ΤΤΣΣΙΙΚΚΑΑΛΛΟΟΥΥΔΔΑΑΚΚΗΗΣΣ ΓΓΙΙΩΩΡΡΓΓΟΟΣΣ
NEEΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
B I B Λ I A 20ετούς συγγραφής με 35
χρόνια διδασκαλίας
Διαρκώς ενημερωμένα με ότι
νέο ωραίο
κιν. 697 38 27 622
Θα αγοράσετε βιβλία μαζικής παραγωγής
(μια από τα ίδια ) ή θα πάρετε βιβλία
που εκδίδονται (εδώ και 20 χρόνια )
σε λίγα αντίτυπα , κάθε φορά , και
διαρκώς ανανεωμένα με νέα θέματα;
2
ΒΙΒΛΙΑ με Θέματα πρωτότυπα
Χρήσιμα σε κάθε επαγγελματία Μαθηματικό
΄΄ Για αυτούς που ψάχνουν κάτι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ΄΄
ΓΓ .. ΤΤΣΣΙΙΚΚΑΑΛΛΟΟΥΥΔΔΑΑΚΚΗΗΣΣ
ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ
555000000 ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ
ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ
ΝΝΕΕΑΑ ΑΑΝΝΑΑΤΤΥΥΠΠΩΩΣΣΗΗ
μμεε ννέέαα θθέέμμαατταα
ΠΠΡΡΩΩΤΤΟΟΤΤΥΥΠΠΑΑ
ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΣΣΕΕΩΩΝΝ
886600 σσεελλίίδδεεςς ((2255€ ))
ΚΚΡΡΙΙΤΤΗΗΡΡΙΙΑΑ
ΑΑΞΞΙΙΟΟΛΛΟΟΓΓΗΗΣΣΗΗΣΣ
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ T A T I Σ T I K H
ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ
Π I Θ A N O T H T Ω N Σ T A T I Σ T I K H Σ
ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ
600 σελιδες (20€ )
3
(Παρόμοια ΘΕΜΑΤΑ)
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ B : Τόμος 1ος : Σελ. 98. ΘΕΜΑ A . 2.
Τόμος 5ος :
Σελ. 709 ΘΕMA 209 , Σελ 712 ΘEMA 173, Σελ. 790 ΘEMA 209
ΘΕΜΑ : Τόμος 3ος Σελ. 40 Ασκ. 22.5, 22.6 , 22.7 , Σελ. 265 Ασκ. 27.80
Σελ. 478 Ασκ. 6 , Σελ. 325 Ασκ. 28.52
Τόμος 5ος Σελ. 765 ΘΕΜΑ Γ. , σελ. 754 4
Σελ. 796 ΘΕΜΑ Δ. , Σελ. 747 ΘΕΜΑ Β.
ΘΕΜΑ : Τόμος 3ος 2
,3
Σελ. 325 ασκ. 28.52
Τόμος 3ος 3
: Σελ. 584 ΘΕΜΑ 4ο
Τόμος 5ος Σελ. 473 ΘΕΜΑ 3ο και Σελ. 804. ΘΕΜΑ 4ο
με ΘΕΜΑ Β
A. Δίνεται η εξίσωση:
2
z z 0 , με 0 και 24 0 (1)
1. Να αποδείξετε ότι η (1) έχει δύο μιγαδικές ρίζες , συζυγείς.
2. Αν 1
z είναι μια ρίζα της (1), να αποδείξετε ότι: 2 2 2
1 1(z z ) 4
Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει: | z 3i | 2
Να αποδείξετε ότι α) 1 | z | 5 , β) 2 | z 4 3i | 6
Έστω μιγαδικός z τέτοιος ώστε: | z |3 10
και 2 2
3 3 20 3 100| z | | z | | z |
α. Να αποδείξετε ότι: | z | | z |3 3 10
.β Να αποδείξετε ότι: | z |4 5
. Αν | z |2 9 16 , να αποδείξετε ότι z
. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: | z z |9
ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 2013
ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ από τους 5 τόμους (παρόμοια των πανελληνίων)
136.
209
4
Έστω μιγαδικός z τέτοιος ώστε:
| z i | | z |3 4 6
α. Να αποδείξετε ότι: | z i |3 1
.β Να αποδείξετε ότι: |z | 1 4 6
. Αν |z| 2 και | z i |3 4 , να υπολογιστεί το | z |1 .
. Να βρεθεί ο z , αν: | z i | | z |3 4 5 και | z i | > | z |3 4
Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:
2| z 4z 4 | 4 (1)
1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z
είναι ο κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα 2 .
2. Αν η αρχή των αξόνων και οι εικόνες δύο μιγαδικών 1 2
z ,z που ικανοποιούν
την (1) και σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι οι 1 2
z ,z
είναι ρίζες της εξίσωσης: 2
z 6z 12 0 .
3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό w με | w | 1
ισχύει: 2 | w z 2 | | w z 2 | 6
4. Αν o 1 2
z ,z ,z είναι τρείς μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να αποδείξετε
ότι για κάθε μιγαδικό w , με 2
2 1 ow z w z 1 z , ισχύει: | w | 5
με: ΘΕΜΑ Γ
22. 7 Αν για μια συνάρτηση f , ισχύει:
h 0
f 1 3h f(1 h)lim 4
h
να αποδείξετε ότι: f (1) 2 .
27.80 Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε f ( 0) 1
και για κάθε x R , να ισχύει : f ( x) f ( x) x
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε:
f (5) 0 και f (x) 0 , για κάθε x R .
i) Αν για μια συνάρτηση g ισχύει: g(0) 5 , g (0)=0 και g (x) 0 ,
για κάθε x R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι κοίλη.
ii) Αν είναι 2
g(x) x 2x 3 , να μελετηθεί η f g ως προς τη μονοτονία.
ΘΕΜΑ Β (από διαγώνισμα)
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2f x x x 1( )
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει f x 0( )
γ. Να ορίσετε την αντίστροφη της f .
δ. Να αποδείξετε ότι η fC και η 1fC δεν έχουν κοινά σημεία.
173
.6
.168
5
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:
x
2x
ln(e x 1) , x 0f (x)
e 2x 1 , x 0
. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα .
. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f
C
. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : f 0f (x) ,
έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες
ΘΕΜΑ 4ο ® (από διαγώνισμα)
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με:
f (0) 0 και f (x) 0 , για κάθε x R .
Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( , 0)
η συνάρτηση g με: x
f(2x) 2f(x)g(x)
e
με ΘΕΜΑ Δ
28.52 Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
0 0 1 f ( ) f ( ) και η f είναι γνησίως φθίνουσα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x) 1 , x 0
G(x) x1 , x 0
Να αποδείξετε ότι:
1. η G είναι παραγωγίσιμη στο 0
2. η G είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 [ , )
3. xf (x) 1 f(x) < x 1 , για κάθε 0x
Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο: ( )xg x e x
α. Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g.
γ. Έστω ότι για μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ισχύουν:
f 1 0( ) , f x 0( ) , για κάθε x 1 και f x 0( ) , για κάθε x 1
i. Να αποδείξετε ότι: για κάθε x ισχύει ( )f g x 0 .
ii. Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:
xf e x f α 1( ) ( ) , για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμό α .
263
® ΘΕΜΑ o3
® Θ Ε Μ Α o3
6
(από διαγώνισμα)
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f ( )1 2 και για κάθε x
να ισχύουν: xf (x) f x x
22
1 1 και xf x f (x) 21 0 .
α. Να αποδείξετε ότι f (x) x2
11
β. Να αποδείξετε ότι f ( x ) x x 1
γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του α γίνεται ελάχιστο το α
f f (t) f (t)dt
1
δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α 1 ισχύει: α α
α αf (t)dt f (t)dt
1 1
1
Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα , [α β] όπου
0 α β . Έστω ακόμα ότι: f(α) 0 f(β) , f (β) 0 f (α)
και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , (α β) . Να αποδείξετε ότι:
1. υπάρχει ox (α,β) στο οποίο η f παρουσιάζει μέγιστο, στο διάστημα , [α β] .
2. υπάρχει μοναδικό 1 ,x (α β) , τέτοιο ώστε: 1f(x ) 0 και 1 ox x .
3. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της
fC στο ξ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
4. Για το παραπάνω ξ (α,β) ισχύει: β
2 2
α2 f(x)dx (β α ) f (ξ)
Θ Ε Μ Α 4o o4
Έστω συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο διάστημα [0,1] , με:
f( ) 0 0 και f (x) 0 , για κάθε x [0,1] .Θεωρούμε τη συνάρτηση:
x
F(x) ( t x)f(t)dt 02 , x [0,1]
Να αποδείξετε ότι . η F είναι γνησίως αύξουσα
.
xf(x)dx ( x)f(x)dx α α
β β
1
. i,
x
F(x) f(t)dt 0 , x (0,1] , ii.
x
x
f(t)dt
limF(x)
0
0
. Να λυθεί η ανίσωση:
x x
F(t)dt F(t)dt
42
0 0
1 1
® Θ Ε Μ Α o4
229
7
® Θ Ε Μ Α o4 θ. Rolle - θ. Bolzano
7
ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΑΑ ΑΑΠΠΟΟ ΤΤΑΑ
ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ , ]0 1 δύο φορές,
παραγωγίσιμη στο ( , )0 1 , τέτοια ώστε:
( )f x 0 , για κάθε ( , )x 0 1 ,
f( ) 0
1
x dx 0 και f( ) 0
1
x x dx 1 .
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε c 1 υπάρχει
ox 0 1( , ) , τέτοιο ώστε:
o1f x
1 c( )
.β Να αποδείξετε ότι για κάθε , [ , ]α β 0 1 ,
με α β ισχύει: f( ) f( )
f ( )β α
αβ α
.γ Να αποδείξετε ότι:
f( ) ( )f( )2
0 0
1 1
x dx 2 1 x x dx
.δ Αν ( )f 0 0 , να αποδείξετε ότι υπάρχει
( , )ξ 0 1 , τέτοιο ώστε: ξ
0
ξ ξ t dt f( ) f( )
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ , ]0 1 με:
1
0f (t)dt 0 και
1
0tf (t)dt 1 .
Θεωρούμε ακόμα τη συνάρτηση:
0 0
1
0 0
x x
x tf ( t )dt f ( t )dt , x (0,1]G(x)
, x
α. Να αποδείξετε ότι η G είναι παραγωγίσιμη στο 0.
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει o
x ( , )0 1 ,ώστε:
o
0
x
tf (t)dt 0
γ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( , )ξ 0 1 : 4
0
tf (t)dt f ( )
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ 0 1( , ) ,ώστε:
0
f (t)dt 1
221
246
8
ΘΕΜΑ Γ.
Δίνεται η συνάρτηση :
3 3x 6
f (x) (x 1) e
1
Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί
το σύνολο τιμών της.
2
Να αποδείξετε ότι η f
C έχει τρία σημεία καμπής.
3
Αν είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη
της f
C στο o
x , με τον άξονα x x , να προσδιοριστούν
οι τιμές του o
x , για τις οποίες ισχύει:
o
f(x ) 0
4
Αν η εφαπτομένη της f
C στο o
x επανατέμνει τη f
C
στο 1
x , να αποδείξετε ότι υπάρχει μεταξύ των
o 1
x ,x , τέτοιο ώστε: o
f (x ) f ( ) .
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται ότι για τον μιγαδικό z ισχύει:
2 2z z 4 z z 0( ) ( ) (1)
1 Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z διαγράφει
δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους.
2 Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
| | | |z z z z
3 Αν oz είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο
μέτρο που ικανοποιεί την ισότητα (1), να
αποδείξετε ότι:
2013 2013 504z z 2
4 Αν ο μιγαδικός z επαληθεύει την παραπάνω
ισότητα (1), να αποδείξετε ότι οι εικόνες
A,B, , των μιγαδικών:
z z 4i z 4i z, , ,
αντίστοιχα , είναι κορυφές τετραγώνου.
9
ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΜΜΙΙΓΓΑΑΔΔΙΙΚΚΟΟΥΥΣΣ
Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:
2| z 3 | 4i(z z) 0 (1)
α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και του z .
. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w , όπου:
8
wz 3
. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 6i
z 3w
. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1)
ισχύει: 1
z 10z
Έστω μιγαδικoί z για τους οποίους ισχύει:
| z 1 i | | z 1 i | 2 | z 2i | (1)
. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του
z και του z .
. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό που ικανο-
ποιει την (1) ισχύει: 2| z zi | 2
. Αν ο μιγαδικός z 1 ικανοποιεί την (1) και
A,B,Γ,Δ είναι οι εικόνες των μιγαδικών:
z , z , 2 z , 2 z αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ABΓΔ είναι τετράγωνο.
. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1) ισχύει:
2 2 2
| z z | | z z 2 | 4 | z 1|
Έστω z , w μιγαδικοί με z w 0 , τέτοιοι
ώστε :
w | z | z i 2 και | w | | z |
Να αποδείξετε ότι :
α. ο w δεν είναι φανταστικός
β. οι εικόνες των z , w ανήκουν σε δύο κύκλους
1
C , 2
C αντίστοιχα.
γ. οι κύκλοι 1
C , 2
C έχουν δύο κοινά σημεία .
δ. w z .
.138
148.
93 .
10
ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΣΣΥΥΝΝΑΑΡΡΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ
1. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και η συνάρτηση g με:
x
f x x
e f xg x
e e( )
( )( )
1. Αν είναι x 0
1g x2
lim ( )
, να αποδείξετε ότι: f 0 0( )
2. Αν είναι x
f xlim ( )
, να υπολογίσετε το όριο:x
g xlim ( )
.
3. Αν είναι g 0 0( ) και g 1 0( ) , να αποδείξετε ότι:
α. υπάρχει ξ 0 1( , ) τέτοιο, ώστε: ( )ξf ξ e
β. υπάρχει ,( )ox ξ 1 τέτοιο, ώστε: ( )of x e .
20.8 Αν είναι α β γ 0 και 2β α γ ,
να αποδείξετε ότι, έχει μία τουλάχιστον πραγματική
ρίζα στο διάστημα (α , γ) , η εξίσωση:
4 44 4 x γx α 0
(x α)(x β) (x γ)(x β)
20.65 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα , [ ] τέτοια , ώστε :
α β f α β, ,[ ] [ ] και f α α( ) f β β( ) .
Να αποδείξετε ότι:
1. υπάρχουν x x1 2
, , ( ) τέτοιοι ώστε:
1
( ) f x και 2
( )f x
2. η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( )
0( ) ( )
f x f f x ff x f x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,( ) .
3. η εξίσωση: 0( ) ( )
xxf x f x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,( ) .
4. Έστω συνάρτηση f : R R αντιστρέψιμη τέτοια,
ώστε για κάθε x R , να ισχύει:
1 11 f (x)e f (x) x 1 (1)
I. Να βρείτε την f
II. Να αποδείξετε ότι:
1. η f είναι γνησίως φθίνουσα.
2. οι f
C , 1fC έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.
3. 1
xlim f (x) x 1
και
1
x
f (x)lim 1
x
11
ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΠΠΑΑΡΡΑΑΓΓΩΩΓΓΟΟΥΥΣΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x
f(x) ln xe x 2
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει διάστημα της μορφής [ , ] ,
( 0 ) στο οποίο να ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματοςRolle
3. Να λυθεί η ανίσωση: f( x) f(x)
4. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f f(x) f f(x)
2. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) xlnx x 1
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 και x 0 ,ισχύει: 1xf ( x ) f
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) f(x) έχει ακριβώς μια πραγματική
ρίζα.
4. Θεωρούμε τη συνάρτηση f( x ) , x ( 0 , )
G ( x ) 1 , x 0
.
Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι συνθήκες του Θ.Μ.Τ. για την G στο
διάστημα [0 ,1] και ότι υπάρχει μοναδικό (0,1) τέτοιο ώστε
f ( ) f( ) e
Δίνεται η συνάρτηση : f : , με:
x
x 2 x , x 0f x
e x 1 x 0( )
,
1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα
3. Να λυθεί η ανίσωση: 2f(x 4x) f(4)
4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: f f (x) 0
33.5
12
Δίνεται η συνάρτηση:
2
4 3 2 2 2f x x x x4 3 2
( )
1. Να βρείτε για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
στο 1 .
2. Να βρείτε για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει σημείο καμπής
στο 1 .
Δίνεται η συνάρτηση :f : , με:
x
x 2 x , x 0f x
e x 1 x 0( )
,
1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα
3. Να λυθεί η ανίσωση: 2f(x 4x) f(4)
4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
f f (x) 0
Δίνεται η συνάρτηση :
( ) ln
x1 ef x1 x
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .
2. Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα.
3. Να λυθεί η ανίσωση: f (x) 0
4. Να λυθεί η εξίσωση : f f(x) 0 .
5. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της fC .
31.23 Δίνεται η συνάρτηση f με:
® 2 xf(x) x x 1 e , R
Να αποδείξετε ότι:
1. η f έχει δυο σημεία καμπής , αν και μόνο αν , 2 .
2. αν η f έχει δυο σημεία καμπής, τότε οι εφαπτόμενες
της fC στα σημεία αυτά δεν είναι παράλληλες.
3. υπάρχει 2 τέτοιο , ώστε οι εφαπτόμενες της fC
στα σημεία καμπής της να είναι κάθετες μεταξύ τους.
33.1
33.5
33.10
13
ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΟΟΛΛΟΟΚΚΛΛΗΗΡΡΩΩΜΜΑΑΤΤΑΑ
ΘΕΜΑ 4ο
Έστω α,β R τέτοιοι ώστε 0 α β και :
2
β
α
lntdt 0
1 t
Θεωρούμε τη συνάρτηση F με: F(x) 2
lnt dt1 t
, x 0
Να αποδείξετε ότι:
1. 1 1α β
F F , 2. α β 1
3. για κάθε x 0 ισχύει: 1xF x F
4. η F έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
ΘΕΜΑ 4ο
Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R με παράγουσα την
x
22eG(x) c
x 1
, c R
Έστω ακόμα συνάρτηση : x
αF(x) f(t)dt , α R .
1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο μια τιμή του α R
για την οποία η γραφική παράσταση της F διέρχεται
από το σημείο A(0,1) .
2. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται
από:
α) τη γραφική παράσταση της f β) τους άξονες και
γ) την ευθεία x 1 .
I
x
α
14
ΘΕΜΑ 4ο
Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με f (1) 0
και f (x) 0 , για κάθε x R .
Έστω ακόμα g συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια ώστε:
2 1
x1g(x) (t 1)f (t)d t
(x 1)
, για x 1
Να αποδείξετε ότι:
1. η g είναι παραγωγίσιμη στο 1
2. η g είναι παραγωγίσιμη στο R
3. για κάθε x 1 ισχύει: x
1(x 1)g(x) f (t)d t
4. αν είναι: 2
0(t 1)f (t)d t 0 , να αποδείξετε
ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,2) , με 1
τέτοιο ώστε: f ( ) 2g( ) .
40.44 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f (x) 0
και f(x) 0 , για κάθε x . Θεωρούμε τη συνάρτηση:
0
x
F(x) f(t)dt
Να αποδείξετε ότι:
1. Η F είναι κοίλη
2. Για κάθε x 0 ισχύει: F(x) F(3x) 2F(2x)
3. Για 0 υπάρχει μοναδικό (2 , ) τέτοιο
ώστε: F( ) F(3 ) 2F( )
40.42 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα ,[ ]0 1 με:
0 0
1 1
f(t)dt tf(t)dt
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ,( )0 1
τέτοιο ώστε: 0
ξ
f(ξ) f(t)dt
15
ΒΒΙΙΒΒΛΛΙΙΑΑ Γ ρ α μ μ έ ν α : μ ά θ η μ α - μ ά θ η μ α , μ ε π λ ή ρ η θ ε ω ρ ί α
π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς - σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς σ χ ό λ ι α - μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α
π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α , α ν ά π α ρ ά γ ρ α φ ο . Ε π α ν ά λ η ψ η κ α τ ά
ε ν ό τ η τ ε ς
Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς α σ κ ή σ ε ι ς
60 Δ ι α γ ω ν ί σ μ α τ α 70 Κ ρ ι τ ή ρ ι α α ξ ι ο λ ό γ η σ η ς
Μελετήστε προσεκτικά τα βιβλία '' Γ . Τ σ ι κ α λ ο υ δ ά κ η ' '
και θα διαπιστώσετε :
λ ε π τ ο μ έ ρ ε ι ε ς , ε π ε ξ η γ ή σ ε ι ς και κ α τ η γ ο ρ ί ε ς α σ κ ή σ ε ω ν
που λείπουν από τα βιβλία '' μαζ ικής παραγωγής ''
Δοκιμάστε τα στη δ ι δ α σ κ α λ ί α σας και θα εγκαταλείψετε
πολλά άλλα (δήθεν) βοηθήματα .
Ό λ α τ α β ι β λ ί α ε ί ν α ι γ ρ α μ μ έ ν α σ τ ο W o r d α π ό τ ο ν ί δ ι ο
τ ο σ υ γ γ ρ α φ έ α μ ε π ρ ο σ ε γ μ έ ν η π α ρ ο υ σ ί α σ η τ ο υ κ ε ι μ έ ν ο υ
κ α ι τ ω ν μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν τ ύ π ω ν ( B o l d ) έ τ σ ι ώ σ τ ε ν α ε ί ν α ι
ε υ α ν ά γ ν ω σ τ α κ α ι ο ι μ α θ η μ α τ ι κ ο ί τ ύ π ο ι ε υ δ ι ά κ ρ ι τ ο ι .
Σ τ ο τ έ λ ο ς κ ά θ ε β ι β λ ί ο υ υ π ά ρ χ ο υ ν ο ι α π α ν τ ή σ ε ι ς κ α ι ο ι
λ ύ σ ε ι ς ( σ τ ι ς δ ύ σ κ ο λ ε ς α σ κ ή σ ε ι ς ) .
Βιβλία γραμμένα για να διαβάσει ο μαθητής το μ ά θ ημ α τ ης ημ έ ρα ς
με όλες τις λεπτομέρειες του και με πληθώρα σχετικών ασκήσεων (στο
μ ά θ η μ α τ η ς η μ έ ρ α ς ) .
Κατά διδακτικές ενότητες γίνεται ε π α ν ά λ η ψ η (με ασκήσεις) σε όλα τα
προηγούμενα μαθήματα και ακολουθεί Κ ρ ι τ ή ρ ι ο α ξ ι ο λ ό γ η σ η ς
Είναι γραμμένα με την πείρα 32 χρόνων στον μ α υ ρ ο π ί ν α κ α
κ α ι σ τ α α τ ο μ ι κ ά μ α θ ή μ α τ α , γ ι α τ α ο π ο ί α κ υ ρ ί ω ς
ε ί ν α ι γ ρ α μ μ έ ν α .
Μ ε π ρ ο σ ε κ τ ι κ ή μ ε λ έ τ η θ α δ ι α π ι σ τ ώ σ ε τ ε π ό σ ο ά ν ε τ η
γ ί ν ε τ α ι η δ ι δ α σ κ α λ ί α σ α ς .
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
A E B P A
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ - ΜΑΘΗΜΑ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
1ος τόμος
720 σελ. Σύμφωνα με τη νέα ύλη
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
M A H M A T I K A
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕ ΠΛΗΡΗ
ΘΕΩΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
400 σελ.
16
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΜΜΜΑΑΑΘΘΘΗΗΗΜΜΜΑΑΑΤΤΤΙΙΙΚΚΚΑΑΑ
Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
300 σελιδες
(15€ )
ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΜΜΜΑΑΑΘΘΘΗΗΗΜΜΜΑΑΑΤΤΤΙΙΙΚΚΚΑΑΑ
ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ
ΠΛ ΗΡΗ Σ Θ Ε ΩΡΙ Α
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ 660 σελιδες
(20€ )
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ 600 σελ.
Το μοναδικό βιβλίο με βάση
τη νέα ύλη στα ολοκληρώματα
(20€ )
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΠΛ ΗΡΗ Θ Ε ΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ
700 σελιδες
(20€ )
Όλη η σειρά (Γ΄Λυκειου , 5 τόμοι ) προσφορά για τη βιβλιοθήκη
του Λυκείου καθώς και για τους συναδέλφους , 80 ευρώ
(+ 10 ταχ. τέλη)
κιν. 6973827622 mail: [email protected]
και στο Ιντερνετ: Art of Problems Solving (Tsikaloudakis)