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西藏职业技术学院机电系

第一节电路的动态过程第二节换路定律与初始值的确定第三节一阶电路的零输入响应第四节一阶电路的零状态响应第五节一阶电路的全响应第六节一阶电路的三要素法

第七节微分电路和积分电路

第八章线性电路中的过渡过程


一种稳定状态过渡到另一种稳定状态的过程称为动态过程。通常动态电路中的状态的改变称为换路电路的换路是产生过渡的外部原因，而电路含有储能元件，是产生过渡过程的内部原因。总的说来，电路发生过渡过程的冲要条件是：1 、电路中含有储能元件2 、电路发生换路3 、换路前后两种稳态电路中储能元件的电磁能量不相等。

第一节电路的动态过程


1 、具有电感的电路开关接通前 i=0 闭合后， i 从零逐渐增至 Us/R 结论： RL 串联电路接通电源瞬间，电流不能跃变。

)0()0( LL ii )0()0( CC uu

一、换路定律

约定换路时刻为计时起点，即 t=0 换路前最后时刻记为 t=0 换路前初始时刻记为 t=0换路后的一瞬间，电感中的电流应保持换路前的原有值而不能跃变。 )0()0( LL ii

第二节换路定律与初始条件的确定


2 、具有电容的电路R 、 C 与电源 Vs 接通前、 Uc=0 闭合后若电源电流为有限值，电源两端电压不能改变

换路瞬间推理：对于一个原来未充电的电容，在换路的瞬间，

Uc （ 0+ ） =Uc （ 0- ）电容相当于短路。


换路后的最初一瞬间（即 t=0+ 时刻）的电

流、电压值 , 统称为初始值。为了便于求得

初始条件，在求得 Uc （ 0+ ）和 iL (0+) 后，

将电容元件代之以电压为 Uc （ 0+ ）的电压

源，将电感元件代之以电流为 iL (0+) 的电流

源

二、初始值的计算


S

U s

£«

£ C u C

iC

R 1 i1

R 2

i2

(a )

U s

£«

£ C u C (0 £«)

iC (0 £«)

R 1i1 (0 £«)

R 2

i2 (0 £«)

(b )

图所示电路中 , 已知 Us=12V, R1=4kΩ, R2=8kΩ, C=1μF, 开关 S 原来处于断开状态 , 电容上电压 uC(0-)=0 。求开关 S 闭合后 , t=0+ 时 , 各电流及电容电压的数值。

例 1


解：选定有关参考方向如图所示。 1 、由已知条件可知 : uC(0-)=0 。2 、由换路定律可知 : uC(0+)=uC(0-)=0 。3 、求其它各电流、电压的初始值。画出 t=0+ 时刻的等效电路 , 如图所示。由于 uC(0+)=0, 所以在等效电路中电容相当于短路。故有

mAR

Ui

RR

ui

s

C

3104

12)0(

,00)0(

)0(

31

1

222

由 KCL 有 iC(0+)=i1 （ 0+ ） -i2 （ 0+ ） =3-0=3mA 。


U s

£«

£ u C (0)

R

( a )

£«

£

1

2

C

R

C

u R

S

( b )

u CV

S

UO

ii

一、 RC 电路的零输入响应

只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。零输入响应：动态电路在设有独立源作用的情况下由初始储能激励而产生的响应。t=0+ uc(0+)=U0

第三节一阶电路的零输入响应


根据 KVL, uR=uC=Ri, 而 i=-C(duC/dt)( 式中负号表明 iC

与 uC 的参考方向相反 ) 。将 i=-C(duC/dt) 代入 uC=Ri 得

RC

tpt

C

pt

ptpt

ptC

C

AeAeu

RCp

RCp

AeRCp

AeRCpAe

Aeu

ucdt

duRC

1

01

0)1(

0

0


由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即

将 A=U0 代入式（ 8.6 ） , 得

.00

0 AAeAeU RC

RC

t

C eUu

0

RCC eR

U

R

ui

10

τ 的数值大小反映了电路过渡过程的快慢 , 故把 τ 叫RC 电路的时间常数。理论上 t=∞ 时过渡过程结束。


0

U 0

uC

t

(a )

0

i

t

(b )

U 0

R

τ=RC [S] 时间常数

t=(3~5) τ 时认为过渡过程基本结束。


t i

0 e0=1

τ

2τ

3τ

4τ

5τ

… … … …

∞ 0 0

t

e

368.01 e

135.02 e

050.03 e

018.04 e

007.05 e

e

Cu

0U

0368.0 U

0135.0 U

0050.0 U

0018.0 U

0007.0 U

R

U0

R

U0368.0

R

U0135.0

R

U0050.0

R

U0018.0

R

U0007.0

电容电压及电流随时间变化的规律


SuR

U s

£«

£

R1A

R

Lu L

£«

£

£«

£

iL

二、ＲＬ串联电路的零输入响应

由 KVL 得 0 LR uu


而 uR=iLR, uL=L(diL/dt) 。故

tL

L

t

LR

t

L

LL

L

Idt

diLu

IRiu

eIi

idt

di

R

Ldt

diLRi

Re

Re

0

0

0

0

0

或

0

I0

iL

t

(a )

0

I0R

uR

t

(b )

0

£ I0R

uL

t

(c )


越大，电感电流变化越慢

t=0- 时 iL=I0 uR=IR uL=0

t=0+ 时 iL=I0 uR=I0R uL=-I0R

换路瞬间 iL 不跃变 , uL 跃变

零输入响应电路特点：

(1) 一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变化而衰减到零的。

(2) 零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间常数。


思考题

1 、电容的初始值越高，是否放电的时间越长？

2 、图示电路中，当开关 S 断开时，灯泡的亮度有何变化？


一、 RC 串联电路的零状态响应若在一阶电路中 , 换路前储能元件没有储能 , 即 uC （ 0- ） , iL （ 0- ）都为零 , 此情况下由外加激励而引起的响应叫做零状态响应。

S

uR

uCC

i

R

U s

第四节一阶电路的零状态响应


由 KVL 有 sCR Uuu

将各元件的伏安关系 uR=iR 和代入得dt

duCi C


t

sCCC AeUuuu

"'

0)0()0( CC uu

s

sss

UA

AUAeUAeU

00

0

于是 t

ssC eUUu

式中 , Us 为电容充电电压的最大值 , 称为稳态分量或强迫分量。


是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量或自由分量。

t

seU

)1( t

sC eUu

tt

sRCs

RC

t

ssC

eIeR

UeU

RCC

eUUdt

dC

dt

duCi

0

1

)(1

)(

t

s

ts

R eUReR

UiRu


0

uR

t

U s

uR

i

U s

R

0

uC

t

U s

(a ) (b )

i


如图所示电路 , 已知 Us=220V, R=200Ω, C=1μF, 电容事先未充电 , 在 t=0 时合上开关 S 。求

(1 ）时间常数 ;

（ 2 ）最大充电电流 ;

（ 3 ） uC, uR 和 i 的表达式 ;

（ 4 ）作 uC , uR 和 i 随时间的变化曲线 ;

（ 5 ）开关合上后 1ms 时的 uC, uR 和 i 的值

例1


解： 1 、时间常数

ssRC 200102101200 46

2 、最大充电电流 AR

Ui s 1.1

200

220max

3 、 uC, uR, i 的表达式为

AeeeR

Ui

VeeUu

VeeeUu

ttt

s

tt

sR

ttt

sC

3

3

34

105

105

105102

1.1200

220

220

)1(200)1(200)1(


4 、画出 uC, uR, i 的曲线如图所示。S

uR

uCC

i

R

0

i /A

t

220 V

uRi

U s

£«

£

(a )(b )

uC

1.1 A

uC uR /V£¬


S

uL

iLR

U s

£«

£ L

A

uR

.

二、 RL 串联电路的零状态响应

由 KVL 有 : uR+uL=Us 。根据元件的伏安关系得

sL Udt

diLRi

即 R

Ui

dt

di

R

L sL

L


t

sL Ae

R

Ui

0)0(

AR

UAe

R

Ui s

ts

L

即 R

UA s

将 A=-Us/R 代入式得

)1( tt

ssL eIe

R

U

R

Ui


式中 , I=Us/R 。

求得电感上电压为

t

s

ts

t

t

L

eUeR

U

L

RLIeL

eIdt

dL

dt

diLu

1

)]1([

)1()1( t

s

t

LR eUeRIRiu


0

iL

t

(a )

0 t

uR

(b )

uL

U sU s

R

uLuR £¬


图所示电路为一直流发电机电路简图 , 已知励磁电阻 R=20Ω, 励

磁电感 L=20H, 外加电压为 Us=200V, 试求（ 1 ）当 S 闭合后 ,

励磁电流的变化规律和达到稳态值所需的时间 ; (2) 如果将电源电压提高到 250V, 求励磁电流达到额定值的时间。

例1

S

iL

R

U s

£«

£ L G


解 (1 ）这是一个 RL 零状态响应的问题 , 由 RL 串联电路的分析知 :

)1( t

sL e

R

Ui

式中 Us=200 V, R=20 Ω, τ=L/R=20/20=1s, 所以

Aeei tt

L )1(10)1(20

200

一般认为当 t= （ 3 ～ 5 ） τ 时过渡过程基本结束 , 取 t=5τ, 则合上开关 S 后 , 电流达到稳态所需的时间为 5秒。


（ 2 ）由上述计算知使励磁电流达到稳态需要 5秒钟时间。

st

e

eeti

t

tt

6.1

)1(5.1210

)1(5.12)1(20

250)(

0

iL /A

t/s

10

12.5

1.6 5


思考题

1 、 RC 串联电路中，已 R=100Ω， C=10μF，接到电压为 100V 的直流电源上，接通前电容上电压为零。求通电源后 1.5ms 时电容上的电压和电流。

2 、 RL 串联电路中，已 R=10Ω， L=0.5mH，接到电压为 100V 的直流电源上，接通前电容上电压为零。求通电源后电流D 达到 9A 所经历的时间。


S

i

uC

R

U s

U o

t = 0

£«

£

£«

£

一阶电路的全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时 , 电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。

由 KVL 有 sCC

sCR Uudt

duRCUuu 或

第五节一阶电路的全响应及其分解


RC

t

sCCC AeUuuu

"'

由初始条件 :uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入上式有 U0=Us+A, 即 A=U0-Us 。所以 , 电容上电压的表达式为

t

-

0 )( eUUUu ssC

由式可见 , Us 为电路的稳态分量 , 为电路的暂态分量 , 即全响应 = 稳态分量 + 暂态分量

t

s eUU

)( 0


有三种情况 : (a) U0<Us , ( b) U0=Us, (c) U0>Us

0

uC

t

U s

U 0

U 0£ U s

稳态分量

全响应

暂态分量

uC

t

=全响应稳态分量

0

uC

t

全响应

0

U 0= U s

稳态分量

U 0£ U s

U 0

U s 暂态分量

图 8.20 一阶 RC 电路全响应曲线


电路中的电流为

t

sC eR

UU

dt

duCi

0

tt

sC eUeUu

0)1(

上式中是电容初始值电压为零时的零状态响应 , 是电容初始值电压为 U0 时的零输入响应。故又有

)1( t

s eU

t

eU

0

全响应 = 零状态响应 + 零输入响应

R

eUe

R

Ui s

t-

0t

-


图所示电路中 , 开关 S 断开前电路处于稳态。设已知 Us=20V, R1=R2=1kΩ, C=1μF 。求开关打开后 , uC

和 iC 的解析式 , 并画出其曲线。

S

R 2

C

i1

iC

R1

t = 0

U s

£«

£

£«

u C

£

i2

例 1


解：选定各电流电压的参考方向如图所示。因为换路前电容上电流 iC （ 0- ） =0, 故有

mAA

RR

Uii s

101010

1010

20

)0()0(

3

33

2121

换路前电容上电压为

VRiuC 101011010)0()0( 3322

即 U0=10V 。


由于 Uo<Us, 所以换路后电容将继续充电 , 其充电时间常数为

mssCR 110101101 3631

解得

mAeAeeeR

UUi

VeeeUUUu

ttsC

ttt

ssC

tt

100010000

1000100

1001.01000

1020

1020)2010(20)(

310

3


uC , iC 随时间的变化曲线如图所示。

0

uC / V

20

(a )

10

1 2 43 0

iC / mA

(b )

10

1 2 43t / ms

t / ms


思考题

1 、什么是一价电路的全响应？全响应有哪些分解方式？2 、比较全面响应、零输入响应、零状态响应在形式上有什么区别？


稳态值 , 初始值和时间常数 , 我们称这三个量为一阶电路的三要素 , 由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的解。此方法叫三要素法。设 f （ 0+ ）表示电压或电流的初始值， f （∞）表示电压或电流的新稳态值 ,τ 表示电路的时间常数 , f （ t ）表示要求解的电压或电流。这样 , 电路的全响应表达式为

t

effftf

)]()0([)()(

概念第六节一阶电路的三要素法


名称微分方程之解三要素表示法

RC电路的零输入响应

直流激励下 RC电路的零状态响应

t

eR

Ui

RCeUut

C

0

0 )(

t

eR

Ui

eeUu

s

t

sC

)1(

t

eftf

)0()(

t

t

eftf

eftf

)0()(

)1)(()(

经典法与三要素法求解一阶电路比较表


名称微分方程之解三要素表示法

直流激励下 RL电路的零状态响应

RL电路的零输入响应

一阶 RC电路的全响应

t

sL

t

eUu

R

LeIi

))(1(

t

L

t

eRIu

eIi

0

0

ts

t

ssC

eR

UUi

eUUUu

0

0 )(

t

eftf

eftft

)0()(

)1)(()(

t

eftf

)0()(

t

t

eftf

effftf

)0()(

)]()0([)()(


1. 画出换路前（ t=0- ）的等效电路。求出电容电压 uC （ 0- ）或电感电流 iL(0-) 。 2. 根据换路定律 uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 画出换路瞬间（ t=0+ ）时的等效电路 , 求出响应电流或电压的初始值 i(0+) 或 u(0+), 即 f(0+) 。3. 画出 t=∞ 时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路 , 电感相当于短路） , 求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞) 或 u(∞), 即 f(∞)4. 求出电路的时间常数 τ 。 τ=RC 或 L/R, 其中 R 值是换路后断开储能元件 C 或 L, 由储能元件两端看进去 , 用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内阻。 5. 根据所求得的三要素 , 代入式 (8.30) 即可得响应电流或电压的动态过程表达式。


如图所示电路 , 已知 R1=100Ω, R2=400Ω, C=125μF, Us=200V, 在换路前电容有电压 uC(0-)=50V 。求 S 闭合后电容电压和电流的变化规律。解：用三要素法求解 : 1. 画 t=0- 时的等效电路，如图 (b) 所示。由题意已知 uC(0-)=50V 。 2. 画 t=0+ 时的等效电路 , 如图 (c) 所示。由换路定律可得 uC

(0+)=uC(0-)=50V 。3. 画 t=∞ 时的等效电路 , 如图 (d) 所示。

VRRR

Uu s

C 160400400100

200)( 2

21

例 1


4. 求电路时间常数 τ

sCR

RR

RRR

01.01012580

80400100

400100

60

21

210

5. 由公式得

Vee

euuutu

tt

t

CCCC

10001.0 110160)16050(160

)]()0([)()(

Aedt

tduCti tC

C100375.1

)()(


思考题1 、直流激励作用下一价电路的三要素是什么？如何求得？2 、如图所示电路 , 在开关 S打开前电路处于稳态 , 已知

R1=10Ω ， R2=10Ω ， C=2F, 求开关打开后 i1 、 i2 和 i3 的解析式。

£«

£ 100V

5A

R 1

i1

S

C R2

i 1 i 2


构成微分电路应具备的条件：1 、从电阻端取得输出信号2 、电路参数满足

一、微分电路

pt《

第七节微分电路和积分电路


构成积分电路条件：1 、输出信号从电容端获得2 、电路参数满足

二、积分电路

pt》


1 、微分电路为何要规定？

思考题

2 、积分电路为何要规定？

3 、积分电路中，如果从电阻端输出，则输出电压的波形如何？

pt《

pt》

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