ZMĚNA HYBNOSTIZMĚNA HYBNOSTI

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Gymnázium Sušice – Brána vzdělávání II

Mgr. Luboš KáňaGymnázium Sušicekvinta osmiletého studia a první ročník čtyřletého studia

F-1 · Fyzika hravě · DUM č. 15

Pohybová rovnice (neboli druhý Newtonův pohybový zákon) nám říká:

F = m a

Δ v

Δ ta =

A z kinematiky známe, že zrychlení tělesa nám vlastně udává změnu rychlosti za určitý čas:

Dosadíme za zrychlení a dostáváme:

Δ v

Δ tF = m

m Δ v

Δ t=F

m Δ v

Δ tF =

Nyní předpokládejme, že na hmotný bod o stálé hmotnosti m působí konstantní síla F po dobu Δt.

Síla F hmotnému bodu udělí zrychlení, čímž seza dobu Δt změní jeho rychlost z v1 na v2

a s tím samozřejmě také jeho hybnost z p1 na p2.

Pro změnu hybnosti Δp za dobu Δt platí:

p1 = m v1 p2 = m v2

Δp = p2 - p1 = mv2 - mv1 = m ( v2 - v1 )

Takto formulovaný druhý Newtonův pohybový zákon můžeme použít obecně i v případě, že se hmotnost hmotného bodu během pohybu mění.

Tento vztah nám vlastně jiným způsobem definuje druhý pohybový zákon:

m Δ v

Δ tF = Δp = m ( v2 - v1 ) = m Δ vΔp

Δ p

Δ tF =

Výsledná síla působící na hmotný bodje rovna podílu změny hybnosti hmotného bodu

a doby, po kterou síla působila.

Jednotkou impulsu síly je N.s,což je v základních jednotkách SI kg.m.s-1

a vidíme, že stejnou jednotku má i hybnost.

Tuto rovnici 2.NPZ vynásobíme Δt a dostáváme:

Δ p

Δ tF =

Součin síly a doby, po kterou působila, je vektorová fyzikální veličina, kterou nazýváme

IMPULS SÍLY

. Δ t

F Δ t = Δ p

IMPULS SÍLY vyjadřuje

ČASOVÝ ÚČINEK SÍLY

F Δ t = Δ p

Ze vztahu je jasné, že stejné změny hybnosti (u tělesa s konstantní hmotností jde vlastně

o změnu rychlosti) jaké jsme dosáhli určitou silou, dosáhneme i menší silou, pokud budeme působit

delší dobu.

Na následujících pokusech si ukážemeprincip časového účinku síly.

Ze stejné výšky spustíme dvě koule (A a B), tak aby získaly stejnou rychlost. První koule má hmotnost mA a druhá mB, přičemž hmotnost druhé (větší) koule je dvojnásobná (mB = 2x mA).

Obě koule byly zastaveny (uvedeny do klidu) díky stejně velké třecí síle Ft mezi kvádrem a podložkou (její velikost totiž závisí pouze na kvalitě a velikosti styčných ploch a hmotnosti kvádru).

A B

Protože ze stejné výšky (h) nabraly obě 2 koule stejnou rychlost v (v = √2hg ), platí pro získané počáteční hybnosti obou koulí, žepB1 = 2x pA1 (neboťpA1 = mAv a pB1 = mBv).

Ze stejné výšky spustíme dvě koule (A a B), tak aby získaly stejnou rychlost. První koule má hmotnost mA a druhá mB, přičemž hmotnost druhé (větší) koule je dvojnásobná (mB = 2x mA).

Pro velikost impulsu síly platí:

A B

Pro velikost změny hybnosti Δp u přímočarého pohybu obecně platí, žeΔp=|p2–p1|.

Protože obě koule jsou na konci jejich pohybu v klidu (pA2 = 0 a pB2 = 0), platí pro změny jejich hybností ΔpA = pA1 a ΔpB = pB1 a tedy .ΔpB = 2x ΔpA

F Δ t = Δ p

ΔpB = 2x ΔpA

Ze stejné výšky spustíme dvě koule (A a B), tak aby získaly stejnou rychlost. První koule má hmotnost mA a druhá mB, přičemž hmotnost druhé (větší) koule je dvojnásobná (mB = 2x mA).

A B

F Δ t = Δ p

Jak jsme říkali, velikost brzdné síly (třecí) je v případě obou koulí stejná,proto můžeme z výše uvedených vztahů odvodit:

F ΔtB = 2x F ΔtA

a tedy, jak je vidět i z poku-sů: ΔtB = 2x ΔtA

ΔpB = 2x ΔpA

Nyní zase ze stejné výšky spustíme dvě koule A a B (stejné jako předtím mB = 2x mA), aby opět získaly stejnou rychlost. Ovšem na zastavení těžší koule použijeme dvakrát těžší kvádr, který bude působit 2x větší brzdnou (třecí) silou.

Koule B je 2x těžší, mátedy i 2x větší velikost po-čáteční hybnosti. Po jejich zastavení tedy platí vztah, který jsme již odvodili:

FB ΔtB = 2x FA ΔtA

Výše je uvedeno, že pro velikost brzdných sil platíFB = 2x FA a tedy:

ΔtB = ΔtA

A B

Po dosazení impulsů síly:

Jak bylo poznat z předchozích pokusů:

F Δ t = Δ p

Stejné změny hybnosti, což

znamená stejného impulsu síly,

dosáhneme buď působením menší

síly delší dobunebo větší sílykratší dobu.

Ukázkové řešení příkladů

Do lavice nyní dostanete pracovní listy, na kterých si vyzkoušíte vyřešení dvou ukázkových příkladů

Příklad č. 1:

Jakou hmotnost měl vagón, na který působila lokomotiva silou 6 kiloNewtonů po dobu 20 sekund a za tu dobu mu tak zvýšila rychlost z 15 m.s-1 na 25 m.s-1?

Příklad č. 2:

Basketbalový míč o hmotnosti 0,6 kilogramu padal volným pádem z výšky 5 metrů na asfaltovou silnici. Po odrazu, který trval 0,01 sekundy měl rychlost 80% z rychlosti při dopadu. Jakou silou působila silnice na míč během odrazu?

Příklad č. 1:

Jakou hmotnost měl vagón, na který působila lokomotiva silou 6 kN po dobu 20 s a za tu dobu mu tak zvýšila rychlost z 15 m.s-1 na 25 m.s-1?

t = 20 sv0 = 15 m.s-1

Vagón měl hmotnost 12 tun.

v = 25 m.s-1

m = ?

Δp = m. Δv

ΔpΔv

m =

v = v0 + at

v - v0

t a =

F = 6 kN = 6000 N

m = Fa

a = 0,5 m.s-2

m = 6000 N 0,5 m.s-2

m = 12000 kg

m = 12 t

Δp = F.Δt ( = Δt )

Δv = v - v0

F. Δtv - v0

m =

6000 . 2025 - 15

m = = 12000 kg

m = 12 t

Příklad č. 2:

Basketbalový míč o hmotnosti 0,6 kg padal volným pádem z výšky 5 m na asfaltovou silnici. Po odrazu, který trval 0,01 s měl rychlost 80% z rych-losti při dopadu. Jakou silou působila silnice na míč během odrazu?

h = 5 mΔt = 0,01 s

Silnice působila na míč silou 1080 Newtonů.

v2 = 0,8 . v1

F = ?

m = 0,6 kg F.Δt = Δp

Δv = v2 - v1

v1 = ?

v1 = √ 2 h g

v1 = √ 2 . 5 . 10v1 = 10 m.s-1

v2 = 0,8 . v1

Δp = m. Δv

v2 = 8 m.s-1ΔpΔt

F =

m. ΔvΔt

F =U zjišťování velikosti Δv rozdílu rychlostí v2 a v1 je třeba si uvědomit, že jde o vektory, které mají opačný směr.

|Δv| = |v2| - (-|v1|)

Δv = 8 - (-10) = 8+10 m.s-1 Δv = 18 m.s-1

0,6 . 180,01

F = N

F = 1080 N

Přík

lad

č. 1

:

Jakou h

motn

ost m

ěl v

ag

ón, n

a k

terý

půso

bila

lokom

otiv

a silo

u 6

 kN

po d

ob

u

20 s

a za

tu d

ob

u m

u ta

k zv

ýšila

rych

lost z 1

5 m

.s-1 n

a 2

5 m

.s-1?

Přík

lad

č. 2

:

Baske

tbalo

vý m

íč o h

motn

osti 0

,6 k

g p

ad

al v

oln

ým

pád

em

z výšk

y 5

m n

a

asfa

ltovou siln

ici. Po o

dra

zu, k

terý

trval 0

,01 s

měl ry

chlo

st 80%

z rych

-losti

při d

op

ad

u. Ja

kou silo

u p

ůso

bila

silnice

na m

íč během

od

razu

?

PR

AC

OV

NÍ L

IST

PR

AC

OV

NÍ L

IST

ZMĚNA HYBNOSTIVytvořeno v rámci projektu Gymnázium Sušice - Brána vzdělávání II

Autor: Mgr. Luboš Káňa, Gymnázium SušicePředmět: Fyzika, mechanikaDatum vytvoření: prosinec 2012 Třída: kvinta osmiletého gymnázia a první ročník čtyřletého gymnáziaOznačení: VY_32_INOVACE_F-1_15

Anotace a metodické poznámky:

Tento materiál slouží učiteli k názornosti výkladu problematiky změny hybnosti hmotného bodu v rámci výuky dynamiky na střední škole. Dle animovaně znázorněných pokusů mohou žáci sami přijít na podmínky změny hybnosti těles, resp. hmotných bodů, a osvojit si podstatu časového účinku síly. Zavedou si veličinu impuls síly. Dojdou také k alter-nativní, a také obecnější, formulaci druhého Newtonova pohybového zákona. Jednotlivé úvahy jsou zobrazovány postupně po stisku klávesy „Page Down“ nebo stisknutím levého tlačítka myši tak, aby žáci mohli sami projevovat svoje postřehy a předpoklady. Součástí tohoto učebního materiálu jsou zároveň také dva vzorové příklady, které se řeší rovněž postupně s komentářem učitele, přičemž strana 16 této prezentace slouží jako pracovní list, který se vytiskne a rozdá žákům, aby mohli řešit vzorové úkoly spolu s učitelem dle prezentace. Tyto listy jim pak nadále zůstanou jako vzorové řešení podobných příkladů pro domácí studium. Samotná prezentace určená pro projekci žákům začíná na straně 3 a končí na straně 15.

ZMĚNA HYBNOSTI Vytvořeno v rámci projektu Gymnázium Sušice - Brána vzdělávání II

Autor: Mgr. Luboš Káňa, Gymnázium SušicePředmět: Fyzika, mechanikaDatum vytvoření: prosinec 2012 Třída: kvinta osmiletého gymnázia a první ročník čtyřletého gymnáziaOznačení: VY_32_INOVACE_F-1_15

Použité materiály:

BEDNAŘÍK, Milan, RNDr., CSc. + ŠIROKÁ, Miroslava, doc. RNDr., CSc.,Fyzika pro gymnázia, Mechanika. Prometheus 2010, ISBN 978-80-7196-382-0

Animace a použité vzorové příklady jsou dílem autora prezentace Mgr. L. Káni.Prezentace je vytvořena pomocí nástrojů MS Power Point 2007.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávánína všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému

zákonu.