Zlatni presjek matematički

  • View
    261

  • Download
    18

Embed Size (px)

Transcript

1. - ZLATNI PRESEK ( Metodika nastave matematike 2 ) Simi Sneana ml02/282 Beograd, 2007 Od kakvog estetskog interesa moe biti ponovno razmatranje problema zlatnog preseka? Svakako ne od istog kao za estetske alhemiare iz ranijih vremena koji su, poput Luke Paolija, traili univerzalnu matematiku formulu lepote i koji su je upravo nalazili u zlatnom preseku. Pitanje koje moe da bude interesantno za nas jeste: zato podela jedne linije na dva dela, tako da se manji deo odnosi prema veem kao vei prema celini, pokazuje vie sklada od ostalih podela? Zato brojne geometrijske figure koje proizilaze iz zlatnog preseka, kao to su pentagon, dekagon, dodekaedar, ikosaedar, izvesne spirale,itd., eksploatisane esto u arhitekturi i dekorativnim umetnostima, pruaju vie satisfakcije od ostalih? Pitanje je utoliko interesantnije to se ve odavno zna da je princip zlatnog preseka duboko ukorenjen u osnovi prirodnih 1 2. procesa, da se pojavljuje u mnogim oblicima organske prirode, kako biljnog tako i ivotinjskog sveta, i da se pokazuje kao princip organskog rasta. Ovaj naziv-zlatni presek e Euklid nazvati podelom u srednjoj i krajnjoj razmeri ili nepekidnom podelom. U knjizi sa naslovom De divina proportione (O bozanstvenoj proporciji) , renesansnog matematiara Luke Paolija (fra Luka Paoli, oko 1445-1517), ova podela dobie naziv bozanstvena proporcija. U Klavijusovom(Cristoh Klau, 1537-1612) izdanju Euklidovih Elemenata na latinskom jeziku iz 1574.godine, ova proporcija bice nazvana proporcionalnom podelom.Kao i Luka Paoli pre njega, Kepler (Johannes Kepler,1571-1630) ce je nazivati bozanstvenom proporcijom ali i neprekidnom proporcijom. Naziv zlatni presek koji je danas najee u upotrebi, ova podela dobila je kasnije. On je uveden prvi put tek u prvoj polovini devetnestog veka, u drugom izdanju udbenika sa naslovom Die reine Elementar-Mathematik ( ista elementarna matematika ) izdatom 1835. godine , profesora na Berlinskom univerzitetu Martina Oma. Evo kako Euklid u jedanaestom stavu knjige Elemenata uvodi zlatni presek, gde konstruie taku koja zadatu du razlae na dve, takve da se vea prema manjoj odnosi kao cela du prema veoj ( on ovde za oznake koristi grka slova alfabeta ): 11.Stav: Neka je AB data du. Treba AB podeliti tako da pravougaonik obuhvaen celom dui i jednim odsekom bude jednak kvadratu na drugom otseku. 2 3. Nacrta se kvadrat AB na AB [I.46], i prepolovi se A takom E, povue se EB, produi A do Z, i odmeri se EZ jednako BE; nacrta se kvadrat Z na AZ, i produi se H do K. Tvrdim da je AB podeljeno takom tako da je pravougaonik obuhvaen duima AB i B jednak kvadratu na A . Kako je du A preolovljena takom E, a prava AZ njeno produenje, pravouganik obuhvaen duima Z i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratu na EZ [II.6]. Ali EZ je jednako EB, zbog toga je pravougaonik obuhvaen duima Z i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak kvadratu na EB. No kvadrat na EB jednak je kvadratima na BA i na AE, jer je ugao kod take A prav [I.47]. Na taj nain pravougoanik od Z i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratima na BA i na AE. Ako se oduzme zajedniki kvadrat na AE, onda je pravougaonik od Z i ZA jednak kvadratu na AB. Kako je pravougaonik obuhvaen duima Z i ZA pravougaonik ZK, jer je AZ jednako ZH, a kvadrat na AB je A, bie pravougaonik ZK jednak kvadratu A . Ako se odume zajedniki pravougaonik AK, ostatak Z bie jednak pravougaoniku . Kako je pravougaonik obuhvaen duima AB i B, jer je du AB jednaka dui B, a Z je kvadrat na A, bie pravougaonik obuhvaen duima AB i B jednak kvadratu na A. Na ovaj nain je data du AB tako podeljena takom da je pravougaonik obuhvaen duima AB i B jednak kvadratu na A . A to je trebalo izvesti. Fibonaijev niz i broj Phi Racionalni prikaz broja PHI Broj Phi moemo prikazati racionalnim brojem u obliku m/n. 3 4. Ovakvi razlomci se zovu konvergentni razlomci. Brojevi m i n su brojevi iz Fibonaccijevog niza, ako bi se niz nastavio dobili bi : Prikaz broja Phi sa Fibonaccijevim brojevima kao koeficijentima Poznato je da je: Isto tako i iz temeljnog identiteta broja Phi znamo da je : Treba uoiti da je prvom izrazu slobodan koeficijent nula a i koeficijent 1 jedan od Fibonaccijevih brojeva! Ista stvar je i u prethodnom izrazu, brojevi 1 i 1 su takoe brojevi Fibonaccijevog niza i to 1. i 2. broj niza. Sledimo li dalje istu pravilnost uviamo: Izraz za etvrtu, petu bi izgledao; Ako bi smo sada ovu pravilnost prikazali optom formulom ona bi izgledala ovako: Dokaz menjanja koeficijenata preveo bi se na sledei nain: Uzmimo da su a i b dva koeficijenta, neka dva uzastopna broja Fibonacijevog niza. 4 5. Prvi sledei bi mogli zapisati kao Uzmimo u obzir da je Phi2 = Phi + 1 i tako ga zapiimo Pomnoimo Iz prva dva lana izvuemo broj Phi U izrazu a+b moe zameniti sa sledeim brojem niza i time potvrditi optu formulu. Phi likovi i krivulje Na sledeoj slici je prikazan jednakostranian trougao konstrukcijom geometrijskog lika unutar lika u nekim merama esto daje broj Phi kojemu je opisana krunica. Mera |AB| i |BC| je jednak Phi. Ovaj model je prvi konstruirao George Odom 1983 godine te iste te godine objavljen u Amerikom asopisu ''American Mathematics Monthly''. 5 6. Na crteu je prikazana krunica i kvadrat. Ako kroz sredite krunice povuemo duinu te na njoj konstruiemo takav kvadrat da mu dva vrha dodiruju krunicu a druga dva se nalaze na duini tada je mera izmeu |AB| i |BC| jednak Phi. Na crteu je prikazan pravilni petougao, njemu opisana krunica i njegove tri dijagonale. Jedna dijagonala see treu u razmeri AB| : |BC| = Phi. Dijagonale petougla se seku u meri zlatnog reza, tj. broja PHI! Jo jedna mera pronaena je izmeu tri koncentrine krunice sa radijusima r=1,2,4 i tangentom na najmanju krunicu radijusa r=1. Konstruiemo dve koncentrine krunice s radijusima r = 1,2. Postupak ponovimo te ih dovedemo u poziciju da se seku. Duine |AC| i |AB| su u zlatnom rezu. Petougao sa stranicom Ph 6 7. Tri puta prepletni trougao, petougao zvezdoliki petougao ije ivice su dijagonale pravilnog konveksnog petougla. Pitagorejci su koristili kao simbol bratstva po kojem su se poznavali i koji su nazivali Zdravljem.Shodno njihovim uverenjima, oni su zdravlje, harmoniju tela,, doveli u vezu, moda ak i poistovetili, sa harmonijom matematike podele u krajnjoj i srednjoj razmeri. Fibonaccijevi brojevi i izvod temeljnog svojstva broja Phi Iznos boanske proporcije, Phi moe se dobiti iz Fibonaccijevih brojeva. Posmotrite tablicu: U prvom redu napisani su prvih jedanaest brojeva iz Fibonaccijevog niza i od jedanestog prema prvom. U drugom redu napisan je broj dobijen deljenjem dva broja iz reda navie. to se dalje slede brojevi iz Fibonaijevog niza te dele sve tanije i tanije (u vie decimala) daju iznos proporcije.Ako bi to prikazali grafiki dobili bi sledeu sliku 7 8. Kada bi podelili etrdeseti i trideset i deveti lan Fibonaccijevog niza dobili bi iznos broja Phi taan u 15 decimala. Posmotrimo osnovni identitet za dobijanje sledeeg lana Fibonacciejvog niza. Ukoliko celi izraz podelimo sa Fn+1 dobijamo sledee 8 9. Kako sada znamo da je mera n+1 i n-tog lana Fibonaijevog niza tano Phi onda je mera n-tog i n+1 lana Fibonaccijevog niza 1/Phi. I to je nain na koji je dobijeno to poznato svojstvo broja Phi. Pojednostavljenje Binetove formule Formulu za dobijanje n-tog Fibonaijevog niza moemo iskazati i preko broja Phi i to na sledei nain: Npr. Znaaj i upotreba broja Phi i Fibonaijevog niza Phi je sveprisutan u matematici i drugim prirodnim znanostima. Da je Phi prisutan i u svemiru svedoi svima nama poznati Saturnov prsten koji je podijeljen u meri zlatnog reza. U svemiru je pronaen izvor energije koji ima frekvencije u iznosu broja Phi. Udaljenosti izmeu deset planeta i velikih asteroida tee broju Phi. 9 10. Merkuru je potrebno vreme od priblino Phi-3 godina da obie Sunce dok je Jupiteru potrebno priblino Phi5 godina da obie Sunce ili Veneri, Phi7god. Posmotrite sledee slike Iz prethodne slike sledi da je udaljenost od Sunca do zemlje Phi uz uslov da je udaljenost od Sunca do Venere jednaka jedan. Vreme u kvantnoj fizici je povezano s PHI. Elektroni imaju masu, okreu se odreenom brzinom, imaju naboj. Phi se pojavljuje u gfaktoru elektrona koji nastaje zbog poremeaja, rastezanja prostorno-vremenskog kontinuuma zbog okretanja elektrona pri brzini svetlosti. Moderna fizika jo nije pronala pravi razlog postojanja gfaktora! Svemir je sastavljen od beskonanog broja raznih valova. Od onih mikroskopskih veliina do onih makroskopskih veliina. Svi su oni fazno povezane u beskonano mogunosti. Zvuk, boja, miris itd. Institut za istraivanje niskih frekvencija zemlje (ELFRAD) je pronaao iznimno nisku frekvenciju od 1.618 Hz. Signali su se pojavljivali bez ikakve povezanosti sa bilo kojim izvorom, nisu povezani sa nikakvom anomalijom ili pravilnou. Isto to vredi za amplitudu, intenzitet i vreme pojavljivanja signala. 2001 NASA je poela prikupljati podatke za izradu modela svemira. Godine 2003 skupio se tim znanstvenika, fiziara i matematiara koji su na temelju prikupljenih podataka trebali dati konani pojednostavljeni model svemira. Ekstrapolirani model je ispao dodekaedar. Telo koje se sastoji od dvanaest pravilnih petouglova, a u svakom se vrhu sastaju tri ruba i tri stranice. 10 11. Boanska proporcija Ve u dalekoj prolosti ljudi su primetili kako im je najugodnije za oko kada gledaju dve duine, kvadrata, pravougaonika ili sl. u vidu zlatnog reza tj. Phi. Phi je oduvek postojao kao i matematika, meutim ne zna se kada je PHI tano otkriven i prvi put primenjen. Egipani su primenjivali mere bliske zlatnom rezu, no nigde nije ostao zabeleen u matematikom ili ikakvom drugom obliku pa se stoga i pretpostavlja da ga nisu ni znali. Grki kralj i matematiar Phidias oko 500 godina pre Krista bavio se prouavanjem broja Phi koji je kasnije i primenio na dizajnu skulptura za Parthenon. Plato je predstavljao Phi kao klju, temeljnu vezu u fizici svemira. Piramide, Parthenon, crkva Notre Dame, Fibonaccijevi brojevi, Da Vincijeva slika