专题七

曲线的性质和轨迹问题

【考点搜索】

【考点搜索】 1. 掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质； 2. 求曲线的方程的常见方法： ① 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； ② 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出 x和 y 的等量关系、化简关系 ; ③ 代入法 ; ④ 参数法 .

【课前导引】

【课前导引】

1. 已知 F1、 F2是双曲线

的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( )

12

2

2

2

b

y

a

x

)0,0( ba

13D. 2

13C. 13B. 324 A.

[解析 ] 设的中点为 P，依题 意，

,212 aPFPF

1313

2,23

a

ceacc故

[解析 ] 设的中点为 P，依题 意，

,212 aPFPF

1313

2,23

a

ceacc故

[答案 ] D

2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设 A、 B为两个定点， k为非零常数， ，则动点 P的轨迹为 双曲线；

②过定圆 C上一定点 A作圆的动点弦AB，

O为坐标原点，若

则动点 P的轨迹为椭圆；

kPBPA ||||

),(2

1OBOAOP

③ 方程 的两根可

分别作

为椭圆和双曲线的离心率；

0252 2 xx

有与椭圆 135

1925

2222

yxyx

④双曲线

相同的焦点 .

其中真命题的序号为_________ （写出所有真命题的序号）

[解析 ] ① 的轨迹可能是双曲线

的一支，也可能是一条射线，也可

能无轨迹；② 的轨迹是圆；计算知

③④正确。

【链接高考】

【链接高考】

.||||||,0

,

,

,

,1:

,,)05(

2

21

2

2

2

2

21

OPOBOA

PFPF

OCP

C

BAb

y

a

xC

FF

已知坐标原点

为上一点是椭圆的右顶点和上顶点圆

分别是椭、的左右焦点圆

是椭设如图届长郡月考题

x

y

A

P

F1 F2O

B

[例 1]

(1) 设椭圆的离心率为，证明

(2) 证明：

(3)设

求椭圆的方程 .

;2

12 e

;PAOP

,15 PAx

y

A

P

F1 F2O

B

[解析 ] ,,0 )1( 221 cOFOPPFPF 知由

,,),,(, 22112 rPFrPFyxPcab 设依题设有

221

222

2121 2,4,2 brrcrrarr 有则

.

,2

2

c

by

cyb

由面积相等得

2

12222 ecacbc

by x

y

A

P

F1 F2O

B

( 另：由 ab=c2知：

) 2

1

2

51

,2

1

1

1

1

)(

2

22

24

4222422

e

ee

ee

ccaacba

或解出

x

y

A

P

F1 F2O

B

(2) 由 (1) 有c

by

2

bc

bc

c

bba

c

bc

c

bcycx

22

42244

2

4222

),(),,(22

c

bbaPA

c

bbP 那么则

x

y

A

P

F1 F2O

B

0

)1(

)(

22

2

222

2

222

2

42

2

4

cc

c

bac

c

bbc

c

bbab

c

bbabPAOP

PAOP

x

y

A

P

F1 F2O

B

1515 )3( bPA 即

2

15:

,01

2

242

e

eecab

解得

得由

22

,2

222

2

2

aacbac

b

a

c

有

则x

y

A

P

F1 F2O

B

15264

22

yx

故所求椭圆的方程为

x

y

A

P

F1 F2O

B

15264

22

yx

故所求椭圆的方程为

[说明 ] 本题采用了待定系数法求轨迹方程 .

x

y

A

P

F1 F2O

B

[例 2] 在 ABC中 , 已知 B(-3,0),

C(3,0),

的垂心 H分有向

线段 所成的比为

ABCDBCAD ,于

AD .8

1

(1) 分别求出点 A和点 H的轨迹方程 ;

??

1,

1,

1),0,1(),0,1()2(

为什么能成等差数列吗

那么设QHPQHP

QP

[解答 ] 设 H点的坐标为 (x,y),对应的 A

的坐标为 (x1, y1), 则 D的坐标为 (x1,

0), 由 H 分有向线段知所成的比为

8

1AD

1

1

9

8yy

xx

ACBH 又 133 1

1

x

y

x

y

,13

89

3

x

y

x

y故 ),0(1

89

22

yyx即

此即点 H的轨迹方程 .

得代入上式再将 ,

9

81

1

yy

xx

,18

8164

9

212

1 yx ,1

81

8

921

21 yx即

).0(181

8

92

2

yyx

的轨迹方程为故点A

(2)由 (1)可知 , P, Q分别为椭圆的左右

焦

点 , 设 H(x, y), 且

数列 , 则

能成等差QHPQHP

1,

1,

1

但,112

HQHPPQ

故,3

13,

3

13,2 xHQxHPPQ

27,

31

3

1

31

3

1

2

2 2

xxx化简得

.1

,1

,1

不可能成等差数列故QHPQHP

!,0319

18

22

矛盾但此时 xy

.1

,1

,1

不可能成等差数列故QHPQHP

!,0319

18

22

矛盾但此时 xy

[说明 ] 本题采用了代入法求轨迹方程 .

[例 3] 如图，设抛物线的焦点为F，动点 P在直线上运动，过 P作抛物线 C的两条切线 PA、 PB，且与抛物线 C分别相切于 A、 B两点 .

(1) △求 APB的重心G的轨迹方程 .

(2) ∠证明 PFA=

∠PFB.

AB

P

F

O

y

x

l

[解答 ] (1)设切点 A、 B坐标分别 为 ))((,(),( 01

211

200 xxxxxx 和

;02: 200 xyxxAP的方程为切线

;02: 211 xyxxBP的方程为切线

10

10 ,2

:

xxy

xxx

P

P

P

点的坐标为解得A

B

P

F

O

y

x

l

△所以 APB的重心 G 的坐标为

,310

PP

G xxxx

x

,2

43

3

2

1021

20

10

PP

PG

yx

xxxx

yyyy

AB

P

F

O

y

x

l

).24(3

1

,02)43(

2

2

xxy

xyx

即

:

,

,43 2

迹方程为

的轨从而得到重点上运动直线

在由点所以

Gl

Pxyy GGp

AB

P

F

O

y

x

l

).4

1,(

),4

1,

2(

),4

1,(:1)2(

211

1010

200

xxFB

xxxx

FP

xxFA因为方法

由于 P点在抛物线外，

.0|| FP则

AB

P

F

O

y

x

l

||41

)41

(||

)41

)(41

(2

||||cos

10

220

20

20100

10

FP

xx

xxFP

xxxxxx

FAFP

FAFPAFP

AB

P

F

O

y

x

l

||41

)41

(||

)41

)(41

(2

||||cos

10

221

21

21101

10

FP

xx

xxFP

xxxxxx

FBFP

FBFPBFP

同理有

∴∠AFP= PFB.∠

AB

P

F

O

y

x

l

.04

1)

4

1(

,41

4

1:

;2

||:

),0,2

(,0,0

,,0)1(

1121

1

21

11

100

0101

xyxxx

xx

xyBF

xdAFP

xPyx

xxxx

即的方程为直线

而的距离为点到直线则

点坐标为所以则设

不妨由于时当方法 2：

2

||

41

2||

)41

(

)()41

(

|42

)41

(|

:

1

21

121

21

221

1121

2

x

x

xx

xx

xxx

d

BFP

的距离为点到直线所以

所以 d1=d2 ∠，即得 AFP = PFB.∠

,04

1)

4

1(

),0(041

4

1

:,0)2(

0020

0

20

21

xyxxx

xx

xy

AFxx

即

的方程直线时、当

所以 P点到直线 AF的距离为：

|2

|

41

)41

(|2

|

)41

(

|41

)2

)(41

(|

10

20

20

10

20

220

0120

1020

1

xx

x

xxx

xx

xxxxx

xd

同理可得到 P点到直线 BF 的距离

2

|| 012

xxd

因此由 d1=d2 ∠，可得到 AFP= PFB.∠

同理可得到 P点到直线 BF 的距离

2

|| 012

xxd

因此由 d1=d2 ∠，可得到 AFP= PFB.∠

[说明 ] 本题采用了代入法求轨迹方程 .

[例 4] 如右图 , ⊙已知 A: (x+2)2+y2 = 4

25

⊙B: (x2)2+y2 = , 动圆 P与⊙ A ⊙、 B都相外切 .

4

1

y

xA B

P (1)动圆圆心 P的轨迹方程； (2)若直线y=kx+1与 (1)中的曲线有两个不同的交点P1、 P2，求 k的取值范围 .

[解答 ] (1)依题意， PAPB=

22

1

2

5

故 P的轨迹是双曲线的右支， a=1， c=2，

其方程为：)1(1

3

22 xy

x

y

xA B

P

(2)联立方程组

:1

3

12

2得消yy

x

kxy

(*)042)3( 22 kxxk

在 [1, +)有两不同的解，

012)1(

0)3(164

13

2

22

2

kkf

kk

k

k

则

)3,2

13()3,2(

的范围是解得k

[例 5] A、 B 是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且 OA⊥OB，

1. 求 A、 B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

2. 求证：直线 AB过定点；

3. 求弦 AB中点 P的轨迹方程；

4. △求 AOB面积的最小值；

5. 求 O在AB上的射影 M轨迹方程 .

[解答 ] (1)设 A(x1, y1)， B(x2, y2)，中点 P(x0, y0) ，

2

2

1

1 ,x

yk

x

yk OBOA

∵ OA OB kOAkOB=-1⊥ ∴ ，∴ x1x2+y1y2=0

∵ y12 = 2px1， y22 = 2px2 022 21

22

21 yy

p

y

p

y

∵ y1≠0, y2≠0, y1y2=4p2 x1x2=4p2.∴ ∴

(2) y12=2px1∵ ， y22=2px2

∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)

2121

21 2

yy

p

xx

yy

21

2

yy

pkAB

)(2

: 121

1 xxyy

pyyAB

直线

21

11

21

22

yy

pxy

yy

pxy

21

2112

1

21

22

yy

yypxy

yy

pxy

2211

21 4,2 pyypxy

21

2

21

42

yy

p

yy

pxy

)2(2

21

pxyy

py

∴ AB过定点 (2p, 0)，设M(2p, 0).

(3)设 OA y = kx∶ ，代入 y2=2px 得 : x=0 ，

)2

,2

(2 k

p

k

p

同理， 以代 k得 B(2pk2, -2pk) . k

1

)1

(

)1

(

0

22

0

kk

py

kkpx

2)1

(1 2

22

k

k

kkk

2)( 200 p

y

p

x

即 y02 = px0-2p2，

∴ 中点M 轨迹方程 y2 = px-2p2

|)||(||)||(|||2

12121 yypyyOM

SSS BOMAOMAOB

(4)

221 4||2 pyyp

当且仅当 |y1|=|y2|=2p时，等号成立 .

(5)法一：设 H(x3, y3), 则3

3

x

ykOH

3

3

y

xkAB )(: 3

3

33 xx

y

xyyAB

得代入即 pyxyyx

yx 2)( 2

333

3

,0222

33

23

3

32 pxx

py

x

pyy

由 (1) 知， y1y2=-4p2 ， 23

3

23 42

2ppx

x

py

整理得： x32+y32 -2px3=0，

∴ 点 H轨迹方程为 x2+y2-4x=0(去掉 (0,

0)).

∴ H在以 OM为直径的圆上

∴ 点 H轨迹方程为 (x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0).

评注：此类问题要充分利用 (1)的结论 .

∵ ∠法二： OHM=90, 又由 (2)

知 OM为定线段

专题七 曲线的性质和轨迹问 题

第二课时

【考点搜索】

【考点搜索】 1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用； 2. 注意向量与解析几何的密切联系 . 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3. 注意利用曲线系解题 .

【课前导引】

1. 已知反比例函数 的图

像是等轴双曲线，则其焦点坐标是 (

)

xy

3

【课前导引】

A.

B.

C.

D.

)6,6(),6,6(

)3,3(),3,3(

)32,32(),32,32(

)62,62(),62,62(

[解答 ] 双曲线的实轴为直线 x-y =

0, 故

两个顶点坐标为

, 且

)0,3(),0,3(

).6,6(),6,6(,

,3226,623

焦点坐标是图像知

结合ca

[解答 ] 双曲线的实轴为直线 x-y =

0, 故

两个顶点坐标为

, 且

)0,3(),0,3(

).6,6(),6,6(,

,3226,623

焦点坐标是图像知

结合ca

[答案 ] A

2. 已知圆 x2+y2=1，点

A(1， 0) △， ABC内接于此

∠圆， BAC=60o，当 BC在圆上运动

时， BC中点的轨迹方程是 ( )A. x2+y2 =

2

1B. x2+y2 =

4

1

C. x2+y2 = )2

1(

2

1x D. x2+y2 = )

4

1(

4

1x

[解析 ] 记 O为原点，依题意，

且 OB=OC=1, 故原点到直线 BC的距离

为

由图像可知， BC中点的横坐标小于

故选 D.

,3

2BOC

,2

1

，4

1

【链接高考】

【链接高考】

[例 1] 若直线 mx+y+2=0与线段 AB

有交点，其中 A(-2, 3)， B(3,

2)，求实数 m的取值范围 .

[解答 ] 直线 mx+y+2=0过一定点 C(0, -2), 直线 mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段 AB有交

∠点，则直线只能落在 ABC的内部，设BC、 CA这两条直线的斜率分别为k1、 k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率 k应满足 k≥k1或 k≤k2 ，∵ A(-2, 3) B(3, 2)

2

5

3

421 kk

2

5

3

4

2

5

3

4 mmmm 或即或

C(0, -2)

A

Bx

y

O

[说明 ] 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率 m应为倾角的正切，而当倾角在 (0, 90)或 (90, 180)

内，角的正切函数都是单调递增的，因此∠当直线在 ACB内部变化时， k应大于或

等于 kBC，或者 k小于或等于 kAC，当A、 B两点的坐标变化时，也要能求出 m

的范围 .

[例 2] 根据下列条件，求双曲线方程 .

).2,23(

,1416

)2(

);32,3(

,1169

)1(

22

22

且过点

有公共焦点与双曲线

且过点

有共同渐近线与双曲线

yx

yx

[解答 ] 方法一：

,3

41

169

22

xyyx

的渐近线为双曲线(1)

,

,)0(3

4

)32,3(,432,4,3

轴上双曲线焦点在

轴负半轴之间及在射线

故点因令

x

xxxy

yx

故设双曲线方程为 ),0,0(,12

2

2

2

bab

y

a

x

1)32()3(

3

4

2

2

2

2

ba

a

b

4

4

9

2

2

b

a解之得：

.14

49

22

yx双曲线方程为

)0,0(1)2(2

2

2

2

bab

y

a

x设双曲线方程为

12)23(

20

2

2

2

2

22

ba

ba

则

8

122

2

b

a ， 解之得：

.1812

22

yx

双曲线的方程为

方法二： (1) 设双曲线方程为 )0(169

22

yx

4

1,

16

)32(

9

)3( 22

.14

49

22

yx双曲线方程为

(3) 设双曲线方程为 1416

22

k

y

k

x

04

016

k

k

14

2

16

)23( 22

kk

， 解之得： k=4

∴ 双曲线方程为 1812

22

yx

).0

,0(1

1.,0;

,0),0(

1:

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

kb

kakb

y

ka

x

b

y

a

xy

xb

y

a

x

b

y

a

x

共焦点的双曲线为

与双曲线轴上焦点在时当上

轴焦点在时当方程为

共渐近线的双曲线与双曲线评注

比较上述两种解法可知，引入适

当的参数可以提高解题质量，特别是充

分利用含参数方程的几何意义，可以更

准确地理解解析几何的基本思想 .

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x[例 3] 已知直线 l与椭圆

有且仅有一个交点 Q，且与 x轴、 y轴分别交于 R、 S，求以线段 SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点 P的轨迹方程 .

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x[例 3] 已知直线 l与椭圆

有且仅有一个交点 Q，且与 x轴、 y轴分别交于 R、 S，求以线段 SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点 P的轨迹方程 .

[解答 ] 由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l的方程为

代入椭圆方程 得

).0( kmkxy

，222222 bayaxb

.)2( 22222222 bamkmxxkaxb

化简后，得关于的一元二次方程

.02)( 222222222 bamamxkaxbka

于是其判别式

).(4

))((4)2(222222

222222222

mbkaba

bamabkamka

△由已知，得 =0 ．即 ①

.2222 mbka

在直线方程 y=kx+m中，分别令y=0， x=0，

求得).,0(),0,( mS

k

mR

令顶点 P的坐标为 (x， y) ，由已知，得

.

,

.

,

ymx

yk

myk

mx

解得

① 代入 式并整理，得 ,12

2

2

2

y

b

x

a

即为所求顶点 P的轨迹方程 .

[说明 ] 方程

形似椭圆的

标准方程，但图像当然不是椭圆，你能

知道它有什么几何性质？

12

2

2

2

y

b

x

a

.,3

,3,,

)0(1:

2

21

2

2

2

2

的方程和椭圆求直线

且轴交于点与直线点

两、交于的椭圆

与离心率为的直线一条斜率为

ClRQ

PROQOPRYl

QPbab

y

a

xC

l

[例4]

02243

:1

2

),(),,(,

:,12

2,2

2,

2

2

222

2

2

2

2

2211

2

2

2

2

22

bmmxx

y

mxy

b

y

b

x

yxQyxPmxy

lb

y

b

x

baa

c

得消去由

方程为设所以椭圆方程为

椭圆离心率为[解 ]

0)3(8)22(3416 22222 bmbmm

(*)3 22 mb

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2 2221 bmxx ……（ 2 ）

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136

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xyxyl

mb

bm

xx

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RQPRmR

bm

的方程为椭圆

或方程为所以所求直线

适合解得由

得由

从而

又

所以

[说明 ] 向量数量积的坐标表示，构建

起向量与解析几何的密切关系，使向量与

解析几何融为一体 . 求此类问题的关键

是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向

量与解析几何的联系 . 体现了向量的工

具性 .