1

Złota liczbaCiąg Fibonacciego

Filotaksja

2

Złoty podział odcinka

Wśród różnych możliwych podziałów

odcinka na dwie części jest jeden, który już

starożytni Grecy uznali za najdoskonalszy

pod względem estetycznym i nazwali

złotym albo boskim podziałem.

3

Złoty podział odcinka

• Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek tak się ma do swojej większej części, jak większa część do mniejszej.

• Stosunek długości odcinków a : x nazywamy liczbą złotą i oznaczamy grecką literą φ (fi).

x a-x

a

xa-x

ax

4

• Zauważmy że czyli

• Stąd możemy już obliczyć wartość złotej liczby. Przekształcając ostatnie równanie otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe, którego dodatnim rozwiązaniem jest

9...1,618033982

51

xxax

a

1

1

1

Złoty podział odcinka – cd.

012

5

• φ to liczba niewymierna, więc jej rozwinięcie można podać tylko w przybliżeniu.

• Równość

możemy zapisać jako ,

co oznacza, że bardzo łatwo obliczyć odwrotność złotej liczby:

• wystarczy zmazać 1 przed przecinkiem w jej rozwinięciu

1

1

11

...618033989,011

Złoty podział odcinka – cd.

6

Natomiast równość możemy zapisać jako

co oznacza, że

kwadrat liczby złotej oblicza się łatwo:

wystarczy 1 przed przecinkiem zamienić na 2.

Jest to jedyna liczba dodatnia o tej własności, że jej odwrotność jest o 1 od niej mniejsza, i jedyna taka, której kwadrat jest o 1 od niej większy.

A zatem :

Złoty podział odcinka – cd.012

12

7

Wzory i zależności• złota liczba jest dodatnim

rozwiązaniem równania:

• dokładna wartość:

• przybliżona wartość:

• kwadrat złotej liczby:

• odwrotność złotej liczby:

• dokładna wartość:

• przybliżona wartość:

2

15

012 1

1

12

2

151

61803,1 61803,01

8

• A jak zaznaczyć na rysunku punkt złotego podziału danego odcinka?

Jeśli cały odcinek ma długość a, to naszym zadaniem jest znalezienie odpowiadającego mu odcinka długości x, który odłożymy na wyjściowym odcinku.

• Wiemy, że czyli2

51

x

a

25

2

115

2

1

51

2 aaa

ax

Punkt złotego podziału danego odcinka

9

Rysunek pokazuje sposób skonstruowania

odcinka o długości . Wystarczy

dwukrotnie go zmniejszyć i skrócić o połowę a,

aby otrzymać szukany odcinek x.

5a

Punkt złotego podziału danego odcinka – cd.

10

Złota liczba jest bardzo przydatna do konstruowania różnych figur.

11

Pięciokąt foremny

• wszystkie boki równe• wszystkie kąty równe, • wszystkie przekątne

równe, • każda przekątna jest

równoległa do jednego  boku.

12

A B

C

D

E

F

G H

L

K

Pięciokąt foremny

13

Pięciokąt foremny a złota liczba

• Punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział.

• Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.

• Złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek p.n.e.).

14

Pentagram -foremna gwiazda pięcioramienna

• pięciokąt foremny gwiaździsty

• gwiazda pitagorejska• godło Bractwa

Pitagorejczyków• symbol doskonałości

według Pitagorejczyków.

15

Własności pentagramu

• miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º.

• suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°.

• we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie.

• złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdyoraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

16

Jak narysować pentagram?

Sposób A

• przedłużyć w obie strony boki pięciokąta foremnego,

17

Jak narysować pentagram?

Sposób B• Narysować przekątne pięciokąta foremnego,

18

Dziesięciokąt foremny

W dziesięciokącie foremnym stosunek promienia okręgu opisanego do długości boku

jest złoty.

19

Złoty trójkąt

Dziesięciokąt foremny można podzielić na 10 złotych trójkątów mających wspólny wierzchołek w środku okręgu opisanego na tym wielokącie.

20

Złoty prostokąt to taki, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest złotą liczbą.

Ma on ciekawą własność: prostokąt, który powstaje po odcięciu od niego największego możliwego kwadratu jest nadal złoty.

b

a

b a - b

Złoty prostokąt

21

Powtarzając wielokrotnie operację odcinania kwadratu, możemy więc otrzymać nieskończenie

wiele mniejszych złotych prostokątów.

22

Wpisując zaś w kolejno odcinane kwadraty ćwiartki okręgów,

otrzymujemy

złotą spiralę.

Złota spirala

23

Złota spirala

Kolejne punkty wyznaczające podział leżą na spirali równokątnej

24

Dwudziestościan foremny

Wierzchołki trzechwzajemnie do siebie

prostopadłych złotych prostokątów

wpisanych w dwudziestościan

foremny znajdują się w 12 wierzchołkach tego wielościanu.

25

Dwunastościan foremny

Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwunastościan foremny znajdują się w środkach ścian tego wielościanu.

26

Złoty ułamek

Ułamkiem łańcuchowym nazywa się ułamek piętrowy (skończony lub nieskończony) postaci

gdzie liczby są naturalne.

Gdy w miejsce wstawimy 1 zapis ten przedstawia właśnie liczbę złotą.

ai

...1

11

3

2

1

aa

a

ai

...1

1

11

11

φ

27

Ten ułamek jest nieskończony, a skoro wyrażenie znajdujące się w pierwszym mianowniku ciągnie się w nieskończoność, to jest ono identyczne z całym wyrażeniem φ. Możemy więc zapisać, że

Widzimy, że φ rzeczywiście jest złotą liczbą (bo jej odwrotność jest od niej o 1 mniejsza).

1

1

Złoty ułamek –cd.

28

Większość ludzi wśród wielu prostokątów jako „najprzyjemniejszy dla oka” wskazuje złoty prostokąt. Inne wydają się za krótkie i za grube lub za długie i za chude. Może dlatego wiele spośród prostokątnych przedmiotów, jakie nas otaczają, ma proporcje zbliżone do złotej:

okna,

fotografie,

walizki,

karty.

Przykłady zastosowań

29

Boska proporcja fascynowała artystów różnych epok

• Mistrzowie malarstwa przycinali swoje płótna w złoty prostokąt np. Botticelli, Rafael, Dali.

• Boskie proporcje można odnaleźc w muzyce np. V symfonii Beethovena, sonatach Mozarta, dziełach Bartoka, Debussy’ego, Schumana, Bacha.

• Ze złotej proporcji korzystali zachwyceni nią architekci.

30

W sztuce i architekturze

• W starożytności Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje.

• Złoty podział uważali za proporcję doskonałą.

• Stosowali go w architekturze i sztuce.

31

Partenon

Partenon, Świątynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach 448-432 p.n.e.

Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się liczbą złotą (φ).

32

Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim.

Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

Egipt - Piramidy w Gizie

33

Także współcześnie ten kanon piękna można odnaleźć w wymiarach wielu budowli np. wieży

Eifla w Paryżu, Pałacu Kultury i Nauki w Warszawie, gmachu ONZ w Nowym Jorku,.

34

Złoty podział w ludzkim ciele

W ciele ludzkim, a dokładniej

w ciele mężczyzny, zarówno

cała postać, jak i wiele

poszczególnych części

podlega prawom złotego

cięcia.

35

Apollo Belwederski pocięty złociście.

Linia I dzieli na dwie znamienne części całą postać w "złotej proporcji", linia E wskazuje na tenże stosunek głowy do górnej części tułowia, a linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

36

Profil głowy

Podział głowy z profilu na części charaktery-styczne daje cały szereg stosunków bardzo bliskich podziału złotego.

37

Ręka i dłoń

Tu też można wskazać złote podziały.

38

Renesans

• okres wielkiej fascynacji antykiem,

• złota proporcja nazywana jest boską proporcją (divina proportio),

• powstaje traktat matematyczny „O boskiej proporcji” Luca Pacioli (1509r.),

39

Ilustracje do traktatu wykonuje Leonardo da Vinci – mistrz proporcji perspektywy.

40

Leonardo Fibonacci

Podróżnik i kupiec z Pizzy

Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.),

Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego,

Autor słynnego zadania o królikach.

41

Zadanie Fibonacciego:

Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli:

każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca,

para staje się płodna po miesiącu,

króliki nie zdychają?

42

W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

43

Ciąg Fibonacciego

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego,

pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich,

postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu):

2

1

1

21

2

1

ndlafff

f

f

nnn

44

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… a złota liczba

• Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:

3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…

• Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

n

nnf

1

5

1

5

1

45

Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt

8

1 1

23

5

46

Liczby Fibonacciego w przyrodzieCiąg Fibonacciego ma liczne

odpowiedniki w zjawiskach przyrody, np. w biologii, w botanice; ma je więc

także liczba φ .

Zadanie

Drzewo co roku wypuszcza nowe pędy, a każda nowa gałąź wypuszcza nowy pęd dopiero po dwóch latach. Ile gałęzi będzie miało drzewo po 6 latach?

47

Gdy spróbujemy naszkicować drzewo rosnące wg podanych reguł, wygląda ono bardzo realistycznie.

Zadanie - ilustracja

48

Okazuje się, że małe liczby z ciągu Fibonacciego zadziwiająco często

występują w przyrodzie.

Spotykamy je nie tylko w układzie konarów drzew, ale praktycznie we wszystkich

roślinach.

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

49

Opisują kształt

• słoneczników

50

Opisują kształt

• szyszek

51

liczby płatków kwiatowych

Opisują

52

• Przyjrzyjmy się układowi listków na wspólnej łodyżce.

• Widzimy, że między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu ich złotego cięcia.

Opisują układ liści

53

Obserwacje przyrody

• Badając rozkład liści na gałązkach i pojedynczych gałązek na łodydze zauważamy, że nie wszystkie liście leżą jeden nad drugim, lecz liście sąsiednie najczęściej wysuwają się z linii prostej okrążając gałązkę.

• Jeśli od jednej podstawy liścia do drugiej i trzeciej itd. przeciągniemy kolejno wzdłuż gałązki lub łodyżki nitkę, to przekonamy się, że nić obracać się będzie dookoła gałązki i utworzy dość prawidłową linię śrubową, czyli helisę.

54

55

Świat zwierząt

Muszle ślimaków zwijają się zgodnie ze spiralą Fibonacciego

56

W niektórych roślinach organizację na bazie liczb Fibonacciego

można dostrzec w całej strukturze, od kwiatów przez liście, gałęzie aż

do korzeni.

Obserwacje przyrody

57

Liczby płatków

(np. róż i stokrotek)

są zwykle liczbami Fibonacciego,

58

Choć wydaje się, że wiele kwiatów

(np. narcyzy i lilie)

ma dokładnie 6 płatków…

59

… w istocie są to dwa pokolenia po 3 płatki, gdzie pierwsze pokolenie stanowi działki kielicha. Nic więc dziwnego, że tak trudno znaleźć czterolistną koniczynę.

60

Filotaksja

Filotaksja(z greckiego: phyllo = liść, taxis = porządek)

to sposób ułożenia powtarzających się elementów budowy rośliny (takich jak liście, pędy boczne, kwiaty, płatki, ziarna) charakterystyczny dla danego gatunku.

Tworzą one najczęściej układy spiral, których parametry są związane z liczbami Fibonacciego i złotą liczbą.

61

Stożek wzrostuGdy patrzymy na czubek pędu rośliny widzimy zawiązki, z których rozwijają się jej główne składniki, np. pędy boczne, liście, działki kielicha, płatki, ziarna.Na samym wierzchołku znajduje się niewielki (ok. 1000 komórek) tzw. stożek wzrostu. Jego komórki się namnażają się w szybkim tempie i dzięki temu roślina nieustannie rośnie. Zawiązki powstają w różnych miejscach na obrzeżu stożka i z czasem się od niego oddalają, przesuwając się w dół i na zewnątrz.

62

Spirale pierwotne i wtórne

Spirale obserwowane np. na tarczy słonecznika, łuskach ananasa czy szyszek są niejako wtórne. Podstawowa w procesie wzrostu rośliny jest zupełnie inna spirala, tzw. generatywna lub czasowa, która tworzy się, gdy rozpatrujemy zawiązki w kolejności ich powstawania.

Te, które pojawiły się wcześniej, zdążą się bardziej oddalić, dlatego kolejność zawiązków w spirali czasowej można ustalić, porównując ich odległości od stożka wzrostu.

63

Spiralę generatywną łatwo zauważyć dla stożków stromych np. badając położenie liści na łodydze lub płatków w kielichu róży.

W przypadku stożków płaskich spiralę taką trudno zauważyć, bo kolejne zawiązki mają niewielkie różnice odległości od centrum stożka, a duże odległości kątowe np. w kwiatostanie koszyczkowym słonecznika.

64

Widać wtedy wyraźnie spirale wtórne, co spowodowane jest przyzwyczajeniem ludzkiego oka do łączenia w linie tego, co się styka.

65

Kąt dywergencji

• Najważniejszym parametrem filotaksji jest odległość kątowa między kolejnymi zawiązkami (liści, pąków) na spirali generatywnej, czyli kąt zawarty między odcinkami poprowadzonymi z nich do wierzchołka.

66

Zawiązki nie powstają na stożku wzrostu chaotycznie, ale zawsze w jednakowych odstępach kątowych.

W zależności od wielkości kąta dywergencji otrzymujemy różne typy filotaksji.

Kąt dywergencji - cd

67

4 główne typy filotaksji

I. Układ zawiązków dla kąta dywergencji 180o

68

4 główne typy filotaksji

II. Whorled Phyllotaxis

69

4 główne typy filotaksji

III. Multijugate Phyllotaxis

70

4 główne typy filotaksji

IV. Spiral Phyllotaxis

71

Układ zawiązków dla kąta dywergencji 120o

72

Charakterystyka filotaksji

W przypadku dzielników 360o zawsze otrzymamy układ promieniście rozchodzących się linii prostych.

Podobną własność będą miały układy zawiązków dla kątów będących wymierną częścią kąta pełnego.

73

Dla niewymiernych części kąta pełnego otrzymamy układy spiralne.

00

00

00

5,1373602

53

92,137360414

13155

45,13736055

21

74

Złoty kąt

• Najczęściej występującym kątem dywergencji jest kąt 137,5o .

75

Złoty kąt

Można sprawdzić, że wielkość ta odpowiada złotemu podziałowi kąta pełnego.

Kąt pełny ma się tak do większej części podziału, jak większa cześć do mniejszej.

Zapisujemy złotą liczbę φ jako proporcję

x

x

x 360

360

76

Dostajemy z niej równanie kwadratowe, którego dodatnim pierwiastkiem jest

co jest dopełnieniem 137,50 do kąta pełnego

00 5,2223601

x

77

Na tarczy kwiatowej słonecznika widać wzór złożony z drobnych kwiatków, które stają się ziarnami, ułożony w spiralne linie rozchodzące się od środka ku brzegom.

Jedne linie skręcone są zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a inne przeciwnie.

Mają one kształt złotej spirali.

78

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Mimo pozornej symetrii liczby spiral w obu kierunkach nie są jednakowe.Jeśli je policzymy, otrzymamy kolejne liczby Fibonacciego.W większości tarcz słonecznika jest to 34 i 55, choć u pewnych gatunków bywa 21 i 34 lub 55 i 89.

79

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Podobnie z kwiatami kalafiora (5 i 8)

80

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Z brokułami (21 i 13)

81

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Z liśćmi sałaty

82

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Z łuskami ananasa

83

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Z szyszkami (13 i 8)

84

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Z aonium (2 i 3)

85

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Ponieważ na końcu każdej spirali powstaje

płatek, wyjaśnia to dlaczego liczby płatków w różnych kwiatach są zazwyczaj wyrazami ciągu Fibonacciego.

86

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Czyż te matematyczne regularności nie są wystarczającym dowodem magii liczb i ich wszechobecności?

Nawet, jeśli uwzględnimy, że miłośnicy liczb Fibonacciego dowolną obserwację potrafią przedstawić w taki sposób, by miała związek z ich liczbami, to powszechność ich występowania jest bardzo przekonująca.

87

Literatura

• Małgorzata Mikołajczyk, Jak rosną słoneczniki? Magazyn Miłośników Matematyki ( 2/2006)

• Złota liczba, Anna Bogdańska, Magazyn Miłośników Matematyki ( 2/2006)

• Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, WSiP, Warszawa 1988

• Liczby Fibonacciego, Anna Bogdańska, Magazyn Miłośników Matematyki ( 4/2005)

• www.math.smith.edu/~phyllo/

• www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html

88

Dziękujemy za uwagę.