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UNISEMINAR

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Einleitung

Statistik

Bachelor

Winterthur, März 2013

Einleitung uniseminar.ch

Über uns

Uniseminar ist 2005 von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegründet wor-den, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten. DasTeam von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter an-derem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge,Betriebsökonomen der HSG, Volkswirtschaftern der Universität Zürich als auch der LondonSchool of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Erfahrung mitsich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerika-nischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und könnenDich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen.

Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalbüber das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wiralle grosse Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwaskomplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen

Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von qualifizierten Doktorandenerstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über grosse Erfahrung undExpertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität des Skripts garantiert werden.

Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studieren-den überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der ZHAW vor Ort besuchen. Damit könnenwir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminarenvorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prio-ritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Statistik-Skript ist deshalb optimal aufdie Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien fürDeine Prüfung an der ZHAW.

Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zuverbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimaleKlausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wirwollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schliesslich auchdran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Seminare

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. AlleDozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissendeshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können.

Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlichin zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathema-tischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftre-tenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären.

Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grund-kenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeitenund effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst eintheoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prü-fungsaufgaben von grosser Bedeutung sind.

Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondernauch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auchwirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex,dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zulösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen aufmöglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigenMass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen!

In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifischeAufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

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Aufbau

Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur effizienten Prüfungsvorbereitung der Statistik-Prüfungdienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den Aufbaudes Ordners geben.

1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamtenStoff der Vorlesung Statistik zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele.Am Ende findest Du jeweils ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragenschnellstmöglich Zugriff auf das erforderliche Wissen verschafft. Das Theorieskript umfasstalle prüfungsrelevanten Kapitel aus der Vorlesung, diese werden im Seminar der Reihenach bearbeitet.

2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungs-aufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminar-blöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diesesind gerne während den Pausen und auch nach den offiziellen Seminarstunden für Dichda, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen.

3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien derZHAW zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung geworden sind.Die Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben vermehrt unter Berücksichtigungder Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die Anwesenheit der Studentenwährend der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus diesem Grund haben wir Dirsämtliche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Dudas nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevantist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren Prü-fungen aus beiden Vorlesungsteilen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

5. Formeln: Die Formelsammlung stellt die wichtigen Formeln der Vorlesung zusammen.Nimm Dir nach dem Durcharbeiten der Theorieskripte die Formelsammlung öfter vor,um sie zeilenweise abzulesen und die Formeln zu memorieren. Jede Formel, die im Kopfverfügbar ist und nicht während der Prüfung nachgeschlagen werden muss, spart wertvolleZeit.

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Vorgehensweise

Wir empfehlen Dir mit dem Ordner wie folgt schrittweise vorzugehen um einen perfekten Ler-nerfolg zu erzielen:

1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoreti-schen Inhalte zu verstehen.

2. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passendzum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesemTheoriekapitel erlernten Stoff. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls einTheoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest.

3. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal aus-gewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartetund kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende vonjedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich aufdas soeben behandelte Thema beziehen.

4. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

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Seminar uniseminar.ch

Ziel und Inhalt

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zu

besuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für das

erfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam effizi-

ente Strategien um die spezifischen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur das

Allerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminars

liegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einen

zielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst.

Während des Seminars werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungs-

inhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu

bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen.

Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungs-

chancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit,

dem Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu beseitigen.

Seminarleitung

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Al-

le Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen und

europäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studie-

renden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unseren

Dozenten im Allgemeinen findest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik

“Über uns”.

Anmeldung

Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.

Notizen uniseminar.ch

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Inhaltsverzeichnis

1 Deskriptive Statistik: Graphische Methoden 1

1.1 Umgang mit Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Zentrale Begri�sbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Graphische Darstellung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Diagramme zur Darstellung metrischer Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Beziehungen zwischen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Statistische Kennzahlen 23

2.1 Lagemasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Gewichtetes arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Die Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Wahrscheinlichkeitstheorie 42

3.1 Grundbegri�e der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Wahrscheinlichkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Diskrete Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 66

4.1 Einführung in Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Rechenregeln für die Kenngrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Bernoulliverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 80

5.1 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Die Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5 Approximation der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.6 Die Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Stichprobenerhebungen und die Verteilung von Stichprobenstatistiken 94

6.1 Stichprobendesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 In Richtung statistische Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Prognoseintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Kon�denzintervallschätzung: Eine Population 105

7.1 Punktschätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2 Kon�denzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3 Schätzung des Mittelwerts bei bekanntem σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 Schätzung des Mittelwerts bei unbekanntem σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Schätzung eines Anteils einer Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Hypothesentests: Eine Population 117

9.1 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2 Hypothesentests für Mittelwert µ und bekanntem σ . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 Hypothesentests für Mittelwert µ und unbekanntem σ . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4 Hypothesentests für Anteil p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11 Regressions- und Korrelationsrechnung 133

11.1 Einführung in die Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.2 Streuungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.3 Inferenz bei linearer Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Stichwortverzeichnis 151

Theorie uniseminar.ch

Das zugehörige Kreisdiagramm ist

Abbildung 2: Kreisdiagramm

Beim Pareto-Diagramm wird dagegen die relative Häufigkeit aufgetragen, die Balken werden

nach Häufigkeit und nicht nach ihremWert sortiert. Durch sortieren der Tabelle aus dem letzten

Beispiel nach relativer Häufigkeit erhalten wir

Wert Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit In Prozent

Gut 6 0.60 60%

Schlecht 3 0.30 30%

Sehr Gut 1 0.10 10%

Mittel 0 0.00 0%

Abbildung 3: Pareto-Diagramm

-10-


Jahr 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Absolventen 432 412 462 482 532 512 551 578

stellt man geeigneterweise als Liniendiagramm dar.

Abbildung 5: Liniendiagramm einer Zeitreihe

Hier macht es keinen Sinn, die Datenwerte in Klassen einzuteilen oder nach Häufigkeiten zu

fragen. Die Datenwerte stammen nicht aus einer gezogenen Stichprobe, sondern aus einem zeit-

lichen Prozess. Die zeitliche Entwicklung ist hier die Information die das Diagramm vermitteln

soll.

1.5 Diagramme zur Darstellung metrischer Daten

Die wichtigste Darstellungsform für metrische Daten ist das Histogramm: Dazu werden die

Originaldaten in Klassen eingeteilt (sie werden sozusagen kategoriell gemacht), diese werden

dann als Säulendiagramm dargestellt. Die Klassen müssen so gewählt werden, dass jeder Da-

tenpunkt in eine und nur eine Klasse fällt. In einer Häufigkeitstabelle werden die Daten in

Klassen eingeteilt und dann werden die verschiedenen Klassen miteinander verglichen. Die Bal-

ken im Histogramm sind Flächenproportional zur relativen Häufigkeit der Klasse, zu der der

Balken gehört. Bei der Wahl gleichbreiter Klassen ist die Breite

-12-


Die zugehörige Kreuztabelle vom Format r × s = 3 × 3 entsteht durch Zählen der absoluten

Häufigkeiten und Ausrechnung der Summen am Rand:

X\Y 1 2 3 Σ

P 1 1 2 4

L 1 1 2 4

S 0 1 0 1

Σ 2 3 4 9

Die Werte am Rand geben die absoluten Häufigkeiten der (voneinander getrennten) Merkmale

X und Y an, unten rechts steht stets der Umfang n der Stichprobe. Um diese Daten darzustellen

eignen sich Säulendiagramme, wobei man die Säulen nach der ersten Variable gruppiert:

Abbildung 9: Gruppiertes Säulendiagramm

Metrische Merkmale

Bei zwei metrischen Variablen bietet sich das Streuungsdiagramm (Scatterplot) an: Jedes

Individuum wird als Punkt im Plot dargestellt, dessen horizontale Position durch das erste und

die vertikale Position durch das zweite Merkmal bestimmt wird. Diese Diagramme veranschau-

lichen eventuelle Zusammenhänge zwischen den Merkmalen.

-19-


0.5 1.0 1.5 x @in 1000 m2D

2

4

6

8

y @in Mio CHFD

Abbildung 10: Streuungsdiagramm der Datenpaare (xi, yi) aus der Tabelle

Dieser Plot legt nahe, dass es einen linearen Zusammenhang zwischen den x- und den y-Werten

gibt, da sie nahe an einer gemeinsamen Geraden liegen. Ein Scatterplot zu Merkmalen ohne

Zusammenhang besitzt dagegen typischerweise dieses Aussehen:

Abbildung 11: Streuungsdiagramm unzusammenhängender Merkmale

-21-


Abbildung 12: Eine rechtssschiefe Verteilung mit Modus, Mittelwert und Median

Durch die Asymmetrie fallen die Lageparameger im Plot nicht auf denselben Punkt. Bei rechts-

schiefen Verteilungen zieht die Verteilung zur linken Seite und umgekehrt. Das gilt ebenso für

Histogramme.

Abbildung 13: Ein rechtsschiefes Histogramm

Bei symmetrischen Verteilungen bzw. Stichproben liegen die drei Lageparameter auf dem selben

Punkt:

-28-


Abbildung 14: Ein symmetrisches Histogramm

Den genauen Zusammenhang der drei Lagemasse mit der Schiefe gibt die folgende Tabelle:

mo < m < µ: Wir haben eine rechtsschiefe bzw. linkssteile Verteilung der Daten.

mo > m > µ: Wir haben eine linksschiefe bzw. rechtssteile Verteilung der Daten.

mo = m = µ: Wir haben eine symmetrische Verteilung der Daten.

Um genauere Informationen über die Form der Verteilung zu erhalten, benötigt man Quantile.

Das Quantil für 0 < α < 1 ist derjenige Wert xα, der die Datenmenge in α und 1− α Anteile

unterteilt.

Zum Beispiel ist für α = 0.9 das α-Quantil xα derjenige Wert, für den 90% aller Daten darunter

liegen und 10% aller Daten darüber. Von besonderer Wichtigkeit sind die Quantile an den

Viertelstellen, man nennt sie die Quartile:

• 25%-Quantil x0.25. Dieses Quantil nennt man das 1. Quartil Q1.

• 50%-Quantil x0.50. Dieses Quantil nennt man das 2. Quartil Q2, es ist gleich dem Median.

• 75%-Quantil x0.75. Dieses Quantil nennt man das 3. Quartil Q3.

Die Quartile

Q1 und Q3

-29-


• Eine stetige Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion f , wenn die Wahrscheinlichkeit,

dass X einen Wert im Intervall [a, b] annimmt, der Fläche unterhalb der Dichtefunktion

in den Grenzen a und b entspricht:

P (a ≤ X ≤ b) =

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a)

• Ob die Intervallgrenzen a und b dabei im Intervall enthalten sind oder nicht, spielt für

den Wert des Integrals keine Rolle, d.h. ≤ kann nach Belieben durch < ersetzt werden.

Abbildung 25: Wahrscheinlichkeit als Fläche unter der Dichtefunktion

• Die Verteilungsfunktion kann auch für stetige Zufallsvariablen definiert werden:

F (x) = P (X ≤ x) =

x∫−∞

f(t)dt

Typischerweise ist nicht f(x), sondern F (x) in Tabellen nachzuschlagen: die Wahrschein-

lichkeit P (a ≤ X ≤ b) ist die Fläche unter der Kurve die durch f(x) beschrieben wird,

aber wenn wir die Stammfunktion F (x) kennen, genügt es, die Werte an deren Rändern

zu bestimmen:

-83-


Abbildung 26: Zusammenhang Verteilungs- und Dichtefunktion

• Verteilungsfunktion und Dichte hängen über die Ableitung zusammen: f = F ′.

5.2 Mittelwert und Varianz

Wie im diskreten Fall werden stetige Zufallsvariablen durch Erwartungswert und Varianz cha-

rakterisiert. Die Summe wird nun aber durch ein Integral und die Gewichte P (X = xi) durch

die Dichtefunktion ersetzt. Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X ist

µX = E(X) =

∞∫−∞

xf(x)dx

Man kann den Ausdruck E(g(X)) auch wie eine Auswertungsvorschrift verstehen: sie ordnet

g(X) (was eine Funktion, eine Zufallsvariable, eine Zahl oder sonst irgendein Ausdruck in X

sein kann) das Mittel über die Werte g(x) mit der Dichte f(x) zu. Der Erwartungswert von X

selbst µX = E(X) ist der Spezialfall, dass man X selbst einsetzt. Für eine beliebige Funktion

g(X) in X hat man dagegen

-84-


Einsetzen der Summen in die Gleichung für die Steigung der Regressionsgeraden ergibt

b1 =xy − x · yx2 − (x)2

=1n· 65.3952− 1

n10.68 · 1

n62.6

1n11.4058− ( 1

n10.68)2

=65.3952− 1

n10.68 · 62.6

11.4058− 1n10.682

=9.6812

1.9006= 5.093 .

Der Achsenabschnitt dazu ist

b0 = y − b1x =1

n62.6− 5.093 · 1

n10.68 = 0.684 .

Unser Regressionsmodell ist also y = 0.684 + 5.093x.

Abbildung 33: Scatterplot mit Regressionsgerade

11.2 Streuungsanalyse

Die Regressionsrechnung erlaubt auch eine genauere Analyse der Streuung bzw. Varianz von

Y . Diese zerlegt man in

• die Streuung, welche durch den Einfluss des Regressors X verursacht wird,

• die restliche (nicht abhängige) Streuung.

-142-

Stichwortverzeichnis uniseminar.ch

Interquartilsabstand, 31

Intervallschätzer, 110

Intervallskala, 6

Kleinste-Quadrate-Schätzer, 139

Kombinationen, 49

Kombinatorik, 49

Konfidenzgleichung, 110

Konfidenzintervall, 106, 110

Konfidenzniveau, 110, 120

Konsistenz, 100, 109

Kontingenztabelle, 18

Korrelationskoeffizient, 38

Kovarianz, 38

Kreisdiagramm, 9

Kreuztabelle, 18

Kritischer Wert, 124

Laplace-Modell, 48

Lineare Regression, 136

Liniendiagramm, 11

Mächtigkeit, 122

Margin of error, 110

Median

stetig, 86

zu Datenwerten, 24

Merkmal, 3

diskret, 5

kategoriell, 5

numerisch, 5

qualitativ, 5

quantitativ, 5

stetig, 5

Metrische Skala, 6

Minimumseigenschaft, 25, 34, 139

Mittelwert

arithmetisch, 25

geometrisch, 26

gewichtet, 35

zu Datenwerten, 25

Mittelwertschätzung, 101, 112

Modus, 24

Multiplikationssatz, 54, 61

Nominalskala, 6

Normalverteilung, 87

Notation, 23, 69

Nullhypothese, 120, 126

Ogive-Diagramm, 14

Ordinalskala, 6

P-Wert, 125, 149

Parameter, 4, 99, 106

Pareto-Diagramm, 10

Pareto-Kurve, 11

Permutationen, 49

Perzentil, 85

Poissonverteilung, 78

Population, 3, 97

Power, 122

Prognoseintervall, 105

Punktschätzer, 110

Quantil, 106

stetig, 85

zu Datenwerten, 29

Quartile, 29

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Statistik

Bachelor


Inhaltsverzeichnis

1 Deskriptive Statistik 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Statistische Masszahlen 17

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 31

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Diskrete Zufallsvariablen 43

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Stetige Zufallsvariablen 54

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Kon�denzintervalle 63

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9 Hypothesentests 68

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11 Regressionsrechnung 73

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Deskriptive Statistik: Lösungen uniseminar.ch

500 1000 1500

5

10

15

Ein Histogramm

Angenommen man hat nur das Diagramm, nicht aber die Stichprobe. Kann man dann die

Stichprobenwerte aus dem Diagramm wieder rekonstruieren?

Lösung:

Diese Verteilung ist nicht unimodal (es gibt mehr als einen „Hügel“). Sie ist rechtsschief (links

mehr Masse als rechts) und hat daher voraussichtlich einen höheren Mittelwert als Median.

Die Datenwerte sind sehr unregelmässig verteilt und nicht in einem zentralen Bereich

gehäuft (weder beim Mittelwert noch beim Median). Zudem liegen einige Ausreisser sehr

weit am Rand (die x-Achse reicht bis zum Wert 1’500). Alle diese Eigenschaften verursachen

vermutlich eine sehr hohe Varianz bzw. Standardabweichung.

Prinzipiell ist es möglich die Verteilung zu rekonstruieren wenn jedem Datenwert ein

Balken zugeordnet wird. Dazu erzeugt man soviele Datenpaare wie die Höhe des Balkens

angibt und versieht sie mit dem Wert der unter dem Balken steht. Das ist hier aber nicht

möglich, weil beispielsweise der erste Balken Datenwerte im Bereich 1-35 umfasst. Der Balken

ist als Zusammenfassung mehrerer verschiedener Datenwerte entstanden. Diese Einzelwerte

sind verloren, nur noch ihre Anzahl ist bekannt (Höhe des Balkens).

-9-


Histogramm zu Aufgabe 2-2

Die Verteilungsfunktion der (kumulativen) relativen Häufigkeiten wird durch die folgende

Kurve dargestellt:

Verteilungsfunktion zur Aufgabe 2-2

Die gepunkteten Linien beschreiben die 25%, 50% und 75% Quantile.

b) f5 + f6 = 27 (absolute Häufigkeit).

c) f4/n+ f5/n+ f6/n = 0.15 + 0.175 + 0.1625 = 0.4875 (relative Häufigkeit).

-12-


d)∑4

i=1 fi/n = 0.3875 (kumulative relative Häufigkeit).

e)∑9

i=7 fi/n = 0.275.

Aufgabe 4: Diagramme interpretieren

Betrachten Sie die beiden folgenden Abbildungen. Um welche Diagrammtypen handelt es sich

jeweils? Bestimmen Sie aus den Diagrammen jeweils die beschriebene Variable, deren Typ und

die Häufigkeitstabelle mit allen Häufigkeitsarten die man den Diagrammen entnehmen kann.

Runden Sie alle Werte auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Verteilung der Studienart an einer Universität

-13-


Altersjahrgänge eines Kindergartens (keine Zeitreihe)

Lösung:

Beim ersten Diagramm handelt es sich um ein Pareto-Diagramm mit eingetragener Pareto-

Kurve. Man erkennt es daran, dass die Klassen nach Häufigkeit sortiert sind und die Kurve

der kumulierten Häufigkeiten bei 100% endet. Damit ist auch klar, dass hier relative Häu-

figkeiten gegeben sind. Die Höhe der Säulen bezeichnet die relative Häufigkeit, die Höhe der

Pareto-Kurve die kumulative relative Häufigkeit der Klassen:

Klasse i Relative Häufigkeit fi/n Kumulative relative Häufigkeit Fi/n

Bachelor 0.5 0.5

Master 0.3 0.8

Doktorat 0.1 0.9

Dozentur 0.1 1.0

Da die Gesamtzahl n der Stichprobe fehlt, können wir hier keine absoluten Häufigkeiten be-

rechnen. Die beschriebene Variable ist erstmal nur kategoriell. Man könnte sie ordinal machen

wenn man die Anordnung Bachelor < Master < Doktorat < Dozentur ansetzt, das kann man

aber aus dem Diagramm so nicht interpretieren, weil die Klassen auch nach Häufigkeit diese

Anordnung besitzen. Das zweite Diagramm ist ein Ogive-Diagramm. Das erkennt man daran,

-14-


dass die Kurve monoton anwächst (also kumuliert), und der stärkste Anstieg der Kurve bei der

zweiten Klasse stattfindet. Damit sind die Klassen hier nicht nach Häufigkeit sortiert, es ist

also keine Pareto-Kurve. Damit ist das beschriebene Merkmal Jahrgang ordinal skaliert. Da es

sich um Zahlen handelt, ist es sogar numerisch. Die Ogive-Kurve endet bei 30, also sind hier

absolute und nicht relative Häufigkeiten aufgetragen und wir schliessen, dass n = 30 der Stich-

probenumfang ist. In der Häufigkeitstabelle können wir also alle Häufigkeitsarten eintragen:

absolute Häufigkeit fi, relative Häufigkeit fi/n, kumulative absolute Häufigkeit Fi, kumulative

relative Häufigkeit Fi/n. Die Höhe der Kurve im Ogive-Diagramm beschreibt Fi:

Klasse i fi fi/n Fi Fi/n

2005 6

2006 18

2007 26

2008 28

2009 30

Teilen durch die Gesamtzahl n = 30 ergibt die kumulativen relativen Häufigkeiten:


2005 6 0.20

2006 18 0.60

2007 26 0.87

2008 28 0.93

2009 30 1.00

Die absolute Häufigkeit fi bekommt man als Differenz der kumulativen absoluten Häufigkeiten:

fi = Fi − Fi−1.


2005 6 6 0.20

2006 12 18 0.60

2007 8 26 0.87

2008 2 28 0.93

2009 2 30 1.00

Division durch n = 30 ergibt die relativen Häufigkeiten:

-15-

Statistische Masszahlen: Lösungen uniseminar.ch

Preis Anzahl Relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit

xi [Fr.] fi fi/n Fi/n

12.00 - 14.40 8 0.1

14.40 - 16.80 17 0.2125 0.3125

16.80 - 19.20 15 0.1875

19.20 - 21.60 24 0.3

21.60 - 24.00 16 0.2 1.0∑80 —

Durch Summieren der relativen Häufigkeiten bis zur gegebenen Zeile berechnen wir die verblei-

benden kumulativen relativen Häufigkeiten:

Preis Anzahl Relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit

xi [Fr.] fi fi/n Fi/n

12.00 - 14.40 8 0.1 0.1

14.40 - 16.80 17 0.2125 0.3125

16.80 - 19.20 15 0.1875 0.5

19.20 - 21.60 24 0.3 0.8

21.60 - 24.00 16 0.2 1.0∑80 —

Aufgabe 8: Lageparameter bestimmen

Ermitteln Sie Median, die drei Quartile sowie die Quantile x1/3, x1/6, x1/9 und das Dezil x10%

aus den Daten:

1 , 6 , 4 , 4 , 3 , 2 , 3 , 4 , 2 , 4 , 2 , 3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 .

Lösung:

Die Datenfolge muss zuerst aufsteigend sortiert werden:

1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 6 .

-25-

Statistische Masszahlen: Lösungen uniseminar.ch

Streuungsdiagramm

Wir berechnen die Kovarianz n = 6 der Datenwerte. Dazu benötigen wir zunächst die Mittel-

werte:

x =1

6(0.0 + 0.2 + · · ·+ 1.0) =

3

6= 0.5

sowie

y =1

6(12 + 14 + 17 + 18 + 17 + 10) =

88

6= 14.66 .

Dann folgt

Covn(X, Y ) =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)(yi − y)

=1

5((0.0− 0.5)(12− 14.66) + · · ·+ (1.0− 0.5)(10− 14.66))

=1

5· 0 = 0 .

-29-

Diskrete Zufallsvariablen: Lösungen uniseminar.ch

Mit den Ergebnissen P (X = 3) und P (X = 5) von oben erhalten wir somit

P (3 ≤ X ≤ 5) = 0.224 + 0.168 + 0.101 = 0.493 .

Aufgabe 22: Die hypergeometrische Verteilung

In einem Tram sitzen 12 Fahrgäste, davon haben 3 keinen Billet gelöst. Bei einer Kontrolle

werden nur 6 Fahrgäste überprüft. Es beschreibe X die Anzahl der kontrollierten Personen

ohne Billet. Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X als Säulendiagramm.

Lösung:

Da jede Person nur höchstens einmal kontrolliert wird, handelt es sich hier um ein Ziehen

der Personen ohne Zurücklegen. Die Variable X ist hypergeometrisch verteilt mit folgenden

Parametern:

• N = 12 Personen im Tram,

• davon sind S = 3 „Erfolge“ in der Kontrolle,

• nur n = 6 Personen werden kontrolliert.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X ist dann durch den Binomial-Bruch aus dem Skript

gegeben:

P (X = k) =

(S

k

)·(N − Sn− k

)(N

n

) =

(3

k

)·(

12− 3

6− k

)(

12

6

) =

(3

k

)·(

9

6− k

)924

.

-54-

Diskrete Zufallsvariablen: Lösungen uniseminar.ch

Dabei können nur die Werte k = 0, 1, 2, 3 überhaupt eintreten, weil nur 3 Personen kein Billet

haben. Einsetzen der Werte für k in den Bruch ergibt

P (X = 0) =

(3

0

)·(

9

6− 0

)924

=1 · 84

924= 0.091

P (X = 1) =

(3

1

)·(

9

6− 1

)924

=3 · 126

924= 0.409

P (X = 2) =

(3

2

)·(

9

6− 2

)924

=3 · 126

924= 0.409

P (X = 3) =

(3

3

)·(

9

6− 3

)924

=1 · 84

924= 0.091

Hier lohnt es sich, das Ergebnis schnell zu überprüfen. Die Summe der Einzelwahrscheinlich-

keiten sollte Eins ergeben: 0.091 + 0.409 + 0.409 + 0.091 = 1.

Säulendiagramm zu Aufgabe 0

-55-

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Ü

Übungen

Statistik

Bachelor


Inhaltsverzeichnis

Deskriptive Statistik: Graphische Methoden 1

Aufgabe 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Aufgabe 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Aufgabe 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Aufgabe 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Aufgabe 1.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Aufgabe 1.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Aufgabe 1.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Aufgabe 1.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Aufgabe 1.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Aufgabe 1.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Deskriptive Statistik: Statische Kennzahlen 8

Aufgabe 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Aufgabe 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Aufgabe 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Aufgabe 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Aufgabe 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Aufgabe 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Aufgabe 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aufgabe 2.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aufgabe 2.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aufgabe 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Aufgabe 2.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Aufgabe 2.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Aufgabe 2.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Aufgabe 2.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Aufgabe 2.1 (Weitere Übungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16



Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 18

Aufgabe 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aufgabe 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aufgabe 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Aufgabe 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Aufgabe 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Aufgabe 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Aufgabe 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Aufgabe 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Aufgabe 3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Aufgabe 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Aufgabe 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Aufgabe 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Aufgabe 3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Aufgabe 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Aufgabe 3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Aufgabe 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Aufgabe 3.37 [3.38 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Aufgabe 3.40 [3.42 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Aufgabe 3.42 [3.44 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Aufgabe 3.44 [3.46 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Aufgabe 3.45 [3.47 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Aufgabe 3.46 [3.48 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Aufgabe 3.48 [3.50 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Aufgabe 3.76 [3.78 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Aufgabe 3.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Aufgabe 3.112 [3.110 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 30

Aufgabe 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgabe 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgabe 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgabe 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgabe 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Aufgabe 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Aufgabe 4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Aufgabe 4.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Aufgabe 4.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aufgabe 4.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aufgabe 4.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Aufgabe 4.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Aufgabe 4.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Aufgabe 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Aufgabe 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Aufgabe 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Aufgabe 4.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Aufgabe 4.50 [4.60 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Aufgabe 4.54 [4.64 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Aufgabe 4.56 [4.66 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Aufgabe 4.60 [4.70 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 43

Aufgabe 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Aufgabe 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Aufgabe 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Aufgabe 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aufgabe 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aufgabe 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aufgabe 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Aufgabe 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Aufgabe 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Aufgabe 5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Aufgabe 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Aufgabe 5.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Aufgabe 5.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Aufgabe 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Aufgabe 5.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Aufgabe 5.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Aufgabe 5.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Aufgabe 5.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Aufgabe 5.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Aufgabe 5.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Aufgabe 5.78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Aufgabe 5.80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Aufgabe 5.84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Aufgabe 5.88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Aufgabe 5.90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Verteilung von Stichprobenstatistiken 64

Aufgabe 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Aufgabe 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Aufgabe 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Aufgabe 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Aufgabe 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Aufgabe 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Aufgabe 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Aufgabe 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Aufgabe 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Aufgabe 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Aufgabe 6.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Aufgabe 6.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Aufgabe 6.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Aufgabe 6.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Aufgabe 6.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Kon�denzintervallschätzung: Eine Population 77

Aufgabe 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Aufgabe 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Aufgabe 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Aufgabe 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Aufgabe 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Aufgabe 7.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Aufgabe 7.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Aufgabe 7.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Aufgabe 7.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Aufgabe 7.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Hypothesentests: Eine Population 83

Aufgabe 9.7 [9.6 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Aufgabe 9.8 [9.7 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Aufgabe 9.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Aufgabe 9.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Aufgabe 9.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Aufgabe 9.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Aufgabe 9.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Aufgabe 9.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Aufgabe 9.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Aufgabe 9.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Aufgabe 9.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Aufgabe 9.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Lineare Einfachregression 92

Aufgabe 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Aufgabe 11.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Aufgabe 11.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Aufgabe 11.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Aufgabe 11.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Aufgabe 11.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Aufgabe 11.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Aufgabe 11.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Aufgabe 11.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Aufgabe 11.25 [11.26 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Aufgabe 11.27 [11.28 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Aufgabe 11.28 [11.29 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Aufgabe 11.31 [11.34 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Aufgabe 11.32 [11.35 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Aufgabe 11.34 [11.37 in Au�age 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Übungen uniseminar.ch

Aufgabe 1.10

Das Pareto-Diagramm hat folgende Gestalt:

Die Defektarten sind nach ihrer Häufigkeit geordnet. Daher nimmt die Steigung der stückweise

(affin) linearen Funktion ab. Ihr „Endwert “ muss 1 betragen.

Aufgabe 1.16

Wir beschreiben die Daten mithilfe eines Kreisdiagramms:

Der Prozentsatz einer Kategorie entspicht dem Anteil im Kreisdiagramms. So erkennt man,

dass 50% aller Internetbenutzer entweder Nachrichten einholen oder E-Mails aufrufen.

-3-


Aufgabe 1.18

a) Component-bar-chart:

Bei dem Component-bar-chart sind die Daten für die Jahrgänge 2004 und 2009 über-

einander gelegt. Durch farbliche Abgrenzung werden die Daten miteinander verglichen. Die

Höhe der Balken entspricht der Anzahl der Studenten.

b) Cluster-bar-chart:

BeimCluster-bar-chart sind die Daten für die Jahrgänge 2004 und 2009 nebeneinander gelegt.

Eine Abgrenzung wird durch die unterschiedlichen Höhen der Balken erreicht.

-4-


Lieferant defekte Teile nicht defekte Teile gelieferte Teile

A 4 54 58

B 10 60 70

C 6 66 72

Gesamt 20 180 200

Dabei addieren sich komponentenweise die zweite mit der dritten Spalte zur Vierten und

die erste, zweite und dritte Zeile zur Untersten.

b) Wir wählen als Darstellungsform das Cluster-bar-chart und erhalten:

Aufgabe 1.47

a) Wie ein Histogramm bei ungleichen Klassenbreiten erstellt wird, wird in der Vorlesung

gezeigt. Eine mögliche Darstellung sähe dann wie folgt aus:

-9-


b) Wir erhalten dann für die Verteilungsfunktion:

x 44 45 46 47 48 49 50

P(x) 0.04 0.13 0.21 0.29 0.2 0.1 0.03

F(x) 0.04 0.17 0.38 0.67 0.87 0.97 1.00

Kosten 163 165 167 169 171 173 175

Sie hat folgende Gestalt:

c) Mithilfe der Verteilungsfunktion berechnen wir:

P (46 ≤ X ≤ 48) = F (48)− F (45) = 0.87− 0.17 = 0.7

-38-


Ereignisse in a), b) und c) den Wahrscheinlichkeitsraum. Aus der Disjunktheit folgt dann,

dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

Aufgabe 5.26

Sei X die normalverteilte Zufallsvariabe, die das Gewicht der Fremdkörper simuliert. Wir trans-

formieren X in eine Standardnormalverteilung Z:

Z : =X − 12.2

2.8

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge weniger als 10 Gramm wiegt, liegt

bei:

P (X < 10) = P

(Z <

10− 12.2

2.8

)≈ 1− Φ(0.79) = 0.2148

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge mehr als 15 Gramm wiegt, liegt

bei:

P (X > 15) = P

(Z >

15− 12.2

2.8

)= 1− Φ(1) = 0.1587

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge zwischen 12 und 15 Gramm wiegt,

-60-


e) σ2p ist ein erwartungstreuer Punktschätzer für die Varianz des Stichprobenanteils:

σ2p =

p (1− p)12

= 0.0156

Aufgabe 7.10

a) Gegeben sind die Werte n = 64, σ2 = 144 und ein Konfidenzniveau von 98%. Daraus ergibt

sich dann das uppertail -Quantil zα2

= z0.01 = 2.33 und wir erhalten folgende Fehlermarge:

ME = 2.33 · σ√n

= 2.33 · 12

8= 3.495

b) Gegeben sind die Werte n = 120, σ = 100 und ein Konfidenzniveau von 99%. Daraus ergibt

sich dann zα2

= z0.005 = 2.58 und wir erhalten folgende Fehlermarge:

ME = 2.58 · σ√n

= 2.58 · 100√120

= 23.552

−zα2

α2

1− α

zα2

α2

x

Aufgabe 7.12

a) Gegeben sind x = 50, n = 64, σ = 40 und α = 0.05. Dann gilt:

zα2

= 1.96

-93-

Prüfung

enExtras

P

Prüfungen

Statistik

Bachelor


Inhaltsverzeichnis

Prüfung HS 2012 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Prüfung FS 2012 19

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Prüfung HS 2011 41

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Prüfung FS 2011 64

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Prüfung HS 2010 91

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Prüfung FS 2010 111

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Prüfung HS 2009 134

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209



Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Prüfung FS 2011 uniseminar.ch

Aufgabe 7 (12 Punkte)

Der CEO einer Unternehmung hat Sie gebeten, die lineare Beziehung zwischen Einzelhandel-

sumsatz (Y in USD) und verfügbarem Haushaltseinkommen (X in USD) zu untersuchen.

Unglücklicherweise hat der CEO Ihnen nicht den ganzen Datensatz zur Verfügung gestellt,

sondern lediglich den folgenden unvollständigen Gretl-Output:

Summary Statistics, using the observations 1-20

Variable Mean Median Minimum Maximum

Income 57362.7 57706.0 55637.0 59066.0

Retail 22446.3 22534.5 21699.0 23315.0

Variable Std. Dev. C.V. Skewness Ex. kurtosis

Income 1246.53 0.0217307 -0.164240 -1.52345

Retail 511.397 0.0227831 0.0259196 -1.25170

Model 1: OLS, using observations 1-20

Dependent variable: Retail

Coefficient Std. Error t-ratio p-value

const . . . 1579.22 -0.0719 0.94344

income . . . 0.0275242 14.2887 < 0.00001

Mean dependent var 22446.35 S.D. dependent var 511.3974

Sum squared resid 402588.2 S.E. of regression 149.5527

R-squared 0.918980 Adjusted R-squared 0.914479

F(1,18) 204.1683 P-value(F) 2.90e-11

Log-likelihood -127.4781 Akaike criterion 258.9563

Schwarz criterion 260.9477 Hannan-Quinn 259.3450

(a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der relevanten linearen Regressionsgleichung mit der

Methode der kleinsten Quadrate.

(b) Was ist der erwartete Einzelhandelsumsatz Y bei einem verfügbaren Haushaltseinkommen

von x = $20′000?

(c) Betrachten Sie weiter oben in den Tabellen die Statistiken zum Hypothesentest der Stei-

gung der Regressionsgeraden.

-7-


(i) Welche Hypothese wurde dort genau getestet? Nennen Sie die korrekte Null- und

Alternativhypothese.

(ii) Können Sie die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau 5% verwerfen? Erklären

Sie kurz Ihre Antwort.

(c) Da die Stichprobe sehr klein ist, muss für den oben durchgeführten Test eine zusätzliche

Annahme erfüllt sein. Nennen Sie diese Annahme und überprüfen Sie sie mittels des unten

abgebildeten Diagramms. Erläutern Sie kurz.

-8-

Prüfung HS 2010 uniseminar.ch

Aufgabe 7: Der t -Test (5 Punkte)

Ein Fast-Food-Restaurant erzielt an Werktagen einen durchschnittlichen Umsatz von Fr. 2’000.

Um zu sehen, ob sich der Geschäftsgang wegen der sich verschlechternden Wirtschaftslage

(welche für Fast-Food-Restaurants gut oder schlecht sein kann) verändert hat, beschliesst das

Management, die Umsatzzahlen für die nächsten 20 Tage sorgfältig zu studieren.

(a) Wie lautet die Null- und Alternativhypothese in diesem Fall?

(b) Die mit der Untersuchung beauftragte Statistikerin möchte überprüfen, ob die Daten

approximativ normalverteilt sind, um den t -Test (in einer kleinen Stichprobe) durchzu-

führen. Sie erstellt in Gretl dazu den folgenden Normal-Q-Q-Plot:

Wie lautet das Fazit? Kurze Begründung.

(c) Die Statistikerin führt in Gretl den t -Test durch und erhält folgenden Output:

-30-


Hat sich der Tagesumsatz signifikant verändert durch die Verschlechterung der Wirt-

schaftslage (Signifikanzniveau 5%)? Kurze Begründung.

Aufgabe 8: Lineare Regression (8 Punkte)

In einer Studie wurde der Zusammenhang zwischen Nahrungsmittelausgaben (foodexp) und

Gesamtausgaben (totexp) von indischen Haushalten mit einer linearen Einfachregression un-

tersucht. Beide Variablen sind in indischen Rupien gemessen. Für die Untersuchung wurden 41

zufällig ausgewählte Haushalte befragt.

Die folgenden Tabellen aus Gretl enthalten grundlegende Statistiken und Regressionsresul-

tate (bestimmt nach der Kleinsten-Quadrate-Methode) zur Untersuchung. Leider ging beim

Transfer von Gretl in dieses Dokument der Wert der Steigung verloren.

-31-

Prüfung FS 2010: Lösungen uniseminar.ch

Wert Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

1 120 0.36

2 90 0.27

4 90 0.27

3 30 0.09

Das Pareto-Diagramm sieht dann wie folgt aus:

Abbildung 4: Pareto-Diagramm

-65-


Aufgabe 3: Dual Choice (8 Punkte)

Kreuzen Sie bei jeder der 15 untenstehenden Aussagen richtig oder falsch an.

Nr Aussage richtig falsch

1 In einer Unternehmung steigen die Löhne aller Beschäftigten um 50

Fr. Somit steigt auch das arithmetische Mittel der Löhne um 50 Fr.

2 2

2 In einer Unternehmung steigen die Löhne aller Beschäftigten um

3%. Somit steigt auch das arithmetische Mittel der Löhne um 3%.

2 2

3 Ein Wertpapier steigt im ersten Jahr um 50% und sinkt im zweiten

Jahr um 20%. Der durchschnittliche jährliche prozentuale Kursan-

stieg liegt somit bei 15%.

2 2

4 Ist der Korrelationskoeffizient zweier Stichproben rXY < 0, so ist

rY X > 0.

2 2

5 Ein Korrelationskoeffizient von rxy = 0 bedeutet, dass es keinen

linearen Zusammenhang zwischen den zwei metrisch skalierten Va-

riablen X und Y gibt.

2 2

6 Der Median ist nur für metrische Daten sinnvoll definiert. 2 2

7 Der Median des Datensatzes (2; 3; 9; 4; 5) ist 9. 2 2

8 Der Variationskoeffizient einer Datenreihe sei CV = 17%. Die Stan-

dardabweichung ist somit 17% grösser als das arithmetische Mittel.

2 2

9 Die Standardabweichung s > 0 einer Datenreihe erhöht sich, falls

alle Werte der Datenreihe verdoppelt werden.

2 2

10 Die Standardabweichung s > 0 einer Datenreihe erhöht sich, falls

alle Werte der Datenreihen um eine Konstante c > 0 erhöht werden.

2 2

11 In einem Histogramm mit gleichgrossen Klassen sind die Höhen der

Säulen proportional zu den Häufigkeiten.

2 2

12 Bei einer symmetrischen Verteilung liegen Median und arithmeti-

sches Mittel an der gleichen Stelle.

2 2

13 Der Wert einer stetigen Dichtefunktion f(x) kann niemals > 1 sein. 2 2

14 Es gilt immer: P (A|B) = P (B|A). 2 2

15 Es gilt immer: P (A ∩B) < P (A). 2 2

-75-

Prüfung HS 2009: Lösungen uniseminar.ch

Klasse (Brenndauer in h) xi wi fi fi/n di

200 ≤ x < 800 500 600 14 0.0350 0.023

800 ≤ x < 1′000 900 200 151 0.3775 0.755

1′000 ≤ x < 1′300 1’150 300 200 0.5000 0.667

1′300 ≤ x < 1′700 1’500 400 35 0.0875 0.088

Beschreibung der Tabelle

• Wir haben n = 400 =∑fi Datenwerte insgesamt.

• Die Zeilen stellen die verschiedenen Klassen dar.

• wi ist die Breite der i-ten Klasse, das ist die Breite der Säule im Diagramm.

• fi ist die absolute Häufigkeit und ist gleich der Anzahl Daten in der jeweiligen Klasse.

• fi/n ist die relative Häufigkeit und ist gleich der Anzahl Daten in der jeweiligen

Klasse geteilt durch die Gesamtanzahl Daten mit n = 400.

• di ist die Höhe für die Säule im Diagramm:

Histogramm mit verschiedenen Klassenbreiten

-79-

Prüfung HS 2009: Lösungen uniseminar.ch

KlasseVerdienst

Häufigkeit kumulierte Häufigkeit

absolut relativ absolut

von . . . bis unter . . . fi fi/n Fi

6 5’500 6’000 84 14.00% 312

5 5’000 5’500 78 13.00% 228

7 6’000 6’500 72 12.00% 384

8 6’500 7’000 66 11.00% 450

4 4’500 5’000 60 10.00% 150

9 7’000 7’500 54 9.00% 504

3 4’000 4’500 42 7.00% 90

10 7’500 8’000 36 6.00% 540

2 3’500 4’000 30 5.00% 48

11 8’000 8’500 30 5.00% 570

12 8’500 9’000 30 5.00% 600

1 3’000 3’500 18 3.00% 18

Abbildung 5: Pareto-Diagramm zu b)

-83-


Aufgabe 4: Dual Choice (8 Punkte)

Kreuzen Sie bei jeder der 15 untenstehenden Aussagen richtig oder falsch an.

Nr Aussage richtig falsch

1 Das Merkmal “Kundenzufriedenheit” wird mit den Ausprägungen

“sehr unzufrieden”, “unzufrieden”, “zufrieden”, “gut” und “sehr gut”

erfasst. Hierbei handelt es sich um ein ordinalskaliertes Merkmal.

2 2

2 In einer symmetrischen Verteilung liegen der Median und das arith-

metische Mittel an derselben Stelle.

2 2

3 Das arithmetische Mittel ist anfälliger auf Ausreisser als der Medi-

an.

2 2

4 Eine Aktie ist im 1. Jahr um 9.80% gesunken und im 2. Jahr um

15.60% gestiegen. Die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate war

demnach 2.90% in diesen zwei Jahren.

2 2

5 Wenn die Varianz 0 beträgt, ist auch die Spannweite 0. 2 2

6 Der Median der fünf Werte 6, 4, 7, 9, 5 beträgt 7. 2 2

7 Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel der

drei Werte 1, 2 und 3 beträgt 1.

2 2

8 Der Interquartilsabstand ist im Gegensatz zur Varianz ein robustes

Streuungsmass.

2 2

9 Die Quantile zα der Standardnormalverteilung sind für α < 12ne-

gativ.

2 2

10 Der Variationskoeffizient liegt immer zwischen 0% und 100%. 2 2

11 Die Säulen im Pareto-Diagramm sind nach der Klasse sortiert. 2 2

12 Die Poisson-Verteilung zum Parameter λ ist die Exponentialvertei-

lung zum Parameter 1λ.

2 2

13 Entsteht ein Datensatz (y) aus einem Datensatz (x) durch Addition

einer Konstanten, so ist rXY = 1.

2 2

14 Der Modus entspricht dem 50%-Quantil. 2 2

15 Falls P (A|B) = P (A) gilt, dann gilt auch P (B|A) = P (B). 2 2

-146-

Prüfung FS 2008: Lösungen uniseminar.ch

Lösungen

Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung (8 Punkte)

Eine Fabrik bezieht elektronische Schalter von drei verschiedenen Zulieferfirmen A, B und C.

Jeder zweite Schalter kommt von A, jeder dritte von B, der Rest von C. Von den A-Schaltern

sind durchschnittlich 10% defekt, von den B-Schaltern 5% und von den C-Schaltern nur 2%.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein zufällig gewählter Schalter von der Fabrik C

und ist einwandfrei?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig gewählter Schalter defekt?

(c) Die Fabrik kontrolliert alle angelieferten Schalter. Diese Eingangskontrolle entdeckt 95%

aller defekten Schalter und akzeptiert sämtliche einwandfreien Schalter.

(i) Welcher Anteil der angelieferten Schalter wird von dieser Eingangskontrolle als defekt

aussortiert?

(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Schalter in einem Gerät, das in den Verkauf

kommt, defekt?

Lösung

Wir zeichnen ein Baumdiagramm, das uns bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich sein wird.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ent-

lang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dann

die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

-148-

EExtras

FormelnStatistikBa helor


Inhaltsverzei hnisWahrs heinli hkeitsre hnung 1Statistis he Kenngrössen 4Wahrs heinli hkeitsverteilungen 6Kon�denzintervalle 7Hypothesentests 9Lineare Regression 10Tabelle der Binomialverteilung 12Wahrs heinli hkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Tabelle der Poisson-Verteilung 18Wahrs heinli hkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tabelle der Standardnormalverteilung 22Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Quantile der Students hen t-Verteilung 23Hier haben wir alle wi htigen Formeln und Tabellen zur Vorlesung kurz und übersi htli hzusammen gestellt. Zudem �ndest Du die S hemas aus den Theorieskripten zu den jeweiligenTests. Diese helfen Dir s hneller voran zu kommen und einen guten Überbli k zu erhalten.

Formeln uniseminar.ch

Wahrscheinlichkeitsrechnung

- Ereignisraum: S S = Menge aller möglichen Ergebnisse bzw. Ausgänge

eines Zufallexperiments

- Ereignis: A,B,C, . . . A = Eine Teilmenge von S

- Gegenereignis von A: A A = S\A = die Komplementmenge

- Wahrscheinlichkeit: P (A) P (A) = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt

- Gegenwahrscheinlichkeit: P (A) P (A) = 1− P (A) = WS, dass A nicht eintritt

Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Klassische Wahrscheinlichkeit: (nach P.S. Laplace)

Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleichwahrscheinlichen Ergebnissen

P (A) = gm

(Laplace-Wahrscheinlichkeit)

g = Anzahl der für M günstigen Ergebnisse, m = Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Statistische Wahrscheinlichkeit:

fn(A) = relative Häufigkeit von M [Schätzwert für P (A)]

Für grosse n haben wir: fn(A) → P (A) (Empirisches Gesetz der grossen Zahlen)

Mathematische Wahrscheinlichkeit: (nach A.N. Kolmogorov)

Es gibt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P : A 7→ P (A), für die gilt:

- P (A) ≥ 0 (Nichtnegativitätsaxiom)

- P (A) = 1 (Normierungsaxiom)

- P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für A ∩ B = ∅ (Additionsaxiom für unvereinbare Ereignisse)

Es folgt: 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0.

-1-


Baumdiagramme: Jede Kolonne ist eine Stufe des Zufallsexperiments

Pfadregeln:

- Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten

entlang des Pfades zum Ergebnis.

- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten

aller Ergebnisse, die dieses Ereignis bilden.

Kombinatorik

n-Fakultät: n! = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 2 · 1 n! = n · (n− 1)!, 1! = 1, 0! = 1

Binomialkoeffizienten:(

n

k

)

=n!

k! · (n− k)!, (0 ≤ k ≤ n)

(

n

0

)

= 1, für k > n ⇒(

n

k

)

= 0

Permutationen: n verschiedene Elemente P nn = n!

k aus n Elementen P nk =

n!

(n− k)!

Kombinationen: ohne Wiederholungen

(ohne Zurücklegen)Cn

k =

(

n

k

)

=n!

k! · (n− k)!

-3-


Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Verteilung Wahrscheinlichkeit E(X) σ2X σX

Bernoulli P (X = 1) = p p p(1− p)√

p(1− p)

Binomial P (X = k) =

(

n

k

)

pk(1− p)n−k np np(1− p)√

np(1 − p)

Poisson P (X = k) =e−λ · λk

k!λ λ

√λ

Hypergeometrische Verteilung P (X = k) =

(

S

k

)

·(

N − S

n− k

)

(

N

n

)

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Verteilung Dichtefunktion E(X) σ2X σX

Gleichverteilt f(x) =1

b− aauf [a, b]

a + b

2

(b− a)2

12

b− a√12

Normalverteilt N(µ, σ) f(x) =1√2πσ

e−1

2(x−µ

σ)2 µ σ2 σ

Exponentialverteilt f(x) = λe−λx, F (x) = 1− e−λx 1

λ

1

λ2

1

λ

Berechnung der Wahrscheinlichkeit stetiger Verteilungen

Linksseitig P (X ≤ b) =∫ b

−∞

f(x)dx = F (b) → Tabellenwert

Rechtsseitig P (X ≥ a) =∫ ∞

a

f(x)dx = 1− F (a)

Zweiseitig P (a ≤ X ≤ b) =∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

-6-


Konfidenzintervalle

Grundprinzip eines Konfidenzintervalls

Konfidenzintervall = Schätzer ± FM = Schätzer ± zα2× SF

1− α = Konfidenzniveau

FM = Fehlermarge = zα2× SF

SF = Standardfehler

σ = Standardabweichung der Grundgesamtheit

s = Standardabweichung der Stichprobe

n = Stichprobenzahl

zα = uppertail -Quantil der Standardnormalverteilung

(das z, so dass P (Z ≤ z) = 1− α)

zα2

= Quantile der Standardnormalverteilung für Intervalle

(das z, so dass P (−z ≤ Z ≤ z) = 1− α)

tdf,α = Quantile der Studentschen t -Verteilung

(das t, so dass P (T ≤ t) = 1− α)

Konfidenzintervall für Mittelwert, σ bekannt

x ± zα2· σ√

n

Gesuchter Parameter: Mittelwert µ einer Verteilung

Gegeben: Eine Stichprobe zu n Elementen mit

Mittelwert x

Der Schätzer: Das Mittel x der Stichprobe

-7-


Konfidenzintervall für Mittelwert, σ nicht bekannt

x ± tn−1,α2· s√

n

Gesuchter Parameter: Mittelwert µ einer Verteilung

Gegeben: Eine Stichprobe zu n Elementen mit

Mittelwert x und Standardabweichung s

Der Schätzer: Das Mittel x der Stichprobe

Konfidenzintervall für Anteilswert

p ± zα2·√

p(1− p)

n

Gesuchter Parameter: Anteil oder Einzelwahrscheinlichkeit p

Gegeben: Eine Stichprobe mit n Elementen mit

relativer Häufigkeit p des Anteils

Der Schätzer: Der Anteil p der günstigen Kandidaten

innnerhalb der Stichprobe

-8-


Hypothesentests

Grundprinzip eines Hypothesentests

Nullhypothese H0 : θ = θ0 wird getestet gegen

Alternative HA: Einseitiger oder zweiseitiger Unterschied zu θ0

1− α = Konfidenzniveau des Tests

α = Signifikanzniveau

z oder t = Standardisierte Teststatistik

PW = P (Z ≥ z) falls HA : θ > θ0 einseitig

P (Z ≤ z) falls HA : θ < θ0 einseitig

2P (Z ≥ |z|) falls HA : θ 6= θ0 zweiseitig

Testentscheid: H0 verwerfen falls PW ≤ α, sonst H0 beibehalten

Dabei wird die Wahrscheinlichkeit für Z aus der Tabelle der Standardnormalverteilung abgele-

sen. Die Berechnung der Teststatistik hängt nur von Nullhypothese H0 ab, die Berechnung des

P -Werts dagegen von der Alternative und dem erhaltenen z -Wert.

Die Teststatistiken in den Hauptanwendungen:

θ = µ = Mittelwert einer Verteilung, σ bekanntH0: µ=µ0−→ z =

x− µ0

σ/√n

θ = µ = Mittelwert einer Verteilung, σ unbekanntH0: µ=µ0−→df=n−1

t =x− µ0

s/√n

θ = βj = RegressionskoeffizientH0: βj=0−→df=n−2

t =bj

SEbj

θ = p = AnteilswertH0: p=p0−→ z =

p− p0√

p0(1−p0)n

Bei einem Anteil p im zweiten Fall steht die Vermutung p0 im Nenner.

-9-


Verteilungsfunktion Φ(z) = P (Z ≤ z) der Standardnormalverteilung

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586

0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535

0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409

0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173

0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240

0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490

0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524

0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327

0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298

1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147

1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774

1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408

1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449

1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327

1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062

1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670

2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169

2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574

2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899

2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158

2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361

2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520

2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643

2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736

2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807

2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861

3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900

3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929

3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950

3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965

3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976

3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983

3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989

3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992

3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995

3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997

4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Für negative Werte verwende die Symmetrieregel Φ(−z) = 1− Φ(z).

-22-

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