1
( )
0
0
0
x
x
x
x
数列极限是考察数列在 n →∞ 这一过程中的变化总趋势 ( 即有无极限 ). 而对于函数 y=ƒ(x), 当考察它的变化总趋势时 , 因自变量的连续变化过程有许多情况 , 如 x→∞, x →-∞, x →0, x →x0
+, x →x0- 等 .
§2.2 函数的极限
1y
x
如图
arctany x
oo
x x
y y
0
x
x
x
2
xy e
( 0 , )x x
xy e
logay x
(0 1)a o
o
x
x
y
lny x
( , )x x ( , )x x
( 0 , )x x
由以上几例可看得出 , 同一个函数的自变量在不同的变化过程中 , 相应的函数变化趋势不一样 , 因而有必要分情况考察 .
一 · x → +∞ 时函数 ƒ(x) 的极限 1. 直观描述:对函数 ƒ(x), 当 x 取正值无限增大时( 即 x → +∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A
是函数 ƒ(x) 当 x → +∞ 时的极限 .
3
由以上几例可看得出 , 同一个函数的自变量在不同的变化过程中 , 相应的函数变化趋势不一样 , 因而有必要分情况考察 .
一 · x→∞ 时函数 ƒ(x) 的极限
1· 直观描述:对函数 ƒ(x), 当 x 取正值无限增大时( 即 x→∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A 是函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时的极限 .
结论 1. 函数 y=1/x, y=arctan x, y=e-x 当 x→∞ 时 , 以某个确定的常数为极限 . 而 y=ln x, y=ex, y=logax 却不会与常数任意接近 .
4
注:函数 y =ƒ(x) 当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的 , 一个是取自然数递增的 ( 是函数极限的特殊情形 ).
2. 函数 (“ε—M”) 定义 设函数 ƒ(x), 当 x>a 时有定义 . 对 使得当 x>M 时 ,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时以 A 为极限 . 记
0, 0,M
lim ( ) x
f x A
或 ( ) ( ).f x A x
则有 1lim 0, lim 0, lim arctan .
2x
x x xe x
x
仿数列“ ε—N” 定义有
5
及 y =A+ε. 则总存在区间 (M,+∞) ,
当 x→∞ 时 , 以什么为极限 ? 极限是否存在 ?
可作两条直线 y=A–ε0,
几何意义
( , )x M
ox
y
A+ε
A
A–ε
M
考虑 1
, arctan , ;
ln , , log
x
xa
y y x y ex
y x y e y x
y=ƒ(x)
当
时,对应的函数曲线介于这两条直线之间
6
3. 直观描述 : 对函数 ƒ(x), 当 x 取负值而绝对值无限增大时 ( 即 x→ -∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A 是函数 ƒ(x) 当 x→ -∞ 时的极限 .
4. 函数 (“ε—M”) 定义 设函数 ƒ(x), 当 x<–a 时有定义 . 使得当 x<–M 时 ,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→ -∞ 时以 A 为极限 .
0, 0,M
lim ( ) x
f x A
记为 或 ( ) ( ).f x A x
则有 1lim 0, lim 0,
lim arctan .2
x
x x
x
ex
x
几何意义如右图 .o
x
y
A+ε
A–ε
A
–M
y=ƒ(x)
7
问题:如果既有 lim ( )x
f x A
lim ( )x
f x A
lim ( )x
f x A
定理 1. 函数 y =ƒ(x) 当 x→∞ 时极限存在且为 A 的充要条件是函数 y =ƒ(x) 当 x→ +∞ 与 x→ -∞ 时极限都存在且等于 A. 即
lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x A f x f x A
5. 精确定义 (“ε—M”) 设函数 ƒ(x), 当 |x|>a 时有定义 . 对 使得当 |x|>M 时 , |ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时以 A 为极限 . 记为
0, 0,M
lim ( ) ( ) ( ).x
f x A f x A x
或
又有是否有 呢?
8
几何意义如右图 .
o x
y
A+ε
A–ε
A
M–M
y=ƒ(x)
例 3 用“ ε—M ”定义证明
1(1). lim 0;
1(2). lim 0 ( 0);
(3). lim 0.
x
kx
x
x
x
kx
e
9
1 1 10, 0 ,
1.
x x x
x
证(1) 要使不等式
只要 即可
1 10, 0, 0
1lim 0.x
M x Mx
x
取正数 则当 时, 有
恒成立.故由函数极限的定义知
1 10, 0 ,
1
k kx x
x
k
证(2) 要使不等式 只要
即可.
10, 0,
10
1lim 0 ( 0).
k
k
kx
M x M
x
kx
取正数 则当 时,
有 恒成立.故由函数极限的定义知
10
0( 1),
0 , lnx xe e x
证(3) 不妨假设 要使
不等式 只要
即可.
0, ln 0,
0
lim 0.
x
x
x
M x M
e
e
取正数 则当 时,
有 恒成立.故由函数极限的定义
知
11
二 . x→x0 时函数 ƒ(x) 的极限
当 x 从大于 1 和小于 1 的方向趋于 1 即当x→ 1 时 , 函数 ƒ(x) 无限接近于 1, 记为 f(x)→1
•
•
•
o x
y
1
1 y = x(1,1)
由前知 , ƒ(x) 与 1 的接近程度可由 |ƒ(x)–1|< ε 来刻划 ; 那么 x 与 1 的接近又怎样来刻划呢?
0
由 |ƒ(x)–1|= |x–1| 知 , 要使 |ƒ(x)–1|< ε, 只须 |x–1|<ε 即可 .
0,
0, 0, 1 ( ) 1 x f x 当 时, 恒成立.
例 4 函数 y =ƒ(x) = x ( 如右图 )
显然 , 此时可表示 x 与 1 的无限接近了 , 即 ε 可刻划 x 与 1 的接近程度 . 若记 δ = ε >0, 则有“ 当 x→ 1时, f(x)→ 1 ”的精确描述 :
12
1. 精确定义 (“ε—δ”) 函数 ƒ(x), 在 x0 的某邻域内 ( 可去心 ) 有定义 .
00, 0, 0 x - x 使得当 时
00lim ( ) ( ) ( ).
x xf x A f x A x x
或
恒有 | ƒ(x) – A |< ε 成立 .
则称函数 ƒ(x) 当 x→x0 时以 A 为极限 . 记为
从而 1 0lim 1 , limarctan 0 .x x
x x
13
几何意义
即在该去心邻域内对应的函数曲线一步 y=f(x) 介于这两条直线之间 , 如下图 .
0,
0
0( , ),U x 0
0 ( , ) x U x 当 时
º
°o x
y
A+ε
A
A–ε
y=ƒ(x)
0x 0x 0x
可作两条直线 y = A–ε 及 y = A+ε. 则在 x 轴上总存在以 x 0为心 , δ 为半径的去心
邻域
14
例 4 用“ ε—δ” 定义证明 ( 关键由 |ƒ(x)–A|< ε 解出 0<|x-x0|<g(ε ) , 得到 δ )
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
2
1
(1). lim (C );
(2). lim ( ) ;( 47
lim ,
, lim ,
0 , lim .
2 2(3).lim 4. (
1
x x
x x
x x
n n
x x
n n
x x
x
C C
ax b ax b p
x x
n x x
x x x
x
x
为常数
讲,看书 )
特别地:
当 为正整数时
当 时
选讲)
15
22 2( )
1
xf x
x
0,
22 2( ) 4 2 2 2 1
1
xf x A x x
x
只须 12
x
0, 0, 0 -1 2
x 当 时,
恒有22 2
41
x
x
2
1
2 2lim 4.
1x
x
x
例 4 的 (3) 的证明由于当 x=1 时
要使 |ƒ(x)–A|< ε 即
无定义 , 则当 x≠1 时 ,
成立 . 即
即可 . 故可取 δ= ε/2.
16
注:此例中函数虽在 x=1 处无定义 , 但 x→ 1时极限却存在 . 这说明函数在 x0 点的极限是否存在与函数
在 x0 处有无定义无关 . 这是因为函数在 x0 点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势 , 而不是在 x0 处函数
值 . 这就是在定义中为啥假设 ƒ(x) 可在 x0 处无定义的原因了 .
17
中所讨论的 x→x0 即 x 可从 x0 的左右
如三 . 函数 ƒ(x) 的左、右极限
0
lim ( )x x
f x A
( 0)y x x
1. 左极限的直观描述及精确定义 (“ε—δ”)
当 x 从 x0 左侧 ( 小于 ) 趋于 x0 时 , ƒ(x) 以 A
为极限 . 则 A 是 ƒ(x) 在 x0 处的左极限 . 记为0
0lim ( ) ( ) .x x
f x A f x A
或
00, 0, 0 ( ) .x x f x A 当 时, 恒成立
“ε—δ” 定义
则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限 . 因而必须引进左、右极限的概念 .
两侧趋于 x0 . 但有时可考察 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋近时函数 ( 特别是分段函数在分段点处 ) 的极限 .
18
2. 右极限的直观描述及精确定义 (“ε—δ”)
当 x 从 x0 右侧 ( 大于 ) 趋于 x0 时 , ƒ(x) 以 A 为极限 . 则 A 是 ƒ(x) 在 x0 处的右极限 . 记为
00lim ( ) ( ) .
x xf x A f x A
或
“ε—δ” 定义
00, 0, 0 ( ) .x x f x A 当 时, 恒成立
左极限和右极限统称为单侧极限 . 它们之间有如下关系 :定理 2. 函数 y = ƒ(x) 当 x→x0 时极限存在且为 A 的充要条件是函数 y = ƒ(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即
注:0 0
1 1lim , lim .x xx x
19
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法 ; 特别对分段函数适用 .例 5. 设 ƒ(x)=|x| , 求 , 0
, 0
x xx
x x
0lim ( ).x
f x
解 因
0 0
0 0
(0 ) lim ( ) lim 0,
(0 ) lim ( ) lim ( ) 0.
x x
x x
f f x x
f f x x
则
故0
lim 0.x
x
讨论下列函数当 x→ 0 时的极限 .(1). ( ) ; 49 5
(2). ( ) . 45 2
f x x x p
xf x p
x
( 习题 )
( 例 )
o x
y
•
y =|x|
0
lim ( )x x
f x A
0 0
lim ( ) lim ( )x x x x
f x f x A
20
例 6. y = [x] 在 x→1 时极限是否存在?
解 因 1
1
(1 ) lim ( ) 1,
(1 ) lim ( ) 0.
x
x
f f x
f f x
故1 1
lim lim[ ] x x
y x
不存在. o x
y
°•°•
1
1
2 , 0 1
( ) 0 , 1 , lim ( ).
3 , 1 2x
x x
f x x f x
x x
求例7.
解 因1 1
1 1
(1 ) lim ( ) lim(3 ) 2,
(1 ) lim ( ) lim 2 2.
x x
x x
f f x x
f f x x
1lim ( ) 2.x
f x
由定理2有
21
例8. 2
1
2 1, 1
( ) , lim ( ).1 , 1
x
x xx
f x f xxx x
求
解 因
1 1
2
1 1
2
1
( 1 ) lim ( ) lim 1,
2 1( 1 ) lim ( ) lim
1
2( 1) 3( 1) lim 3.
1
x x
x x
x
f f x x
x xf f x
x
x x
x
由于左右极限存在但不相等 , 所以 f (x) 的极限不存在 .
22
四 . 函数极限的几个重要性质
为了叙述方便 , 将 ƒ(x) 在 x→∞ 或 x→x0 时的极限
A 统一表述为 : 对 总存在那么一个时刻 , 在此时刻以后 , 就恒有 | ƒ(x) – A |< ε, 并记为
0,
定理 3.( 唯一性 ) 若 lim ƒ(x) = A 存在 , 则极限值 A 唯一 .
其证明同 §2.1 的性质 1.(略 ){( 1) }.n
lim ƒ(x) = A
注 : 若不唯一 , 变化趋势不定 . 例
23
定理 4.( 有界性 ) 若 lim ƒ(x) = A 存在 , 则一定存在那么一个时刻 , 在此时刻以后 , ƒ(x) 必定有界 .
其理论证明 (略 ). 直观地可由几何意义 ( 介于 A–ε 及 y =A+ε 之间 ) 说明 .