1. Определение
Нека А и В са две множества. Всяко подмножество R на декартовото произведение на АxB се нарича бинарна (двоична) релация от А в В.
Ако <а,b>R, тогава се казва, а е в релация R с b, и се записва aRb.
Ако А и В са едно и също множество, казва се още, че R е релация, дефинирана в А.
2. Примери Пример1: Нека А={1,3} и В={0,1,2}. Релацията
С={<x,y>|x>y, xA и yB} се състои от следните двойки числа: <1,0>,<3,0>,<3,1> и <3,2>. Броят на всички елементи на множеството AxB е |A|x|B|=2x3=6;
За самостоятелна работа: Пример2: Нека А={2,3,5} и В={y| yN, 10<y<20}.
Релацията С={<a,y>|a дели y, аA и yB}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxB.
Пример3: Нека R е бинарна релация в множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxА.
Примери Пример4: Нека А е множеството на
членовете на едно семейство: А={Ясен(баща), Яна(майка), Ангел(син), Борис(син), Васил(син)}, а R е бинарна релация в А, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x е родител на y}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxА.
3. Свойства на релациите
Нека А е множество и R е бинарна релация дефинирана в А. Релацията R се нарича: Рефлексивна, ако всеки елемент е в релация R
сам със себе си, т.е. xRx за всяко xA; Симетрична, ако един елемент x е в релация с
друг елемент y, то и y е релация R с x, т.е. от xRy следва, че yRx за всяко x, y A;
Антисиметрична, ако x е в релация R с y, и ако y е в релация R с x, то x=y, т.е. от xRy и yRx следва, че x=y за всяко x, y A;
Транзитивна, ако x e в релация R с y, и ако y e в релация R с z, то x е релация R с z, т.е. от xRy и yRz следва, че xRz за всяко x, y, z A;
4. Графично представяне на свойствата на релациите
Рефлексивност
Симетричност
Антисиметричност
Транзитивност
x
x y
x
x
y
z
5. Пример за графично представяне на релация:
Пример 5: Нека R е бинарна релация в множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Елементите на R са <1,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>, <3,3>.
Графично представяне:
1 3 2
6. Примери за определяне на свойства на релация
Пример 6: Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е четно число}. Определете свойствата на тази релация.
Пример 7: Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е нечетно число}. Определете свойствата на тази релация.
Пример 8: Нека R е множеството на реалните числа и R e дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xR, yR, x≥y}. Определете свойствата на тази релация.
Recommended