新昌县城关中学 陈芳英

A

B C

D

E

C

E

DA B

A

B E C

D

C

E

D

A B

教学内容• 教学内容是从八年级上册第二章特殊三

角形的第 50 页第 12 题引入，归纳出两个相似直角三角形构成的基本图形，例举了这个基本图形在折叠、动态几何等问题中的应用，并将此基本图形进行了拓展。 A

B C

D

E

C

E

DA B

A

B E C

D

教学目标能运用相似三角形的判定方法判断两个直角三角形相似；在理解基本图形的基础上，学会在折叠、测量等问题中应

用基本图形并能进行拓展；通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，

发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。

教学重点：会将基本图形在折叠、动态几何、几何实际问题等问题中加以应用

教学难点：在复杂的图形中分解出基本图形和基本图形的拓展

如图， AD∥BC，∠ A=900 ， E是 AB上一点，且 AE=BC，∠ 1=∠2，

(1)Rt△ADE与 Rt△BEC全等吗？请说明理由；

(2)△CDE是不是直角三角形？请说明理由 .

教材八年级上册第 50 页第 12 题

A

B C

D

E

1

2

A

B C

D

E

C

E

D

AB

A

B C

D

E

例 1 如图，折叠矩形 ABCD 的一边 CD ，使点 D 落在 AB 边的点 E 处， CF为折痕。已知 ，且 tan∠FEA=3/4 ．

(1) △BCE 与△ AEF 有什么关系？

(2) 求矩形 ABCD 的周长。

5 5CE

C

AB

D

E

F

例 2 （ 08 宁波）如图 1 ，把一张标准纸一次又一次对开，得到“ 2 开”纸、“ 4 开”纸、“ 8 开”纸、“ 16 开”纸…．已知标准纸的短边长为 a ．

（ 1 ）如图 2 ，把这张标准纸对开得到的“ 16 开”张纸按如下步骤折叠：

第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠，点 B 落在 AD 上的点 B’ 处，铺平后得折痕 AE ；第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠，点 B 正好与点 E重合，铺平后得折痕 AF ．则 AD:AB 的值是 ,AD,AB 的长分别是 ， ．

（ 2 ）“ 2 开”纸、“ 4 开”纸、“ 8 开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（ 3 ）如图 3 ，由 8 个大小相等的小正方形构成“ L” 型图案，它的四个顶点 E,F,G,H 分别在“ 16 开”纸的边 AB,BC,CD,DA 上，求 DG 的长．

（ 4 ）已知梯形 MNPQ 中 ,MN∥PQ ，∠ M=900 ， MN=MQ=2PQ ，且四个顶点 M,N,P,Q 都在“ 4 开”纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积

A

B C

D

B C

A DE

G

H

F

F

E

B’

（ 3 ）如图 3 ，由 8 个大小相等的小正方形构成“ L” 型图案，它的四个顶点 E,F,G,H 分别在“ 16 开”纸的边 AB,BC,CD,DA 上，求 DG 的长．（ 4 ）已知梯形 MNPQ 中 ,MN∥PQ ，∠ M=900 ，MN=MQ=2PQ ，且四个顶点 M,N,P,Q 都在“ 4开”纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积

B C

A DE

G

H

F

a/4

√2a/4

DG:CF=HG:FG

例 2 如图，在笔直的公路 l 的同侧有 A ， B 两个村庄，已知 A ， B 两村分别到公路的距离 AC=3 千米， BD=4千米。

（ 1 ） 现要在公路上建一个汽车站 P ，使该车站到 A ， B 两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点 P （不写作法，保留作图痕迹）；

（ 2 ） 若连接 AP ， BP ，测得∠ APB=900 ，求A 村到车站 P 的距离。

C D

A

B

lP

例 3 （ 06武汉）已知：将一副三角板（ Rt△ABC和 Rt△DEF ）如图 1摆放，点 E 、 A 、 D 、 B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。将 Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角 α（ 00<α<900 ） , 在旋转过程中 , 直线 DE 、 AC 相交于点 M ，直线 DF 、 BC 相交于点 N ，分别过点 M 、 N作直线 AB 的垂线，垂足为 G 、 H 。

E A DB

CF

图 1

A B

CEF

DG

M

H图 2

A

C

BG D H

M N

FE

图 3B

A DG H

CE

FM N

图4

（ 1 ）当α=300时（如图 2 ），求证： AG=DH ；（ 2 ）当α=600时（如图 3 ），（ 1 ）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（ 3 ）当 00<α<900时，（ 1 ）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图 4说明理由 .

例 4 （ 04南京）如图， AB⊥BC ， DC⊥BC ，垂足分别为 B 、 C.

（ 1 ）当 AB=4 ， DC=1 ， BC=4时，在线段 BC 上是否存在点 P ，

使 AP⊥PD ？如果存在，求出线段 BP的长；如果不存在，请说明理由。

（ 2 ）设 AB=a ， DC=b， AD=c，那么当 a 、 b、 c之间满足什么关系时，

在直线 BC 上存在点 P ，使 AP⊥PD ？

A

B C

D

P

例 1 （ 08莆田）阅读理解：如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中， AB CD∥ ，∠ B=900 ，点 P 在 BC 边上，当 ∠ APD=900时，易证△ ABP PCD∽△ ，从而得到 BP﹒PC=AB﹒CD. 解答下列问题：

（ 1 ）模型探究：如图 2 ，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B= C= APD∠ ∠ 时，求证： BP﹒PC=AB﹒CD.

（ 2 ）拓展应用：如图 3 ，在四边形 ABCD 中， AB=4 ， BC=10 ， CD=6 ，∠ B= C=60∠ 0 ， AO BC⊥ 于点 O ，以 O 为原点，以 BC所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，点 P 为线段 OC 上一动点（不与端点 O 、C 重合） .

①当∠ APD=600时，点 P 的坐标；

②过点 P作 PE PD⊥ ，交 y轴于点 E ，设 OP=x ， OE=y 求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 .D

P

A

B C

图1

y

A

P C

D

B x

图 3

A

B P C

D

图 2

阅读理解：如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD ，∠ B=900 ，点 P 在 BC 边上，当 ∠ APD=900时，易证△ ABP∽△PCD ，从而得到 BP﹒PC=AB﹒CD

D

P

A

BC

图 1

（ 1 ）模型探究：如图 2 ，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠ B=∠C=∠APD时，求证： BP﹒PC=AB﹒CD.

A

B PC

D

图 2

（ 2 ）拓展应用：如图 3 ，在四边形 ABCD 中， AB=4 ， BC=10 ， CD=6 ，∠ B=∠C=600 ， AO⊥BC于点 O，以 O为原点，以 BC所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 P 为线段OC 上一动点（不与端点 O、 C 重合） .①当∠ APD=600时，点 P 的坐标；②过点 P作 PE⊥PD ，交 y轴于点 E ，设OP=x， OE=y求 y与 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围 .

y

A

P C

D

B x

图 3

例 2 （ 08金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 , 点 P 处放一水平的平面镜 ,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD ， CD⊥BD ，且测得 AB=1.2米， BP=1.8 米， PD=12 米， 那么该古城墙的高度是（ ）

A 、 6 米 B 、 8 米 C 、 18 米 D 、 24 米C

E

D

AB

1

2

321

变式 2 ：如图所示，已知正方形 ABCD ，

E 是 AB 的中点， F 是 AD 上的一点，

EG⊥CF ，且 AF=1/4 AD ，

求证：（ 1 ） CE 平分∠ BCF ；

（ 2 ） AB2=CG · FG.

A

B C

D

E

F

G

A

B

C

DP

变式 1 ：一只小鸟从高为 3 米的电线杆 AB 的顶端飞到地面

BD 的中点 P 处觅食 ,再飞到一高为 12 米的建筑物 CD 顶端 , 求小鸟飞过的路长 .

1. （ 08金华）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形 , 点 A 的坐标是（ 0 ， 4 ），点 B在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结 AP ，并把△ AOP绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO与 AB 重合，得到△ ABD. （ 1 ）求直线 AB 的解析式；（ 2 ）当点 P 运动到点（ ,0 ）时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标；（ 3 ）是否存在点 P, 使△ OPD 的面积等于 , 若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由

33

4

2. （ 08义乌）如图 1所示，直角梯形 OABC 的顶点 A 、C 分别在 y 轴正半轴与 轴负半轴上 . 过点 B 、 C作直线 ．将直线 平移，平移后的直线 与 x 轴交于点 D ，与 轴交于点 E ．（ 1 ）将直线 向右平移，设平移距离 CD 为 t (t 0) ，直角梯形 OABC被直线 扫过的面积（图中阴影部份）为 s， s关于 t 的函数图象如图 2所示， OM 为线段， MN 为抛物线的一部分， NQ 为射线， N 点横坐标为 4 ．①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积；②当 2<t<4时，求 S关于 t 的函数解析式；（ 2 ）在第（ 1 ）题的条件下，当直线 向左或向右平移时（包括 与直线 BC 重合），在直线 AB 上是否存在点 P ，使 ΔPDE 为等腰直角三角形 ?若存在，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 ;若不存在，请说明理由。

通过本节课的学习，你有哪些收获？（知识方面、能力方面、情感方面）

C

E

D

AB

A

B C

D

E

A

B E C

DC

E

D

A B

1.完成本堂课中没有详细解答的例题；2. 如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中， AD∥BC ，顶点 D ， C 分别在 AM ， BN 上运动 ( 点 D 不与 A 重合，点 C 不与 B 重合 ) ，E 是 AB 上的动点 ( 点 E 不与 A ， B 重合 ) ，在运动过程中始终保持 DE⊥CE ，且 AD+DE=AB=a 。（ 1 ）求证：△ ADE∽△BEC ；（ 2 ）当点 E 为 AB 边的中点时 ( 如图 2) ，求证：① AD+BC=CD ；② DE ， CE 分别平分∠ ADC ，∠ BCD ；（ 3 ）设 AE=m，请探究：△ BEC 的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△ BEC 的周长；若无关请说明理由。

3.仿照本堂课请你寻找出一些基本图形。