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第 3 章 立体的投影
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平面立体
曲面立体
棱柱
棱锥
回转体
非回转体
立体
概述
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3-1 平面立体
高平齐
长对正
宽相等
(一 ).棱柱
1:投影图特点
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2:表面上的点 ,线(一 ).棱柱
1:投影图特点
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宽相等
高平齐
长对正
二:棱锥 1:投影图特点
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a)
2:棱锥面上取点、线
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3-2 常见的回转体回转体的形成
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素线
转向轮廓线
下底圆
回转轴线
上底圆
喉圆
纬圆
赤道圆
回转体的及投影
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b) 投影图
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(一)圆柱
AB
圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O
1
2
( )由于轴线垂直于水平面,因此圆柱的水平投影是个圆,其中圆周是整个圆柱面的投影,具有积聚性。
( )正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。
、
A B
圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。
O o
1
2
( )轴线垂直于水平面的圆锥,其水平投影为圆,由于锥面上所有素线均倾斜于水平面,故该圆没有积聚性。
( )正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。
、
AB ( O O
球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 )旋转而的。
1
2
( )球的三面投影都是大小相同的圆 ,且没有积聚性。
( )圆的直径等于球的直径。
圆
柱
圆
锥
球
形成方式 轴测图 三视图 投影特性
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圆柱体表面上的点与线
( )
( )
(1) 作圆柱左视图(2) 作特殊点 A(3) 作一般点 B(4) 作一般点 CD(完)
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(二 ):圆锥
AB
圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O
1
2
( )由于轴线垂直于水平面,因此圆柱的水平投影是个圆,其中圆周是整个圆柱面的投影,具有积聚性。
( )正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。
、
A B
圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。
O o
1
2
( )轴线垂直于水平面的圆锥,其水平投影为圆,由于锥面上所有素线均倾斜于水平面,故该圆没有积聚性。
( )正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。
、
AB ( O O
球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 )旋转而的。
1
2
( )球的三面投影都是大小相同的圆 ,且没有积聚性。
( )圆的直径等于球的直径。
圆
柱
圆
锥
球
形成方式 轴测图 三视图 投影特性
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求解过程已知条件
圆锥面上取点
( )
(1) 作圆锥左视图(2) 作特殊点 A(3) 作一般点 B(用辅助平面法)(4) 作一般点 B(用素线法)(完 )
辅助平面 辅助素线
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AB
圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O
1
2
( )由于轴线垂直于水平面,因此圆柱的水平投影是个圆,其中圆周是整个圆柱面的投影,具有积聚性。
( )正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。
、
A B
圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。
O o
1
2
( )轴线垂直于水平面的圆锥,其水平投影为圆,由于锥面上所有素线均倾斜于水平面,故该圆没有积聚性。
( )正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。
、
AB ( O O
球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 )旋转而的。
1
2
( )球的三面投影都是大小相同的圆 ,且没有积聚性。
( )圆的直径等于球的直径。
圆
柱
圆
锥
球
形成方式 轴测图 三视图 投影特性
(三 ):球
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(1) 作球体左视图(2) 作特殊点 A、 B(3) 作一般点 C(用辅助平面法)(4) 判别可见性、光滑连线(完 )
辅助平面
球面上取点
求解过程已知条件
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(四 ):圆环
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(五 ):一般回转体
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第 4章立体表面的交线4-1 概述
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截 平 面
截 交 线
截 断 面
截交的基本概念4 -2平面与立体相交
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一、平面与平面立体相交
b) 作左视图 c) 求截面的实形并加深、整理
图 2.30 求直线 AB与三棱锥表面的交点
p'
a
b
cd
e
a'
b'
c'd' (e') e" d"
c"
b"
a"
y 1y 2y 3
p'
y1y2
y3
O1
X1
OX
p1
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c'' b''a''
s''例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影
4"
1
1 " 6"
a
b
c
s
S
A
B
C
续 2
2"1'
4'
3 '6'2'
5' 5"
5
Ⅳ
I
Ⅲ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅵ
c'b'a'
s'
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S
A
B
C
Ⅳ
I
Ⅲ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅵa
b
c
s
c'b'a'
s'
c'' b''a''
s''
4
基点
∥AB
3
2
1 " 6"1'
4'
3 '6'2'
5'
4"
2"
5"
15
6
例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影 (续 )
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完
c'' b''a''
s''
a
b
c
s
c'b'a'
s'
无线无线
无线轮廓线
整理
例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影 (续 )
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二 平面与回转立体相交
截平面位置 垂 直 于 轴 线 倾 斜 于 轴 线 平 行 于 轴 线
截 交 线 圆 椭 圆 两 平 行 直 线 (矩 形 )
轴 测 图
投 影 图
1. 平面与圆柱体相交 表 3.1平面与圆柱相交的三种方式
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(1)作圆柱的左视图
平面与圆柱体相交举例之一
根据主视图和俯视图补出立体的左视图。
解: (2)作特殊点(3)作一般点(4)依次光滑连接
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(1)作圆柱的左视图
平面与圆柱体相交举例之 2
根据主视图和俯视图补出立体的左视图。
a) 题图
解: (2) 作左切块上的投影
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27/86平面与圆柱体相交举例之 2
(3) 作下部通槽的投影
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(4) 判别可见性,整理、加深完成全图
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圆柱截交线 3
12
1″
2″
34
3″
4″
1′
2′
3′
4′
Ⅰ
Ⅱ
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30/86通孔
直线 圆曲线
通孔
圆柱截交线 4
2″
1″
1(2)
2′
1′
Ⅰ
Ⅱ
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通孔
直线
椭圆曲线
圆曲线
通孔
圆柱截交线 5
通孔
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平面与圆锥体相交
2.平面与圆锥体相交
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求圆锥截交线1
c
ab
c'
b'
a's''
s
s'
c''
b''
a''特殊点
纬圆法定点
斜截圆锥
返回
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a
s''
s
s'
c
b
c'
b'
a'c''
b''
a''特殊点
纬圆法定点
斜截圆锥
求圆锥截交线1
d' d''
d
一般点描深图线
完 返回
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平面与圆锥体相交举例
[例 ] 补全立体的三面投影
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
Ⅴ
辅助平面
纬圆
辅助平面
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36/86平面与圆锥体相交举例
[例 ] 补全圆锥截切后的水平投影和侧面投影 .
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平面与球体相交
3. 平面与球体相交
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d'
c'
b'
a'圆球截交线 1
返回
t'
d
c
b''
d''
a''
a
t
t''
先求特殊点:A, B, C,
D, T
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d'
c'
b'
a'
t'
d
c
b''
d''
a''
a
t
t''
圆球截交线 1续
返回
2'
1'
1
1''
2''
2
再求一般点Ⅰ,Ⅱ
顺次连点画椭圆
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d'
c'
b'
a'
t'
d
c
b''
d''
a''
a
t
t''2'
1'
1
1''
2''
2
圆球截交线 1续
返回
分析轮廓,描深图线
作业中保留作图辅助线
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[例 ] 补画立体的水平投影和侧面投影 .
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截切 :组合回转体
P
圆锥圆柱 1 圆柱 2
双曲线 直线 直线
截面返回
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顶点
纬圆法求一般点
完 返回
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4. 平面与 一般回转面相交
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4-3 —立体与立体相交 相贯
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一、利用积聚性求相贯线
a) 求特殊点 b) 求一般点
12
5
6
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两圆柱相贯的三种形式
相交形式
轴
测
图
投
影
图
两外表面相交 外表面与内表面相交 两内表面表交
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两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响
两圆柱直径的关系相贯线特点
轴
测
图
投
影
图
水平圆柱直径较大 两圆柱直径相等 水平圆柱直径较小
上、下两条空间曲线 两个相互垂直的椭圆 左、右两条空间曲线
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两圆柱相对位置的变化对相贯线的影响
两轴线垂直相交两轴线垂直交叉
偏 互两轴线平行
贯 贯
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二、辅助平面法求相贯线[例 ]求圆柱与圆锥的相贯线
a) 求特殊点 b)求一般点,连线,整理图 3.15 圆柱与圆锥相贯举例
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例 4-11 已知圆锥与圆球相贯 ,完成其投影图
PV PV
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[例 ] 求圆柱与球体的相贯线
( )
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1
1″2″
4
3″
4″
2′
1′3′
4′
2
3
利用积聚性标出特殊点
利用积聚性标出特殊点
二求三
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顺次光滑连接各点
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可见分界
描深
虚线
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求作相贯线的一般方法及步骤:
(1) 分析立体的构成方式、基本形状、空间位置 (即立体为何种基本几何体,处于空间何种位置 );
(2) 分析两立体的相对位置及相对大小 (即两立体轴线是否相交、是否垂直,是贯入还是互贯,从而判断相贯线的性质及形状。 );
(3) 求相贯线上的特殊点 (即轮廓线、转向轮廓线上的共有点及极限位置点 );
(4) 求相贯线上的一般点 (主要采用辅助平面法 ,求适量的一般点,使相贯线作图准确完整 );
(5) 判别可见性,顺次光滑连接各交点,即得相贯线的投影。
(6) 补充完成立体上未参与相贯的轮廓线、转向线的投影,整理并完成全图。
小结
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三、 相贯线的特殊情况
相贯线 相贯线相贯线
1. 具有公共回转轴的两回转体相贯——相贯线为垂直于公共 回转轴线的圆
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2. 轴线相互平行的两圆柱相贯,或共锥顶的两圆锥相贯—— 相贯线为直线
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3. 具有公共内切球的两曲面立体相贯—— 相贯线为椭圆
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例 ;:补画穿孔圆柱的水平投影
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例:求圆球的穿孔后的投影
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4-3-3 组合相贯柱球相贯
柱柱相贯
球
柱
柱