ZÁKLADY KON TRUKTÍVNEJ A PO ÍTA OVEJ GEOMETRIE (úlohy a ... · 1 ELIPSA 1 Elipsa 1.1 De nícia a základné pojmy De nícia 1.1. Nech sú v euklidovskej rovine E 2 dané dva rôzne

aa

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KO�ICIACH

STROJNÍCKA FAKULTA

ZÁKLADY KON�TRUKTÍVNEJ

A PO�ÍTA�OVEJ GEOMETRIE

(úlohy a pracovné listy)

Lucia Gálisová, Zuzana Kimáková, Denisa Olek²áková

EDÍCIA �TUDIJNEJ LITERATÚRY

Ko²ice 2015

aa

Názov: ZÁKLADY KON�TRUKTÍVNEJ A PO�ÍTA�OVEJ GEOMETRIE

(úlohy a pracovné listy)

Autori: RNDr. Lucia Gálisová, PhD.

RNDr. Zuzana Kimáková, PhD.

RNDr. Denisa Olek²áková, PhD.

Recenzenti: Doc. RNDr. Marián Kle²£, PhD., FEI TUKE v Ko²iciach

RNDr. Eva Stanová, PhD., SVF TUKE v Ko²iciach

Mgr. Viera �melková, PhD., FPEDAS �U v �iline

Vydavate©: Technická univerzita v Ko²iciach

Rok vydania: 2015

Vydanie: prvé

Rozsah: 161 strán

V²etky práva sú vyhradené. Nijaká £as´ textu nemôºe by´ pouºitá na ¤al²ie ²írenie akouko©vek

formou bez súhlasu autorov alebo nakladate©stva.

Rukopis nepre²iel redak£nou ani jazykovou úpravou. Za odbornú a jazykovú stránku skrípt

zodpovedajú autori.

Umiestnenie: http://www.sjf.tuke.sk/kamai/vyucba/literatura-menu

Dostupné od: 21. 12. 2015

Skriptá boli spracované za £iasto£nej podpory grantu M�VVa� SR KEGA 072TUKE-4/2014.

ISBN 978-80-553-2355-8

Predhovor

Predkladaný ²tudijný materiál je zbierkou vybraných rie²ených a nerie²ených úloh z kon²truktív-

nej geometrie. Je ur£ený predov²etkým pre ²tudentov 1. ro£níka bakalárskych ²túdijných progra-

mov Strojníckej fakulty Technickej univerzity v Ko²iciach. U£ebný text komplexne pokrýva obsah

predmetu Základy kon²truktívnej a po£íta£ovej geometrie a má slúºi´ na precvi£enie a úspe²né

zvládnutie jeho obsahu.

�tudijný text je rozdelený na ²tyri kapitoly: Elipsa, Kolineácia a a�nita, Mongeovo premietanie

a Axonometria. V jednotlivých kapitolách je na za£iatku kaºdej novej témy uvedená stru£ná teore-

tická £as´, pouºívaná symbolika a rie²ené kon²trukcie s obrázkami, ktoré majú slúºi´ ako pomôcka

pri rie²ení kon²truk£ných úloh, uvedených v závere tématickej oblasti. Poradie tém, ako aj nerie-

²ených úloh nie je náhodné, preto sa odporú£a ²tudova´ jednotlivé témy a rie²i´ úlohy v uvedenom

poradí. Tieº sa odporú£a pracova´ s u£ebným textom priebeºne po£as celého semestra.

Veríme, ºe pouºívanie tohto ²tudijného materiálu prispeje ku skvalitneniu výu£by kon²truk-

tívnej geometrie nielen na Technickej univerzite v Ko²iciach, ale aj iných vysokých ²kolách tech-

nického zamerania na Slovensku.

Na záver sa chceme po¤akova´ recenzentom doc. RNDr. Mariánovi Kle²£ovi, PhD., RNDr. Eve

Stanovej, PhD. a Mgr. Viere �melkovej, PhD. za pozorné pre£ítanie a dôsledné zhodnotenie ruko-

pisu. Ich kritické pripomienky, cenné rady a odporú£ania výraznou mierou prispeli k skvalitneniu

tohto u£ebného textu.

�itate©ovi ºeláme ve©a úspechov a trpezlivosti pri rie²ení úloh, ako aj mnoho chuti a radosti

z objavovania nových poznatkov.

Ko²ice, 2015 Autorky

Obsah

1 Elipsa 7

1.1 De�nícia a základné pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Kon²trukcie elipsy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Bodová kon²trukcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Kon²trukcia pomocou hyperoskula£ných kruºníc . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Pomocné kon²trukcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Doty£nica k elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Kolineácia a a�nita 20

2.1 Perspektívna kolineácia medzi rovinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Stredová kolineácia v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Perspektívna a�nita medzi rovinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Osová a�nita v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Mongeovo premietanie 36

3.1 Princíp a základné pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Zobrazenie základných geometrických útvarov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Zobrazenie bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Zobrazenie priamky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Zobrazenie roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.4 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Základné polohové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Vzájomná poloha bodu a priamky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Vzájomná poloha dvoch priamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 Vzájomná poloha dvoch rovín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.4 Vzájomná poloha priamky a roviny, vzájomná poloha bodu a roviny . . . . 50

3.3.5 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Základné metrické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Sklopenie premietacej roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.2 Kolmos´ priamky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.3 Oto£enie roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.4 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5 Zobrazenie rovinných útvarov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.1 Zobrazenie rovinného n-uholníka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.2 Zobrazenie kruºnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.3 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6 Zobrazenie jednoduchých telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6.1 Zobrazenie mnohostenov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.2 Zobrazenie oblých telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6.3 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7 Tretia (pomocná) priemet¬a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7.1 Tretí priemet bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7.2 Tretí priemet roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.7.3 Tretí priemet jednoduchého telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.7.4 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.8 Rovinné rezy hranatých telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.8.1 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Axonometria 119

4.1 Princíp a základné pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 Klasi�kácia axonometrií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3 Zobrazovanie základných geometrických útvarov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.1 Zobrazenie bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.2 Zobrazenie priamky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3.3 Zobrazenie roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3.4 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Kolmá axonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.4.1 Ur£enie a druhy kolmej axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.4.2 Ur£enie axonometrických jednotiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.4.3 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.5 Zobrazenie rovinných útvarov umiestnených v súradnicových rovinách . . . . . . . . 142

4.5.1 Zobrazenie rovinných n-uholníkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.5.2 Zobrazenie kruºnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.5.3 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.6 Zárezová (Eckhartova) metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.6.1 Nerie²ené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Odporú£aná a pouºitá literatúra 161

6

1 ELIPSA

1 Elipsa

1.1 De�nícia a základné pojmy

De�nícia 1.1. Nech sú v euklidovskej rovine E2 dané dva rôzne pevné body 1F , 2F a kon²tanta

a > 0, pre ktorú platí 2a > |1F 2F |. Mnoºinu v²etkých bodov M roviny E2, ktoré majú od bodov1F , 2F tejto roviny kon²tantný sú£et vzdialeností rovný 2a, nazývame elipsa ke (Obr. 1.1).

Symbolický zápis: ke ={M ∈ E2; |1FM |+ |2FM | = 2a, 2a > |1F 2F |

}

Obr. 1.1

Symbolika:

ke . . . elipsa

S . . . stred elipsy

A,B . . . hlavné vrcholy elipsy

C,D . . . ved©aj²ie vrcholy elipsy1F , 2F . . . ohniská elipsy1o . . . hlavná os elipsy2o . . . ved©aj²ia os elipsy1s, 2s . . . sprievodi£e bodu M ∈ ke41FDS . . . charakteristický trojuholník

a= |AS| = |BS| − d¨ºka hlavnej polosi elipsy

b = |CS| = |DS| − d¨ºka ved©aj²ej polosi elipsy

e= |1FS| = |2FS| − lineárna excentricita (ohnisková vzdialenos´)

Platí: e2 = a2 − b2

7

1.2 Kon²trukcie elipsy 1 ELIPSA

1.2 Kon²trukcie elipsy

1.2.1 Bodová kon²trukcia

Ak je elipsa ke daná ohniskami 1F , 2F a vzdialenosóu hlavných vrcholov A, B, vieme ju zostroji´

ako mnoºinu bodov s vlastnosóu uvedenou v de�nícii 1.1.

Obr. 1.2

Postup: (Obr. 1.2)

1. Úse£ku AB umiestnime na os 1o tak, aby jej stred bol totoºný so stredom S úse£ky 1F 2F .

Krajné body A, B na osi 1o potom predstavujú hlavné vrcholy elipsy ke.

2. Medzi bodmi 1F a S zvolíme ©ubovo©ný bod 1, ktorý rozdelí úse£ku AB na dve £asti s d¨ºkami1r = |A1| a 2r = |1B|.

3. Zostrojíme kruºnice 1k(1F , 1r), 2k(2F , 2r), ktoré sa pretnú v dvoch bodoch 1M , 2M . Body1M , 2M sú bodmi elipsy ke, pretoºe platí |1M 1F |+ |1M 2F | = 1r + 2r = |A1|+ |1B| = 2a

(analogicky aj pre bod 2M).

4. Zostrojíme kruºnice 1k′(2F , 1r), 2k′(1F , 2r), ktoré sa pretnú v dvoch bodoch 3M , 4M . Body3M , 4M sú bodmi elipsy ke, pretoºe platí |3M 1F |+ |3M 2F | = 2r + 1r = |1B|+ |A1| = 2a

(analogicky aj pre bod 4M).

5. Opakovaním krokov 2.�4. získame ¤al²ie body elipsy ke.

Poznámka 1.1. Ak pomocný bod je totoºný so stredom S, uvedeným postupom získame práve

dva body elipsy ke, konkrétne jej ved©aj²ie vrcholy C, D.

Poznámka 1.2. Z bodovej kon²trukcie elipsy vidíme, ºe elipsa je osovo súmerná pod©a osí 1o, 2o

a stredovo súmerná pod©a stredu S.

8

1 ELIPSA 1.2 Kon²trukcie elipsy

1.2.2 Kon²trukcia pomocou hyperoskula£ných kruºníc

Elipsu ke je moºné v blízkom okolí jej vrcholov nahradi´ oblúkmi tzv. hyperoskula£ných kruº-

níc, ktorých stredy leºia na hlavnej a ved©aj²ej osi kuºe©ose£ky.

Obr. 1.3

Postup: (Obr. 1.3)

1. Zostrojíme bod X tak, aby ²tvoruholník ASCX bol obd¨ºnik.

2. Bodom X vedieme kolmo na uhloprie£ku AC obd¨ºnika ASCX priamku p, ktorá pretína

osi 1o, 2o v bodoch 1O, 2O. Body 1O, 2O sú stredmi hyperoskula£ných kruºníc, ktorými

aproximujeme elipsu ke v okolí vrcholov A, C.

3. Zostrojíme oblúky hyperoskula£ných kruºníc 1h(1O,1r = |1OA|) a 2h(2O,2r = |2OC|), ktoréprechádzajú vrcholmi A a C.

4. �al²iu dvojicu oblúkov hyperoskula£ných kruºníc 1h′(1O′,1r = |1OA|), 2h′(2O′,2r = |2OC|),ktoré prechádzajú vrcholmi B aD, zostrojíme vyuºitím súmernosti elipsy ke pod©a stredu S.

5. V okolí vrcholov A, B, C, D elipsu ke aproximujeme vhodne dlhými oblúkmi hyperoskula£-

ných kruºníc 1h, 1h′, 2h, 2h′ (v tomto poradí). V oblastiach, kde na seba oblúky susedných

hyperoskula£ných kruºníc nenadväzujú, elipsu ke plynule dokreslíme krivítkom.

Poznámka 1.3. Hyperoskula£né kruºnice 1h, 1h′ sa celé nachádzajú vo vnútri elipsy ke, zatia© £o

hyperoskula£né kruºnice 2h, 2h′ sa celé nachádzajú na vonkaj²ej strane elipsy ke .

9


1.2.3 Pomocné kon²trukcie

Prúºková kon²trukcia

Ak je elipsa ke daná ©ubovo©ným bodom M a hlavnými vrcholmi A, B (resp. osou 1o a d¨ºkou

hlavnej polosi a) alebo ved©aj²ími vrcholmi C, D (resp. osou 2o a d¨ºkou ved©aj²ej polosi b), d¨ºku

ved©aj²ej polosi b alebo hlavnej polosi a elipsy ke vieme zisti´ pomocou prúºkovej kon²trukcie.

(a) (b)

Obr. 1.4

a) Dané: bod M a hlavné vrcholy A, B (resp. os 1o a d¨ºka hlavnej polosi a) elipsy ke.

Postup: (Obr. 1.4a)

1. Zostrojíme stred S úse£ky AB, ktorý je zárove¬ stredom elipsy ke.

2. Bodom S vedieme kolmicu 2o na os 1o, ktorá predstavuje ved©aj²iu os elipsy ke.

3. Zostrojíme kruºnicu k(M, r = a), ktorá pretína os 2o v bodoch X, X ′.

4. b = |MY |, kde Y je priese£ník spojnice bodov M , X s hlavnou osou 1o elipsy kealebo

b = |MY ′|, kde Y ′ je priese£ník spojnice bodov M , X ′ s hlavnou osou 1o elipsy ke.

b) Dané: bod M a ved©aj²ie vrcholy C, D (resp. os 2o a d¨ºka ved©aj²ej polosi b) elipsy ke.

Postup: (Obr. 1.4b)

1. Zostrojíme stred S úse£ky CD, ktorý je zárove¬ stredom elipsy ke.

2. Bodom S vedieme kolmicu 1o na os 2o, ktorá predstavuje hlavnú os elipsy ke.

3. Zostrojíme kruºnicu k(M, r = b), ktorá pretína os 1o v bodoch Y , Y ′.

4. a = |MX|, kde X je priese£ník spojnice bodov M , Y s ved©aj²ou osou 2o elipsy kealebo

a = |MX ′|, kde X ′ je priese£ník spojnice bodov M , Y ′ s ved©aj²ou osou 2o elipsy ke.

10


Rytzova kon²trukcia

Rytzova kon²trukcia sa pouºíva v prípadoch, ke¤ poznáme zdruºené priemery elipsy ke

a potrebujeme nájs´ jej hlavnú os AB a ved©aj²iu os CD.

Zdruºenými priemermi elipsy ke nazývame takú dvojicu priemerov elipsy ke (úse£iek, ktoré

prechádzajú stredom elipsy ke a ich krajné body leºia na elipse ke), ktorých doty£nice1 v koncových

bodoch jedného zdruºeného priemeru sú rovnobeºné s druhým zdruºeným priemerom elipsy ke(Obr. 1.5a). Tieto doty£nice vytvárajú rovnobeºník, ktorý je elipse ke opísaný.

�peciálnym prípadom zdruºených priemerov elipsy ke sú úse£ky AB a CD (Obr. 1.5b). Pretoºe

tieto zdruºené priemery leºia na hlavnej a ved©aj²ej osi elipsy ke, sú na seba kolmé. Ich d¨ºky sú

|AB| = 2a, |CD| = 2b.

(a) (b)

Obr. 1.5

Dané: zdruºené priemery KL, MN elipsy ke.

Postup: (Obr. 1.6)

1. Nad jedným zdruºeným priemerom elipsy ke, napr. nad zdruºeným priemerom KL zostro-

jíme polkruºnicu k(S, r = |SK|).

2. Bodom S vedieme kolmicu q na zdruºený priemer KL, ktorá pretne polkruºnicu k v bode G.

3. Nájdeme stred O úse£ky GM (bod M je ten koncový bod zdruºeného priemeru MN , ktorý

je bliº²ie k bodu G).

4. Zostrojíme pomocnú kruºnicu l(O, r = |OS|), ktorá pretne priamku←−→GM v bodoch 1 a 2.

5. D¨ºka hlavnej polosi je a = |1G| = |M2| a d¨ºka ved©aj²ej polosi je b = |1M | = |G2|.

6. Priamka 1o =←→1S , ktorá leºí v ostrom uhle zdruºených priemerov KL, MN , predstavuje

hlavnú os elipsy ke a priamka 2o =←→2S , ktorá leºí v tupom uhle zdruºených priemerov KL,

MN , predstavuje ved©aj²iu os elipsy ke.

7. Na hlavnej osi 1o zostrojíme vo vzdialenosti rovnej d¨ºke a od bodu S body A, B a na ved-

©aj²ej osi 2o zostrojíme vo vzdialenosti rovnej d¨ºke b od bodu S body C, D. Body A, B sú

hlavnými vrcholmi elipsy ke a body C, D sú ved©aj²ími vrcholmi elipsy ke.1Doty£nica k elipse je priamka, ktorá má s elipsou spolo£ný práve jeden bod.

11


Obr. 1.6

1.2.4 Nerie²ené úlohy

Úloha 1.1. Bodovou kon²trukciou zostrojte elipsu ke, ktorá je daná hlavnými vrcholmi A, B

a excentricitou e (zostrojte ved©aj²ie vrcholy a aspo¬ 8 ¤al²ích bodov elipsy).

Úloha 1.2. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná týmito charakteristikami:

a) a = 3,5cm, b = 2,3cm,

b) a = 5cm, e = 4cm,

c) b = 2,5cm, e = 2,5cm,

d) |AB| = 11cm, |CD| = 6cm,

e) |1F 2F | = 8cm, b = 2,5cm,

f) |AS| = 6cm, |1FA| = 1,5cm.

12


Úloha 1.3. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná hlavnými vrcholmi A, B a bodom M .

Úloha 1.4. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná hlavnou osou 1o, ved©aj²ím vrcholom C a bodomM .

13


Úloha 1.5. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná ohniskom 1F , ved©aj²ou osou 2o a ved©aj²ím vrcho-

lom D.

Úloha 1.6. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná stredom S, ohniskom 2F a bodom M .

14


Úloha 1.7. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná zdruºenými priemermi KL, MN .

Úloha 1.8. Zostrojte elipsu ke, ktorá je daná stredom S a koncovými bodmi K,M jej zdruºených

priemerov KL, MN .

15

1.3 Doty£nica k elipse 1 ELIPSA

1.3 Doty£nica k elipse

Veta 1.1. V kaºdom bode elipsy ke existuje práve jedna doty£nica t, ktorá rozpo©uje vonkaj²ie

uhly sprievodi£ov dotykového bodu2 (Obr. 1.7).

Obr. 1.7

Veta 1.2. (o bodoch Q) Mnoºina v²etkých bodov Q súmerne zdruºených s jedným ohniskom

elipsy ke pod©a jej doty£níc je kruºnica so stredom v druhom ohnisku a polomerom 2a (Obr. 1.8a).

Bod 1Q je bod súmerne zdruºený s ohniskom 1F pod©a doty£nice t Veta1.2.=====⇒ 1Q ∈ 1q(2F , r = 2a).

Bod 2Q je bod súmerne zdruºený s ohniskom 2F pod©a doty£nice t Veta1.2.=====⇒ 2Q ∈ 2q(1F , r = 2a).

Kruºnice 1q(2F , r = 2a), 2q(1F , r = 2a) sa nazývajú ur£ujúce (riadiace) kruºnice elipsy ke.

Spojnica bodu iQ (i = 1, 2) so stredom ur£ujúcej kruºnice, na ktorej tento bod leºí, pretína

doty£nicu t v jej dotykovom bode T s elipsou ke.

(a) (b)

Obr. 1.8

2Vonkaj²ím uhlom sprievodi£ov bodu elipsy (spojníc bodu elipsy s ohniskami) nazývame uhol, ktorý obsahuje

hlavné vrcholy elipsy.

16

1 ELIPSA 1.3 Doty£nica k elipse

Poznámka 1.4. Na obr. 1.8a je úse£ka 1PS strednou prie£kou trojuholníka 1F 2F 1Q, pre ktorú

platí 1PS ‖ 1Q2F , resp. 1PS ‖T 2F (body 1P , S sú stredmi strán 1Q1F , 1F 2F trojuholníka 1F 2F 1Q

v tomto poradí).

Veta 1.3. (o bodoch P ) Mnoºina v²etkých piat P kolmíc vedených ohniskom elipsy ke na jej

doty£nice je kruºnica so stredom S a polomerom a (Obr. 1.8b).

Kruºnica v(S, r = a) sa nazýva vrcholová kruºnica elipsy ke.


Úloha 1.9. K elipse ke zostrojte doty£nicu v dotykovom bode T ∈ ke.

Úloha 1.10. Pomocou vrcholovej kruºnice zostrojte k elipse ke doty£nice prechádzajúce bodom R

a nájdite ich dotykové body s elipsou ke.

17

1.3 Doty£nica k elipse 1 ELIPSA

Úloha 1.11. Pomocou ur£ujúcich kruºníc zostrojte k elipse ke doty£nice prechádzajúce bodom R

a nájdite ich dotykové body s elipsou ke.

Úloha 1.12. K elipse ke zostrojte doty£nice prechádzajúce bodom R a nájdite ich dotykové body

s elipsou ke.

18

1 ELIPSA 1.3 Doty£nica k elipse

Úloha 1.13. K elipse ke zostrojte doty£nice rovnobeºné so smerom ~s a nájdite ich dotykové body

s elipsou ke.

19

2 KOLINEÁCIA A AFINITA

2 Kolineácia a a�nita

2.1 Perspektívna kolineácia medzi rovinami

De�nícia 2.1. Nech sú dané dve rôznobeºné roviny σ, σ′ s priese£nicou o a bod S, ktorý neleºí

v ºiadnej z týchto rovín. Zobrazenie, ktoré kaºdému bodu roviny σ priradí bod roviny σ′ tak,

ºe spojnica týchto bodov prechádza bodom S, nazývame perspektívnou kolineáciou medzi ro-

vinami σ, σ′ (Obr. 2.1).

Bod S nazývame stredom perspektívnej kolineácie a priamku o ⊂ σ ∩ σ′ nazývame osou

perspektívnej kolineácie.

Obr. 2.1

Vlastnosti perspektívnej kolineácie:

1. Bodu jednej roviny odpovedá bod druhej roviny a priamke jednej roviny odpovedá priamka

druhej roviny.

2. Zachováva sa incidencia bodov a priamok (obrazom bodu priamky jednej roviny je bod

druhej roviny, ktorý leºí na obraze tejto priamky).

3. Kaºdý bod na osi perspektívnej kolineácie je samodruºným bodom (bodom, ktorý sa zobrazí

sám na seba).

4. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi perspektívnej kolineácie alebo sú s ¬ou rov-

nobeºné.

Poznámka 2.1. Vlastnosti 1. a 2. neplatia pre body nazývané úbeºníky a tieº pre priamky tvorené

týmito bodmi, nazývané úbeºnice. Spojnice úbeºníkov jednej roviny so stredom perspektívnej

kolineácie sú rovnobeºné s druhou rovinou, a preto úbeºníky a úbeºnice nemajú v euklidovskom

priestore E3 svoje kolineárne obrazy (vzory).

2.2 Stredová kolineácia v rovine

Perspektívna kolineácia medzi rovinami σ, σ′ je priestorový vzáh dvoch rôznobeºných rovín.

Ak tento vzáh zobrazíme na ©ubovo©nú tretiu rovinu ρ napr. v smere priamky t, ktorá nie je rov-

20

2 KOLINEÁCIA A AFINITA 2.2 Stredová kolineácia v rovine

nobeºná so ºiadnou z rovín σ, σ′, získame priemet perspektívnej kolineácie na rovinu ρ (Obr. 2.2).3

Tento priemet nazývame stredovou kolineáciou v rovine ρ. Jej stredom je priemet stredu pers-

pektívnej kolineácie a osou priemet osi perspektívnej kolineácie na rovinu ρ.

(a) (b)Obr. 2.2

Poznámka 2.2. Ke¤ºe pri rie²ení úloh budeme pracova´ len so stredovou kolineáciou v rovine,

dolný index �∗� , ktorým sú ozna£ené útvary v rovine ρ na obr. 2.2, v kon²trukciách vynecháme.

Vlastnosti stredovej kolineácie:

1. Bodu odpovedá bod a priamke odpovedá priamka.

2. Zachováva sa incidencia bodov a priamok.

3. Kaºdý bod na osi stredovej kolineácie je samodruºným bodom.

4. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi stredovej kolineácie alebo sú s osou stredovej

kolineácie rovnobeºné.

Poznámka 2.3. Vlastnosti 1. a 2. neplatia pre priemety úbeºníkov a úbeºníc na rovinu ρ.

Symbolika:

S . . . stred stredovej kolineácie

o . . . os stredovej kolineácie

X, X ′ . . . odpovedajúce si body (vzor a jeho obraz)

p, p′ . . . odpovedajúce si priamky

1 = 1′ . . . samodruºný bod

K(S, o,X → X ′) . . . stredová kolineácia ur£ená stredom S, osou o a dvojicou bodov X, X ′

3Pri zobrazovaní perspektívnej kolineácie medzi dvoma rovinami na tretiu ©ubovo©nú rovinu môºeme pouºi´ tieº

stredové premietanie.

21

2.2 Stredová kolineácia v rovine 2 KOLINEÁCIA A AFINITA


Úloha 2.1. V stredovej kolineácii K(S, o,X → X ′) zostrojte obraz bodu A.

Úloha 2.2. V stredovej kolineácii K(S, o,X → X ′) zostrojte vzor bodu A′.

22


Úloha 2.3. V stredovej kolineácii K(S, o,X → X ′) zostrojte obraz priamky p.

Úloha 2.4. V stredovej kolineácii K(S, o,X → X ′) zostrojte obraz úse£ky MN .

23


Úloha 2.5. V stredovej kolineácii K(S, o,A→ A′) zostrojte obraz koso²tvorca ABCD.

Úloha 2.6. V stredovej kolineácii K(S, o,A→ A′) zostrojte obraz ²tvorca ABCD.

24


Úloha 2.7. V stredovej kolineácii K(S, o,D → D′) zostrojte obraz pravidelného päúholní-

ka ABCDE.

Úloha 2.8. V stredovej kolineácii K(S, o,X → X ′) zostrojte obraz kosod¨ºnika KLMN .

25


Úloha 2.9. V stredovej kolineácii K(S, o,A → A′) zostrojte obraz pravidelného ²esúholní-

ka ABCDEF .

Úloha 2.10. V stredovej kolineácii K(S, o,B → B′) zostrojte obraz nepravidelného päúhol-

níka ABCDE.

26

2 KOLINEÁCIA A AFINITA 2.3 Perspektívna a�nita medzi rovinami

2.3 Perspektívna a�nita medzi rovinami

De�nícia 2.2. Nech sú dané dve rôznobeºné roviny σ, σ′ a priamka sA, ktorá nie je rovnobeºná

so ºiadnou z týchto rovín. Zobrazenie, ktoré kaºdému bodu roviny σ priradí bod roviny σ′ tak,

ºe spojnica týchto bodov je rovnobeºná s priamkou sA, nazývame perspektívnou a�nitou

medzi rovinami σ, σ′ (Obr. 2.3).Priese£nicu rovín σ, σ′ nazývame osou perspektívnej a�nity a priamka sA ur£uje smer pers-

pektívnej a�nity.

Obr. 2.3

Vlastnosti perspektívnej a�nity:

1. Bodu jednej roviny odpovedá bod druhej roviny a priamke jednej roviny odpovedá priamka

druhej roviny.

2. Priradenie odpovedajúcich si geometrických útvarov je jedno -jednozna£né (kaºdému útvaru

jednej roviny odpovedá práve jeden útvar druhej roviny a naopak).

3. Zachováva sa incidencia bodov a priamok (obrazom bodu priamky jednej roviny je bod

druhej roviny, ktorý leºí na obraze tejto priamky).

4. Kaºdý bod na osi perspektívnej a�nity je samodruºným bodom (bodom, ktorý sa zobrazí

sám na seba).

5. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi perspektívnej a�nity alebo sú s ¬ou rovnobeºné.

6. Zachováva sa rovnobeºnos´ priamok.

7. Zachováva sa deliaci pomer bodov leºiacich na jednej priamke.

2.4 Osová a�nita v rovine

Perspektívna a�nita medzi rovinami σ, σ′ je priestorový vzáh dvoch rôznobeºných rovín. Ak tento

vzáh zobrazíme na ©ubovo©nú tretiu rovinu ρ v smere priamky t, ktorá nie je rovnobeºná so ºiad-

nou z rovín σ, σ′ a ani so smerom perspektívnej a�nity sA, získame priemet perspektívnej a�nity

do roviny ρ (Obr. 2.4).4 Tento priemet nazývame osovou a�nitou v rovine ρ. Jej osou je priemet

osi perspektívnej a�nity a smer je ur£ený priemetom smeru perspektívnej a�nity do roviny ρ.4Pri zobrazovaní perspektívnej a�nity medzi dvoma rovinami na tretiu ©ubovo©nú rovinu volíme rovnobeºné

premietanie, pretoºe zachováva rovnobeºnos´.

27

2.4 Osová a�nita v rovine 2 KOLINEÁCIA A AFINITA

(a) (b)

Obr. 2.4

Poznámka 2.4. Pretoºe pri rie²ení úloh budeme pracova´ len s osovou a�nitou v rovine, dolný

index �∗� , ktorým sú ozna£ené útvary v rovine ρ na obr. 2.4, v kon²trukciách vynecháme.

Poznámka 2.5. Ak je smer osovej a�nity kolmý na os a�nity, osovú a�nitu nazývame kolmou

osovou a�nitou.

Vlastnosti osovej a�nity:

1. Bodu odpovedá bod a priamke odpovedá priamka.

2. Priradenie odpovedajúcich si geometrických útvarov je jedno -jednozna£né.


4. Kaºdý bod na osi a�nity je samodruºným bodom.

5. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi a�nity alebo sú s osou a�nity rovnobeºné.

6. Zachováva sa rovnobeºnos´ priamok.

7. Zachováva sa deliaci pomer bodov leºiacich na jednej priamke.

Symbolika:

sA . . . priamka ur£ujúca smer osovej a�nity (a�nný lú£)

o . . . os osovej a�nity

X, X ′ . . . odpovedajúce si body (vzor a jeho obraz)

p, p′ . . . odpovedajúce si priamky

1 = 1′ . . . samodruºný bod

A(o, X → X ′) . . . osová a�nita ur£ená osou o a dvojicou bodov X, X ′

28

2 KOLINEÁCIA A AFINITA 2.4 Osová a�nita v rovine


Úloha 2.11. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte obraz bodu B.

Úloha 2.12. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte vzor bodu B′.

29


Úloha 2.13. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte obraz priamky p.

Úloha 2.14. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte obraz úse£ky AB.

30


Úloha 2.15. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte

a) obraz priamky m, ktorá je rovnobeºná s osou a�nity o,

b) obraz navzájom rovnobeºných priamok m, n.

Úloha 2.16. V osovej a�nite A(o, L→ L′) zostrojte obraz trojuholníka KLM .

31


Úloha 2.17. V osovej a�nite A(o,M →M ′) zostrojte obraz obd¨ºnika KLMN .

Úloha 2.18. V osovej a�nite A(o,B → B′) zostrojte obraz pravidelného ²esúholníka BCDEFG.

32


Úloha 2.19. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte obraz nekonvexného ²tvoruholníkaKLMN .

Úloha 2.20. V osovej a�nite A(o,X → X ′) zostrojte obraz nepravidelného konvexného ²tvor-

uholníka BCDE.

33


Úloha 2.21. Pomocou ²tvorca vpísaného do kruºnice k(S, r = 2cm) zostrojte v osovej a�nite

A(o, S → S′) obraz danej kuºnice.

34


Úloha 2.22. V osovej a�nite A(o, S → S′) zostrojte obraz elipsy ke.

35

3 MONGEOVO PREMIETANIE

3 Mongeovo premietanie

3.1 Princíp a základné pojmy

Mongeovo premietanie je zobrazovacia metóda, v ktorej premietame geometrické útvary kolmo

na dve navzájom kolmé priemetne π, ν, a potom tieto priemetne zdruºíme, t. j. jednu z priemetní

sklopíme (oto£íme o 90◦) do druhej priemetne okolo ich spolo£nej priese£nice x (Obr. 3.1a).

Zdruºením priemetní π, ν získame jednu rovinu, tzv. nákres¬u, v ktorej sú umiestnené

obidva priemety zobrazovaného geometrického útvaru (Obr. 3.1b). Dvojicu týchto priemetov v ná-

kresni nazývame zdruºené priemety geometrického útvaru. Tie predstavujú dva rôzne poh©ady

na zobrazovaný geometrický útvar: priemet do pôdorysne π (pôdorys) predstavuje poh©ad zhora

a priemet do nárysne ν (nárys) predstavuje poh©ad spredu.

(a) (b)Obr. 3.1

Symbolika:

π . . . pôdorys¬a (prvá priemet¬a), priemety útvarov na ¬u ozna£ujeme

dolným indexom 1

ν . . . nárys¬a (druhá priemet¬a), priemety útvarov na ¬u ozna£ujeme

dolným indexom 2

x = x1,2 . . . základnica (x ⊂ π ∩ ν)

y1, y2; z1, z2 . . . zdruºené priemety (pôdorys a nárys) osí y, z

(O1,2;x1,2, y1, z2) . . . obraz karteziánskej súradicovej sústavy (O;x, y, z)

Zobrazenie pravoto£ivej karteziánskej súradicovej sústavy (O;x, y, z)

(a) (b)Obr. 3.2

36

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.2 Zobrazenie základných geometrických útvarov

3.2 Zobrazenie základných geometrických útvarov

Symbolika:

A1, A2 . . . zdruºené priemety (pôdorys a nárys) bodu A

a1, a2 . . . zdruºené priemety (pôdorys a nárys) priamky a

P a . . . pôdorysný stopník priamky a

Na . . . nárysný stopník priamky a

pρ . . . pôdorysná stopa roviny ρ

nρ . . . nárysná stopa roviny ρIhρ

. . . hlavná priamka I. osnovy roviny ρIIh

ρ. . . hlavná priamka II. osnovy roviny ρ

3.2.1 Zobrazenie bodu

Veta 3.1. �ubovo©ný bod A je v Mongeovom premietaní jednozna£ne ur£ený dvojicou zdruºených

priemetov A1, A2; zápis: A(A1;A2) (Obr. 3.3).

Spojnica zdruºených priemetov zobrazovaného bodu sa nazýva ordinála.

Ordinála bodu je kolmá na základnicu x1,2 a pretína ju v priese£níku, ktorého poloha je daná

x-ovou súradnicou zobrazovaného bodu (Obr. 3.3):

• ak x > 0, tak priese£ník leºí v©avo od bodu O1,2,

• ak x < 0, tak priese£ník leºí vpravo od bodu O1,2,

• ak x = 0, tak priese£ník je totoºný s bodom O1,2.

Poloha pôdorysu (nárysu) zobrazovaného bodu na ordinále je ur£ená znamienkom jeho y-ovej

(z-ovej) súradnice (Obr. 3.3):

• ak y > 0 (y < 0), tak pôdorys bodu leºí pod (nad) základnicou x1,2,

• ak z > 0 (z < 0), tak nárys bodu leºí nad (pod) základnicou x1,2,

• ak y = 0 (z = 0), tak pôdorys (nárys) bodu leºí na základnici x1,2.

Obr. 3.3

37

3.2 Zobrazenie základných geometrických útvarov 3 MONGEOVO PREMIETANIE

3.2.2 Zobrazenie priamky

Veta 3.2. �ubovo©ná priamka a (a 6⊥ x) je v Mongeovom premietaní jednozna£ne ur£ená svojím

pôdorysom a1 a nárysom a2; zápis: a(a1; a2) (Obr. 3.4).

Poznámka 3.1. Zdruºené priemety priamky a ⊥ x sú totoºné, a preto na jej jednozna£né ur£enie

je nutné pozna´ zdruºené priemety jej dvoch rôznych bodov (vi¤ priamku g na obr. 3.4).

Dôleºitými bodmi na priamke sú tzv. stopníky � priese£níky priamky s priemet¬ami.

Rozli²ujeme:

• pôdorysný stopník P a ({P a} = a ∩ π), pre ktorý platí: {P a2 } = a2 ∩ x1,2, P a1 ∈ a1,

P a1 Pa2 je ordinála,

• nárysný stopník Na ({Na} = a ∩ ν), pre ktorý platí: {Na1 } = a1 ∩ x1,2, Na

2 ∈ a2, Na1N

a2

je ordinála

(vi¤ napr. priamku a na obr. 3.4).

Obr. 3.4

Bod na priamke

Veta 3.3. Bod A leºí na priamke a práve vtedy, ke¤ jeho zdruºené priemety A1, A2 leºia na prís-

lu²ných zdruºených priemetoch a1, a2 tejto priamky; zápis: A ∈ a⇔ (A1∈ a1 ∧A2 ∈ a2).

Veta 3.4. Zdruºené priemety priamky a =←→AB sú v Mongeovom premietaní jednozna£ne ur£ené

zdruºenými priemetmi jej bodov A, B; zápis: a1 =←−−→A1B1, a2 =

←−−→A2B2.

3.2.3 Zobrazenie roviny

Pôdorysom, resp. nárysom roviny vo v²eobecnej polohe vzh©adom na priemetne π, ν je v Mon-

geovom premietaní celá pôdorys¬a π, resp. celá nárys¬a ν. Preto rovinu v tomto premietaní

zobrazujeme pomocou jej stôp � priese£níc roviny s priemet¬ami π a ν (Obr. 3.5).

Rozli²ujeme:

• pôdorysnú stopu roviny pρ ⊂ ρ ∩ π, pre ktorú platí: pρ1 = pρ, pρ2 = x1,2,

• nárysnú stopu roviny nρ ⊂ ρ ∩ ν, pre ktorú platí: nρ1 = x1,2, nρ2 = nρ

(vi¤ napr. rovinu ρ na obr. 3.5).

38


Obr. 3.5

Veta 3.5. �ubovo©ná rovina ρ je v Mongeovom premietaní jednozna£ne ur£ená prvým prie-

metom pôdorysnej stopy pρ1 a druhým priemetom nárysnej stopy nρ2, ak tieto stopy existujú;

zápis: ρ(pρ1;nρ2) (Obr. 3.5).

Poznámka 3.2. Vzh©adom na platnos´ vety 3.5 druhý priemet pôdorysnej stopy a prvý priemet

nárysnej stopy roviny v kon²trukciách vynechávame.

Rovinu ρ, ktorá neprechádza za£iatkom O karteziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z) môºeme

zada´ pomocou nenulových súradníc jej priese£níkov Xρ(xρ; 0; 0), Y ρ(0; yρ; 0), Zρ(0; 0; zρ) so sú-

radnicovými osami x, y, z (Obr. 3.6). Stru£ne zapisujeme ρ(xρ; yρ; zρ). Hovoríme, ºe rovina ρ je

zapísaná v úsekovom tvare, pri£om hodnoty xρ, yρ, zρ predstavujú d¨ºky úsekov, ktoré vytína

táto rovina na súradnicových osiach x, y, z.

Obr. 3.6

Poznámka 3.3. Ak je rovina rovnobeºná s niektorou zo súradnicových osí x, y alebo z, príslu²nú

súradnicu roviny nahradzujeme symbolom ∞.

39


Priamka a bod v rovine, hlavné a spádové priamky roviny

Veta 3.6. Priamka a leºí v rovine ρ práve vtedy, ke¤ jej pôdorysný stopník P a leºí na pôdorysnej

stope pρ a nárysný stopníkNa na nárysnej stope nρ roviny ρ; zápis: (a ⊂ ρ)⇔ (P a∈ pρ∧Na∈ nρ).

Veta 3.7. Bod A leºí v rovine ρ práve vtedy, ke¤ leºí na nejakej priamke roviny ρ; zápis:

(A ∈ ρ)⇔ (A ∈ a ∧ a ⊂ ρ).

De�nícia 3.1. Priamky roviny ρ, ktoré sú rovnobeºné s priemet¬ou π alebo ν nazývame hlavné

priamky roviny ρ.

Rozli²ujeme dve skupiny hlavných priamok roviny ρ:

• hlavné priamky I. osnovy Ihρ � priamky, ktoré sú rovnobeºné s pôdorys¬ou π. Pre ich

zdruºené priemety platí: Ihρ1 ‖ pρ1,Ih

ρ2 ‖x1,2 (Obr. 3.7a),

• hlavné priamky II. osnovy IIhρ � priamky, ktoré sú rovnobeºné s nárys¬ou ν. Pre ich

zdruºené priemety platí: IIhρ1 ‖x1,2, IIhρ2 ‖n

ρ2 (Obr. 3.7b).

(a) (b)

Obr. 3.7

De�nícia 3.2. Priamky roviny ρ, ktoré sú kolmé na jej pôdorysnú alebo nárysnú stopu, nazývame

spádové priamky roviny ρ.

Rozli²ujeme dve skupiny spádových priamok roviny ρ:

• spádové priamky I. osnovy Isρ � priamky, ktoré sú kolmé na pôdorysnú stopu pρ roviny ρ;

pre ich prvé priemety platí Isρ1 ⊥ pρ1; ich druhé priemety zobrazíme pomocou stopníkov:Isρ2 =

←−−→P s2N

s2 (Obr. 3.8a),

• spádové priamky II. osnovy IIsρ � priamky, ktoré sú kolmé na nárysnú stopu nρ roviny

ρ; pre ich druhé priemety platí IIsρ2⊥nρ2; ich prvé priemety zobrazíme pomocou stopníkov:

IIsρ1 =←−−→P s1N

s1 (Obr. 3.8b).

40


(a) (b)

Obr. 3.8


Úloha 3.1. Zostrojte zdruºené priemety bodov:

a) A(3,5; 2; 3),

b) B(−1; 3;−2),

c) C(1;−3;−2),

d) D(6;−1; 2),

e) E(−3; 0; 0),

f) F (5; 3,5; 0),

g) G(−5; 3; 0),

h) H(−6,5; 0; 3),

i) I(0; 6; 5,5),

j) J(0; 0; 2,5),

k) K(0; 0;−4),

l) L(0;−4;−7).

Úloha 3.2. Zostrojte zdruºené priemety ©ubovo©ného bodu A a zapí²te jeho súradnice, ak:

a) leºí v pôdorysni π,

b) leºí v nárysni ν,

c) leºí na osi x,

d) má kladnú y-ovú súradnicu,

e) má kladnú z-ovú súradnicu,

f) má zápornú y-ovú súradnicu,

g) má zápornú z-ovú súradnicu,

h) leºí v za£iatku súradnicovej sústavy O.

Úloha 3.3. Zostrojte zdruºené priemety priamok a nájdite ich stopníky, ak existujú:

a) a =←→AB, A(2; 3; 4,5), B(−3; 1,5; 1,5),

b) b =←→BC, B(4; 5; 1), C(−2;−1; 5,5),

c) c =←→CD, C(−4;−1; 3), D(2;−5;−2),

d) d =←→DE, D(3;−1; 2), E(−3; 5; 2),

e) e =←→EF , E(2; 3; 5), F (−5; 3; 5),

f) f =←→FG, F (4; 2,5; 1,5), G(−3,5; 2,5; 6).

Úloha 3.4. Zostrojte stopy rovín:

a) α(2; 3; 2,5),

b) β(−4; 5; 3,5),

c) γ(−1;−1; 4),

d) δ(−2;−3; 1),

e) ε(1;−2;−4),

f) σ(3; 3,5;∞),

g) ω(6;∞; 4,5),

h) ρ(∞; 3; 4),

i) λ(−5;∞;∞).

41


Úloha 3.5. Zostrojte stopy roviny ρ ur£enej dvojicou priamok a, b.

42


43


Úloha 3.6. Zostrojte stopy roviny σ ur£enej priamkou b a bodom M .

44


Úloha 3.7. Zostrojte stopy roviny γ ur£enej:

a) bodom K a hlavnou priamkou I. osnovy Ihγ ,

b) bodom K a hlavnou priamkou II. osnovy IIhγ .

45


Úloha 3.8. Zostrojte stopy roviny δ ur£enej trojicou bodov A, B, C.

46

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.3 Základné polohové úlohy

3.3 Základné polohové úlohy

Polohovými úlohami nazývame skupinu úloh, ktoré sa zaoberajú vzáhmi medzi geometrickými

útvarmi ako je vzájomná poloha, prienik a rovnobeºnos´.

K základným polohovým úlohám v kon²truktívnej geometrii patrí:

• úloha vies´ daným bodom priamku, ktorá je rovnobeºná s danou priamkou,

• úloha vies´ daným bodom rovinu, ktorá je rovnobeºná s danou rovinou,

• kon²trukcia priese£nice dvoch rovín,

• kon²trukcia priese£níka priamky s rovinou.

3.3.1 Vzájomná poloha bodu a priamky

V Mongeovom premietaní platí, ºe bod leºí na priamke, ak zdruºené priemety bodu leºia na prís-

lu²ných zdruºených priemetoch priamky (Veta 3.3, obr. 3.9).

(a) (b)

Obr. 3.9

3.3.2 Vzájomná poloha dvoch priamok

Zobrazenie rovnobeºných priamok

Obr. 3.10

47

3.3 Základné polohové úlohy 3 MONGEOVO PREMIETANIE

Zobrazenie rôznobeºných priamok

Obr. 3.11

Priese£níky priemetov dvoch rôznobeºných priamok leºia na ordinále a predstavujú zdruºené

priemety priese£níka znázornených rôznobeºiek.

Zobrazenie mimobeºných priamok

Obr. 3.12

Priese£níky priemetov dvoch mimobeºných priamok sú priemety dvoch rôznych bodov, ktoré

nazývame krycie body znázornených mimobeºiek.

3.3.3 Vzájomná poloha dvoch rovín

V Mongeovom premietaní si pri ur£ovaní vzájomnej polohy rovín ρ, σ, ktoré sú vo v²eobecnej

polohe vzh©adom na priemetne π, ν, treba uvedomi´ tieto fakty:

• ak sú roviny ρ, σ rovnobeºné, tak ich pôdorysné a nárysné stopy sú tieº navzájom rovno-

beºné,

• ak sú roviny ρ, σ rôznobeºné, pretínajú sa v priese£nici r, ktorá je ur£ená priese£níkmi

stôp týchto rovín.

48


Kon²trukcia roviny σ rovnobeºnej s rovinou ρ cez bod A 6∈ρ

Obr. 3.13

Postup: (Obr. 3.13)

1. Bodom A vedieme priamku Ihσ ‖ pρ, t. j. zostrojíme Ihσ1 ‖ pρ1, pri£om A1 ∈ Ih

σ1 a Ihσ2 ‖x1,2,

pri£om A2∈ Ihσ2 . Priamka Ihσ predstavuje hlavnú priamku I. osnovy h©adanej roviny σ‖ρ.

2. Nájdeme nárysný stopníkNh priamky Ihσ: {Nh1 }= Ih

σ1∩x1,2,Nh

2 ∈ Ihσ2 (Nh

1Nh2 je ordinála).

3. Nárysná stopa nσ2 h©adanej roviny σ prechádza bodom Nh2 a je rovnobeºná s nárysnou

stopou nρ2 roviny ρ.

4. Pôdorysná stopa pσ1 h©adanej roviny σ prechádza bodom Xσ1,2 ({Xσ

1,2} = nσ2 ∩ x1,2) a je

rovnobeºná s pôdorysnou stopou pρ1 roviny ρ.

Poznámka 3.4. Stopy roviny σ ‖ ρ, ktorá prechádza bodom A, môºeme zostroji´ aj pomocou

hlavnej priamky II. osnovy IIhσ ‖nρ.

Kon²trukcia priese£nice r rovín σ a ρ

a) ak sa stopy rovín σ, ρ v nákresni pretínajú

Postup: (Obr. 3.14a)

1. Pôdorysný stopník P r h©adanej priese£nice r leºí na pôdorysnej stope pρ roviny ρ

a na pôdorysnej stope pσ roviny σ. Pre jeho zdruºené priemety platí: {P r1 } = pρ1 ∩ pσ1 ,P r2 ∈ x1,2 (P r1P

r2 je ordinála).

2. Nárysný stopník N r h©adanej priese£nice r leºí na nárysnej stope nρ roviny ρ a na ná-

rysnej stope nσ roviny σ. Pre jeho zdruºené priemety platí: {N r2} = nρ2 ∩ nσ2 , N r

1 ∈ x1,2(N r

1Nr2 je ordinála).

3. Zostrojíme priamky r1 =←−−→P r1N

r1 , r2 =

←−−→P r2N

r2 , ktoré sú zdruºenými priemetmi h©adanej

priese£nice r ⊂ ρ ∩ σ.

49


(a) (b)

Obr. 3.14

b) ak sa niektoré zo stôp rovín σ, ρ v nákresni nepretínajú

Postup: (Obr. 3.14b)

1. Zostrojíme body N r2 , N

r1 ({N r

2} = nσ2 ∩ nρ2, N

r1 ∈ x1,2, N r

1Nr2 je ordinála), ktoré sú

zdruºenými priemetmi nárysného stopníka N r h©adanej priese£nice r rovín ρ a σ.

2. Pouºijeme pomocnú rovinu κ rovnobeºnú napr. s pôdorys¬ou π. Tá pretne roviny ρ, σ

v hlavných priamkach I. osnovy Ihρ ‖pρ a Ih

σ ‖pρ, pre ktoré v druhom priemete platíIh

ρ2 = Ih

σ2 = nκ2 ‖ x1,2.

3. Zostrojíme prvé priemety hlavných priamok I. osnovy Ihρ1 ‖p

ρ1,

Ihσ1 ‖pσ1 .

4. Nájdeme priese£ník R1 priamok Ihρ1,

Ihσ1 , a potom pomocou ordinály zostrojíme bod

R2 ∈ Ihρ2 = Ih

σ2 . Body R1, R2 sú zdruºenými priemetmi bodu R, ktorý leºí v rovinách

ρ aj σ, a teda aj na ich priese£nici r.

5. Zostrojíme zdruºené priemety r1 =←−−→R1N

r1 , r2 =

←−−→R2N

r2 priese£nice r ⊂ ρ ∩ σ.

Poznámka 3.5. Ak sa stopy rovín ρ, σ nepretnú v nákresni, tak pomocnú rovinu κ zvolíme rov-

nobeºne s nárys¬ou ν, £ím získame hlavné priamky II. osnovy IIhρ ‖nρ a IIh

σ ‖nσ.

3.3.4 Vzájomná poloha priamky a roviny, vzájomná poloha bodu a roviny

Pri ur£ovaní vzájomnej polohy priamky a a roviny ρ a tieº bodu A a roviny ρ v Mongeovom

premietaní si treba uvedomi´ tieto fakty:

• priamka a leºí v rovine ρ práve vtedy, ke¤ jej stopníky leºia na príslu²ných stopách roviny ρ

(Veta 3.6),

• bod A leºí v rovine ρ práve vtedy, ke¤ leºí na priamke roviny ρ (Veta 3.7),

• ak je priamka a rovnobeºná s rovinou ρ, tak v rovine ρ existuje priamka, ktorá je s priam-

kou a rovnobeºná,

• ak je priamka a rôznobeºná s rovinou ρ, v rovine ρ existuje priamka, ktorá je s priamkou a

rôznobeºná a ich priese£ník R je spolo£ným bodom priamky a a roviny ρ.

50


Poznámka 3.6. (vidite©nos´ v pôdorysni π) Porovnávame z-ové súradnice bodov priamky a a ro-

viny ρ, ktorých priemety v pôdorysni π sú totoºné. Vidite©ný bod je ten, ktorý má vä£²iu z-ovú

súradnicu.

Poznámka 3.7. (vidite©nos´ v nárysni ν) Porovnávame y-ové súradnice bodov priamky a a roviny ρ,

ktorých priemety v nárysni ν sú totoºné. Vidite©ný bod je ten, ktorý má vä£²iu y-ovú súradnicu.

Kon²trukcia priese£níka R priamky a s rovinou ρ

(a) (b)

Obr. 3.15

1. spôsob rie²enia � metóda premietacej roviny


1. Priamkou a preloºíme premietaciu rovinu κ kolmú napr. na pôdorys¬u π. Pre stopy roviny κ

potom platí pκ1 = a1 a nκ2 ⊥ x1,2.

2. Zostrojíme zdruºené priemety r1, r2 priese£nice r rovín ρ a κ (postup na str. 49).

3. Priese£ník R2 priamok a2 a r2 je nárysom h©adaného priese£níka R priamky a a roviny ρ.

4. Pomocou ordinály vedenej bodom R2 zostrojíme bod R1 na priamke r1. Bod R1 predstavuje

pôdorys h©adaného priese£níka R priamky a a roviny ρ.

5. Vyzna£íme vidite©nos´ priamky a (vi¤ pozn. 3.6 a pozn. 3.7).

2. spôsob rie²enia � metóda krycej priamky


1. V rovine ρ zvolíme priamku k tak, aby prekrývala priamku a napr. v pôdorysni π, t. j. tak,

aby k1 = a1.

2. Pomocou stopníkov zostrojíme nárys k2 priamky k (Veta 3.6).

3. Priese£ník R2 priamok a2 a k2 je nárysom h©adaného priese£níka R priamky a a roviny ρ.

51


4. Pomocou ordinály vedenej bodom R2 zostrojíme bod R1 na priamke k1. Bod R1 predstavuje

pôdorys h©adaného priese£níka R priamky a a roviny ρ.

5. Vyzna£íme vidite©nos´ priamky a (vi¤ pozn. 3.6 a pozn. 3.7).

Poznámka 3.8. Premietaciu rovinu κ (kryciu priamku k) môºeme voli´ aj tak, aby prekrývala

priamku a v nárysni ν, t. j. tak, aby nκ2 = a2 ∧ pκ1 ⊥ x1,2 (k2 = a2).


Úloha 3.9. Dané sú zdruºené priemety b1, b2 priamky b a body A(5; ?; ?), B(?; 1,5; ?), C(?; ?; 0),

D(0; ?; ?), E(?; 0; ?), F (−6; ?; ?), G(?;−3; ?), H(?; ?;−1).

a) Zostrojte zdruºené priemety daných bodov tak, aby body leºali na priamke b.

b) Dopí²te chýbajúce súradnice daných bodov.

52


Úloha 3.10. Ur£te vzájomnú polohu znázornených priamok.

53


Úloha 3.11. Zostrojte priamku a, ktorá prechádza bodom A a je rovnobeºná s priamkou m.

54


Úloha 3.12. Zostrojte chýbajúci priemet priamky a, ktorá leºí v rovine ρ.

Úloha 3.13. Zostrojte chýbajúce priemety bodov A, B, C, D, ktoré leºia v rovine σ.

55


Úloha 3.14. Ur£te vzájomnú polohu znázornených rovín a zostrojte ich priese£nicu, ak existuje.

56


57


Úloha 3.15. Zostrojte priese£ník priamky a s rovinou ρ (ak existuje) a vyzna£te vidite©nos´

priamky a.

58


59

3.4 Základné metrické úlohy 3 MONGEOVO PREMIETANIE

3.4 Základné metrické úlohy

Metrickými úlohami nazývame skupinu úloh, v ktorých vy²etrujeme odchýlky, kolmos´ a vzdiale-

nosti medzi základnými geometrickými útvarmi.

K základným metrickým úlohám v kon²truktívnej geometrii patrí:

• gra�cké ur£enie d¨ºky úse£ky danej dvojicou bodov,

• gra�cké ur£enie odchýlok priamok a rovín,

• kon²trukcia priamky kolmej na danú rovinu, resp. roviny kolmej na danú priamku,

• gra�cké ur£enie vzdialenosti bodu od roviny.

K metrickým úlohám patria tieº kon²truk£né úlohy týkajúce sa metrických vlastností rovinných

geometrických útvarov, ktoré leºia v danej rovine. Tieto úlohy budeme rie²i´ v podkapitole 3.5.

Ak geometrické útvary leºia vo v²eobecnej polohe vzh©adom na priemetne π, ν, ich ve©kosti,

vzájomné vzdialenosti a odchýlky sa v Mongeovom premietaní nezachovajú. Tie ostávajú nezme-

nené len ak zobrazované útvary leºia v rovinách rovnobeºných s priemet¬ami π, ν alebo priamo

v týchto priemet¬ach. Pri rie²ení metrických úloh v Mongeovom premietaní sa preto pouºíva

oto£enie5 roviny, v ktorej útvar leºí do niektorej z priemetní π, ν (Obr. 3.16a) alebo do polohy

rovnobeºnej s niektorou z týchto priemetní (Obr. 3.16b). Oto£enie roviny o uhol 90◦ sa nazýva

sklopenie.

(a) (b)Obr. 3.16

Symbolika:

A0 . . . oto£ená poloha bodu A

a0 . . . oto£ená poloha priamky a

(A), [A] . . . sklopená poloha bodu A

(a), [a] . . . sklopená poloha priamky a

|AB| . . . d¨ºka úse£ky AB

|AB| . . . vzdialenos´ bodov A, B

|A, ρ| . . . vzdialenos´ bodu A od roviny ρ

|](a, b)| . . . odchýlka priamok a, b

|](a, π)|, |](a, ν)| . . . odchýlka priamky a od pôdorysne π a nárysne ν

|](ρ, π)|, |](ρ, ν)| . . . odchýlka roviny ρ od pôdorysne π a nárysne ν5Oto£enie je zhodné zobrazenie, ktoré zachováva d¨ºky úse£iek, ve©kosti uhlov, ve©kos´ a tvar rovinných útvarov.

60

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.4 Základné metrické úlohy

3.4.1 Sklopenie premietacej roviny

Sklopenie premietacej roviny6 do pôdorysne π alebo do nárysne ν, resp. do polohy rovnobeºnej

s týmito priemet¬ami, pouºívame pri gra�ckom ur£ovaní d¨ºok úse£iek a tieº odchýlok priamok

a rovín od priemetní π, ν.

De�nícia 3.3. Odchýlkou priamky (roviny) od priemetne nazývame ve©kos´ uhla, ktorý

zviera priamka (rovina) s priemet¬ou.

Pri ur£ovaní d¨ºok úse£iek, ako aj odchýlok priamok a rovín od priemetní π, ν v Mongeovom

premietaní platí:

• d¨ºka úse£ky AB je ur£ená jej sklopeným priemetom (A)(B) do pôdorysne π alebo sklope-

ným priemetom [A][B] do nárysne ν, resp. do rovín rovnobeºných s priemet¬ou π alebo ν,

• odchýlka priamky a od pôdorysne π je uhol, ktorý zvierajú priamky a, a1; ur£íme ju sklo-

pením premietacej roviny priamky a do pôdorysne π alebo do roviny s ¬ou rovnobeºnej,

• odchýlka priamky a od nárysne ν je uhol, ktorý zvierajú priamky a, a2; ur£íme ju sklopením

premietacej roviny priamky a do nárysne ν alebo do roviny s ¬ou rovnobeºnej,

• odchýlka roviny ρ od pôdorysne π (nárysne ν) je daná odchýlkou spádovej priamky I. os-

novy Isρ (spádovej priamky II. osnovy IIsρ) roviny ρ od pôdorysne π (nárysne ν).

Kon²trukcia skuto£nej d¨ºky úse£ky AB

(a) (b)Obr. 3.17

1. spôsob rie²enia � sklopením premietacej roviny úse£ky AB do pôdorysne π


1. Z bodov A1, B1 zostrojíme pomocné kolmice na úse£ku A1B1.

2. Na kolmicu vedenú bodom A1 nanesieme od tohto bodu ve©kos´ z-ovej súradnice bodu A

(vzdialenos´ bodu A od π). Získame tak bod (A), ktorý znázor¬uje sklopenú polohu bodu

A do pôdorysne π.6Premietacou rovinou priamky zobrazovanej v Mongeovom premietaní nazývame rovinu, ktorá obsahuje túto

priamku a je kolmá na pôdorys¬u π alebo na nárys¬u ν.

61


3. Na kolmicu vedenú bodom B1 nanesieme od tohto bodu ve©kos´ z-ovej súradnice bodu B

(vzdialenos´ bodu B od π). Získame tak bod (B), ktorý znázor¬uje sklopenú polohu bodu B

do pôdorysne π.

4. Spojnica bodov (A), (B) znázor¬uje sklopenú polohu úse£ky AB do pôdorysne π a ich

vzájomná vzdialenos´ |(A)(B)| predstavuje skuto£nú d¨ºku úse£ky AB.

Poznámka 3.9. Skuto£nú d¨ºku úse£ky AB môºeme ur£i´ aj sklopením premietacej roviny úse£ky

do nárysne ν pouºitím y-ových súradníc bodov (Obr. 3.17a).

2. spôsob rie²enia � sklopením premietacej roviny úse£ky AB do polohy rovnobeºnej s pôdo-

rys¬ou π (resp. metódou rozdielového trojuholníka)


1. �ubovo©ným bodom úse£ky AB, napr. bodom B, vedieme rovinu π′‖π. Rovina π′ má len

nárysnú stopu nπ′= nπ

′2 , pre ktorú platí: B2 ∈ nπ

′2 , nπ

′2 ⊥B1B2.

2. Z bodu A1 zostrojíme pomocnú kolmicu na úse£ku A1B1, na ktorú nanesieme ve©kos´

|zA − zπ′ | (vzdialenos´ bodu A od π′). Získame tak bod (A), ktorý znázor¬uje sklopenú

polohu bodu A do roviny π′.

3. Ke¤ºe bod B leºí v rovine π′, je totoºný so svojím sklopeným priemetom (B) do tejto

roviny. V prvom priemete preto platí B1 = (B).

4. Spojnica bodov (A), (B) znázor¬uje sklopenú polohu úse£ky AB do roviny π′‖π a ich

vzájomná vzdialenos´ |(A)(B)| predstavuje skuto£nú d¨ºku úse£ky AB.

Poznámka 3.10. Skuto£nú d¨ºku úse£ky AB môºeme ur£i´ aj sklopením premietacej roviny úse£ky

do roviny ν ′‖ ν pouºitím y-ových súradníc bodov A, B (Obr. 3.17b).

Poznámka 3.11. Ak majú y-ové (resp. z-ové) súradnice sklápaných bodov rovnaké znamienka,

ich sklopené priemety rysujeme na kolmice orientované v rovnakom smere a ak majú súradnice

sklápaných bodov opa£né znamienka, ich sklopené priemety rysujeme na kolmice orientované

v opa£nom smere.

Kon²trukcia odchýlok priamky a od priemetní π, ν

Postup: (Obr. 3.18)

1. Na priamke a ©ubovo©ne zvolíme dva rôzne body A, B. Pre zdruºené priemety týchto bodov

platí: {A1, B1}∈ a1, {A2, B2}∈ a2 (A1B1, A2B2 sú ordinály).

2. Sklopením príslu²ných premietacích rovín priamky a do priemetní π a ν zostrojíme dvojice

bodov (A), (B) a [A], [B], ktoré znázor¬ujú sklopené polohy bodov A, B do pôdorysne π

a nárysne ν (postup na str. 61).

3. Priamka (a) =←−−−→(A)(B) znázor¬uje sklopenú polohu priamky a do priemetne π a priamka

[a] =←−−→[A][B] znázor¬uje sklopenú polohu priamky a do priemetne ν.

4. Ve©kos´ uhla α = |](a1, (a))| ur£uje odchýlku priamky a od pôdorysne π a ve©kos´ uhla

β = |](a2, [a])| ur£uje odchýlku priamky a od nárysne ν.

62


Obr. 3.18

Poznámka 3.12. Odchýlky priamky a od priemetní π, ν môºeme ur£i´ aj sklopením príslu²ných

premietacích rovín priamky a do rovín π′‖π a ν ′‖ ν (postup na str. 62).

3.4.2 Kolmos´ priamky a roviny

De�nícia 3.4. Hovoríme, ºe priamka k a rovina ρ sú navzájom kolmé, ke¤ priamka k je kolmá

na v²etky priamky roviny ρ.

Veta 3.8. (Kritérium kolmosti priamky a roviny) Priamka k je kolmá na rovinu ρ práve

vtedy, ke¤ je kolmá na dve rôznobeºné priamky roviny ρ.

Veta 3.9. (Veta o kolmom priemete pravého uhla) Kolmým priemetom pravého uhla je

pravý uhol práve vtedy, ke¤ aspo¬ jedno rameno pravého uhla je rovnobeºné s priemet¬ou a druhé

rameno nie je na priemet¬u kolmé.

Priamka k, kolmá na rovinu ρ, je pod©a de�nície 3.4 kolmá na v²etky priamky roviny ρ, a teda aj

na jej pôdorysnú a nárysnú stopu pρ a nρ, ako aj na hlavné priamky I. a II. osnovy Ihρ a IIh

ρ.

Pod©a vety 3.9 pre zdruºené priemety priamky k⊥ ρ v Mongeovom premietaní platí:

• k1⊥ pρ1, resp. k1⊥ Ihρ1, pretoºe p

ρ⊂ π a Ihρ ‖π (Obr. 3.19a),

• k2⊥nρ2, resp. k2⊥ IIhρ2, pretoºe n

ρ⊂ ν a IIhρ ‖ ν (Obr. 3.19b).

(a) (b)

Obr. 3.19

63


Kon²trukcia priamky k kolmej na rovinu ρ z bodu K 6∈ ρ

Obr. 3.20

Postup: (Obr. 3.20)

1. Bodom K1 vedieme priamku k1⊥ pρ1. Priamka k1 je pôdorysom h©adanej priamky k⊥ ρ.

2. Bodom K2 vedieme priamku k2⊥nρ2. Priamka k2 je nárysom h©adanej priamky k⊥ ρ.

Kon²trukcia roviny ρ kolmej na priamku k cez bod M ∈ ρ

Obr. 3.21

Postup: (Obr. 3.21)

1. BodomM vedieme hlavnú priamku I. osnovy Ihρ h©adanej roviny ρ, t. j. zostrojíme priamky

Ihρ1⊥ k1 ∧M1∈ Ih

ρ1 a Ih

ρ2 ‖x1,2 ∧M2 ∈ Ih

ρ2.

2. Nájdeme nárysný stopník Nh priamky Ihρ: {Nh

1 } = Ihρ1 ∩ x1,2, Nh

2 ∈ Ihρ2 (Nh

1Nh2 je ordinála).

3. Bodom Nh2 vedieme priamku nρ2⊥ k2. Priamka nρ2 predstavuje nárysnú stopu roviny ρ.

4. Bodom Xρ1,2 ({Xρ

1,2} = nρ2 ∩ x1,2) vedieme priamku pρ1⊥ k1. Priamka pρ1 predstavuje pôdo-

rysnú stopu roviny ρ.

Poznámka 3.13. Stopy roviny ρ⊥ k môºeme analogicky zostroji´ pomocou hlavnej priamky II. os-

novy IIhρ roviny ρ.

64


Kon²trukcia skuto£nej vzdialenosti bodu M od roviny ρ

Obr. 3.22

Postup: (Obr. 3.22)

1. Bodom M vedieme priaku k kolmú na rovinu ρ (postup na str. 64).

2. Metódou krycej priamky (alebo metódou premietacej roviny) nájdeme priese£níkR priamky k

s rovinou ρ (postup na str. 51).

3. Ur£íme vzdialenos´ bodov M a R, napr. sklopením premietacej roviny priamky k do pôdo-

rysne π (postup na str. 61).

4. Vzdialenos´ sklopených priemetov (M), (R) bodov M , R do pôdorysne π predstavuje sku-

to£nú vzdialenos´ bodu M od roviny ρ.

3.4.3 Oto£enie roviny

Ak v Mongeovom premietaní skúmame metrické vlastnosti rovinných útvarov, je výhodné rovinu

ur£enú týmito útvarmi oto£i´ do priemetne π alebo ν, resp. do polohy, ktorá je rovnobeºná s nie-

ktorou z uvedených priemetní.

Pre oto£enie v²eobecnej roviny ρ platí:

• priese£nica roviny ρ s rovinou, do ktorej otá£ame rovinu ρ je osou otá£ania,

• bod A ∈ ρ, ktorý neleºí na osi otá£ania, sa pri otá£aní roviny ρ pohybuje po kruºnici

a sú£asne v rovine kolmej na os otá£ania,

• pri otá£aní roviny ρ do priemetne je stredom otá£ania bodu A ∈ ρ stopník spádovej

priamky roviny ρ, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na os otá£ania,

• polomer otá£ania bodu A ∈ ρ sa rovná vzdialenosti bodu A od osi otá£ania (od stredu

otá£ania bodu A). Ur£íme ho sklopením premietacej roviny spádovej priamky roviny ρ pre-

chádzajúcej bodom A do priemetne, do ktorej otá£ame rovinu ρ.

65


Oto£enie roviny ρ vo v²eobecnej polohe vzh©adom na priemetne π, ν

(a) (b)

Obr. 3.23

1. spôsob rie²enia � oto£ením roviny ρ do pôdorysne π


1. Osou oto£enia roviny ρ je jej pôdorysná stopa pρ1 ⊂ ρ ∩ π.

2. Zostrojíme prvý priemet Isρ1 spádovej priamky I. osnovy Isρ⊥ pρ roviny ρ, ktorá prechádza

bodom A ∈ ρ. Platí Isρ1 ⊥ pρ1 ∧ A1∈ Is

ρ1.

3. Priese£ník P s1 priamky Isρ1 a pôdorysnej stopy p

ρ1 roviny ρ je prvým priemetom pôdorysného

stopníka P s priamky Isρ. Tento bod je stredom otá£ania bodu A.

4. Premietaciu rovinu priamky Isρ sklopíme do pôdorysne π (postup na str. 61). Získame tak

dvojicu bodov (P s) = P s1 , (A) ∈ Ihρ1 (priamka Ih

ρ1 je totoºná s obrazom sklopenej prvej

premietacej priamky bodu A).

5. Polomer otá£ania Ar boduA sa rovná vzdialenosti bodovA, P s, t. j. Ar = |AP s| = |(A)(P s)|.

6. Zostrojíme kruºnicu (Ak)((P s),Ar) znázor¬ujúcu sklopený priemet kruºnice Ak, po ktorej

sa pohybuje bod A pri otá£aní roviny ρ do pôdorysne π.

7. Body A0, A′0, ktoré sú priese£níkmi priamky Isρ1 a kruºnice (Ak), znázor¬ujú oto£ené polohy

bodu A do pôdorysne π.

2. spôsob rie²enia � oto£ením roviny ρ do polohy rovnobeºnej s nárys¬ou ν


1. Osou oto£enia roviny ρ je hlavná priamka II. osnovy IIhρ.

2. Zostrojíme druhý priemet IIsρ2 spádovej priamky II. osnovy IIsρ roviny ρ (IIsρ⊥ IIh

ρ), ktorá

prechádza bodom A ∈ ρ. Platí IIsρ2 ⊥ IIhρ2 ∧ A2 ∈ IIs

ρ2.

66


3. Nájdeme priese£ník Ss2 priamok IIsρ2 a IIh

ρ2, ktorý je druhým priemetom bodu Ss ∈ IIh

ρ.

Bod Ss predstavuje stred otá£ania bodu A.

4. Premietaciu rovinu priamky IIsρ sklopíme do polohy rovnobeºnej s nárys¬ou ν (postup

analogický ako na str. 62 s tým rozdielom, ºe v tomto prípade vyuºívame y-ové súradnice

bodov). Získame tak dvojicu bodov [Ss] = Ss2, [A] ∈ IIhρ′

2 (priamka IIhρ′

2 je totoºná s obrazom

sklopenej druhej premietacej priamky bodu A).

5. Polomer otá£ania Ar bodu A sa rovná vzdialenosti bodov A a Ss, t. j. Ar = |ASs| = |[A][Ss]|.

6. Zostrojíme kruºnicu [Ak]([Ss],Ar) znázor¬ujúcu sklopený priemet kruºnice Ak, po ktorej

sa pohybuje bod A pri otá£aní roviny ρ okolo hlavnej priamky II. osnovy IIhρ do polohy

rovnobeºnej s nárys¬ou ν.

7. Body A0, A′0, ktoré sú priese£níkmi priamky Isρ2 a kruºnice [Ak], znázor¬ujú oto£ené polohy

bodu A do roviny rovnobeºnej s nárys¬ou ν.

Poznámka 3.14. Medzi priemetmi bodov roviny ρ v pôdorysni π, resp. v nárysni ν, a ich oto£enými

polohami do tej istej priemetne alebo roviny s ¬ou rovnobeºnej existuje vzáh kolmej osovej a�nity,

ktorej osou je os otá£ania roviny ρ.

Oto£enie roviny ρ kolmej na niektorú z priemetní π, ν

Postup kon²trukcie oto£enej polohy roviny ρ uvedieme pre prípad, ke¤ je rovina ρ kolmá na pô-

dorys¬u π. Rovinu ρ budeme otá£a´ do nárysne ν.7


1. Osou otá£ania roviny ρ⊥π je jej nárysná stopa nρ2 ⊂ ρ ∩ ν.

2. Zostrojíme druhý priemet IIsρ2 spádovej priamky II. osnovy IIsρ roviny ρ (IIsρ⊥ nρ), ktorá

prechádza bodom A ∈ ρ. Platí IIsρ2 ⊥ nρ2 ∧ A2∈ IIs

ρ2.

3. Bod N s2 ({N s

2} = IIsρ2 ∩ nρ2) je druhým priemetom nárysného stopníka N s priamky IIsρ,

ktorý predstavuje stred otá£ania bodu A.

4. Bod A sa pri otá£aní roviny ρ do nárysne ν pohybuje po kruºnici Ak(N s,Ar = |N sA|),ktorá leºí v rovine rovnobeºnej s pôdorys¬ou π. Polomer otá£ania Ar bodu A sa preto

pri kolmom premietnutí kruºnice Ak(N s,Ar = |N sA|) do pôdorysne π zachová, t. j. platíAr = |N sA| = |N s

1A1|.

5. Na priamku IIsρ2 nanesieme od bodu N s

2 na obidve strany polomer otá£ania Ar. Získame tak

dvojicu bodov A0, A′0, ktoré znázor¬ujú oto£ené polohy bodu A do nárysne ν.

Poznámka 3.15. Kon²trukcia oto£enej polohy roviny ρ kolmej na nárys¬u do pôdorysne π je

analogická (Obr. 3.24b).

7Oto£enie roviny ρ⊥π do nárysne ν, s ktorou je rovina ρ rôznobeºná, je jednoduch²ou metódou ako jej sklopenie

do pôdorysne π. Pri danej polohe roviny ρ nie je totiº potrebné gra�cky zisóva´ polomer oto£enia ºiadneho bodu

roviny, £ím sa kon²trukcia stane jednoduch²ou a preh©adnej²ou.

67


(a) (b)

Obr. 3.24

Poznámka 3.16. Bod A0, resp. A′0 na obr. 3.23 a 3.24 znázor¬uje oto£enú polohu bodu A ∈ ρ

pri oto£ení roviny ρ do priemetne, resp. do polohy s ¬ou rovnobeºnej o vä£²í, resp. men²í uhol.

Výber oto£enia roviny zvy£ajne závisí od konkrétnej situácie v nákresni.

Kon²trukcia odchýlky dvoch rôznobeºných priamok a, b

Obr. 3.25

Postup: (Obr. 3.25)

1. Rôznobeºné priamky a, b jednozna£ne ur£ujú rovinu, ktorú ozna£íme σ. Pomocou pôdorys-

ných stopníkov P a, P b týchto priamok ur£íme pôdorysnú stopu roviny σ (pσ1 =←−−→P a1 P

b1 ), okolo

ktorej oto£íme rovinu σ do pôdorysne π.

2. Body P a1 , Pb1 leºia na osi otá£ania pσ1 , preto sa ich poloha oto£ením roviny σ nezmení.

Pre oto£ené polohy pôdorysných stopníkov P a, P b priamok a, b do priemetne π teda platí:

P a0 = P a1 , Pb0 = P b1 .

3. Zostrojíme bod R0, ktorý znázor¬uje oto£enú polohu priese£níka R priamok a, b do pôdo-

rysne π (postup na str. 66).

68


4. Zostrojíme priamky a0 =←−−→P a0R0, b0 =

←−−→P b0R0, ktoré znázor¬ujú oto£ené polohy priamok a, b

do pôdorysne π.

5. Ve©kos´ uhla α = |](a0, b0)| ur£uje odchýlku rôznobeºných priamok a a b.8

Poznámka 3.17. Odchýlku dvoch rôznobeºiek môºeme ur£i´ aj oto£ením roviny ur£enej týmito

priamkami do nárysne ν okolo nárysnej stopy roviny, alebo do polohy rovnobeºnej s niektorou

z priemetní π, ν okolo príslu²nej hlavnej priamky roviny.


Úloha 3.16. Zostrojte skuto£nú d¨ºku úse£ky AB.

8Odchýlkou dvoch rôznobeºných priamok nazývame ve©kos´ ostrého uhla, ktorý tieto priamky zvierajú.

69


Úloha 3.17. Zostrojte odchýlku znázornenej priamky od pôdorysne π a nárysne ν.

70


Úloha 3.18. Zostrojte priamku a, ktorá je kolmá na rovinu ρ a prechádza bodom A ∈ ρ.

Úloha 3.19. Bodom K preloºte rovinu σ, ktorá je kolmá na priamku m.

71


Úloha 3.20. Zostrojte skuto£nú vzdialenos´ bodu M od roviny ρ.

72


Úloha 3.21. Daná je rovina ρ a pôdorys A1 bodu A ∈ ρ. Ur£te

1. oto£enú polohu bodu A oto£ením roviny ρ do pôdorysne π,

2. osovú a�nitu medzi pôdorysmi bodov roviny ρ a ich oto£enými polohami do priemetne π.

73


Úloha 3.22. Daná je rovina σ a nárys A2 bodu A ∈ σ. Ur£te

1. oto£enú polohu bodu A pri oto£ení roviny σ do nárysne ν,

2. osovú a�nitu medzi nárysmi bodov roviny σ a ich oto£enými polohami do priemetne ν.

74


Úloha 3.23. Rovina σ je daná hlavnou priamkou I. osnovy Ihσ a bodom M . Nájdite polohu

bodu M po oto£ení roviny σ

a) do polohy rovnobeºnej s pôdorys¬ou π,

b) do pôdorysne π.

Úloha 3.24. Rovina σ je daná hlavnou priamkou II. osnovy IIhσ a bodom M . Nájdite polohu

bodu M po oto£ení roviny σ

a) do polohy rovnobeºnej s nárys¬ou ν,

b) do nárysne ν.

75


Úloha 3.25. Zostrojte odchýlku znázornených rôznobeºných priamok oto£ením roviny, ur£enej

týmito rôznobeºkami

a) do pôdorysne π,

b) do nárysne ν.

76

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.5 Zobrazenie rovinných útvarov

3.5 Zobrazenie rovinných útvarov

Pri zobrazovaní rovinných útvarov s poºadovanými metrickými vlastnosámi a pri ur£ovaní sku-

to£ného tvaru a ve©kosti rovinného útvaru daného zdruºenými priemetmi pouºívame otá£anie

roviny ur£enej týmto útvarom do priemetne π alebo ν, resp. do polohy rovnobeºnej s niektorou

z uvedených priemetní.

Oto£enie roviny do priemetne, resp. do polohy rovnobeºnej s priemet¬ou, indukuje kolmú

osovú a�nitu9 medzi pôdorysmi (nárysmi) bodov roviny a ich oto£enými polohami. Osou a�nity

je priemet osi otá£ania roviny, t. j. priemet príslu²nej stopy alebo hlavnej priamky roviny. Smer

a�nity je ur£ený priemetmi bodov roviny a ich oto£enými polohami a je kolmý na os otá£ania.

3.5.1 Zobrazenie rovinného n-uholníka

Kon²trukcia skuto£ného obrazu ²tvorca ABCD ⊂ ρ

Obr. 3.26

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2), pôdorysy A1 a S1 vrcholu A a stredu S.

Postup: (Obr. 3.26)

1. Pomocou hlavných priamok I. osnovy Ihρ roviny ρ zostrojíme druhý priemet stredu S ²tvorca

ABCD a ur£íme jeho z-ovú súradnicu zS .

2. Oto£ením roviny ρ okolo jej pôdorysnej stopy pρ do pôdorysne π zostrojíme bod S0, ktorý

predstavuje oto£enú polohu bodu S do pôdorysne π (postup na str. 66).

3. Pomocou osovej a�nity A(pρ1, S1 → S0) zostrojíme bod A0, ktorý znázor¬uje oto£enú polohu

vrcholu A ²tvorca ABCD do priemetne π.9Kolmá osová a�nita je ²peciálny prípad osovej a�nity, v ktorej je smer a�nity kolmý na os a�nity. Základné

vlastnosti osovej a�nity sú uvedené v podkapitole 2.3 na str. 28.

77

3.5 Zobrazenie rovinných útvarov 3 MONGEOVO PREMIETANIE

4. Zostrojíme ²tvorec A0B0C0D0 (kon²trukcia je zrejmá z obrázka), ktorý znázor¬uje oto£enú

polohu, a teda aj skuto£ný obraz ²tvorca ABCD ⊂ ρ.

Poznámka 3.18. Skuto£ný obraz ²tvorca ABCD ⊂ ρ môºeme zostroji´ aj oto£ením roviny ρ okolo

jej nárysnej stopy nρ do nárysne ν.

Kon²trukcia zdruºených priemetov rovnostranného trojuholníka ABC ⊂ ρ

Obr. 3.27

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2) a nárysy A2, B2 vrcholov A, B.

Postup: (Obr. 3.27)

1. Oto£ením roviny ρ⊥π okolo jej nárysnej stopy nρ do nárysne ν zostrojíme bod A0, ktorý

predstavuje oto£enú polohu bodu A do priemetne ν (postup na str. 67).

2. Pomocou osovej a�nityA(nρ2, A2 → A0) zostrojíme bod B0, ktorý znázor¬uje oto£enú polohu

bodu B do nárysne ν.

3. V oto£enej polohe roviny ρ do nárysne ν zostrojíme rovnostranný trojuholník. Existujú dve

rie²enia: trojuholník A0B0C0 a trojuholník A0B0C′0.

4. Pomocou osovej a�nity A−1(nρ2, A0 → A2) zostrojíme body C2 a C ′2.

5. Pomocou ordinál zostrojíme body {A1, B1, C1, C′1} ∈ p

ρ1, ktoré predstavujú prvé priemety

vrcholov A, B, C, C ′ trojuholníkov ABC a ABC ′.

6. Úse£ka A1B1 predstavuje pôdorys a trojuholníky A2B2C2, A2B2C′2 nárysy rovnostranných

trojuholníkov ABC ⊂ ρ, ABC ′⊂ ρ.

Poznámka 3.19. Ke¤ºe rovina ρ je kolmá na priemet¬u π, zdruºené priemety rovnostranného

trojuholníka ABC ⊂ ρ môºeme zostroji´ aj sklopením roviny ρ do pôdorysne π.

78


3.5.2 Zobrazenie kruºnice

Pri zobrazovaní kruºnice k(S; r) ⊂ ρ v Mongeovom premietaní môºu nasta´ tieto moºnosti:

• ak kruºnica k leºí v rovine ρ rovnobeºnej s priemet¬ou, jej obrazom v tejto priemetni je

kruºnica s tým istým polomerom r (vi¤ priemet k1 kruºnice k na obr. 3.28a),

• ak kruºnica k leºí v rovine ρ kolmej na priemet¬u, jej obrazom v tejto priemetni je úse£ka

s d¨ºkou rovnou 2r (vi¤ priemety k2 kruºnice k na obr. 3.28a,b),

• ak kruºnica k leºí v rovine ρ, ktorá je vo v²eobecnej polohe vzh©adom na priemet¬u, jej

obrazom v tejto priemetni je elipsa s d¨ºkou hlavnej polosi a=r; hlavná os elipsy leºí na

priemete hlavnej priamky roviny ρ prechádzajúcej stredom S kruºnice k a ved©aj²ia os leºí na

priemete spádovej priamky roviny ρ prechádzajúcej stredom S kruºnice k10 (vi¤ priemet k1kruºnice k na obr. 3.28b a priemety k1, k2 kruºnice k na obr. 3.29).

(a) (b)

Obr. 3.28

Kon²trukcia zdruºených priemetov kruºnice k(S; r) ⊂ ρ

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2) a pôdorys S1 stredu S.

Postup: (Obr. 3.29)

1. Pomocou hlavnej priamky I. osnovy Ihρ roviny ρ zostrojíme nárys S2 stredu S kruºnice k.

2. Na priamke Ihρ1 ‖ pρ1, prechádzajúcej bodom S1, zostrojíme body A1, B1, pre ktoré platí

|S1A1| = |S1B1| = r. Body A1, B1 predstavujú hlavné vrcholy elipsy k1.

3. Zostrojíme prvý priemet Isρ1 spádovej priamky I. osnovy Isρ roviny ρ, ktorá prechádza

stredom S kruºnice k. Pre priamku Isρ1 platí Isρ1 ⊥ p

ρ1 ∧ S1 ∈ Is

ρ1.

10Ak polomer kruºnice leºí na hlavnej priamke roviny, ktorá nie je rovnobeºná so ºiadnou priemet¬ou, jeho d¨ºka

sa pri kolmom premietaní zachováva. Naopak, d¨ºky tých polomerov kruºnice, ktoré neleºia na hlavnej priamke

takejto roviny sa pri kolmom premietaní skracujú.

79


4. Zostrojíme sklopený priemet (Isρ) priamky Isρ do pôdorysne π (postup na str. 66).

5. Na priamke (Isρ) vo vzdialenosti rovnej polomeru r kruºnice k od bodu (S) zostrojíme

bod (C).

6. Bodom (C) vedieme pomocnú rovnobeºku s priamkou Ihρ1, ktorá pretne priamku Isρ1 v bo-

de C1. Bod C1 predstavuje ved©aj²í vrchol elipsy k1.

7. Ved©aj²í vrcholD1 elipsy k1 zostrojíme vyuºitím stredovej súmernosti elipsy pod©a jej stredu:

D1 ∈ Isρ1 ∧ |D1S1| = |S1C1|.

8. Pomocou hyperoskula£ných kruºníc zostrojíme elipsu k1 so stredom v bode S1, hlavnými

vrcholmi A1, B1 a ved©aj²ími vrcholmi C1, D1 ({A1, B1} ∈ Ihρ1, {C1, D1} ∈ Is

ρ1, postup

v kapitole 1 na str. 9). Elipsa k1 predstavuje kolmý priemet kruºnice k(S; r) do pôdorysne π.

9. Analogickým postupom zostrojíme elipsu k2 so stredom v bode S2, hlavnými vrcholmiK2, L2

a ved©aj²ími vrcholmiM2, N2 ({K2, L2} ∈ IIhρ2, {M2, N2} ∈ IIs

ρ2). Elipsa k2 predstavuje kol-

mý priemet kruºnice k(S; r) do nárysne ν.

Obr. 3.29

Poznámka 3.20. Na ur£enie d¨ºok ved©aj²ích polosí elíps k1, k2 môºeme pouºi´ aj prúºkovú kon-

²trukciu (postup v kapitole 1 na str. 10).

80



Úloha 3.26. Zostrojte skuto£ný obraz ²tvorca ABCD, ktorý leºí v rovine ρ, ak je daný pôdo-

rys A1 vrcholu A a nárys C2 vrcholu C. Úlohu rie²te oto£ením roviny ρ


b) do nárysne ν.

81


Úloha 3.27. Zostrojte skuto£ný obraz rovnostranného trojuholníka ABC, ktorý leºí v rovine σ,

ak je daný pôdorys T1 áºiska T a nárys A2 vrcholu A. Úlohu rie²te oto£ením roviny σ


b) do nárysne ν.

82


Úloha 3.28. Zostrojte skuto£ný obraz pravidelného ²esúholníka ABCDEF , ktorý leºí v ro-

vine σ ⊥ π, ak sú dané nárysy A2 a S2 vrcholu A a stredu S.

Úloha 3.29. Zostrojte skuto£ný obraz pravidelného päúholníka KLMNO, ktorý leºí v ro-

vine ρ ⊥ ν, ak sú dané pôdorysy K1 a S1 vrcholu K a stredu S.

83


Úloha 3.30. Zostrojte zdruºené priemety rovnostranného trojuholníka ABC, ktorý leºí v ro-

vine ρ, ak je daný pôdorys A1 vrcholu A, nárys B2 vrcholu B a pre y-ovú súradnicu vrcholu C

platí yC > 0. Úlohu rie²te oto£ením roviny ρ do pôdorysne π.

Úloha 3.31. Zostrojte zdruºené priemety ²tvorca KLMN , ktorý leºí v rovine ρ, ak je daný

pôdorys S1 stredu S a nárys K2 vrcholu K. Úlohu rie²te oto£ením roviny ρ do nárysne ν.

84


Úloha 3.32. Zostrojte zdruºené priemety ²tvorca ABCD, ktorý leºí v rovine σ ⊥ π, ak sú dané

nárysy C2 a S2 vrcholu C a stredu S.

Úloha 3.33. Zostrojte zdruºené priemety rovnoramenného trojuholníka ABC, ktorý leºí v rovine

ρ ⊥ ν, ak sú dané pôdorysy A1, B1 vrcholov A, B, pre y-ovú súradnicu vrcholu C platí yC > yA

a d¨ºka ramien je |AC| = |BC| = 5cm.

85


Úloha 3.34. Zostrojte zdruºené priemety kruºnice k(S; r = 2,5cm), ktorá leºí v rovine ρ ⊥ π, akje daný nárys S2 jej stredu S.

Úloha 3.35. Zostrojte zdruºené priemety kruºnice k(S; r = 2cm), ktorá leºí v rovine σ, ak je

daný pôdorys S1 jej stredu S.

86

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.6 Zobrazenie jednoduchých telies

3.6 Zobrazenie jednoduchých telies

Jednoduché telesá naj£astej²ie delíme na:

• mnohosteny, kde patria napr. hranol, ihlan, zrezaný ihlan, pravidelné mnohosteny (Obr. 3.30),

• oblé telesá, kde patria napr. valec, kuºe©, zrezaný kuºe©, gu©a (Obr. 3.31).

Obr. 3.30

Obr. 3.31

87

3.6 Zobrazenie jednoduchých telies 3 MONGEOVO PREMIETANIE

Kolmým priemetom jednoduchého telesa je mnoºina kolmých priemetov v²etkých jeho bodov.

Uzavretú £iaru, ktorá tvorí obrys kolmého priemetu telesa, nazývame zdanlivý obrys telesa.

Poznámka 3.21. Pri zobrazovaní zvy£ajne predpokladáme, ºe teleso je hmotné, preto £as´ jeho

povrchu v priemete nevidíme. Kvôli lep²ej názornosti zobrazujeme vidite©né £asti priemetu telesa

plnou £iarou a nevidite©né £asti priemetu telesa £iarkovanou £iarou.

3.6.1 Zobrazenie mnohostenov

Mnohosten zobrazíme v Mongeovom premietaní tak, ºe do pôdorysne π aj nárysne ν kolmo pre-

mietneme v²etky jeho vrcholy a hrany.

Kon²trukcia zdruºených priemetov pravidelného trojbokého hranola ABCA′B′C′

s dolnou podstavou leºiacou v pôdorysni π

Obr. 3.32

Dané: pôdorysy T1 a A1 áºiska T a vrcholu A dolnej podstavy, vý²ka v hranola.

Postup: (Obr. 3.32)

1. Zostrojíme rovnostranný trojuholník A1B1C1 s áºiskom v bode T1, ktorý predstavuje prvý

priemet dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′.

2. Pomocou ordinál zostrojíme druhé priemety A2, B2, C2 vrcholov A, B, C a druhý priemet

T2 áºiska T dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′. Ke¤ºe dolná podstava telesa leºí v pô-

dorysni π, body A2, B2, C2, T2 leºia na základnici x1,2. Úse£ka A2B2 ∈ x1,2 predstavuje

druhý priemet dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′.

3. Bo£né hrany AA′, BB′, CC ′ a os o =←→TT ′ hranola ABCA′B′C ′ sú kolmé na pôdorys¬u π.

Preto ich prvými priemetmi sú body A1 = A′1, B1 = B′1, C1 = C ′1, o1 = T1 = T ′1 a druhými

priemetmi úse£ky A2A′2, B2B′2, C2C ′2 a←−→T2T

′2 s d¨ºkou v, ktoré sú kolmé na základnicu x1,2.

88


4. Rovnostranný trojuholníkA′1B′1C′1, ktorý je totoºný s trojuholníkomA1B1C1 a úse£kaA′2B

′2,

ktorá je rovnobeºná so základnicou x1,2 a má rovnakú d¨ºku ako úse£ka A2B2, predstavujú

prvý a druhý priemet hornej podstavy hranola ABCA′B′C ′ v tomto poradí.

5. Ur£íme vidite©nos´ priemetov hrán hranola ABCA′B′C ′: Hrany tvoriace zdanlivý obrys

hranola (v prvom priemete strany rovnostranného trojuholníkaA′1B′1C′1 a v druhom priemete

strany obd¨ºnika A2B2B′2A′2) sú vidite©né, preto ich vyzna£íme plnou £iarou. Hranu CC ′

v druhom priemete nevidíme, preto jej nárys C2C ′2 vyzna£íme £iarkovane.

Kon²trukcia zdruºených priemetov ²ikmého trojbokého hranolaABCA′B′C′ s dolnou

podstavou v tvare rovnostranného trojuholníka leºiaceho v pôdorysni π

Obr. 3.33

Dané: pôdorysy T1 a A1 áºiska T a vrcholu A dolnej podstavy, pôdorys T ′1 a nárys T′2 áºiska T

′

hornej podstavy hranola.

Postup: (Obr. 3.33)

1. Zostrojíme rovnostranný trojuholník A1B1C1 s áºiskom v bode T1, ktorý predstavuje prvý

priemet dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′.

2. Pomocou ordinál zostrojíme druhé priemety A2, B2, C2 vrcholov A, B, C a druhý priemet

T2 áºiska T dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′. Pretoºe dolná podstava uvaºovaného

telesa leºí v pôdorysni π, body A2, B2, C2, T2 leºia na základnici x1,2. Úse£ka A2B2 ∈ x1,2predstavuje druhý priemet dolnej podstavy hranola ABCA′B′C ′.

3. Zostrojíme zdruºené priemety osi o =←→TT ′ hranola ABCA′B′C ′: o1 =

←−→T1T

′1, o2 =

←−→T2T

′2.

4. Bo£né hrany AA′, BB′, CC ′ hranola ABCA′B′C ′ sú rovnobeºné s osou o, preto ich v prvom

aj druhom priemete zostrojíme ako rovnobeºky s príslu²nými priemetmi osi o:

89


o1 ‖A1A′1 ‖ B1B′1 ‖C1C ′1, pri£om |T1T ′1|= |A1A′1|= |B1B′1|= |C1C ′1|,o2 ‖A2A′2 ‖ B2B′2 ‖C2C ′2, pri£om |T2T ′2|= |A2A′2|= |B2B′2|= |C2C ′2|.

5. Rovnostranný trojuholník A′1B′1C′1, ktorý je zhodný s trojuholníkom A1B1C1 a úse£ka A′2B

′2,

ktorá je rovnobeºná so základnicou x1,2 a má rovnakú d¨ºku ako úse£ka A2B2, predstavujú

prvý a druhý priemet hornej podstavy hranola ABCA′B′C ′ v tomto poradí.

6. Ur£íme zdanlivý obrys hranola ABCA′B′C ′, ktorý je vidite©ný, a preto ho vyzna£íme plnou

£iarou. V prvom priemete je to uzavretá lomená £iara A′1B′1B1C1C

′1A′1 a v druhom priemete

strany kosod¨ºnika A2B2B′2A′2.

7. Ur£íme vidite©nos´ priemetov hrán vo vnútri zdanlivých obrysov hranola ABCA′B′C ′:

Hranu CC ′ v druhom priemete nevidíme, preto jej nárys C2C ′2 vyzna£íme £iarkovane.

(Ne)vidite©nos´ hrany AA′ a následne aj hrán AB, CA ur£íme v prvom priemete pomo-

cou krycích bodov 1∈ AA′, 2∈ B′C ′ (vi¤ pozn. 3.6 na str. 51).

Kon²trukcia zdruºených priemetov pravidelného ²tvorbokého ihlana ABCDV s pod-

stavou leºiacou v rovine ρ

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2), pôdorysy A1 a S1 vrcholu A a stredu S podstavy, vý²ka v ihlana.

Postup: (Obr. 3.34)

1. Oto£ením roviny ρ do pôdorysne π zostrojíme skuto£ný obraz podstavy ihlana ABCDV ,

t. j. skuto£ný obraz ²tvorcaABCD⊂ρ, ur£eného vrcholomA a stredom S (postup na str. 77).

2. Pomocou osovej a�nity A(pρ1, S0 → S1) zostrojíme rovnobeºník A1B1C1D1 a pomocou hlav-

ných priamok napr. I. osnovy roviny ρ zostrojíme rovnobeºník A2B2C2D2. Rovnobeºníky

A1B1C1D1 a A2B2C2D2 predstavujú pôdorys a nárys podstavy uvaºovaného telesa.

3. Zostrojíme zdruºené priemety osi o ihlana ABCDV : o1 = Isρ1 ∧ S1 ∈ o1, o2⊥n

ρ2 ∧ S2 ∈ o2.

4. Os o uvaºovaného ihlana a spádová priamka Isρ roviny ρ leºia v spolo£nej premietacej rovine

κ⊥π. Premietaciu rovinu κ sklopíme do priemetne π, t. j. zostrojíme sklopený priemet (Isρ)

spádovej priamky Isρ roviny ρ (postup na str. 61) a bodom (S) vedieme priamku (o)⊥ (Is

ρ),

ktorá znázor¬uje sklopený priemet osi o do pôdorysne π.

5. Na sklopený priemet (o) osi o nanesieme od bodu (S) vý²ku v ihlana ABCDV . Získame

tak sklopený priemet (V ) hlavného vrchola V uvaºovaného telesa.

6. Pomocou rovnobeºky s pôdorysnou stopou pρ1 roviny ρ a ordinály zostrojíme pôdorys V1 ∈ o1a nárys V2 ∈ o2 hlavného vrchola V ihlana ABCDV .

7. Zostrojíme úse£ky A1V1, B1V1, C1V1, D1V1 a úse£ky A2V2, B2V2, C2V2, D2V2, ktoré pred-

stavujú prvé a druhé priemety bo£ných hrán AV , BV , CV , DV uvaºovaného ihlana.

8. Ur£íme zdanlivý obrys ihlana ABCDV , ktorý vyzna£íme plnou £iarou. V pôdoryse je to

uzavretá lomená £iara A1B1C1D1V1A1 a v náryse uzavretá lomená £iara A2D2C2V2A2.

9. Vidite©nos´ priemetov hrán vo vnútri zdanlivých obrysov ihlana ABCDV ur£íme pomocou

krycích bodov (vi¤ pozn. 3.6, 3.7 na str. 51): V pôdoryse nevidíme len hranu AD, zatia©

90


£o v náryse nevidíme hrany AB, BC, BV . Priemety A1D1, A2B2, B2C2, B2V2 uvedených

hrán vyzna£íme preto £iarkovane.

Obr. 3.34

3.6.2 Zobrazenie oblých telies

Pri zobrazovaní oblých telies v Mongeovom premietaní platí:

• rota£ný valec alebo ²ikmý kruhový valec zobrazíme tak, ºe zostrojíme zdruºené prie-

mety obidvoch jeho podstáv a k nim ich spolo£né doty£nice, ktoré sú rovnobeºné s príslu²-

ným priemetom osi telesa (Obr. 3.35a,b),

• rota£ný kuºe© alebo ²ikmý kruhový kuºe© zobrazíme tak, ºe zostrojíme zdruºené prie-

mety jeho podstavy a hlavného vrcholu (Obr. 3.35c,d). Ak priemet hlavného vrcholu kuºe©a

leºí mimo priemetu jeho podstavy, z priemetu hlavného vrcholu vedieme doty£nice k prie-

metu podstavy (Obr. 3.35d),

• pôdorysom (nárysom) gule so stredom S a polomerom r je kruºnica so stredom v prvom

priemete S1 (druhom priemete S2) bodu S a polomerom r. (Obr. 3.35e),

• nevidite©nú £as´ priemetu podstavy valca alebo kuºe©a, ktorá sa nachádza medzi dotykovými

bodmi obrysových doty£níc, zobrazíme £iarkovanou £iarou (Obr. 3.35a�d).

91


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Obr. 3.35

92


Kon²trukcia zdruºených priemetov rota£ného kuºe©a s podstavou leºiacou v rovine ρ

Obr. 3.36

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2), pôdorys S1 stredu S a polomer r podstavy, vý²ka v kuºe©a.

Postup: (Obr. 3.36)

1. Zostrojíme zdruºené priemety podstavy kuºe©a (kruºnice k(S,r) ⊂ ρ), ktorými sú v prvom

priemete elipsa ke1 a v druhom priemete elipsa ke2 (postup na str. 79).

2. Zostrojíme zdruºené priemety osi o kuºe©a: o1 = Isρ1 ∧ S1 ∈ o1, o2⊥n

ρ2 ∧ S2 ∈ o2.

3. Skopením premietacej roviny tvorenej osou o kuºe©a a spádovou priamkou Isρ roviny ρ, ktorá

prechádza cez stred S podstavy kuºe©a, do pôdorysne π zostrojíme pôdorys V1 ∈ o1 a nárys

V2 ∈ o2 hlavného vrcholu V kuºe©a (vi¤ kroky 4.�6. v kon²trukcii zdruºených priemetov

pravidelného kolmého ihlana na str. 90).

4. Z bodov V1, V2 zostrojíme doty£nice k príslu²ným priemetom podstavy kuºe©a, t. j. k elip-

sám ke1, ke2 (vi¤ Vety 1.2. a 1.3. v kapitole 1).

5. Nevidite©né £asti pôdorysu ke1 a nárysu ke2 hrany podstavy kuºe©a, ktoré sa nachádzajú me-

dzi dotykovými bodmi obrysových doty£níc (medzi bodmi T1, T ′1 a bodmi U2, U ′2) zobrazíme

£iarkovanou £iarou.

93



Úloha 3.36. Zostrojte zdruºené priemety pravidelného n-bokého hranola (n = 3, 4, 5, 6) s vý²kou

v = 4cm, ak sú dané:

a) stred S(−1; 4; 0) a vrchol A(−4; 5; 0) dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π,

b) stred S(4; 0; 4) a vrchol A(7,5; 0; 5) dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν,

c) vrcholy A(1; 3; 0), B(4,5; 1; 0) a podmienka yC > yB pre y-ovú súradnicu vrcholu C dolnej

podstavy leºiacej v pôdorysni π,

d) vrcholy A(−3; 0; 2), B(0,5; 0; 0) a podmienka zC > zB pre z-ovú súradnicu vrcholu C dolnej

podstavy leºiacej v nárysni ν,

e) stred S(1,5; 4; 0) a vrchol A dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π, pre ktoré platí

|AS| = 3,5cm, xA < 0, yA = yS .

f) stred S(0; 0; 3) a vrchol A dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, pre ktoré platí |AS| = 3cm,

xA = xS , zA < zS .

Úloha 3.37. Zostrojte zdruºené priemety ²ikmého n-bokého hranola (n = 3, 4, 5, 6) s pravidelnou

podstavou, ak sú dané:

a) stred S(1; 4; 0) a vrchol A(3; 5; 0) dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π, stred S′(−1; 4; 4,5)

hornej podstavy,

b) stred S(−4; 0; 3,5) a vrcholA(−7; 0; 4) dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, stred S′(−2,5; 3; 5)

hornej podstavy,

c) vrcholy A(0; 5,5; 0), B(3; 6; 0) a podmienka yC < yB pre y-ovú súradnicu vrcholu C dolnej

podstavy leºiacej v pôdorysni π, vrchol A′(1; 5,5; 5) hornej podstavy,

d) vrcholy A(0; 0; 0), B(3; 0; 1) a podmienka zC > zB pre z-ovú súradnicu vrcholu C dolnej

podstavy leºiacej v nárysni ν, vrchol A′(−3; 4; 1) hornej podstavy,

e) stred S(1; 3; 0) a vrchol A dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π, pre ktoré platí |AS| = 3cm,

xA = xS , yA < yS , stred S′(−3; 4; 4) hornej podstavy,

f) stred S(1; 0; 4) a vrchol A dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, pre ktoré platí |AS| = 3cm,

xA > 0, zA = zS , vrchol A′(1; 4,5; 3) hornej podstavy.

Úloha 3.38. Zostrojte zdruºené priemety pravidelného n-bokého ihlana (n = 3, 4, 5, 6) s vý²kou

v = 6,5cm, ak sú dané:

a) stred S(−3; 3,5; 0) a vrchol A(0; 4; 0) podstavy leºiacej v pôdorysni π, podmienka zV > 0

pre z-ovú súradnicu hlavného vrcholu V ,

b) stred S(3,5; 0; 4) a vrchol A(0; 0; 4) podstavy leºiacej v nárysni ν, podmienka yV > 0 pre

y-ovú súradnicu hlavného vrcholu V ,

94


c) vrcholy A(1; 5; 0), B(1; 3; 0) a podmienka xC > 0 pre x-ovú súradnicu vrcholu C podstavy

leºiacej v pôdorysni π, podmienka zV > 0 pre z-ovú súradnicu hlavného vrcholu V ,

d) vrcholy A(−3; 0; 1), B(0; 0; 1) a podmienka zC > zB pre z-ovú súradnicu vrcholu C podstavy

leºiacej v nárysni ν, podmienka yV > 0 pre y-ovú súradnicu hlavného vrcholu V ,

e) stred S(1,5; 4; 0) a vrchol A podstavy leºiacej v pôdorysni π, pre ktoré platí |AS| = 3cm,

xA > 0, yA = yS , podmienka zV > 0 pre z-ovú súradnicu hlavného vrcholu V ,

f) stred S(1.5; 0; 4) a vrchol A podstavy leºiacej v nárysni ν, pre ktoré platí |AS| = 3,5cm,

zA = zS , xA > xS , podmienka yV > 0 pre y-ovú súradnicu hlavného vrcholu V .

Úloha 3.39. Zostrojte zdruºené priemety ²ikmého n-bokého ihlana s pravidelnou podstavou

(n = 3, 4, 5, 6), ak sú dané:

a) stred S(3; 3; 0) a vrcholA(−1; 3; 0) podstavy leºiacej v pôdorysni π, hlavný vrchol V (−2,5; 8; 4),

b) stred S(3; 0; 4) a vrchol A(3; 0; 1) podstavy leºiacej v nárysni ν, hlavný vrchol V (5; 5; 3,5),

c) vrcholy A(−3,5; 0; 0), B(0; 2; 0) a podmienka yC > yB pre y-ovú súradnicu vrcholu C pod-

stavy leºiacej v pôdorysni π, hlavný vrchol V (3; 2; 5),

d) vrcholy A(1; 0; 5), B(1; 0; 3) a podmienka xC > 0 pre x-ovú súradnicu vrcholu C podstavy

leºiacej v nárysni ν, hlavný vrchol V (−2,5; 4; 0)

e) stred S(1,5; 4; 0) a vrchol A podstavy leºiacej v pôdorysni π, pre ktoré platí |AS| = 3cm,

yA = yS , xA < 0, hlavný vrchol V (−4; 7; 5),

f) stred S(−0,5; 0; 2,5) a vrchol A podstavy leºiacej v nárysni ν, pre ktoré platí |AS| = 2cm,

xA = 0, zA < zS , hlavný vrchol V (−2,5; 4; 8).

Úloha 3.40. Zostrojte zdruºené priemety rota£ného valca s vý²kou v = 2r (r je polomer dolnej

podstavy), ak sú dané:

a) stred S(3; 4; 0) a polomer r = 2,5cm dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π,

b) stred S(2;−4; 0) a polomer r = 3,5cm dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π,

c) stred S(−3; 0; 3,5) a polomer r = 3cm dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, podmienka

yS′ > 0 pre y-ovú súradnicu stredu S′ hornej podstavy,

d) stred S(3; 0;−2) a polomer r = 2cm dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, podmienka yS′ < 0

pre y-ovú súradnicu stredu S′ hornej podstavy.

Úloha 3.41. Zostrojte zdruºené priemety ²ikmého kruhového valca, ak sú dané:

a) stred S(3; 4; 0) a polomer r = 2,5cm dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π, stred S′(−1; 2; 5)

hornej podstavy,

b) stred S(−1; 0; 3) a polomer r = 2cm dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, stred S′(1; 6; 5)

hornej podstavy,

95


c) stred S(4; 4; 0) a polomer r = 0,5yS dolnej podstavy leºiacej v pôdorysni π, stred S′(2; 3; 5)

hornej podstavy,

d) stred S(−3; 0; 5) a polomer r = 0,5zS dolnej podstavy leºiacej v nárysni ν, stred S′(1; 4,5; 2,5)

hornej podstavy.

Úloha 3.42. Zostrojte zdruºené priemety rota£ného kuºe©a s vý²kou v = 1,5r (r je polomer

podstavy), ak sú dané:

a) stred S(−3,5; 4; 0) a polomer r = 3cm podstavy leºiacej v pôdorysni π, podmienka zV > 0

pre z-ovú súradnicu hlavného vrchola V ,

b) stred S(0;−3,5; 0) a polomer r = 3cm podstavy leºiacej v pôdorysni π, podmienka zV < 0

pre z-ovú súradnicu hlavného vrchola V ,

c) stred S(3; 0; 2) a polomer r = 2cm podstavy leºiacej v nárysni ν, podmienka yV > 0

pre y-ovú súradnicu hlavného vrchola V ,

d) stred S(4,5; 0;−3,5) a polomer r = 2cm podstavy leºiacej v nárysni ν, podmienka yV < 0

pre y-ovú súradnicu hlavného vrchola V .

Úloha 3.43. Zostrojte zdruºené priemety ²ikmého kruhového kuºe©a, ak sú dané:

a) stred S(3; 4; 0) a polomer r = 3cm podstavy leºiacej v pôdorysni π, hlavný vrchol V (−2; 4; 5),

b) stred S(3; 0; 2) a polomer r = 2cm podstavy leºiacej v nárysni ν, hlavný vrchol V (1; 4; 5),

c) stred S(−5; 3,5; 0) a polomer r = 0,5|xS | podstavy leºiacej v pôdorysni π, hlavný vr-

chol V (0; 0; 6,5),

d) stred S(4; 0; 5) a polomer r = 0,5zS podstavy leºiacej v nárysni ν, hlavný vrchol V (−3; 0; 5).

Úloha 3.44. Zostrojte zdruºené priemety kolmého hranola s dolnou podstavou v rovine ρ(−9; 7; 4),

vý²kou v = 7cm a podmienkou zA′ > zA pre z-ovú súradnicu vrcholu A′ hornej podstavy, ak:

a) dolná podstava je ²tvorec so stredom S(0; ?; 1) a vrcholom A(4; 2; ?),

b) dolná podstava je ²tvorec s vrcholmi A(−2; ?; 1), C(4; 2; ?),

c) dolná podstava je rovnostranný trojuholník s vrcholmi A(3; 4; ?), B(−1,5; ?; 1) a pre y-ovú

súradnicu vrcholu C platí yC > yB,

d) dolná podstava je rovnostranný trojuholník s vrcholom A(−1,5; 1; ?) a áºiskom T (1,5; ?; 1).

Úloha 3.45. Zostrojte zdruºené priemety rota£ného valca s dolnou podstavou v rovine ρ(−5; 5; 6)

a vý²kou v = 7cm. Dolná podstava valca má stred v bode S(2; 3,5; ?) a polomer r = 2,5cm.

Pre z-ovú súradnicu stredu S′ hornej podstavy valca platí podmienka zS′ > zS .

Úloha 3.46. Zostrojte zdruºené priemety rota£ného kuºe©a s podstavou v rovine ρ(7; 8,5; 7)

a vý²kou v = 5cm. Podstava kuºe©a má stred v bode S(2; 4; ?) a polomer r = 2cm. Pre z-ovú

súradnicu hlavného vrcholu V kuºe©a platí podmienka zV > zS .

96

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.7 Tretia (pomocná) priemet¬a

3.7 Tretia (pomocná) priemet¬a

Pre zjednodu²enie kon²trukcie a tieº pre získanie názornej²ieho obrazu zobrazovaného útvaru zavá-

dzame niekedy v Mongeovom premietaní ¤al²iu priemet¬u µ, ktorú nazývame tretia (pomocná)

priemet¬a. Tretiu priemet¬u µ volíme bu¤ kolmo na pôdorys¬u π (Obr. 3.37a) alebo kolmo

na nárys¬u ν (Obr. 3.37b), alebo kolmo na obidve priemetne π aj ν (Obr. 3.37c,d). Ak je prie-

met¬a µ kolmá na pôdorys¬u π alebo nárys¬u ν, hovoríme o tretej ved©aj²ej priemetni. Ak je

priemet¬a µ sú£asne kolmá na pôdorys¬u π aj nárys¬u ν, hovoríme o tretej hlavnej priemetni,

ktorú nazývame tieº bokorys¬a.

(a) (b)

(c) (d)

Obr. 3.37

Do tretej priemetne µ premietame geometrické útvary kolmo, a potom ju zdruºíme s prie-

met¬ou, na ktorú je kolmá (Obr. 3.37). Os otá£ania priemetne µ predstavuje novú základnicu

(na obr. 3.37 sú to priamky y′1,3 ⊂ µ ∩ π a z2,3 ⊂ µ ∩ ν).Smer premietania udáva smer poh©adu na geometrický útvar. Tretí priemet geometrického

útvaru do priemetne µ môºe predstavova´ ²es´ rôznych poh©adov na tento útvar:

• pravý podh©ad � ²ikmý poh©ad na útvar zdola a sprava,

• ©avý podh©ad � ²ikmý poh©ad na útvar zdola a z©ava,

• pravý nadh©ad � ²ikmý poh©ad na útvar zhora a sprava,

97

3.7 Tretia (pomocná) priemet¬a 3 MONGEOVO PREMIETANIE

• ©avý nadh©ad � ²ikmý poh©ad na útvar zhora a z©ava,

• pravý bokorys � poh©ad na útvar zboku a sprava,

• ©avý bokorys � poh©ad na útvar zboku a z©ava.

Symbolika:

µ . . . tretia priemet¬a

y1,3 . . . nová základnica, ak µ⊥π (y1,3 ⊂ µ ∩ π)z2,3 . . . nová základnica, ak µ⊥ ν (z2,3 ⊂ µ ∩ ν)A3 . . . tretí priemet bodu A

a3 . . . tretí priemet priamky a

ρ3 . . . tretí priemet roviny ρ

3.7.1 Tretí priemet bodu

Pre tretí priemet ©ubovo©ného bodu A v Mongeovom premietaní platí:

• ak je tretia priemet¬a µ kolmá na pôdorys¬u π, tak vzdialenos´ tretieho priemetu A3 bodu

A od základnice y1,3 = µ ∩ π sa rovná vzdialenosti jeho nárysu A2 od základnice x1,2(zápis: µ⊥π ⇒ |A3, y1,3| = |A2, x1,2| = |zA|, obr. 3.38a),

• ak je tretia priemet¬a µ kolmá na nárys¬u ν, tak vzdialenos´ tretieho priemetu A3 bodu

A od základnice z2,3 = µ ∩ ν sa rovná vzdialenosti jeho pôdorysu A1 od základnice x1,2(zápis: µ⊥ ν ⇒ |A3, z2,3| = |A1, x1,2| = |yA|, obr. 3.38b).

(a) (b) (c)

Obr. 3.38

Kon²trukcia tretieho priemetu bodu A do priemetne µ⊥π


1. Vhodne zvolíme novú základnicu y1,3, ktorá ur£í polohu tretej pomocnej priemetne µ⊥π.

2. Pôdorysom A1 daného bodu A vedieme ordinálu kolmú na základnicu y1,3.

3. Na ordinálu kolmú na základnicu y1,3 nanesieme od tejto základnice ve©kos´ z-ovej súradnice

bodu A. Získaný bod A3 predstavuje tretí priemet bodu A do priemetne µ⊥π.

98


Poznámka 3.22. Ak súradnice bodov, ktoré naná²ame na ordinály kolmé na novú základnicu (y1,3alebo z2,3) majú rovnaké (opa£né) znamienka, ich tretie priemety naná²ame na tieto ordinály

v rovnakom (opa£nom) smere.

Poznámka 3.23. Postupy kon²trukcií tretích priemetov bodu do priemetne µ kolmej na nárys¬u ν

(Obr. 3.38b) a do bokorysne (Obr. 3.38c) sú analogické ako postup kon²trukcie tretieho priemetu

bodu do priemetne µ⊥π.

Poznámka 3.24. Ak je tretia prieme¬a µ bokorys¬ou (µ⊥ π ∧ µ⊥ ν), zvykne sa táto prieme¬a

otá£a´ do nárysne ν (Obr. 3.38c).

3.7.2 Tretí priemet roviny

V kon²truk£ných úlohách, kde vystupuje rovina vo v²eobecnej polohe vo£i priemet¬am π a ν

volíme tretiu priemet¬u µ kolmo na túto rovinu. Tretím priemetom danej roviny je potom priamka,

£ím sa rie²enie úlohy podstatne zjednodu²í.

(a) (b)

Obr. 3.39

Kon²trukcia tretieho priemetu v²eobecnej roviny ρ do priemetne µ⊥π


1. Kolmo na pôdorysnú stopu pρ1 roviny ρ vhodne zvolíme novú základnicu y1,3, ktorá ur£í

polohu tretej pomocnej priemetne µ kolmej na pôdorys¬u π a danú rovinu ρ.

2. Ke¤ºe rovina ρ sa do priemetne µ zobrazí ako priamka, na zostrojenie jej tretieho priemetu

sta£í zobrazi´ tretie priemety dvoch jej ©ubovo©ných bodov, napr. pôdorysného stopníka P

({P} = pρ ∩ y1,3) a ©ubovo©ného nárysného stopníka N ∈nρ. Pre tretie priemety uvedených

bodov platí: P3 =P1, |N3, y1,3| = |N1N2| = |zN | (N1N3 je ordinála kolmá na y1,3).

3. Tretím priemetom roviny ρ do tretej pomocnej priemetne µ⊥π je priamka ρ3 =←−→P3N3.

99


Poznámka 3.25. Postup kon²trukcie tretieho priemetu v²eobecnej roviny do priemetne µ kolmej

na nárys¬u ν (Obr. 3.39b) je analogický ako postup kon²trukcie tretieho priemetu v²eobecnej

roviny do priemetne µ⊥π.

Poznámka 3.26. Pri kon²trukcii tretieho priemetu roviny ρ do priemetne µ⊥π (resp. µ⊥ ν) mô-

ºeme pouºi´ akéko©vek body roviny ρ. Vo©bou ©ubovo©ného nárysného stopníka N ∈nρ a pôdorys-ného stopníka P , kde {P} = pρ ∩ y1,3 (resp. P ∈ pρ a N , kde {N} = nρ∩z2,3), sa v²ak kon²trukciatretieho priemetu roviny ρ najviac zjednodu²í.

3.7.3 Tretí priemet jednoduchého telesa

Kon²trukcia tretieho priemetu pravidelného trojbokého ihlana ABCV s podstavou

leºiacou v pôdorysni π

Dané: rovina ρ(pρ1;nρ2), zdruºené priemety A1B1C1V1, A2B2C2V2 ihlana.

a) ak je tretia priemet¬a µ kolmá na pôdorys¬u π

Postup: (Obr. 3.40)

1. Vhodne zvolíme novú základnicu y1,3, ktorá ur£í polohu tretej priemetne µ⊥π a zo-

strojíme tretie priemety stredu podstavy a v²etkých vrcholov ihlana (postup na str. 98).

2. Zostrojíme úse£ky A3C3 ∈ y1,3, A3V3, B3V3, C3V3 a S3V3, ktoré predstavujú tretie

priemety podstavy, bo£ných hrán a osi daného jednoduchého telesa.

3. Ur£íme vidite©nos´ tretích priemetov hrán ihlana: Úse£ky A3C3, C3V3 a A3V3 tvoria

zdanlivý obrys telesa, a preto ich vyzna£íme plnou £iarou. Hranu BV v smere poh©adu

nevidíme, preto jej tretí priemet B3V3 vyzna£íme £iarkovane.

Obr. 3.40

100


b) ak je tretia priemet¬a µ kolmá na nárys¬u ν

Postup: (Obr. 3.41)

1. Vhodne zvolíme novú základnicu z2,3, ktorá ur£í polohu tretej priemetne µ⊥ ν a zo-

strojíme tretie priemety stredu podstavy a v²etkých vrcholov ihlana ABCV (postup

analogický ako v prípade µ⊥π).2. Zostrojíme trojuholník A3B3C3 a úse£ky A3V3, B3V3, C3V3, ktoré predstavujú tretie

priemety podstavy a bo£ných hrán ihlana ABCV . Spojnica bodov S3V3 znázor¬uje

tretí priemet osi ihlana ABCV .

3. Pretoºe v smere poh©adu vidíme v²etky hrany podstavy AB, BC, CA aj bo£né hrany

AV , BV , CV , tretie priemety v²etkých hrán ihlana ABCV vyzna£íme plnou £iarou.

Obr. 3.41

c) ak je tretia priemet¬a µ bokorys¬ou (µ⊥π ∧ µ⊥ν)

Postup: (Obr. 3.42)

1. Zvolíme novú základnicu z2,3⊥x1,2, ktorá ur£í polohu bokorysne µ a zostrojíme tretie

priemety stredu podstavy a v²etkých vrcholov ihlana ABCV .

2. Zostrojíme úse£ku B3C3 ∈ x1,2 a úse£ky A3V3, B3V3, C3V3, ktoré predstavujú tretie

priemety podstavy a bo£ných hrán ihlana ABCV . Spojnica bodov S3V3 znázor¬uje

tretí priemet osi ihlana ABCV .

3. Pretoºe v smere poh©adu vidíme v²etky bo£né hrany ihlana ABCV (vi¤ smer po-

h©adu 3), tretie priemety v²etkých jeho hrán vyzna£íme plnou £iarou.

101


Obr. 3.42

Poznámka 3.27. Tretí priemet pravidelného ihana ABCV znázornený na obr. 3.41 predstavuje

©avý podh©ad tohto telesa a tretí priemet pravidelného ihana ABCV znázornený na obr. 3.42

predstavuje ©avý bokorys tohto telesa.

102



Úloha 3.47. Zostrojte tretie priemety bodov A, B, C do pomocnej priemetne µ⊥π, ktorej polohaje daná základnicou y1,3.

Úloha 3.48. Zostrojte tretie priemety bodov K, L, M do pomocnej priemetne µ⊥ ν, ktorejpoloha je daná základnicou z2,3.

103


Úloha 3.49. Zostrojte tretie priemety bodov N , R, S do bokorysne µ, ktorej poloha je daná

základnicou z2,3⊥x1,3.

Úloha 3.50. Zostrojte tretí priemet roviny σ do pomocnej priemetne µ, ktorá je kolmá na rovinu σ

a sú£asne na

a) pôdorys¬u π,

b) nárys¬u ν.

104


Úloha 3.51. Kocka ABCDA′B′C ′D′ s dolnou podstavou v pôdorysni π je daná svojím pôdory-

som a nárysom. Zostrojte jej

a) tretí priemet do pomocnej priemetne µ⊥π, ktorej poloha je daná základnicou y1,3,

b) ©avý nadh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν, ktorej poloha je daná základnicou z2,3.

105


Úloha 3.52. �ikmý ²es´boký ihlan ABCDEFV s pravidelnou podstavou v pôdorysni π je daný

svojím pôdorysom a nárysom. Zostrojte jeho

a) ©avý podh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν,

b) ©avý nadh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν.

106


Úloha 3.53. �ikmý ²tvorboký hranol ABCDA′B′C ′D′ s pravidelnou podstavou v pôdorysni π

je daný svojím pôdorysom a nárysom. Zostrojte jeho

a) pravý podh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν,

b) pravý nadh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν.

107


Úloha 3.54. Rota£ný valec s dolnou podstavou v pôdorysni π je daný svojím pôdorysom a ná-

rysom. Zostrojte jeho ©avý nadh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν.

Úloha 3.55. Rota£ný kuºe© s dolnou podstavou v pôdorysni π je daný svojím pôdorysom a ná-

rysom. Zostrojte jeho pravý podh©ad do pomocnej priemetne µ⊥ ν.

108


Úloha 3.56. Kváder s dolnou podstavou v pôdorysni π a kruhovým otvorom je daný svojím

pôdorysom a nárysom. Zostrojte jeho ©avý bokorys.

Úloha 3.57. Teleso je dané svojím pôdorysom a nárysom. Zostrojte jeho ©avý bokorys.

109

3.8 Rovinné rezy hranatých telies 3 MONGEOVO PREMIETANIE

3.8 Rovinné rezy hranatých telies

De�nícia 3.5. Rovinným rezom jednoduchého telesa nazývame mnoºinu spolo£ných bodov

jednoduchého telesa a rezovej roviny σ.

De�nícia 3.6. Rovinným rezom hranatého telesa je mnohouholník (Obr. 3.43).

(a) (b)

Obr. 3.43

Pri kon²trukciách rovinných rezov hranatých telies sa obmedzíme len na úlohy, v ktorých je

rezová rovina nevrcholovou rovinou11 a je rôznobeºná s rovinou podstavy telesa. Pre rovinné rezy

hranatých telies potom platí:

• medzi podstavou a rovinným rezom ihlana je vzáh perspektívnej kolineácie, ktorej osou

je priese£nica rezovej roviny s rovinou podstavy ihlana a stredom kolineácie je hlavný vrchol

ihlana (Obr. 3.43a),

• medzi podstavou a rovinným rezom hranola je vzáh perspektívnej a�nity, ktorej osou je

priese£nica rezovej roviny s rovinou dolnej podstavy hranola a smer a�nity je ur£ený smerom

bo£ných hrán hranola (Obr. 3.43b).

Obraz rovinného rezu hranatého telesa môºeme zostroji´ dvoma spôsobmi:

• pomocou tretej priemetne kolmej na rezovú rovinu aj na rovinu, v ktorej leºí podstava

telesa,

• pomocou krycej priamky totoºnej s osou alebo bo£nou hranou telesa v kombinácii so stre-

dovou kolineáciou (v prípade ihlana), resp. osovou a�nitou (v prípade hranola), ktorá existuje

medzi rovinným rezom a podstavou telesa.

11Nevrcholovou rovinou jednoduchého telesa nazývame rovinu, v ktorej neleºí ºiaden z vrcholov telesa.

110

3 MONGEOVO PREMIETANIE 3.8 Rovinné rezy hranatých telies

Kon²trukcia rovinného rezu ihlana ABCV s podstavou leºiacou v pôdorysni π

pomocou tretej priemetne µ

Obr. 3.44

Dané: rovina σ(pσ1 ;nσ2 ), zdruºené priemety A1B1C1V1, A2B2C2V2 ihlana.

Postup: (Obr. 3.44)

1. Zvolíme novú základnicu y1,3⊥ pσ1 , ktorá ur£í polohu tretej pomocnej priemetne µ kolmej

na pôdorys¬u π aj na rovinu σ.

2. Zostrojíme tretí priemet σ3 roviny σ (postup na str. 99) a tretí priemet A3B3C3V3 ih-

lana ABCV (postup na str. 100).

3. Rezom ihlana ABCV rovinou σ je trojuholník ABC, ktorého vrcholy A, B, C leºia na

bo£ných hranách AV , BV , CV telesa (v tomto poradí). Body A3, B3, C3 ({A3} = σ3∩A3V3,

{B3} = σ3∩B3V3, {C3} = σ3∩ C3V3) predstavujú tretie priemety vrcholov A, B, C a úse£ka

B3C3⊂ρ3 tretí priemet rezu ABC.

4. Pomocou ordinál kolmých na základnice y1,3 a x1,2 zostrojíme prvé a druhé priemety vrcholov

rovinného rezu ABC. Platí Ai ∈ AiVi, Bi ∈ BiVi, Ci ∈ CiVi (i = 1, 2).

5. Zostrojíme trojuholníky A1B1C1 a A2B2C2, ktoré znázor¬ujú pôdorys a nárys rezu ABC

ihlana ABCV rovinou σ.

6. Pod©a vidite©nosti stien ihlana v pôdoryse a náryse ur£íme vidite©nos´ zdruºených priemetov

rovinného rezu ABC.

111


Kon²trukcia rovinného rezu ²ikmého hranola ABCA′B′C′ s dolnou podstavou leºia-

cou v pôdorysni π pomocou krycej priamky k

Obr. 3.45

Dané: rovina σ(pσ1 ;nσ2 ), zdruºené priemety A1B1C1A′1B′1C′1, A2B2C2A

′2B′2C′2 hranola.

Postup: (Obr. 3.45)

1. V rovine σ zvolíme priamku k tak, aby v druhom priemete prekrývala niektorú z bo£ných

hrán hranola ABCA′B′C ′, napr. hranu AA′. Pre druhý priemet krycej priamky k ∈ σ potom

platí k2 =←−−→A2A

′2 .

2. Pomocou stopníkov zostrojíme pôdorys k1 priamky k (Veta 3.6.).

3. Nájdeme priese£ník A1 priamky k1 s úse£kou A1A′1, ktorý predstavuje prvý priemet prie-

se£níka A hrany AA′ daného telesa s rezovou rovinou σ.

4. Prvé priemety B1, C1 priese£níkov ostatných hrán BB′ a CC ′ hranola s rovinou σ nájdeme

pomocou osovej a�nity A(pσ1 , A1 → A1).

5. Pomocou ordinál kolmých na základnicu x1,2 zostrojíme body A2 ∈ A2A′2, B2 ∈ B2B′2,

C2 ∈ C2C ′2, ktoré znázor¬ujú druhé priemety priese£níkov A, B, C roviny σ s hranami AA′,

BB′, CC ′ telesa (v tomto poradí).

6. Zostrojíme trojuholníky A1B1C1 a A2B2C2, ktoré predstavujú pôdorys a nárys rezu ABC

hranola ABCA′B′C ′ rovinou σ.

7. Pod©a vidite©nosti bo£ných stien hranola v pôdoryse a náryse ur£íme vidite©nos´ zdruºených

priemetov rovinného rezu ABC.

112


Kon²trukcia skuto£ného obrazu rovinného rezu kolmého hranola ABCDA′B′C′D′

s dolnou podstavou leºiacou v pôdorysni π

Obr. 3.46

Dané: rovina σ(pσ1 ;nσ2 ), zdruºené priemety A1B1C1D1A′1B′1C′1D′1, A2B2C2D2A

′2B′2C′2D′2 hranola.

Postup: (Obr. 3.46)

1. Ur£íme prvý priemet rezu hranola ABCDA′B′C ′D′ rovinou σ. Pretoºe daný hranol je kolmý

a jeho dolná podstava ABCD leºí v pôdorysni π, v prvom priemete je rovinný rez telesa

totoºný s jeho pôdorysom, t. j. ²tvorec A1B1C1D1 je totoºný so ²tvorcom A1B1C1D1.

2. Pomocou hlavnej priamky I. osnovy roviny σ zostrojíme druhý priemet ©ubovo©ného vrcholu

h©adaného rezu, napr. druhý priemet D2 ∈ D2D′2 vrcholu D ∈ DD′.

3. Oto£ením rezovej roviny σ okolo jej pôdorysnej stopy pσ1 do pôdorysne π zostrojíme bod

D0, ktorý znázor¬uje oto£enú polohu vrcholu D h©adaného rovinného rezu do pôdorysne π

(postup na str. 66).

4. Pomocou osovej a�nity A(pσ1 , D1 → D0) zostrojíme body B0, A0, C0, ktoré znázor¬ujú oto-

£ené polohy vrcholov B ∈ BB′, A ∈ AA′, C ∈ CC ′ rovinného rezu hranola do pôdorysne π.

5. �tvoruholník A0B0C0D0 predstavuje skuto£ný obraz rezu hranola ABCDA′B′C ′D′ rovi-

nou σ.

113



Úloha 3.58. Zostrojte rez ²tvorbokého ²ikmého ihlana ABCDV s pravidelnou podstavou rovi-

nou ρ(pρ1;nρ2).

114


Úloha 3.59. Zostrojte rez pä´bokého ²ikmého hranola ABCDEA′B′C ′D′E′ s pravidelnou pod-

stavou rovinou ρ(pρ1;nρ2).

115


Úloha 3.60. Zostrojte rez pravidelného ²es´bokého ihlana ABCDEFV rovinou σ(pσ1 ;nσ2 ) a zistite

skuto£nú ve©kos´ rezu.

116


Úloha 3.61. Zostrojte rez pravidelného trojbokého hranola ABCA′B′C ′ rovinou ρ(pρ1;nρ2) a zis-

tite skuto£nú ve©kos´ rezu.

117


Úloha 3.62. Zostrojte rez pravidelného ²tvorbokého ihlana ABCDV rovinou σ(pσ1 ;nσ2 )⊥π a zis-

tite skuto£nú ve©kos´ rezu.

118

4 AXONOMETRIA

4 Axonometria

4.1 Princíp a základné pojmy

De�nícia 4.1. Axonometria je rovnobeºné premietanie bodov a pravouhlej karteziánskej sú-

radnicovej sústavy (O;x, y, z) z trojrozmerného euklidovského priestoru E3 na jednu priemet¬u ρ,

pri£om smer premietania ~s nie je rovnobeºný so ºiadnou zo súradnicových rovín π, ν, µ súradni-

covej sústavy (O;x, y, z) (Obr. 4.1).

Pri axonometrickom zobrazovaní sa súradnicové osi x, y, z premietnú do roviny ρ do troch rôznych

osí xa, ya, za, ktoré incidujú s axonometrickým priemetom Oa za£iatku karteziánskej súradnico-

vej sústavy (O;x, y, z). Vzájomná poloha osí xa, ya, za závisí od polohy axonometrickej prie-

metne ρ a tieº od smeru axonometrického premietania ~s vzh©adom na karteziánsky súradnicový

systém (O;x, y, z).

Obr. 4.1

Základné vlastnosti axonometrie:


2. Zachováva sa rovnobeºnos´.

3. Zachováva sa deliaci pomer bodov na priamke.

Symbolika:

ρ . . . axonometrická priemet¬a (útvary v nej ozna£ujeme dolným indexom a)

~s . . . smer axonometrického premietania

Ba . . . axonometrický priemet bodu B

xa, ya, za . . . axonometrické priemety osí x, y, z

(Oa;xa, ya, za) . . . axonometrický osový kríº (obraz pravouhlej karteziánskej súradnicovej

sústavy (O;x, y, z) v axonometrickej priemetni ρ)

j . . . d¨ºka jednotkovej úse£ky v karteziánskej súradicovej sústave (O;x,y,z)

(spravidla 1mm, 1cm, ...)

jx, jy, jz . . . axonometrické jednotky na súradnicových osiach xa, ya, zaExa , E

ya , Eza . . . axonometrické priemety bodov Ex∈ x,Ey∈ y,Ez∈ z súradicovej sústavy

(O;x, y, z), pre ktoré platí |OEx| = |OEy| = |OEz| = j

119

4.2 Klasi�kácia axonometrií 4 AXONOMETRIA

Zobrazenie pravoto£ivej karteziánskej súradicovej sústavy (O;x,y,z)

Obr. 4.2

Veta 4.1. (Pohlkeova veta) Kaºdé tri nekolineárne úse£ky v rovine s jedným spolo£ným kraj-

ným bodom moºno povaºova´ za rovnobeºné priemety troch zhodných úse£iek, ktoré sú navzájom

kolmé a majú spolo£ný jeden krajný bod.

4.2 Klasi�kácia axonometrií

Pod©a ve©kosti axonometrických jednotiek jx, jy, jz:

• izometria, ak jx = jy = jz (Obr. 4.3a),

• dimetria, ak jx = jy 6= jz alebo jy = jz 6= jx alebo jx = jz 6= jy (Obr. 4.3b),

• trimetria, ak jx 6= jy 6= jz 6= jx (Obr. 4.3c).

(a) (b) (c)

Obr. 4.3

Pod©a smeru axonometrického premietania ~s:

• kolmá (ortogonálna) axonometria12, ak ~s⊥ ρ,

• ²ikmá (klinogonálna) axonometria, ak ~s 6⊥ ρ.

12Kolmá axonometria si vyºaduje zvlá²tnu pozornos´, preto sa týmto zobrazovaním budeme bliº²ie zaobera´

samostatne v podkapitole 4.4.

120

4 AXONOMETRIA 4.2 Klasi�kácia axonometrií

Pod©a polohy axonometrickej premietne ρ :

• jednoduchá axonometria, ak ρ ∦ π, ρ ∦ ν, ρ ∦ µ,

• degenerovaná axonometria, ak ρ = π alebo ρ = ν alebo ρ = µ.

Niektoré ²peciálne druhy degenerovaných axonometrií:

• vojenská axonometria (ρ = π): |](xa,ya)| = 90◦, jx= jy= jz= k.j, k > 0 (Obr. 4.4a),

• kavalierna axonometria (ρ = ν alebo ρ = µ):

a) |](xa,za)| = 90◦, |](xa,ya)| = 135◦, jx= jy= jz= k.j, k > 0, ak ρ = ν (Obr. 4.4b),

b) |](ya,za)| = 90◦, |](xa,ya)| = 135◦, jx= jy= jz= k.j, k > 0, ak ρ = µ (Obr. 4.4c),

• kabinetná axonometria (ρ = ν alebo ρ = µ):

a) |](xa,za)| = 90◦, |](xa,ya)| = 135◦, jx= jz= k.j, k > 0, jy= jx

2 , ak ρ = ν (Obr. 4.4d),

b) |](ya,za)| = 90◦, |](xa,ya)| = 135◦, jy= jz= k.j, k > 0, jx= jy

2 , ak ρ = µ (Obr. 4.4e).

(a) (b) (c)

(d) (e)

Obr. 4.4

Poznámka 4.1. V prípade kavaliernej a kabinetnej axonometrie môºe by´ uhol medzi axonomet-

rickými osami xa, ya rovný tieº 45◦. V technickom kreslení sa v²ak v obidvoch uvedených axono-

metriách naj£astej²ie pouºíva uhol |](xa,ya)| = 135◦.

121

4.3 Zobrazovanie základných geometrických útvarov 4 AXONOMETRIA

4.3 Zobrazovanie základných geometrických útvarov

Symbolika:

Ba . . . axonometrický priemet bodu B (alebo axonometria bodu B)

B1a, B2a, B3a . . . axonometrický pôdorys, nárys a bokorys bodu B

xBa, yBa, zBa . . . axonometrické súradnice bodu B na súradnicových osiach xa, ya, zaba . . . axonometrický priemet priamky b (alebo axonometria priamky b)

b1a, b2a, b3a . . . axonometrický pôdorys, nárys a bokorys priamky b

P b, N b,M b . . . pôdorysný, nárysný a bokorysný stopník priamky b

pσ, nσ,mσ . . . pôdorysná, nárysná a bokorysná stopa roviny σ

p =jx

j, q =

jy

j, r =

jz

j. . . koe�cienty zmeny d¨ºky na súradnicových osiach xa, ya, za

4.3.1 Zobrazenie bodu

Veta 4.2. �ubovo©ný bod B je v axonometrii jednozna£ne ur£ený ©ubovo©nou dvojicou axono-

metrických priemetov B1a, B2a, B3a, Ba.

Poznámka 4.2. Naj£astej²ie je bod B v axonometrii ur£ený axonometrickým priemetom Ba a axo-

nometrickým pôdorysom B1a (zápis: B(Ba;B1a), obr. 4.5a).

Kon²trukcia obrazu bodu B(xB; yB; zB)

(a) (b)Obr. 4.5

1. spôsob rie²enia � analytický výpo£et

Postup: (Obr. 4.5a)

1. V axonometrii sa zachováva deliaci pomer bodov na priamke, preto pre karteziánske sú-

radnice xB, yB, zB bodu B a odpovedajúce súradnice xBa, yBa, zBa jeho axonometrického

priemetu Ba platí:

xBj

=xBajx

⇒ xBa = xB.jx

j= xB.p,

yBj

=yBajy

⇒ yBa = yB.jy

j= yB.q,

zBj

=zBajz

⇒ zBa = zB.jz

j= zB.r.

122

4 AXONOMETRIA 4.3 Zobrazovanie základných geometrických útvarov

2. Vypo£ítané hodnoty ©ubovo©ných dvoch súradníc, napr. xBa a yBa nanesieme od bodu Oana príslu²né súradnicové osi xa, ya a pomocou rovnobeºiek s týmito osami zostrojíme axo-

nometrický pôdorys B1a bodu B.

3. Z bodu B1a vedieme rovnobeºku s osou za, na ktorú od bodu B1a nanesieme hodnotu

súradnice zBa. Získame tak bod Ba, ktorý predstavuje axonometrický priemet bodu B.

2. spôsob rie²enia � reduk£ná metóda

Postup: (Obr. 4.5a)

1. Zostrojíme pravouhlý trojuholník OExExa s pravým

uhlom pri vrchole O a d¨ºkami odvesien |ExO| = j,

|ExaO| = jx.

2. Na polpriamke−−−→OEx zostrojíme úse£ku OBx s d¨ºkou rov-

nou absolútnej hodnote súradnice xB bodu B.

3. Dvojicu bodov O, Bx doplníme na pravouhlý trojuhol-

ník OBxBxa , ktorý je podobný s trojuholníkom OExExa .

Pre d¨ºku strany OBxa trojuholníka OBxBx

a potom platí|OBx

a |jx

=|OBx|j

. Z uvedenej rovnosti vyplýva, ºe axono-

metrická súradnica xBa bodu B je ur£ená d¨ºkou odvesny

OBxa trojuholníka OBxBx

a :

|OBxa | = |xB|.

jx

j= |xB|.p = |xBa|.

Znamienko axonometrickej súradnice xBa je pritom rov-

naké ako znamienko karteziánskej súradnice xB.

4. Rovnakým postupom, ktorý je opísaný v krokoch 1.�3.

gra�cky ur£íme aj axonometrické súradnice yBa a zBa:

|OBya |

jy=|OBy|j

⇒ |OBya | = |yB|.

jy

j= |yB|.q = |yBa|,

|OBza|

jz=|OBz|j

⇒ |OBza| = |zB|.

jz

j= |zB|.r = |zBa|.

5. �ubovolnú dvojicu axonometrických súradníc, napr. xBa a yBa nanesieme od bodu Oa na prí-

slu²né súradnicové osi xa, ya (znamienka axonometrických súradníc sú rovnaké ako zna-

mienka zodpovedajúcich karteziánskych súradníc). Potom pomocou rovnobeºiek s týmito

osami zostrojíme axonometrický pôdorys B1a bodu B.

6. Axonometrický priemet Ba bodu B získame pod©a kroku 3. v postupe uvedenom pre ana-

lytický výpo£et.

Poznámka 4.3. Na Obr. 4.5b je znázornená kon²trukcia v²etkých axonometrických priemetov B1a,

B2a, B3a, Ba bodu B, ktoré tvoria tzv. axonometrický súradnicový kváder bodu Ba.

123


4.3.2 Zobrazenie priamky

Veta 4.3. �ubovo©ná priamka b je v axonometrii jednozna£ne ur£ená ©ubovo©nou dvojicou axo-

nometrických priemetov b1a, b2a, b3a, ba.

Poznámka 4.4. Naj£astej²ie je priamka b v axonometrii ur£ená axonometrickým priemetom ba

a axonometrickým pôdorysom b1a (zápis: b(ba; b1a), obr. 4.6a).

Priese£níky priamky b so súradnicovými rovinami π, ν a µ nazývame stopníky. Rozli²ujeme:

• pôdorysný stopník P b ({P b}= b∩ π), pre ktorý v axonometrii platí: {P b1a}= b1a ∩ ba ∧P b1a=P ba , {P b2a}= b2a ∩ xa, {P b3a} = b3a ∩ ya,

• nárysný stopník Nb ({N b} = b ∩ ν), pre ktorý v axonometrii platí: {N b1a} = b1a ∩ xa,

{N b2a} = b2a ∩ ba ∧ N b

2a=N ba, {N b

3a} = b3a ∩ za,

• bokorysný stopníkMb ({M b} = b∩µ), pre ktorý v axonometrii platí: {M b1a} = b1a ∩ ya,

{M b2a} = b2a ∩ za, {M b

3a} = b3a ∩ ba ∧M b3a=M b

a (Obr. 4.6b).

Okrem vy²²ie uvedených stopníkov môºe ma´ priamka b v axonometrii aj axonometrický stop-

ník Rb. Ide o priese£ník priamky b s axonometrickou priemet¬ou ρ ({Rb} = b∩ ρ). Tento stopník

spravidla pri kon²trukciách nevyuºívame. �asto pouºívané sú pôdorysný stopník P b, nárysný stop-

ník N b a bokorysný stopník M b, pomocou ktorých dokáºeme ur£i´ vidite©nos´ axonometrických

priemetov priamky b (Obr. 4.6b).

(a) (b)

Obr. 4.6

Bod na priamke

Veta 4.4. Bod B leºí na priamke b práve vtedy, ke¤ jeho jednotlivé axonometrické priemety leºia

na príslu²ných axonometrických priemetoch priamky b; zápis: (B ∈ b)⇔ (B1a∈ b1a ∧ B2a∈ b2a ∧B3a∈ b3a ∧Ba∈ ba).

Veta 4.5. Priemety priamky b =←→AB sú v axonometrii jednozna£ne ur£ené príslu²nými dvojicami

axonometrických priemetov bodov A a B (Obr. 4.6a).

124


Zobrazenie priamok v ²peciálnych polohách vzh©adom na priemetne π, ν, µ

Obr. 4.7

4.3.3 Zobrazenie roviny

Axonometrickým priemetom roviny σ vo v²eobecnej polohe vzh©adom na axonometrickú prie-

met¬u ρ je celá priemet¬a ρ. Preto rovinu σ v axonometrii naj£astej²ie zobrazujeme pomocou

axonometrických priemetov jej pôdorysnej stopy pσ ⊂ σ ∩ π, nárysnej stopy nσ ⊂ σ ∩ ν a bo-

korysnej stopy mσ ⊂ σ ∩ µ (ak existujú), ktoré sú dané priese£níkmi Xσ, Y σ, Zσ roviny σ

s karteziánskymi súradnicovými osami x, y, z (pσ =←−−→XσY σ, nσ =

←−−→XσZσ, mσ =

←−−→Y σZσ).

Veta 4.6. Nech body Xσa (xσa; 0; 0), Y σ

a (0; yσa; 0), Zσa (0; 0; zσa) sú axonometrické priemety

priese£níkov Xσ, Y σ, Zσ roviny σ s karteziánskymi súradnicovými osami x, y, z. Potom ro-

vina σ je v axonometrii jednozna£ne ur£ená dvojicou axonometrických priemetov jej pôdorys-

nej stopy pσa =←−−→Xσa Y

σa , nárysnej stopy nσa =

←−−→XσaZ

σa , resp. bokorysnej stopy mσ

a =←−−→Y σa Z

σa ; zá-

pis: σ(xσa; yσa; zσa) (Obr. 4.8).

Priamka v rovine

Veta 4.7. Priamka b leºí v rovine σ práve vtedy, ke¤ axonometrické priemety jej stopníkov

leºia na príslu²ných axonometrických priemetoch stôp roviny σ; zápis: (b ⊂ σ) ⇔ (P ba ∈ pσa ∧N ba∈ mσ

a ∧M ba∈ nσa).

125


(a) (b)

Obr. 4.8

Zobrazenie rovín v ²peciálnych polohách vzh©adom na priemetne π, ν, µ

Obr. 4.9

126



Úloha 4.1. Zostrojte zvy²né axonometrické priemety daných bodov.

127


Úloha 4.2. Dané sú body A(8; 6; 8), B(−2; 6; 5), C(0; 8;−4), D(−8; 0; 0), E(−4;−6;−6). Zo-

strojte axonometrické obrazy týchto bodov

a) v ²ikmej axonometrii, pre ktorú platí: |](xa,za)| = 115◦, |](ya,za)| = 120◦, jx = 0,7j,

jy = 0,5j, jz = j (j = 1cm),

b) v ²ikmej izometrii, pre ktorú platí: |](xa,za)| = 135◦, |](ya,za)| = 110◦, jx = jy = jz = 0,5j

(j = 1cm),

c) v ²ikmej dimetrii, pre ktorú platí: |](xa,ya)| = 100◦, |](xa,za)| = 120◦, p = 0,8, q = r = 0,5,

d) vo vojenskej axonometrii,

e) v kavaliernej axonometrii,

f) v kabinetnej axonometrii.

Úloha 4.3. V axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za) a axonomet-

rickými jednotkami jx, jy, jz zobrazte bod K(4,5; 3;−8). Úlohu rie²te gra�cky a rie²enie overte

analytickým výpo£tom.

128


Úloha 4.4. Zobrazte v²etky axonometrické obrazy stopníkov daných priamok a vyzna£te vidi-

te©nos´ ich zobrazených priemetov.

129


Úloha 4.5. V axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za), axonometric-

kými jednotkami jx, jy, jz zobrazte priamku k =←→KL, K(5; 8;−1), L(−4;−3; 3) a

a) nádite axonometrické obrazy v²etkých jej stopníkov,

b) vyzna£te vidite©nos´ jej zobrazených priemetov.

Úloha 4.6. Zobrazte zvy²né axonometrické priemety daných priamok a vyzna£te vidite©nos´

v²etkých axonometrických priemetov týchto priamok.

130


Úloha 4.7. V axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za) a koe�cientami

zmeny d¨ºky p = 0,8, q = 0,5, r = 1 zobrazte roviny:

a) σ(2,5; 5; 3), b) τ(−5; 4; 2,5), c) ω(3; 5;∞), d) γ(∞;∞; 3).

131


Úloha 4.8. Zostrojte axonometrické obrazy stôp roviny σ, ktorá je ur£ená axonometrickými

pôdorysmi a axonometrickými priemetmi

a) dvoch rôznobeºných priamok b, c,

b) dvoch rovnobeºných priamok d, e.

132


Úloha 4.9. Zostrojte axonometrické obrazy stôp roviny γ, ktorá je daná axonometrickými pôdo-

rysmi a axonometrickými priemetmi priamky b a bodu D.

Úloha 4.10. Zostrojte axonometrické obrazy stôp roviny ω, ktorá je daná axonometrickými

pôdorysmi a axonometrickými priemetmi bodov B, C a D.

133

4.4 Kolmá axonometria 4 AXONOMETRIA

4.4 Kolmá axonometria

De�nícia 4.2. Axonometriu, ktorej smer premietania ~s je kolmý na axonometrickú priemet¬u ρ,

nazývame kolmou (ortogonálnou) axonometriou.

Axonometrickú priemet¬u ρ volíme v kolmej axonometrii spravidla tak, aby pretínala kladné £asti

súradnicových osí x, y, z karteziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z). Jej priese£níky Xρ, Y ρ,

Zρ so súradnicovými osami x, y, z ({Xρ} = ρ ∩ x, {Y ρ} = ρ ∩ y, {Zρ} = ρ ∩ z) a priese£nice

pρ, nρ, mρ so súradnicovými rovinami π, ν, µ (pρ ⊂ (ρ ∩ π) =←−−→XρY ρ, nρ ⊂ (ρ ∩ ν) =

←−−→XρZρ,

mρ ⊂ (ρ∩µ) =←−−→Y ρZρ) tvoria tzv. axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ (Obr. 4.10).

(a) (b)

Obr. 4.10

Vlastnosti axonometrického stopného trojuholníka XρY ρZρ (Obr. 4.10b):

1. Axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ je ostrouhlý trojuholník.

2. Axonometrické priemety osí xa, ya, za prechádzajú vrcholmi Xρ, Y ρ, Zρ axonometrického

stopného trojuholníka XρY ρZρ a sú kolmé na proti©ahlé strany Y ρZρ, XρZρ, XρY ρ.

3. Axonometrické priemety osí xa, ya, za sa pretínajú v axonometrickom priemete za£iatku

karteziánskej súradnicovej sústavy Oa a ich kladné £asti zvierajú tupé uhly.

Symbolika:

trojuholník XρY ρZρ . . . axonometrický stopný trojuholník

KA(|XρY ρ|; |XρZρ|; |Y ρZρ|) . . . kolmá axonometria ur£ená axonometrickým stopným troj-

uholníkom XρY ρZρ s d¨ºkami strán |XρY ρ|, |Y ρZρ|, |XρZρ|B0 . . . oto£ená poloha bodu B

x0, y0, z0 . . . oto£ené polohy osí x, y, z

134

4 AXONOMETRIA 4.4 Kolmá axonometria

4.4.1 Ur£enie a druhy kolmej axonometrie

Kolmá axonometria môºe by´ jednozna£ne ur£ená:

• ostrouhlým axonometrickým trojuholníkom XρY ρZρ; axonometrické priemety osí xa, ya, zazostrojíme ako vý²ky trojuholníkaXρY ρZρ a ich priese£ník Oa ({Oa} = xa ∩ ya ∩ za) je axo-nometrickým priemetom za£iatku karteziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z) (Obr. 4.11a),

• axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za), v ktorom kladné £asti osí xa, ya, za zvierajú

tupé uhly; strany axonometrického trojuholníka XρY ρZρ zostrojíme ako kolmice na axo-

nometrické priemety osí xa, ya, za, pri£om pre vrcholy trojuholníka XρY ρZρ musí plati´:

Xρ∈ xa, Y ρ∈ ya, Zρ∈ za (Obr. 4.11b).

(a) (b)

Obr. 4.11

Poznámka 4.5. Ak je daný axonometrický osový kríº (Oa;xa, ya, za), môºeme zostroji´ nekone£ne

ve©a axonometrických trojuholníkov, ktoré sú navzájom rovno©ahlé pod©a stredu rovno©ahlosti Oa(Obr. 4.11b). Pretoºe axonometrické priemetne ur£ené týmito trojuholníkmi sú navzájom rovno-

beºné, ve©kos´ axonometrického trojuholníka nemá vplyv na rozmery a tvar axonometrického

priemetu geometrického útvaru.

Rozli²ujeme tri základné druhy kolmej axonometrie:

• kolmá izometria, pri ktorej súradnicové osi x, y, z zvierajú s axonometrickou priemet¬ou ρ

rovnaký uhol, preto platí: jx = jy = jz = 0,8j, |](xa, za)| = |](ya, za)| = |](xa, ya)| = 120◦;

axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ je rovnostranným trojuholníkom,

• kolmá dimetria, pri ktorej dve zo súradnicových osí x, y, z zvierajú s axonometrickou

priemet¬ou ρ rovnajý uhol, preto axonometrické jednotky na axonometrických priemetoch

týchto osí sú zhodné; axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ je rovnoramenným troj-

uholníkom,

• kolmá trimetria, pri ktorej súradnicové osi x, y, z zvierajú s axonometrickou priemet¬ou ρ

rôzne uhly, preto axonometrické jednotky na axonometrických priemetochtýchto osí sú rôzne;

axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ je v²eobecným trojuholníkom.

135


4.4.2 Ur£enie axonometrických jednotiek

Axonometrické jednotky jx, jy, jz na súradnicových osiach xa, ya, za môºeme v kolmej axono-

metrii ur£i´ oto£ením súradnicových rovín π, ν, µ karteziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z)

do axonometrickej priemetne ρ. Potom v prípade jednoduchého geometrického útvaru môºeme

jeho axonometrický obraz zostroji´ algebraickým výpo£tom alebo gra�cky pomocou reduk£nej

metódy (postup na str. 122 a 123).

Pri otá£aní karteziánskych súradnicových rovín π, ν, µ do axonometrickej priemetne ρ platí:

• os otá£ania je daná stranou axonometrického stopného trojuholníka XρY ρZρ, ktorá je prie-

nikom otá£anej karteziánskej súradnicovej roviny a axonometrickej priemetne ρ,

• body karteziánskej súradnicovej roviny, ktoré leºia na osi otá£ania sú samodruºné,

• body karteziánskej súradnicovej roviny sa pri jej otá£aní do axonometrickej priemetne ρ

pohybujú po kruºniciach, ktoré leºia v rovinách kolmých na os otá£ania, a preto axono-

metrické priemety týchto bodov a ich oto£ené polohy do priemetne ρ leºia na priamkach

kolmých na os otá£ania,

• pretoºe strany axonometrického stopného trojuholníka XρY ρZρ sú preponami pravouhlých

trojuholníkov OXρY ρ ⊂ π, OXρZρ ⊂ ν, OY ρZρ ⊂ µ s pravými uhlami pri vrchole O,

ktorý je za£iatkom kateziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z), oto£ená poloha O0 bodu

O do axonometrickej priemetne ρ, rovnako ako aj samotný bod O, leºia na Tálesovych

kruºniciach zostrojených nad stranami axonometrického stopného trojuholníka XρY ρZρ.

Kon²trukcia axonometrických jednotiek jx, jy, jz

Dané: axonometrický stopný trojuholník XρY ρZρ

Postup: (Obr. 4.12)

1. Zostrojíme axonometrický osový kríº (Oa;xa, ya, za) (vi¤ vlastnosti 2. a 3. axonometrického

stopného trojuholníka XρY ρZρ).

2. Jednu zo súradnicových rovín karteziánskej súradnicovej sústavy (O;x, y, z), napr. rovinu π,

oto£íme do axonometrickej priemetne ρ, t. j. nad stranou XρY ρ axonometrického stopného

trojuholníka XρY ρZρ zostrojíme Tálesovu kruºnicu kT0 (ST, r = 12 |XρY ρ|).

3. Zostrojíme oto£enú polohu O0 za£iatku O a oto£ené polohy x0, y0 osí x, y karteziánskej

súradnicovej sústavy (O;x, y, z) do priemetne ρ: {O0} =−−−→ZρOa ∩ kT0 , x0 =

←−−→O0X

ρ, y0 =←−−→O0Y

ρ.

4. Na osi x0, y0 nanesieme od bodu O0 d¨ºku j jednotkovej úse£ky karteziánskej súradnico-

vej sústavy (O;x, y, z) a pomocou kolmíc na os otá£ania←−−→XρY ρ zostrojíme axonometrické

jednotky jx, jy na osiach xa, ya.

5. Kroky 2.�4. zopakujeme pre ¤al²iu karteziánsku súradnicovú rovinu, napr. pre rovinu ν, £ím

získame axonometrickú jednotku jz na osi za. Kon²trukcia je zrejmá z obrázka13.

13Ke¤ºe synonymom k slovu otá£enie je rotácia, kvôli jednozna£nosti sú v obrázku oto£ené polohy útvarov

do súradnicovej roviny ν ozna£ené dolným indexom r.

136


Obr. 4.12

Poznámka 4.6. Uvedeným postupom je moºné ur£i´ aj axonometrické súradnice ©ubovo©ného bodu

euklidovského priestoru E3, prípadne roviny zadanej súradnicami jej priese£níkov s karteziánskymi

súradnicovými osami x, y, z. Na oto£ené polohy x0, y0, zr osí x, y, z do priemetne ρ nanesieme

od bodov O0 a Or karteziánske súradnice bodu (roviny). Potom pomocou kolmíc na príslu²né osi

otá£ania prenesieme tieto súradnice na axonometrické priemety osí xa, ya, za.


Úloha 4.11. Ur£te axonometrické jednotky pre kolmé axonometrie:

a) KA(8; 8; 9), c) KA(6; 6; 6), e) |](xa,za)| = 120◦, |](ya,za)| = 125◦,

b) KA(7; 9; 8), d) KA(10; 8; 8), f) |](ya,za)| = 130◦, |](xa,ya)| = 115◦.

Úloha 4.12. V kolmej axonometrii KA(8; 9; 10) zostrojte axonometrické obrazy bodov:

a) A(2; 5; 6),

b) B(−2; 8; 3),

c) C(3;−4; 5),

d) D(6; 5;−2,5),

e) E(−6; 1,5; 0),

f) F (8; 0; 0),

g) G(0; 10; 0),

h) H(0; 0; 10).

Úloha 4.13. V kolmej izometrii zobrazte dané priamky, nájdite ich stopníky a vyzna£te vidite©-

nos´ ich axonometrických priemetov:

a) a =←→AB, A(5;−5; 5), B(0; 5;−10),

b) b =←→BC, B(6; 2; 8), C(−4; 6;−2),

c) c =←→CD, C(2; 2;−5), D(2;−4; 2),

d) d =←→DE, D(4; 5; 0), E(8;−3; 7),

e) e =←→EF , E(5; 4; 8), F (5;−6; 8),

f) f =←→FG, F (4; 2; 10), G(8; 4;−5).

137


Úloha 4.14. V kolmej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa; xa, ya, za) zob-

razte stopy rovín:

a) σ(4; 3; 4), b) γ(−2; 1,5; 2,5), c) ω(2;−3; 3,5), d) τ(2; 3,5;−4).

138


139


Úloha 4.15. V kolmej axonometrii ur£enej axonometrickým stopným trojuholníkom XρY ρZρ

zobrazte stopy rovín:

a) σ(4; 3,5;∞), b) γ(4,5;∞; 6), c) δ(∞;∞; 7), d) τ(∞; 4;∞).

140


141

4.5 Zobrazenie rovinných útvarov umiestnených v súradnicových rovinách 4 AXONOMETRIA

4.5 Zobrazenie rovinných útvarov umiestnených v súradnicových rovinách

Rovinné útvary umiestnené v súradnicových rovinách π, ν, µ zobrazujeme v axonometrii pomocou

oto£enia týchto rovín do axonometrickej priemetne ρ. Medzi oto£enými polohami bodov súradni-

cových rovín π, ν, µ a ich axonometrickými priemetmi v priemetni ρ existuje vzáh osovej a�nity.

Osou a�nity je os otá£ania súradnicovej roviny do axonometrickej priemetne ρ, t. j. priese£nica

otá£anej súradnicovej roviny a priemetne ρ. Smer a�nity je ur£ený axonometrickými priemetmi

bodov otá£anej roviny a ich oto£enými polohami v axonometrickej priemetni ρ.

4.5.1 Zobrazenie rovinných n-uholníkov

Kon²trukcia rovnostranného trojuholníka ABC ⊂ µ v kabinetnej axonometrii

Obr. 4.13

Dané: kabinetná axonometria (|](xa,za)| = 90◦, |](xa,ya)| = 135◦, jx = jz = j = 1cm, jy = jx

2 ),

vrchol A(0; yA; zA), áºisko T (0; yT ; zT ) trojuholníka.

Postup: (Obr. 4.13)

1. V danej axonometrii zostrojíme body A3a(0; yA2 ; zA), T3a(0; yT2 ; zT ), ktoré znázor¬ujú axono-

metrické bokorysy bodov A(0; yA; zA), T (0; yT ; zT ) (pretoºe body A, T leºia v súradnicovej

rovine µ, platí A3a = Aa, T3a = Ta).

2. Nárys¬u µ oto£íme okolo osi za do axonometrickej priemetne ρ (za ⊂ µ ∩ ρ) a v jej oto£e-

nej polohe, ur£enej osami z0 = za, y0⊥ z0, zostrojíme body A0(0; yA; zA) a T0(0; yT ; zT ).

Body A0, T0 predstavujú oto£ené polohy bodov A, T v priemetni ρ.

3. Zostrojíme rovnostranný trojuholník A0B0C0 s áºiskom v bode T0. Tento trojuholník zná-

zor¬uje oto£enú polohu, a teda aj skuto£ný obraz, trojuholníka ABC v priemetni ρ.

142

4 AXONOMETRIA 4.5 Zobrazenie rovinných útvarov umiestnených v súradnicových rovinách

4. Pomocou osovej a�nity A(z0, A0 → A3a) zostrojíme body B3a a C3a.

5. Zostrojíme trojuholník A3aB3aC3a, ktorý je obrazom rovnostranného trojuholníka ABC ⊂ µv kabinetnej axonometrii (trojuholník A3aB3aC3a je totoºný s trojuholníkom AaBaCa).

Kon²trukcia ²tvorca ABCD ⊂ π v kolmej axonometrii

Obr. 4.14

Dané: kolmá axonometria KA(|XρY ρ|; |XρZρ|; |Y ρZρ|), body A(xA; yA; 0), B(xB; yB; 0).

Postup: (Obr. 4.14)

1. Zostrojíme axonometrický osový kríº (Oa;xa,ya,za).

2. Pôdorys¬u π, v ktorej leºí ²tvorec ABCD oto£íme do axonometrickej priemetne ρ, t. j. nad

stranou XρY ρ trojuholníka XρY ρZρ zostrojíme Tálesovu kruºnicu kT0 (ST , r = 12 |XρY ρ|).

3. Zostrojíme bod O0 ({O0} =−−−→ZρOa ∩ kT0 ) a osi x0 =

−−−→O0X

ρ, y0 =−−−→O0Y

ρ, ktoré znázor¬ujú

oto£enú polohu súradnicovej roviny π do axonometrickej priemetne ρ.

4. Na osi x0, y0 nanesieme od bodu O0 súradnice bodov A a B, ktoré doplníme na obd¨ºniky,

£ím získame oto£ené polohy A0, B0 bodov A, B.

5. Zostrojíme ²tvorec A0B0C0D014, ktorý znázor¬uje oto£enú polohu ²tvorca ABCD v axono-

metrickej priemetni ρ.

6. Pomocou osovej a�nity A(o =←−−→XρY ρ, O0 → Oa) zostrojíme body A1a, B1a, C1a. Z pred-

pokladu, ºe ²tvorec ABCD leºí v pôdorysni π vyplýva: A1a = Aa, B1a = Ba, C1a = Ca.

14Ak je daná jedna strana ²tvorca, ²tvorec môºeme zostroji´ nad alebo pod danou stranou. Na obrázku 4.14 je

²tvorec A0B0C0D0 zostrojený nad stranou A0B0.

143


7. Body A1a, B1a, C1a doplníme na rovnobeºník A1aB1aC1aD1a, ktorý je obrazom ²tvorca

ABCD ⊂ π v kolmej axonometrii KA(|XρY ρ|; |XρZρ|; |Y ρZρ|) (²tvorec A1aB1aC1aD1a je

totoºný so ²tvorcom AaBaCaDa).

4.5.2 Zobrazenie kruºnice

Axonometrickým priemetom kruºnice k(S; r), ktorá leºí v niektorej zo súradnicových rovín π, ν

alebo µ, je elipsa, pre ktorú platí:

• priemery elipsy, ktoré sú rovnobeºné s axonometrickými priemetmi xa, ya, za súradnicových

osí x, y, z, sú jej zdruºenými priemermi,

• v kolmej axonometrii je hlavná os elipsy rovnobeºná s príslu²nou osou otá£ania axonomet-

rickej priemetne ρ (ak k(S; r) ⊂ π, je to priamka←−−→XρY ρ; ak k(S; r) ⊂ ν, je to priamka

←−−→XρZρ;

ak k(S; r) ⊂ µ, je to priamka←−−→Y ρZρ) a d¨ºka hlavnej polosi elipsy je a = r.

Kon²trukcia kruºnice k(S; r) ⊂ π v ²ikmej axonometrii

Obr. 4.15

Dané: ²ikmá axonometria (Oa;xa,ya,za,jx,jy,jz,j), stred S(xS ; yS ; 0) a polomer r kruºnice k.

Postup: (Obr. 4.15)

1. Analytickým výpo£tom (alebo reduk£nou metódou) ur£íme axonometrické súradnice xSa,

ySa stredu S a zmeny d¨ºky rx, ry polomeru r kruºnice k v smere osí xa, ya (postup na str. 122

a 123).

2. Zostrojíme bod S1a, ktorý je axonometrickým pôdorysom stredu S kruºnice k (pretoºe

S ∈ π, platí S1a = Sa).

3. Bodom S1a vedieme pomocné rovnobeºky sx1a, sy1a s osami xa, ya.

4. Na priamke sx1a‖xa zostrojíme vo vzdialenosti rovnej rx od bodu S1a body K1a, L1a.

Na priamke sy1a‖ ya zostrojíme vo vzdialenosti rovnej ry od bodu S1a bodyM1a, N1a. Úse£ky

K1aL1a‖xa, M1aN1a‖ ya predstavujú zdruºené priemery h©adanej elipsy k1a.

144


5. Pouºitím Rytzovej kon²trukcie nájdeme hlavnú a ved©aj²iu os elipsy k1a, a potom elipsu k1azostrojíme pomocou hyperoskula£ných kruºníc (postupy v kapitole 1 na str. 9 a 11). Elipsa k1aje obrazom kruºnice k(S; r) ⊂ π v danej axonometrii (pretoºe k ⊂ π, platí k1a = ka).

Kon²trukcia kruºnice k(S; r) ⊂ π v kolmej axonometrii

Obr. 4.16

Dané: kolmá axonometriaKA(|XρY ρ|; |XρZρ|; |Y ρZρ|), stred S(xS ; yS ; 0) a polomer r kruºnice k.

Postup: (Obr. 4.16)

1. Zostrojíme axonometrický osový kríº (Oa;xa,ya,za).

2. Oto£ením pôdorysne π, v ktorej leºí kruºnica k okolo priamky←−−→XρY ρ do axonometrickej

priemetne ρ zostrojíme axonometrické súradnice xSa, ySa bodu S a pomocou nich aj axo-

nometrický pôdorys S1a = Sa bodu S.

3. Bodom S1a = Sa vedieme pomocnú rovnobeºku so stranou XρY ρ trojuholníka XρY ρZρ,

na ktorej vo vzdialenosti rovnej polomeru r kruºnice k od bodu S1a zostrojíme body

A1a, B1a. Body A1a, B1a predstavujú hlavné vrcholy a úse£ka A1aB1a hlavnú os h©ada-

nej elipsy k1a.

4. �al²í bod X1a elipsy k1a zostrojíme ako priese£ník rovnobeºiek prechádzajúcich bodmi A1a,

B1a s osami xa, ya.

5. Pouºitím prúºkovej kon²trukcie zistíme d¨ºku ved©aj²ej polosi elipsy k1a, a potom elipsu

k1a zostrojíme pomocou hyperoskula£ných kruºníc (postupy v kapitole 1 na str. 9 a 10).

Elipsa k1a je obrazom kruºnice k(S; r) ⊂ π v danej kolmej axonometrii (k1a = ka).

145


Poznámka 4.7. Analogickým spôsobom zostrojíme aj axonometrické obrazy kruºníc daných stre-

dom a polomerom, ktoré leºia v súradnicových rovinách ν a µ (v ²ikmej aj kolmej axonometrii).


Úloha 4.16. V kabinetnej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za)

zobrazte

a) obd¨ºnik ABCD, ktorý leºí v pôdorysni π, ak sú dané axonometrické priemety vrcho-

lov A, B, d¨ºka strany |BC| = 3cm a pre y-ovú súradnicu vrcholu C platí yC> yB,

b) pravidelný ²esúholník ABCDEF , ktorý leºí v bokorysni µ, ak sú dané axonometrické

priemety vrcholu A a stredu S.

146


Úloha 4.17. V kavaliernej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za)

zobrazte

a) rovnostranný trojuholník ABC, ktorý leºí v nárysni ν, ak sú dané axonometrické priemety

vrcholu B a áºiska T ,

b) ²tvorec ABCD, ktorý leºí v bokorysni µ, ak sú dané axonometrické priemety vrcholov A, C.

147


Úloha 4.18. Vo vojenskej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za)

zobrazte

a) ²tvorec ABCD, ktorý leºí v bokorysni µ, ak sú dané axonometrické priemety vrcholov A,

B a pre z-ovú súradnicu vrcholu C platí zC > zB,

b) pravidelný päúholník ABCDE, ktorý leºí v nárysni ν, ak sú dané axonometrické priemety

vrcholu A a stredu S.

148


Úloha 4.19. V ²ikmej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za) a axo-

nometrickými jednotkami jx, jy, jz zobrazte kruºnicu k(S; r = 3cm), ktorá leºí

a) v pôdorysni π a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S1a,

b) v nárysni ν a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S2a,

c) v bokorysni µ a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S3a.

149


Úloha 4.20. Dané sú body K(3; 3; 0) a L(0;−3; 0). V kolmej axonometrii ur£enej axonometric-

kým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za) zobrazte rovnostranný trojuholník KLM , ktorý leºí v pôdo-

rysni π, pri£om pre y-ovú súradnicu vrcholu M platí yM > 0.

150


Úloha 4.21. Dané sú body A(3; 0; 3) a S(3; 0; 6). V kolmej axonometrii ur£enej axonometrickým

stopným trojuholníkom XρY ρZρ zobrazte ²tvorec ABCD leºiaci v nárysni ν so stredom v bode S.

Úloha 4.22. Dané sú body K(0; 1; 1) a L(0; 4;−2). V kolmej axonometrii ur£enej axonomet-

rickým stopným trojuholníkom XρY ρZρ zobrazte rovnoramenný trojuholník KLM s d¨ºkou ra-

mien |KM | = |LM | = 6cm, ktorý leºí v bokorysni µ, pri£om pre y-ovú súradnicu vrcholu M

platí yM > yK .

151


Úloha 4.23. V kolmej axonometrii ur£enej ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za)

zobrazte kruºnicu k(S; r = 3cm), ktorá leºí

a) v pôdorysni π a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S1a,

b) v nárysni ν a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S2a,

c) v bokorysni µ a je daný axonometrický priemet jej stredu Sa = S3a.

152


Úloha 4.24. V kolmej axonometrii ur£enej axonometrickým osovým kríºom (Oa;xa, ya, za) zob-

razte kruºnicu k, ktorá leºí v pôdorysni π, ak sú dané axonometrické priemety jej stredu Sa = S1a

a bodu Ca = C1a.

153

4.6 Zárezová (Eckhartova) metóda 4 AXONOMETRIA

4.6 Zárezová (Eckhartova) metóda

Pri kon²trukciách axonometrických priemetov zloºitej²ích objektov, pre ktoré sú známe ich pôdo-

rysy a nárysy v Mongeovom premietaní, môºeme pouºi´ tzv. zárezovú (Eckhartovu) metódu.

Princíp tejto metódy je zobrazený na obr. 4.17.

Obr. 4.17

Dané: kolmá axonometria KA(|XρY ρ|; |XρZρ|; |Y ρZρ|), bod B(xB; yB; zB).

Postup: (Obr. 4.17)

1. Zostrojíme axonometrický osový kríº (Oa;xa, ya, za).

2. Zostrojíme súradnicovú sústavu (O0;x0, y0), ktorá predstavuje oto£enú polohu pôdorysne π

do axonometrickej priemetne ρ (vi¤ kroky 2. a 3. v postupe na str. 137).15

3. Sústavu (O0;x0, y0) vysunieme v smere osi za do polohy (O1;x1, y1).

4. Vo vysunutej súradnicovej sústave (O1;x1, y1) zostrojíme pôdorys B1(xB; yB) bodu B.

5. Zostrojíme oto£enú polohu ¤al²ej súradnicovej roviny do axonometrickej priemetne ρ, napr.

oto£enú polohu (Or;xr, zr) nárysne ν.

6. Sústavu (Or;xr, zr) vysunieme v smere osi ya do polohy (O2;x2, z2).

7. Vo vysunutej súradnicovej sústave (O2;x2, z2) zostrojíme nárys B2(xB; zB) bodu B.

8. Bodom B1 vedieme rovnobeºku s osou za a bodom B2 rovnobeºku s osou ya. V priese£níku

týchto priamok je axonometrický priemet Ba bodu B.15Pri kon²trukcii axonometrického priemetu zloºitej²ích objektov je výhodné oto£i´ súradnicovú rovinu do prie-

metne ρ tak, aby oto£ená poloha za£iatku karteziánskej súradnicovej sústavy leºala vo vnúri trojuholníka XρY ρZρ.

Výhodou takéhoto oto£enia je to, ºe pôvodná a oto£ená poloha súradnicovej roviny majú rovnakú orientáciu.

154

4 AXONOMETRIA 4.6 Zárezová (Eckhartova) metóda

Poznámka 4.8. Ak je daný bokorys objektu (príp. ho vieme zostroji´ pod©a zadania), ako jednu

zo súradnicových sústav zostrojíme sústavu (O3; y3, z3), ktorá predstavuje oto£enú polohu boko-

rysne µ do priemetne ρ vysunutú v smere osi xa. Postupujeme pritom analogicky ako pri kon-

²trukcii súradnicovej sústavy (O1;x1, y1) alebo (O2;x2, z2).



zobrazte zárezovou metódou pravidelný ²tvorboký ihlan ABCDV s vý²kou v = 4,5cm a podstavou

v pôdorysni π, ak sú dané vrcholy podstavy A(4; 1; 0), B(0; 2; 0) a pre y-ovú súradnicu vrcholu C

platí yC > yB.

155



razte zárezovou metódou kocku ABCDEA′B′C ′D′E′, ak je daný vrchol A(5; 4; 0) a stred S(3; 3; 0)

jej dolnej podstavy umiestnenej v pôdorysni π.

156


Úloha 4.27. V kolmej izometrii ur£enej axonometrickým stopným trojuholníkom XρY ρZρ zob-

razte zárezovou metódou rota£ný valec s dolnou podstavou v pôdorysni π a vý²kou v = 5cm, ak

je daný stred S(2,5; 3; 0) a polomer r = 2,5cm jeho dolnej podstavy.

157



zobrazte objekt, ktorý je daný svojim pôdorysom a nárysom (uvedené rozmery sú v milimetroch).

158



razte objekt daný svojím pôdorysom, nárysom a bokorysom (uvedené rozmery sú v milimetroch).

159



razte sú£iastku danú svojím pôdorysom a nárysom (uvedené rozmery sú v milimetroch).

160

Odporú£aná a pouºitá literatúra

�MELKOVÁ, V.: Cvi£enia z geometrie. EDIS, �ilinská univerzita v �iline, �ilina, 2012.

DRÁBEK, K., HARANT, F., SETZER, O.: Deskriptívní geometrie I. SNTL, Alfa, Praha, 1978.

DOLE�AL, J.: Geometrie. Vysoká ²kola ba¬ská�Technická univerzita Ostrava, Ostrava.

Dostupné na internete: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Geometrie.pdf

EFFENBERGER, V. : Vyuºití internetu p°i výuce kuºelose£ek na st°ední ²kole. Diplomová práca.

Univerzita Karlova v Praze, Praha, 2011.

Dostupné na internete:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/

GALLO, O. a kol.: Deskriptívna geometria., Alfa, Bratislava, 1971.

KLAPKA, J.: Deskriptivní geometrie. V¥decko-technické nakladatelství, Praha, 1951.

KYSELOVÁ, D. a kol.: Deskriptívna geometria: Návody na cvi£enia. Slovenská technická

univerzita v Braislave, Bratislava, 2009.

MEDEK, V., ZÁMO�NÍK, J.: Kon²truktívna geometria pre technikov. Alfa, Bratislava, 1978.

STANOVÁ, E., OLEJNÍKOVÁ, T.: Zobrazovacie metódy v deskriptívnej geometrii. Technická

univerzita v Ko²iciach, Stavebná fakulta, Ko²ice, 2009.

TOMICZKOVÁ, S.: Deskriptivní geometrie 1: Pomocný u£ební text. Západo£eská univerzita

v Plzni, Plze¬, 2011.

Dostupné na internete: file:///C:/Users/admin/Downloads/DEG1%20(2).pdf

URBAN, A.: Deskriptivní geometrie I. SNTL, Praha, 1982.

URBAN, A.: Deskriptivní geometrie II. SNTL, Praha, 1979.

VAJSÁBLOVÁ, M.: Deskriptívna geometria pre GaK. Slovenská technická univerzita v Bratislave,

Bratislava, 2009.

Dostupné na internete:

http://www.svf.stuba.sk/docs//dokumenty/skripta/deskiptivna_gak/index.html

161

Documents

ZÁKLADY KON TRUKTÍVNEJ A PO ÍTA OVEJ GEOMETRIE (úlohy a ... · 1 ELIPSA 1 Elipsa 1.1 De nícia a základné pojmy De nícia 1.1. Nech sú v euklidovskej rovine E 2 dané dva rôzne