ZEMLJE ČUDNIH DIMENZIJA

ZEMLJE ČUDNIH ZEMLJE ČUDNIH DIMENZIJADIMENZIJA

Martina BalagovićMartina Balagović

PMF-Matematički odjelPMF-Matematički odjel

Uvod (što je zemlja, što je Uvod (što je zemlja, što je čudno, što je dimenzija)čudno, što je dimenzija)

3.3. Pronađi odgovor Pronađi odgovor na pitanje!na pitanje!

1.1. Pronađi zanimljiva Pronađi zanimljiva pitanja!pitanja!

2.2. Precizno ih Precizno ih postavi!postavi!

Često vidimo: Ne vidimo često:

Zaplet (dimenzija Zaplet (dimenzija vektorskog prostora)vektorskog prostora)

dim=1


dim=2


dim=3


Brojevni pravacBrojevni pravac

Gaussova ravninaGaussova ravnina


ovakva definicij

a je dobra


Dimenzija vektorskog prostora=Dimenzija vektorskog prostora=

broj vektora takvih da:broj vektora takvih da: pomoću njih mogu izraziti svaki pomoću njih mogu izraziti svaki

vektor u prostoruvektor u prostoru nijednog od njih ne mogu izraziti nijednog od njih ne mogu izraziti

pomoću ostalihpomoću ostalih


Više o tome s popularne strane:Više o tome s popularne strane: Edwin Abbott Abbott: Flatland (1884.)Edwin Abbott Abbott: Flatland (1884.) The SimpsonsThe Simpsons

Više o tome s ozbiljne strane:Više o tome s ozbiljne strane: studij matematike (ili bilo koja knjiga o studij matematike (ili bilo koja knjiga o

vektorskim ili o Euklidskim prostorima)vektorskim ili o Euklidskim prostorima)


GEOMETRIJAGEOMETRIJA TočkaTočka 6-ravnina6-ravnina 5-ravnina5-ravnina 4-ravnina4-ravnina 3-ravnina3-ravnina 2-ravnina2-ravnina 1-ravnina1-ravnina

ALGEBRAALGEBRA Uređena 7-orka brojevaUređena 7-orka brojeva 1 linearna jednadžba1 linearna jednadžba 2 linearne jednadžbe2 linearne jednadžbe 3 linearne jednadžbe3 linearne jednadžbe 4 linearne jednadžbe4 linearne jednadžbe 5 linearnih jednadžbi5 linearnih jednadžbi 6 linearnih jednadžbi6 linearnih jednadžbi


dim(Rdim(R11+R+R22)=dim(R)=dim(R11)+dim(R)+dim(R22)-dim(R)-dim(R1 1 ∩ R∩ R22) ) ako je R ako je R1 1 ∩ R∩ R22≠Ø≠Ø

dim(Rdim(R11+R+R22)=dim(R)=dim(R11)+dim(R)+dim(R22)-dim(W)-dim(W1 1 ∩ ∩ WW22)+1 ako je R)+1 ako je R1 1 ∩ R∩ R22≠Ø≠Ø

WWii=ravnina koja se dobije pomicanjem R=ravnina koja se dobije pomicanjem R ii tako da prolazi ishodištemtako da prolazi ishodištem


mali komad sfere=mali komad mali komad sfere=mali komad ravnineravnine

za snalaženje na Zemljinoj provršini-za snalaženje na Zemljinoj provršini->2 koordinate>2 koordinate


Ako je prostor D takav da je svaki Ako je prostor D takav da je svaki mali komadić mali komadić od D od D skoro isti skoro isti kao neki kao neki mali komadić vektorskog prostora V, mali komadić vektorskog prostora V, definiramo definiramo dimdim D= D=dimdim V V

Obrat (postoje prostori koji Obrat (postoje prostori koji nisu takvi!)nisu takvi!)

Cantorov skupCantorov skup

C1

C2

C3

C4

C5

C6


Kochova krivuljaKochova krivulja


Sierpinskijev trokutSierpinskijev trokut


Mengerova spužvaMengerova spužva

Rasplet? (fraktalna Rasplet? (fraktalna dimenzija)dimenzija)

Ako geometrijski lik D možemo Ako geometrijski lik D možemo rastaviti na n njemu rastaviti na n njemu sličnihsličnih likova, likova, svaki od kojih je d puta svaki od kojih je d puta manjimanji, onda , onda je je

dimdim(D)=ln(n)/ln(d)(D)=ln(n)/ln(d)

Rasplet? (mala induktivna Rasplet? (mala induktivna dimenzija)dimenzija)

ind ind D=0, ako ima D=0, ako ima bazu topologijebazu topologije sastavljenu od jako nepovezanih sastavljenu od jako nepovezanih skupovaskupova

ind ind D=n, ako svi skupovi u D=n, ako svi skupovi u bazi bazi topologije topologije od D imaju rub male od D imaju rub male induktivne dimenzije n-1induktivne dimenzije n-1

indind C=0 C=0 ind ind S=1S=1

Rasplet? (velika induktivna Rasplet? (velika induktivna dimenzija)dimenzija)

IndInd D=0 ako je D=0 ako je indind D=0 D=0 Ind Ind D=k ako se svaka dva zatvorena D=k ako se svaka dva zatvorena

skupa u D mogu razdvojiti skupom skupa u D mogu razdvojiti skupom velike induktivne dimenzije k-1velike induktivne dimenzije k-1

Rasplet? (dimenzija Rasplet? (dimenzija pokrivanja)pokrivanja)

dimdim D=n, ako D mogu pokriti malim D=n, ako D mogu pokriti malim otvorenim skupićima tako da se oni otvorenim skupićima tako da se oni sijeku najviše u skupinama po n+1 sijeku najviše u skupinama po n+1

Rasplet? (Hausdorffova Rasplet? (Hausdorffova dimenzija)dimenzija)

definicija uključuje definicija uključuje mjerenje veličine mjerenje veličine skupova skupova i beskonačne sumei beskonačne sume

dimdimHH C=1 C=1

I možemo doma I možemo doma

IMENA SPOMINJANIH POJMOVA:IMENA SPOMINJANIH POJMOVA: Vektori takvi da pomoću njih mogu izraziti svaki vektor u Vektori takvi da pomoću njih mogu izraziti svaki vektor u

prostoru nijednog od njih ne mogu izraziti pomoću ostalih -> prostoru nijednog od njih ne mogu izraziti pomoću ostalih -> BAZA VEKTORSKOG PROSTORABAZA VEKTORSKOG PROSTORA

ravnina R koja ne prolazi ishodištem -> ravnina R koja ne prolazi ishodištem -> LINEARNA LINEARNA MNOGOSTRUKOSTMNOGOSTRUKOST

prostor D takav da je svaki prostor D takav da je svaki mali komadić mali komadić od D od D skoro isti skoro isti kao kao neki mali komadić vektorskog prostora V ->neki mali komadić vektorskog prostora V ->DIFERENCIJALNA DIFERENCIJALNA MNOGOSTRUKOSTMNOGOSTRUKOST

mali komadić skoro isti -> mali komadić skoro isti -> LOKALNO DIFEOMORFNOLOKALNO DIFEOMORFNO slični skupovi d puta manji -> slični skupovi d puta manji -> HOMOTETIJA S HOMOTETIJA S

KOEFICIJENTOM dKOEFICIJENTOM d karte tvore atlas -> karte tvore atlas -> KARTE TVORE ATLAS KARTE TVORE ATLAS

Documents

ZEMLJE ČUDNIH DIMENZIJA