, ha,k po'uge b'=a!4 i koeficijent trenja 11-0=0,31

a

K G

Slika 1.170.

E) GRAFOST A TIKA

iii . ~.acunski i graLicki odrediti otpore oslonaca A i B grede sa

prepustima ABCD,' optcrecenef!eznaccnim teretima, F = j t, Fq = 4[, gde je Fq totalno pravougaono opterecenj~ na delovima AE i HD raspona. Nacrtati staticke dijagrame (napadnog mgmenta, transvcrzalnc i aksijalnc sile).

C~c

b) Napisati analiticke izraze za transverzalnu silu (Fr) i moment savijanja (napadni moment, Mf ) u preseku p 1- p, u funkcijiod z (udaljenja tog preseka od os 10n-

3~F p rr-2F F? Cf===~:J1!jJ I illnlLn!jJ' J D t B z I 2F ", IF

2 2 ---l--- 2 2 2--1

2F

ca A). Slika U7l. I I

c) Izracunati transverzalnu silu i moment savijanja u presekn p-p ako je on udaljen ,za z = 3 ill od osloTIca A.

1.172. a) RaclJnski i graficki odrediti otpore oslonaca A i B glavnog nosaca ACBDE i oslonaca C i D sekundarnog nosaca CDK, opterecenih naznacenim teretima, F = 3 t. Nacrtati staticke dijagrame.

! j

I !

i

\-

b} Napisati analiticke izraze za transverzalnu silu i moment sa-vijanja (napadni moment) u prese-. ku p - p, u funkciji od njegovog rastojanja Z od oslonca C.

c) Izrai.'unati brojne vrednosti transverzalne sile i momenta savijanja u preseku p - p ako je z = 3 m.

F

Slika 1.In

47

F

1.173. a) Racunski odrediti otpore oslonaca A i B gJavnog ncisai.'a EAHCDKBPS, opterecenog naznacenim teretima, F= 1 t, q= I tjm; q, = 4 tIm.

~ I q, f!d!'!,ggg~F~H C D r~C3-J

Slika 1.173.

b) Sluzeci Se definicijom momenta savijanja, transverzalne aksijalne sile, n?_crtati staticke dijagrame nosaca.

c) Koliki je najveci moment savijanja glavnog nosaca? 1.174. a) Racunski odrediti otpore oslonaca A i B nosaea CABP sa

prepustima, opterecenog naznacenim teretima, ako je F=2 t, q= Iljm. b) SJuzeCi se definicijama statickih velicina,

nacrtali u preseku staticke dijagrame nosaca. c) Napisati analiticke izraze za transverzalnu

silu i moment savijanja u preseku p-p, u funkciji od njegovog rastojanja Z od oslonca B. Izracunati te vrednosti ako je Z= 1 m.

d) Analiticki odrediti presek grede u kome je moment savijanja najveCi.

2F

A L //.

Slika 1.175.

1.175. Savijena konzola ABCD opterecena je naznacenim teretima, F= I t. q = 0,5 tfm. Duzine ddova konzole su AB= 1= 3 m, BC= CD = /f3. Odrediti komponentne otpore uklestenja A kOllZoJe i nacrtati staLke dijagrame[.

48

1.176. a) Stap AB, duiine 1=2 m, teline G = 40 kg, zglobno je vezan krajem A za glatki zid. On se oslanja na isti takav stap CED, koji je na sredini svoje duzine zglobno vezan u E za isti zid, na rastojanju AE = Ill. o kraj D ovog stapa obesen je teret (ezine F = 2 G. Odrediti u ravnote!nom polozaju sistema ugao q> koji osa stapa AB gradi sa vertikalom.

A

SJika 1.176.

b) Nacrtati staticke dijagrame za svaki stap.

Slika 1.177.

1.177. a) Homogeni stap AB, dUline l= 3 m, tezine G = 60 kg, oslanja se krajem A na gJatki pod, a krajem B na glatku strrnu ravan DC, nagbnog ugla a = 30. Za kraj B stapa vezano je ule koje je prebaeeno preko kotma K. o kraj uzeta obesen je teret, tezine F. Deo uzeta CB paraleJan je strrnoj ravni. Odrediti tdinu tereta i otpore poda i strme ravni.

b) Nacrtati staticke dijagrame stapa AB. 1.178. Luena konzola ABC, R = 2 rn, opterecena je naznacenim tere-

tima, F= 500 kg. Nacrtati dijagram napadnog momenta konzole. U kom je preseku najveci moment savijanja?

B C

I 0 F Q,

50

1.183, a) Racunski odrediti otpore oslonaca Gerberovog nosaca ako je F=2.t q~ I tim i nacrtali staticke dijagrame.

Slika 1.183.

b) preseku p~p, udaljenom za Z= I mod zgloba Gl' izracunati brojne vrednosti transverzalne sile napadnog momenta.

1.184. a) Racunski graficki odrediti otpore oslonaca Gerberovog nosaca ABC ako je F= I t, r = 2 F, 2 q = J tim, qQ = 2 tfm.

F F q

c) U, za z = 2 m od oslonca C, izracunati transverzalnu silu i napadni 'm,~rr>pnt

1.185.1 a) Racunski i graficki odrediti otpore osJonaca Gerberovog nosaca ABC;D nacrtati staticke dijagrame, F = 2 t, q= 2 tim.

,

t I G, 2-1-2

Slika 1.185.

b) Izracunati brojne vrednosti transverzalne sile napadnog momenta u preseku p ~ p, na udaljenju z = 2 m od oslonca B.

I 1.186.' a) Racunski i graficki odrediti otpore oslonaca okvira ABCD

ako je 1=4.m, F=lt, Fq =2F. b) Na7rtati staticke dijagrame okvira. c) U '~preseku p ~ p, na udaljenju z = I m od rastojanja C, iZracunati

brojne vrednosti transverzalne sile i napadnog momenta.

Slika 1.186.

I '2

F

D~~~=J;~~~

Stika 1.187.

51

1.187. a) Racunski odrediti otpore oslonaca okvira i nacrtati staticke dijagrame, F= 1 t, q= 1 tim.

b) AnaJiticki odrediti poJozaj preseka p~ p polja CD u kome je najveci napadni moment i izracuiJati njegovu brojnu vrednost.

1.188. a) Racunski i graficki odrediti otpore oslonaca okvira, F= 2 t, q= 1 tfm.

b) Koristeci se definicijama statickiJi veliCina upreseku grede, nacrtati staticke dijagrame okvira.

c) Napisati analiticke izraze za transverzalnu siJu i napadni moment u preseku p-p, u funkciji od udaljenja z, i izracunati Ie vrednosti ako je Z= 3 m.

2 2 2 2 A

Slika U88 .. SJika 1.189.

1.189. a) Racunom odiediti otpore oslonaca Gerberovog okvira i nacrtati staticke dijagrame ako je F = 2 t, q = 2 tim; AB = 7 m.

b) Napisati analiticke izraze za transverzalnu silu i napadni moment u preseku p - p, u funkciji od njegovog udaljenja Z od zgloba G.

c) .Izracunati transverzalnu silu i napadni moment u preseku p~ p ako je z=2m.

1.190. a) Racunski odrediti otpore oslonaca Gerberovog okvira j nacrtati staticke dijagrame, F= I t, q = I tim.

4'

52

b) Analiticki odrediti polozaj opasnog preseka p-p izracunati najveci moment savijanja okvira.

2 2-2 A l'i:i r.

SJika 1.190. Slika 1.191.

1.191. Racunski odrediti otpore oslonaca i sile u stapovima resetkastog Dosaca ako je veliCina opterecenja F= 3 t.

1.192. a) Racunski i graficki odrediti otpore oslonaca Teiletkastog nosaca ako je opterecen teretima F = 1 1.

SJika 1.192.

b) Nacrtati Kremonin plan sila.

F

e) Po Kulmanu i Riteru odrediti velicine i karakter sila u stapovima naznacenih preseka K - K, odnosno R - R.

Slika 1.193.

1.193. a) Racunom i gra-ficki odrediti otpore oslonaca re-setkastog nosaca sa zategom ako je jacina sile F~ 1 t, a ugao je 0: ~ 45.

b) Nacrtati Kremonin plan sila.

c) Po Kulmanovoj metodi odrediti sile u stapovima preseka K-K, a po Riterovoj metodi-sile u stapovima preseka R - R.

1.194. Racunski pokazati i Kre-moninimplanom sila potvrditi i graficki da je sila u stapu (10) resetkastog no-saca jednaka nuli ako je F = 1 t.

F

~/1r ~aj JF

Slika 1.194.

53

Slika 1.195.

1.195. a) Racunski i graficki odrediti otpore oslonaca resetkastog nosaea. Sila F je jacine 2 1.

SJika 1.196.

b) Nacrtati Kremonin plan sila. c) Po Kulm~novoj i Riterovoj metodi

odrediti velicine i J; karakter sila u, stapovima naznacenih preseka~K - K, od~lOsno R - R.

t;,

1.196. Nacrtiti Kremonin pl~n sUa - za dati potporni resefusti nosac Jojij je izlozell dejstvu horizontaJn\h sila, jaCin' , 6 t.

!~~> ' -n-

SJika 1.197.

1.197. a) Racunski i graficki Gerberovog nosaea. SiJa iznosi F = 2 1.

b) Nacrtati Kremonin plan sila.

odrediti otpole oslonaca resetkastog

1.198. a) Racunski, i grafic!d odrediti otpore oS!Oill\ca Gerberovog resetkastog nosaca.

_ b) Nacrtati Kremonj~ pian sila. c) Po KuJmanoYoj i Riteroyoj

metodi odrediti sile u stapovima na wai:;enih preseka K-K i 'R-R.

54

1.199 .. Nacrtati Kremonin plan sila resetkastog Gerberovog nosaea i po Kulmanovoj i Riterovoj metodi proveriti Ie vrednosti u stapovima nazua-cenih preseka K - K i R - R.

otpore oslonaca Gerberovog resetkastog

G

2 . 2 Slika 1.200.

b) Nacrtati Kremonin plan sila. c) Pq Kulmanovoj j Riterovoj metodi odrediti sile u stapovima u pre-

secima K-:K i R-R.

. \

II. KINEM ATIKA

A) KRETANJE TACKE

2.1. Tacka se krece pravolinijski po zakonu puta 5=21+4/2, gde je 5 mereno u metrima, a 1 U sekundima. Odrediti zakonc promene brzine i ubrzanja u zavisnosti od vremena (I). Koliki su brzina i ubrzanje u trenutku 1 = 1 sec? Kolika je srednja brzina tacke u vremenskom razmaku na pocetku petog i kraju sestog sekunda? Kolike su brzine u tim trenucima?

2.'2. Tacka se krece pravolinijski po zakonu s= 2 + 4 { - {2. Odrediti pocetnu brzinll krctanja. Kada ce se tacka zallstaviti? Koliki je lada presla put?

2.3. Tacka se krece pravolinijski po zakonll 5 = {3 - 3 (2 + JOt + I, gde je put meren u metrima, a vreme II sekllndima. Odrediti pocetnll i najmanju brzinll pokrctne tacke. Izracllnati sve kinematicke velicine II trenutkll 1 = 3 sec.

2.4. Pokazati da je kretanje tacke u ravni Oxy, koje se vrsi prema zakonima kretanja x=4-2(2, y=312/2 (s u metrima, (u sekundima), pravo-linijsko. Odrediti brzinu i llbrzanje ovog kretanja. Izracllnati predeni put,

brZin;r;t;:a~~:n: ::::~~:uAI ~:e~:c. II 6 h putnicki voz koji se krece sred-njom '5?zinom 36 km/h. Pol a cas a kasnije krene iz iste stan ice, u istom smeru, brzi voz koji se krece prosecnom brzinom 15 rri!sec. Kada ce brzi voz stici putnicki i na kojoj razdaljini od polazne stanke A ako se vozovi ne zallstav-ljaju na llsplltnim medllstanicama?

2.6. Tacka se krece pravolinijski, jednako ubrzano, llbrzanjem 4 m/sec2 , polazeci iz stanja mirovanja, bez pocetne brzine. lz istog poJozaja krene za njom druga tacka 2 sekunda docnije, ali pocetnom brzinom 10m/sec i krece se takode jednako ubrzano, istim ulJrzanjem kao i prva. Kada -ce druga tacka stici prvu i na kome udaljenju od pocetnog polozaja?

/)( ___ - 2.7. 17: tacaka A i B, koje se nala7>e na rastojanjll 100 m, jednovremeno krenu dye tacke u istom pravcu (AB) i smeru. Prva tack a krene pocctnam

56

brzioom 15 m/sec i !Creee se jednako ubrzaoo, ubrzanjem 1 m/sec2 Druga tacka hene dva puta vecom pocetnom brzinom od prve, ali se krece jednako uspo-reno, usporenjem jednakim ubrzanju prve tacke. Posle koliko ce vremena prva

tack~/ .stic~\drugu i na kome udaljenju od polaznog mesta (B) druge tacke? 2.8. Tri tacke CA, B, C) krenu iz istog polozaja i keeeu se u istom

prav(;u i.sfueru. Druga tacka krene iz pocetnog poloZaja (0) 10 sekundi doc-nije od prve, ali pocetnom brzinom 35 m/sec i krece se jednoliko. Prva tacka (A) krecese jednako usporeno, usporenjem 4 m/sec2, ali dvostrukom pocetnom brzinom od one koju ima druga tacka. Treca tacka (C) krene 5 sekundi doc-nije od druge (B), ali istom pocetnom brzinom kao ta tacka, pa se dalje krece jednako ubrzano, ubrzanjem koje je jednako usporenju prve tacke. Posle,koliko ce vremena biti prva tacka (A) toliko udaljena od druge (B) koliko ova od irece tacke (C)? Koliko je to udaljeuje?

2.9. Tacka se krece u ravni Oxy i u poeetku kretanja (10 = 0) bila je 11 pocetnom polozaju No (1,5 cm; 2 Cni). Ona je imala pocetn:u brzinu vo' cije projekcije na koordinatne ose Ox i Oy triedra O~y iznose 3 cm/sec i 4 cm/sec. Tacka se dalje krece tako da su joj pozuate projekcije vektora ubrzanja na koordinatne ose, 3 cm/sed i 4 cm/sed. Pokazati da je ovo kretanjetacke pravolinijsko. lzracunati predeni put, brzinu i ubrzanje u trenutku t = 2 sec od poeelka kretanja.

2.10. Tach se krece pravolinijski po Ox-osi ubrzanjem a = x = - 4 x. Odrediti zakon kretanja pokretne tacke ako su pocetni uslovi' kretanja: za 10=0 pocetni polozaj je xo=4cm, a pocetna brzina vQ=xo=6cm/sec.

2.11. TaCka se krece pravolinijski po Ox-osi ubrzanjem a= 10 t cm/sed. U trenutku t = 2 sec od pocetka kretanja brzina iznpsi 25 cm/sec, a u trenutku t = 3 sec tacka se nalazi na udaljenju 80 em pd koordinatnog poeetka O. Odre-diti zakon kretanja i zavisnost promene brzine od vremena (r).

2.12. Teret koji je obesen 0 uze vrlli harmonijsko oscilovanje po zakonu x=Acos (Ult+37t/4), gde jeA mereno u centimetrima, a Ul u sec-I. Poznato je da je period oscilovanja T = 0,5 sec i da je u poeetku kretanja to = 0 tacka bila u polozaju Zo= - 6 VI cm. Odrediti amplitudu i frekvencije oscilovanja. tao i broj oscilacija u sekundu.

2.13. Voz se krece bizinom 72 km/h. Pre ulaska u stanicu masinovoda je poceo da koei voz i postigao je usporenje 0,5 m/sec2 Na kojoj razdaljini od stanice mora masinovoda poeeti da koci voz da bise zaustavio u staniei? Za koje vreme voz prede taj put?

2.14. Tacka se krene pocetnom brzinom 6 m/sec i posle 2 sec postigne brzinu 10 cm/sec. Odrediti ubrzanje i zakon ovog pravolinijskog kretanja ako je pocetni predeni put iznosio 20 m.

2.15. Napu5tajuci stanicu voz se krece jednako ubrzano, ubrzanjem 1}9 m/sec2, dok ne postigne brzinu od 72 km/h, a zatim se krece jednoliko

57

tom postignutom brzinom. Pred narednom stanicom, koja je od pi)lazue uda-Ijena 14 Jun, masinovoda je poceo da koci voz i liSp eo je da pastigrte usporenje od 1m/sec'. Odrediti kolike puteve prede voz i u kojim vremenskim razma-cirna u sva tri kretanja i kada se zaustavlja u stanici. Kaliko je vremena trajalo koeenje voza? Kolika je ~rednja (prose6J.a) brzina voza na ovoj debnici pruger

2.16. Tach se krece u prostoru odredenom. triedrom Oxyz, a po zakoni-rna X= 6+ 2 I; y= 6+ 3 t; Z= 3 + 6 t. Odrediti putanju, zakon puta, promenll brzine u zavisnosti od vremena i promenu ubrzanja.

2.17. Sloziti harmonijska kolineatna oscilovanja koja se vr~e po zake-Rima xl=3cos (7tt+TC/3) i x2 =4 sin (TCt-27t/3).

2.18. Sloziti harmonijska oscilovanja koja se vrse po zakonima XI = =12cos (2t+7t/4), x2 =9cos (2t+37t/4). Kolika je amplituda rezultujuceg oscilovanja? Koliko je pomeranje faze? Koliko traje period oscilovania?

2.19. Kretanja tacke u ravni Oxy predstavljeno je zakonima kretan.ia X= 10 cos2 7t t/2, y= 10 sin2 TC 1/2. Odrediti putanju tacke, zakon puta, brzinu :i ubrzanje. Ako je tacka u poCetku kretanja bila u polozaju na Ox-bsi, za koje-ce vreme preti 1l po]ozaj na Oy-osi? .

2.20. Radionicka dizalica (granik) krece se u podufuom pravClf po zakonu. X= 2 r, gde je x mereno u metrima, a vreme u sekundim'l. "M3.cka" dizalice krece se u popreclom pravcu na radionicu po zakonu y= 3 t, dok se teret podize uvis jednoliko, brzinom 1 m/sec: U pocetnom pOiozaju ten~t je bio na podu (Oxy-ravan), a Oz-osa je usmerena navi~e. Odrediti putanju i brzinu. kretanja tdista tereta. IF.

*,\. 2.21. Tacka se krece u ravni Oxy taka chW:joj

po zakonirna x = 5 cos 2 t, Y = 5 si n 2 t. Odrediti brzine, hodograf brzine, komponentna i ukupno tibrzanje. abide celu putanju?

2.22. Tacka A krece se po krugll, polupreenika R, obirnnom brzinom: 0,3 m/sec. Druga tacka, B, kreee se na koncentricnom krugu, obimn:om brzinom. lQcm/sec,ali tako da je uvek 'na istom po!uprecniku OA na rastojanju od tacke A za AB = 16 cm. Koliki je poluprecnik kruzne putanje tackf A?

2.23. Kolike su ugaonc brzine obrtanja sekundne, minutne :i satne ka-zaljke casovnika? Kolika je ugaona brzina jednolikog Zemljinog obrtanja1

2.24. U toll! dva sekunda broj obrtaja tacke koja se krecb pokruiu. polupreenika R = 10 cm, popeo se od 30o/min na 90o/min. K6liki je put. prdJa tacka u tom vremenskom razrnaku? KoJiki su u tom trenlltku brzina i ubi:zanje pokretne tacke? ;

2.25. Iz tade A horizontalnog precnika kruga, polupreenika R = 9 em . jednovremeno krenu dYe tacke u suprotnom smeru, aJi istim pocetnlm brzinaJruL Vo, kojima odgovara minutni broj obrtaja 10 o/min. Prva tach beee se jed-

58

nako ubrzano, a druga jednako usporcno, ali jednakim tangencijalnim ubrzanjima TC cmfsec2 . :rosie koga ce se vremena, .od pocetka kretanja, tacke sresti j na kome mesiu kruine putanje? . ~,: Tacka se kreee po krugu poluprecnika R = 10 cm. U polozaju

N (x ~.n; y> 0) na putanji projekcije vcktora brzine i vektora ubrzanja na + Ox--osu iznosr v" = - 40 em/sec, ax = - 150 em/sec2 Odrediti brzinu i ubrzanje pokretne t~cke. Koji obJik ima hodograf brzine?

" .1 '.Kre,tanje u ravniOxy dato je ovim jednacinama: x=2+ScosSt, t;~L;lodredjti put~ijU tacke, hodograf brzine, brzinu i ubrzanje. .1';Iacka s~ krece llli ravni Oxy tako da se njene Dekartove koordi-

nate menjajuf'p~;'zakonima x~; 10 cos2 /, Y = 5 sin 2 t. Odrediti putanju pokretne tacke. Kahw oblik ima hodci~raf brzine? Koliko je tOlalno ubrzanje pokretne t~k~ 1

2.29. Kretanje tacke~!prikazano je zakonima kretanja x = 8 cos 21, Y = 4 sin t. Qdrediti putanju pokretne tacke i hodograf brzine. Izracunati brzinu i ubrzanje ~okretne tacke u poJozaju N(x=4em; y>O) na putanji. Koliki je poluprecni~ krivine putanje na tome meslu?

2.30. i Zakoni kretanja tacke u pravcima osa Dekartovog triedra Oxy jesu x=4e\.ls2t, y=2sin2t. Odrediti putanju i hodograf brzine. U polozaju pokretne t~cke u tacki N (x'= 2 em; y> 0) putanje izracunali brzinu, kompo-nentna prirodna ubrzanja, tolaino ubrzanje i poluprecnik krivine. Kolike su brzine pokietne tacke u temenima putanje (preSeC!m1 linije putanje sa koor--dinatnim oyama)? Za koje vreme obide pokretna tacka celu putanju?

2.31. ! Kretanje je prikazano sistemom jcdnacina x = - x, y = - 4 y. U pocetnom polozaju No (xu = 0; Yo = 4 em) tacka je imala pocetnu brzinu 2 cm/sec paraleinu + Ox-osi. Izracunati brzinu, ubrzanje, radijalno i cirkularno ubrzanje u onom po]ozaju tacke na putanji gde putanja sece +Ox-osu. Koliki je po-luprecnik krivine putanje na tome mestu?

2.32. ! TackaM, krece se po krugu poluprecnika R = 9 em, jednoliko, brzinom J 8 ~m/sec,.u direktnom smeru, polazeci iz pocetnog poloZaja No (9 cm; 0). lednovremeno krene iz poloZaja A na krugu dTUga tackaM2 i krece se po precniku A1, nagnutom za ugao 45" prema + Ox-os!.c jednako ubrzano, ubrza-njem J cm/sec2 Koja ce tacka pre stib u poloiaj A konjugovan prvom po-lo.zaju A? :

I 2.33. ' Tacka se kreee u prostoru tako da se njene Dekartove koordinate

u odnosu; nn tri(dar 0 xyz menjaju sa Vf{ me nom po zakonima x = 2 (2, y=3t', z=\912. Odrediti putanju, brzinu iubrzanje ovog kretanja.

2.34. : Tacka se kl'eee prema zakonima komponentnih kretanja x = , ------

= 4 cos 3 I, 'y = 4 sin 3 t,. z =9 t. Odrediti putanju, hodograf brzine, brzinu i ubrzanje oveg kretanja.

59

. @ Tacka se krece po krugu, poluprecnika 25 em, pocetnom obimnom brzinom 5 em/sec, tako da su uvek tangencijalno i normal no ubrzanjc jednakih velicina. Odrediti zakone promene brzine i ubrzanja.

2.36. Tacka (A) kreee se po krugu, poJuprecnika R, jednako ubrzano, bez pocetne brzinc iz pocetnog poloZaja N, (R; 0). lednovremeno krene iz N z ( - R; 0) druga tacka (B), koja se krece po tetivi koja gradi pozitivni ugao IX. = + 30 sa horizontalnim precnikom N2 N, , jednako ubrzano, bez pocetne brzine. U korn odnosu moraju bili ubrzanja pokretnih tacaka da bi se sudarile na krugu?

2.37. Tacka (A) kreee se u ravni Oxy po krivoj putanji preTIla zako-nima kretanja x = 4 cos 2 I, Y = 2 sin t i u pocetku kretanja bila jc na + Ox-osi i imala je pocelnu brzinu velicine 2 cm/sec, upravnu na toj osi, a u smeru + Oy-ose. Iz laCke 0 krece se druga tacka (B) pravolinijski i jednoliko, tako da obe tacke jednovremeno stignu u tacku M(x=2cm; y>O) na putanji prve tacke. Odrediti brzinu kretanja druge pokretne tacke (B).

2.38. Tacka se krece po eentralnoj elipsi, poluosa 6 em i 2 em, iz po-cetnog poloiajil No (6 em; 0) tako da pri jednolikom kretanju obide putanju za 8 sekundi. lednovremeno krene iz sredista 0 elipse druga tacka j kreee se po potegu OM, gde je M (3 em; y>O) tacka na elipsi. Obe tacke st:gnu jed-novremeno u poloiaj M. Odrediti ubrzanje druge pokretne tacke.

2.39. Tacka se krece po cikloidi, ciji se gencratorski hug, poluprec-nika R= IOem, obree jednoliko, bez klizanja, sa 30/min. Druga tacka krece se jednoliko po potegu OE, gde je E teme cikloide, i stigne u Ierne cikloide jednovremeno sa prvom tackom. Koja tilcka ima vecu brzinu u lemenu eikloide?

2.40. Tac):a se krece po paraboli cija je jednacina'y2=4x U odnosu na triedar Oxy. Odrediti Dekartove koordinate vektora bnine pokrelne tacke ako se ona po putanji krece jednoliko (konstantnom velicinom vektora brzine). Odrediti i poluprecnik krivine putanje.

2.41. Poz.nati 5U 'zakoni promene Dekartovih koordinata vektora ubrza-nja krivolinijskog kretanja jedne pokretne tacke x = - 4 x, ji = - 4 y. U po-cetku kretanja tacka jebila u pocetnom polozaju No (2 em; 0) i imala je pocetnu brzinu 4 cm/see upravnu na + Ox-osi, a u smeru + Oy-ose. Pokazati da je tangenta na hodograf brzine upravna na brzini pokretne tacke ako je pol hodografa brzine koordinatni pocetak (0) putanje pokretne tacke.

2.42. Tacka se kreee u ravni Oxy po zakonu x = 2 cos 2 I, Y = 4 sin I. Odrediti hodograf brzine pokretne tacke.

2.43. Tacka se krece u ravni Oxy tako da su joj poznata komponentna ubrzanja x= 0, Y = - 6 cm/see2. U pocetkn kretanja (to = 0) tacka je bila u poJoZaju No (0; 10 em) na putanji i iroala je pocetnu hrzinu "0 (XO = 2 em/sec; 0). Odrediti hodograf brzine pokretne tacke

60

2.44. Tacka se krece po eikloidi, ciji generatorski' kru!(ima poluprec~ nik R = 10 em, i koji se pri kotrljanju bez klizanjap~ pravoj obrces~ 6o/min. Odrediti hodograf brzine pokretne tacke. U kom poIozaju na putanjl tacka ima najveeu brzinu i koliko ona iznosi?

2.45. Tacka se kreee u prostOfU, pa je njen polozaju odnosu na po-cetak 0 triedra Oxyz odreden jednacinama X= 3 cos t, Y = 3 sin t, Z = 4 t. Odre-diti putanju pokretne tacke i hodograf brzine. Kolike su prirodne koordinate vektora ubrzanja? Koliki je polupreenik krivine putanje?

2.46. Tacka se krece u ravni Oxy, ali je kretanje prikazano polarnim koordinatama r;= 4 t, rp = 2 t. Odrediti brzinu i ubrzanje pokretne tacke.

2.47. Kretanje je odredeno sistemom jednacina f=cI 2, q:>=wt, gde su c= 8 em/sec2, W= 2 Eec l Odrediti putanju tacke j izracunati brzinu i ubrzanje tacke u onom polozaju u kome putanja prvi put sece + Oy-osu. Kolike su prirodne koordinate vektora ubrzanja u tom polozaju? Koliki je poluprecnik krivine pUianje na tom mestu?

2.48. Krivolinijsko kretanje tacke prikazano je jednacinama X= 2 (e2t + + e- 21), y = 2 (el t - e-21). Odrediti liniju putanje i hodograf brzine, kao i ubrzanje u funkciji od pot ega r = OM.

2.49. Kretanje je prikazano sistemom jednacina r= 4 t, q:>= 2/t = 21- 1 Odrediti putanju tacke .. lzracunatibrzinu i ubrzanje pokretne tacke u tre-nutku t = 2 sec. Koliki je poluprecnik krivine putanje u (oj tacki?

2.50. Kretanje je prikazano sistemom jednacina r= e2',q:>= 2 I. Odre-diti putanju, brzinu i ubrzanje pokretne tacke.

2.51. Tacka se krece po lemniskati cija je poJama jednacina r2 = = ceos 2

62

2.62. ,Dijagram (s, I) jednog kretanja Irna prikazani oblik, - a razmere-put u, = 2 mil em, a za vreme 11, = I seefl em. Poluprecnik kruga, U trenutku 1=2 see odredi Ii sve kine mat iCke velicine ovog

I 'Iv 0

~ 0)

Slika 2.62. SJika 2.63.

2.63. i Dijagrami (v, t) kretanja dveju tacaka prikazani su slikom, gde je poJuprec~ik R = 5 em, a koefieijenti razmera su: za brzinu 11, = 2 msee-1J I cm" a za vreme: u, = I seefl em, Odrediti zakone kretanja tacaka.

2.64. : Voz, po]azeei iz stanice, krece se jed/lako ubrzano, ubrzanjein 25 cm/see2 , dok ne postigne brzinu voznje 90 km/h, a (ada se kreee jedno-liko tom pqstignutom brzinom. P,ed stanieorn, koja je udaljena od polazne staniee 10 k:m, voz poCinje da se koCi, te postigne usporenje od 50 em/sec2 i zaustavi s;e u staniei. Kretanje prikazati kinematickim dijagramirna u iz-vesnim pogodnim razmerama.

2.65. ! Poznat je zakon promene ubrzanja u funkeiji od brZine a = 2 (v jednog pravpJinijskog kretanja. U trenutku t = 2 sec predeni put jZnosi 64/3 rn, a brzina je jv= 16 m/see. Naertati kinematicke dijagramei u trenutku t=4sec' izracunati sve kinematicke velicine.

2.66. Zakon promene ubrzanja jedne tacke je a=12t-20. Poznato je da je u po~etnorn trenutku t= 0 put s = - 10m, a da u trenutku t = 5 sec put iznosi r- 10m. Konstruisati kinematicke dijagrame ovog pravolinijskog kretanja'.

2.67 . Zakon promene brzine od vremena je v = 312 + 2 t + I, gde je v mereno urn/sec, a vreme u sekundirna. Nacrtati kinematicke dijagrame ako je poznato da je u pocet:som trenutku (10=0) poeetni predeni put so=4 m. Izracunati sye kinem;iicke veliCine u trenutku t = 3 sec.

2.68. i Konsiruisatikinematicke dijagrame kretanja ako je poznat zakon promene br~in1 v=4eos(1t1/4)[ a pocetni predeni put jednak je nuli. V

I 2.69. i Zakon prornene ubrzanja u funkeiji brz:ne je a= -kv= -2v, gde je a rnbreno u m/sec2, v u m/sec, a k usee-I. Konstruisati dijagrarn pula i brziIje ako je pocctna brzina 1'0= 4 mjsec, a pocemi put jednak je iluli'

2.70. 1z i~te tacke .jednovremeno krenu dva tela. Prvo se krece jednako ubrzaIlo, bez pocetne brzme, u~rzanjern 4m/sec2 ; drugo telo se krece jed-nako ~sporeno, pocetnom brZlllom 20 m/sec, ali sa usporenjem jednakim ubrzanJu pr~~g tela. ?raficki predstaviti kretanja i odrediti vreme kada ce prvo telo ~lCI drugo 1 na korn udaljenju od polaznog polozaja.

B) OBRTANJE KRUTOG TELA. TRANSMISIONI PRENOSNICI

2.71. Disk,. precn.ika 1.00 em, obrce se jednoliko oko svoje geometrijske ose: Tacka n~ ob.lrnu dlska Ima obimnu brzinu J m/see. Kolika je ugaona brzlna obrtanJa dlska? Kojim se minutnim brojem obrtaja obree disk?

2.72..~ot~r se obrce iz stanja mirovanja jednako ubrzano i za prvih 10 sekundl uelnl 50 obrtaja. Odrediti ugaono ubrzanje kotura i ugaonu brzinu u trenutku t= 20 sec. Koliko je ukupno'obrtaja do tada uCinio kotur? . . ?73. Vratilo jednog motora obrce se jednoliko sa 3000 o/min. Posle IsklJucenjamotora vratilo je ucinilo jos 100 obrtaja i staIo. Koliko se vre-:nena obrtalo vratilo od iskljucenja motora do zaustavljanja ako se obrtalo Jednako usporeno? .

. 0 Vratilo se obrce jednako usporeilO, ugaonim usporenjem 7C sec-2 I st~lo J.e posle .10 sec. Kolika je pocetna ugaona brzina obrtanja vralila? Koliko JC obrtaja ukupno uCinilo vratilo do zallstavljanja?

2.75: Vralilu. motcra porasta.o je broj obrtaja posle (Dminuta na ~o/ml1l. Tada Je motor .zaustavljen, a vratllo je nacinilo jos 160 obrtaja I stalo .. Pod pretpostavkom -Jednako promenljivog obrtanja odrediti ugaonu brzlnU I ugaono ubrzanje (usporenje) vratila. Koliko se vremena obrtalo vraldo? K

su R = 18 em, r = R/2. Odrediti brzinu i ubrzanje tacke A na obodu tarnog :kotura K z u onom trenutku kada je aksijalno pomeranje prvog vratila x=r; vreme se meri sekundima.

J[

2

][ Slika 2.78.

IP)

Slika 2.79.

2.79. Parna masina (P) pomocu transmisionog uredaja, kaiSnika, pree-nika 90 em i 30 em, sa beskrajnim kaisem, pokrece dinamomasinu (D). Odmah -posle pU5tanja U rad ugaono ubrzanje parne masine iznosi 0,21t see-2 Posle koliko ce se vremena dinamomasina obrtati jednoliko sa 180o/min?

) Slika 2.80.

2;80. Elipticki tocak, poluosa a = 5 em, b = 3 ern, obrce se u svojo ravni oko vertikalne ose' kroz zizu 01 (F1) i usled zahvatanja pokrece isti

,takav tocak koji moze da se obrce oko svoje :tize 0z (F'I)' Odrediti broj obrtaja drugog tocka kada se prvi to-cak obrce jednoliko li direktnom sme-rli sa 10 o/min i ako rastojanje ziza iznosi OjOz=2a.

2.81. Odrediti prenosni odnos redne sprege zupcanika ako Sli brojevi zubaea zupcanika Zj (redom) =20; 10; 18; 15 i 30. Zupcaniei su svi istog modula.

2.82. Odrediti prenosni odnos paralelne sprege zupeanika ako su bro-jevi zubaca zupcanika ZJ (redom) = 40; 20; 10; 50; 15 j 30.

Slika 2.81. SJika 2.82.

65

2.83. Zupcanik (1) obree se jednoliko sa I 200o/min u i indirektnom smeru. Odrediti brojeve i smerove obrtaja svih zupcanika mesovite sprege ZJ (red om) = 20; 60; 15; 40; 16; 32 i 20. Koliki je ukupni prenosni odnos? U kom se smeru obrce Poslednji zupcanik (7)7 I

Slika 2.83. Slika 2.84.1

2.84. Pogonski zupcanik (I) obrce se u direktnom smeru Jednoliko sa 80~ o/min. Odrediti broj obrtaja i smer obrtanja poslednjeg zDpcanika (7) mesovlte sprege aku su brojevi zUbaea Z/ (redom)= 18; 40; 15; 33;'36; 16 i 48.

i,

2.85. Pogonsko vratilo (OJ transmisionog uredaja obrce Je jednoliko sa 360o/min. Odredili broj obrtaja i smer obrtanja radnog v~a,iJa (0 \ k b" b ". VI

a 0 su rOJevl zu aea zupeamka Zj (redom) = 20; 30; 40; 24; 60; 20 i 48, a zahvaceni zupcanici Sil istog modula.

SJika 2.86.,' ":H~

~~ft"- -2.8~. Izracunati na obimu kQtuira (KHrad-n.og vratlJa (OVII) , precnika 18 ern, ako se vratilo (ODob~cetj:(fu~1t llko sa 270o/min. Zupcanici (3), (6) i (9) imajulPo 60 zubadl;'~ svl-:01;taIl'f> po 20. ;-,,>' I 5'i!"1;;' ~~+

2.87. Pogonsko vratilo (01) prenosi preko kaisnog transmisionog 'ure~ daja i zupcastog prenosnika snagu na radno vratil0 (Ov). Odreditj brzinu i ubr~a~Je tac.ke M kotura K, precnika 120 mm, kada se pogons~o vratilo obrce jednollko sa 1500/min. Precniei kaisnika su D = 200 mm D:=) 50 rom a brojevi zubaca su ZI (redom) = 40; 20; 20; 50;18 Ii 36. ,z, ,

5 Zbirka zadataka iz ruehanikc-]

66

~l!"'~:=: i Ii D. I I,

I Df

STika 2.87. Slika 2.88.

l.SS. Pogonsko vratilo (0,) obrce se jednol"ko. sa I 200o/min u smeru kretanja saine kazaljke. Odrediti broj obrtaja puznog locka (8) ako ima 36 zubaca i 'trohodni zavrtanj. Precnici kaisnika Sl! D, = 120 mm. D z = 200 mm, a brojevi 'rzubaca zupcanika su Z; (redom)= 18; 36; 20 i 40. U kom se smeru obrce pu~ni locak?

2.89. Pogonsko vratilo (01) obrce se jednoi"ko, sa I 350o/min. Odre-diti broj obrtaja radnog vrat]a (011) ako je puz (P) dvohodni, a puzni locak ima Z = 60 zubaca. Brojevi zubaca ostalih zupcanika su z/ (redom) = 20; 54; 18 i 30. Zupcanik (3) je tanjirast. ,

I V

Or

I On z Ll

. "

Slika 2.89. Slika 2.90.

2.901 Kabi na dobosu, precnika D = 30 em, odmotava se pomocu pre-Dosnog u.:eaaja. Odrediti brzinu odmotavanja kabla alo se pogonsko vratilo (01) obrcd jednoliko sa 900o/min, a puz je trohodni, sa z=45 zubaca. Zup-canici (1): i (2) spregnuti su Jancem, a imaju brojeve zubaca Zl = 15 j Z2 = 30 zubaea.

2.91; Ruciea 0, A kolske dizalice obree se sa 60o/min jednoliko oko osovine Pr,vog zupcaoika (0,) i preko zupcastog prenosoog uredaja pokreee zupcastu pOlugll (2p). Brojcvi zllbaca zupcanika Sll z, (redom)= 12; 48;

67

6 i 24. Precnik pogonskog zUpCanika je Dp = I OJ mm. Odrediti aksijalnu brzinu zupcaste poluge.

S1ika 2.91. Slika 292.

2.92. Zllpcasfa poluga podize se pomoeu prenosnog uredaja. Odredili brzinu pofuge kad se pogonsko vratilo obrce jednol.ko, sa 8eO o/min, ako su: prvi puz trohodni sa z, = 30, drug; puz dvohodni sa z. = 20 zubaca, bro-jeyj zubaca od Zz do Zg su (redom)=25; 40; 30; 20; 25; 16; 48, modul pogonskog zupcanika m = 10 mm i broj zubaca zp = 30.

2.93. Odniditi broj zubaca drugog zupcanika (2) i smer obrtaja prvog zupcanika (I) da bi se konvejer pod'zao brzinom 25 'It em/sec ako se pogonsko vratilo obrce sa 150 o/min, a brojevi zubaca su: z, = 20, ZJ = 18, Z~ = 54, Zs= 40' moduJa m=lSmm. Zupcaniei (3) i (4) sprcgnllti su lancem.

Slika 2.93. Slika 2.94.

2.94. Odrediti hrojeve obrtaja vratila 0llI, OVI i OYII ako se pogonsko vratiJo (01) obrce sa 1200 o/min, a brojevi zubaca ZUpCanika su z, (redom)= =20; 40; 15; 45; 40; 15; 60; 20; 50 j 30.

68

2.95. Odrediti obimnu brzinu krajeva lopatiea (L) mesaliee ako se pogon-sko vratiJo (01) obrce sa 180 o/min, a precnik Jopaticnog kola je D = 900 mm. Pre-

cniei kaisnika su Dl = 300 mm, D2 = 450 mm,

o.~ D,

2 )[

~------D------~-.~I Slika 2.95.

a brojevi zubaea konicnih zupcanika su 30 i 60.

2.96. Hod zavrtnja je h = 40 mm, a obrce se jednoliko, sa 60 o/min. Odrediti ugaonu i translatornu brzinu zavrtnja, nje-gOY parametar i nagib tangente zavojnice ako je poluprecnik eilindra zavrtnja 10 mm.

2.97. Kolika bi bila tacnos! mikro-metarskog zavrtnja hoda 0,40 nun, ako disk nonijusa irna 4D podeljaka?

2.98. Valjak poluprecnika R = 20.mm obrce se oko svoje poduzne geometrijske ose sa 90o/min i krece se translatorno br-zinom 6 em/sec. Odrediti sve elemente zavrt-

nja. Ako bi hod ovakvog zavrtnja bio 10 puta manji, a nonijus mikrometra imao 50 podeljaka, kolika bi bila njegova tacnost merenja?

2.99. Hodovi zavrtnja prese su hI = 12 mm j h2 = 18 mm. Rucica prese obrce se sa 30o/min, a ugao ploce prese je 0: = 60. Odrediti brzinu kretanja ploce.

Stika 2.99 Slika 2.100

2.100. Odrediti brzinu zgloba C zavojne prese u funkeiji od ughi e. Zavojno vreteno je hod a h=12 mm i obrce se jednoliko, sa 60o/min. Ovo vreleno prolazi kroz dYe navrtke, A i B, koje su zglavkasto spojene sa zglo-bovima C i D rombnog zglavkastog cetvorougla ADBC.

69

C) RELATIVNO KRETANJE. BREGASn MEHANIZMI ,/' '\ ; J

~.101. Reka protice brzinom 0,5 m/see po eeloj svojoj; sirini, koja iznosi ':>tIm. Plivac moze da postigne brzinu 2 m/sec. Pod kojim uglom prema ;bali Ireba da zapliva plivac da bi tacno popreko doplivao na drugu obalu? Za koj~ ce vreme preplivati reku?

/ ,;...~~ ........ '.

~'102 Koliko ce vremena putnik, koji sedi u vozu koji se krece hrzinom 54 km edati mimoilazni voz, duzine 150 m, koji se krece brzinbm 30 km/h1 .10 Brad se krece brzinom 10 cvorova (nmile/h). Sa palube broda putnik i uvis predmet pocetnom brzinom 5 m/see, koji se dalj'e krece jed-nako usporeno, usporenjem 2 m/ser;2. Odrediti apsoiutnu brzi~u kretanja predmeta i njegovu apsolutnu putanju.

2.104. Prizmaticni klin ABC, vi-sine AC=h,nagibnog ugla 0:, krece se jednoliko u smeru + Ox-ose, koja se poklapa sa njegovom osnovom CB. Niz strmu ravan klina CAB) krece se iz po-cetnog poloiaja (A) pokretna tacka M jednako ubrzano, ubrzanjem an bez po-eelne brz'ne. Odrediti apso!utnu brzinu tacke M i njenu apsolutnu putanju.

A

B Slika 2.104.

2.105. Tramvaj se krece pravolinijski jednoliko, brzinom 28,8 kmfh. Njegova sasija na oprugama vrsi harmonijsko osciiovanje, amplitude A ~ I em, perioda T = 1 sec. Odrediti apsolutnu pmanju tezista sasije, koje se nalazi na rastojanju h = I m od horizontalne ravui. poslavljene kroz osoviJ,le tockova. Precnik tockova je 800 mm. U pocet-ku kretanja (/0 = 0) tdiste se nalazi u srednjem polozaju, a vektor brzine oscilovanja usmeren je navise.

Slika 2.105.

L

K

Slika 2.106.

2.106. Prava L krece se jednoliko, brzinom vp usmeru -OJ-ose. Odre-diti brzinu i ubrzanje presecne tacke M te prave i nepokretnog I kruga (lI:). poluprecnika R, sa sredistem u O.

70

2.107r Krug ('0 krece se u svojoj ravni (Oxy) translatorno, jednako ubrzano, ubrzanjem Q p u srueTu + OX-ose. Po krugu se krece tacka (M), jed-nolike, u !direktnom smeru. Odrediti apsolutnu putanju tacke M ako je U pocetkul kretanja hila u polo.zaju Mo (R; 0).

!y I ! i L

o

SJika 2.lOi. Slika 2.108.

2.108! Kvadrat ODAB, slraniee 1= IOem, ohrce se. u horizt:ntalnoj. Oxy.ravn.i oko temena a u indirektnom smeru, jednol:ko, sa 30ol mn. Po stranici AS; krece se od A ka B pokretna tacka (M) jednol:ko, tako da za jedan obrlaj kvadrata stigne iz pocetnog polozaja A u poiozaj B. Odrediti u poc~lnom pplozaju (A) apsolulnu brz'nu i apsolulno ubrzanje pokretne tacke (M).

.Z.1?9j P.ra~ougaona ploCiea ABCI?, stran'ea b= 12 em, h = 2 b, obrce se iz stanJa mlrovanJa Jednako ubrzano u dlf(:ktnom smeru. }z lane D (pocetnog polozaja M,) krece se 'z Jtanja mirovanja pokretna tacka M duz stran'ee DC po zakonuiPuta r=i5M= 0,5 heos(-:rI/6), gde je aD = OC. Kada pokretna tacka st'gne u polozaj M, gde je MoM=DM=h/4, plociea se zaokrenula za ugao 90 U odnosu na pocetni polozaj. U tom poJozaju odrediti brzinu i

zl ~r'l DiMe) ~~ 8; ,

! M I

h _._- .- .. __ . 0

y

c b I

Slika 2.109.

ubrzanje pokretne tacke. Kolki su brz'na i ubrzanje pokretne tacke u trenutku t = 4 sec od pocetka kretanja?

Slika 2.110.

71

2.110. Trougaona plociea ABC"kateta b= 30 em, h = 40 em, obrce se oko katete AB po zakonu prornene obrtnog ugla '.p= 11: (2 I + /2)/4. Iz temena B krece se po hipotenuzi BC pokretna tacka po zakonu puta s = BM = 50/'/2. Odrediti brzinu j ubrzanje pokretne tacke M u trenutku I = I see od pocetk~ kretanja iz pocetnog poloiaja B. Koliki su brzina i ubrzanje pokretne tacke M kada stgne u terne C trougla?'

2.111. Polukruzna plocica, poluprecnika R = 16 em, obrce se oko 050-vine AB jz stanja mirovanja, prema zakonu prornene obrtnog ugla 'f = 11: 12/4, u direktnorn smeru. Iz tacke B plocke krece se po obodu ploeiee pokretna tacka M jednako ubrzano, bez pocetne brzine, i stigne u tacku A za ista

vreme za koje plocica ucini osam punih obrtaja', U polozaju C, gde je Be = AG, odrediti ap-solutnu brzinu i apsolutno ubrzanje pokretne tacke M.

c

en '-'--.1:-

Slika 2.111.

I y I j I I I

c; I

Slika 2.112.

2.112. Cev OA, duzine 20em, obrce se u ravni Oxy prcma zakonu promene obrtnog ugla

72

ubrzanjem 1,25 em/sec" bez pocetne brzine, i u lrenutku zaustavljanja plociee stigne u poJozaj B. Odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje pokretne tacke (M) kada stigne na polovinil duzine izvodnice AB konusa.

2.114. Odrediti ugaono ubrzanje kulise (K) kratke brzohodne rendi-saljke ("shaepinga") kada se krivaja OA, duzine R= 10em, obrce oko tacke o jednoliko, sa 90o/rilln. Rastojanje osJonaea 0 i 0 1 iznosi h = 3 R. Kolika

Slika 2.114.

je brojna vrednost ugaonog ubrzanja kui:se u onom polozaju kada se krivaja zaokrene za ugao 30 od pocetnog horizontalnog po-loiaja?

ly

o

m

Slika 2.115.

2.115. Posle promene opterecenja Watlov regulator se obrce oko svoje vertikalne osovine jednoliko, sa 60o/min, a kugle se spustaju jednako ubr-zano, obrcuci se oko tacke 0 ugaonom brzinom, kojoj posle dva sekunda odgovara 15 obrtaja u minutu. SmatrajuCi kugle tackama, odrediti njihovu

B

~I~ I

.... - .

. +.

Slika 2.116.

brzinu i ubrzanje u tom trenutku (t=2see) Duiina rutica regulatora je / = 40 em, a ugao cp= 30.

2.116. Ekseentar, poluprecnika R = = 10 em, ekseentricnosti e = R/2, obrce se oko horizontalne !=>se kroz tacku 0 i podize stap AB razvodnika. Odrediti zakon kretanja stapa, njegovu brzinu i ubrzanje u najudalje-nijem polozaju ako se ekseentar obrce jed-noJiko, sa 300/min.

2.117. Prizmaticni klin, nagibnog ugla 30, kreee se pravolinijski u smeru + Ox-ose jednako ubrzano, ubrzanjem 9 emjsee2 Odre-diti ubrzanje kretanja stapa CD, koji se osla-nja na klin i moze da se pokrece u svojim leZistima.

73

Slika 2.117. Slika 2.118. ,

2.118. Bregasto telo, oblika polukruga, poluprecnika R = giem, krece se pravolinijski, jednol;ko, brzinom vp = 4 em/sec. Odrediti brzinu i ubrzanje kretanja stap:.t AB sa tockicem, poluprecnika r = 1 em, na kraju ! = 2 sec. ako je toc~

kit stapa bio u pocetnom pololaju ui Ao. Za ko-B

~I~ I

Slika 2.119.

Jiku se visinu h spustio stap AB u tom trenutku'!

2.H9. Bregasta osovina, pdlupre~nika R= 10 em, obrce se jednoliko, sa )50/min, i podize stap AB, koji se krece ~o zakonu pUla y = J 0 + 4 t, gde je y rnereno u eenti-metrima, a vreme u sekundima; Odrediti oblik konture brega.

5j I I j

Slika 2.120.

2.120 .. "Zlkon . podizlnja centricnog radnog tela ..b-l'egastog fnehanizma prikazan je dijagram~m (s, cp). Odrediti obl.k brega J ako je precnik vratila bregastc osovine 2 R =40 mm,.a ona se. obrce jednoliko, sa 60o/mi'n.

I

r_ 2.121. "Odr~diti oblik'konture ~brega' bregastog mehanizma aka je hod ceiltr1~nog st;Pl sa siljkom izvrsen 'Z'l 1/3 polovine radnog hoda br~gaste oso-vine. Drugoj trecini polovine obrtaja bregaste osovine odgovara zastoj stapa, a-trecoj trecini poluobrtaj'l odgovara i spustanje stapa po istom 'iakonu po tome se vrsiJo i podizmje.1PoJuprecnikbregaste osovine je R = 1 S mm, hod itap:.t h = 20 mm, a broj obrtaja .. bregast

74

, $

! I

2345-6789101112 f800 ----1--- (500 ---l300l--- i

Slika 2.122.

Slika 2.123.

2.122. D'jagram (s, I), odnosno (s, q:, jednog centric-nog bregastog mehanizma, sa

_ bregastom osovinom precnika 2 R = 30 mm, prikazan je na slid. Naertati oblik bregastog tela.

2.123. Dijagram (s, t), odnos-no (s, '1'), ekseentricnog bregastog me-hanizma prikazan je slikom. Odre-diti oblik brega aka je poJuprecnik bregaste osovine R = 20 mm, e = =lOmm, r=Smm.

Dijagram (s, I), odnosno (s, '?), bregastog mehanizma prikazan je slikom. Odred,ti obJik brega aka je poluprecnik bregaste osovine R= 15 mm.

456789 I/J:if ZWJ{

Slika 2.124.

2.125; U obrtnom zvezdastom motoru tipa "Gnome" vezani su cilindri za karler i, zljedno se sa njim obreu ugaonom brziDom w. Uzimajuei srediste Ovratila z::i pocetak triedra Ox-y, odrediti: a) apsolutnu putanju kli-pova moto~a, b) zakon relativnog kretanja u odnosu na eilindre, pod pretpostavkom cia je odnos R/l Inali, gde je R poiuprecnik krivaje, a I duzina ,spojne poJuge, c) izra-cunati apsQlutnu brzinu krpa ka-da ~pojna -poluga AB zauzima dva

horizontal~a i dva vertikalna po-lozaja. D~zine su: krivaje R = = 100 mm,: spojne poluge AB = = 1= 300 ~n, a cilindri sa kar-teram abreu se jednoliko, sa 1500o/mib. Slika 2.125.

75

D) RAVNO KRETANJE. RAVNI MEHANIZMI

2.126. Ploca (P) vriii ravno kretanje u ravni Oxy translatornom brzinom 6 em/sec i ugaonom brz:nom 2 see- I, obreuei se u srr:nu krftanja saIne k zaJjke. Odred Ii brzinu tacke B ploce, na rastojanju AB = 5 em od tacke A, u trenutku kada vektor brzine tacke A gradi ugao ex = 30 sa pravom AB. Ovaj ugao je me-ren od vektora brzine ka pravoj AB.

2.127. Stap AB, duzine 1= 1 ru, kreee se u rami. Brzina lacke A stapa iznosi 2 V3 m/see, a njen veklor gradi sa praveem slapa ugao 0: = = 60. Vektor brzine kraja B stapa AB gradi sa stapom ugao ~ = - 30". Uglovi su mereni od pravca stapa AB lea vektor:ma brzina. Racunski j graficki odrediti polozaj trenutnog pola. KoLka je trenutna ugaona brzina obrtanja stapa oko pola? Odrediti poioZajtacke K stapa AB, ciji je vektor brzine kolinearan sa stapom.

a Slika 2.126.

2.128. Kvadrat ABeD, straniee /= JOcm, kreee se u svojoj ravni ugao-nom brzinom 2 see- 1 u direktnom smeru. Brzina temena A kvadrata iznosi 20 em/sec, a njen vektor gradi sa stranicom AD ugJo IX = 60. Odrediti polo-Zaj trenutnog pola kvadrata. Izracunati brz;ne ostalih temena kVadrata i tacke S na sredini straniee AB, AS = BS. Racunske vrednosti proveriti graficki.

B

Slika 2.128. Slika 2.129.

2.129. Krivaja OA zglavkastog cetvorougla OABC, duzina stranica OC= =p=35em, OA=k=lOcm, BC=b=20cm, obree se oko tacke 0 jednoliko, sa n1 = 90 o/min .u direktnom srueru. Odrediti ugaone brzine obrtanja stapova AB i BC i brzinu zgloba B u polozaju cetvorougla odredenoin uglovima e=60 i tjJ=45.

~ . Kri~aja OA, duzine 12 em, obree se oko tacke 0 jednoliko, sa 60o/mm. Odredltl ugaone brzine stapova AB, duzine /, i Be, duzine h = 16 ern,

76

c

Slika 2.131.

2.131. Ploca (P) izvodi ravno kretanje u svojoj ravni. Poznati su:tran-sJatorno ubrzanje, 20 cm/secl , ugaona brzina obrtanja, I sec-I, i ugaono ubr-zanje, 1 sec- 2 . Odrediti ubrzanje tacke B ploce na udaljenju !=AB= 10cm od tacke A, ciji vektor ubrzanja gradi sa pravom AB ugao (J. = 30.

2.132. Kruzna ploca, poluprecnika R, kotrlja se bez klizanja po pra-voj L, a njeno srediste (0) krece se pravolinijski po zakonu pUla s = I + (2/2, gde je s mereno u met rima, a vreme u sekund:ml. U trenutku t = 0 odrediti

brzine i ubrzanja taeaka M, ploce koje se nalaze na horizontalnom M J M, i vertikalnom pree-niku M2 M.. Poluprecnik ploce je 40 cm.

T

Slika 2.132. Slika 2.133.

..-r ___ -:--_..:O:;,_ C ~ K vadrat ABCD, straniee 1= 10 em, b ~si ravno kretanje, obrcuci se u direktnom srneru.

B Slika 2.134.

Poznate su velicine ubrzanja temena A i B, aA = = 20 cm/sec2, as= 40 (2 em/sec1 , kao i vektori lih ~brzanja. Odrediti ubrzanja ostalih temena kvad-rata j taeke S, gde je AS = BS.

2.134. Pravougli trougao ABC; kateta b~ 12crn, h= 16em, krece se u svojoj ravni tran-~latorno i obrce u direktnom smeru. Brzina teme-na A trougla iznosi 12 cm/sec, a vektor brzine gradi sa katetom AB ugao (1. = 60. Poznata su i

, i \ I

"

II Ii 'I I

77

ubrzanj~ temena B i C, koja iznose GB =45cm/secl , Gc =25cm/sec2 Odrcditi trenutlll pol obrtanja. Racunski i graficki odrediti brzine i ub~zanja ostalili ~M~~A~ I

2.135. Kraj A stapa AB krece se jednoiiko, brzinom VA = l', duz + Ox-ose, stalno dodirujuCi nepomicni poluL-ug polupr(cnika R, sa sredistelli u O. Odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje obrtanja stapa U funkciji od poJuprecnika polukruga (R), brzine (v) i udaljenja kraja A stapa od sredista O(x=OA).

:x B

Slika 2.135. Stika 2.13~.

~.136. Krug, poiliprecnika R, kotrlja se bez kl'zanja po! nepokretnoj pravOJ (L). Za tacku A obima kruga vezan je stap AB, duzine J. Odrediti brzinu i ubrzanje kraja B stapa AB ako su pozna!i brzina i ubrzanje sfedista kruga (C). Opste feSenje. Sp~cijalno resen