NAZIV FAKULTETA

SEMINARSKI RAD

ZLATNI REZ

PREDMET

PROFESOR

IME I PREZIME

BROJ INDEKSA

MJESTO I DATUM

SAŽETAK

Teorija zlatnog reza započela je još u antičko doba, a svoj procvat doživjela je u

renesansi, kada su umjetnici i matematičari tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih

struktura. Nakon više stoljeća teorije smatra se da je zlatni rez najsavršeniji rez u prirodi,

potpuno savršen ljudskom oku, harmonija između izrazite preciznosti i kaotične

nesavršenosti.

Ključne riječi: zlatni rez

ABSTRACT

The theory of the golden section began in ancient times, has experienced a boom

in the Renaissance, when artists and mathematicians looking for perfection in the

composition of known structure. After several centuries of the theory is considered to be

the golden ratio in nature the most perfect cut, fully perfect human eye, the harmony

between the extreme precision and chaotic imperfections.

Keywords: golden ratio

S A D R Ž A J:

1. Uvod................................................................................................................................4

2. Zlatni rez..........................................................................................................................5

2.1. Povijesna mišljenja o zlatnom rezu..........................................................................7

Zaključak.............................................................................................................................9

Literatura............................................................................................................................10

1. Uvod

Povijest zlatnog reza na području umjetnosti započinje u starom Egiptu, i tu

odmah dolazi do problema. Egipćani su upotrebljavali zlatni presjek, a nisu ni znali znali.

Do tog se zaključka došlo zbog toga jer se nigdje ne spominje nešto što bi odgovaralo

njegovom opisu. Polazište o njihovom znanju predstavlja šest matematičkih papirusa,

koji čak još nisu svi točno dešifrirani.

Zlatnim rezom bavili su se i Grci i Rimljani te se na temelju njihove matematičke

razrađenosti, proporcijama - a posebno zlatnim rezom kao njihovim ključnim

čimbenikom - kroz povijest su se bavili mnogi umjetnici svjesno, dok su ih drugi manje

svjesno ugrađivali u svoja djela.

2. Zlatni rez

Zlatni rez (simbol: ) definira se kao matematičko-strukturalni pojam kojeg se

najčešće veže za umjetnost, jer je u povijesti umjetnosti najčešće korišten. To je način

podjele neke vrijednosti s faktorom od približno 1.6.

Zlatni rez predstavlja kompozicijski zakon u kojem se manji dio prema većem odnosi kao

veći dio prema ukupnom. U praksi, ako želimo podijeliti nešto na taj način, podijelimo ga

na 13 jednakih dijelova i onda to podijelimo u omjeru 8:5, ili ga pak podijelimo na 21

jednaki dio pa to onda u omjeru 13:8, itd.1 Na što se više dijelova podjeli, to smo bliži

točnom zlatnom rezu, no do točnog zlatnog reza nikada se ne dolazi jer je taj broj zapravo

aproksimacija, a matematička formula glasi:

Na savršenom ljudskom tijelu sve je u odnosu 1:1.618. Najpoznatije proporcionirano

obilježavanje čovjeka vidljivo je na crtežu Leonarda da Vincija. Crtež govori kako je

ljudsko tijelo moguće ucrtati u kružnicu i kvadrat. Visina čovjeka jednaka je širini

njegovih rastvorenih ruku. Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu čovjek postaje središte

kružnice. Na kraju, potezi ispod koljena označavaju zlatni rez, kao i na ramenima: od

vrha prstiju do ramena : rame do prstiju druge ruke. Tako je i sa glava + tijelo +

natkoljenica: potkoljenica. Ipak, Leonardo to nije sam izmislio. Crtež je zapravo

interpretacija Vitruvijevih studija o proporcijama, koje su objedinjenje dotadašnjih

antičkih spoznaja.2

1 www.wikipedia.org2 www.likovna-kultura.ufzg.unizg.hr

Slika 1.

Izvor: http://mirotvorac.blogger.ba

Na kosturu vidimo kako se zlatni odnosi granaju; unutar gornjeg dijela tijela na odnos

glave i vrata naprema trupu; tako se dalje odnose i dijelovi ruku i dijelovi nogu. Ako

prolazi teorija da čovjek prepoznaje zlatni rez kao građu prirode i sebe sama, tada bi se

pogotovo rez morao pojaviti i u tradicionalnim narodnim rukotvorinama. 

Definicija zlatnog reza govori o razmjeru – što znači o odnosu dvaju omjera. ''Manji dio

prema većem odnosi se jednako kao veći dio prema cjelini”.

Geometrijska konstrukcija zlatnog reza moguća je na nekoliko načina:

Dužinu AB dijelimo na pola i prenosimo dužinu te polovine pod pravim kutom

lijevo ili desno; dobili smo točku C. Nju spajamo s točkom B. Veličinu AC

prenesemo s točke C na dužinu CB, čime dobijemo točku A1. Iz točke B šestarom

prenesemo dužinu BA1 na dužinu AB i dobivamo točku D koja presjeca

prvobitnu dužinu AB na odnos major (BD) i minor (DA).3

Drugi način konstrukcije je da kvadrat stranica 1:1 prepolovimo po okomici, i

spustimo dijagonalu polovice (AB) na bazu. Iz dobivene završne točke baze (D)

podignemo okomicu u C i zatvorimo kvadrat.3 www.likovneskripte.blog.hr

Treći način je nešto duži: dijagonala kvadrata stranice 1 koja iznosi korijen iz 2

prenese se šestarom na produženu stranicu kvadrata. Omeđuje se pravokutnik

kojem su duže stranice korijen iz 2, a kraće 1. Ponavljamo isti postupak, tj.

dijagonalu pravokutnika korijen iz 2 koja iznosi korijen iz 3 prenosimo na

produženu stranicu itd., dok ne stignemo do pravokutnika koji iznosi korijen iz 5.

Tada povučemo simetralu na dulje stranice i iz donjih vanjskih kuteva dižemo

lukove kojima je radijus polovica dužine stranice do sjecišta s gornjom stranicom.

Iz tih točaka se spuste okomice koje zatvaraju kvadrat. S obje strane kvadrata

preostala su nam dva manja pravokutnika koji svaki ponaosob s kvadratom daju

zlatni pravokutnik.

2.1. Povijesna mišljenja o zlatnom rezu

Grčki naučnik Pitagora bio je čovjek koji je tražeći sustave kojima za objašnjenje

harmoničnog djelovanja svijeta oko sebe postavio brojeve - ne kao jedinice kvantitete,

već kao principe u kojima se ogleda kozmički red. Tako pitagorejski sustav ima monadu,

jedinicu, počelo svega; dijadu i trijadu - ženski (djeljiv) i muški (nedjeljiv) broj; četiri-

potpuna ženskost, dvostruka djeljivost, broj pet kao potpunost, zbroj muškog i ženskog

načela; i deset kao apsolutni, sveti broj, zbroj 1+2+3+4, tetrakis kojem su se pisale i

izgovarale molitve.4

Nakon Pitagore, Platon je 387. g. p.n.e. napisao na glavna vrata svoje Akademije: "Neka

nitko ovdje ne ulazi ako ne zna geometriju". Ubrzo nakon toga, oko 300. g. p.n.e. Euklid

iz Aleksandrije je pisao svoju knjigu "Elementi", u kojoj je kao učenik Platonove škole

govorio o pitanjima geometrije i proporcije i precizno objasnio podjelu date dužine tako

da se manji dio (minor) odnosi prema većem (major) kao ovaj prema zbroju manjeg i

većeg.

Sva saznanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Markus Vitruvius Polio u 1. st.

p.n.e. U svom kapitalnom djelu "De architectura libri decem" ili "Deset knjiga o

4 www.likovna-kultura.ufzg.unizg.hr

arhitekturi", posvećenom imperaroru Augustu pisao je o grčkim dostignućima vezanima

za zlatni rez. Grci su uspostavili kanon lijepih proporcija, koje se mogu pratiti na

Polokletovom Doriforosu. Partenon je simbol univerzalnosti savršenih proporcija, sa

mnoštvom razlaganja u zlatnim presjecima po svim osima; čak i grčke vaze su

konstruirane po dinamičnim spiralama.

U razdoblju renesanse,1509., fra Luka Pacioli pisao je knjigu ''Divina proportione''

(Božanski razmjer), u kojoj je za taj razmjer vezao božanske osobine (npr. on je

iracionalan i neizračunljiv do kraja, a vezan je uz prirodne pojave).

U 13. stoljeću matematičar Leonardo iz Pise zvan Filius Bonaccio postavio je aditivni niz

brojeva u kojem je svaki slijedeći broj jednak zbroju prethodna dva:

1:1:2:3:5:8:13:21:34:55:89:144… a koji je po njemu dobio ime Fibonaccijev niz. Za

primijetiti je da računanjem svi brojevi ovog niza podijeljeni sa svojim sljedbenikom,

prvim većim brojem, (npr.34:55) uvijek daju rezultat 0,6…, dakle praktički konstantan

razmjer kroz cijeli niz – čime smo zagospodarili neuhvatljivim iracionalnim brojevima sa

beskonačnim razlomkom. Obrnuti će postupak, dijeljenje većeg sa prvim manjim članom

niza davati konstantnu aproksimativnu vrijednost 1,6. Tako su zapravo svi brojevi

Fibonaccijevog niza u grupama po tri člana (npr. 8:13:21) u zlatnom razmjeru. Osnovna

mjera zlatnog kvadrata tako iznosi 1:1,618.

Zaključak

Ideja da se kroz razmjere zlatnog reza možda mogu matematički otključati i

pomalo otškrinuti mistična vrata iza kojih iskri rajska svjetlost Božje konstrukcije

Univerzuma veoma je privlačna današnjim znanstvenicima.. Dokazano je da čovjek svim

svojim bićem teži spoznaji Apsoluta i Istine, i od prvih iskri svog razuma, magijom i

religijom pokušava transcendirati materiju oko sebe u neku višu sferu, gdje sve ima

smisla i sve se uklapa. Metafizička matematika je izmjerila svoju okolicu i brojeve

međusobno usaglasila.

 Literatura

Pejaković, M., Gattin, N.: Starohrvatska sakralna arhitektura, Kršćanska

sadašnjost, Zagreb, 1988.

Damjanov, J.: Vizualni jezik i likovna umjetnost, Školska knjiga, Zagreb, 1991.

Despot, N.: Svjetlo i sjena, Tehnička knjiga, Zagreb, 1966.

www.likovna-kultura.ufzg.unizg.hr

www.likovneskripte.blog.hr

www.wikipedia.org