要点梳理1. 等差数列的定义 如果一个数列 ,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母
表示 .
2. 等差数列的通项公式 如果等差数列 {an} 的首项为 a1 ,公差为 d ,那么它
的 通项公式是 .
§6.2 等差数列及其前 n项和
从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数
公差
d
an=a1+ ( n-1 ) d
基础知识 自主学习
3. 等差中项
如果 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
4. 等差数列的常用性质( 1 )通项公式的推广: an=am+ ,( n ,
m∈N* ) .
( 2 ) 若 {an} 为 等 差 数 列 , 且 k+l=m+n ,
( k , l , m , n∈N* ),则 .( 3 )若 {an} 是等差数列,公差为 d ,则 {a2n}
也是等 差数列,公差为 .( 4 ) 若 {an} , {bn} 是 等 差 数 列 , 则
{pan+qbn} 是
.
2d
ak+al=am+an
(n-m)d
等差数列
2ba
A
( 5 ) 若 {an} 是 等 差 数 列 , 则 ak , ak+m ,
ak+2m ,…( k , m∈N* )是公差为 的等差数列 .
5. 等差数列的前 n 项和公式
设等差数列 {an} 的公差为 d ,其前 n 项和 Sn=
或 Sn= .
6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn= .
数列 {an} 是等差数列的充要条件是其前 n 项和公
式 Sn=f ( n )是 n 的
,即 Sn= .
md
2)( 1 naan
dnn
na2)1(
1
nd
and
)2
(2 1
2
An2+Bn ,( A2+B2≠0 )
二次函数或一次函数且不含常数
项
7. 在等差数列 {an} 中, a1 > 0 , d< 0 ,则 Sn 存在最
值;若 a1 < 0,d> 0, 则 Sn 存在最 值 .
8. 等差数列与等差数列各项的和有关的性质
( 1 )若 {an} 是等差数列,则 也成 数列,
其首项与 {an} 首项相同,公差是 {an} 公差的 .
( 2 ) Sm , S2m , S3m 分别为 {an} 的前 m 项,前 2m 项,
前 3m 项的和, Sm , S2m-Sm , S3m-S2m 成 数列 .
小
等差
nSn
21
等差
大
( 3 )关于等差数列奇数项与偶数项的性质
① 若项数为 2n ,则 S 偶 -S 奇 = , = .
② 若项数为 2n-1 ,则 S 偶 = ( n-1 ) an , S 奇 =
an , S 奇 -
S 偶 = ,
(4) 两 个 等 差 数 列 {an} 、 {bn} 的 前 n 项 和
Sn 、 Tn 之间
的关系为: = .
nd
n
an
偶
奇
S
S
.1
nn
S
S
偶
奇
1n
n
aa
n
n
ba
12
12
n
n
TS
基础自测1. ( 2009· 辽宁文, 3 ) {an} 为等差数列,且
a7-
2a4=-1,a3=0, 则公差 d= (
)
A.-2 B. C. D.2
解析 根据题意得 a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,
∴a1=1. 又∵ a3=a1+2d=0,∴d=
B
21
21
.21
2. 已知数列 {an} 中 ,a1=1, 则 a10 等于( )
A. B.
C. D. 以上都不对
解析 由 a1=1, 得 为等差数列 .
∴
∴
B,3111
1
nn aa
3111
1
nn aa
na1
,32
31
31
)1(11
1
nnaan
.41
,432
3101
1010
aa
51
41
61
3. ( 2009· 福建理, 3 )等差数列 {an} 的前 n
项和为 Sn, 且 S3=6,a3=4, 则公差 d 等于
( )
A.1 B. C.2 D.3
解析 设 {an} 首项为 a1, 公差为 d,
则 S3=3a1+ d=3a1+3d=6,
a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.
C
35
223
4. 已知等差数列 {an} 的前 13 项之和为 39 ,则
a6+a7+a8
等于 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
解析 由 S13= =13a7=39 得 a7=3 ,
∴a6+a7+a8=3a7=9.
B
2)(13 131 aa
5. 设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和,若 则
等于 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.
解析 由等差数列的性质,
A
,95
3
5 aa
5
9
SS
21
,9
5
2
2
51
91
3
5
3
5 aa
aa
a
a
a
a
.195
59
59
2)(5
2)(9
51
91
51
91
5
9
aaaa
aa
aa
SS
题型一 等差数列的判定【例 1 】已知数列 {an} 的通项公式 an=pn2+qn
(p 、 q∈R ,且 p 、 q 为常数 ).
( 1 )当 p 和 q 满足什么条件时,数列 {an} 是等差
数列;( 2 )求证:对任意实数 p 和 q, 数列 {an+1-an} 是
等差数列 .
(1)由定义知 ,{an}为等差数列 ,an+1-an
必为一个常数 .
(2)只需推证 (an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数 .
思维启迪
题型分类 深度剖析
(1) 解 an+1-an= [ p(n+1)2+q(n+1) ] -
(pn2+qn)
=2pn+p+q,
要使 {an} 是等差数列 , 则 2pn+p+q 应是一个与 n
无关的常数 , 所以只有 2p=0, 即 p=0, .
故当 p=0 , 时,数列 {an} 是等差数列 .
(2) 证明 ∵ an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p 为一个常数 .
∴{an+1-an} 是等差数列 .
Rq
Rq
探究提高 证明或判断一个数列为等差数列 ,通常有两种方法 :(1) 定义法 :an+1-an=d;(2) 等差中项法 :2
an+1=an+an+2. 就本例而言 , 第 (2) 问中 , 需证明 (an+
2-an+1)-(an+1-an) 是常数 ,而不是证 an+1-an 为常数 .知能迁移 1 设两个数列 {an},{bn} 满足 bn=
若 {bn} 为等差数列,求证:
{an} 也为等差数列 .
,321
32 321
n
naaaa n
证明 由题意有 a1+2a2+3a3+…+nan= ①
从而有 a1+2a2+3a3+…+ ( n-1 ) an-1
= bn-1 ,( n≥2 ) ②2)1( nn
nbnn2)1(
由① -② ,得 nan=
整理得 an=
其中 d 为 {bn} 的公差( n≥2 ) .
从而 an+1-an=
( n≥2 ) .
又 a1=b1,a2= d+b1,∴a2-a1= d,
所以 {an} 是等差数列 .
,2)1(
2)1(
1
nn bnn
bnn
,2
1 nn bbnd
22
)1( 11 nnnn bbndbbdn
ddd
23
22
23
23
题型二 等差数列的基本运算【例 2 】在等差数列 {an} 中,
( 1 )已知 a15=33,a45=153, 求 a61;
( 2 )已知 a6=10,S5=5 ,求 a8 和 S8 ;
( 3 )已知前 3 项和为 12 ,前 3 项积为 48 ,且d > 0,
求 a1.
在等差数列中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其他两个量,其中 a1 和 d是两个最
基本量,利用通项公式与前 n项和公式,先求出a1 和 d.
思维启迪
解 ( 1 )方法一 设首项为 a1, 公差为 d, 依条件得
33=a1+14d a1=-23,
153=a1+44d d=4.
∴a61=-23+(61-1)×4=217.
方法二 由
由 an=am+(n-m)d,
得 a61=a45+16d=153+16×4=217.
, 解方程组得
,43033153
1545, 1545
aa
dmnaa
d mn 得
( 2 )∵ a6=10,S5=5,∴
解方程组得 a1=-5,d=3,
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
a1+5d=10
5a1+10d=5.
S8=8× =44.
(3) 设数列的前三项分别为 a-d,a,a+d, 依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12
(a-d)·a·(a+d)=48,
a=4 a=4
a(a2-d2)=48 d=±2.
∵d > 0,∴d=2,a-d=2.
∴ 首项为 2.∴a1=2.
2)( 81 aa
, ∴∴
方程思想是解决数列问题的基本思想,通过公差列方程(组)来求解基本量是数列中最基本的方法,同时在解题中也要注意数列性质的应用 .
探究提高
知能迁移 2 设 {an} 是一个公差为 d (d≠0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10=110 且 a1,a2,a4
成等比数列 .
( 1 )证明 a1=d;
( 2 )求公差 d 的值和数列 {an} 的通项公式 .
( 1 ) 证 明 因 为 a1,a2,a4 成 等 比 数 列 , 故
=a1a4.
而 {an} 是等差数列,有 a2=a1+d,a4=a1+3d.
于是 (a1+d)2=a1(a1+3d),
即 +2a1d+d2= +3a1d. 化简得 a1=d.
( 2 )解 因为 S10=110 , S10=10a1+ d ,
所以 10a1+45d=110.
由( 1 ) a1=d, 代入上式得 55d=110,
故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n.
因此,数列 {an} 的通项公式为 an=2n,n=1,2,3,
….
22a
21a
2910
21a
题型三 等差数列的性质及综合应用【例 3 】 ( 12 分)在等差数列 {an} 中,已知
a1=20, 前 n 项和为 Sn ,且 S10=S15 ,求当 n 取
何值时, Sn 取得最大值,并求出它的最大值 .
( 1)由 a1=20及 S10=S15 可求得 d,进而求
得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用 Sn 是关于 n的二次函数,利用二次函数求最值
的方法求解 .( 2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号 .
思维启迪
解 方法一 ∵ a1=20 , S10=S15 ,
∴10×20+ d=15×20+ d ,
∴d= 4 分
∴an=20+ ( n-1 ) × 8 分
∴a13=0.
即当 n≤12 时, an > 0,n≥14 时, an < 0. 10 分
∴ 当 n=12 或 13 时, Sn 取得最大值,且最大值为
S12=S13=12×20+ =130. 12 分
2910
21415
.35
.3
65
3
5)3
5( n
)3
5(
2
1112
方法二 同方法一求得 d= 4 分
∴Sn=20n+
=
= 8 分∵n∈N+,∴ 当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值,
且最大值为 S12=S13=130. 12
分
方法三 同方法一得 d= 4 分又由 S10=S15, 得 a11+a12+a13+a14+a15=0.
8 分∴5a13=0, 即 a13=0. 10
分∴ 当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值,
且最大值为 S12=S13=130. 12 分
.35
)35
(2)1( nn
nn6125
65 2
.241253
)225
(65 2 n
.35
探究提高 求等差数列前 n项和的最值,常用的方法:( 1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;( 2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;( 3 )利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn ( A 、 B 为常
数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值 .
知 能 迁 移 3 在 等 差 数 列 {an}
中, a16+a17+a18=a9=-36, 其前 n 项和为 Sn.
( 1 )求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值;
( 2 )求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
解 ( 1 )设等差数列 {an} 的首项为 a1, 公差为d,
∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,
∴d= =3,
∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,
an=3n-63≤0
an+1=3n-60≥0
∴S20=S21=
∴ 当 n=20 或 21 时, Sn 最小且最小值为 -630.
824
917917
aa
令 , 得 20≤n≤21,
,6302
)]3(60[20
( 2 )由( 1 )知前 20 项小于零,第 21 项等于0 ,以后
各项均为正数 .
当 n≤21 时, Tn=-Sn=
当 n > 21 时, Tn=Sn-2S21=
2)63360( nn
.2123
23 2 nn
2122
)63360(S
nn
.26012
123
2
3 2 nn
综上, Tn=( n≤21 , n∈N* )
( n> 21,n∈N* ) .
26012123
23
2123
23
2
2
nn
nn
方法与技巧1. 等差数列的判断方法有 (1) 定义法: an+1-an=d (d 是常数 ){an} 是等
差数列 .
(2) 中项公式: 2an+1=an+an+2 (n∈N*){an} 是
等差数列 .
(3) 通项公式: an=pn+q(p,q 为常数) {an} 是
等差数列 .
(4) 前 n 项和公式: Sn=An2+Bn ( A 、 B 为常
数) {an} 是等差数列 .
思想方法 感悟提高
2. 方程思想和基本量思想:在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立
方程(组)获得解 .
3. 等差数列的通项公式本身可以由累加法得到 .
4. 等差数列的前 n 项和公式 Sn= 很像梯形面
积公式,其推导方法也与梯形面积公式的推导方
法完全一样 .
5. 等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ d 可以变
形为 类似于匀加速直线运动的路程公式,
只要把 d 理解为加速度 .
2)( 1 naan
2)1( nn
,)2
(21
12 n
dadnSn
失误与防范1. 如 果 p+q=r+s, 则 ap+aq=ar+as, 一 般
地, ap+aq≠ap+q ,必须是两项相加,当然可以是ap-t+ap+t=2ap.
2. 等差数列的通项公式通常是 n 的一次函数,除非公差 d=0.
3. 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0. 若某数列的前 n 项和公式是 n 的常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列 .
4. 公差 d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计
算 .
5. 当 d 不为零时,等差数列必为单调数列 .
6. 从一个等差数列中,每隔一定项抽出一项,组成的数列仍是等差数列 .
,mn
aa mn
一、选择题
1. ( 2008· 广东理, 2 )记等差数列 {an} 的前 n
项和为 Sn ,若 a1= , S4=20 ,则 S6 等于
( )
A.16 B.24 C.36 D.48
解 析 ∵ S4=2+6d=20 , ∴ d=3 , 故
S6=3+15d=48.
D21
定时检测
2. ( 2009·安徽文, 5 )已知 {an} 为等差数列,
a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, 则 a20 等 于
( )
A.-1 B.1 C.3 D.7
解析 由已知得 a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2.
∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.
B
3. ( 2009·湖南文, 3 )设 Sn 是等差数列 {an}
的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11, 则 S7 等于
( )
A.13 B.35 C.49 D.63
解析 ∵ a1+a7=a2+a6=3+11=14.
∴S7=
C
.492
)(7 71 aa
4. ( 2009· 宁夏、海南理, 7 )等比数列 {an} 的
前 n 项和为 Sn, 且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若
a1=1, 则 S4=
()
A.7 B.8 C.15 D.16
解析 设等比数列的公比为 q ,则由 4a1,2a2,a3 成
等 差 数 列 , 得4a2=4a1+a3.∴4a1q=4a1+a1q2.∴q2-
4q+4=0.
∴q=2,∴S4=
C
.151
)1( 41
qqa
5. 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d (d≠0) , 且
a3+a6
+a10+a13=32, 若 am=8 ,则 m 为
( ) A.12 B.8 C.6 D.4
解析 由等差数列性质 a3+a6+a10+a13
=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8.∴m=8.
B
6. 各项均不为零的等差数列 {an} 中,若 -an-1-
an+1=0
(n∈N* , n≥2) ,则 S2 009 等于 (
)
A.0 B.2 C.2 009 D.4 018
解析 ∵ =an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2.
∴Sn=2n,S2 009=2×2 009=4 018.
D
2na
2na
二、填空题
7. ( 2009· 辽宁理, 14 )等差数列 {an} 的前 n
项和为 Sn, 且 6S5-5S3=5, 则 a4= .
解析 由题意知 6
+45d=15(a1+3d)=15a4=5, 故 a4= .
111 15)2
233(5)
2
455( adada
31
31
8. ( 2009· 全国Ⅱ理, 14 )设等差数列 {an} 的
前 n 项和为 Sn, 若 a5=5a3, 则 = .
解析 设等差数列的公差为 d, 首项为 a1,
则由 a5=5a3 知 a1
95
9
S
S
.9)2(5)4(9
,23
1
1
5
9 dada
SS
d
9. 已 知 Sn 为 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 若
a2∶a4=
7∶6 ,则 S7∶S3 等于 .
解析 ∵
2∶1
,76
,67
2
4
4
2 aa
aa
.2,76
3171
,76
331
771
3
7
3
7
2
4
SS
S
S
a
a
三、解答题10. 在 数 列 {an} 中 , a1=1,3anan-1+an-an-1=0
(n≥2).
( 1 )求证:数列 是等差数列;
( 2 )求数列 {an} 的通项 .
( 1 )证明 因为 3anan-1+an-an-1=0 (n≥2),
整理得 =3 (n≥2).
所以数列 是以 1 为首项, 3 为公差的等差数列 .
( 2 )解 由( 1 )可得 =1+3(n-1)=3n-2,
所以 an=
na1
na1
1
11
nn aa
na1
.23
1n
11. 已 知 数 列 {an} 中 , a1= , an=2-
(n≥2, n∈N*), 数列 {bn} 满足 bn= (n∈N*).
( 1 )求证:数列 {bn} 是等差数列;
( 2 )求数列 {an} 中的最大项和最小项,并说明
理由 .
( 1 )证明 因为 an=2- (n≥2,n∈N*),bn=
所以当 n≥2 时, bn-bn-1=
53
1
1
na
11na
11na
11
11
1
nn aa
1
1
na
.11
111
1
1)1
2(
1
11
1
1
1
nn
n
n
n
aaa
aa
又 b1=
所以,数列 {bn} 是以 - 为首项,以 1 为公差的
等差数列 .
25
.25
11
1
a
( 2 )解 由( 1 )知, bn=n- , 则 an=
设函数 f(x)=1+ 易知 f(x) 在区间 (-∞, )
和 ( ,+∞)内为减函数 .
所以,当 n=3 时, an 取得最小值 -1 ;
当 n=4 时, an 取得最大值 3.
27
27
27
.72
21
11
nbn
72
2
x
12. 已 知 数 列 {an} 中 , a1=5 且 an=2an-1+2n-1
(n≥2 且 n∈N*).
( 1 )求 a2,a3 的值;
( 2 )是否存在实数 ,使得数列 为等差数列 ,
若存在,求出 的值;若不存在 ,请说明理由 .
解 ( 1 )∵ a1=5 ,
∴a2=2a1+22-1=13 , a3=2a2+23-1=33.
( 2 )方法一 假设存在实数 ,使得数列 为等 差数列,
nna
2
nna
2
设 bn= , 由 {bn} 为 等 差 数 列 , 则 有
2b2=b1+b3,
∴2×
解得 =-1.
事实上,
综上可知,存在实数 =-1, 使得数列 为等
差数列 .
nna
2
nna
2
,222 331
22 aaa
,8
3325
213
nn
nn
nnaa
bb2
1
2
11
11
.1]1)12[(2
1
]1)2[(2
1
11
11
nn
nnn aa
方法二 假设存在实数 , 使得 为等差数列 .
设 bn= , 由 {bn} 为等差数列,
则有 2bn+1=bn+bn+2 (n∈N*) ,
∴2×
∴ =4an+1-4an-an+2
=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)
=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1 ,综上可知,存在实数 =-1, 使得数列 为等差数列 .
nna
2
nna
2
,222 22
11
nn
nn
nn aaa
nna
2
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