第七章 直线、平面的相互关系

第一节 平行关系第一节 平行关系

第二节 相交关系第二节 相交关系

第三节 垂直关系第三节 垂直关系

H

b a

c

BA

C

一、直线与平面平行第一节 平行关系第一节 平行关系

1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。

E

FD

d f

e

ADEF ABC 上的直线所以 EF ABC所以 EF ABC

c'

n

m

n'

m'

d' b'

a'

db

a

X O

c

投影图

⒉ 特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。

cb

a

c'

b'

a'

n'

n

m

m'

X O

PH PH mn

则 P MN

MN ABC

P

PH

M

Nm

nH

例：过点 M 作直线 MN 平行于平面△ ABC 。

解：

a

a'

b

b'

c

c'

m

m'

有多少解？

n

n'

无数解无数解

例：过点 M 作直线 MN 平行于 V 面和△ ABC 。

解： 正平线正平线

a

b

cm

m'a'

b'c'

因为△ ABC 为正垂面，所以直线 MN 的正面投影 m'n' 必定平行于 a'b'c' 。

又因为 MN 为正平线，所以 mn 平行于 OX 轴。

因为△ ABC 为正垂面，所以直线 MN 的正面投影 m'n' 必定平行于 a'b'c' 。

又因为 MN 为正平线，所以 mn 平行于 OX 轴。

n'

n

结果 : M N// ABC

作图 方法 :

3 连接 ak2 由 k' 求出 k ；

例 判别直线 MN.DE 与三角形 ABC 平面是否平行 ?

n'

m'

c'

b'

a'

n

m c

b

a

k

k'

X O

d

e

d'

e'

\ \

\\

d'e'//a'b' de//ac

结果 : M N// ABC

判断 DE // ABC

1 过 作 //a' a'b' a'b'

e

d

c

b

a

b'

d'

c'

b'

a'

例 过直线 AB作三角形 ABC 平面平行于直线 DE 。

OX

作图步骤：

d'c'作b' b'//

bc//de

作图步骤：

①在平面 ABC 内任作一条水平线 (AD) ；

②过 M点作直线 MN//AD 。

c'

b'

a'

ac

b

d'

d

X

m'

m

n

n'

O

过 M点作水平线 MN 平行已知平面 ABC。

例

二、平面与平面平行

1. 几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。

g'

e'f '

a'

b'

c'

a

b

ce

fg

m'n'

mn

X O

H

PR

M

N

B

F

G

E

EFG// ABC

n 1

例 已知 ： MN 、 PQ 决定的平面与平面 ABC 平行， 试补全三角形 ABC 的正面投影。

例 已知 ： MN 、 PQ 决定的平面与平面 ABC 平行， 试补全三角形 ABC 的正面投影。

q'

p'

n'

m'

q

p

n

m

a'

c

b

a

~

2'

1'

b'

~

2

c'

1

~

X O

~

做图步骤：

作 n1//bc

n2//ab

b'2´n' a'//

1' b'n' c'//

.SWF过点作已知平面的平行面

例题 试判断两平面是否平行f

e

de

d

f

c

a

a

c

b

b

m

n

mn

r

r

s

s

结论：两平面平行

例题 已知平面由平行两直线 AB 和 CD 给定。试过点 K 作一平面平行于已知平面 。

e

m n

m

n

f e

f s

r

s

r

d

d

c

a

a

c

b

b

k

k

2 。特殊位置情况 2 。特殊位置情况 若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平面有积聚性的同面投影必相互平行。

H

A

B

Cab

c

D

G

F

E

g(f)

d(e) ox

a

b

c g(f)

d(e)

a'

b'

c'

d' g'

e' f '

例题 试判断两平面是否平行。

结论：两平面平行

e

fe

f

s

r

sd

d

c

a

ac

b

br PH

SH

02-3-07.swf判断线面和面面的空间位置

第二节 直线与平面相交、两平面相交

直线与平面相交——求交点

平面与平面相交——求交线

求解方法： 1. 积聚投影法

2. 辅助平面法

3. 换面法

并判别可见性

关键：求直线与平面的交点 --- 共有点求平面与平面的交线 --- 共有线

直线与平面相交

P

直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。

B

K

A

M

B

C

A

平面与平面相交

F

K

N

L

两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有

b

a

b'

a'

OXc(f)

d(e)

c' d'

f' e'

一、直线与特殊位置 ( 垂直 ) 平面相交一、直线与特殊位置 ( 垂直 ) 平面相交

k

k'

分析：利用平面的积聚性求交点交点——线面的公共点交点——可见与不可见

的分界点

作图步骤：1 、求交点（ k ，求 k' ）2 、判别可见性（远离坐标轴— - 可

见）

作图步骤：1 、求交点（ k ，求 k' ）2 、判别可见性（远离坐标轴— - 可

见）

A

B

ab

H

K

kk

CD

E

F

判断直线的可见性

V

H

PH

P

A

B

Ca

c

b k

N

K

M

b

b

a

a

c

c

m

m

n

k

k

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

例 求直线与平面的交点，并判别可见性。 例 求直线与平面的交点，并判别可见性。

OX

a'

b'

c'm'

n'

k'

a

b

cm

nk

2

1

2‘(1’)

QV

k

b

a

k'b'

a'

q

q'

.swf线面相交可见性

二、垂直线与一般平面相交

k'

n'

m' c'

b'

a'

k

c

b

a m (n) 1

1'

X O

3'4'

3

4

作图方法：利用直线的积聚投影及平面上取点的方法求解。

09.swf线面相交可见性

02-3-08.swf铅垂线于三角形的交点

三、一般位置平面与特殊位置 ( 垂直 ) 平面相交

n

l

m

m

l

n

ba

c

c

a

b

f

k

fk

V

H

M

m

n

l

P

B

Ca

c

b

PH

k

f

F

K

N

L

一般位置平面与特殊位置 ( 垂直 ) 平面相交

一般位置平面与特殊位置 ( 垂直 ) 平面相交

Q

A

B

C

a b

cH

M

N

m nq

a'

b'

c'

q'

na

b

c

q

1‘(2’)

1

2

m

m'

n'

X O

A

B

C

Q 过 MN 作平面 Q 垂直于 V 投影面

M

N

以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图

四、一般直线与一般位置平面相交

C

A

B

过 MN 作平面 P 垂直于 H 投影面

N

M P

EFK

以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图

作图方法 1 ： 包含直线 GF 作铅垂面 R

一般直线与一般位置平面相交 一般直线与一般位置平面相交

R

A

B

C

a b

cH

G

F

gf

M

N

k

K

RH

求出 R 平面与 ABC 的交线MNMN 与 GF 的交点 K 即为所求。

1

2

以铅垂面为辅助平面求线面交点 。

PH

1

f

e

e

f

b

c

a

a

c

b

步骤：1 、 过 EF 作铅垂平面 P 。2 、求 P 平面与 ΔABC 的交线ⅠⅡ。

3 、求交线ⅠⅡ与 EF 的交点 K 。

k

k

2

f

e

e

f

b

a

a

c

b

c

1

2

以正垂面为辅助平面求线面交点QV

2

1k

k

步骤：1 、 过 EF 作正垂平面 Q 。2 、求 Q 平面与 ΔABC 的交线ⅠⅡ。

3 、求交线ⅠⅡ与 EF 的交点 K 。

H

V

a

b

c

c e

aAB

b

C

F

E

f

f

k

K

k

e

直线 EF 与平面 Δ ABC 相交，判别可见性示意图

ⅠⅡ

Ⅲ

Ⅳ

1 (2)

(4)

3

利用重影点。判别可见性

作图方法 1 ： 包含直线 GF 作铅垂面 R

1,(2)

一般直线与一般位置平面相交 判别可见性一般直线与一般位置平面相交 判别可见性

R

A

B

C

a b

cH

a'

b'

c'

na

b

cm

m'

n'G

F

gf

M

N

k

K

RH

g

fRH

k'

k

1'

2'

f '

g' 3‘(4’)

3

4

求出 R 平面与 ABC 的交线MNMN 与 GF 的交点 K 即为所求。

OX

g'1

1f'

c'1c'

作图方法 2 ：

用换面法求倾斜线与 倾斜面的交线。

将 ABC 平面变换为投 影面垂直面。

作图方法 2 ：

用换面法求倾斜线与 倾斜面的交线。

将 ABC 平面变换为投 影面垂直面。

1,2

直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交

a'

b'

c'

a

b

cg

f

k'

k

1'

2'

f '

g' 3'4'

3

4

OX

X1

k'1

b'1

a'1

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。

M

B

C

A

F

K

N

L

五、两一般位置平面相交

两一般位置平面相交，求交线步骤：

1 、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点 K 、E 。

求两平面的交线

b

a

c

c

b

a

l

l

n

m

m

nPV

QV

1

2

2

1

k

k

e

e

2 、连接两个共有点，画出交线 KE 。

两一般位置平面相交 判别可见性两一般位置平面相交 判别可见性

fe

d

cb

a

c'

b'

a'

d'

f '

e'

QH

RH

n

m

n'm' 1'(2')

2

1

3'

3(4)

4'

方法 1：辅助平面法

H

R

A

B

C

a b

c

E

D

ed

J

L

m

M

RH

a'1

两一般位置平面相交两一般位置平面相交

fe

d

cb

a

c'

b'

a'

d'

f '

e'

n

m

n'm' 1'(2')

2

1

3'

3(4)

4'

方法 2：换面法

X

X1

b'1

c'1

d'1

f'1

e'1

m'1

n'1

a

c

b

a

c

b

f

ee

f

k

k

例题

试过 K 点作一直线平行于已知平面 ΔABC ，并与直线 EF 相交 。

分析

F

P

C

A

B

E

K

H

过已知点 K 作平面 P 平行于 ABC ；直线 EF 与平面 P 交于H ；连接 KH ， KH 即为所求。

作图步骤

m

n h

h

n

m

f

f

a

c

b

a

c

be

e

k

k

PV

1

1

2

2

1 、过点 K 作平面 KMN// ABC 平面。

2 、过直线 EF 作正垂平面 P 。

3 、求平面 P 与平面KMN 的交线ⅠⅡ。

4 、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点 H 。

5 、连接 KH ， KH即为所求。

PV

RV

a' c' f '

m'

n'

b' d' e' g'

ac

bd

em

n

1' 2' 3' 4'

12

34

RV

56 7

8

5' 6' 7' 8'

OXM f

g

PVN

方法 3 三面共点法

.swf两面相交的交线

第三节 垂直关系第三节 垂直关系

一 直线与平面垂直1 几何条件• 若一直线垂直于平面内任意相交两直线，

则此直线必垂直于这个平面。• 反之，若直线垂直于平面，则直线垂直

于平面内的任意直线。

直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

V

H

P

AK

L

D

C

B

E

定理 1 ：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。

VP

AK

L

D

C

B

E

H

a

a

d

cb

dc

b

e

ek

n

k

n直角定理

定理 2 （逆）：

a

ca

c

n

n

k

f

d

b

d

b

f

k

VP

AK

L

D

C

B

E

H

若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。

则直线垂直平面 （ 根据直角定理）

0X

a

b

a' b'

p'

p

特殊情况特殊情况

OX

作图方法 作图方法

k

m

m'

k'

2

1'

[ 例 ]

过点 M 作直

线垂直于三

角形 ABC

。

过点 M 作直

线垂直于三

角形 ABC

。方法 1

m'1

OX

1'

m

m'

方法 2 换面法求解

方法 2 换面法求解

a'1 c'1b'1k'1

k

k'

X1

b

XO

a

a' b'

p'

p

特殊情况特殊情况

例题：平面由 BDF 给定，试过定点 K 作平面的法线。

a

ca

c

n

n

k

f

d

b

d

b

f

k

h

h

例题：试过定点 K 作特殊位置平面的法线。

h

h

h

h k

k

SV

k

k

PV k

k

QH

例题：定平面由两平行线 AB 、 CD 给定，试判断直线 MN 是否垂直于定平面。

e f

e

m

n

m

n

ca

a

db

cd

b

f

二 两平面垂直

Ⅱ

1 几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。

A

D特殊情况

q' r'

qr

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。

A

D

Ⅰ

Ⅱ

两平面垂直 两平面不垂直

ⅡⅠ

A

D

OX

2 投影特点 2 投影特点

m

k

m'

k'

2

1'

n

n'

先作一直线垂直于平面。

然后再包含该直线作一平面必垂

直于该平面。

例：过已知点 D 作一平面垂直于已知平面△ ABC 。

X O

d

a b

c

c'

b'

a'

d'

e'

k'

k

e

分析：过已知点 D 作直线 DK垂直于平面△ ABC ，然后包含直线 DK 作平面（可作无穷多个），图中任取一点 E ，则平面DEK 垂直于△ ABC 。

分析：过已知点 D 作直线 DK垂直于平面△ ABC ，然后包含直线 DK 作平面（可作无穷多个），图中任取一点 E ，则平面DEK 垂直于△ ABC 。

g

例题 平面由 BDF给定，试过定点 K作已知平面的垂面

h

a

ca

c

h

k

k

f

d

b

d

b

f

g

例题 试判断 ABC与相交两直线 KG和 KH所给定的平面是否垂直。

g

h

a

c

h

a

c

k

kb

b

g

f

f

d

d

结论：因为 AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。

l'

三 直线、平面的相互关系综合题三 直线、平面的相互关系综合题

1 过 K

点作一直线 KL 与

平

面 ABC 平行与直线EF 相交。

1 过 K

点作一直线 KL 与

平

面 ABC 平行与直线EF 相交。

e

f

kb

a

c

e'

f'

k'

b'

c' a'

l

m

n

m'

n'

////

// //

d'

d

p

p'

方法 1

过 K 点作一平面 KDP 与平面 ABC平行。

求平面 KDP 与直线 EF 交

点 L ，连KL

P h

三 直线、平面的相互关系综合题三 直线、平面的相互关系综合题

1 过 K

点作一直线 KL 与

平

面 ABC 平行与直线EF 相交。

1 过 K

点作一直线 KL 与

平

面 ABC 平行与直线EF 相交。

e

f

kb

a

c

e'

f'

k'

b'

c' a'

l

l'

X1c1

(b1)a1

k1

e1 f1

方法二

用换面法求解

l1

例题 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。

a

e

f

a

f

e

E

Q

分析

过已知点 A作平面与已知直线 EF交于点 K，连接 AK， AK 即为所求。

F

A

K

作图过程2

1

a

e

f

a

f

e1

2

2

1

PV

a

e

f

a

f

e1

2

k

k

02-3-04.swf过点作平面平行已知直线

02-3-30.swf线面和面面的相对位置

小结：

1.两平面平行的条件； 2. 直线与平面 、平面与平面相交的解题 思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性。

3两平面垂直的条件；