Wang chenggang
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摘 要: 本章主要介绍投影法的基本知识,并将投影法直接——应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素
点、直线、平面的投影分析,从而为组合体的投影表达、读图分析提供必要的理论基础及方法。
投影法 点的投影 直线的投
影 平面的投影
第 2 章 点、直线、平面的投影
2.1
2.2
2.3
2.4
换面法2.5
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承影面
影子
光线
物体光源
2.1.1 投影法的形成及分类
2.1 投影法
物体在光线照射下 ,能在面上产生影子 !S
投影面
投影中心
几何元素
投影的三要素
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投影 (图 )
形体 投射线
投影面
投射方向 投射方向投影 (图 )
形体
投射线
投影面
投影法中心投影法
平行投影法
斜投影法
正投影法平行投影法
2.1.1 投影法的形成及分类
利用投影能把三维物体表达在平面上
点的一个投影不能确定点的空间位置 !
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2.2 点的投影一、点在两投影面体系第一分角中的投影1、两投影面体系的建立
H
V
1
2
3
4
2、点的两面投影
OX
V
H
OX
A
a
a’
ax
用两个相互垂直的平面为影平面 ,构成两投影面体系
正立投影面
水平投影面投影轴
分角
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一、点在两投影面体系第一分角中的投影
V
H
OX
A
a
a’
ax
2、点的两面投影
保持 V面正李位置不变 ,使 H面绕 OX轴相下旋转 90º!
OX
V
Ha
a’
ax
两面投影图
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2、点的两面投影一、点在两面体系第一分角中的投影
( 1)同一点的两面投影连线垂直于投影轴
( 2)点的投影到投影轴的距离,等于该点与相邻投影面的距离。
OX
V
H
a
a’
axOX
a
a’
ax
两面投影图
点的投影规律
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影1、三投影面体系的建立 2、点的三面投影
V
H
OX
A
a
a’
axW
a’’
Z
Y
OX
V
Ha
a’
ax
wa’’
保持 V面正李位置不变 ,使 H面绕 OX轴 ,W面绕 OZ轴分别
相下相后旋转 90º!
Wang chenggang
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影
2、点的三面投影
( 2)点的投影到投影轴的距离,等于该点与相邻投影面的距离。
OX
V
H
a
a’
ax
wa’’
( 1)同一点的两面投影连线垂直于投影轴
三面投影图Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a
ax
az
相等 !
水平投影到 OX轴的距离等于其侧面投影到 OZ轴的距离 !
Wang chenggang
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影2、点的三面投影
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a
ax
az
45º
ax
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
az
例 :已知 A点的正面投影和侧面投影 ,求其水平投影
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3 点的直角坐标二、点在三投影面体系第一分角中的投影
V
H
OX
A
a
a’
axW
a’’Xa
Ya
Za
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a
Xa
Ya
Za
Ya
Za
将投影轴视为笛卡尔坐标系的坐标轴 ,, 则点的投影与其直角坐标一一对应 .
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例 2-2:已知点 A( 25, 20, 30),试求其三面投影。
二、点在三投影面体系第一分角中的投影
25
30
25
X O
Z
YW
YH
a’
a
a’’
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特殊位置点的投影
X O YW
YH
a’
a
a’’
1:投影面上的点 :投影面上的点 ,到该投影面的距离为 0,故它的
一个投影与本身重合 ,另两面投影在投影轴上 ,.
B’ ZB”
b
A点在 H面上
B点在 V面上 2:投影轴上的点 :投影面轴的点 ,到两个投影面的距离
为 0,故它有两面投影重合在投影轴上 ,
另一投影与坐标圆点重合 .,.
c
c’ c’’
C点在 OY轴上
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4、两点的相对位置二、点在三投影面体系第一分角中的投影
V
H
OX
A
a
a’
axW
a’’B
b’
b’’
b
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a
b’
b’’
b
两点的相对位置 ,是指它们上下左右前后间的关系
反映两点上下 ,左右 反映两点上下 ,前后
反映两点左右 ,前后
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X
Z
YW
YH
O
a′ a"
返回
b′
b
b"
a
5
8
9
例:已知 A点在 B点之前 5毫米,上 9毫米,右 8毫米,求 A点的投影
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5、重影点二、点在三投影面体系第一分角中的投影
当空间两个点处于同一投射线上时,它门在与该投射线垂直的投影面上的投影必重合,。此两点称为该投影面的重影点 。
在投影图上常把不可见的投影点加上括号。
V
H
OX
A
a
a’
axW
a’’
b’’
b
b’B
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a (b)
b’ b’’
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例:判断 A、 B两点, C、 D两点的相对位置。
X
Z
YW
YH
O
a′ a"
c′
c
a(b)
b′
d′
d
c"(d")
A点在 B点的正上方
C点在 D点的正左侧
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2-3 直线的投影直线的投影一般仍为直线,特殊情况投影为一点。
一、概述:
直线的投影可由直线上任意两点的同面投影确定。
b’’
b’
Z
OX
a’’a’
Yh
Yw
a
b
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二、直线上的点
V
1.点在直线上,点的投影必在直线的同面投影上。反之,若点的各面投影均在直线的同面投影上,点一定在直线上。
2.直线上的点,分直线段的长度比,等于其投影分直线段投影的长度之比。
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例 2-5:已知 AB直线的投影,在其上作出一点C , 使 AC: CB=2: 3。
2
5
c
c’
分析 :利用平行线截的比例线段先在一面投影山作出 2:3的投影点
作图 :
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三 . 直线与投影体系的关系
( 1) 直线的分类
直线一般位置直线:与三个投影面都倾斜的直线 (简称一般位置线 )
特殊位置直线
投影面平行线:仅平行于一个投影面的直线
( V∥ :正平线;∥ H:水平线;∥ W:侧平线 )
投影面垂直线:垂直于一个投影面的直线
(⊥V:正垂线 ⊥; H:铅垂线 ⊥; W:侧垂线 )
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ba
b
a
a b
ba
ba
a b
ABγ
γ
β
ββ
γ
•投影特性:•1.a′b′= //OX, a" b" //OY。•2. ab=AB。•3.反映、 角的真实大小。
1、投影面平行线
ox
z
yH
yW
V
H
W
OX
Y
Z
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表 2.1 投影面平行线
1 1)在所平行投影面上的投影反映实长,且它与投影轴的夹 角,分别等于直线与其它两个投影面的倾角 。
2) 在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,长度缩
短 。
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2、投影面垂直线
V
X O
Z
Y
o
z
X
YH
YWb
aa
b
A
B b
a
a
b
a(b) a(b)
投影特性:•1.a b 积聚成一点。•2.a′b′OX ; a″b″ OY 。•3.a′b′= a″b″=AB。
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表 2.2 投影垂直线
1)在所垂直投影面上的投影积聚为一点。 2 )在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴,并且反映直线的实长。
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3、一般位置直线
b
a
b
a
a
bγ
α
β
.投影特性:•1.a b、 a′b′、 a″b″小于实长。•2.a b、 a′b′、 a″b″均倾斜于投影轴。•3. 不反映 、 、 实角。
oX
Z
YH
YW
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V
H
OX
一般位置直线的实长及对投影面的倾角
=ab
a’ax-b’bx
AB
倾角
a
b
a’
b’
X O
ab
a’b’
a’ax-b’bxAB
ß
一般位置直线的投影不反映其空间长度
及其对投影面的倾角 ,可用直角三角形
法作图求出
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例 2-6:已知直线 AB的正面投影及端 A点的水平投影 α,且已知 AB 直线对 V面倾角为 30°, B点在 A点的后方,求作 AB直线的水平投影。
=a’b’
b
a’
b’
X O
a
=30º
分析 :已知正面投影即知道一直角边的长度 ,又知 V面倾角为 30°
就是知道斜边与正面投影直角边的夹角 ,能够作出该直角三角形 ,
另一直角边就是 A,B两点与 V面的距离差 .
作图 :
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四、直线与直线的相对位置
平行两直线的所有同面投影都互相平行,且具有定比性。
相交两直线的所有同面投影都相交,其交点符合点的投影 规 律 ,且具有定比性。
1
2
3
( )交叉两直线的某个投影可能会出现平行,但不会三个投影都平行。
( )交叉两直线所有同面投影可能都相交,但相交处是重影点而不是交点。
( )重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。
a 'a '
b ' b '
c ca a
b b
c ' c '
d 'd '
d d
a ''
b '' c ''
d ''
a
b b
a
a ''
b ''
c c
c ''
d ''d '
c ' a '
b '
d
a '
b '
c '
d '
d
aa
b b c
c
d d
a ''
b '' c ''
d ''d '
b ' c '
a 'a '
d '
b ' c '
a ' a '
b ' b '
c ' c '
d ' d '
a ''
b '' c ''
d ''
d
c b
aa
b cd
K
1
k
BC
D2
3
4
1
2
3
1
2
4
2 1
21
1 2
3
4
( )
( )
( )2
4
13
1
2
k
kk k
空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性
平
行
两
直
线
相
交
两
直
线
交
叉
两
直
线
X
Z
O
YH
YW
X O
YH
YW
Z
Z
OX YW
YH
YH
YW
Z
X O
空两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉(异 面),1;平行两直线
平行两直线的所有同面投影都互相平行,且具有定比性。
相交两直线的所有同面投影都相交,其交点符合点的投影 规 律 ,且具有定比性。
1
2
3
( )交叉两直线的某个投影可能会出现平行,但不会三个投影都平行。
( )交叉两直线所有同面投影可能都相交,但相交处是重影点而不是交点。
( )重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。
a 'a '
b ' b '
c ca a
b b
c ' c '
d 'd '
d d
a ''
b '' c ''
d ''
a
b b
a
a ''
b ''
c c
c ''
d ''d '
c ' a '
b '
d
a '
b '
c '
d '
d
aa
b b c
c
d d
a ''
b '' c ''
d ''d '
b ' c '
a 'a '
d '
b ' c '
a ' a '
b ' b '
c ' c '
d ' d '
a ''
b '' c ''
d ''
d
c b
aa
b cd
K
1
k
BC
D2
3
4
1
2
3
1
2
4
2 1
21
1 2
3
4
( )
( )
( )2
4
13
1
2
k
kk k
空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性
平
行
两
直
线
相
交
两
直
线
交
叉
两
直
线
X
Z
O
YH
YW
X O
YH
YW
Z
Z
OX YW
YH
YH
YW
Z
X O
2;相交两直线
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2;相交两直线
平行两直线的所有同面投影都互相平行,且具有定比性。
相交两直线的所有同面投影都相交,其交点符合点的投影 规 律,且具有定比性。
1
2
3
( )交叉两直线的某个投影可能会出现平行,但不会三个投影都平行。
( )交叉两直线所有同面投影可能都相交,但相交处是重影点而不是交点。
( )重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。
a 'a '
b ' b '
c ca a
b b
c ' c '
d 'd '
d d
a ''
b '' c ''
d ''
a
b b
a
a ''
b ''
c c
c ''
d ''d '
c ' a '
b '
d
a '
b '
c '
d '
d
aa
b b c
c
d d
a ''
b '' c ''
d ''d '
b ' c '
a 'a '
d '
b ' c '
a ' a '
b ' b '
c ' c '
d ' d '
a ''
b '' c ''
d ''
d
c b
aa
b cd
K
1
k
BC
D2
3
4
1
2
3
1
2
4
2 1
21
1 2
3
4
( )
( )
( )2
4
13
1
2
k
kk k
空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性
平
行
两
直
线
相
交
两
直
线
交
叉
两
直
线
X
Z
O
YH
YW
X O
YH
YW
Z
Z
OX YW
YH
YH
YW
Z
X O
四、直线与直线的相对位置
Wang chenggang
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例:判断两側平线 AB、 CD的相对位置。方法一:作出 AB直线的侧面投影,因 α//b// c∥ //d//,所以 AB C ∥
方法二:分别连接 AC、 BD 成直线,
AB平行 CD
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例:如图所示,求作一直线使与直线 AB 平行且与直 线 ,CD,EF相交 .
e
c’
a’
b’
a
b
cd
d’
e’
f’
f
m
n
m’
n/分析 :
作图 :
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五、一边平行投影面的直角的投影1:两条互相垂直的直线,如果其中一直线为投影面的平行线,则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。
2:如果两直线在同一投影面上的投影互相垂直,且其中一直线为对该投影面的平行线,则空间两直线互相垂直。
Wang chenggang
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例:试求 A点与水平线 MN间的距离。 分析:从点作直线的垂线,点和垂足间的线段长是该点与直线间的距离。直线MN为水平线,故可从水平投影入手先作垂直线。
b
b’
=a’b’
距离 AB
作图:: 1.作 αb垂直于 mn,交 mn于 b,按投影关系作出 b/,连接 α/b/,得距离 AB 的两面投影。
2.用直角三角形法求出 AB 的实长。
Wang chenggang
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d’
d
C’
C
a’
a(b)
b’
Ox
m
m’n’
(n)
分析: AB为铅垂线公垂线与其垂直 ,则公垂线必为水平线 ; CD要垂直与水平线 ,它们的水平投影必互相垂直 .作图:
例:求作直线 AB、 CD的公垂线
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2-4. 平面的投影
一、 平面的表示法
a) b) c) d) e)
(一)平面几何元素表示
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2-4. 平面的投影 一、 平面的表示法 (二)平面的迹线表示
V
PV
V
平面与投影面的交线称为平面的迹线
QV
QH
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二、 平面与投影面的关系 一般位置平面:与三个投影面都倾斜的平面 (简称一般面 )
平面 特殊位置平面:投影面垂直面:垂直 于一个投影面的平面
( V ⊥ ⊥:正垂面; H ⊥:铅垂面; W:侧垂面 )
投影面平行面 :平行于一个投影面的平面
( V∥ ∥:正平面; H ∥:水平面; W:侧平面 )正垂面 B
水平面 Q
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V
X O
Z
YPH
b
c
a
PA
B
C
b
ca
bc
a
b
c
a
投影特性:1. abc积聚为一条线。
2. abc , abc为 ABC的类似形。3. abc与 OX, OY的夹角反映 ,角的真实大小。
投影面的垂直面 :铅垂面
X
Z
YW
YH
O
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表 2-3 投影面垂直面的投影
1。 在所垂直投影面上的投影积聚为直线,在其它两投影面上的投影为缩小的类似形。
2。平面的积聚性投影与投轴的夹角,分别反映平面与其它两投影面与
的夹角。
Wang chenggang
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V
X O
Z
Y
投影面的平行面 :水平面
YH
X
Z
YW
O
b′ c′a′
AB
C
b
ca
b′ c′a′
b
c
a
b″ c″a″
•投影特性:• 1. abc、 abc积聚为一条线,具有积聚性。• 2. 水平投影 abc反映 ABC实形。
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表 2-4 投影面平行面的投影
1。在 所平行投影面上的投影反映实形,在其它两投影面上的投影积聚为直线。
2.平面的积聚性投影平行于相应投影轴。
Wang chenggang
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3、一般位置平面的投影 一般位置平面的三面投影均为类似形
V
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三、 平面上的点和直线
Wang chenggang
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例 2-7:已知点M △在 ABC平面上,现知M点的正 面投影 m /,试作出其水平投影。
1‘
1m
分析 :
作图 :
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例 : 已知 ABC给定一平面,试判断点 D是否属于该平面。
c′
b′
a′
c
a
b
x o
d′
df
f′D 不 △在 上
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[例 ] 如图 2.31a所示,过点 A作水平面 P,含直线 BC作铅垂面Q,过点 D作侧平面 R。
X OX O
解: (1)过点 A作水平面 P(2)含直线 BC作铅垂面 Q(3)过点 D作侧平面 R
分析 :包含几何元素作平面 ,就是几何元素在所作的平面上
Wang chenggang
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1‘
2‘
12
d
e
分析 :ABE确定一平面 ,CD在此平面上作图 :
例:如图 2-28( α),完成平面 ABCDEF 的水平投影。
Wang chenggang
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2-5:直线与平面的变换 概述
V1
新投影面要平行或垂直于几何元素
新投影面要垂直原有的一个投影面
几何元首处于特殊位置 ,其投影反映实长 ,实形
如何把一般位置的几何元首变换为特殊位置 ?
Wang chenggang
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一 :点的换面
1:名词术语
新投影面
新投影轴
新投影
旧投影面
旧投影面 保留投影
2点的换面规律 :
x2
a2
新投影与保留投影连线垂直于新轴新投影到
新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离
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二:换面法的四个基本作图 1.把一般位置直线变换为投影面平行线
V1
a1’
b1’
X1
a1’b1’
实长
实长
对H面倾角
对 V面倾角 β
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2.把投影面平行线变换为投影面垂直线一次换面可以实现 !
新投影轴与反映实长的投影垂直
把一般位置的直线变换为投影面的垂直线必须要两次换面
X1
X2
Wang chenggang
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3.把一般位置平面变换为投影面垂直面一次换面可以实现 !在平面上取一条投影面平行线 ,将其变换为投影面垂直线 ,!
Wang chenggang
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4.把投影面垂直面变换为投影面平行面一次换面即可 !新投影轴与平面的积聚性投影线垂直的投影垂直
把一般位置的平面变换为投影面的垂面必须要两次换面
X1
X2
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把一般位置平面变换为投影面平行面
X2
Wang chenggang
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应用举例1:已知直线 AB对 V面倾角为 30º,B点在 A点的后方求直线的水平投影 ,分析 ::
作图 X1
a1’
b1’
β30º
b
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1:如图所示 ,试求 K点与平面 ABC间的距离 . 分析 ::作图
三 : 应用举例
Wang chenggang
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2:试求两平面间的夹角 .
X1
X2⍺
作图分析 ::当两平面的交线垂直于投影面 ,该两平面在次投影面上的投影为两相交直线 ,其间夹角即两平面的夹角 .
Wang chenggang
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作图分析 ::
3:如图所示 ,试求交叉两直线间的距离极其投影 .
X1
X2
实长
实长
Wang chenggang
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作业P9,P10
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